ch19. numerical integration formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분:...
TRANSCRIPT
![Page 1: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/1.jpg)
수치해석수치해석Numerical AnalysisNumerical Analysis
161009161009
Ch19. Numerical Integration Ch19. Numerical Integration Ch19. Numerical Integration Ch19. Numerical Integration FormulasFormulas
![Page 2: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/2.jpg)
� 미적분
• 미분 : 독립변수에 대한 종속변수의 변화율
� y(t)= 임의의 물체의 시간에 따른 위치, v(t)= 속도
� 함수의 구배
Part 5. Part 5. Part 5. Part 5. 소개소개소개소개 (1/2)(1/2)(1/2)(1/2)
( ) ( )d
v t y tdt
=
Numerical AnalysisNumerical Analysis
� 함수의 구배
• 적분 : 미분의 역, 어떤 구간 내에서 시간/공간에 따라 변화하는 정
보를 합하여 전체 결과를 구함.
� 0에서 t까지의 구간에서 곡선 v(t) 아래의 면적
0( ) ( )
t
y t v t dt= ∫
![Page 3: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/3.jpg)
Part 5. Part 5. Part 5. Part 5. 소개소개소개소개 (2/2)(2/2)(2/2)(2/2)
� 미분과미분과미분과미분과 적분의적분의적분의적분의 비교비교비교비교
Numerical AnalysisNumerical Analysis
미분 적분
![Page 4: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/4.jpg)
19.1 19.1 19.1 19.1 소개소개소개소개 및및및및 배경배경배경배경
� 적분:
→ 독립변수 x 에 대한 함수 f(x)의
구간 x = a에서 x = b까지의 적분
→x = a 와 b 사이의 범위에서
∫=b
adxxfI )(
Numerical AnalysisNumerical Analysis
→x = a 와 b 사이의 범위에서
곡선 f(x) 아래의 면적
• 구적법= 수치적으로 정적분을 구하는 방법
도형과 같은 면적을 가지는 사각형을 구축한다는 것을 의미
![Page 5: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/5.jpg)
19.2 Newton19.2 Newton19.2 Newton19.2 Newton----Cotes Cotes Cotes Cotes 공식공식공식공식 (1/2)(1/2)(1/2)(1/2)
• 가장 널리 사용되는 수치적분 방법
• 복잡한 함수나 도표화된 데이터를 적분하기 쉬운 다항식으로 대체
여기서
∫∫ ≅=b
an
b
adxxfdxxfI )()(
nn
nnn xaxaxaaxf ++++= −−
1110)( L
Numerical AnalysisNumerical Analysis
적분의 근사: (a) 직선 아래 면적, (b)포물선 아래 면적
![Page 6: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/6.jpg)
19.2 Newton19.2 Newton19.2 Newton19.2 Newton----Cotes Cotes Cotes Cotes 공식공식공식공식 (2/2)(2/2)(2/2)(2/2)
Numerical AnalysisNumerical Analysis
• 데이터를 동일 간격의 소구간으로 나누어
일련의 다항식으로 근사값 계산
• Newton-Cotes 공식에는 폐구간법과 개구간법이 있음
세 직선 아래의 면적으로 근사 (a) 폐구간 적분 공식과 (b) 개구간 적분 공식
![Page 7: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/7.jpg)
19.3 19.3 19.3 19.3 사다리꼴사다리꼴사다리꼴사다리꼴 공식공식공식공식 (1/6)(1/6)(1/6)(1/6)
• Newton-Cotes 폐구간 적분공식의 첫 번째 방법
• 1차 다항식
)()()(
)()()(
)(
)(
bfafab
dxaxab
afbfaf
dxxfI
b
a
b
an
+−=
−−−
+=
=
∫
∫
Numerical AnalysisNumerical Analysis
→ 사다리꼴 공식
2)( ab −=
높이 평균 a)(b 높이 평균 폭 I ×−=×=
![Page 8: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/8.jpg)
19.3 19.3 19.3 19.3 사다리꼴사다리꼴사다리꼴사다리꼴 공식공식공식공식 (2/6)(2/6)(2/6)(2/6)
� 사다리꼴 공식의 오차
• 한 개의 구간에 대해 공식을 적용할 때 발생하는 국소절단오차
- 선형 함수에 대해서는 정해 제공
← f''(ξ) = 0
3))((12
1abξfEt −′′−=
Numerical AnalysisNumerical Analysis
- 2차 이상의 함수인 경우에는
어느 정도의 오차가 발생
함수 f(x)의 x = 0에서 0.8까지의적분의 근사와 발생 오차
![Page 9: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/9.jpg)
� Q. 주어진 5차 함수의 적분을 a = 0에서 b = 0.8까지의
구간에 대해 사다리꼴 공식을 사용하여 수치적으로 구하
라. (참고로 정해는 1.640533)
Sol)
예제 19.1 (1/2)
2 3 4 5( ) 0.2 2.5 200 675 900 400f x x x x x x= + − + − +
Numerical AnalysisNumerical Analysis
Sol)
� Et = 1.640533 – 0.1728 = 1.467733
� εt = 89.5% (상당한 오차 !)
