certamen i qft

8/15/2019 Certamen I QFT

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Certamen I Teoria Cuantica de Campos

Juan Cajales Bello

May 31, 2016

P.2 La teoria de los campos clasicos fermionicos

Considerar el lagrangiano de dos campos espinores de Weyl izquierdos η y χ con lasinteracciones 4-fermionicas:

L = ξi∂ξ + ηi∂η + mξη + µ1 (ξξ ) (ηη) + µ2 (ξη) (ξη) + (h.c.)

donde ∂ = σµ∂ µ

1. Cual es la dimension fısica de los parametros m, µ1 y µ2.

R: Sabemos que el lagrangiano debe cumplir con S = Ldx4, donde S representa la

accion la cual sabemos es adimensional y ya que dx4 = E −4 entonces L = E 4, ademaslos campos fermionicos tienen dimensiones de η, ξ = E

3

2 . Con esto podemos verificar lasdimension de todos los parametros

mxη3

2 ξ 3

2 = E 4 −→ x = 1, m = [E ]

µx1

ξ 3

2 ξ 3

2 η3

2 η3

2 = E 4 −→ x = −2, µ1 = [E −2]

µx2

ξ 3

2 η3

2 η3

2 ξ 3

2 = E 4 −→ x = −2, µ2 = [E −2]

2.¿Que terminos denota (h.c) en el lagrangiano? Especificar explıcitamente estos terminos.

R: (h.c) quiere decir hermiticos conjugados por lo cual vemos que ocurre para cadatermino, primero para los terminos cineticos

ξi∂ξ

†= ξi∂ξ ,

ηi∂η

†= ηi∂η ,

Mientras que para el termino de masa y los de interaccion, definiendo que m, µ1 y µ2 sonreales, tendremos que:

(mξη)† = mηξ, (µ1 (ξξ ) (ηη))† = µ1 (ηη)

ξ ξ

, (µ2 (ξη) (ξη))† = µ2

ηξ

ηξ

3.Que simetrıas (ademas de la simetrıa de Lorentz) posee el Lagrangiano. Especifique lastransformaciones de los campos ξ y η con respecto de esta simetrıa.

R: En este caso el lagrangiano posee una simetria interna. Para cada campo de Weyltendremos transformaciones las cuales vienes dadas por

ξ −→ ξ

= eiθξξ η −→ η

= eiθηη

ξ −→ ξ

= e−iθξ ξ η −→ η

= eiθη η

si estas ademas cumplen con θξ = −θη entonces el lagrangiano permanecera invarianteante las tranformaciones globales U 1ξ ⊗ U 1η4. Encontrar la corriente conservada jµ correspondiente a esta simetrıa. Expresela enterminos de ξ y η .

R: Para encontrar la corriente conservada asociada a la simetria descrita en el puntoanterior debemos ocupar el teorema de Noether, el cual en terminos generales estableceque:

δ L = ∂ u

δ L

δ (∂ uφi)(δφi)

= 0



desde lo cual definimos la corriente como:

J u = i δL

δ (∂ uφi)δφi

tendremos en este caso que las transformaciones infinitesimales correspondientes a cadacampo vienen dadas por:

ξ → ξ + δξ, δξ = iθξξ η → η + δη, δη = iθηη

ξ → ξ + δ ξ, δ ξ = −iθξ ξ η → η + δ η, δ η = −iθηη

Entonces realizando la variacion para cada uno de los campos η y ξ encontramos que

J µ = ∂ L

∂ (∂ µξ )δξ +

∂ L

∂

∂ µξ δ ξ +

∂ L

∂ (∂ µη)δη +

∂ L

∂ (∂ µη)δ η = iθξ ξ σµξ + iθηησµη

si anadimos la condicion impuesta a la simetria en el punto anterior θξ = −θη la corrientetotal conservada sera

J µ

= ξ

¯σµξ −

¯η

¯σµη

(1)

5. Exprese el Lagrangiano en terminos del biespinor de Dirac.

ψξ =

ξ

η

R: Desde este biespinor podemos definir todos los demas necesarios para reescribirnuestro lagrangiano, estos seran

ψ =

η ξ

, ψc =

η

ξ

, ψc =

ξ η

A partir de estos y los operadores de proyeccion tendremos que los terminos cineticosvienen dados porξ σµ∂ µξ = ψP Rγ µP L∂ µψ

