ch ươ ng 1. lý thuy ết c ơ b ản v ề la bàn con quay... 1 ch ương 1. lý thuy ết c ơ...

www.hanghaikythuat.edu.tf

www.hanghaikythuat.tk

1

Chương 1. Lý thuyết cơ bản về la bàn con quay 1.1. Khái niệm về con quay

Nói chung con quay là một cấu trúc gồm có thành phần quay hoặc dao ñộng, và nó cho phép ta ño ñạc và phát hiện sự quay trong không gian quán tính của nền tảng mà trên ñó ta ñặt con quay.

Trong các dụng cụ con quay có hình dạng ñối xứng quay quanh một ñiểm cố ñịnh và sự quay của nó có thể chuyển ñộng tự do trong không gian. Với ñiểm tức thời ñó gọi là ñiểm treo của vật.

- Trong trường hợp ñiểm treo của con quay trùng với trọng tâm của con quay gọi là con quay cân bằng.

- ðối với con quay trong chế tạo la bàn con quay là một con quay có hình dạng là một hình trụ dẹt.

Con quay tự do: Là con quay có tổng mô men ngoại lực tác dụng lên nó bằng 0.

Nếu gọi L là tổng mô men ngoại lực thì: L = 0

1.2. Hệ toạ ñộ sử dụng trong la bàn con quay

1.2.1 Hệ toạ ñộ vuông góc.

- ðiểm 0 trùng với tâm của con quay.

- OX là trục chính của con quay.

- OY, OZ nằm trong mặt phẳng quỹ ñạo chuyển ñộng của con quay.

Trục 0X trùng với trục chính của con quay và con quay quay quanh trục này với vận tốc góc là Ω.

1.2.2 Hệ tọa ñộ oX0Y0Z0 cố ñịnh trong không gian.

Có trục 0X0 trùng với ñường N, S (chân trời), trục 0Z0 vuông góc với mặt phẳng chân trời, trục 0Y0 nằm trong mặt phẳng chân trời và vuông góc với trục 0X0.

Giả sử trong trường hợp ñặt con quay ở một vị trí bất kỳ như trong hình vẽ (1-2). Khi ñó gọi α là góc tiến ñộng và ñược tính như sau:

Hình vẽ 1-1



2

α nằm trong mặt phẳng X00Y0 tính từ 0X0 ñến hình chiếu của trục 0X trên mặt phẳng X00Y0 theo chiều ngược kim ñồng hồ.

β gọi là góc trương ñộng: là góc nằm giữa mặt phẳng X00Y0 và trục 0X với chiều sao cho ta ñứng từ ñầu dương của trục Y, véc tơ góc β sẽ quay ngược chiều kim ñồng hồ.

Các trục Y và Z ñược gắn chặt với con quay và quay cùng với con quay nhưng không tham gia vào chuyển ñộng quay riêng của con quay.

1.2.3 Hệ tọa ñộ OX1Y1Z1.

Hệ toạ ñộ chuyển ñộng trong không gian có trục Z1, Y1nằm trong mặt phẳng quỹ ñạo chuyển ñộng của con quay và quay với con quay quanh trục X.

Hình vẽ 1-2



3

Giả sử con quay quay một góc ϕ quanh trục X khi ñó góc ϕ xác ñịnh bởi ZZ1 hay YY1 và nằm trong mặt phẳng Y0Z. Khi ñó góc ϕ gọi là góc quay riêng của con quay.

Với các góc α, β lập nên bởi 3 hệ toạ ñộ ta có thể xác ñịnh vị trí tức thời của con quay trong không gian.

Trục X0 Y0 Z0

X

Cos β cos α Cos β sin α

Cos (900 - α)

-Sinβ

Y

Cos (900 + α) -sinα

cos α

0

Z

Sin β cos α Sin β Cos (900 + α) sinα

cos β

1.3. Mô men ñộng lượng

Trong phần cơ lý thuyết ta ñã biết:

vmq .=

Nếu lấy một ñiểm I có trọng khối là m

thì khi ñó: ii vmq .=

Với : iq là ñộng lượng tại ñiểm .

Hình vẽ 1-3

Hình vẽ 1-4



4

iv là tốc ñộ dài tại ñiểm ñó.

Giả sử con quay quay với vận tốc góc làΩ thì khi ñó tại ñiểm I cách trọng tâm O một khoảng cách là r thì vận tốc dài tại ñiểm ñó sẽ là:

iv = Ω∧r

m.V : là véc tơ ñộng lượng theo chiều tiếp tuyến của ñường tròn quỹ ñạo ñiểm ñó vẽ lên.

Mô men ñộng lượng kí hiệu là hi

iii vmrh .∧= (1.1)

Ta lấy ñạo hàm bậc 1 của (1) theo thời gian

dt

vdmrvm

dt

rd

dt

hd iiiii

i ×+×=

Trong ñó ñại lượng : ii v

dt

rd= ;

ta có : 0=× iii vm

dt

rd;

Jmrdt

vdmr ii

iii ∧=× (1.2) (Trong ñó J là gia tốc của chất ñiểm)

Từ công thức (2) suy ra LiLdt

Hd =∑= (Trong ñó L là tổng mô men

ngoại lực)

Vậy ñạo hàm của véc tơ mô men ñộng lượng theo thời gian sẽ bằng tổng véc tơ mô men ngoại lực tác dụng vào con quay.

Véc tơ h nằm trên trục XX và có chiều sao cho từ ñó ta nhìn thấy ñiểm A quay ngược chiều kim ñồng hồ.

Mô men ñộng lượng của toàn bộ vật sẽ là:

H = nhhh +++ ...21



5

nhh ..,1 là mô men ñộng lượng của từng phần tử.

H là mô men ñộng lượng toàn bộ.

Khi ñó ñộ lớn:

h1= m1.v1.r1

h2= m2.v2.r2

+..........

hn= mnvn.rn

Do ñó H = ∑=

n

ir ivimi

1 (1.3)

Mà vi = ri.Ω

Vậy: ∑

=Ω=

n

iii rmH

12

Mà Ω tại mọi ñiểm của vật ñều bằng nhau:

Nên H = Ω.∑n

ii rm1

2.

∑n

ii rm1

2. là mô men quán tính của vật kí hiệu là j.

Vậy: H = Ω .j (1.4)

Hình vẽ 1-5



6

Từ (1.4) suy ra véc tơ iH cùng chiều với tốc ñộ góc Ω

Từ công thức mô men quán tính của vật ta thấy:

J =∑n

ii rm1

2.

Mô men quán tính của vật phụ thuộc vào r và m. Muốn tăng mô men quán tính của vật lên ta phải tăng trọng lượng lên do vậy làm tăng kích thước của vật. ðiều này hoàn toàn không có lợi trong chế tạo.

Ta thấy nếu tập trung khối lượng càng xa trục thì càng tăng j lên do ñó người ta cấu tạo con quay như một ñĩa dẹt có khối lượng tập trung ở vành ñĩa

Một ñại lượng khác cũng phụ thuộc vào H ñó là tốc ñộ quay, do ñó ñể tăng Ω bằng cách tăng tần số nguồn ñiện cung cấp cho mô tơ con quay.

Ta có ñịnh lý về mô men ñộng lượng ñược phát biểu như sau:

“ ðạo hàm theo thời gian của véc tơ mô men ñộng lượng ñối với một ñiểm nào ñó của vật bằng mô men ngoại lực chính tác dụng lên vật ”.

Từ (1.2) ta có : iii

i ldt

vdmr

dt

hd =×=

il là mô men ngoại lực tác dụng lên ñiểm i

Ldt

hd = ,trong ñó ∑=n

ihH1

L là tổng mô men ngoại lực tác dụng lên vật.

ðịnh lý có thể phát biểu một cách khác:

“ ðạo hàm theo thời gian của véc tơ mô men ñộng lượng bằng tốc ñộ dài chuyển ñộng của véc tơ ñó”.

Từ (1.5) có: Udt

Hd rr

= (Ur

là véc tơ ñộ dài)

Suy ra: ULrr

=



7

1.4. Các tính chất của con quay

1.4.1 Tính bền vững của con quay.

Con quay ñược gọi là con quay tự do khi mà có tổng mô men các ngoại lực (L) tác dụng lên nó bằng không. Theo ñịnh lý về mô men ñộng lượng của con quay ta có:

0=L suy ra Constdt

Hd = (Tức là ñại lượng hướng không ñổi).

Nếu con quay không bị một ngoại lực nào tác dụng lên con quay thì trục chính của con quay giữ nguyên hướng trong không gian.

1.4.2 Tính tiến ñộng của con quay.

Cũng như ñịnh lý về véc tơ mô men ñộng lượng ta có:

UL

Udt

Hd

yLdt

Hd

yr

r

r

=⇒

=

=

Nếu có một mô men ngoại lực F tác dụng vào trục chính con quay (như hình 1-7) gây mô men ñối với trục y có thành phần véc tơ nằm về chiều dương của trục y.

Hình vẽ 1-6



8

H

L

H

Ut

==ω (1.6)

Từ công thức (1.6) ta có:

- Tốc ñộ góc tiến ñộng của con quay tỷ lệ thuận với mô men ngoại lực và tỷ lệ nghịch với mô men ñộng lượng.

- Với chiều tiến ñộng sao cho ta ñứng theo véc tơ góc tiến ñộng ωñ nhìn thấy véc tơ mô men ñộng lượng H

rtiến tới véc tơ mô men ngoại lực L

rtheo con ñường ngắn

nhất ngược chiều kim ñồng hồ.

Phân tích trường hợp lực tác dụng như hình vẽ (1-8) tìm vận tốc góc tiến ñộng.

Hình vẽ 1-7

Hình vẽ 1-8



9

1.5. Mô men kháng con quay

Giả sử con quay có một lực F tác dụng thì theo ñịnh luật của Niu tơn, con quay

xuất hiện một lực 'F cùng ñộ lớn nhưng ngược chiều, 'FF −= . Ta nhân cả hai vế

r .

FrFr ′∧−=∧

Ở bên phải phương trình là mô men kháng yR , bên trái là mô men con quay với

ngoại lực là yL . Xét chuyển ñộng của một con quay ñồng nhất và ñang quay xung

quanh trục X với vận tốc góc const=Ω . Với lực F = const tác ñộng gây mô men theo chiều dương (+) của trục Y, ta thấy trục chính con quay chuyển ñộng quay quanh trục OZ về trùng với mô men ngoại lực ngược chiều kim ñồng hồ một góc bé nhất;

vận tốc góc tiến ñộng là ñều, có giá trị là: H

Lyt =ω , vì Ly là mô men ngoại lực

không ñổi nên constt =ω .

Bây giờ ta tìm công thức tính mối liên hệ giữa vận tốc góc tω với mô men

ñộng lượng H. Ta có: tHR ω.= .

