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Nelson Pantoja
CFF - Universidad de Los Andes 1
Mundos-brana. . . sobre paredes de dominio.
Nelson R. Pantoja
Centro de Fısica Fundamental
Universidad de Los Andes
Merida - Venezuela
Diciembre, 2004
Nelson Pantoja
Resumen
Una revision sobre las realizaciones del escenario Randall-Sundrum
sobre paredes de dominio.
1. O. Castillo-Felisola, A. Melfo, N. Pantoja and A. Ramirez
Localizing gravity on exotic thick 3-branes.
Physical Review D70 (2004) 104029; arXiv:hep-th/0404083.
2. N. Pantoja and A. Sanoja
Symmetries of distributional domain wall geometries.
Jourmal of Mathematical Physics (por aparecer); arXiv:gr-qc/0312032.
3. A. Melfo, N. Pantoja and A. Skirzewski
Thick domain wall spacetimes with and without reflection
symmetry.
Physical Review D67 (2003) 105003; arXiv:gr-qc/0211081.
4. R. Guerrero, A. Melfo y N. Pantoja
Self-gravitating domain walls and the thin-wall limit.
Physical Review D65 (2002) 125010; arXiv:gr-qc/0202011.
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Nelson Pantoja
I. Dimensiones adicionales
Una nueva vieja idea: los campos del Modelo Estandar localizados sobre undefecto topologico...
1. Wall-worlds
• Regge & Teitelboim (1975)
• Akama (1982)
• Rubakov & Shaposhnikov (1983)
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Nelson Pantoja
2. Escenario Arkani-Hamed-Dimopoulos-Dvalidimensiones adicionales compactas
• Arkani-Hamed, Dimopoulos & Dvali (1998)
• Antoniadis, Arkani-Hamed, Dimopoulos & Dvali (1998)
3. Escenario Randall-Sundrum (1)dimension adicional compacta en una geometrıa no-factorizable
• Randall & Sundrum (mayo 1999)
el tamano de las dimensiones adicionales se ajusta para igualar las escalaselectrodebil y gravitacional en el espacio de mayor dimensionalidad,
resolviendo el problema de la jerarquıas
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II. El escenario Randall-Sundrum (2)
Randall & Sundrum (junio 1999): dimension adicional no-compacta
la gravedad en dimensiones altas puede lucir desde el punto de vista de unobservador localizado sobre una 3-brana similar a la gravitacion
4-dimensional ordinaria
1. La geometrıa
• (∼ R5, gab)
gab = e2A(ξ)(−dtadtb + dxi
adxib
)+ dξadξb, A(ξ) = −β|ξ| (1)
Gab + Λgab = 6β δ(ξ)(dtadtb − dxi
adxib
)(2)
Λ = −6β2 ⇔ AdS5 ∀ξ 6= 0 (3)
• Brana = {hipersuperficie tipo tiempo ξ = 0 (co-dimension uno) quesepara R4 × R+ y R4 × R−} ≡ {el volumen de mundo de la 3 -brana}
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2. Localizacion de gravedad
Perturbaciones δgab = hab
• calibre axial haξ = 0
• en el sector TT ∂µhµν = 0 = hµµ
• en la coordenada conformal z ≡ sgn(ξ)(eβ|ξ| − 1
)/β
arrojan (−1
2∂2
z + VQM (z))ψ(z) = m2ψ(z), (4)
VQM (z) =15β2
8(1 + β|z|)2− 3
2βδ(z) (5)
donde hµν = eip·xΦ(z), Φ(z) = e−3A(z)/2ψµν(z) y pµpµ = −m2
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con autofunciones
ψ0(z) ∼ e3A(z)/2 =1
(β|z|+ 1)32
(6)
⇔(−1
2∂2
z + VQM (z))
=12
(∂ξ +
32A′(z)
)(−∂ξ +
32A′(z)
)y
ψm(z) ∼ (|z|+ 1/β)1/2
[Y2(m(|z|+ 1/β)) +
4β2
πm2J2(m(|z|+ 1/β))
](7)
• no hay brecha de masa
• gravedad localizada en ξ = 0 ⇔ ψ0(z) normalizable
• los modos masivos son asintoticamente ondas planas → desviaciones dela ley de Newton
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3. El potencial newtoniano
U(~p) = limp0→0�p
D(5)µνρσ(x, ξ;x′, ξ′) = 〈0|T (hµν(x, ξ)hρσ(x′, ξ′)) |0〉
=∑m
Φm(ξ)Φ∗m(ξ′)D(4,m)µνρσ (x, x′)
∼ Charmousis, Gregory & Rubakov (2000)
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• M3 ∼ βM2Pl y M−2
Pl ∼ GN
U(~p) ∼∑m
|ψm(0)|2 1√βMPl
Tµν1
P(m)µνρσ
p2 +m2
1√βMPl
T ρσ2
∣∣∣∣∣p0=0
∼ GNm1m2
β
(12|ψ0(0)|2
~p 2+ C
∑m>0
|ψm(0)|2
~p 2 +m2
)(8)
• para βr � 1
U(r) ∼ GNm1m2
r+ C
∫ ∞
0
dmGN
β
m1m2
re−mrm
β
= GNm1m2
r
(1 + C
1β2r2
)(9)
la interaccion de ψm con la materia sobre la brana esta suprimida ∼ β−2
Randall & Sundrum (1999)
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4. Localizacion en escenarios RS
• Garriga & Tanaka (2000)
• Pomarol (2000)
• Bajc & Gabadadze (2000)
• Grossman & Neubert (2000)
• Giddings, Katz & Randall (2000)
• Dubovsky, Rubakov & Tinyakov (2000)
• Randjbar-Daemi & Shaposhnikov (2000)
• Dvali, Gabadadze & Shifman (2001)
• . . .