1728.02
232.02.0)08.0( =
+−=I
![Page 10: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/10.jpg)
예제 19.1 (2/2)
근사적인 오차 추정값:
32 000,8800,10050,4400)( xxxxf +−+−=′′
6008.0
)000,8800,10050,4400()(
8.0
0
32
−=−
+−+−=′′ ∫ dxxxx
xf
56.2)8.0)(60(1 3 =−−=E
Numerical AnalysisNumerical Analysis
56.2)8.0)(60(12
1 3 =−−=aE
note : Ea는 참 오차와 같은 차수와 부호를 가지지만, 차이가 있다. 이는 2차도함수의 평균≠f"(ξ )때문이며, 따라서 Ea는 근사 오차임.
![Page 11: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/11.jpg)
19.3 19.3 19.3 19.3 사다리꼴사다리꼴사다리꼴사다리꼴 공식공식공식공식 (3/6)(3/6)(3/6)(3/6)
� 합성 사다리꼴 공식
• a에서 b까지의 적분 구간을 다수의 소구간으로 나누고, 사다리꼴 공
식을 각 소구간에 적용
→ 합성 (또는 다구간) 적분공식
Numerical AnalysisNumerical Analysis
![Page 12: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/12.jpg)
19.3 19.3 19.3 19.3 사다리꼴사다리꼴사다리꼴사다리꼴 공식공식공식공식 (4/6)(4/6)(4/6)(4/6)
• (n + 1)개의 등간격 기본점 (x0, x1, x2, ..., xn)
→ n개의 등간격 구간 폭;
만약 a = x0와 b = xn로 놓으면,
사다리꼴 공식을 각각 적용하면,
n
abh
−=
∫∫∫−
+++= n
n
x
x
x
x
x
xdxxfdxxfdxxfI
1
2
1
1
0
)()()( L
Numerical AnalysisNumerical Analysis
사다리꼴 공식을 각각 적용하면,
또는
여기서, 평균 높이는 함수값의 가중 평균값을 나타냄
2
)()(
2
)()(
2
)()( 12110 nn xfxfh
xfxfh
xfxfhI
+++
++
+= −
L
++= ∑
−
=
)()(2)(2
1
1
0 n
n
i
i xfxfxfh
I
44444 344444 21321
height Average
1
1
0
Width2
)()(2)(
)(n
xfxfxf
abI
n
n
i
i ++
−=∑−
=
![Page 13: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/13.jpg)
19.3 19.3 19.3 19.3 사다리꼴사다리꼴사다리꼴사다리꼴 공식공식공식공식 (5/6)(5/6)(5/6)(5/6)
• 합성 사다리꼴 공식의 오차(각 구간의 오차의 합)
또는 ← 에서
∑=
′′−
−=n
i
it ξfn
abE
13
3
)(12
)(
fn
abEa ′′
−−=
2
3
12
)(
n
fnξfn
i
i ′′≅′′∑=1
)(
Numerical AnalysisNumerical Analysis
n
ξf
f
n
i
i∑=
′′
≅′′ 1
)(
![Page 14: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/14.jpg)
예제 19.2 (1/2)
� Q. 두 개의 구간에 대한 사다리꼴 공식을 이용하여
a = 0에서 b = 0.8까지의 범위에서 함수의 적분값을
구하라. 참고로 정해는 1.640533.
