Ch. 4-2. Newton 역학 (계속)

n 중력법칙

n 보존량들

n 운동량

n 일, 에너지

n 회전운동

n 진동운동

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n 중력법칙

n 보존량들

n 운동량

n 일, 에너지

n 회전운동

n 진동운동

무게와 질량

무게 = 힘

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Cavendish 지구의 질량을 재다.

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Henry Cavendish (1731-1810) and his torsion balance M = 5.9736 × 1024 Kg

보존 원리

n 동역학의 보존 원리들

운동량 보존 원리

에너지 보존 원리(법칙)

각운동량 보존 원리(법칙)

- 시간에 따라 변하지 않는다.

보존되는 다른 물리량들: 전하, 질량(?)

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n 동역학의 보존 원리들

운동량 보존 원리

에너지 보존 원리(법칙)

각운동량 보존 원리(법칙)

- 시간에 따라 변하지 않는다.

보존되는 다른 물리량들: 전하, 질량(?)

운동량 (Momentum)

n 운동량: 속도만으로는 동역학을 기술하는 데 부족. 질량을함께 고려하여야 함

n 데카르트: 질량(무게)과 속력의 곱

à 호이겐스: 운동량 = 질량과 속도의 곱 (단위: Kg m/s)

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힘: F = dp/dt (= m dv/dt = ma)

운동량 보존원리

n 고립된 계에서 운동량은 보존된다.

n 데카르트의 추상적 논의를 호이겐스가 등속 운동에서의

충돌을 비교하여 확립.

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일 (Work)

n 일: 가해진 힘 X 거리 (W = F d)

à 단위: J (Joule) = N m = Kg m2/s2

n 에너지를 줌. 마찰이 없다면 운동, 위치 에너지로 …

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일을 하지 않은 경우

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운동에너지 (Kinetic Energy; KE)

n 에너지 = 일을 할 수 있는 능력

n 운동하는 물체가 지니는 에너지 (단위: J = 일의 단위)

n 차가 빠를수록 충돌 후 더 많이 찌그러진다. à 더 큰 운동 에너지

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운동에너지 보존

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위치에너지 (Potential Energy; PE)

n 위치 에너지: 속도 등으로 표현되지 않고 위치에 의해 결정된 잠재된 에너지

n 현재의 위치로 간 경로와는무관하게 주어짐

n 지구 상에서 중력에 의한mgh (지표면을 원점으로 잡은 경우 à 근사식)

n 상대적인 양이 중요

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n 위치 에너지: 속도 등으로 표현되지 않고 위치에 의해 결정된 잠재된 에너지

n 현재의 위치로 간 경로와는무관하게 주어짐

n 지구 상에서 중력에 의한mgh (지표면을 원점으로 잡은 경우 à 근사식)

n 상대적인 양이 중요

역학적에너지 = 운동에너지 + 위치에너지

역학적 에너지 보존법칙

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에너지 보존법칙 - 흔들이

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에너지 보존법칙 – 흔들이2

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각운동량 (Angular Momentum)n 각운동량= 운동량 X 거리 (단위: kg m2/s = J s)

n 회전운동 설명, 질량중심에서 관찰하는 것이 편리

n = 질량과 시간당 지나가는 면적의 곱

L L = r r ×× pp

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각운동량 보존

n 토크를 주지 않으면 그 계의 각운동량이 보존된다.

à 케플러의 행성궤도 제2법칙 (면적속도 일정 법칙)

n ‘회전관성’

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각운동량 보존법칙1

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각운동량 보존법칙2

18

각운동량-3

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단순 조화진동 운동(simple harmonic oscillation)

F = ma = - k x (복원력)

(a = d2x/dt2 = x’’)

à x’’ = - (k/m) x

à x = A sin (wt + C),

where w2 = k/m

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à x = A sin (wt + C),

where w2 = k/m

wt

x f = w/2p: 자연(공명)진동수

‘조화’ 진동

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용수철의 진동

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단순 조화진동과 역학적 에너지 보존

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E: 역학적 에너지K: 운동에너지U: 위치에너지(E = K + U)

à 역학적 에너지는 보존된다.

흔들이 (Pendulum)

F = ma = - (복원력)

각으로 표시: mLq’’ = - (복원력)

중력 Fg = mgà 복원력: Fg sin q @ mgq

à mLq’’ = - mgq

à q’’ = - (g/L)q

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(à x’’ = - (k/m) x 와 동일)

à mLq’’ = - mgq

à q’’ = - (g/L)q

à q = A sin (wt + C),

where w2 = g/L à

Galileo!

흔들이 실험 – 질량이 다른 3개의 추

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공명 (resonance)

n 외부의 힘의 주기와 조화진동자의 에너지 교환

- 그네 밀어주기

- 지진에 취약한 저층 건물

- 바람에 의한 현수교 붕괴

- 어린이가 빠른 이유

- 소프라노와 유리잔

- 소리굽쇠, 악기

- 귀에 가장 잘 들리는 주파수

- 라디오 튜너

- 물질의 빛 흡수와 색

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n 외부의 힘의 주기와 조화진동자의 에너지 교환

- 그네 밀어주기

- 지진에 취약한 저층 건물

- 바람에 의한 현수교 붕괴

- 어린이가 빠른 이유

- 소프라노와 유리잔

- 소리굽쇠, 악기

- 귀에 가장 잘 들리는 주파수

- 라디오 튜너

- 물질의 빛 흡수와 색

뉴턴 요약n 코페르니쿠스가 시작한 천문학혁명à 과학혁명 완성. (고전역학)

간단한 중력법칙과 운동법칙으로 ‘만물의 운동’ 설명. (사과=천체)

특히 케플러의 행성 타원궤도 법칙의 원인을 밝힘.

n 결정론? : clock-work universe or chaos? (à Laplace)

- “초기 위치와 초기 속도가 주어지면 모든 운동이 예측 가능하다.”*태양계는 어떻게 지금처럼 만들어졌나? 우주는 영원한가?

n 중력: 원거리작용? à 유한한 속도를 가지고 전파 (광속!)

n 과학이론은 진실인가? 뉴턴 역학의 경우

- 매우 빠른 운동에는 잘 안 맞음. à 상대성이론

- 매우 작은 입자의 운동을 설명 못함. à 양자역학

n 과학은 ‘왜?’에 대한 답을 주는가?

