ch24

歐亞書局

普通物理(下冊 )

《 University Physics 》 Revised Edition

第 24 章高斯定律　

歐亞書局 P.613

24.1 電通量

24.2 高斯定律

24.3 導體

24.4 高斯定律的證明

第 24 章高斯定律

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雖然首先建立電力線觀念的人是法拉第（ Michae

l Faraday ），但是將這個觀念帶入數學形式的人，卻是數學家高斯（ Carl F. Gauss ）（圖 24.1 ）。他定義「流過」一封閉表面的電力線數量為電通量（ flux ），並且敘述由此表面所包圍的淨電荷和通量的關係。高斯定律（ Gauss's law ）為關於電場特性的一般性敘述，它並不像庫侖定律那樣只適用於靜電場。同時，當一電荷密度具有足夠的對稱性時，高斯定律能提供一優雅的方法 , 在幾個簡單步驟中決定靜電場強度。


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圖 24.1 數學家高斯（ Carl F. Gauss, 1777-1855 ）


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高斯定義這樣的流量為電通量（ electric flux ）。在圖 24.2 中，面積為 A 的平面被垂直放置於均勻電場內。則通過此平面的電通量 ΦE 被定義為：

電通量的 SI 單位為 N m‧ 2/C 。雖然通量的定義並沒有直接涉及電力線，但通過一已知表面的電通量是正比於穿過它的電力線數目。

24.1 24.1 電通量電通量


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圖 24.2 面積為 A 的平面 , 放在強度為 E 的電場內，電通量為 ΦE ＝ EA 。


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如果這個表面對電場有某些角度的傾斜，如圖 24.3 所示，則射穿的電力線數目是由 An —

即此面積垂直於電力線的投影量—來決定。所以，


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圖 24.3 如果平面與電場有一夾角，則電通量為 ΦE ＝ EA

cos θ 。第 24 章高斯定律

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向量 A 代表電場中的平面；換句話說，平面的大小為 A 且其方向垂直於該平面。但如此一來 A 仍有兩個可能的方向。此時我們可選定 A 的方向為「使 ΦE 為正值」的一方，則上面兩式化簡為：

此處 θ 是 A 及 E 的夾角。若用向量乘積表示，則均勻電場內的電通量為：


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當電場不均勻或表面Ａ不是平面時， 24.1 式必須加以修正。此時表面可以被分割成許多微小而近乎平面的面積元素 ΔA ，如圖 24.4 所示；在這種情況下，即便電場不是均勻的，每一面積元素上的電場也不至有太大的變化。通過表面的總電通量為其總和：

在 ΔA → 0 的極限之下，這近似值可使分立的總和變成一個連續的積分。


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圖 24.4 如果表面不是平面或者電場不均勻，我們可以計算面積元素電通量的總和。面積元素可以被視為平面，而且面上的電場只具有單一值。


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所以，電通量通常定義為：

24.2 式的右邊為一面積分式，對於任意平面或電場，要算出此積分值是相當困難的；然而，當電荷分佈具有高度對稱性時，小心地選擇積分平面，將可以大大簡化計算過程。


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圖 24.5 顯示通過一個（假想）封閉面的電力線。在這個區域中，向量 dA 的方向被定義為垂直於平面且指向外界。因此離開一封閉面的電力線，其電通量為正；而進入一封閉面的電通量為負。在圖 24.5 中，通過該封閉面的淨電通量為零，因為進入此面和離開此面的電力線數目相等。


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圖 24.5 電力線離開一封閉面時，電通量為正；而進入一封閉面時電通量為負。


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圖 24.6 顯示一帶正電之點電荷。若有一假想球面以電荷所在位置為球心，則由其對稱情形來看，我們知道球面上各點皆有同樣的電場強度。此外，每一面積元素（可將之看成垂直於此平面之向量）均平行於該處之電場，因而 E d‧A ＝ E dA 。通過此封閉的高斯球面的總電通量為：

24.2 24.2 高斯定律高斯定律


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圖 24.6 環繞一點電荷的球形高斯面。


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此處 E 可由積分式中提出，是因為電場在整個表面上皆為常數；而面積分則化簡為圓的表面積4πr2 。由庫侖定律，我們知道 E ＝ kQ/r2 ，所以 ΦE

＝ 4πkQ 。 4π 這個因數在代入 k ＝ 1/4πε0

時會被消掉。故總通量變成下列形式：

通過封閉表面的電通量，等於被封閉表面包圍的電荷之 1/ε0 倍。


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如果我們定義由點電荷 Q 發出的電力線數目為Q/ε0 時，則我們也可以說，電通量等於射穿封閉面的電力線數目。ΦE 式子中並沒有出現球的半徑，這是因為電場的放射關係（ E 1/∝ r2 ）正好被面積的增加（ A

