人工環境設計解析工学 構造力学と有限要素法 固体力学の基礎方 … ·...
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人工環境設計解析工学構造力学と有限要素法
（第２回）
東京大学
新領域創成科学研究科
鈴木克幸
固体力学の基礎方程式
変位-ひずみの関係適合条件式
ひずみ-応力の関係構成方程式
応力-外力の関係平衡方程式
境界条件変位規定境界
反力規定境界f
Γu
Γt
t
u=u
Ω
x
y
場の方程式
境界条件
荷重 応力 ひずみ 変形
平衡方程式 構成方程式 適合条件式
構造力学の基礎式
荷重 応力 ひずみ 変形
平衡方程式 構成方程式 適合条件式
ひずみ
一軸
なぜ変位でなくひずみか
多軸
のびひずみ
剪断ひずみ
ε =u x + Δx( ) − u x( )
Δx=
u x( )+dudx
Δx − u x( )
Δx=
dudx
x x+Δx
u(x) u(x+Δx)
x
x
y
(u(x+Δx,y), v(x+Δx,y))
(u(x,y+Δy), v(x,y+Δy))
変位
変形前、変形後の座標
( , , )x y z ( , , )X Y Z
( , , )dx dy dz ( , , )dX dY dZ
u X xv Y yw Z z
= −= −= −
RS|T|
ds dx dy dz dx dxi i2 2 2 2= + + = dS dX dY dZ dX dXi i
2 2 2 2= + + =
変位とひずみdX X
xdx X
ydy X
zdz u
xdx u
ydy u
zdz
dY Yx
dx Yy
dy Yz
dz vx
dx vy
dy vz
dz
dZ Zx
dx Zy
dy Zz
=∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ = +
∂∂
FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ
=∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ =
∂∂FHGIKJ + +
∂∂
FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ
=∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ +
∂∂
1
1
FHGIKJ =
∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ + +
∂∂
FHGIKJdz w
xdx w
ydy w
zdz1
dS ds ux
dx uy
dy uz
dz dx
vx
dx vy
dy vz
dz dy
wx
dx wy
dy wz
dz dz
2 2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
− = +∂∂
FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ
RST|UVW|
−
+∂∂FHGIKJ + +
∂∂
FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ
RST|UVW|
−
+∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ + +
∂∂
FHGIKJ
RST|UVW|
−
変位とひずみ２
=∂∂
+∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ
RS|T|
UV|W|
+∂∂
+∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ
RS|T|
UV|W|
+∂∂
+∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ
RS|T|
UV|W|
2
2
2
2 2 22
2 2 22
2 2 22
ux
ux
vx
wx
dx
vy
uy
vy
wy
dy
wz
uz
vz
wz
dz
+∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ
∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ
∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ
∂∂FHGIKJ
RST|UVW|
+∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ
∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ
∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ
∂∂FHGIKJ
RS
uy
vx
ux
uy
vx
vy
wx
wy
dxdy
vz
wy
uy
uz
vy
vz
wy
wzT|UVW|
+∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ
∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ
∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ
∂∂FHGIKJ
RSTUVW
dydz
wx
uz
uz
ux
vz
vx
wz
wx
dzdx
ひずみ（Greenのひずみ）ε
ε
ε
xx
yy
zz
ux
ux
vx
wx
vy
uy
vy
wy
wz
uz
vz
wz
=∂∂
+∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ
=∂∂
+∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ
=∂∂
+∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ
12
12
12
12
12
12
12
12
12
2 2 2
2 2 2
2 2 2
ε
ε
xy
yz
uy
vx
ux
uy
vx
vy
wx
wy
vz
wy
uy
uz
vy
vz
wy
wz
=∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ
∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ
∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ
∂∂FHGIKJ
LNMM
OQPP
=∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ
∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ
∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ
∂∂F
12
12 HG
IKJ
LNMM
OQPP
=∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ
∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ
∂∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ
∂∂FHGIKJ
LNM
OQP
ε zxwx
uz
uz
ux
vz
vx
wz
wx
12
直ひずみ
剪断ひずみ
ε iji
j
j
i
k
i
k
j
ux
ux
ux
ux
=∂∂
FHGIKJ
+∂
∂FHGIKJ +
∂∂FHGIKJ
∂∂
FHGIKJ
LNMM
OQPP
12テンソル表記
線形ひずみ
２次の項を無視
xx
yy
zz
uxvywz
ε
ε
ε
∂=
∂∂
=∂∂
=∂
12
12
12
xy
yz
zx
u vy x
v wz y
w ux z
ε
ε
ε
⎡ ⎤⎞⎛ ∂ ∂ ⎞⎛= +⎢ ⎥⎜ ⎟⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎞⎛∂ ∂⎞⎛= +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎟⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∂ ∂⎡ ⎤⎞ ⎞⎛ ⎛= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎝⎠ ⎠⎣ ⎦
直ひずみ 剪断ひずみ
ε iji
j
j
i
ux
ux
=∂∂
FHGIKJ +
∂
∂FHGIKJ
LNMM
OQPP
12テンソル表記
変位-ひずみの関係（２次元、線形）
変位
ひずみ
変位が十分小さいとき、線形の関係
{ }yx uu ,
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂∂∂∂∂
∂∂=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∂∂+∂∂∂∂∂∂
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
y
x
yx
y
x
xy
y
x
uu
xyy
x
xuyuyuxu
///00/
////
γεε
{ }xyyx γεε ,,
*= ∇ε uベクトル表示
応力
一軸
なぜ力でなく応力か
多軸
２次元、３次元
F
A
FA
x
y
σx+Δσxσx
σy+Δσy
σy
ττ
τ+Δτ
τ+Δτ
任意方向の応力
主応力方向剪断応力ゼロ
直応力最大
x
x
y
n
y
nn
0 =∂σn
∂θ= −
σ x − σ y
2sin2θ +τ cos2θ = τn
sin cos sin coscos sin cos sin
x n n
y n n
τ θ σ θ τ θ σ θτ θ σ θ τ θ σ θ
+ + =⎧⎨ + − =⎩
cos2 sin 22 2
sin 2 cos22
x y x yn
x yn
σ σ σ σσ θ τ θ
σ στ θ τ θ
+ −⎧= + +⎪⎪
⎨ −⎪ = − +⎪⎩
３次元応力
x
y
z
n
Tx
T z
T y
Tn
T dS n dS n dS n dST dS n dS n dS n dST dS n dS n dS n dS
nx xx x yx y zx z
ny xy x yy y zy z
nz xz x yz y zz z
= + +
= + +
= + +
