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hat ionai tibran)- Jibtioth-e nationate I+ of Canada du Canada CAN AD^ AN THESES THPSES CANADIENNES" ON MlCROFlCflE ---m MICROFICHE "
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h:4'.qE OF AUTHOR NO,#DE L'AUTEUR - 1 ?.? /- ,Q . I fi
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9.
TITLE OF T ~ E S I S T ~ T R E DE L A T H ~ S E . / L . ,G r j : b"", ,
DEGREE FOR NHIC-H THESIS WAS VESENTED / c
-' 1 GRADE POUR LEQUEL CETTE THESE FUT P R ~ S E N T ~ E i '... I ,
4 2 -;7 YEAR THIS DEGREE CONFERRED/ANN~!E ~ D ' O B T E N T I O N DE CE GRADE I
&AWE OF SUPER JlSOR WOM DU DIRECTEUR DE T H ~ S E ' P o - 2 ;:,,r,,
k -
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0
THIS DISSERTATION LA THESE A ETE ' HAS BEEN MICROFILMED MICROFILMEE TELLE QUE o
EXACTLY AS RECEjVED C- NOUS L'AVONS RESUE
NON-LINEAR MECHANICS
M.A. PAMJ-AB UNIV. (INDIA) 19.59
M.Sc . SIMON FRASER U N I V . 1973 ,-
ih t h e D e p a r t m e n t .i
u o f - . A
O O a
at he ma tics
J a g d i s h C . A r y a ' 1977
SIMON PRASER UNIVERSITY *
J u n e 1 9 7 7
A l l r i g h t s r e s e r v e < - . T h i s t h e s i s may n o t b e r e p r o d u c e d . ~ i n w h o l e o r i n p a r t , b y ' p h o t o c o , p y o r o t h e r m e a n s , w i t h - o u t p e r m i s s i o n o f t h e a u t h o r .
A P P R O V A L
NAME: J a g d i s h C . Arya
1, J
NOH-LINEAR M E C H A ~ I C S
C H A I R P - E R S O N : A . ~ a c h l a n ,
, , b
3 . BOJADZIEV S E N I O R SUf E R V I , S a R
R.W. Lardner
. D . . L . . , Sharma
A . Das '
PROF. Xntsn%Zmrnes tie P a t e r E x t e r n a l Examiner '
PROFESSOR, UNXVERSITY OF TECHNOLOGY, . . . DELFT, =. . - NETHERLANDS,.
L3 L
Date Approved: J u n e 7 ; 1'977 . - . I
0
PARTIAL COPYRIGHT LICENSE . , ,
I hereby grant t o Simon Fraser University the f ight to lend
my thesis' o r d isser ta t ion (th; t i t l e of' which i s shown below) t o users s a
- A I .
'f - of tne Simon Fraser University ~ i b r a r y , and- t o make par t ia l or s ingle -
.I
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behalf or fo r one df i ts users, I fur ther agree t h a t permission 'for
multiple cGpying o f t h i s thes is fo r scholarly purpose$ may be granted
- by me or the Dean o f Graduate Studies. '.1t i s unders$ood tha t cppying /-
or pub1 ication o f t h i s thesis for financial ga in shall not be a1 lowed I
w i t h o u i my y r i t t en pekiss ion . *
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Ti t l e of ~ h e s i sjl% i s e r t a t i on : . .
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C e r t a i n p e r t u r b a t i o n m e t h o d s a r e u s e d t o a n a l y s e
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o f t h e p e r i o d i c s o l u t i o n s o b t a i n e d b y ' t h e two m e t h o d s o f " .
P o i n c a r g arid K r y l o v - B o g o l i u b o v f o r s y s t e m s o f o r d i n a r y ,
d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a n d i t i s s h o w n t h a t t h e s o l u t . i o n s
o b t a i n e d ly~- t h e - two m e t h o d s c o i n c u i d e t e r m by tepn. T h e r e s u l t s L -
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I ?he K r y l o v - B o g o l i b o v - ~ i t r o p o l s b i i (K'-B-M) B s y m p t o t i c L
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0
m e t h o d w a s u s e d c o i n v e s t i g a t e t h k • ’ 0 1 o w i n g p r o b l e m s : 2 d b
- a ) 2 e r e s p o n s e . o f a n o n - l i n e a r v i b r a t o r under - the Lime- - - - -
d e p e n d e n t ( p e q i o d i c o r no'n- periodic) e x t e r n a l f o r c e i s - ,.
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i n v e s t i g a t e d . T h e a n a l y s i s "is e x t e q d e a t o n o n - l i n e a r . -
> 1
v i b r a t o r s g o v e r n e d by p a r t i a J d i f f e r e n t i a l e q h a t i o n s . - 1
b ) T h e -ef f e c ' t s o f k i n e m a t i c a l n o n - l i b n e a r i t i e s on < h e .. . v i b r a t i o n f r e q u e n c i e s o f undamped a n d dam,ped s t r i n g s a r e '
i n v e s t i g a r e d .and i t ' i s s h o w n t h a t i n t h e c a s e o f undamped
s t r i n g , t h e n a t u r a l f r e q q e n c i e s - ' a r h i n c r e a s e d *by a t d r m
w h i c h ? r i r i . , lowes t o r d e r 5.s- p r 8 p o r 8 t i o n a l t o t h e s q u a r e o f t h e t
0.
a m p l i t u d e o f v i b r a t i o n . T h e s a m e i s t r u e f o r n a t u r a l - - -
f k e q u e n c i e s i n t h e case o f a damped s t r i n g , f o r .d
< t i m e s w h i c h a r e s m a l l c o m p a r e d w i t h t h e d e c a y t i m e . ,
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h y p e ' r b o l i c p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n w i t h s l ~ w l y ,
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. t ' a r y i n g c o e f f i c i ; ? n t s . T h e r e s u l t s -are a p p l i e d t o t w o -
)i ' d i m e n s i o n a l i r i b r ' a t i o n s of ' a d a m p e d s t r e t c h e d s t r i n g . -
'6. -
- T h e n a f u r e o f > p l a n e s h o c k w a v e s . i n a v i s c o e l a s t i c
n e d i a d i s p l 9 y i n g c u b i c e l a s t i c i t y i s a l s o i n v e s t i g a t e d , b y t G
u s i n g t h e t w o - t i m e ~ x p a n s i o n - , T h e n o n - l i n e a r i t y i s t a k e n t o - % .- < --------- -: -+.
o c c u r i n t h e f o r g of t e r m s i n t h e s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n w h i c h
ar-e q u a d r a t i c a n d f u b i c i n s t r a i n a n d t h e v i s c o e l a s i c i t y i s . /s , . t a k e n a s a f u n c t i o n z l t e r m i n t h e s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n . - *
A p p r o x i m a t e s o l u t i o n s a r e o b t a i n e d i n - t h e c a s e w h e n t h e ,
t . i s , c o e l a s t i c e f k e c t s a r e s i g n i f i c a n t o n l y w i t h i n t h e s h o c k -
1 a : i e r s w h i c h d e v e l o p .
ACKNOWLEDGEMENT
r 1 ' w i " s h t o e x p r e s s my g r a t i t u d e t o my s u p e r , v i . s b r ,
. " D r . G . ' ~ o j a d z i e v , a n d t o D r . R o b i l q L a r d n e r f o r s e v e r a l
, . conversations r e l a t e d t o t h i s work.
L
7
6%
TABLE OF CONTENTS
1
ISTRODUCTION
CHAPTER 1: ON THE PERIODIC SOLUT,IONS OF DIFFERENTIAL
1. INTRODUCTION 1 0 d
2. S,ECOND ORDER AUTONOMOUS EQUATION 13
3. SECOND ORDER NON-AUTONOMOUS EQUATION 20 - e
,
4. SY'STEXS OF AUTOWOMOUS DIFFERENTIAL EQUATIONS . - 28 - . I
5. SYSTEMS OF N O N - A U T O N O M O U S ' D I F F E R E N T I A L EQUATIONS c - -21
m 6. SECOND ORDER AUTONOMOUS PARTIAL DIFFERENTIAL
t
EQUAT 34 .