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III. Realizaciones no-singulares del escenario RS
El problema
• localizacion de 4-gravedad sobre 3-branas gruesas generadas por camposescalares autogravitantes
• geometrıas suaves y singulares
– lımite
limγ→0
(M, γgab,γφ, V (γφ))
?= (escenario RS)
– simetrıaslimγ→0
γR dabc = [[R d
abc ]]δ(Σ) + · · ·
LX
([[R d
abc ]]δ(Σ)
)= ? , LX
(limγ→0
γR dabc
)?= LX
([[R d
abc ]]δ(Σ) + · · ·)
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IV. Paredes de dominio y escenarios RS
1. Espaciotiempo pared de dominio
• (M, gab), LXgab = 0, X.= simetrıa plano-paralela
Rab −12gabR+ Λgab = 8π
(∇aφ∇bφ− gab
(12∇cφ∇cφ+ V (φ)
))(10)
∇a∇aφ− dV /dφ = 0 (11)
φ: R → R interpola asintoticamente y de manera suave entre dosmınimos consecutivos de V (φ) tomando allı valores distintos ⇒topologicamente estables
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• Localizacion de gravedad → perturbaciones gravitacionales• DeWolfe, Freedman, Gubser & Karch (2000)
• Garriga & Sasaki (2000)
• Alonso-Alberca, Meesen & Ortin (2000)
• · · ·• Callin & Ravndal (2004)
• Castillo-Felisola, Melfo, Pantoja & Ramirez (2004)X
→ perturbaciones (hab, ϕ) en torno de (gab, φ) con φ = φ(ξ) y hξa = 0
? ϕ se desacopla del sector TT de hab
? modos TT de hab
12∆hab ≡ −1
2∇d∇dhab +Rc d
(ab)hcd +Rc(ahb)c =
23habV (φ) (12)
∆ operador de De Rham-Lichnerowicz
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2. Paredes de dominio gruesas y el lımite de pared delgada
a. metricas y curvaturas como distribuciones tensoriales
gab[Uab] ≡∫M
gabUab ωη, R d
abc [Sabcd] ≡
∫M
R dabc S
abcd ωη (13)
b. sobre la convergencia...