Hình vẽ 1-9



10

Ta xét một chất ñiểm thứ i có khối lượng im trong con quay, theo cơ lý thuyết

ta coi chất ñiểm này chuyển ñộng phức hợp có gia tốc:

cera JJJJ ++=

Trong ñó, aJ là gia tốc tuyệt ñối , rJ là gia tốc tương ñối, cJ là gia tốc

Cliolit.

Ta xét từng thành phần gia tốc riêng biệt:

+ nr JJJ += τ ; τJ là gia tốc tiếp tuyến, trong chuyển ñộng ñều có giá trị

bằng không; nJ là gia tốc pháp tuyến hướng tâm, nó cân bằng với gia tốc quán tính ly

tâm. Vậy lực quán tính ly tâm trong chuyển ñộng tương ñối là: nir Jmf .−= dấu trừ

(-) trong công thức nó biểu thị ngược chiều với gia tốc pháp tuyến mặt trong mặt phẳng chính con quay ñi qua tâm, không gây mô men bỏ qua không xét

+ Xét thành phần eJ :

Trong chuyển ñộng theo thì trục chính con quay, quay quanh trục OZ ta có:

ener JJJ += τ . Trong ñó τeJ là gia tốc tiếp tuyến trong chuyển ñộng theo bằng

không (vì constt =ω ), lúc này còn lại gia tốc pháp tuyến enJ hướng tâm sinh ra

lực quán tính ly tâm theo:

enie Jmf .−= , nó nằm trong mặt phẳng chính con quay song song với trục

X gây mô men với trục X chỉ làm tăng hoặc giảm vận tốc quay riêng của con quay, không gây tiến ñộng nên bỏ qua.

- Xét gia tốc cJ :

Ta có: rtc VJ ∧= ω.2 ; ñộ lớn ϕω cos...2 Ω= tcJ (1.7)

Hướng của gia tốc theo chiều dương của trục X nó sinh ra lực quán tính Cliolit:

cc Jmf .−= ; dấu trừ (-) trong công thức ngược chiều với gia tốc cJ , ñộ lớn :

ϕω cos....2. rmf tc Ω=

ðể tính khối lượng m, ta xét một phần tử vi phân khối lượng γ.Vm= , trong

ñó V là thể tích của phần tử vi phân, γ là khối lượng riêng.



11

γϕ .... hddrrm=

Trong ñó h là ñộ dày của hình trụ dẹt con quay

Ta thấy cf gây mô men với hai trục:

ϕϕγωϕωγϕ ddrrhrhdrdrf ttc .cos.......2cos...2..... 2Ω=Ω=

Mô men gây với trục Y có ñộ lớn là:

ϕϕγωϕ ddrhrfadR tcy .cos.....2.cos.. 3 Ω== (1.8)

( ϕcos.ra = là khoảng cách từ chất ñiểm ñến trục Y)

ðể xét toàn bộ mô men kháng trên trục Y con quay ta tích phân hai vế phương trình (8), vì con quay là ñồng chất nên γ cố ñịnh và các số là hằng số ta ñưa ra ngoài tích phân, ta có:

Ω=Ω= ∫ ∫ .)...(21

.cos.....2 22

0

2

0

23t

Rty RhRddrrhR ωγπϕϕωγ

π

Trong ñó: MhR =γπ ... 2 ; M là khối lượng toàn bộ con quay.

Vậy ttty HJRMR ωωω ......21 2 =Ω=Ω=

Hình vẽ 1-10



12

Trong ñó: 2. 2RM

J = là mô men quán tính của hình trụ dẹt ñối với trục chính

con quay.

Tính mô men kháng Rz của con quay:

cz fbdR .= ; trong ñó b là khoảng cách từ chất ñiểm thứ i ñến trục Z và có giá

trị là: ϕsin.rb = thay các giá trị trên và tích phân 2 vế ta có:

∫ ∫ =Ω=R

tz ddrrhR0

2

0

3 0.cos.sin.......2π

ϕϕϕωγ

Vì ∫ =π

ϕϕϕ2

00.cos.sin d

Xét trường hợp tổng quát xuất hiện mô men ngoại lực Ly và Lz trên hai trục thì

0≠zR ta có thể viết dạng cụ thể như sau:

zy HR ω∧= , ñộ lớn ),sin(. zzy HHR ωω= ;

yz HR ω∧= , ñộ lớn ),sin(. yyz HHR ωω=

Trong la bàn con quay sin( yH ω, ) = 1 và sin( zH ω, ) = 1, do ñó:

zy HR ω.= và yz HR ω.=

Nhận xét:

- Mô men kháng chỉ tồn tại trong con quay, khi ñặt con quay trên trái ñất thì thành phần vận tốc góc do trái ñất tác ñộng vào con quay gây ra.

- Mô men kháng trong con quay là do lực Cliolit sinh ra.

- Mô men kháng là một ñại lượng véc tơ có hướng ñược xác ñịnh sao cho, khi ñứng theo chiều của nó, nhìn xuống chân thấy véc tơ mô men ñộng lượng chuyển ñộng ngược chiều kim ñồng hồ ñến trùng với vận tốc góc tiến ñộng của con quay một góc bé nhất.

1.6. Ảnh hưởng của ngoại lực tác dụng liên tục và xung lực tới con quay

Ứng dụng phương pháp Kudrevit:

1- Lập hệ toạ ñộ OX0Y0Z0 cố ñịnh.

2- Không tính ñến tốc ñộ góc của quả ñất chuyển ñộng.

3- Lập hệ toạ ñộ OXYZ gắn liền với con quay.

4- Cho con quay lệch sang chiều dương một góc α và chếch lên một góc β.



13

5- Lập các véc tơ tốc ñộ góc βα && ,

6- Xác ñịnh các hình chiếu trên trục Y là q và trên trục Z là R.

Ta có: βαβ cos.; && == Rq

7- Tìm mô men kháng con quay.

Ry = H βα cos.& và Rz = H. β& (1.9)

8- Tìm gia tốc góc α&& và β&& .

9- Xác ñịnh mô men quán tính.

I βα cos&& và Iβ&& (I mô men quán tính ñối với trục Y và Z).

10- Ta giả thiết rằng: Có một lực F tác dụng lên con quay và gây lên mô men ñối với trục OY, véc tơ mô men nằm trên trục Y hướng về chiều dương và cho rằng ngoài mô men ngoại lực ñó không còn mô men nào khác nữa.

11- Tích mô men quán tính ở ñây mô men quán tính bằng 0 vì ñiểm O ñứng yên hoặc chuyển ñộng ñều.

12- Ta cộng các mô men theo các trục Y và Z:

Hình vẽ 1-11



14

−=+

z

yy

RI

LRI

βαβ

cos&&

&&

từ công thức (1.9) ta có

=−=+

0cos

cos

ββαβαβ&&&

&&&

HI

LHI y (1.10)

Giả sử góc lệch quay khỏi vị trí cho trước bé, có nghĩa là cosβ =1.

Từ (1.10) ta có:

=−=+

0βααβ&&&

&&&

HI

LHI y (1.11)

(1.11) là hệ phương trình vi phân tuyến tính ñặc trưng cho chuyển ñộng con quay dưới tác dụng của mô men ngoại lực.

ðưa biến số mới X = α& và Y = β& vào (1.11) ta có:

yLHXYI =+& (A)

0=− HYXI & (B)

Nhân (B) với i sau ñó cộng (A) với (B) chuyển sang biến số phức Z=Y + i.X

Ta có:

yLiHZZI =−& (1.12)

Tìm phương trình tương ñương.

IP – iH = 0 trong ñó P là một nghiệm âm oiPI

Hi ω== ta ñược:

re ti ZNZ o += ω.

Trong ñó: N là hằng số phức bất kỳ; ở ñây cho N = C1 + iC2

C1 & C2 là những số thực thuộc nghiệm của phương trình (1.12).

Zr là nghiệm riêng của phương trình (1.12) Zr= - H

Li

iH

L yy =

ứng dụng công thức ơle ta có thể tính ñược Z:

H

LititCosiCCZ y

oo +++= )sin.)(( 21 ωω .

Ta phân tích nó thành phần thực và phần ảo.

H

LttCosittCosZ y

CCCC +++−= ωωωω 01020201 sin(sin ) (C)

Suy từ (A) ta có các Y và X tương ứng kết hợp với (B) và (C) ta có:



15

++==

−==

H

LttCosX

ttCosy

CC

C

ωω

ωω

α

β

0102

020C1

sin

sinY

&

&

(1.13)

ðể xác ñịnh hằng số C1 và C2 ta có ñiều kiện ban ñầu sau:

Khi t = 0 thì trục chính con quay có toạ ñộ:

α& t = 0 ; 0=oα ; ββ 00 ==t

Thay vào (1.12) ta có: C1 = β0 và C2=-H

Ly

Thay C1 và C2 vào (13) ta có:

++−=

+=

H

Ltt

H

L

tH

Lt

yy

y

ωβω

ωωβ

α

β

000

000

sincos

sin.cos

&

&

(1.14)

Lấy tích phân theo t (14) tìm ñược α và β:

++−−=

+−=

Cyy

Cy

tH

Ltt

H

L

tH

Lt

400

00

0

300

00

0

cos.sin.

cos.sin.

ωω

βω

ω

ωω

ωω

α

ββ&

(1.15)

Dựa vào ñiều kiện ban ñầu ñể tìm C3 và C4.

ðiều kiện như ở trên: t = 0

αα 00 ==t , ββ 00 ==t

Thay vào (15) ta có:

+=

+=

ω

βα

ωβ

0

004

003

C

yC

H

L

(1.16)

Thay C3 và C4 ở (16) vào (15) ta có:



16

+−−+=

+−+=

tH

Lt

H

Lt

ttH

L

yy

y

ωω

ωω

βα

ωω

βω

ω

α

ββ

00

00

00

00

00

00

sin.)cos1(

sin)cos1(&

(1.17)

Biểu thức (1.17) biểu thị quy luật chuyển ñộng của con quay dưới tác ñộng của ngoại lực liên tục nếu phân tích α và β ta rút ra kết luận:

Dưới tác dụng của ngoại lực con quay sẽ hoàn thành chuyển ñộng phức hợp

gồm góc tiến ñộng với tốc ñộ góc tiến ñộng H

Lyt =ω . Ngoài ra còn những dao ñộng

ñiều hoà với tần số là Ω==I

J

I

H0ω (H = JΩ).