∝ r2 ）抵消了。檢驗得到的結果，可知通過大球面的電力線數正好等於通過小球面的線數。換句話說，高斯定律可因電場的平方反比性質而精確地公式化。


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當高斯面為任意不規則形狀時，如圖 24.7 所示，雖然決定電通量的面積分很難計算，但我們不需通過計算便能得知電通量。因為通過此一表面的電力線數，正好等於通過球面的線數。


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圖 24.7 環繞一點電荷的不規則高斯面。通過此表面的電通量，等於「通過環繞此電荷之封閉球面」的通量。


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考慮由兩個點電荷產生的電場，如圖 24.8 所示。通過環繞 2Q 之表面 S1 的（正）通量 , 為通過環繞－ Q 之表面 S2 （負）通量的兩倍。至於通過 S3 （環繞兩電荷）的淨通量，則等效於 S3 包圍淨電荷 2Q － Q ＝＋ Q 。高斯定律可將此結果表示為下式：

高斯定律

通過封閉面的淨通量，等於被該封閉面包圍之淨電荷的 1/ε0 倍。


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積分符號上的圓圈，表示高斯面必須是封閉的。注意！高斯定律與電荷在封閉面內部之位置無關。24.3 式中出現的電場，並非僅僅是由高斯面內的那些電荷貢獻的，而是由所有電荷造成的總電場。如果封閉面所包圍的電荷為零，也不見得會使高斯面上電場 E ＝ 0 ；電場可能由高斯面外部之電荷所建立，如圖 24.5 所示。但無論如何，外部電荷無法貢獻任何通過封閉表面的淨通量。


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當電荷分佈足夠對稱而能使積分簡化時，高斯定律的積分形式（ 24.3 式）對於靜電場的計算頗有幫助。但在決定高斯面時，仍須謹記三個要點：1. 利用電荷分佈的對稱性來決定電力線的分佈形式。2. 選擇一高斯面，使得 E 平行於或者垂直於 dA 。3. 如果 E 平行於 dA ，則 E 的大小在 dA

上為常數，積分可化簡成所有面積元素的總和。下面的幾個例子 , 有助於驗證上述的說法。第 24 章高斯定律

解題指引：高斯定律

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例題 24.1

一半徑為 R 的球殼，有電荷均勻分佈於其表面。求下列點的電場：殼的 (a) 外部，及 (b) 內部。

解(a) 球殼外部：因電荷分佈有球形對稱，所以電場亦呈球形對稱；場線方向為沿徑向外。而在與荷電球殼共用球心之假想面上，所有的點具有相同的電場強度。考慮這項對稱性質之後 , 我們選擇半徑 r ＞ R 的球面為高斯面，如圖 24.9 所示。所有面積素 dA 皆平行於其當地電場 E ，故對高斯面上各點而言， E‧dA ＝ E dA 。由 24.3 式：


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例題 24.1 ( 續 )

因此，

對球殼外部的各點而言，其電場分佈與點電荷位於球心時一樣。這個推導過程的難度 , 比起直接應用庫侖定律所需用到的積分計算，可說是微不足道。而在前面章節中處理重力場（點質量定理，例題 13.5 ）的計算時，牛頓力學也曾遭遇類似的問題。


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例題 24.1 ( 續 )

(b) 球殼內部：電場具有相似的對稱性質，所以我們再度使用球形高斯面，但現在使用的球面半徑 r 小於 R 。因為高斯面包圍的淨電荷量為零，所以 24.3 式變為：

由於 r 是任意值，可知均勻荷電球殼內部各點均有 E ＝ 0 。這個結果便是庫侖定律平方反比性質的直接推論。


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例題 24.1 ( 圖 24.9)

圖 24.9 對於球形對稱的電荷分佈，可選用一圓球殼為其高斯面。


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例題 24.2

一半徑為 R 的非導體球，有電荷 Q 均勻分佈於整個體積內。求球的 (a) 外部，及 (b) 內部之電場。

解(a) 外部：對球外部所有的點而言，情況和上題相同。因為在半徑 r ＞ R 的球形高斯面內，淨電荷量為 Q ，故我們可得：

由此得到


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例題 24.2 ( 續 )

同樣地，球外各點的電場等於點電荷位於球心時的情況。但值得注意的是，這結果僅與電荷分佈的球形對稱有關，而與電荷均勻與否無關。(b) 內部：選擇半徑 r ＜ R 的球形高斯面，如圖 24.10 所示。由於非導體球內的電荷正比於其體積 4πr 3/3 。因此，高斯面包圍的總電荷為（ r 3/R3 ） Q 。使用和前文相同的對稱分析，高斯定律變為：


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例題 24.2 ( 續 )代入 k ＝ 1/4πε0 ，可得