gab[Uab] = limδ→0
δgab[Uab] ?⇒ R dabc [Uabc
d] = limδ→0
δR dabc [Uabc
d] (14)
• Guerrero, Melfo & Pantoja (2002)
formalismo distribucional de Geroch & Traschen (1987)
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c. sobre las simetrıas... se propone
LVTab···[Uab···] ≡ −
∫MTab···(LV
Uab··· + Uab···(∇cVc))ωη (15)
donde
? ωη elemento de volumen de una metrica C∞ auxiliar ηab arbitraria
? ∇c derivada covariante de Levi-Civita asociada con ηab
LV
δgab = 0 −−−−−−−→ LV
δRab = 0 −−−−−−−→ LV
δGab = 0yδ→0
yδ→0
yδ→0
LVgab = 0 −−−−−−−→ L
VRab = 0 −−−−−−−→ L
VGab = 0
• Pantoja & Sanoja (2003)
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• DeWolfe, Freedman, Gubser & Karch (2000)
• Gremm (2000)X
• Csaki, Erlich, Hollowood & Shirman (2000)
• Kobayashi, Koyama & Soda (2002)
• Wang (2002)X
Ejemplo 1. Una brana gruesa M4 embebida en AdS5
i) la geometrıa pared de dominio
δgab = cosh−2δ (βξ/δ)(−dtadtb + dxi
adxib
)+ dξadξb (16)
φ(ξ) = φ0 tan−1 sinh(βξ/δ), φ0 =√
3δ (17)
V (φ) =32
(4 +
1δ
)β2 [cos (φ/φ0)]
2 − 6β2, ⇒ Λ = −6β2 (18)
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φ(ξ) −Gtt(ξ)
β = 1, δ = 0.5, δ = 1
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ii) la geometrıa distribucional δ → 0
gab = limδ→0
δgab =(Θ−
ξ e2βξ + Θ+
ξ e−2βξ
) (−dtadtb + dxi
adxib
)+ dξadξb, (19)
R dabc = lim
δ→0
δR dabc (20)
Gab + Λgab = limδ→0
(δGab + Λ δgab) = 6β δ(ξ)(dtadtb − dxi
adxib
), Λ = −6β2
(21)
· · · realizacion del escenario RS (2) [1]
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iii) localizacion de gravedad
• con dχ ≡ e−Adξ y hµν = eıp·xe−3A(χ)/2ψµν(χ)
(−∂2χ + VQM )ψµν = m2ψµν , VQM (χ) =
94A′2(χ) +
32A′′(χ) (22)
para δ = 1
VQM (χ) =34β2 5(βχ)2 − 2
(1 + (βχ)2)2(23)
• −∂2χ + VQM = (∂χ + 3
2A′)(−∂χ + 3
2A′) y
ψ0 ∼ exp(3A(χ)/2) (24)
∃ un estado ligado en el umbral de masa y un continuo de estados masivos∀m > 0 no localizados (VQM → 0 asintoticamente).
∼ Gremm (2000)∼ Guerrero, Melfo & Pantoja (2002)
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Figura 1: VQM y el modo sin masa ψ0 (norma arbitraria)
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Ejemplo 2. Una brana gruesa con expansion de de Sitter
i) la geometrıa pared de dominio
δgab ≡ cosh(βx/δ)−2δ(−dtadtb + e2βtdxi
adxib + dξadξb
)(25)
φ = φ0 tan−1 sinh(βξ/δ), φ0 ≡√
3δ(1− δ) (26)
V (φ) =32(3 +
1δ)β2 [cos (φ/φ0)]
2(1−δ), ⇒ Λ = 0 (27)
version 5-D ∼ Goetz (1990)
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φ(ξ) −Gtt(ξ)
β = 1, δ = 0.1, δ = 0.2
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ii) la geometrıa δ → 0
gab ≡ limδ→0
δgab =(Θ−
ξ e2βξ + Θ+
ξ e−2βξ
) (−dtadtb + e2βtdxi
adxib + dξadξb
),
(28)
R dabc = lim
δ→0
δR dabc (29)
Gab = lim
δ→0
δGab = −6βδ(ξ)
(∂a
t dtb + ∂axidxi
b
). (30)
Guerrero, Melfo & Pantoja (2002)
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iii) localizacion de la gravitacion
con hµν = eıp·xeA(ξ)/2ψµν(ξ) obtenemos
(−∂2ξ + VQM )ψµν = m2ψµν , pµpµ − 2β2 ≡ −m2 (31)
VQM (ξ) =94β2 − 3
2β2
(32
+1δ
)cosh−2 βξ
δ−→δ→0
94β2 − 3βδ(ξ) (32)
ψ0 ∼ exp(3A(ξ)/2) −→δ→0
23βe−3β|ξ|/2 (33)
∃ un estado ligado sin masa y un continuo de estados masivos conm2 > 9β2/4 no localizados.
∼ Karch & Randall (2000)∼ Wang (2002)
Castillo-Felisola, Melfo, Pantoja & Ramirez (2004)
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Figura 2: VQM y el modo sin masa ψ0 (norma arbitraria)
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V. Un espaciotiempo pared doble
1. Espaciotiempo (R5, gab)
gab = e2A(ξ)(−dtadtb + dxiadx
ib + dξadξb), A(ξ) = − 1
2sln(1 + (αξ)2s), (34)
φ = φ0 tan−1(αsξs), φ0 =
√3(2s− 1)s
, (35)
V (φ) = 3α2 sin(φ/φ0)2−2/s
[2s+ 3
2cos2(φ/φ0)− 2
]. (36)
−Gtt tiene dos maximos ξ± = ±δ [(s− 1)/(s+ 2δ)]1/(2s), s > 1
Melfo, Pantoja & Skirzewski (2003)
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–1.5
–1
–0.5
0
0.5
1
1.5–6 –4 –2 0 2 4 6
1
2
3
4
5
φ(ξ) Gtt(ξ)
s = 1, 5 s = 1, 3, 5
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2. Localizacion de gravedad
• con hµν = eıp·xeA(ξ)/2ψµν(ξ) obtenemos
(−∂2ξ + VQM )ψµν = m2ψµν (37)
VQM (ξ) =3
4ξ25(αξ)4s + 2(αξ)2s − 4s(αξ)2s
(1 + (αξ)2s)2(38)
• −∂2ξ + VQM = (∂ξ + 3
2A′)(−∂ξ + 3
2A′) y
ψ0 ∼ exp(3A(ξ)/2) (39)
∃ un estado ligado en el umbral y un continuo de estados masivos nolocalizados (VQM → 0 asintoticamente).