Khi tốc ñộ góc quay của con quay lớn thì ω0 có trị số xấp xỉ bằng Ω, biên ñộ dao ñộng ñiều hoà bé. Quỹ ñạo chuyển ñộng của nó hay trương ñộng. Với dao ñộng bé do ta không thể xác ñịnh ñược nó. Trong kỹ thuật người ta không ñể ý tới dao ñộng ñiều hoà ñó mà ta coi như dưới tác dụng của ngoại lực thì con quay sẽ tiến ñộng với

tốc ñộ góc ωt = H

LY

*Kết luận: Tiến ñộng của con quay không có quán tính nghĩa là khi mô men ngoại lực thôi tác dụng thì con quay thôi tiến ñộng ngay. Quán tính của con quay sinh ra trong trường ñộng chứ không sinh ra trong tiến ñộng, do ñó khi có một mô men ngoại lực tác dụng tức thời. Xung lực thì sẽ làm cho con quay có tốc ñộ góc ban ñầu β’ 0. Khi ñó:

−+=

+=

)cos1('

sin

00

00

00

0

0

'

t

t

ωωβ

α

ωωββ

α

β (1.18)

(1.18) là biểu thức xác ñịnh chuyển ñộng của con quay khi có xung lực tác dụng nghĩa là khi LY = 0 còn tốc ñộ β0 ≠ 0 ta thấy con quay sẽ quay xung quanh vị trí ban ñầu của nó theo chiều thẳng ñứng.

1.7. Phương trình rút gọn của chuyển ñộng con quay

=−=+

0βααβ&&&

&&&

HI

LyHI (1.19)

Từ phương trình (19) là phương trình ñầy ñủ của chuyển ñộng con quay dưới tác dụng của ngoại lực: Nếu ta không tính ñến trương ñộng thì (18) trở thành:



17

=−=

z

y

LH

LH

βα&

& (1.20)

(20) là phương trình rút gọn với nghiệm của nó là:

+−=

+==

Cz

Cy

tH

L

tH

L

2

1

β

α (1.21)

Với ñiều kiện ban ñầu t = 0, 0000 , βαα β == == tt

Thay vào (21) ta tính ñược:

==

βα

02

01

CC (1.22)

Thay vào (21) ta có:

−=

+=

tH

L

tH

L

z

y

β

α

β

α

0

0 (1.23)

So sánh với (1.16), nếu bỏ trương ñộng, ta có:

−+=

+=

)cos1(

sin

00

00

00

00

t

t

ωω

βα

ωω

ββ

α

β

Như vậy nghiệm của nó giống nhau.

Tóm lại: Khi có ngoại lực tác dụng vào con quay thì con quay sẽ chuyển ñộng có cả tiến ñộng và trương ñộng. Khi có xung lực tác dụng thì nó quay trong mặt phẳng cân bằng của nó, nghĩa là không lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến.

1.8. Chuyển ñộng quay của trái ñất

Giả sử tốc ñộ góc quay của quả ñất là ωñ ñược phân thành hai phần:

ω1 nói lên sự quay của quả ñất quanh ñường NS.

ω1 = ωñcosϕ ; ω2 = ωñsinϕ



18

ðường NS gọi là ñường tý ngọ. Nếu ta nhìn từ ñầu mút véc tơ ω1 ta thấy phần E luôn ñi xuống, phần W luôn ñi lên. Tại xích ñạo ω1= ωñ có trị số lớn nhất, thành phần ω2 ñặc trưng cho chuyển ñộng của quả ñất quanh trục thẳng ñứng Z,n.

ω2 thay ñổi theo vĩ ñộ người quan sát.

Tốc ñộ góc ωñ = hh 1224

2 Π=Π

1.9. Khảo sát chuyển ñộng nhìn thấy của con quay tự do ñối với mặt phẳng kinh tuyến và mặt phẳng chân trời

Giả sử ta có một con quay tự do mà trục chính của nó hướng lên một ñịnh tinh nào ñó trong không gian có chiều hướng không ñổi. Ngôi sao chuyển ñộng trong vĩ tuyến của thiên thể α ≈ A (α là góc tiến ñộng của con quay A là phương vị của thiên thể).

∆ ≈900 - δ với ñại lượng β và α luôn luôn thay ñổi. Ta có công thức tính ñộ cao thiên thể trong thiên văn:

Sin h = sinϕ . sinδ + cosδ. Cost.

Tương tự ta có: Sin β = sinϕ . sinδ + cosϕ. Cosδ.cost.

Ta lại có công thức tính phương vị trong thiên văn:

CotgA= cosϕ. tgδ. Cost - sinϕ. tgt

Tương tự ta sẽ có: Cotgα = cosϕ. tgδ. Cost - sinϕ. tgt

Nếu ñặt trục chính con quay song song với trục PNPS thì nó chỉ cho ta vĩ ñộ người quan sát:

Hình vẽ 1-12



19

sinβ = sinϕ (24)

∆ ≈ 900 - δ khi δ = 900 thì ∆ = 0

ðiều này có nghĩa là nó nằm trong mặt phẳng kinh tuyến người quan sát và lệch khỏi mặt phẳng chân trời bằng vĩ ñộ người quan sát, còn tất cả các trường hợp khác thì ta ñều thấy trục chính con quay lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến và chân trời.

1.10. Thí nghiệm Fucô

10.1 Thí nghiệm 1.

Fucô ñã dùng con quay và hạn chế chiều quay của nó quanh trục Y.

ðầu tiên ông ñặt nó nằm trong mặt phẳng chân trời và lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến một góc α.

Ta có:

ωx= ωñ. cosϕ. cosα

ωY = ωñ. cosϕ. sinα

ωY là thành phần hữu ích do chuyển ñộng quay của quả ñất gây nên con quay sẽ chuyển ñộng xung quanh trục Y với một tốc ñộ góc ωY. Như vậy con quay ngoài chuyển ñộng với tốc ñộ góc Ω còn quay quanh trục Y một tốc ñộ góc ωY.

Do hạn chế chiều quay quanh trục Y sẽ sinh ra một mô men kháng Ry. Dưới tác dụng của mô men kháng Ry con quay sẽ chuyển ñộng quanh trục Z và ñi về mặt

phẳng kinh tuyến với vận tốc góc H

Ryt=ω

Ry= H.ωt = H.ωtcosϕ sinα

Chu kỳ dao ñộng của con quay:

Hình vẽ 1-13



20

ϕωω cos..20

22

tjIT ΩΠ=Π=

Nếu không có ma sát thì nó là dao ñộng không tắt.

Nếu có ma sát thì nó là dao ñộng tắt dần.

1.10.2 Thí nghiệm 2.

Hạn chế chiều quay của nó quanh trục Z.

ðặt con quay có vị trí ban ñầu nằm trong mặt phẳng kinh tuyến trục chính lệch với PNPS một góc θ. Như vậy con quay có thể quay quanh trục X và Y.

Ta phân tích ωñ ra làm hai thành phần ωX và ωY

- Thành phần ωX làm cho con quay quay quanh trục X trục chính con quay không biến ñộng.

- Thành phần ωZ làm cho con quay, quay quanh trục Z.

Như vậy thành phần ωX làm cho con quay quay chậm ñi với tốc ñộ góc ωX = ωñ cosθ, thành phần ωZ = ωñ sinθ là thành phần do chuyển ñộng trái ñất gây nên.

Trong trường hợp này con quay ngoài chuyển ñộng tự quay với tốc ñộ góc Ω còn tiến ñộng quay trục Z với ωZ = ωñ sinθ.

Do hạn chế chiều quay của con quay quanh trục Z nên sinh ra một mô men kháng RZ làm cho trục chính con quay quanh trục Y trở về trục PNPS.

Qua thí nghiệm thứ 2 của Fucô này cho chúng ta thấy nếu ta hạn chế chiều quay của con quay quanh trục Z thì trục chính con quay chỉ vĩ ñộ nơi ñặt máy.

Chu kỳ dao ñộng của con quay ñến trục và trụ là:

Hình vẽ 1-14



21

ωdj

IT

.2

ΩΠ=

Chu kỳ này không phụ thuộc vào vĩ ñộ người quan sát.

1.11. Các phương pháp biến con quay thành la bàn con quay.

1.11.1.Phương pháp hạ thấp trọng tâm con quay.

Hạ thấp trọng tâm của con quay bằng cách hạ thấp trọng tâm ở phần vỏ của nó.

ðầu tiên ñặt trục con quay song song với mặt phẳng chân trời và lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến một góc 900.

ðoạn OG = a

- Xét trường hợp I: Trọng lượng P ñi qua gốc toạ ñộ nên không gây mô men với trục nào cả.

- Xét trường hợp II: Do quả ñất quay ñi một góc β do ñó P ñược phân làm 2 thành phần.

P1 = P. sinβ

P2 = P. cosβ

Thành phần P2 ñi qua gốc toạ ñộ không gây mô men với trục nào cả. Thành phần P1 gây mô men với trục Y. Thành phần véc tơ mô men này có chiều hướng theo chiều dương trục Y, trên hình vẽ có hướng từ trong ra ngoài. Thành phần Ly làm cho con quay tiến ñộng quanh trục Z với vận tốc góc ωt .

Do Ly nằm trong mặt phảng kinh tuyến NS do ñó trục chính của con quay sẽ ñi

về mặt phẳng kinh tuyến NS với vận tốc góc tiến ñộng là H

Lt=ω

Hình vẽ 1-15



22

L = P.l = P.a sinβ ⇒ ωt = H

mga βsin. (1.25)

ðặt mga = B là mô men trọng lực lớn nhất thay vào (1.25) ta có:

H

Bt

βω

sin.= (1.26)

Trong trường hợp góc lệch bé thì: sinβ ≈ β

Thay vào (26) ta có góc tiến ñộng con quay là βωH

Bt =

Như vậy trục chính Hr

luôn chỉ về N (ñối với con quay có trọng tâm thấp).

Nếu ñặt vị trí trục chính con quay ban ñầu lệch với mặt phẳng kinh tuyến một góc α về phía E và song song với mặt phẳng chân trời. Trong chuyển ñộng quay của trái ñất thì phía E mặt phẳng chân trời luôn luôn ñi xuống; Do ñó trục chính con quay vừa về hướng N vừa ñi lên có nghĩa là tồn tại ωt, β. Những thành phần trên làm cho trục con quay vừa ñi lên lại vừa sang N ñến khi gặp mặt phẳng kinh tuyến thì β lớn

nhất, nghĩa là βωH

Bt = lớn nhất. Thành phần ωt lớn nhất ở kinh tuyến do ñó trục

chính con quay không thể dừng lại ở ñó ñược mà vẫn tiếp tục sang (W).

Mặt phẳng chân trời ở W ñi lên, trục chính con quay ñi xuống cho ñến khi trục chính con quay gặp mặt phẳng chân trời phía W thì β = 0, ỏ = -ỏ max. Trục chính con quay chuyển ñộng về hướng N và ñi xuống cho ñến khi gặp mặt phẳng kinh tuyến thì ỏ = 0, õ = -õ max. ðiều này cũng có nghĩa là vẫn tồn tại mô men Ly làm cho trục chính con quay không dừng lại mà tiếp tục chuyển ñộng sang phía E ñể hoàn thành một chu kỳ dao ñộng không tắt của nó.

Nếu ñem trải ra mặt phẳng, quỹ ñạo chuyển ñộng của ñầu nút trục chính con quay chuyển ñộng trên thì nó là một hình elíp dẹt.