Sol)
2 3 4 5( ) 0.2 2.5 200 675 900 400f x x x x x x= + − + − +
Numerical AnalysisNumerical Analysis
Sol)
n = 2 (h = 0.4)에 대해서
232.0)8.0( 456.2)4.0( 2.0)0( === fff
0688.14
232.0)456.2(22.08.0 =
++=I
%9.34 57173.00688.1640533.1 ==−= tt εE
64.0)60()2(12
8.02
2
=−−=aE
![Page 15: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/15.jpg)
예제 19.2 (2/2)
nnnn hhhh IIII εεεεtttt (%)(%)(%)(%)
2
3
4
5
6
0.4
0.2667
0.2
0.16
0.1333
1.0688
1.3695
1.4848
1.5399
1.5703
34.9
16.5
9.5
6.1
4.3
<함수 f(x) = 0.2 + 25x – 200x2 + 675x3 – 900x4를x = 0에서 0.8까지 적분한 합성 사다리꼴 공식의 결과>
Numerical AnalysisNumerical Analysis
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.4
0.2667
0.2
0.16
0.1333
0.1143
0.1
0.0889
0.08
1.0688
1.3695
1.4848
1.5399
1.5703
1.5887
1.6008
1.6091
1.6150
34.9
16.5
9.5
6.1
4.3
3.2
2.4
1.9
1.6
![Page 16: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/16.jpg)
19.3 19.3 19.3 19.3 사다리꼴사다리꼴사다리꼴사다리꼴 공식공식공식공식 (6/6)(6/6)(6/6)(6/6)
Numerical AnalysisNumerical Analysis
![Page 17: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/17.jpg)
19.4 Simpson 19.4 Simpson 19.4 Simpson 19.4 Simpson 공식공식공식공식 (1/6)(1/6)(1/6)(1/6)
• 사다리꼴 공식- 오차가 함수의 2차도함수와 관련
• Simpsons 공식: 데이터 점들을 연결하는 고차 다항식을 사용
• 조밀한 구간에 대한 사다리꼴 공식보다 정확한 적분
Numerical AnalysisNumerical Analysis
(a) Simpson 1/3 공식: 세 점을 연결하는 포물선 아래에 있는 면적(b) Simpson 3/8 공식: 네 점을 연결하는 3차 방정식 아래에 있는 면적
![Page 18: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/18.jpg)
19.4 Simpson 19.4 Simpson 19.4 Simpson 19.4 Simpson 공식공식공식공식 (2/6)(2/6)(2/6)(2/6)
� Simpson 1/3 공식
• 세 점을 연결하는 2차 다항식을 사용하는 경우 (Lagrange form)
또는 또는
dxxfxxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxI
x
x
−−
−−+
−−
−−+
−−
−−= ∫ )(
))((
))(()(
))((
))(()(
))((
))((2
1202
101
2101
200
2010
212
0
)]()(4)([3
210 xfxfxfh
I ++=6
)()(4)()( 210 xfxfxfabI
++−=
Numerical AnalysisNumerical Analysis
여기서 h = (b – a)/2, a = x0, b = x2, 그리고 x1 = (a + b)/2
• 오차
또는
-기대했던 것(3차 도함수에 비례)보다 더 정확한 4차 도함수에 비례
→ 3차 다항식에 대해서도 정확한 결과를 산출
)(90
1 )4(5 ξfhEt −= )(2880
)( )4(5
ξfab
Et−
−=
![Page 19: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/19.jpg)
� Q. Simpson 1/3 공식을 이용하여 구간 a = 0와 b = 0.8
사이에서 다음 식을 적분하라. (참고로 정해는 1.640533)
Sol)
n = 2 (h = 0.4)에 대해서
예제 19.3
5432 400900675200252.0)( xxxxxxf +−+−+=
232.0)8.0( 456.2)4.0( 2.0)0( === fff
Numerical AnalysisNumerical Analysis
단일 구간에 적용한 사다리꼴 공식의 결과보다 약 5배 정도 더 정확함
232.0)8.0( 456.2)4.0( 2.0)0( === fff
367467.16
232.0)456.2(42.08.0 =
++=I
%6.16 2730667.0367467.1640533.1 ==−= tt εE
2730667.0)2400(2880
8.0 5
=−−=aE
![Page 20: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/20.jpg)
19.4 Simpson 19.4 Simpson 19.4 Simpson 19.4 Simpson 공식공식공식공식 (3/6)(3/6)(3/6)(3/6)
� 합성 Simpson 1/3 공식
• 주어진 구간을 등간격의 여러 구간으로 나눔으로써 개선된 적분 결
과를 얻는다.