Castillo-Felisola, Melfo, Pantoja & Ramirez (2004)
∼ Bazeia, Furtado & Gomes (2004) para geometrıas con V (φ) polinomico.
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-10 -5 0 5 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
VQM
ψ0
ξ
s=1
-10 -5 0 5 10
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
s=3
ξ
V
ψ0
QM
Figura 3: VQM y el modo no-masivo ψ0 para s = 1 y s = 3.
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VI. Un mundo-brana sin simetrıa Z2
Castillo-Felisola, Melfo, Pantoja & Ramirez (2004)
1. Espaciotiempo (R5, gab)
δgab = e2A(ξ)(−dtadtb + dxi
adxib
)+ dξadξb (40)
A(ξ) = − 112
[−αξ + δ exp(−2 exp(−βξ/δ))− δ Ei (−2 exp(−βξ/δ))] (41)
Ei(u) ≡ −∫ ∞
−u
dτe−τ
τ
φ(ξ) =√δ exp(− exp(−βξ/δ)) (42)
V (φ) =β2
8 δ2φ2 ln2
(φ2
δ
)− 1
24
(β
δφ2
(1− ln
(φ2
δ
))− α
)2
(43)
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-1 -0.5 0 0.5 1-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
φ
φφ 10
(a)φ(ξ), δ = 0.4, δ = 1 V (φ) (lınea continua) β > α > 0.
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2. Lımite de pared delgada
gab = limδ→0
δgab (44)
gab =(eαξ/6 Θ(−ξ) + e−(β−α)ξ/6 Θ(ξ)
) (−dtadtb + dxi
adxib
)+ dξadξb (45)
R dabc = lim
δ→0
δR dabc (46)
⇒ la superficie ξ = 0 separa dos patches AdS5 diferentes para δ → 0
Tenemos una realizacion explıcita no-singular de un mundo-brana sinsimetrıa de reflexion entorno de una 3-brana M4
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2. Localizacion de gravedad
• haciendo dχ ≡ e−Adξ y con hµν = eıp·xe−3A(χ)/2ψµν(χ) obtenemos
(−12∂2
χ + VQM )ψµν(χ) = m2ψµν(χ) (47)
VQM =12
(94A′(χ)2 +
32A′′(χ)
)(48)
• − 12∂
2χ + VQM = 1
2 (∂χ + 32A
′)(−∂χ + 32A
′) y
ψ0(χ) ∼ e3A(χ)/2 (49)
∃ un estado sin masa normalizable si β > α > 0 y un continuo deestados masivos no localizados (VQM → 0 asintoticamente).
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-3 -2 -1 0 1 2 3
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
χ
ψ
VQM
0
(b)
Figura 4: VQM y el modo no-masivo ψ0 (norma arbitraria) para β > α > 0.
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• en el lımite de pared delgada:
limδ→0
VQM = − 348βδ(χ)+
158
α2
(12− αχ)2Θ(−χ)+
158
(β − α)2
(12 + (β − α)χ)2Θ(χ)
(50)
limδ→0
ψ0 ∼ (1− k−χ)−3/2Θ(−χ) + (1 + k+χ)−3/2Θ(χ)
limδ→0
ψm ∼ (k−1− − χ)1/2
[Y2(m(k−1
− − χ)) + C−J2(m(k−1− − χ))
]Θ(−χ)
+ (k−1+ + χ)1/2
[Y2(m(k−1
+ + χ)) + C+J2(m(k−1+ + χ))
]Θ(χ)
k− ≡ α/12 k+ ≡ (β − α)/12
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• el potencial newtoniano para k− ∼ k+ [8]
U(r) ∼ GNm1m2
r
+ C
∫ ∞
0
dmGN
ke
m1m2e−mr
r
m
ke(1 + 3 (k−/k+ − 1))
+ O((k−/k+ − 1)2) (51)
donde
k−1e =
k−1+ + k−1
−2
GN = G5ke (52)
Obs. para β = 2α tenemos k+ = k− y recuperamos el escenario Z2-simetricoRS .