Tóm lại con quay có trọng tâm thấp hoàn toàn thành một chu kỳ dao ñộng không tắt quanh mặt phẳng kinh tuyến, quỹ ñạo ñầu mút trục chính con quay là một hình elíp dẹt.



23

1.11.2 Phương pháp dựng bình thuỷ ngân thông nhau.

ðể biến con quay thành la bàn con quay người ta sử dụng bình thuỷ ngân N, S thông nhau ( hiện nay chất lỏng thuỷ ngân có thể thay thế bằng một chất lỏng khác có tính chất tương ñương)

Giả sử tại vị trí 1: ðặt trục chính con quay lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến một góc 900 và song song với mặt phẳng chân trời do vậy không có lượng thuỷ ngân dư sinh ra.

Khi quả ñất quay làm lệch mặt phẳng chân trời với trục chính con quay một góc β. Tại vị trí 2, làm cho thuỷ ngân dịch chuyển từ bình nọ sang bình kia sinh ra một lượng thuỷ ngân dư có trọng lượng là P.

Hình vẽ 1-16

Hình vẽ 1-17



24

Từ hình vẽ ta thấy mức nước Hg ở bình N cao hơn bình S do ñó Hg chảy từ bình N ñến S sinh ra lượng thuỷ ngân dư có khối lượng là P gây mô men ñối với trục Y.

Phân tích P làm 2 thành phần

P1 = P.sinβ: Không gây mô men ñối với một trục nào.

P2 = P.cosβ: gây mô men ñối với trục Y, mô men Ly có hướng về phía sau con quay dẫn ñến xuất hiện ωt làm cho ñầu N của trục chính con quay tiến về phía S ngược với trường hợp con quay có trọng tâm thấp.

ωt =H

Ly Ly = P2ρ

P2 = V.γ.g.cosβ; V=2.s.ρ.tgβ

Ly = 2s.ρ.tgβ.γ.g.ρ.cosβ = 2ρ2s.tgβ.γ.g.cosβ

Ly = C.sin β với C = 2ρ2.s.γ.g

Trong ñó:

- γ là khối lượng riêng của chất lỏng

- s là thiết diện của ống

- ρ là khoảng cách từ tâm con quay ñến tâm của khối chất lỏng dư.

- g gia tốc trọng trường ( 9,8 m/s2)

- C gọi là mô men trọng khối lớn nhất.

Trường hợp góc lệch bé sinβ ≈ β, ta có: Ly = C.β

Thành phần Ly làm cho trục chính con quay tiến ñộng với vận tốc là

βωH

Ct =

Tóm lại ta thấy trục chính con quay lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến một góc β nào ñó thì nó cũng sẽ trở về mặt phẳng kinh tuyến. Bởi có góc β khi mặt phẳng chân trời quay quanh ñường NS sinh ra vận tốc góc ωt phụ thuộc vào góc lệch β nó cũng như con quay có trọng tâm thấp sẽ dao ñộng không tắt quanh mặt phẳng kinh tuyến. Quỹ ñạo của ñầu nút trục chính con quay trên mặt phẳng là một hình elíp dẹt.

Chương 2. Lý thuyết về con quay

chuyển ñộng trên nền cố ñịnh 2.1. Khảo sát chuyển ñộng của la bàn con quay có bình thuỷ ngân thông nhau

Trước tiên ñặt sao cho trục chính của la bàn con quay lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến một góc α và chênh một góc β.



25

Hq có chiều sao cho H tới q theo chiều ngược chiều kim ñồng hồ với góc bé nhất.

Mô men r hướng về âm và q hướng âm vì thành phần gây mô men ở ñây xét là thành phần do sự quay của quả ñất làm cho sinh cột dầu dư ñể có ñược góc tiến ñộng.

Thành phần:

ωz = ω1 cosα cos(900 - β) = ω1 cosα sinβ

ωY = ω1 sinα

α& là vận tốc góc con quay, quay quanh trục Z

β& là vận tốc góc con quay, quay quanh trục Y

Với trục Z: - H(β& - cosϕ sinα) = 0

Trong kỹ thuật người ta thường bỏ qua giá trị a mà vẫn ñảm bảo ñược kỹ thuật vì cosϕ, cosα, cosβ ñều nhỏ hơn 1.

Với góc lệch α và β bé thì ta có:

Sin α ≈ α Sinβ ≈ β

Cosα ≈ 1 Cosβ ≈ 1

Thay vào phương trình trên ta ñược:

H (α& - ωñsinϕ) + Cβ = 0 (2.1.a)

-H ( β& - ωñcosϕ . α) = 0 (2.1.b)

Hình vẽ 2-1



26

(2.1a, 2.1b) là hệ phương trình vi phân chuyển ñộng của con quay có bình thuỷ ngân thông nhau.

Lấy phương trình (2.1.a) vi phân lần nữa ta có:

H βα &&& C+ (theo góc) ta có )(−= αβC

H suy ra αβ &&&

C

H−=

ðưa β& vào (1.b) ta sẽ có:

-H ( −− α&&C

H ωñcosϕ.α) = 0

Hay +α&&CH 2

Hωñcosϕ.α = 0 (2.2)

Trong phương trình biểu thị dao ñộng của con lắc vật lý ta có:

α&&I + mglα = 0 (2.3)

Trong ñó:

m:khối lượng con lắc.

l: chiều dài cánh tay ñòn.

g: gia tốc trọng trường

I: Mô men quán tính ñối với trục lắc.

So sánh (2.2) với (2.3) ta thấy:

CH

2

tương ứng với I gọi là mô men quán tính ñộng.

Hωñcosϕ ứng với mgl (là mô men quán tính hồi của con lắc) gọi là mô men ñịnh hướng của con quay.

Trường hợp ñã ñịnh hướng với một góc α nào ñó thì: Hωñcosϕα

Bây giờ ta ñi tìm nghiệm riêng của phương trình (2.2) nó ñặc trưng cho vị trí cân bằng ñộng của trục chính con quay.

ở vị trí cân bằng ñộng thì α& và α&& = 0, α = αr do ñó αr = 0 là nghiệm của phương trình tại vị trí cân bằng ñộng. Vậy trục chính của con quay ở vị trí cân bằng ñộng nằm trong mặt phẳng kinh tuyến.

Ta có thể viết (2.2) dưới dạng khác:

0.cos2

=+ αϕα ωdH

CH &&

0.cos....cos 2

02=+=+=+ αααϕααϕα ω

ωω&&&&&&

H

CHCH dd

H



27

Trong ñó: H

C d ϕωω

cos20 =

Giải phương trình trên theo phương pháp ơle ta sẽ có nghiệm:

=α C1cosω0t + C2sinω0t (2.4)

Với ñiều kiện ban ñầu:

t = 0, sinω0t = 0

cosω0t = 1

0=α& tại t = 0

α = α0 thay vào (4) ta có:

α0 = C1 + 0 ⇒ C1 = α0

α0 là góc lệch ban ñầu của con quay.

Lấy vi phân (4) theo thời gian ta có:

α& = - C1ω0sinω0t + C2ω0cosω0t

Thay ñiều kiện ban ñầu ta sẽ có:

0 = 0 + C2ω0 suy ra C2 = 0

Vậy nghiệm của phương trình là:

α = α0cosω0t (2.5)

(5) là phương trình biểu thị quy luật chuyển ñộng của con quaycó bình thuỷ ngân thông nhau trong mặt phẳng phương vị.

Kết quả ta thấy con quay sẽ hoàn thành dao ñộng không tắt trong mặt phẳng phương vị với chu kỳ.

T0 = 2ϕω cos

dC

HΠ ; (T0 = 2ϕω cos.. dH

IΠ )

Nếu so sánh chu kỳ dao ñộng không tắt của la bàn con quay có bình thuỷ ngân thông nhau với chu kỳ dao ñộng của con quay (thí nghiệm 1 của Fucô) thì T0 Fucô nhỏ hơn.

Xét trục chính của con quay trong chuyển ñộng theo chiều cao.

Ta gọi vị trí cân bằng ñộng của trục chính con quay theo chiều cao là βr

Từ phương trình (1.a)

H(α - ωñsinϕ) + Cβ = 0 (2.6)

Tại vị trí cân bằng ñộng thì α = 0 thay vào (6) ta có:

H ωñsinϕ = Cβ suy ra βr = C

H d ϕω sin (2.7)



28

Như vậy tại vị trí cân bằng ñộng thì trục chính con quay nằm trong mặt phẳng

kinh tuyến và chênh một góc βr = C

H d ϕω sin; Như vậy có một cột thuỷ ngân dư

có trọng khối Pm nào ñó tạo thành mô men trọng lực là Cβr. Thành phần mô men này làm cho trục chính con quay tiến ñộng với một vận tốc góc:

H

rCt

βω =

Tại vị trí cân bằng ñộng thì α& = 0 nghĩa là vận tốc góc riêng của con quay ñối với mặt phẳng kinh tuyến do ñó ωt = ω2 = ωñsinϕ. ðiều này có nghĩa là trục chính con quay ở vị trí cân bằng ñộng sẽ tiến ñộng với vận tốc góc bằng vận tốc góc của kinh tuyến con quay quanh trục thẳng ñứng.

Như vậy trục chính con quay sẽ nằm trong mặt phẳng kinh tuyến.

Từ (1.a) ta có:

H (α& -ωñsinϕ) + Cβ = 0

hay Hα& + Cβ = H ωñ sinϕ Từ (2.7) ta sẽ có:

Hα& + Cβ = Cβr (8)

(βr là góc trương ñộng ở vị trí cân bằng ñộng).

Lấy vi phân (2.5) theo thời gian ta có:

α& = - α0ω0sinω0t (2.9)

Thay (9) vào (8) ta có:

-Hα0ω0sinω0t ± C.β = C.βr

Suy ra β - βr = tC

Hωαω

000 sin (2.10)

Tóm lại ta có:

(2.10) là phương trình biểu thị trục chính của con quay chuyển ñộng trong mặt phẳng kinh tuyến theo chiều thẳng ñứng.

(2.5) là phương trình biểu thị trục chính con quay chuyển ñộng trong mặt phẳng nằm ngang.

Nếu tiếp tục phân tích chuyển ñộng của trục chính con quay sẽ rút ra những kết luận sau:

1. Chuyển ñộng của la bàn con quay có bình thuỷ ngân thông nhau theo các toạ ñộ α và β là dao ñộng ñiều hoà ở vị trí cân bằng ñộng thì toạ ñộ của nó ñược xác ñịnh:

αr = 0

βr = C

Hd

ϕω sin

2. Cả hai chuyển ñộng ñiều hoà ñó ñều có chu kỳ là:



29

T0 = 2ϕω cos

dC

HΠ nhưng lệch pha nhau 900

3. Phương trình quỹ ñạo của ñầu nút trục chính con quay là:

Muốn tìm quỹ ñạo của nó ta khử t trong biểu thức (2.5) và (2.10).