각각의 적분항에 Simpson 1/3 공식을 대입하면
∫∫∫−
+++= n
n
x
x
x
x
x
xdxxfdxxfdxxfI
2
4
2
2
0
)()()( L
Numerical AnalysisNumerical Analysis
또는
6
)()(4)(2
6
)()(4)(2
6
)()(4)(2 12432210 nnn xfxfxf
hxfxfxf
hxfxfxf
hI++
++++
+++
= −−L
n
xfxfxfxf
abI
n
n
j
j
n
i
i
3
)()(2)(4)(
)(
2
6,4,2
1
5,3,1
0 +++
−=∑∑−
=
−
=
![Page 21: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/21.jpg)
19.4 Simpson 19.4 Simpson 19.4 Simpson 19.4 Simpson 공식공식공식공식 (4/6)(4/6)(4/6)(4/6)
• 이 방법을 적용하기 위해서는 "짝수 개"의 구간을 사용
• 추정오차:
)4(
4
5
180
)(f
n
abEa
−−=
Numerical AnalysisNumerical Analysis
합성 Simpson 1/3 공식에사용되는 상대적 가중치
(함수 값 위에 주어진 수치)
![Page 22: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/22.jpg)
예제 19.4 (합성 Simpson 1/3 공식)
� Q. 합성 Simpson 1/3 공식을 이용하여
구간 a = 0과 b = 0.8 사이에서 n = 4 일 때 다음 식을 적
분하라. (참고로 정해는 1.640533)
Sol)
n = 4 (h = 0.2)에 대해서
5432 400900675200252.0)( xxxxxxf +−+−+=
Numerical AnalysisNumerical Analysis
추정오차:
232.0)8.0(
464.3)6.0( 456.2)4.0(
288.1)2.0( 2.0)0(
=
==
==
f
ff
ff
623467.112
232.0)456.2(2)464.3288.1(42.08.0 =
++++=I
%04.1 017067.0623467.1640533.1 ==−= tt εE
017067.0)2400()4(180
8.04
5
=−−=aE
![Page 23: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/23.jpg)
19.4 Simpson 19.4 Simpson 19.4 Simpson 19.4 Simpson 공식공식공식공식 (5/6)(5/6)(5/6)(5/6)
� Simpson 3/8 공식
• 3차 Newton-Cotes 폐구간 적분 공식
• 3차 Lagrange 다항식을 이용하여 유도
또는
)]()(3)(3)([8
33210 xfxfxfxf
hI +++=
8
)()(3)(3)()( 3210 xfxfxfxfabI
+++−=
Numerical AnalysisNumerical Analysis
여기서 h = (b – a)/3
• 오차: 또는•
- 네 개의 데이터 점으로 3차의 정확도를 얻음
- Simpson 3/8 공식이 Simpson 1/3 공식보다 조금 더 정확함
- 세 개의 데이터 점으로 3차의 정확도를 얻는 1/3 공식이 더 선호됨
• 구간의 개수가 홀수인 경우에도 적용이 가능
8
)(80
3 )4(5 ξfhEt −= )(6480
)( )4(5
ξfab
Et−
−=
![Page 24: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/24.jpg)
예제 19.5 (합성 Simpson 3/8 공식) (1/3)
� Q.