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
T nni ji j= σテンソル表記
T
T
T
x xx xy xz
y yx yy yz
z zx zy zz
=
=
=
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
, ,
, ,
, ,
n sn sn s x
y
z
Tx
T z
T y
nx xx xy xz x
n ny yx yy yz y
nz zx zy zz z
T nT nT n
σ σ σσ σ σσ σ σ
⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦
T
３次元主応力
剪断応力なし面の法線方向に力がかかる
固有値問題固有値（３成分）＝主応力値
固有ベクトル（互いに直交）＝主応力方向
σ σ σσ σ σσ σ σ
λxx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
x
y
z
x
y
z
nnn
nnn
L
N
MMM
O
Q
PPP
RS|T|
UV|W|
=RS|T|
UV|W|
応力と外力の釣り合い
微小領域における釣り合い
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂∂∂∂∂∂∂
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+∂
∂+
∂
∂
+∂
∂+
∂∂
00
//0/0/
y
x
xy
y
x
yyxy
xxyx
ff
xyyx
fyx
fyx
τσσ
στ
τσ
*T∇ + =σ f 0
x
y
dx
d yσ xx
σ yy
σ xy
σ yx
f x
f y
σ σxx
xx
xdx+
∂∂
σσ
yyyy
ydy+
∂
∂σ
σyx
yx
ydy+
∂
∂
σσ
xyxy
xdx+
∂∂
力の釣り合い
２次元
任意の面の応力
x
y
x xx
y y
y
++
++
0
0
xyxx
xy yy
fx y
fx y
τσ
τ σ
∂∂+ + =
∂ ∂∂ ∂
+ + =∂ ∂
σx
x
y
n
σy
σn
τ
τ
τn
τ sinθ +σ x cosθ + τn sinθ = σn cosθτ cosθ +σ y sinθ −τ n cosθ = σ n sinθ
σn =σ x +σ y
2+
σ x − σ y
2cos2θ +τ sin2θ
τn = −σ x −σ y
2sin2θ + τ cos2θ
境界条件
変位の境界条件
荷重の境界条件
=u u
xN =σ t
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
xy
yxx nn
nnN
00 x
y
nn
⎧ ⎫= ⎨ ⎬
⎩ ⎭n
f
Γu
Γt
t
u=u
Ω
x
y
応力と歪みの関係
一軸
多軸
σ = Eεフックの法則 （線形）
x
y
σxσx
σy
σyεx =σ x
E−ν
σ y
E
εy =σ y
E− ν
σx
E τ = GγE :ヤング率ν:ポアソン比G:剪断剛性
ひずみ-応力関係式
Hookeの法則
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
xy
y
x
xy
y
x
DDDDDDDDD
γεε
τσσ
333231
232221
131211
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
xy
y
x
xy
y
x E
γεε
νν
ν
ντσσ
2/)1(000101
1 2等方弾性（平面応力問題 ）
E :ヤング率ν :ポアソン比D=σ ε
３次元の線形弾性関係
異方性
直交異方性（性質がxy面、yz面、xz面に対して対称）
11 12 13
12 22 23
13 23 33
44
55
66
0 0 00 0 00 0 0
0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
xx xx
yy yy
zz zz
xy xy
xz xz
yz yz
c c cc c cc c c
cc
c
σ εσ ε
σ εσ ε
σ εσ ε
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭
11 12 13 14 15 16
12 22 23 24 25 26
13 23 33 34 35 36
14 24 34 44 45 46
15 25 35 45 55 56
16 26 36 46 56 66
xx xx
yy yy
zz zz
xy xy
xz xz
yz yz
c c c c c cc c c c c cc c c c c cc c c c c cc c c c c cc c c c c c
σ εσ ε
σ εσ ε
σ εσ ε
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
等方性（３次元）
λ,μ:ラーメの定数σσσσ
σσ
λ μ λ λλ λ μ λλ λ λ μ
μμ
μ
εεεε
εε
xx
yy
zz
xy
xz
yz
xx
yy
zz
xy
xz
yz
R
S
||||
T
||||
U
V
||||
W
||||
=
++
+
L
N
MMMMMMM
O
Q
PPPPPPP
R
S
||||
T