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• mundos-brana singulares sin simetrıa Z2
– Ida (2000)
– Deruelle & Dolezel (2000)
– Stoica, Tye & Wasserman (2000)
– Perkins (2001)
– Battye & Carter (2001)
– Battye, Carter, Mennim & Uzan (2001)
– · · ·– Padilla (2004)
– Takahashi & Shiromizu (2004)
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VII. Sumario y estado actual
• realizaciones explıcitas no triviales de escenarios RS no singulares.
• correspondencia rigurosa entre escenarios RS y espaciotiempos pared dedominio.
• trabajo en progreso
– confinamiento de otros campos en estas realizaciones (Melfo, Pantoja& Tempo)
– posibles extensiones supersimetricas (Guerrero, Melfo, Pantoja &Rodriguez)
– localizacion de gravedad sobre paredes de dominio escalaresacopladas no-minimalmente a gravitacion (Abreu, Melfo & Pantoja)
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Distribuciones en Relatividad General
• R. P. Geroch and J. Traschen, Phys. Rev. D36 (1987) 1017.
1. Metricas y curvaturas distribucionales
Suponga dados (M, gab) tales que
1. gab y gab existen casi en todos lados y son tensores localmente acotados,
2. la primera derivada ∇c gab en el sentido de las distribuciones en algunoperador derivada suave ∇c existe y es localmente de cuadradointegrable, esto es, el producto externo de la derivada con ella misma eslocalmente integrable.
Estas son las condiciones mınimas para que la curvatura de Riemann seadefinible como distribucion a partir de la formula coordenada usual.Denominaremos a los tensores metricos que satisfacen las condiciones dearriba tensores metricos regulares.
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2. Soporte de las curvaturas distribucionales
Teorema. Sea S una subvariedad d-dimensional de una variedad Mn-dimensional. Sea α b···d
a···c una distribucion no-nula tal que
1. tenga soporte en S
2. sea la suma de las distribuciones asociadas a un tensor localmenteintegrable y a la derivada de un tensor localmente de cuadradointegrable.
Entonces d = n− 1.
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3. Convergencia
Teorema. Sean igab, (i = 1, 2, · · · ) y gab tensores metricos regulares talesque
1. igab y igab son localmente uniformemente acotados a y
2. igab, igab y ∇a igbc convergen localmente en cuadrado integrable a gab,
gab y ∇agbc, respectivamente.
La curvatura distribucional iRd
abc de igab converge a la curvaturadistribucional R d
abc de gab en el siguiente sentido: para cualquier campo deprueba Uabc
d, se tiene que
limi→∞
iRd
abc [Uabcd] = R d
abc [Uabcd] (53)
aEsto significa que, dados cualesquiera campos de prueba Uab y Sab, existe un campo de
prueba φ, independiente de i, que acota a todas las densidades escalares Uabigab y Sab ig
ab.
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Locally localized gravity
Since gravity can propagate through all dimensions, a question ariseswhether effective four-dimensional gravity is obtained at the scales currentlyprobed by experiments. There seems to be three different approaches toobtain the answers.
• One may calculate the component h00 of the metric perturbation due toa matter source directly [Garriga & Tanaka (2000), Giddings, Katz &Randall (2000), Deruelle and Tolezel (2001), Chung, Everett &Davoudiasl (2001), Smolyakov & Volobuev (2002)]. This method leadsto some complications due to the fact that a brane can no longer beconsidered straight when introducing a matter source on it.
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• A second approach is to consider the gravitational potential as the resultof two massive particles interacting through the exchange of a virtualgraviton, and to use the wave equation of the graviton to determine itspropagator and interaction with matter [Charmousis, Gregory andRubakov (2000), Kiritsis, Tetradis & Tornaras (2002), Nojiri & Odintsov(2002) Ghoroku, Nakamura & Yahiro (2003) Callin & Ravndal (Mar2004)]. In this approach the branes are not bent, because the gravitonsare traveling through empty space. The only difficulty resides in thefixing of the normalization of the different 4-dimensional fields.
CFF - Universidad de Los Andes 42
Nelson Pantoja
• The third approach: to make a dimensional reduction to four dimensionsfrom the 5-dimensional graviton lagrangian, and then identify thephysical 4-dimensional fields by requiring that they have canonicalLagrangians [Boos, Kubyshin, Smolyakov & Volobuev (2001), idem(2002), Callin & Ravndal (Dec 2004)]
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