7. SECOND ORDER NON-AUTONOMOUS PARTIAL ,"
DIFFERENTIAL EQUATION 4 4 .A
CHAPTER 2: RESPONSE OF A NON-LINEAR VIBRATOR UNDER THE
INFLUENCE OF A TIME-DEPENDENT EXTERNAL FORCE. 55
INTRODUCTION 5 5
SECTION I (SYSTEM GOVERNED BY ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION)
Irr-
THE ASYMPZ~IOTIC SOLUTION
VANDER POL'S EQUATION 61
SIGNIFICANT DAMPING FORCE 64 . f -
SECsTION I1 (SYSTEM GOVERNED BY PARTIAL DIFFERENTIAL E Q C A T I O H ) 69 -
ASYYPTOTIC SOLUTIOS 6 9 /
RELAXATION .FUNCTION 168
BIBLIOGRAPHY
-C I ? '
^t
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- . A 2 * = + -
I_ - - - a
- M . V . ' O s t r ~ g r a d s k i i . A
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4 *- *'+J - " , %='% 'WZa
t o a g i n e a r d n e , when t h e g o v e r n i n g n o n - l i n e a r d i f f e r e n t i a l
-7" - 3.-
e q u a t i o k c o n t a i n s a s m a l l p a r a m e t e r E a n d f o r E 0 t h i s fi,
e q u a t i o n r e d u c e s t o a l i n e a r d i f f e r e n a i a l e q . 3 , a t i o n w i t - h .. . _*%
?' ' c o n s t a n t c o e f f i c i e n t s . ' To f i n d t h e s o l u t i o n o f s u c h n o n - o , ,
- - >.. C
l i n e a r s y s t e m s , o n e g e n e r a l l y s e e k s a p $ ? o x i m a t e s o l u t i o n s . '&
T h e m o s t commonly u s e d m e t h o d i s t h e p e r t u r b a t i o n - m e t h o d . ,LI E(
-2 .. * 5 - < -- T h i s m e t h o d w a s w o r k e d b y t h e a s t r o n o m e r s f a r ' s t u d y i n g *&-;
.?.*l
1, .- p l a n e t a r y m o t i o n . T h e e a r l i e s t ; e c h n i q u e t o s o l v e a non- .. - -
-* - 0 ;,p: l i n e a r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n w a s t . ~ e x p r e s s t h e s o l u t i o n - .I"E
s o u g h t u - ( t , & ) a s a Dower s e r i e s in'^: - '- 2%
s o u g h t u ' ( t , & ) a s a p o w e r s e r i e s i n E : t c
\-2 * 5 co .?.% "* r r't.
u ( t , ~ ) = 6 9 u r ( t ) . I f 4% +,
r = O z a
-, +.
' i' u T t , ~ ) i n t h e g i v e n n o n - l i n e a r d i f e r e n t i a l , ...
e q u a t i o n a n d e q u a t i n g t h e v a r i o u s p o w e r s o f E g i v e s l i n e a r
d i f f e r e n t i a l e q u a t i o - n s f o r e a c h u w h i c h - ' c a n e a s i l y b e r -
s o l v e d . However s u c h a s o l u t i o n - _ - g e n e r a l l y i n v o l v e s
m m s e c u l a r tLrms o f t h e t y p e t s i n a t a n d t c o s a t '
(m > 1, a = ' c o n s t a n t ) w h i c h m a k e s t h e s 6 l u t i o n v a l i d o n l y
r s m a l l i n t e r v a l s o f t i m e . S u c h a s o l u t i o n b e c o m e s i n - . h - 1 3 v a l i d fo;- l a r g e t i m e s . -
5 B
I n t h e d , eve loppe ; t o i t h e t h e o r y o f n o n - J i n e a r - o s c i l l a t i o n s , v a r i o u s method ' s h a v e b e e n s u g g e s t e d f r o m - -- c s
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t h m e t o t i m e t o o v e r c o m e - t h e d i f f i c u l t y c a u s e d b y t h e \
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a p p e a r a n c e o f . s e c u l a r t e r m s i n t h e s o l u t i o n s . ~ , A l l t h e s e
9 - L
mL:ethods h a v e b e e n b a s e d o n power s e r i e s e x p a n s i o n s % . n , -
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"% . a p p r o x i m a t e f o r m u l a e ~ o u n d b y t a k i n g t h e , f i r s t f e w t e r m s .& s
q a r e q u ' t e s u i t a b l e f g r p r a c t i c a l ' c a l c u l a t i o n s . . I n f a c t , t I
t h e s e s e r i e s a r e a s y m p d o t i c i n t h e s e n s e t h a t ' t h e - e r r o r e ri
7-
i n t h e . n - t h a p p r o x i % a t i o n i s t~ &' i n d a s >
. 1 e
S u c h c a n made ys s m a l l a s we p l e a s e - & t a k i n g E e ,
s u f f i c i e n t l y s m a l l . I n o t h e r w o r d s , t h e e r r o r . c o m m i t t e d -- -*-
i n t r u n c a t y n g t h e s e r i e s s o l u t i o n a f t e r n te ' rms i s
n u m e r i c a l l y l e s s t h a n t h e f i r s t n e g l e c t e d t e r m , t h a t i s ; 7
( l i ' -+ l j th t e r m . c e i t b e c o m e s t o o c o m p l i c a t e d t o c a l -
c u l a t e h i g h e r - a p p r o x i m a t i o n s i n g e n e r a l o n e r e s o r t s t o 'k .-*- a *
f i r s t a n d s e c o n d ~ p p r o x i ' r h a t i o n s f o r m o s t p r a c t i c a l p u r p o s e s .
T h e a s y m p t o t i c , m e t h o d s w e r e f o u n d t o b e , v e r y
e f f e c t i v e i n c e l e s t i a l m e c h a n i c s b y v a r i o u s a s t r o n o m e r s 6 , . t'
s u c h a s L i n d s t e d t ( 1 8 8 2 ) , ~ b h l i n ( 1 ' 8 8 9 ) , ~ o i n c a r i ( 1 8 9 2 ) r
a n d G y l d g n ( 1 8 9 3 ) . - T h e f u n d a m e n t a l i d e a i n L i n d s t e d t - P o i n c a r g a p p r o a c h w a s baaed o n t h e o b s e r v a t i o n that%Lhaz
n o n - l i n e a r i t i e s i n t h e e q u a t i o n
2 x + w x = ~ f ( ~ $ 1 0 ( 1 ) .
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, b y - a v e r a g i n g t h e e q u a t % n s ( 4 ) o v e r t h e t i m e i n t e r v a l 1- w > ?
%-- [ t , t + T ] , d u r i n g w h i c h a a n d b c h a n g e v e r y l i t t l e a n d
, I
h e n c e c a n b e t a k e n t o b e c o n s t a n t s o n t h e r i g h t - s i d e
\. e o f + I e q u a t i o n s . ( 4 ) . H e r e T = 21~ /w- i s t h e , p e r i o d o f t h e
\ 0 ' t e r m s o n t h e r i g h t s i d e o f e q u a t i o n s ( 4 ) .- T h i s method:.:
I, C
g i v e s o n l y t h e f i r s t a p p r o x i m a t i o n & i s s o n o t s u i t a b l e % = Y
c
f o r h i g h e r a p p r o x i m a t $ o n s . A m a t h e m a t i c a l j u s t i f i c a ~ i o n - .- o f t h i s m e t h o d w a s g x v e n b y F a t o u ( 1 9 2 8 ) a n d M e n d e l s t a n
a n d P a p a l e k s i . ( 1 9 3 4 ) .