(a) Simpson 3/8 공식을 사용하여 구간 a = 0에서 b =
0.8까지 아래의 식을 적분하라.
(b) Simpson 3/8 공식과 Simpson 1/3 공식을 함께 사용
하여 다섯 개의 구간(구간 a = 0에서 b = 0.8까지)에 대해
아래의 식을 적분하라.
Numerical AnalysisNumerical Analysis
아래의 식을 적분하라.
5432 400900675200252.0)( xxxxxxf +−+−+=
![Page 25: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/25.jpg)
예제 19.5 (합성 Simpson 3/8 공식) (2/3)
풀이)
(a) n = 3 (h = 0.2667)에 대해서
232.0)8.0( 487177.3)5333.0(
432724.1)2667.0( 2.0)0(
==
==
ff
ff
51970.18
232.0)487177.3432724.1(32.08.0 =
+++=I
Numerical AnalysisNumerical Analysis
(b) h = 0.16에 대해서
232.0)80.0( 181929.3)64.0(
186015.3)48.0( 743393.1)32.0(
296919.1)16.0( 2.0)0(
==
==
==
ff
ff
ff
Simpson 1/3 공식과 3/8 공식을 함께 적용하여적분을 구하는 예(홀수 개의 구간인 경우)
![Page 26: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/26.jpg)
예제 19.5 (합성 Simpson 3/8 공식) (3/3)
Simpson 1/3 공식을 처음 두 개의 구간에 적용하면
Simpson 3/8 공식을 나머지 세 개의 구간에 적용하면
3803237.06
743393.1)296919.1(42.032.0 =
++=I
264754.1232.0)181929.3186015.3(3743393.1
48.0 =+++
=I
Numerical AnalysisNumerical Analysis
두 결과를 합하여 전체 적분값
264754.18
232.0)181929.3186015.3(3743393.148.0 =
+++=I
645077.1264754.13803237.0 =+=I
![Page 27: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/27.jpg)
<Newton-Cotes 폐구간 적분 공식: 간격의 크기는 h = (b – a)/n임>
구간수구간수구간수구간수((((nnnn))))
점의점의점의점의개수개수개수개수
이름이름이름이름 공공공공 식식식식 절단오차절단오차절단오차절단오차
1 2사다리꼴
공식
2 3Simpson 1/3 공식
19.5 19.5 19.5 19.5 고차고차고차고차 NewtonNewtonNewtonNewton----Cotes Cotes Cotes Cotes 공식공식공식공식
2
)()()( 10 xfxfab
+− ( ) )121 3 (ξfh/ ′′−
6
)()(4)()( 210 xfxfxfab
++− ( ) )(90/1 )4(5 ξ− fh
Numerical AnalysisNumerical Analysis
짝수 구간-홀수 점 공식을 통상적으로 선호한다.
3 4Simpson 3/8 공식
4 5Boole 공식
5 6
8
)()(3)(3)()( 3210 xfxfxfxfab
+++− ( ) )(80/3 )4(5 ξ− fh
90
)(7)(32)(12)(32)(7)( 43210 xfxfxfxfxfab
++++− ( ) )(945/8 )6(7 ξ− fh
288
)(19)(75)(50)(50)(75)(19)( 543210 xfxfxfxfxfxfab
+++++− ( ) )(096,12/275 )6(7 ξ− fh
![Page 28: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/28.jpg)
19.6 19.6 19.6 19.6 부등간격의부등간격의부등간격의부등간격의 적분적분적분적분 (1/2)(1/2)(1/2)(1/2)
• 사다리꼴 공식을 각각의 구간에 적용하고 그 결과를 합한다.
여기서 hi = 구간 i 의 폭
I = fn x( )x0
xn∫ dx = fn x( )x0
x1∫ dx+ fn x( )x1
x2∫ dx+L+ fn x( )xn−1
xn∫ dx
I = x1 − x0( )f x0( )+ f x1( )
2+ x2 − x1( )
f x1( )+ f x2( )2
+L+ xn − xn−1( )f xn−1( )+ f xn( )
2
Numerical AnalysisNumerical Analysis
![Page 29: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/29.jpg)
예제 19.6 (부등간격에 대한 사다리꼴 공식 )
� Q. 주어진 데이터에 대한 적분값을 구하라.