Từ (2.5) ta có: α

α0

= cosω0t (2.11)

Từ (10) ta có: ( )

tH

Crω

αωββ

000

sin=− (2.12)

Bình phương hai vế của (2.11) và (2.12) ta có:

tdωαα

cos220

2

= (2.13)

( )αω

ββ20

20

2

22

H

Cr− = sin2ω0t (2.14)

Cộng (13) với (14) ta có:

+αα

2

0

2 ( )αω

ββ20

20

2

22

H

Cr−=1 (2.15)

Biểu thức (15) cho ta thấy quỹ ñạo chuyển ñộng của trục chính con quay là một

ñường elíp có toạ ñộ O, βr và bán kính trục lớn là: αα

2

0

2

và bán kính trục nhỏ là:

( )αω

ββ20

20

2

22

H

Cr−

ðó là một hình elíp dẹt mà mắt thường chúng không nhìn thấy ñược.

2.2. Bộ phận tạo dao ñộng tắt dần của la bàn con quay

2.2.1 ðối với la bàn có trọng tâm thấp.



30

Trên ñầu của con quay người ta gắn 2 bình dầu thông nhau. Một bình N và một bình S. Khi bình dầu nghiêng ñi một góc nào ñó thì sẽ gây ra một lượng dầu làm cho chu kỳ dao ñộng của con quay tắt dần.

Như vậy người ta cấu tạo 2 bình và thiết diện ống thông nhau sao cho dao ñộng của dầu trong bình với dao ñộng của bình lệch nhau 1/ 4 chu kỳ. Khi ñó nếu bình nghiêng ñi 1/ 4 chu kỳ thì khối lượng dầu ở trong bình vẫn bằng nhau. Khi bình trở lại vị trí ban ñầu thì khối lượng dầu dư ñạt cực ñại. Nghĩa là sự dao ñộng của dầu trong bình lệch 1/ 4 chu kỳ so với sự lắc của con quay.

Khi con quay trở về vị trí ban ñầu thì dầu mới chảy từ bình này sang bình khác ñạt cực ñại.

Lượng dầu dư P1 sẽ gây ra mô men Ly1 gây ra tiến ñộng Ht

C βω 1

1

=

Còn P gây tiến ñộng Htβω =

1

(β ñối với con quay có trọng tâm thấp).

P1 sẽ gây tiến ñộng phụ còn P sẽ gây tiến ñộng chính.

Hai thành phần P1 và P gây tiến ñộng có khi cùng chiều nhau và có khi ngược chiều nhau.

Do ñó dao ñộng của trục chính con quay sẽ không phải là hình elíp nữa mà sẽ là dao ñộng tắt dần theo ñường xoắn ốc và cuối cùng sẽ ổn ñịnh ở mặt phẳng kinh tuyến.

Trong các góc 1/4 thứ 1 và thứ 3 thì dao ñộng ngược chiều có lợi và trong 1/4 còn lại dao ñộng cùng chiều sẽ có lợi.

Ta thấy phương pháp này ñược ứng dụng trong la bàn 2 con quay như Kype 4, RFT (ðức), AMYP (Nga), Hukushin (Nhật).

Hình vẽ 2-2



31

2.2.2 ðối với la bàn có bình thuỷ ngân thông nhau.

ðể biến con quay thành dụng cụ chỉ hướng thì phải triệt tiêu dao ñộng không tắt. Người ta dùng hai phương pháp:

a. Gắn lệch bình thuỷ ngân ñi một góc ε.

Góc ε thường = 1,50 ÷ 20 và gắn lệch sang W, và người ta chia hai bình thành 4 bình thông nhau.

Khi trục chính con quay lệch khỏi mặt phẳng chân trời một góc β thì sẽ sinh ra một cột thuỷ ngân dư sinh ra Ly và gây lên mô men Lz (Do gắn lệch mô men Ly = D.sinε.β ; Lz = D.cosε.β), ε bé do ñó:

Ly = D.β .ε Lz = D.β

D là mô men trọng khối do khối lượng chất lỏng dư gây ra.

Thành phần Ly làm cho con quay tiến ñộng quanh Z còn Lz làm cho con quay tiến ñộng quanh Y. Lz làm cho góc β nhỏ ñi, dẫn tới ωt nhỏ ñi do ñó dao ñộng này sẽ tắt dần.

Phương pháp này dùng trong GK (Nga) và Spery (Mỹ).

b. Gắn bình thuỷ ngân vào vòng ñứng gắn một vật nặng về phía W.

Giả sử ñầu N của trục chính con quay lệch khỏi mặt phẳng chân trời một góc là β, thì P phân làm 2 thành phần, một thành phần song song với X

( P x) gây mô men với trục Z là Lz và gây mô men với trục Y là Ly. Thành phần song song với trục Z (Pz) gây mô men với trục X không làm tiến ñộng cho con quay bỏ qua không xét thành phần này.

Hình vẽ 2-3



32

Ta có mô men trên các trục:

ðộ lớn: Lz = P. a. sinβ

Lx = P. a. cosβ (không xét)

Ly = P. a1. sinβ

a là khoảng cách từ trục Z ñến trọng tâm của vật nặng phía W

a1 là khoảng cách từ trọng tâm vật nặng ñến trục Y

Trong phạm vi góc β bé sinβ ≈ β.

ðặt P.a = D , P. a1 = D1 gọi là mô men trọng khối của vật nặng phía Tây

Thành phần Lz kết hợp ñưa trục chính con quay về mặt phẳng chân trời, thành phần Ly cùng với mô men tiến ñộng chính do khối lượng thuỷ ngân dư tạo ra ñưa trục chính con quay về mặt phẳng kinh tuyến N, S của trái ñất.

Như vậy trục con quay ñồng thời tham gia hai tiến ñộng : tiến ñộng về mặt phẳng chân trời và tiến ñộng về mặt phẳng kinh tuyến NS theo một quy luật xoắn trôn ốc tắt dần.

Phương pháp này thường ñược áp dụng trong la bàn con quay MRK của Nga, Tokyo Keiky của Nhật.

2.3. Khảo sát dao ñộng tắt dần của la bàn con quay có bình thuỷ ngân thông nhau ñặt trên nền cố ñịnh

Bây giờ ta thành lập phương trình vi phân chuyển ñộng tắt dần của con quay có bộ phận tạo dao ñộng. Từ một hệ phương trình với chuyển ñộng không tắt của con quay ta cộng thêm một mô men Lz vào trường hợp ñầu N của trục chính con quay lệch khỏi chân trời một góc β ñi lên và mô men trên trục Y . Ta có hệ phương trình sau:

Hình vẽ 2-4



33

( ) 0sin =+− βϕα ω CH d& với Ly = Cβ. (2.16 a)

- ( ) 0cos =−− βαβ ω DH d& với Lz = Dβ (2.16 b)

Xét với con quay có trọng tâm thấp ta cũng có phương trình tương tự.

Nếu ta thay (16 a) và (17 b) H = (- H) ; - Cβ = +Cβ ; - Dβ = Dβ

Giải hệ phương trình (16 a, 16 b)

Từ (16 a) ta có: ϕαβ ω sindC

H

C

H +−= & (2.17)

ðạo hàm (17) theo α và β ta có:

αβ &&&

C

H−= (2.18)

thay (18) vào (16 b) ta sẽ có:

- H 0coscos =

−−−

−− ϕαϕα ωω ddC

H

C

HD

C

H&&&

Hay 0sin.cos2

=−++ ϕααϕα ωω ddH

C

DH

C

DHH

C&&& (2.19)

Tìm nghiệm riêng của phương trình (19) bằng cách thay ñiều kiện ñầu vào phương trình.

Ta có tại vị trí cân bằng ñộng thì 0== αα &&&

Thay α& và α&& vào (19) ta có:

ϕαϕ ωω sin.cos ddC

DHH =

Tại vị trí cân bằng ñộng α = αr ta sẽ có:

ϕα tgC

Dr = (ðơn vị: Radian) (2.20)

Công thức (20) cho ta vị trí cân bằng ñộng của con quay trong mặt phẳng phương vị. Vậy tại vị trí cân bằng ñộng trục chính con quay không nằm trong mặt phẳng kinh tuyến mà lệch sang ñông một góc αr nếu trục chính chênh lên phía trên ở ñầu N. Tại phía S thì ngược lại.

Ta gọi sai số tắt dần của con quay là αr ñược ký hiệu là;

ϕδ tgC

Dd = (ðơn vị: Radian)



34

Muốn khử sai số ñó ta dịch chuyển trọng tâm của con quay về phía S của trục chính con quay sao cho mô men trọng lượng con quay sẽ tạo nên tiến ñộng trong mặt phẳng phương vị với tốc ñộ góc bằng ωñsinϕ có hướng từ E ñến W.

Khi ñó phương trình (2.16 a, 2.16 b) có dạng:

( ) 0=+ βα CH & (a)

- 0.cos =−+ βαϕβ ω DHH d& (b)

Từ (a) ta có: αβ &C

H−= (c)

Từ (c) ta có: αβ &&&

C

H−= (d)

Thay (c), (d) vào (b) ta có:

0cos2

=++ αϕαα ω &&&C

DHH

Cd

H (e)

Tại vị trí cân bằng ñộng 0== αα &&& ; α = αr.

β = βr. Thay vào (e) và (c) suy ra

αr = 0 và βr = 0 (2.21)

(2.21) là toạ ñộ vị trí cân bằng ñộng của trục chính con quay.

ðể tìm chu kỳ dao ñộng tắt dần của con quay ta ñi tìm nghiệm riêng của phương trình (e) không có vế phải.

0cos2

=++ αϕαα ω &&&C

DHH

Cd

H

Dạng khác:

0cos =++ αϕαα ω&&&

H

D

H

Cd

ðặt ;2hH

D = ωω ϕ 2

0cos =H

Cd (2.22)

Khi ñó ta có:

02 0 =++ ααα ω&&& h

và nghiệm sẽ là:

( )e tjCe tjCe ht hh .2.120

220

2 ωωα −−−− +=

Dùng công thức ơle ñể biến ñổi ta có:

α = e-ht(C1cosωñt + C2sinωñt) (2.23)



35

Với tần số góc tắt dần: ωñ = h220 −ω

Vậy nghiệm của phương trình vi phân tổng quát khi có vế phải

α = e-ht(C1cosωñt + C2sinωñt) + αr (*)

= e-ht(C1cosωñt + C2sinωñt) + ϕtgC

D

Tương tự ta có: β = )sincos( 21 tCtCe ddht ωω +− +

C

H d ϕω sin.. (**)

Trong ñó C1 , C2 , C3 , C4 là hằng số tích phân ñược xác ñịnh theo ñiều kiện ñầu.