O n . t h e b a s i s o f t h e m e t h o d h f V a n d e r - P o l , K r y l o v ,
B o g o l i u b o v . , a n d M i t r o p o l s k i i (K-B-M) d e v e l o p & g n P 4 'i
a s y m p t o t i c m e t h o d f o r s o l v i n g n o n - l i n e a r p r o b l e m s i n
m e c h a n i c s w h i c h a p a r t f r o m b e i n g s u i t a b l e f o r h i g h e r
o n s , g i v e s i d e n t i a l s o l u t i o n s t o t h o s e f o u n d
b y V a n d e r - P o l m e t h o d f o r f i r s t a p p r o x i m a t i & . T h e .K-B-M
m e t h o d w a s , l a t e r g e n e r a l i z e d t o t h e s o - c a l l e d m e t h o d ' o f
a v e r a g i n g . A c c o r d i n g t o K-B-M m e t h o d , t h e a s y m p t o t i c
s o l u t i o n o f ( 1 ) i s s o u g h t i n t h e f o r m
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I t i s a s s u m e d t h a t u r ( a , q ) , 1 . a r e f r e e o f L i r s t
h a r m o n i c s i n $. h he f u n c t i o n s , A B a n d u a r e t o b e : r ' r r
s o d e t e r m i n & d ! ~ h a t t h e s o l u t i d n ( 5 ) - ( 6 ) s a t i s f i e s (1)
3
. t o e a c h o r d e r o f E . T h e K-B-M m e t h o d c a n ' a l s o b e u,sed 3 L L
, 20 f i n d p e r i o d i c 2 g 3 u t i o n s , o • ’ - (1) i f ' * e ' t a k e d = 0 o r o O C
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I n C h a p t e r 5 , t w o - t i m e e x p a n s i o n i s u s e d t o
i n v e s t i g s t e t h e n a t u r e o f M a n e s h o c k w a v e s i n v5ffsco- % . 7 3 .
% d' el-c m e d i a d i s p l a y i n g c d b i c e l a s t i c i t y . .
CHAPTER 1 \
O N THE PERIODIC SOLUTIONS OF DIFFERENTIAL
EQUATIONS OBTAINED
a KRYL0.V-BOGOLIUBOV.
a 1. INTRODUCTION.
A s i s w e l l
B Y THE METHODS OF PQINCARE A N D
known , P o i n c a r - 6 . M e t h o d - [ 1 ] i n t h e
t h e o r y o f n o n - l i n e a r v i b r a t i o n s a l l o w s u s t o f i n d t h e
p e r i o d i c s o l u t i o n s o f w e a k l y n o n - l i n e a r s y s t e m s o f -
o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l ' e q u a t i o n s . T h e P o i n c a r g m e t h o d
c a n b e e x t e n d e d t o f i n d t h e m o n p - f r e q u e n t p e r i o d i c
o s c i l l a t i o n s o f a m e i h a n i c a l s y s t e m g o v e r n e d b y s e c o n d
o r d e r n o n - l i n e a r , b y ' p e r b o l i c a u t o n o m o u s p a r t i a l d i f -
f e r e n t i a l e q u a t i o n s . T h e m e t h o d c a n e q u a l l y w e l l b e
u s e d f o r t h e n o n - a u t o n o m o u s p a r t i a l d i f f e r e n t i a l . a - e q u a t i o n s .
T h e a s y m p t o t i c m e t h o d o f K r y L o v - B o g o l i u b o v
[ 3 ] d e v g l o p e d b y B o g o l i u b o v a n d M i t r o p o l s k i i [ 4 ] i s . u s e d f o r s t u d y i n g n o n - s t a t i o n a r y v i b r a t i o n s g o v e r ' n e d
b y o f d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h s m a l l non-
l i n e a r i t i e s . L a t e r t h i s m e t h o d w>s d e v e l o p e d b y . 0.
4 M i t r o p o l s k i i a n d Mosenkov . [ 9 ] , B o j a d i i e v a n d L a x d n e r
[ 1 0 , 1 1 - , - 1 2 1 a n d o t h e r s [ I 3 j 1 4 , 1 5 , 1 6 , 1 7 ] f o r f i n d i n g - t h e .
' n o n - s t a t i o n a r y r e g i m e o f v i b r a t i o n s aof m e c h a n i c a l a n d
g e n e r a l i z e t h e s e r e s u l t s t o a u t o n o m o u s a n d n o n -
a u t o n o m o u s s y s t e m s o f o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s . r
T h i s i s d o n e i n s e c t i o n s 4 a n d 5 . i
I n s e c t i o n 6 , w e e x t e n d t h e i n v e s t i g a t i o n t o
c o m p a r e m o n o f r e q u e n t p e r i o d i c o s c i l l a ~ i o n s g o v e r n e d b y
a u t o n o m o u s n o n - l i n e a r p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s . 'I- I n s e c t i o n 7 , we g i v e a n a l o g o u s r e s u l t s f o r non-
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a u t o n o m o u s p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i n - b o t h "
r e s o n a n c e a n d n o n - r e s o n a n c e c a s e s .
t Y 1 n a l l t h e s e s e c t i o n s , t h e i m p o r t a n c e 0 4 t h e
s o - c a l l e d i m p r o v e d - n - t h a p p r o x i m a t i o n i n t h e K-B-M I
m e t h o d i s d e m o n s t r a t e d ~ w h e n t h e p e r i o d i c ' ~ ~ i u t i o n s a r e
b e i n g s o u g h t .
- 1. * -1. 2 . S e c o n d - O r d e r A u t o n o m o u s E q u a t i o n .
L e t u s c o n s i d e r e q u a t i o n ( 1 ) . A c c o r d i n g t o *..
P o i n c a r g ' s m e t h o d we c a n s e e k t h e p e r i o d i c s o l u t i o n s o f \
( 1 ) i n t h e f o r m
2 X = X (T? + E X ~ ( T ) + E x ~ ( T ) + ... , 0 ( 2 )
w h e r e t h e f u n c t i o n s {x ( r ) ) a r e IT p e r i o d i c i n r a n d S
T h e c o n s t a q t s { h h a v e t o b e d e t e r m i n e d . t! ,&ually t h e S
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s o l u t i o n x ( t ) o f (1) i s s o u g h t u n d e r t h e c o n d i t i o n
k ( 0 ) = 0 , w h i c h i m p l i e s
T h e f u n c t i o n x ( r ) i s a s o l u t i o n o f t h e g e n e r a t i n g 0
2 e q u a t i o n d x o / d r 2 + x = 0. T a k i n g i n t o a c c o u q t ( 4 ) o n e
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x 0 ( r ) = M c o s r . ( 5 )
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S u b s t i t u t i n g ( 2 ) i n t o ( l ) , m a k i n g use o f ( 3 ) , a n d
2 e q u a t i n g t h e c o e f ' f i c i e n t s o f E , E , . . . , we h a v e f o r
* S e c t i o n s 2-5 a r e p u b l i s h e d i n UTILITAS MATKEMATICA --
I V o 1 . 3 , ( 1 9 7 3 ) p p . 4 9 - 6 4 ( w i t h .BOJADZIEV a n d L A R D N E R ) .