電場隨半徑距離變大而線性地增加。 E 與 r 的關係顯示於圖 24.10 。注意：在 r ＝ R 處，對此處 E 的兩個關係式而言，電場在球體表面連續。


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例題 24.2 ( 圖 24.10)

圖 24.10 在均勻荷電球體內部的球形高斯面。


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例題 24.3

一無窮長荷電直線，帶有線電荷密度 λ C/m 。求距離此線 r 處的電場強度。

解由圓柱形的對稱性質可知，距離此線 r 處的各點均有相同的電場強度。因為此線無窮長且荷電均勻，對於在＋ y 軸上的每一電荷元素而言，－ y 軸上皆有一電荷素與之對稱。如圖 24.11 所示。故電場的 y 分量便因這些電荷元素的對稱而逐對抵消。電力線的方向是沿徑向外，且垂直於荷電直線。


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例題 24.3 ( 續 )

取高斯面為半徑 r 長度 L 的圓柱殼。在兩端平面 S2 及 S3 之上， E 垂直於 A ，即表示無通量穿越這兩個面。而在曲面 S1 上， E 平行於 dA ，所以 E d‧ A ＝ E dA 。被此圓柱殼所包圍的電荷為 Q ＝ λL 。應用高斯定律可得：

因 k ＝ 1/4πε0 ，我們求得：


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例題 24.3 ( 續 )

比起例題 23.7 中由庫侖定律所做的計算，此處的推導顯然簡單得多。另外讀者必須注意，高斯面外部的電荷並未貢獻任何淨通量；由於對稱的關係，它們貢獻的電場強度會彼此抵消。


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例題 24.3 ( 圖 24.11)

圖 24.11 環繞一無窮長荷電直線的圓柱形高斯面。僅有穿越曲面部分的通量存在。


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例題 24.4

一無窮長荷電直線，帶有線電荷密度 λ C/m 。求距離此線 r 處的電場強度。

解由於電荷均勻分佈在一無窮大的薄板上，與薄板距離相等的各點具有同樣大小的電場；因此空間中任一平行於該薄板的平面，面上各點之電場大小均為定值。在這種情況下，我們選擇一圓柱形高斯面，圓柱兩端平面位在薄板的兩側，且分別與此薄板維持等距，如圖 24.12 所示（有時它被稱為「高斯藥盒」）。


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例題 24.4 ( 圖 24.12)

圖 24.12 適用於一無窮荷電平板的高斯圓柱。僅兩端平面有電通量。


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例題 24.4 ( 續 )

在這樣的安排下，圓柱殼的曲面部分沒有電力線通過（ E3 垂直於 A3 ）。如果兩端平面的面積為 A ，則高斯面所包圍的電荷為 σA 。應用高斯定律，我們得到：

但是已知 A1 ＝ A2 且電場強度在兩端須為等值，故上式可變為 2EA ＝ σA/ε0 。移項可得：


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例題 24.4 ( 圖 24.13)

在 23 章中，我們曾證得無窮大平板可造成均勻電場，且各點的電場向量均垂直於此薄板（見圖 2

4.13 ）。與此處的結論相符。


圖 24.13 一荷電之無窮大薄板，可造成均勻的電場。

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高斯定律可用於推論關於導體荷電及電場的某些問題。當一淨電荷加入導體時，導體內部將暫時建立一個電場。在極短的時間內（約 10 － 12 s ），自由電子受電場作用而重新分佈，且此種分佈會使內部電場消失。於是淨電荷處於靜電平衡，而導體內部的電場為零（見 23.5 節）。

24.3 24.3 導體導體


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在圖 24.14 中，我們想像一恰在任意導體內部的高斯面，這個面上的各點均有 E ＝ 0 ，亦即無淨通量通過。依 24.3 式可知，此時高斯面包圍的淨電荷必須為零。於是我們可以得到結論：導體上的任何淨電荷必須留在表面。


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圖 24.14 恰在導體內部的高斯面。


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例題 24.5

求無窮導體平板所造成的電場。此平板具有均勻電荷密度 σ C/m2 。

解由對稱性質的分析，可知電場為均勻分佈，且垂直於平板。在圖 24.15 中，我們建立的高斯圓柱與上題相同。但在本題中，導體內部的電場為零，因此只有一個平面有電通量。如果末端面積為A ，則由高斯定律可得：


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例題 24.5 ( 續 )得

注意：在推導 24.9 式時，我們不只利用了高斯定律，而且還使用到「導體內部 E ＝ 0 」這個事實。24.9 式的電場值，是具有相同面電荷密度之無窮荷電薄板的兩倍。在導體的例子裡，所有通量均為同一方向；而在薄板的例子裡，通量卻分成兩個方向。雖然 24.9 式是由一無窮平面導體所建立的電場，但也可以被近似地應用於任何無尖銳突點的荷電導體。由此式可以看出，電場強度隨著與導體間距離的增加而減少。第 24 章高斯定律