Tại t = 0 thì oαα = thay vào phương trình (*) ta có : 01 α=C

Tại t = + 0 thì 0== oαα && thay vào phương trình (*) ta có : 02 =C

Tương tự ta có: 03 =C ; d

Cωβ0

4

&=

Vậy phương trình tổng quát (*) (**) là:

C

Hte

tgC

Dte

dd

ht

d

dht

ϕωωωββ

ϕωαα

sin...sin.

.cos.

0

0

+=

+=

−

−

&

Nhìn vào phương trình trên ta có nhận xét như sau:

- Dao ñộng của trục chính con quay trong mặt phẳng phương vị (α ) là tắt dần theo quy luật của hàm cos, theo mặt phẳng chiều cao (β ) theo quy luật của hàm sin. Tổng hợp hai dao ñộng trục chính con quay về mặt phẳng kinh tuyến NS và mặt phẳng chân trời là một ñường xoắn trôn ốc tắt dần.

- Chu kỳ dao ñộng

hT

dd 22

0

22

−

Π=Π=ωω

so với chu kỳ dao ñộng không tắt ω 0

0

2Π=T (2.24)

Vậy Tñ > T0 (2.25)

- Vĩ ñộ càng cao thì chu kỳ dao ñộng càng lớn, thời la bàn con quay về mặt phẳng kinh tuyến (NS) càng chậm.



36

- Góc lệch trục chính con quay khỏi mặt phẳng kinh tuyến 0α càng lớn, thời

gian về mặt phẳng kinh tuyến càng chậm và ngược lại.

- Muốn khởi ñộng la bàn con quay thì ta phải khởi ñộng trước từ 4 ñến 6 giờ.

- ðặc trưng cho hệ số tắt dần ta ñưa ra hệ số

f =( )α

ααα

αα

αα

14

3

3

2

2

1 .....+

===n

n =-eTdh2

.

dấu (-) trong công thức biểu thị biên ñộ giảm dần theo thời gian

Qua thực nghiệm ta thấy tại vĩ ñộ chuẩn ϕ* thì chu kỳ của nó Tñ = 84,4m.

Ta có bảng quan hệ giữa T0, Tñ tại những vĩ ñộ ϕ khác nhau:

ϕ0 0 20 30 40 50 60 70 80

T0 60 62 65 68 74 84 103 140

Tñ 62 65 68 73 80 92 112 190

Chương 3. Ảnh hưởng chuyển ñộng của

tàu ñối với la bàn ñặt trên tàu

3.1. Sai số tốc ñộ của la bàn con quay

Trái ñất của chúng ta ñược xem như một hình cầu và luôn quay quanh mình nó với vận tốc góc là ự d . Khi tàu hành trình trên biển tức là nó ñang thực hiện một chuyển ñộng phức hợp. Do la bàn con quay ñược ñặt trên tàu nên nó cũng tham gia vào các chuyển ñộng của tàu. Trong các chuyển ñộng ñó thì chuyển ñộng thẳng ñều ñã gây ra sai số tốc ñộ cho la bàn con quay.

Sai số tốc ñộ của la bàn con quay phát sinh khi tàu chuyển ñộng với tốc ñộ và hướng không ñổi.

Giả sử ta có tàu chạy với HT = const và vận tốc V không ñổi.

Phân tích V theo 2 thành phần:

==

HTV

HTV

vv

E

n

sin

cos (3.1)

Ta xem con tàu chuyển ñộng trên quả ñất theo một ñường cong nó là chuyển ñộng tương ñối còn chuyển ñộng của tàu theo trái ñất gọi là chuyển ñộng theo.

Ta lập hệ toạ ñộ chân trời ñi qua trọng tâm tàu: N, E, r.



37

Giả sử tàu chuyển ñộng quanh trái ñất với vận tốc V. Phân V thành 2 thành phần Vn và VE. VE biểu thị tàu chuyển ñộng quanh Pn, Ps

Hình vẽ 3-1

HT

Nt

V

E



38

r

V EPP sn

=ω

r = Rñ cosϕ

Suy ra ϕ

ωcosd

EPnPs

RV=

Tàu chạy theo cung vòng lớn với vận tốc ω là:

d

n

RV=ω

Bây giờ ta ñi tìm hình chiếu véc tơ lên 3 trục N, E, n của các thành phần:

ϕcosd

E

RV

; ωñ ;

d

n

RV

Chiếu lên trục N ta có:

d

Ed

RV

U += ϕω cos1

Lên trục E:

d

n

RV

U −=2 (3.2)

Lên trục n: ϕϕϕ

ω sinsincos

3 d

d

E

RV

U −−=

Thay (3.1) vào hệ (3.2) ta có:



39

ω1 = ωñ cosϕ +

dR

HTV sin

ω2 =-

dR

HTV cos

ω3 = - ϕϕϕ

ω sinsincos

sind

dR

HTV −

Với các thành phần U1, U2, U3 ta thành lập phương trình chuyển ñộng của con quay có bình thuỷ ngân thông nhau có tính ñến cả chuyển ñộng của tàu so với trái ñất.

ở ñây ta coi tàu tham gia gồm chuyển ñộng tương ñối và chuyển ñộng theo, do ñó ta chỉ kể ñến 2 thành phần U1 và U2.

Ta vẽ các véc tơ mô men ñộng lượng, véc tơ mô men kháng. Sau ñó lấy tổng hình chiếu các véc tơ mô men lên các trục cho cân bằng và rút gọn ta sẽ có.

( ) 0.3 =+− βα CUH & (a)

[ ] 0)( 21 =+− UUH αβ& (b)

ðây là hệ phương trình vi phân chuyển ñộng của con quay khi có sai số tốc ñộ. ðể xác ñịnh sai số ta tìm nghiệm riêng của phương trình trên tức là tìm vị trí cân bằng

ñộng tại vị trí cân bằng ñộng tại vị trí cân bằng α = αr suy ra 0=α& ; β = βr suy ra

0=β&

Thay 0=α& vào (a) suy ra βr = C

UH 3. thay

ϕϕω tgR

HTVU

d

od

sinsin(3 +=

Thay β& = 0 vào (b) suy ra

1

2

U

Ur −=α

)sin

sin( ϕϕωβ tgR

HTV

C

H

d

odr +=

Hình vẽ 3-2



40

Thay giá trị HTVR

HTV

R

VR

R

V

dd

d

Edd

d

N

r sin.cos..

cos.

. +−=

+=

ϕωωα (Rad)

αr gọi là sai số tốc ñộ.

Vậy khi tàu ñi với hướng HT không ñổi và vận tốc không ñổi thì trục chính con quay cũng sẽ lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến một góc αr.

Từ phương trình trên ta thấy αr phụ thuộc vào vận tốc và hướng ñi của tàu. Nếu V càng lớn thì αr càng lớn và nếu HT lớn thì αr nhỏ dần.

Dấu (-) biểu thị trục chính con quay lệch sang E sẽ mang dấu (+) như vậy tàu ñi trong góc 900- 2700 thì αr mang dấu (+).

Trục chính con quay lệch sang W mang dấu (-).

Như vậy tàu ñi trong các góc phần tư 00 – 900; 2700 – 3600 αr mang dấu (-) trục chính con quay lệch sang W.

Tàu ñi về xích ñạo thì αr càng bé và tàu ñi về cực thì αr càng lớn.

Tàu ñi theo hướng NS thì αr = 0, tàu ñi theo hướng EW thì αr max.

Nếu ta tính theo hướng la bàn thì ta sẽ có HT = HL + δv (δv là sai số la bàn) khi δv bé ta có thể thay δv = tgδv.

Thay δv = αr

δv = ( )δωδ

ϕ vd

v

HLVRd

HLV

+++−

sincos

)cos(

tgδv = ( )δωδ

ϕ vdd

v

HLVR

HLV

+++−

sincos

)cos(

[RdWdcosϕ + Vsin(HL +δv)]sinδv = - Vcos(HL + δv).cosδv

RdWdcosϕ sinδv = - V[sin(HL +δv)]sinδv - cos(HL + δv).cosδv]

= - Vcos(HL + δv - δv ) = - V.cosHL

Sinδv = ϕω cos

cos

ddR

HLV− suy ra δv =

ϕω coscos

ddR

HLV−

áp dụng công thức sina sinb + cosa cosb = cos (a - b)

Thay Rd ωd =900

Sinδv = ϕcos900

cosHLV− (3.3)



41

Công thức biểu thị sai số tốc ñộ như vậy ta thấy sai số không phụ thuộc vào loại tàu, cỡ tàu mà phụ thuộc vào tốc ñộ tàu, hướng la bàn, tốc ñộ tàu chạy.

ðể khử sai số này người ta dùng nhiều phương pháp như: cơ giới, bán tự ñộng như trọng la bàn Kype 4 hay RFT của ðức hoặc có loại la bàn không có bộ phận khử sai số tốc ñộ trực tiếp trên máy mà sử dụng bảng, giản ñồ, hoặc ñồ thị ñể tính sai số.

Như vậy muốn có ñược hướng chính xác người ta tra bảng tìm sai số.

Người ta dựa vào công thức (3) ñể lập bảng sai số.

Hướng thật Vận tốc

4 8 12 …

ϕ1 -

0

+

90

-

180

ϕ2

Hệ thống khử sai số tốc ñộ trong la bàn con quay Kype - 4.

Như ta ñã biết sai số tốc ñộ phát sinh khi tàu chạy với hướng và tốc ñộ không ñổi ... như vậy với mỗi hướng và một tốc ñộ khác nhau ta sẽ có một sai số khác nhau. ðể khử sai số này người ta sẽ làm một hệ thống sao cho có biến thiên theo quy luật của công thức sau:

δv = HTV

HTV

ddR sincoscos

+−

ϕω

Người ta gắn hai ñĩa A và B có tâm nằm trên trục dọc của tàu.

ðĩa A ñược gắn vào quả cầu theo và khoét một rãnh P về hướng E của la bàn. Trong rãnh có một chất C ñể gắn với ñĩa b và ñĩa B có thể chuyển ñộng quay, chuyển ñộng tịnh tiến trên trục dọc của tàu.

Ta có ñoạn O1C = Rñωñ theo tỷ lệ nhất ñịnh ta ñiều chỉnh V1 cho trượt trên trục dọc của tàu sao cho OO1 = Vsecϕ. Khi ñó O1C là hướng E của ñĩa B nhưng lệch với hướng E của ñĩa A một góc ε (ε chính là sai số δv)

Ta có: tgε = CODO

OD

21 +

OD = OO1cosHT

O1D = OO1sinHT

O1C = Rdωd

Có tgε = HTVHTV

HV

sinsinsec

cossec

+ϕϕ



42

Chia cho Secϕ ta có tgε = HTV

HTV

ddR sincos

cos

+ϕω

So sánh với phương trình tính sai số tốc ñộ ta thấy nó hoàn toàn giống nhau.

Như vậy ta ñiều chỉnh OO1 = VSecϕ thì ta sẽ ñược δv = ε.