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T h e s o l u t i o n ( 1 3 ) c a n b e " w r i t t e n i n ? h e f o r m , - - --
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By t h e u n i q u e n e s s t h e o r e m f o r p%"r=iqdic s o l u t i o n s , t h e
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d e f i n e d i n (3)., w h i l e i n t h e s o l u t i o n ( 1 3 ) , x i s 2 ~
p e r i o d i c i n I) d e f i n e d b y ( 1 7 ) . I t f o l l o w s t h a t t h e 4
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T h e two s e t s o f c o e f f i c i e n t ' s i n . ( 3 ) a n d ( 1 8 ) a r e
r e l a t e d b y e q u a t i o n s s u c h a s
S i n c e T .= $ i n t h e ' two s o l u t i - o n s ( 2 ) a n d ( 1 3 )
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T h i s i m p l i e s A s ( a , , q o ) = 0 , B s ( a O , $ O ) = 0 , s = 1 , 2 , - a
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a n d we do n o t n e e d e q u a t i o n s ( 3 1 ) . T h e n ( 3 0 ) b e c o m e s -
T h e t e r m u 0 = a. c o s ( 0 + $ 0 ) i s a s o l u t i o n o f
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T h e e q u a t i o a k ( 2 3 ) a n d ( 3 6 ) a r e t h e s a m e , hen;@
, / t h e i r s o l u t i o n s x a n d u c o i n c i d e ; i . e .
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M = a. c o s '9 N = - 0 ' a. s i n $ O .
A c c o r d i n g . t o t h e u n i q u e n e s s t h e o r e m • ’ o f p e r i o m d + c , _ .
s o l u t i o n s , t h e two s o l u t i o n s ( 2 0 ) a n d ( 3 5 ) c o i n c i d e t e r m -
b y t e r m i n t h e power s e r i e s i n E . I
4 . S y s t e m s o f A u t o n o m o u s D i f f e r e n t i a l E q u a t i o p s .
Co s i d e r t h e n o n - l l n e a r s , y s t e m P
- w h e r e E > 0 i s a s m a l l p a r a m e t e r , x = ( x l , . . . , x n ) ,
f = ( f . . , ) a i e n v e c t o r s a n d w = diaglw:-. . . ) 1" n
i s a d i a g o n a l m a t r i x . We a s s u m e t h a t f i s a n a n a l y t i c
f u n c t : o n o f . ~ , i , i n a d o m a i n c o n t a i n i n g t h e s o l u t i o n o f >' -Y
t h e g e n e r a t i n g s y s t e m ( E = 0 ) . We a r e i n t e r e s t e d i n -
t h e p e r i o d i c s o l u t i o n s o f ( 4 0 ) w i t h p e r i o d 2n /w + O ( E ) ." 1 .
w h i c h c o r r e s p . o n d s t o t h e f r e q u e n c y w l . We a l s o a s s u m e I
t h a t w i f ~ w ~ . , K i s a n y i n t e g e r , i = 2 , . . . , n . . ,
A c c o r d i n g t o P o i n c a r g ' s m e t h o d w e s e e k t h e
s o l u t i o n i n t h e f o r m P
w h e r e x (s) = ( x l ( s ) , ..., x ( ' ) ) a r e 2 r p e r i o d i c i n r a n d n
U s i n g ( 4 1 ) a n d ( 4 2 ) i n ( 4 0 ) a n d - e q u a t i n g t h e
v a r i o u s p o w e r s o f E , we h a v e e q u a t i o n s - f o r x ( ' ? ( T ) , '
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a = a. = c o n s t . ,
w h e r e a - 0
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e s o l u t i o n ( 4 5 ) c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m ( 4 1 ) , Ch w h e r e a = ?4 . A s i n s e c t i o n 2 o n e c a n s e e t $ a f , r g i v g n
0 - - >
b y ( 4 2 ) a n d $J b y ( 4 7 ) a r e t h e s a m e ; i . e . r = I.) , a n d we
h a v e t h e s a m e r e l a t i o n s b e t w e e n {B a n d { h , e x c e p t S S ,
&3 * -
t h a t w i s r e p l a c e d b y w , 1 '
f - Hence ; i n t h e c a s e o f p e r i o d i c s o l u t i o n s , t h e
s o l u t i o n 2
( 4 5 ) f a r t h e K - B m e t h o d r e d u c e s t o t h e f o r m ( 4 1 ) ' ~ -
. and, t h e r e s u l t s o b t a i n e d a r e t h e s a m e .
5 . S y s t e m s o f N o n - a u t o n o m o u s D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s .
C o n s i d e r t h e s y s t e m o f n o n - a u t o n o m o u s d i f f e r e n t i a l
e q u a t i o n s .
w h e r e x = . ( x l , ..., x ) a n d f = ( f l , . . . , f ) a r e n - v e c t o r s , n n .
w = d i a g ( w l , . . . , wn) . T h e f u n c t i o n h i s 2n p e r i o d i c i n ,
i n 0 8 o f t h e f o r m f = L e O w h e r e O n i s p o l y n o m i a l i n n n=-N
- L e t u s a p p l y P o i n c a r 6 ' s m e t h o d t o f i n d TI
p e r i o d i c s o l u t i o n i n 0 o f t h e e q u a t i o n ( 4 8 ) i n t h e non-
r e s o n a n c e c a s e . We c a n w r i t e t h e s o l u t i o n i n &fe f o r m
0 x ( t ) = x ( t ) + E P ( t ) + E 2 X ( 2 ) ( t ) + . . . ,
w h e r e (t), s = 1 , 2 , . . . a r e n - v e c t o r s .
\ A s i n s e c t i o n 3 we g e t X'O) (+t) = 0 a n d x ( l ) ( t )
i s t o b e d e t e r m i n e d f r o m t h e iqua t io"n
A c c o r d i n g t o K-B m e t h o d [ 4 ] , w h e r e m o r e g e n e r a l
s y s t e m s a r e c o n s i d e r e d , i t i s s u p p o s e d t h a t : . ( a ) t h e
g e n e r a t i n g s y s t e m h a s v i b r a t i d n s w i t h f r e q u e n c y w o f 1
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2 , 3' a n d 4 .
A c o a i n r e s o n a n c e c a s e v = w 0 1
h a s a l s o b e e n made a n d ' t h e r t o b t a i n e d i s t h e s a m e . ' -
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\ An i d e n t i c a l r e s u l t h o l d s f o r t h e m o r e g e n e r a l
s y s t e m
A% + B x = E • ’ ( ~ ~ , x , ~ , E ) , 9 = v t ,
w h e r e x a n d f a r e v e & t o r s , A a n d B a r e n k n c o n s t a n t
m a t r i c e s .
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o r d i n a r y a u t o n o m o u s d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n .