ησµ∂ µη = ψcP Rγ µP L∂ µψc

Si sumamos ambos terminos obtendremos que

ξ σµ∂ µξ + ησµ∂ µη = ψγ µi∂ µψ

las distintas combinaciones de los campos vendran dadas por

ηξ = ψP Lψ, ξη = ψcP Lψc, ξξ = ψcP Lψ, ηη = ψP Lψc

ηξ = ψcP Rψc, ξ η = ψP Rψ, ξ ξ = ψP Rψc, ηη = ψcP Rψ

desde la cuales podemos construir el termino de masa como

m

ξη + ηξ

= m( ψP Lψ + ψcP Rψc) = mψψ

tambien tendremos los terminos de interaccion

µ1

(ξξ ) (ηη) + (ηη)

ξ ξ

= µ1

ψcP Lψ

ψP Lψc

+

ψP Rψc

ψcP Rψ

µ2

(ξη) (ξη) +

ηξ

ηξ

= µ2

ψP Lψ

ψP Lψ

+

ψP Rψ

ψP Rψ

Si reescribimos de forma explicita los operadores de proyeccion P L,R = 1

2

1∓ γ 5

la parte

de interaccion quedara de la forma

µ1

2

ψψc

ψcψ

+

ψγ 5ψc

ψcγ 5ψ

+

µ2

2

ψψ

ψψ

+

ψγ 5ψ

ψγ 5ψ

Utilizando todo lo anterior nuestro lagrangiano total en terminos del espinor de Diractendra la forma :

L = ψγ µi∂ µψ+mψψ+µ1

2

ψψc

ψcψ

+

ψγ 5ψc

ψcγ 5ψ

+

µ2

2

ψψ

ψψ

+

ψγ 5ψ

ψγ 5ψ



6. Exprese el Lagrangiano en terminos de dos biespinores de Majorana.

ψξ =

ξ

ξ

, ψη =

η

η

R: Definimos desde estos los respectivos

ψξ =

ξ ξ

, ψη =

η η

En este caso los terminos cineticos estaran dados de forma similar a la de Dirac

ξ σµi∂ µξ = ψξP Rγ µi∂ µP Lψξ

ησµi∂ µη = ψηP Rγ µi∂ µP Lψη

El termino cinetico total sera

ξ σµi∂ µξ + ησµi∂ µη = i

2ψξγ µi∂ µψξ +

i

2ψηγ µi∂ µψη (2)

mientras que el termino de masa sera

m

ξη + ηξ

= m

ηξ + ξ η

= m

ψξψη

= m

ψηψξ

Los terminos de interaccion expresados en termino de los proyectores seran

µ1

(ξξ ) (ηη) + (ηη)

ξ ξ

= µ1

ψξP Lψξ

ψηP Lψη

+

ψξP Rψξ

ψηP Rψη

µ2

(ξη) (ξη) +

ηξ

ηξ

= µ2

ψξP Lψη

ψξP Lψη

+

ψξP Rψη

ψξP Rψη

Al igual que en el caso de Dirac escribiremos explicitamente los operadores de proyeccion

P L,R = 1

2

1∓ γ 5

con lo cual el lagrangiano total tendra la forma

L = i

2 ψξγ µ∂ µψξ + i

2 ψηγ µ∂ µψη + mψξψη + µ1

2

ψξψξ

ψηψη

+

ψξγ 5ψξ

ψηγ 5ψη

+µ2

2

ψξψη

ψξψη

+

ψξγ 5ψη

ψξγ 5ψη

7. Determine las simetria que posee el lagrangiano en la representacion en terminosdel biespinor de Dirac y en terminos de los dos biespinores de Majorana. Compruebe sicoinciden o no con la simetria encontrada en el punto 3.

R: Vemos que el lagrangiano escrito en terminos del biespinor de Dirac cumplira conuna simetria del tipo

ψ → eiθψ ⇒ ψ → e−iθ ψ ψc → eiθcψc ⇒ ψc → e−iθc ψc

en este caso el Lagrangiano sera invariante para todos los valores de θ y θc. Entonces elgrupo de transformaciones frente al cual permanecera invariante es U 1 × U 1 global.Mientras que cuando los escribimo en termino de los biespinores de Majorana cumpliracon las transformaciones del tipo

ψξ → eiθξψξ ⇒ ψξ → e−iθξ ψξ ψη → eiθηψη ⇒ ψη → e−iθη ψη

Aqui la simetria se cumple solo si θη = θξ, esta es conocida como simetria del tipovectorial U (1).

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