3.2. Ảnh hưởng của thành phần gia tốc ñặt trên tàu

Khi có một mô men ngoại lực nào tác dụng vào bộ phận nhạy cảm ñều làm cho con quay tiến ñộng. Có nghĩa là ñộ chính xác của la bàn con quay phụ thuộc vào các mô men ngoại lực tác dụng vào con quay. Qua thí nghiệm ta thấy ngoại lực tác dụng lớn nhất vào con quay là lực quán tính. Thành phần lực quán tính này sinh ra khi tàu thay ñổi tốc ñộ, tàu quay trở, tàu lắc. ðặc ñiểm của lực này chỉ sinh ra khi có sự thay ñổi sau ñó mất ñi ngay.

Xét về ý nghĩa của lực quán tính tác dụng vào bộ phận nhạy cảm. Muốn vậy chúng ta giả thiết lực quán tính tác dụng vào bộ phận nhạy cảm muốn vậy chúng ta giả thiết lực quán tính tác dụng vào bộ phận nhạy cảm theo phương nằm ngang và vào trọng tâm G của quả cầu quay.

Ta coi chuyển ñộng của con quay là một chuyển ñộng phức hợp gồm chuyển ñộng tương ñối, chuyển ñộng theo và chuyển ñộng Côriolít ứng với các thành phần gia tốc.

JJJ cer

rrr;;

Theo ñịnh lý hợp gia tốc ta có:

cJeJrJJrrrr

++=

Những thành phần này gây ra các thành phần lực quán tính tương ứng.

cJmeJmrJmJmrrrr

−−−=

thành phần lực - eJmr

là một lực ly tâm do chuyển ñộng quay của quả ñất gây nên. Do ñó ta coi nó là một thành phần của trọng khối.

Thành phần - rJmcJmrr

−<< . Do ñó trong tính toán ta cũng không ñể ý ñến nó.

Tóm lại : Toàn bộ lực quán tính tác dụng lên bộ phận nhạy cảm ta coi như chỉ còn một thành phần lực do chuyển ñộng tương ñối gây ra.

VmrJmFrrr

−=−=

Nếu tàu ñi theo một hướng bất kỳ nhưng thành phần lực tác dụng vào vẫn nằm trong mặt phẳng nằm ngang. Vậy ta có thể phân ra hai thành phần song song với trục X là Fx, song song với trục Y là Fy.

Thành phần Fx gây mô men ñối với trục Y



43

Ly = Fx.a = - m.a.V&

Thành phần Fy gây mô men ñối với trục X do ñó không gây tiến ñộng ñối với con quay.

Thành phần Ly gây tiến ñộng với góc tiến ñộng là:

H

Vam

H

Lyz

&..−==ω

Hg

VB

Hg

Vgamz

&& .... −=−=ω (3.4)

thành phần ly sinh ra khi tàu thay ñổi chuyển ñộng (Thay ñổi vận tốc) và gây ra tiến ñộng của trục chính con quay. ðây là tiến ñộng phụ hay là tiến ñộng quán tính.

Xét ảnh hưởng của mô men lực sinh ra khi tàu thay ñổi tốc ñộ.

Từ phương trình (3.4) ta thấy nếu tàu thay ñổi tốc ñộ trong thời gian ∆t = t1- t0 ứng với V0, V1 nào ñó sẽ làm cho trục chính con quay lệch ñi một góc là:

∫∫ −=t

t

t

tdt

Hgdt V xz

1

0

1

0

. &β

ω (theo trục chính con quay)

= ∫−t

tdt

HgV x

1

0

&β

= ( )xx VVHg

01

rr−− β

(3.5)

Tại thời ñiểm t0 ứng với Vx0

Tại thời ñiểm t1 ứng với Vx1

Dấu (-) ñứng trước tích phân biểu thị khi tàu chuyển ñộng về hướng n thì trục chính con quay chuyển ñộng về hướng W. Như vậy tại vị trí cân bằng ñộng trục chính con quay hướng sang W một góc b.

b = δV1 - δV0 (3.6)

δV0 là sai số tốc ñộ khi tàu ñạt tốc ñộ V0 và δV1 là sai số tốc ñộ khi tàu ñạt tốc ñộ V1.

Từ phương trình biểu thị sai số tốc ñộ ta có;

δv = ϕω cos

cos

ddR

HLV− (3.7)

V.cosHL = Vx

So sánh (6) và (7) ta sẽ có:



44

b = ϕω cos

)( 01

ddR

xx VV −−

b = ϕω cosddR

Vx∆− (3.8)

Tóm lại ta thấy khi tàu chuyển ñộng có vận tốc hướng về n thì trục chính con quay sẽ tiến ñộng về W và ngược lại.

Góc tiến ñộng (Hay sự tiến ñộng củ trục chính con quay) có 3 trường hợp sau:

-Tốc ñộ góc tiến ñộng lớn hơn tốc ñộ thay ñổi.

- Tốc ñộ góc tiến ñộng nhỏ hơn tốc ñộ thay ñổi.

- Tốc ñộ góc tiến ñộng bằng tốc ñộ thay ñổi.

Ta thấy trong 2 trường hợp ñầu khi tàu chuyển ñộng có gia tốc ñều làm cho vị trí trục chính con quay lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến hay không nằm ngang ở vị trí cân bằng ñộng mà nhanh hơn hoặc chậm hơn. như vậy cả hai trường hợp ñều có sai số quán tính.

Trong trường hợp thứ 3 thì trục chính con quay luôn luôn bám sát vị trí cân bằng ñộng.

Theo ñiều kiện Sube muốn cho vị trí trục chính con quay sau khi tàu quay trở xong nằm ngay ở vị trí cân bằng ñộng thì:

∫ = bdtWz.

ðây là ñiều kiện ñể trục chính con quay luôn luôn bám sát vị trí cân bằng.

Từ (3.5) và (3.8) ta có:

ϕω cos. dR

VV

gH

B

d

xx

∆−=− & Với xx VV ∆=&

Suy ra ϕω cos

1. ddRgH

B = (3.9)

ϕω cos. d

d

B

H

g

R = ; H

B d ϕωω

cos.0 =

Ta thấy bên trái là chu kỳ dao ñộng không tắt của một con lắc toán học có chiều dài cánh tay ñòn bằng chiều dài bán kính quả ñất.

Với chu kỳ dao ñộng của nó sẽ là:



45

ϕω cos.

22d

d

B

H

g

R Π=Π

Thay Rñ = 6.378.000 m

g = 9,81 m/ s

Ta sẽ có: T0 = 2 m4,8481,9

000.378.6 =Π ( Chu kỳ dao ñộng con lắc trái

ñất)

Vậy muốn cho trục chính con quay chuyển về vị trí cân bằng ñộng mới không chao thì chu kỳ dao ñộng không tắt của con quay sẽ là T0 = 84,4m, như vậy ta sẽ tránh ñược sai số do mô men quán tính nằm ngang sinh ra.

Muốn có ñược chu kỳ dao ñộng không tắt trên thì ta phải thay ñổi (a). khoảng cách từ trọng tâm ñến tâm hình học của con quay hoặc ta phải thay ñổi tốc ñộ góc ω.

Với mỗi loại la bàn thì ta sẽ có một vĩ ñộ chuẩn khác nhau như Kype 4. ϕ* (v ĩ ñộ chuẩn) = 600.

Ta có sai số quán tính loại I: δj’ = b ± (δv2-δv1), sai số quán tính loại I là sai số

do chu kỳ dao ñộng của con quay ≠ 84,4m khi tàu thay ñổi chế ñộ chuyển ñộng sinh ra.

b là lượng dịch chuyển của trục chính con quay trong thời gian ∆t và:

b = gH

HLVB

.

cos.∆− (3.10)

Tại vĩ ñộ chuẩn: ϕ = ϕ* từ phương trình (9) ta có:

*cos

1.cos

1. ϕωϕω dddd RgH

Brasuy

RgH

B ==

H.g = B.Rñ cosϕ* thay vào (10) ta có:

b = *cos.

cos.*cos.

cos..ϕωϕω dddd R

HLV

RB

HLVB ∆−=∆−

Tại vĩ ñộ ϕ tàu ñang chạy ta sẽ có:

ϕωω

δδcos

cos.12

ddR

HLVVV

∆−=− (3.11)



46

−=δ 1j ϕωϕω cos

cos.

*cos

cos..

dddd R

HLV

R

HLV ∆+∆

Mặt khác ta lại có từ (11)

HLVR ddVV cos.cos.)( 12 ∆=−− ϕωδδ (3.12)

Thay vào ta có:

=δ 1

j

−− 1*cos

cos)( 12 ϕ

ϕδδ VV (3.13)

Ta có mối quan hệ giữa T0* và T* là:

T* = T0* . ϕϕ

cos

*cos (phút)

Ta có phương trình vi phân chuyển ñộng của con quay khi tàu thay ñổi chuyển ñộng và ñóng bộ phận tạo dao ñộng tắt dần lại khi ñó ta có D = 0.

Và phương trình vi phân có dạng:

( )

−−

=−−+−

d

N

R

HVrHH

Bg

BVHH

αβ

βα

ω

ω

1

2 0

&

&

(3.14)

Trong ñó VN là vận tốc tàu chuyển ñộng tàu theo kinh tuyến. Giải phương trình

(3.14) ta sẽ ñược δ 1

j chính xác hơn.

( )td

N

T

Tj t

t

R

V02*

0

2*1 sin

21.1 −

Π−=

ωδ

(t – t0) là khoảng thời gian tàu thay ñổi, chuyển ñộng.

Trong trường hợp tàu giữ nguyên hướng mà thay ñổi tốc ñộ thì δ 1

j sẽ ñược

tính:

( )

1

coscos..

0

2*2*0

2*

12*

0

ωω ω

δd

q

q

jR

tVtv

TT

TT −−

= −

Trong ñó ωq là tần số vòng quay trở.

Tq

qΠ= 2

ω (Tq là chu kỳ quay trở).



47

Tóm lại ta thấy: Tại vĩ ñộ ϕ* thì không có sai số quán tính loại I. Sai số này ñạt giá trị cực ñại sau khi tàu thay ñổi chuyển ñộng xong trục chính con quay tiến ñộng ñến δj

1 và bắtñầu dao ñộng tắt dần.

a là ñiểm ñầu nút véc tơ mô men ñộng lượng H bắt ñầu dao ñộng sau khi tàu thay ñổi tốc ñộ.

Nếu ở mỗi vĩ ñộ khác nhau ta cũng sẽ có những vị trí khác nhau.

Trường hợp ϕ2 < ϕ* thì ñầu mút véc tơ H nằm về bên trái của ñiểm cân bằng (NL2) và tiếp tục dao ñộng tắt dần về ñiểm cân bằng.

Do ñó sai số δ 1

j cũng có khi (+) hoặc có khi (-) nếu kim lệch sang E hoặc W.

Khi có dao ñộng như vậy làm cho dầu chảy từ bình này sang bình khác sinh ra cột dầu dư làm cho con quay tiến ñộng. Do ñó trục chính con quay lệch khỏi vị trí cân bằng ñộng.