T h e f u n c t i o n u ( x , r ) i s t h e s o l u t i o n o f t h e 0
g e n e r a t i n g e q u a t i o n
T a k i n g i n t o a c c o u n t ( 5 9 ) , t h e s o l u t i o n b s
/
(66) _I- -
u O ( x , r ) = M $ 1 ( ~ ) c o s T
/'
w h e r e $I ( x ) s a t i s f i e s ( 5 4 ) f o r n = 1. 1
S u b s t i t u t i n g ( 5 8 ) i n t o ( 5 l ) , m a k i n g u s e o f ( 5 7 )
2 a n d e q u a t i = n g c o e f f i c i e n t s o f E , E , . ... , we h a v e f o r
u 1 , u 2 , . . . t h e e q u a t i o n s :
To s o l v e ( 6 l ) , we e x p a n d u l ( x , r ) i n t e - rms o f
known e i g e n f u n c t i o n s { @ , ( x ) 1 g i v e n by ( 5 4 ) :
I n v i e w o f ( 5 5 ) a n d (59 ) ' , ( 6 3 ) w i e s
U s i n g ( 6 3 ) i n ( 6 l ) , m u l t i p l y i n g b o t h s i d e s b y @ , ( x ) ,
i n t e g r , a t i n g f r o m 0 t o R a n d u s i p g ( 5 5 ) , we g e t
2 2 w v " ( T ) + UL V ' ( T ) = - 2hlMdln c a s T + F' (M',T) 1 n n n n ,
( 6 5 )
S i n c e F ( M , T ) a r e 2n p e r i o d i c i n r, we c a n e x p a n d them n
a s F o u r i e r s e r i e s
. p i n ) (M) CO
F n ( M , r ) = + L {P(" ) . (M) c o s r r + Q ( " ) ( M ) s i n r r } r r = l r
\ ( 6 7 ) ',
S u b s t i t u t i n g ( 6 7 ) i n ( 6 5 ) a n d t a k i n g n = 1, e q u a t i n g t h e
c o e f f i c i e n t s o f s i n r a n d c o s r t o z e r o t o g e t r i d ok t h e
j _ s e c u l a r t e r m s , we o b t a i n t h e a m p l i t u d e e q u a t i o n :
a n d a n e q u a t i o n f o r . h. - 1 '
- % q u a t i o n ( 6 8 ) d e t e r m i n e s t h e a m p l i t u d e M . T h e s o , l u t i o n
, . f o r V l ( r ) und ' e r t h e c o n d i t i o n ( 6 4 ) i s
0 a n d f o r n f 1, - i' U C
P c o s + Q:") s i n r-T r A
V n ( r ) = - 2 2 2 2
'"'n r = l w n
- r w 1
T h u s f r o m ( 6 3 ) , t h e s o l u t i o n f o r u l ( x Y ~ ) i s
s i n r~ - ('1 s i n T P ('1 c o s r r + Q, r rQr + C 2 2 3 - , '
r = 2 w ( 1 - r ) 1
00 ("1 c o s r T + g:n) s i n r r 'r + C 2 2 2
n = 2 r = l w n - r w l
0
T h i s s o l u t i o n h a s o n e unknown c o n s t a n t M 1 9 w h i c h i s
d e t e r m i n e d f r o m t h e s o l l r t i o n o f u 2 e 1 ,
No,w l e t . u s a p p l y K-B-M. m e t h o d t o f i n d c a mono-
f r e q u e n t s o l u t i o n o f e q u a t i o n ( 5 1 ) ., c o r r e s p o n d i n g t o t h e
f r e q u e n c y o l . T h e s o l u t i o n i s s o u g h t i n t h e f o r m
- ? h e r e u r , ( x , a , a r e 2 s p e r i o d i c i a n d a , $ a r e g i v e n
b y t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s - -6 *
2 . h = E A ( a ) + E A 2 ( a ) + . . . . . 1
2' + E B ~ ( a ) + E B-2 ( a ) + . . . .
T h e f u n c t i o n s { r ( x , a , ) , A r ( a ) , B r ( a ) 1 a r e $ 0 be f o u n d *
f r o m t h e r e q u i r e m e n t t h a t u s a t i s f i e s ( 5 1 ) t o eacli o r d e a -
o f E . F o r e x a m p l e , t h e f o r m u l a s f o r A ( a ) a q d B ( a ) a r e 1 1
1 . A l ( a ) = - -
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s o l u t i o n s ( 5 8 ) a n d ( 7 1 ) m u s t , b e s a m e t e r m - * t e r m ,
p r o v i d e d t h a t t h e s a m e i n i t i a l c o n d i t i o n s (5kj a re u s e d
f o r b o t h m e t h o d s . O f c o u r s e we c o m p a r e t h e n t h a p p r o x i -
m a t i o n o f P o i n c a r 6 ' s m e t h o d w i t h . t h e i m p r o v e d n t h i
- a p p . r o x i m a t i o n o f t h e K-B-M m e t h o d .
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To s o l v e t h i s , we e x p a n d u ( x , t ) a s % 8, 1
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s u b s f i t s t e i n ' ( 7 8 ) , m u l t i p l y by O n ( x ) , i n t e g r a t e ~ . r . t .
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(b) RESONANCE CASE.
L e t u s now a s s u m e t h a t t h e r e a r e some p a i r s o f
" n t e g e r s m a n d n s u c h t h a t t h e r e i s o n e f r e q u e n c y , c a l l
i t w f o r w h i c h 1
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To s i m p l i f y t h e c o n s i d e r a t i o n s , l e t u s c o n s i d e r t h e c a s e a
o f e x a c t m a i n r e s o n a n c e , , w = v , i . e . 1
p = q = l . \ A c c o r d i n g t o P o i n c a r 6 ' m e t h o d , we s e e k t h e --- . -
p e r i o d i c , s o l u t i o n s o f ( ' 7 6 ) i n t h e f o r m ( 7 7 ) . T h e s o l u t i o n
. . o f t h e g e n e r a t i n g e q u a t i 0 . n L
4 ,
w h i c h i s 27-r p e r i o d f c i n v t o r w t i s 1
u = a $ ( x ) c o s ( w i t + a ) 0 1 h
o r u = (M c o s v t + N s i n v t ) A i ( x j 0
w h e r e M a n d N a r e c o n s t a n t s t o b e d e t e r m i n e d
s a t i s f i e s ( 5 4 ) . '
Q -
F o r t h e f u n c t i o n u ( x , t ) , w e g e t t h e 1
e q u a t i o n
= F { e , x , @ ; ( x ) ( M c o s v t + N s i n v t ) ,
P l ( x ) ( - M U s i n v t + Nv c o s v t ) , O ) .
Q ( 8 4 )
To s o l v e t h i s , we e x p a n d u i n t e r m s o f { @ ( x ) ) 1 - n.
@ , ( x ) , i n t e g r a t i n g f r o m 0 t o !L a n d u s i n g ( 5 5 ) , we h a v e
\ - w h e r e
To s o l v e ( 8 6 ) , w e e x p a n d F (B,M,N) i n F o u r i e r ser ies , : n
w h e r e
I). ; d
I ( 9 0 )
". w h e r e v ( x , a , 1 ) , 8 ) a r e 27T p e r i o d i c i n $ a n d 8 . T h e
r /
7 .
f u n c t i o n s a a n d $ a r e now g i v e n b y t h e e q u a t i o n s
A c c o r d i n g - t o t h e , K-B-M m e t h o d [ l o ] , Al (aYO) a n d - B ( a , $ ) a r e d e t e r m i n e d f r o m t h e e q u a t i o n 1
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H e n c e t h e p e r i o d i c s o l u t i o n f o u n d b y K-B-I
m e t h o d c o . i n c i d e s w i t h t h e o n e f o u n d b y ~ o i n c a r g ' s
m e t h o d , p r o v i d e d we c o n s i d e r t h e i m p r o v e d a p p r o x i -
m a t i o n i n t h e K-B-M m e t h o d .
r i g h t h a n d s i d e o f e q u a t i o n (2-) b e i n g a 271 p ' e r i o d i c ;P
i n t i s ' a f i n i t e sum 0.f t e r m s bf t h e t y p e
E F ( ~ , X ; ; ) = & C F ( x , i ) e i n t . H e r e F a r e p o l y n o m i a l s n d n
i n t h e i r a r g u m e n t s a n d c l e a r l y F ( t , x , i ) i s IT p e r i o d i c
i n t .
- We p l a c e no suc 'h r e s t r i c t i o n o n @ ( t ) , b u t . I
a s s u m e t h a t i t i s a w e l l - b e h a v e d f u n c t i o n f o r t > 0 a n d
b o u n d e d a s t -+ w .
I n s e c t i o n I , we d e a l w i t h n o n - l i n e a r n o n - r e s o n a n t
v i b r a t o r s g o v e r n e d b y d r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o f . .
\
t y p e ( 2 ) a n d t h e r ' e s u l t s a r e e x t e n d e d when a s i g n i f i c a ' n t
d a m p i n g f o r c e i s p . r e s e n t . - - &)
I n s e c t i o n 11, t h e m e t h o d i s e x t e n d e d t o v i b r a t o r y
s y s t e m s g o v e r n e d b y p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o f t h e
h y p e r b o l i c t y p e .