||||
U
V
||||
W
||||
2 0 0 02 0 0 0
2 0 0 00 0 0 2 0 00 0 0 0 2 00 0 0 0 0 2
εεεε
εε
ν νν νν ν
νν
ν
σσσσ
σσ
xx
yy
zz
xy
xz
yz
xx
yy
zz
xy
xz
yz
E
R
S
||||
T
||||
U
V
||||
W
||||
=
− −− −− −
++
+
L
N
MMMMMMM
O
Q
PPPPPPP
R
S
||||
T
||||
U
V
||||
W
||||
1
1 0 0 01 0 0 0
1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1
( )( )
( )
μν
=+E
2 1( )
λ νν ν
=+ −
E( )( )1 1 2
テンソル表記
σ με λε δij ij kk ij= +2
ε ν σ νσ δij ij kk ijE= + −
1 1b gn s
一般の鋼材応力
歪
降伏応力弾性限比例限
引張応力
破断応力
アルミ材などでは、降伏点が 明確に現れない0.2%耐力
基礎方程式
* *
*
( )T
u
x t
Don
N D on
∇ ∇ + == Γ
∇ = Γ
u f 0u u
u t
f
Γu
Γt
t
u=u
Ω
x
y
偏微分方程式の境界値問題変位表記 状態変数 変位 自己随伴解析解を求めるのは困難 →数値解
有限要素離散
領域を、単位領域（要素）に分割
I①
②③ ④
⑤⑥
⑦
1
2
35
6 7 (x(7),y(7))
II1
I2
I3
10節点
要素
形状関数
要素内のある節点で１となり、他の節点で０となる関数
三角形要素では１次関数
12
3
12
3
12
3
N1(x) N2(x)
N3(x)
変位の近似
形状関数と節点での値
1 1 2 2 3 3( , ) ( , ) ( , ) ( , )x x x xu x y u N x y u N x y u N x y= + +
1 1 2 2 3 3( , ) ( , ) ( , ) ( , )y y y yu x y u N x y u N x y u N x y= + +
12
3
ux1
ux2
ux3
1
1
21 2 3
21 2 3
3
3
0 0 00 0 0
x
y
xi xi
yi y
x
y
uu
u uN N Nu uN N N
uu
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥
⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
u
i iN=u u
ひずみ、応力の近似
変位を微分
三角形要素では要素内で一定値* *
i i i iN B= ∇ = ∇ ≡ε u u u
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂∂∂∂∂
∂∂
∂∂∂∂∂∂
∂∂
∂∂∂∂∂∂
∂∂=
xNyNyN
xN
xNyNyN
xN
xNyNyN
xNB
///0
0/
///0
0/
///0
0/
33
3
3
22
2
2
11
1
1
i i iD DB= =σ ε u
弱形式とエネルギー原理
変分原理
( )( ) ( )( )* * * 0t
T T TxD d N D dδ δ
Ω Γ∇ ∇ + Ω − ∇ − Γ =∫ ∫u u f u u t
( )( )* * 0t
T T TD f d dδ δ δΩ Γ
∇ ∇ − Ω − Γ =∫ ∫u u u u t
仮想仕事の原理 仮想変位による内部エネルギーの増加分＝外力の仕事
( )* *TD dδ
Ω∇ ∇ Ω∫ u u
t
T Tf d dδ δΩ Γ
Ω + Γ∫ ∫u u t＝
uon= Γu u
uon= Γu u
なぜ弱形式か
１次関数で近似するとひずみは要素間で不連続
２階微分は存在しない
( )( )* * 0i ti
T T T
i iD d dδ δ δ
Ω Γ∇ ∇ − Ω − Γ =∑ ∑∫ ∫u u u f u t
( )( )* * 0t
T T TD f d dδ δ δΩ Γ
∇ ∇ − Ω − Γ =∫ ∫u u u u t
要素ごとの積分
有限要素離散の弱形式
ひずみ
仮想ひずみ
( )( ) ( ) ( )i i ti
T T Ti i i i
i iB DB d N d N dδ δ δ
Ω Ω Γ
⎡ ⎤Ω = Ω + Γ⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑∫ ∫ ∫u u u f u t
iBδε δ= u
iBε = u
( )i i ti
T T T T T Ti i i i
i iB DB d N d N dδ δ δ
Ω Ω Γ
⎡ ⎤Ω = Ω + Γ⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑∫ ∫ ∫u u u f u t
変位
仮想変位 iNδ δ=u u
iN=u u
要素剛性マトリクスと全体剛性マトリクス
T TKδ δ=u u u f( )
i
i ti
T
i
T T
i
K B DB d
N d N d
Ω
Ω Γ
= Ω
⎡ ⎤= Ω + Γ⎢ ⎥⎣ ⎦
∑∫
∑ ∫ ∫f f t
K =u f
( )i i ti
T T T T T Ti i i i
i iB DB d N d N dδ δ δ
Ω Ω Γ