Trong trường hợp trên ta thấy D gây mô men Ly làm cho trục chính con quay tiến ñộng gây ra sai số quán tính loại 2 tại vĩ ñộ ϕ* mặc dù không có sai số quán tính loại 1 nhưng vẫn có sai số quán tính loại 2, sai số này ñạt giá trị Max khi tàu thay ñổi tốc ñộ . Khoảng 1/4 chu kỳ dao ñộng (khoảng 20 phút).

Sai số quán tính loại 2 luôn luôn làm cho trục chính con quay tiến ñộng chậm hơn so với vị trí cân bằng ñộng.

Khi trục chính con quay chuyển ñộng chưa ñến vị trí cân bằng 2 (NL2) thì xuất hiện một sai số δj

2.

Sai số này làm cho trục chính con quay dao ñộng một thời gian sau ñó mới trở về vị trí NL2.

Gọi δj0 là sai số quán tính tổng cộng thì:

δj0 = δj

1 + δj2

Sai số quán tính tồn tại mãi sau 2 tiếng ñồng hồ nó mới tắt hẳn.

ðể xác ñịnh sai số ñó người ta cho tàu chạy ở các vĩ ñộ ϕ khác nhau.

Sai số quán tính có vị trí số cực ñại lần ñầu và lần thứ hai gần bằng nhau, sau ñó tắt dần theo f (hệ số tắt dần) có cả trị số (-) và trị số (+). Nếu cộng các ñiện tích trị số (-) và (+) lại thì ta thấy ñiện tích (-) gần bằng ñiện tích (+) vì sai số này thay ñổi nhiều, do ñó muốn có ñộ chính xác cao thì:

-Sau khi tàu thay ñổi tốc ñộ từ 60 – 150m mới xác ñịnh vị trí tàu bằng phương vị.

-Xác ñịnh sai số la bàn nên thực hiện khi tàu ñứng yên hoặc khi nó ñã chạy với một tốc ñộ và hướng không ñổi sau 1 ÷ 2,5h.

Dùng la bàn con quay ñể khử ñộ lệch la bàn từ bằng cách: Cho tàu chạy các hướng chính sau ñó ñưa la bàn từ về hướng theo la bàn con quay coi ñay là phương pháp gần ñúng, muốn chính xác hơn ta cho tàu neo và dùng tàu lai ñể quay trở.

3.3. Sai số khi tàu lắc



48

Ta thấy tàu lắc cũng giống như một con lắc xung quanh tâm lắc của nó. Với chu kỳ lắc phụ thuộc vào chiều cao tâm lắc. Qua nghiên cứu ta thấy ảnh hưởng của lắc ngang ñến la bàn con quay lớn hơn lắc tổng hợp. Do ñó ở ñây ta chỉ cần khắc phục sai số lắc ngang là ñủ. Tàu lắc do sóng ñánh vào như một xung lực. Ta thấy chu kỳ lắc và chu kỳ sóng biểu thị chu kỳ lắc lớn hơn chu kỳ sóng biển và ñối với các tàu vận tải bình thường chu kỳ lắc khoảng từ 5 ÷ 14s ñối với sóng truyền lan trên biển.

Khi tàu lắc sẽ sinh ra gia tốc lắc do sóng có chu kỳ, do ñó gia tốc lắc cũng có tính chất chu kỳ có nghĩa là trị số và chiều hướng của nó sẽ thay ñổi. Trị số tức thời gần ñúng.

J = Jm sinωkt

ωk: Tần số lắc.

Im: Biên ñộ lắc.

t: Thời gian

Ta xét ảnh hưỏng của tàu lắc ñối với la bàn con quay có trọng tâm thấp. Ta giả sử sóng lan truyền từ NE ñến SW.

GA = a. sinx

Khi góc lệch bé thì GA = a.x

Jr

gia tốc lắc hướng theo phương truyền sóng sinh ra lực quán tính F từ vị trí I ÷ II.

Ta phân tích F thành hai thành phần:

FW, FE song song với FW và FN, FS song song với NS

Hình vẽ 3-3



49

Xét thành phần FE và FW ñều làm cho trọng tâm lệch quanh trục X. Do ñó không gây tiếng ñộng ñối với con quay.

Còn thành phần FN và FS gây mô men ñối với trục Y và Z.

Tại vị trí I: L1z; L1y0 tại II Lz, Ly thành phần Ly do lắc gây nên thì sau một chu kỳ nó sẽ ñổi dấu với giá trị trung bình của nổtng một chu kỳ bằng 0. ðối với L3 bao giờ cũng có hướng ñi lên làm cho H tiến tới L3. Do ñó tại vị trí cân bằng ñộng thì trục chính con quay lệch khỏi chân trời một góc β. Do ñó khi có Lz thì β tăng lên, trục chính con quay sẽ ñi lên khi ñó ωt > ω2sinϕ.

Gọi sai số lắc là δJk. Tìm quy luật biến ñổi của sai số lắc.

Ta giả sử con tàu chạy theo NE, trên tàu có ñặt 1bcq có trục chính trùng với N. Ta thành lập phương trình chuyển ñộng của con quay khi tàu lắc.

Giả sử tàu lắc ngang sẽ sinh ra gia tốc lắc và lực quán tính lắc Fk. Phân Fk ra Fkx, Fky.

FFF KYKXK

rrr+=

Tàu lắc trọng tâm của con quay lắc quanh ñiểm treo của nó sinh ra lực quán tính lắc tác dụng lên nó tại vị trí I và II ta thấy:

Fkx = Fk sinHL; Fky = Fk cosHL

Tại vị trí I: Fkx (ứng với FkN) hướng ra ngoài.

Tại vị trí II: Fky (ứng với FkS) hướng vào trong.

Ta có: Fky = Fk cosHL, Fkx = Fk sinHL.

Fk = m.JmsinωKt.

Ta thấy nếu tàu ñi hướng 00 thì:

Hình vẽ 3-4



50

Fkx = 0, Fk = Fky

Mà Fky gây mô men ñối với trục X. Do ñó không làm cho trục chính con quay tiến ñộng do vậy nếu tàu ñi HL = 0 thì không có sai số lắc.

Tàu ñi theo hướng E ( hướng 900 ) thì:

Fkx = Fk ; Fky = 0

Fkx trong một chu kỳ thì ñổi dấu hai lần. Nửa chu kỳ ñầu Fkx hướng về N, nửa chu kỳ sau hướng về S, do ñó giá trị trung bình bằng 0. Cho nên sai số do lắc sinh ra trong cả chu kỳ bằng 0.

Vậy tàu ñi theo các hướng chính thì sai số = 0.

Fky gây mô men ñối với Y và Z.

Ly trong cả chu kỳ ñổi dấu hai lần nên giá trị trung bình bằng 0 do vậy không xét ñến Ly.

Lz sẽ không ñổi dấu nên sinh ra sai số lắc.

Ta có: Lz = L. sinx

Trường hợp x bé ta có Lz = Fkx.a.x

Lz = a.x.m.Jmsinωkt. sinHL

ðể thành lập phương trình ta cộng các véc tơ mô men lại và cho cân bằng. ở ñây do thành phần mô men lực quán tính do tàu lắc gây ra. Thành phần mô men trọng lượng có giá trị bằng BX. Mô men lực quán tính bản thân con quay là I.X&& . Cuối cùng ta sẽ có:

I. X&& +BX = Fkx.a Thay Fkx vào ta có:

I. X&& + B X& = m.Jmsinωkt.a.sinHL

Giải ra ta ñược:

X = K. tHLg

JK

m ωsincos (K là hệ số giảm lắc)

Thay X vào Lz ta có;

Lz = a.X.m.ImsinωKt.sinHL

= a.K. .cosHLgJ m

sinωKt.m.JmsinωKt.sinHL

Ta có: B = mga

Sin2HL = 2 sinHLcosHL và sin2ωKt = )2cos1(2

1tkω−

Biến ñổi Lz ta có:



51

- sin2ωKt = )2cos1(2

1tkω−

Lz = )2cos1(2sin41

2

2tHL

JBK k

mg

ω−

Ta thấy Lz có 2 thành phần, 1 thành phần biến ñổi và 1 thành phần cố ñịnh. Thành phần biến ñổi sẽ thay ñổi trị số 2 lần trong 1 chu kỳ lắc do ñó sai số trong cả chu kỳ sẽ bằng 0. (Cos2ωKt là thành phần biến ñổi) . Ta không xét ñến thành phần biến ñổi này.

Xét thành phần cố ñịnh.

Lz = HLJ

BKg

m 2sin4

12

2

ðể xét ảnh hưởng của Lz ñối với la bàn con quay người ta cho Lz cân bằng với mô men ñịnh hướng của con quay khi trục chính của nó lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến 1 góc αK.

Mô men ñịnh hướng M = Hωñcosϕ.αK.

Lz = M suy ra Lz = =HLJ

BKg

m 2sin4

12

2Hωñcosϕ.αK

Suy ra: αK= ϕω cos

1.2sin

4

12

2

d

mH

HLJ

BKg

αK= ϕω

δcos

1.2sin

4

12

2

d

mKj H

HLJ

BKg

=

Từ công thức tính δjK ta thấy δj

K mang tính chất ẳ vòng do ñó tịa các hướng NE, SW thì δj

K có giá trị (+) và NW, SE thì có trị số (-) còn các hướng chính thì δjK =

0, ở xích ñạo δjK có trị số nhỏ hơn trị số gần cực.

La bàn 1 con quay và la bàn 2 con quay.

La bàn 1 con quay là một loại la bàn mà quả cầu nhạy cảm chỉ có một con quay .

La bàn 2 con quay gồm 2 con quay giống hệt nhau về kích thước, vận tốc, trọng lượng v.v...

Trục chính của 2 con quay lệch với ñường NS X1 = X2 trường hợp này λ = 450

Hai mô men ñộng lượng H1 = H2



52

Toàn bộ ñược ñặt vào 1 quả cầu có trọng tâm thấp hơn tâm hình học 8mm do cách nối giữa các con quay với nhau, do ñó nó có thể chuyển ñộng quanh trục z và cùng quay ra hoặc cùng quay vào ñó là cách nối theo hình bình hành nghịch. Khi con quay quay vẫn bảo ñảm X1 =X2.

H0 là mô men tổng hợp của 2 con quay ta sẽ có:

H0 =2H1cosX1 = 2H1cos450

H0 = 2 H1

Khi có mô men Ly tác dụng vào thì sẽ làm cho con quay cùng tiến ñộng ñến Ly, làm cho cả 2 con quay ñều tiến ñộng quay. Cả quả cầu quay (quả câù nhạy cảm) giống một con quay có trọng tâm thấp.

ch ươ ng 1. lý thuy ết c ơ b ản v ề la bàn con quay... 1 ch ương 1. lý thuy ết c ơ...

Documents