S u b s t i t u t i n g ( 3 ) a n d ( 4 ) i n e q u a t i o n ( 2 ) a n d ' . *
e q u a t i n g t h e c o e f f i = i e n t s o f v a r i o u s p o w e r s ,of E , we ' e= . i
g e t p a r t i a l d i f r e r e n t i a l e q u a t i o n s f o r u l Y t u 2 , - . . . a s f o l l o w s
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t r u e f o r A 2 ( a ) a n d B 2 ( a ) .
Knowing u ( a ; $ , & ) , . A 2 . a n d - B t h e s o l u t i o n o f 2 2 ' ( 2 ) u p t o t h & s e c o n d i m p r o v e d a p p r o x i g a t i o n i s
T h i s i s i l l u s t r a t e d by t h e f o l l o w i n g examp. l e .
V A N DER P O L ' S EQUATION
C o n s i d e r t h e e q u a t i o n o f Van d e r P o l ' s t y p e i n '
d h e c a s e o f a n e x t e r n a l a c t i n g n o n p e r i o d i c f o r c e
2
Makeing u s e & % o r m u l a s ( 1 1 ( 1 0 , a n d s o l v i n g
e q u a t i o n s ( 9 ) we o b t a i n
w h e r e
r )
T h u s t o t h e f i r s t o r d e r o f : € t p h e s o l u t i o n o f
w h e r e a a n d q a r e d e t e r m i n e d b y
a n d a a n d B a r e g i v e n b y ( 1 7 ) . '
L e t ' u s f i n d t h e s e c o n d a p p r o x i m a t e s o l u t i o n o f
( 1 6 ) . T h e p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( 6 ) now r e d u c e s
A c c o r d i n g t o ( 1 3 ) w e s e e k a s o l u t i o n o f ( 1 9 ) o f
t h e f o r m . d
u 2 ( a , $ , r ) = u 2 ( a , i ) + w ( t ) + ( k s i n v t + k 2 c o s ~ t ) e - P t s i n 2 $ 2 1
C
7 \ - + ( k s i n v t +* k c o s v t ) e - P F c . o s 2 $ .
3 4 ( 2 0 )
S u b s t i t u t i n g ( 2 0 ) i n t o e q u a t i o n ( 1 9 ) a n d e q u a t i n g - L '-7
t h e t e r m s i n v o l v i n g $ a l o n e a n d t a l o n e a n d t h e c o e f f i c i e n t s
- - o f e P t c o s v t a n d e P f s i n v t g i v e s two d f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a
< f o r 'v , a n d w a n d a sys t ;m o f f o u r l i n e a r a l g e b r a i c
2 2
e q u a t i o n s f o r k i = 1, . . . , 4 . i '
. . A s s u m i n g . a s u s u a l i n K-B-M m e t h o d t h a t u ( a , $ , t ) '
I ' ' 2
d o e s n o t c o n t a i n t h e f i r s ; h a r m o n i c s s i n $ a n d c o s t ) a n d 8 ,
\ - s o l v i n g t h e e q u a t i o n s f o r v, a n d " we g e t
s 2 2
----l 1 2 7 a 4
8 w A2 -= O B2 = - ( - 1 + a -1-1 , C ,
* *
w h e r e ..
F r o q t h e a l g e b r a i c s y s t g m o n e c a n o b t a i n @easily. - 1 .
t h e y t s k l , k 2 , k a n d k.4 b e c a u s e t h e d e t e r m i n a n t - 3 2 2 t h e s y s < e m i s 1 6 [ ( p 2 - v 2 - 3 w 2 ) 2 . - (4vw) 1 , h e n c e
, ' d i f f h e n t f r o m z e r o . '
Thug t h e s e c o n d i m p r o v e d a d p r o x i m a t e s o l u t i o n o f
( 1 6 ) i s g i v e n b y ( l 4 ) , w h e r e - t h e , f i r s t . two t e r m s p r e s e n t
. t he f i r s , t a p p r o x i m a t i o n ( 1 8 ) a n d u 2 i s g i v e n b y (20): e
T h e f u r i c t i o n s v 2 a n d w. - i n ( 2 0 ) a r d f o u n d b y (21) a n d ( 2 2 ) . 2 . 0'
T h e a m p l i t i d e a a n d t h e p h a s e $J i n ( 1 4 ) a r e d e t e r m i n e d b y
f o r
( l 5 ) , w h e r e A 1. ' B1, A 2 a n d B 2 a r e a l r e a d y o b t a i n e d .
SIGNIFICANT DAMPING FORCE ,
T h e K-B-Fl m e t h o d w a s
t h e e q u a t i o n
w h i c h m o d e l s t h e m o t i o n d f a m a t - e r i a l s y i t e . m w i t h o n e
d e g r e e q f f r e e d o m w i t h l a r g e d>amping. E q u a t i o n s o f t h a t
t y p e a r e i m p o r t a n t i n t h e t h e o r y o f ' a u t o m a t i c c o n t r o l .
, s
H e r e w e e x t e n d t h e r e s u l t s d i s c u s s e d abov'e
f o r t h e e q u a t i o n
I - w h e r e @ ( t ) i s t h e s a k e f u n c t i o n a s i n t r o d u c e d i n : .
e q u a t i o n ( 2 ) a n d b > 0 . d
. . F o r E = 0 t h e u n p e r t u r b e d e q u a t i o n o f ( 2 4 ) h a s
d e c a y i n g s o l u t i o n o f t h e t y p e x = a c o s J I , w h e r e d a / d t = - b a
a n d d $ / d t =,m.
- A c c o r d i n g t o [ 7 ] t h e s o l u t i o n o f e q u a t i o n ( 2 3 ) e
,
- P i s s o u g h t i n t h e f o r m ( 3 ) , b b t i n t h s c a s e a - a n d $ a s -
a f u n c t i o n s o f t a r e g i v e n b y t h e ' d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s -
T h e e q u a t i o n f o r u 1 now i s ,
2 2 2 2 2 a U 2a a a U , . a U, - a 2 b 2 _ + w + - + 2 ~ - - 2abw-
2 a t 2 a q a t aqaa a a
- . -F
e a s i i ; . F o r . t h e F o u r i e r ' s c o e f f i ~ ~ e n t . 6 o i t h e f u n c t i o n * , a - d ' 3,
,.v (.a;+). we g e t s p c o q d o r d e r c o u p l e d d i f f e r e n t i a l - . - 1 ,
I
T h e d i f f e r e n ' t i a 1 " e q u a t i o n ( 2 8 ) i s l i n e a r a n d c a n *. .2
,'. . > , U 4 1 I' f
' $,e 9 o 7 l v e d s t r a i g h t f o r w a y d . T h u s hp t o t h e f i r s t - b
-" impr"ove$ a p p r q C x i m a t i o f i th ,e s o l u t i o n o f r ( 2 4 ) i s f o u n g .
Xn t h e p r b c - e s s , . OF f i n d i n g t h e s e d o n d a b p p r o x i m a t i o n a w " * g*
l o t "of d i f f i c u l t i e s o f n u m , e r i c a l ~ ~ a r a c t e r a r e i n v o l v e d . g,
t
, f ~ o w e v g - r u s u a i l y e i n a p p l i c a t i o n s t h e f i r s t a $ p r o x i m d f i o n -
i s e n o u g h . . 3
- r. \
- . . . L e t u s , i l . l u s t r \ a t e i n ' b r i e f t h e c a s e o f s i g n i f i c a n t
d a m p i n g b y t h e e q u a t i o n o f Van d e r p o l 1 - s t y p e ' \
. I n t h i s c a s e , t h e ~ y i ' b r a t i n g p ; o c e s s c a n * b-e m 6 d e l e d -
I
e 4 , - L d
- a r g u m e n t s a n d @ ( t ) a s i n s e c t i o n I i s -3s sumed t o - b e ' a
, - - w e l l d b e h a v e d f u n c t i o n f o r a , > 0 a n d b o u n d e d a:, t -+ 9 . . " E L k
W
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@ ( t ) may o-r may n o t b e p e r i o d i - c i n t . A mor,e k e n e r a 1 @ ..
c a s e o f t h e a b o v e e q u a t i o n , whe@d t h e 0 r i g h t s i d e i s o f t h e 7 e r '.
fo'rm F ( x , u , u u t ) w h e r e F i k 21~ ' p e x i o d i c i n a t h a s b e e n X ' t y # " L
4" i t u d i e d b y K e l l e r [ 2 l ] , .and B o j a d z i e v ' a n d L a r d n e r O [ l o ] . i - . .