⎡ ⎤Ω = Ω + Γ⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑∫ ∫ ∫u u u f u t
有限要素法の剛性方程式 →線形連立方程式ソルバー
要素剛性マトリクス
全体剛性マトリクス
全体荷重ベクトル
要素荷重ベクトル
剛性マトリクス、荷重ベクトルの足し合わせ
全体自由度の中の相当する位置に足し込む
要素剛性マトリクス
全体剛性マトリクス
要素剛性マトリクス
全体荷重ベクトル
要素荷重ベクトル
要素荷重ベクトル
動的解析
過渡応答解析線形
非線形
固有振動解析線形
静的問題では力が釣り合う
ΣF=0動的問題では不釣り合い力が加速度を生じる
ΣF=ma
過渡応答解析の例
時間を追って解析
固有振動解析の例
自動車ガスタンク
1次 129.6 Hz 2次 374.8 Hz 3次 547.9 Hz
平衡方程式
微小領域における釣り合い
/ 0 /0 / /
xyxxx
x xy
y yxy yy xy
ff ux yx yf uy x
fx y
τσ σρ
σρτ σ
τ
∂⎧ ⎫∂ ⎧ ⎫+ +⎪ ⎪ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫∂ ∂ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪= + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ + ⎩ ⎭⎪ ⎪∂ ∂⎩ ⎭*T ρ∇ + =σ f u
x
y
dx
d yσ xx
σ yy
σ xy
σ yx
f x
f y
σ σxx
xx
xdx+
∂∂
σσ
yyyy
ydy+
∂
∂σ
σyx
yx
ydy+
∂
∂
σσ
xyxy
xdx+
∂∂
基礎方程式
* *
*
( )T
u
x t
Don
N D on
ρ∇ ∇ + == Γ
∇ = Γ
u f uu u
u t
f
Γu
Γt
t
u=u
Ω
x
y
偏微分方程式の境界値問題変位表記 状態変数 変位 外力、境界条件は時間の関数であり得る材料定数は？
弱形式
( )( ) ( )( )( )
* * *
t
T T Tx
T
D d N D d
d
δ δ
δ ρ
Ω Γ
Ω
∇ ∇ + Ω − ∇ − Γ
= Ω
∫ ∫∫
u u f u u t
u u
( )( ) ( )* *
t
T T
T T
D d d
f d d
δ δ ρ
δ δ
Ω Ω
Ω Γ
∇ ∇ Ω + Ω
= Ω + Γ
∫ ∫∫ ∫
u u u u
u u t
uon= Γu u
uon= Γu u
有限要素離散の弱形式
変位
仮想変位
加速度
( )( )i
T Ti i
iB DB d Kδ δ
ΩΩ =∑∫ u u u u
iNδ δ=u u
iN=u u
( ) ( )i i
T T T Ti i i i
i iT T
i i ii
N N d N N d
M M
δ ρ δ ρ
δ δ
Ω ΩΩ = Ω
= =
∑ ∑∫ ∫∑
u u u u
u u u u
iN=u u
( ) ( )i ti
T T Ti i
iN d N dδ δ δ
Ω Γ
⎡ ⎤Ω + Γ =⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∫ ∫u f u t u f
M: 質量マトリクス
基礎方程式
減衰なし
減衰を考慮
固有振動解析
K M+ =u u f
K C M+ + =u u u f
2K Mω=u u
減衰
現実の振動は必ず減衰
理論的に評価は困難
実験、経験により評価
構造減衰
質量減衰
C K Mα β= +
固有振動問題
モード解析、モーダル解析
sin( )tω=u a
2K Mω=a a
ωa
固有振動数固有振動モード
固有値問題
通常の固有値問題
一般化固有値問題
Mが正値対称であれば
K λ=u u
K Mλ=u u
1
1
T
T
L K LL KL
λ
λ
−
− −
=
=
u uv v
TM LL=
特徴
KとMは正値対称
固有振動数は実数
固有モードは互いに直交
過渡応答解析
時間積分
陰解法比較的ゆっくりとした非線形現象をきちんと解く
動的問題、準静的問題
ABAQUS, MARCなど
陽解法運動方程式の時間積分において連立方程式を解くことなく解を得る
強度の大変形を伴う衝撃問題
非常に小さな時間刻みにする必要性
LS-DYNA、PAM-CRASHなど
時間積分（中央差分法）
K C M+ + =u u u f1 1
2n n
n t+ −−
≈Δ
u uu
1 12
2n n nn t
+ −− +≈
Δu u uu
1 12 2 2
1 1 2 1 12 2n n nC M M K C M
t t t t t+ −⎞ ⎞ ⎞⎛ ⎛ ⎛+ = − − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ Δ Δ⎝ ⎝ ⎝⎠ ⎠ ⎠u u u f
時間積分法
陽解法
中央差分法
陰解法
Wilsonのθ法
Newmarkのβ法
課題
以下の問題を有限要素法を用いて解く．要素剛性マトリクス，全体剛性マトリクスを求めよ。
質量マトリクスをもとめよただし、三角形内の積分は三角形の重心での値に三角形の面積をかけたもので近似できるとしてもよい
Matlab、Octave等を用い、固有振動数、
固有モードを求めよ
固有モードが直交する
ことを確認せよ
F=1 N
1 m
1 m E=100 GPaν=0