참고로 정해는 1.640533이다.
x f(x) x f(x)
0.00
0.12
0.22
0.32
0.36
0.200000
1.309729
1.305241
1.743393
2.074903
0.44
0.54
0.64
0.70
2.842985
3.507297
3.181929
2.363000
Numerical AnalysisNumerical Analysis
594801.12
232.0363.210.0
2
305241.1309729.110.0
2
309729.12.012.0 =
+++
++
+= LI
Sol)
t = 2.8%
0.36
0.40
2.074903
2.456000
0.70
0.80
2.363000
0.232000
![Page 30: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/30.jpg)
19.6 19.6 19.6 19.6 부등간격의부등간격의부등간격의부등간격의 적분적분적분적분 (2/2)(2/2)(2/2)(2/2)
Numerical AnalysisNumerical Analysis
>> x = [0 .12 .22 .32 .36 .4 .44 .54 .64 .7 .8];>> y = 0.2 + 25*x - 200*x.^2 + 675*x.^3 - 900*x.^4 + 400*x.^5;>> trapuneq(x,y)ans =
1.5948
![Page 31: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/31.jpg)
19.7 19.7 19.7 19.7 개구간법개구간법개구간법개구간법
<Newton-Cotes 개구간 적분 공식: 간격의 크기는 h = (b – a)/n임>
)()( 1xfab − ( ) )(3/1 3 ξ′′fh
2
)()()( 21 xfxfab
+− ( ) )(4/3 3 ξ′′fh
구간구간구간구간수수수수((((nnnn))))
점의점의점의점의개수개수개수개수
이름이름이름이름 공식공식공식공식 절단오차절단오차절단오차절단오차
2 1 중점법
3 2
Numerical AnalysisNumerical Analysis
• 짝수 구간-홀수 점 공식이 보통 선호됨
• 정적분의 계산에는 잘 사용 않으며 이상적분을 수행하는데 유용
3
)(2)(1)(2)( 321 xfxfxfab
+−− ( ) )(45/14 )4(5 ξfh
24
)(11)()()(11)( 4321 xfxfxfxfab
+++− ( ) )(144/95 )4(5 ξfh
20
)(11)(14)(26)(14)(11)( 04321 xfxfxfxfxfab
+−+−− ( ) )(140/41 )6(7 ξfh
4 3
5 4
6 5
![Page 32: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/32.jpg)
19.8 19.8 19.8 19.8 다중적분다중적분다중적분다중적분
• 2차원 함수의 평균값
• 이중 적분:
))((
),(
abcd
dydxyxf
f
d
c
b
a
−−
=∫ ∫
Numerical AnalysisNumerical Analysis
- 적분의 순서가 중요하지 않다.
∫ ∫∫ ∫
=
b
a
d
c
d
c
b
adxdyyxfdydxyxf ),(),(
함수 표면 아래의 면적을 구하는 이중 적분
![Page 33: Ch19. Numerical Integration Formulas...19.1 19.1 소개소개및및배경배경 적분: →독립변수x에대한함수f(x)의 구간x= a에서x= b까지의적분 →x= a와b 사이의범위에서](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062914/5e5a31885b7ed145f3677a5d/html5/thumbnails/33.jpg)
예제 19.8 (이중적분의 사용)
� Q. 직사각형 가열판의 온도가 다음의 함수로 표현될 수
있을 때, 판의 길이(x 차원)가 8 m이고 폭(y 차원)이 6 m
인 경우에 평균온도를 계산하라.
Sol)
각각의 y의 값에 대해 x 차원을
72222),( 22 +−−+= yxxxyyxT
Numerical AnalysisNumerical Analysis
따라 사다리꼴 공식을 수행
� y 차원을 따라 적분
최종결과 2688과
평균온도 2688/(6x8)=56
Simpson 1/3 공식을 이용하면
� 정확한 값인 2816과 평균온도가 58.66667