I - - e
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We a l s o s u p p o s e t h a t . u (x ; t ) " s a c ~ s f i e s ' a .of . . ? .
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ASYMPTOTIC SOLUTIONS . I , ..
I . . 0 -
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F o r E = 0 , t h e g e n e r a t i n g e q u a t i o n . o f ( 3 4 ) i s " - . , e
hi his ' e q u a t i o n h a s a c o m p l - e t e s$t o f s e p a r a b l e ~ s o l u t i o n s "
-. o f ' t h e f o r m a 4 (x) c o s ( 9 t + a'') , n =. 1 , 2 , . . . , w h e r e
n + TI T
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f u n c t i o n s { $ n ( ~ ) } s a t i s f y t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n
a n d t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s 8 . (0,) = 0 , w h i c h d e t e r m i n e J
9
t h e a l l o w e d s e t o f e i g e n f r e q u e n c i e s { w 1 : B y ' s u i t a b l y n
. n o r m a l i z i n g t h e { $ ( x ) } , we c a n w r i t e - n
R J ~ ( x ) $ ~ ( x ) $ ~ ( x ) d x = 6 0
nm 1 ( 3 7) "i
v ihe re 6nm = 1 i f n = m a n d 6 = 0 i f n # m . nm
We w i s h t o f i n d t h e m o n o - f r e q u ~ n t , s o l u t i o n o f ( 3 4 ) w h i c h
a m c o r r e s p o r i d s t o d t h d f r e q u e n c y w ' 1
- . . * . A c c o r d i n g t o ' K-B-M metohod a n d [ l o ] ;' w e s e e - k t h e -
a s y r n p t p t i c s o l u t i o n s .o'i ( 3 4 ) irk t h e f-orm .. - x , 1 . J
w h e r e u . ( r = 1 , 2 , . . . ) a r e 2 7 ~ p e r i o d i c i n I) ( i n [ l o ] , t h e y r
a r e 2 ~ r p e r i G d i c i n $ a n d t ) . T h e f u n c t i o n s a a n d I)
a . s a t i s f y t h e d i f f e r e n t i a l e . q u a t i o n
2 = & A l ( a ) + E k2 ( a ) , + . . . . a
a r e t o b e d e t e r m i n e d f r o m t h e r e q 1 M r
t t h a t u q a t i s f i e s (3.4) t o e a c h o r d e r o f & . .. i r e -
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" 2 a n d c o m p a r i n g c o e f f i c i e n t s o f h, E o n b o t h s i d e s - , = w e
h a v e : -
L e t u s f i r s t - c o n s i d e r e q u _ a t i o n ( 4 0 ) . T h e f u b c t i o n
u ( x , , a , $ , t ) may b e e x p a n d e d i n terms of t h e e i g e n - 1 . # .
5 I %
f u n c t i o n s {@,(x)} a s -
S u b s t i t u t i n g ( 4 2 ) i n t o ( 4 0 ) , m u l t i p l y i n g b o t h s i d e s by
t
@ , ( x ) , i n t e g r a t i n g f r o m 0 t o JL a n d u s i n g ( 3 6 ) a n d ( 3 7 ) ,
g i v e s
w h e r e
The e q u a t i o n ( 4 3 ) i s a l i n e a r p a r ' t i a f d i f . f e r e n t i a 1 .
e q u a t i o n w i t h the r i g h t hand s i d e - a s a s u m o f a f u n c i i ~ n -
- - , . - 7 3 a + -
t o s e e k t h e s o l u t i o n o f (439) i n t h e f o r m - , " . 1
b 0 -*.
The s o l u t i o n o f ( 4 5 ) c a n b e f o u n d b y e x p a n d . i n g . P r a n d . '
*
F i n F o u r i e r s e r i e s : , r
P
T h i s g i v e s f o r r # 1,
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P n r Q n r o r .
A ' = 8 = 2 a n d A O r = - n r 2 2 ' n r 2 .2 2 &*
- n u w - n u 1 W +'r 1 r '- - r
The c o e f f i c i e n t s A- a n d B l l r e m a i n u n d e t e r m i n e d . T h u s - 11 - . . we a s s u m e , a s - i t i s c u s t o ~ r y m i n t h e K-B-M m e t h o d , ' t h a t ,
t ,
- p r ( a , @ ) d . o e s , n d t c o n t a i n t h e f i d t h a r m o n i c s i n I). . ~
H e n c e P r . ( a , @ ) a r e c o m p L e t e l y d e t e r m i n e d . \ -
F o r r = n = 1, ' o n e
. I
The e q u a t i o n ( 4 6 ) c a n b e e a s i l y s o l v e d b y e l e m e n t a r y
;-a . . m e t h o d s .
. . , T h u s t h e s o l u t i o n of ( 3 4 ) u p t o t h e f i r s t i m p r o v e d * a p p r o x i -
4
m a t i o n i s 7 -
Q w h e r e Q = €A1 3 $J = w1 f €B1 .
-, , -
, - -
A S a n i l l u s t r a t i o n , ' l e t u s c o n s i d e r a g a i n a n -
e q u a t i o n o f t h e V a n d e r P o l t y p e .
w h e r e E , p , v a r ' e p o s i t i v e c o n s t a n t s . L e t t h e b o u n d a r y -
c o n d i t i o n s b e
B-
E a s e , t h e o r t h o n o r m a 1 . e i g e n f u n c t i o n s { @ n ( ~ . ) } ,
a i e i g e n f r e q h e n c i e s { w 1 a r e g i v e n b y -
n
I n t h i s
a n d t h e I
- . w h e r e a s , f o r F o ( x , a , $ ) a n d @ ( t ) , we h a v e :
* 2 2 T X 2 7TX
F o ( x , a , $ ) = - a w l [ l - 2a s i n ( T ) c o s $1 fi s i n ( ~ ) s i n $
Then t h e s y s t e m ( 4 8 ) h a s t h e s o l e t i o n
The e q u a t i o n s ( 4 5 ) l e a d t o t h e s o l u t i o n s
. .
f o r
# T h e e q u a t i o n s ( 4 8 ) l e a d t o t h e s o l u t i o n s
= 0 i f r i s o d d .
' S u b s t i t u t i n g t h e s e v a l u e s i n ( 4 9 ) , - g e t t h e f* - f o r t h e e q u a t i o n ( 5 0 ) . i m p r o v e d a p p r o x i m a t i o n
. J
CHAPTER 3
THE VIBRATION FREQUENCIES Ovl? A STRETCHED STRING.
INTRODUCTION.
P)
I n t h e u s u a l * e l e m e n t a r y d i s c f i s s i o n o f t h e '
t r a n s v e r s e v i b r a m b o n s o f a s t r e t c h e d s t r i n g , i t i s
a s s u m e d t h a t t h e m o t i o n o f t h e p a r t i c l e s i s e n t i r e l y
t r a n s v e r k e a n d t h a i t h e g & i d i e n t o f t h e t r a n s v e r s e . . -4
d i s p l a c e m e n t r e m a i n s smaY1. W i t h t h e s e a p p r o x i m a t i o n s , + -
t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n i s sho,wn t o . r e d u c e t o , ' t h e -wave
e q u a t i o n . I n a m o r e c o m p l e t e t r e a t m e n t ; t h e r e i s a
n o n - l i n e a r c o u p l i n g b e t w e e n t h e t r a n s v e r s e a n d
l o n g i t u d i n a l m o d e s - o f v i b r a t i o n a r i s i n g f r o m p u r e l y
k i n e m a t i c a l s o u r c e s . S o , i n t h i s c h a p t e r we e x a m i n e
t h e e . f f e c t o f t h i s n o n l i n e a r i t y o n t h e n a t u r a l . , J --
f r e q u e n c i e s o f t r a n s v e r s e v i b r a t i o n ( 1 3 when no d a m p i n g /
i s p r e s e n t ( i i ) when t h e t r q r ( s v e r s e d a m p i n g i s t h e r e . / .