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n 코페르니쿠스가 시작한 천문학혁명à 과학혁명 완성. (고전역학)

간단한 중력법칙과 운동법칙으로 ‘만물의 운동’ 설명. (사과=천체)

특히 케플러의 행성 타원궤도 법칙의 원인을 밝힘.

n 결정론? : clock-work universe or chaos? (à Laplace)

- “초기 위치와 초기 속도가 주어지면 모든 운동이 예측 가능하다.”*태양계는 어떻게 지금처럼 만들어졌나? 우주는 영원한가?

n 중력: 원거리작용? à 유한한 속도를 가지고 전파 (광속!)

n 과학이론은 진실인가? 뉴턴 역학의 경우

- 매우 빠른 운동에는 잘 안 맞음. à 상대성이론

- 매우 작은 입자의 운동을 설명 못함. à 양자역학

n 과학은 ‘왜?’에 대한 답을 주는가?

Newton 이후 고전역학의 발전

라플라스(1749~1827): 프랑스 수학자. 라플라스 변환, 라플라스방정식 등을 고안하여 자연과학과 공학 분야에 크게 기여함.

라그랑지(Joseph-Louis Lagrange, 1736-1813): 프랑스(사르디니아) 수학자. ‘라그랑지안’을 사용하여 오일러(Leonhard Euler)와 함께 뉴턴 법칙을 새로운 방법으로 서술. (1788)

해밀턴(William Rowan Hamilton, 1805-1865): 아일랜드 수학자.‘작용(action)’ 에 대해 변분법을 적용하여 ‘해밀턴의 원리’수립, à 뉴턴 운동법칙의 다른 표현. 후일 양자역학 이론에 기초가 됨.

뇌터(Emmy Noether, 1882-1935): 유대계 독일 수학자. 보존되는 물리량들과 물리법칙의 대칭성 사이의 상관관계인 ‘뇌터의 정리’를 수학적으로 증명.

라플라스(1749~1827): 프랑스 수학자. 라플라스 변환, 라플라스방정식 등을 고안하여 자연과학과 공학 분야에 크게 기여함.

라그랑지(Joseph-Louis Lagrange, 1736-1813): 프랑스(사르디니아) 수학자. ‘라그랑지안’을 사용하여 오일러(Leonhard Euler)와 함께 뉴턴 법칙을 새로운 방법으로 서술. (1788)

해밀턴(William Rowan Hamilton, 1805-1865): 아일랜드 수학자.‘작용(action)’ 에 대해 변분법을 적용하여 ‘해밀턴의 원리’수립, à 뉴턴 운동법칙의 다른 표현. 후일 양자역학 이론에 기초가 됨.

뇌터(Emmy Noether, 1882-1935): 유대계 독일 수학자. 보존되는 물리량들과 물리법칙의 대칭성 사이의 상관관계인 ‘뇌터의 정리’를 수학적으로 증명.

피에르시몽 라플라스 후작(Pierre-Simon, Marquis de Laplace, 1749~1827)

n 《천체역학(총 5권)》에서는 고전역학에서뉴턴의 기하학적 접근방식에 대한 번역을실어 당시 물리학을 집대성하고 확장함.

n 수학천재: 라플라스 변환, 라플라스 방정식

n 1799년 내무부장관 (Napoléon Bonaparte)

n 결정론 : “clock-work universe”

- 초기 위치와 초기 속도가 주어지면 모든운동이 예측 가능하다. (or chaos?)

à 양자역학으로 부정됨.

n 제게는 그 가설이 필요 없었습니다. ("Je n'avais pas besoin de cette hypothèse-là“)

태양계(우주)는 어떻게 지금처럼 만들어졌으며, 영원히 유지될 것인가?

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n 《천체역학(총 5권)》에서는 고전역학에서뉴턴의 기하학적 접근방식에 대한 번역을실어 당시 물리학을 집대성하고 확장함.

n 수학천재: 라플라스 변환, 라플라스 방정식

n 1799년 내무부장관 (Napoléon Bonaparte)

n 결정론 : “clock-work universe”

- 초기 위치와 초기 속도가 주어지면 모든운동이 예측 가능하다. (or chaos?)

à 양자역학으로 부정됨.

n 제게는 그 가설이 필요 없었습니다. ("Je n'avais pas besoin de cette hypothèse-là“)

태양계(우주)는 어떻게 지금처럼 만들어졌으며, 영원히 유지될 것인가?

뇌터의 정리 (1918)

보존법칙과 물리법칙의 대칭성 사이의 관계

운동량 보존 ß 물리법칙에 ‘병진 대칭성’이 있다.

(즉, 어떤 변위(위치)에 대해서도 물리법칙이 동일하게 성립할 때 운동량이 보존된다.)

각운동량 보존 ß 회전 대칭성,

에너지 보존 ß 시간 대칭성

보존법칙과 물리법칙의 대칭성 사이의 관계

운동량 보존 ß 물리법칙에 ‘병진 대칭성’이 있다.

(즉, 어떤 변위(위치)에 대해서도 물리법칙이 동일하게 성립할 때 운동량이 보존된다.)

각운동량 보존 ß 회전 대칭성,

에너지 보존 ß 시간 대칭성