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例題 24.5 ( 續 )

此外，對一有限大小的導體而言，此結果只適用於與該導體表面相當接近的區域－－此時，導體表面才可以被視為「平」面。計算導體內部及外部的電場時 , 可由兩薄板貢獻電場值的重疊而得。在圓柱體內部的電荷產生一「本地」電場 ELocal ＝ σ/2 ε0 ，存在於導體表面的兩邊，如圖 24.16 所示。但因導體內部淨電場為零，故在此表面的所有其它電荷必定產生一「遠處」電場 Efar ＝ σ/2ε0 。在導體內部遠處電場與本地電場抵消；而在導體之外，遠處電場與本地電場合併而生的總電場為 σ/ε0 。


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例題 24.5 ( 圖 24.15)

圖 24.15 一荷電之無限大導體板。因導體內部 E ＝0 ，故高斯圓柱只在一末端平面上有通量。


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例題 24.5 ( 圖 24.16)

圖 24.16 荷電導體某個小區域外側的電場，為下列兩電場值的總和： (a) 由在此區域中的電荷所產生的當地電場，及 (b) 由所有其它電荷所產生的遠處電場。


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圖 24.17 顯示一個具有空腔的導體，且其中心位置有一點電荷 Q 。在導體物質內部，一任意選定之環繞空腔的高斯面上，均有 E ＝ 0 ，故通過此表面的淨通量為零。考慮高斯定律，可知高斯面包圍的淨電荷也必須為零。這意味著空腔內壁上會有感應電荷－ Q

存在。因導體之整體為電中性，故其外表面分得電荷＋ Q 。

有空腔的導體有空腔的導體（（ Cavity in a ConductorCavity in a Conductor ））


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圖 24.17 導體空腔內部有一個點電荷 Q 。在空腔的表面及導體的表面上，此點電荷可感應出大小相等且極性相反的電荷。


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重覆使用由法拉第設計的冰桶實驗，可確定導體上感應電荷的大小：先將一荷電金屬球放在空的金屬容器內部，隨後以金屬蓋子蓋上容器。此球使容器內、外壁感應一大小相等且極性相反之電荷，如圖 24.18a 所示。當球觸及內壁時，它的電荷即被中和掉了，因而在外壁留下一淨電荷，其電荷量等於原來球上的電荷量（圖 24.18b ）。


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圖 24.18 在法拉第冰桶實驗中，金屬球上的電荷完全被移至金屬桶的外壁。


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利用高斯定律，可證得處於靜電平衡狀態時，導體的淨電荷必須留在其表面。因此，導體內部若被偵測出任何電荷，將同時違反高斯定律及庫侖定律。西元 1771年，卡文迪西（ Henry Cavendish ）以兩個半球組成金屬球殼 A ，並在其中放置另一金屬球殼 B ； B 球殼和帶電的 A 球殼以導線相連。如圖 24.19 所示。倘若 A 球殼上的電荷受到任何電力作用，則必有電荷流進或流出 B 球殼。

卡文迪西實驗（卡文迪西實驗（ Cavendish ExperimenCavendish Experimentt ））


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稍後，將導線切斷並移去球殼 A ，卡文迪西偵測出球殼 B 上並無電荷存在，故而他做結論說：相關之（電）力定律的形式為 1/r n 。此處 n ＝ 2 ± 1/60 。以現代的技術進行這個實驗，誤差值已降到 10 － 16 ！


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圖 24.19 高斯定律的一個試驗，也是庫侖定律之間接試驗。金屬球殼Ａ和 B 以一導線相連。當球殼 A 帶電時，在球殼 B 上未偵測到任何電荷。此結論符合高斯定律。


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由圖 24.7 可以看出，對於包圍一點電荷的任意兩個封閉曲面來說，通過的電力線數目是相等的。但是在使用高斯定律時，我們在意的是電通量，而不是電力線。因此我們還必須證明，通過兩任意封閉面的通量是相同的。考慮由一點電荷 Q 發出電力線構成的圓錐形，如圖 24.20 所示。

24.4 24.4 高斯定律的證明高斯定律的證明


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圓錐的大小可由立體角 Ω 來表示，其定義如下：

此處 An ＝ A cos θ 是 A 垂直於圓錐軸的投影，立體角的單位是球面度（ steradian ）。一封閉面相對於其內部任意一點，所張開的立體角均為 4π （考慮球的特例，其表面積為 4πr 2 ）。在圖 24.20 中，圓錐形與半徑為 r1 之球面相交，重疊之面積為 A1 ；與任意表面相交面積為 A2

（此面積可以是任何形狀）。第 24 章高斯定律

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圖 24.20 在固定立體角內的通量為常數。


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