I n s e c t i o n I , we i n v e s t i g a t e t h e c a s e when t h e r e i s no
d a m p i n g a n d i n s e c t i o n , I I we i n v e s t i g a t e t h e c a s e when
/ & -
d a m p i n g i s p r e s e n t . / @ . -
---- / >
, -
I .
- * , 7 8 , - -
* SECTION I
\ f . . -.
WHEN N O DAMPING IS PRESENT I
* , -
L e t x b e a c o o r d i n a t e a l o n g t h e s t r i n g a n d t be.
b e r e s p e c t i v e l y t h e long+$-
t u d i n a l a n d t r a n s v e r s e d i s p l a c e m e n t s o f t h e s t r i n g ( s e e
F i g . C o n s i d e r e l e m e n t t h e s t r i n g ,
w h i c h a t t i m e t h a s l e n g t h d!?, g i v e n b y
. (Here a n d i n t h e f u t u r e we use s u f f i c e s t o i n d i c t t i e
, p a r t i a l d i f f e r e n t i a t i o n ) . I f d x i s t h e v n s t r g t c h e d 0
* . -
T h i s work ' h a s b e e n p u b l i s h e d i n UTILITAS MATHEMATICA . ,
V o 1 . 6 ( 1 9 7 4 ) p p . 307-320 ( w i - t h R . LARDNER) . ?'-
l e n g t h o f t h e e l e m e n t d x , t h e n , t h e s o n s t a n t G n i t i a l ,
' s t r a i n e i s g i v e n b y 1 + e = d x / d x o , a n d t h e s t r a i n 0 0
1 a t t i m e t , e ( x , t ) , i s g i v e n b y - B . , * .
T h e p o t e n t i a l ' a n d k i n e t i c ' e n e r g y d e n s i t i e s -of t h e +
s t r i n g a r e t h e n r e s p e c t i v d y :
5
w h e r e h i s t h e e l a s t i c m o d u l u s a n d p t h e m a s s p e r u n i t
l e n g t h o f the . s t r i n g . ' I t i s a p f i a r e n t •’;om t h e f i r s t o f - . =
t h e s e e q u a t i o n s t h a t we a r e a s s u m i n q t h e s t r i n g t o o b e y
1 v - B o o k e r s Law - we a r e i n c l u d i n g n o n o a l i n e a r i t i e s o f
P
m a t e r i a l b e h a v i o u r . U s i p g t h e s e e n e r g i e s ; t h e L a g r a n g e e .
e q u a t i o n s o f m o t i o p b e c o m e r" -
a - aT a a w a - a~ ' a ' a w a t ' = - - ) a t a x a u x ( - ) = - a v t
( - ) t
a x a v x
-3 . +
~ f t e k e x p a n d i n g , W a n d k e e p i n g o n l y t e r m s u p t o f o u r t h o r d e r
?n u a n d v t h e s e e q u a t i o n s o f m o t i o n b e c o m e X X ' -
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We w i s h t o f i n d s o l u t i o n s o f t h e n o n l i n e a i s y s t e m ' ( 2 ) 'wh ich a r e c l o s e t o t h e n o r m a l mode s o l u t i o n s ( 3 ) o f
t h e g e h e r a t i n g s y s t e m . I n p a r t i c u l a r , we a r e i n f e r e s t e d
i n t h e s o l u t i o n w h i c h i s c l o s e t o t h e b a s i c e m o d e o f
- e r a n s v e r s e v i b r a t i o n ,
We s h a l l s e e k t h e s o i u t i o n u s i n g ' a n e x t e n s i o n o f t h e I
Krylov-Bogoliubov-Mitropolskii a s y m p t o t i c m e t h o d .
T h e a s y m p t o t i c s o l u t i o n
T h e a s y m p t o t i c m e t h o d o • ’ K r y l o v , B o g o l i u b o v a n d '
, * . M i t r o p o l s k i i [ 3 , 4 ] , h a s b e e n e x t e n d e d t o p a r t i a l , d i , f f e r e n t i a l
e q u a t i o n s b y ~ i t r s p o l s k i i and M'oseenkov [ 9 ] a n d Bo j - a d z i e v
a n d L a r d n e r [ 1 0 , 1 1 , 1 2 ] . T h e met .hud may r e a d i l y b e e x -
t e n d e d f u r t h e r t o s y s t e m s o f p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a - -
t i o r i s s i c h a s e q u a t i o n s ' ( ' 2 ) . I n a c c o r d a n c e w i t h t h i s ? .
- - - -
m e t h o d , we s e e k t h e s o r u t i o n i n t h e f o r m
p e r i b d i c f u n f t i o n g df $ a m d F w h e r e I an$ $ ' q r e f u . n e t i o d s , d
V . "
k 6 " ' L.
+ *
o f t a s s u m e d to s a t i s f y g i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o f t h e 0
. T h e f u n c t i o n s {As ( a ) , B , ( a ) , u s , ( x Y G a , $ ) , v s . (x , a ,$ ) - ) a r e .
P t o b e d e t e r m i n e d " f r o m t h e r e q u i r e m e n t t h a t t h e s o l u t i o n s '
', ( 7 ) a n d ('8) s h o u l d s a t i s f y e q u a t i o n s ( 2 ) %
I t s h o u l d b e n o t e d t h a t i f we s e t E = 0 i n 3
, -
e q u a t i o n s ( 7 ) - (9), t h e a 'ssumed s o l u t i o n r e d u c e s . t o c, $ 0
t h e b a s i c mode ( 6 ) o f t r a n s v e r s e v i b r a t i o n .
9 . .i
s u b s t i t u t i n g e q u a t i o n s ( 7 ) - ( 9 ) i n t o e q u a t i o n s
( 2 ) an-d c o m p a r i n g t h e c o e f f i c i e n t s o f s u c c e s s i v e p o w e r s w.
o f E , we o b t a i n a h i e r a r c h y o f e q u a t i q n s - - f o r t h e f u n c t i o n s
{ u s , v s } . T h e terms o f z e r o o r d e r i n E c a n c e l i d e 6 t . i - ' ~4 ' ?
\ 2 c a l l y . , w h i l e t h e terms o f - o X F r s epanTt e me ffie -
f o u r e q u a t i o n s . .
. - f o l l o w i n g
2 - d U 1 2 ' 2 '2 c - =
a x 2 c $ i l x ) o y ( x ) a c o s I+
(LO)
dB1 , + a n l s i n $J + aB 2 cos I))
1
- - -
I n s o l v i n g e q u a t i o n s ( ~ b ) - ( 1 3 ) 'we e x p a n d e a c h - 5-
o f t h e f o u r f u n c t i o n s u u v v i n d o u b l e s e r i e s w i t h 1' 2 ' 1' 2
( s = 1 , 2 ) . S u b s t i t u t i n g t h e s e e x p a n s i o n s i n t o e q u a t i o n s
( 1 0 ) - ( 1 3 ) a n d u s i n g t h e c o n d i t i o n s ( 5 ) t o c0mpar.e t h e
- c o e f - f i c i e n t s o f @ ( x ) o r 4 ( x ) i n t h e s e e q u a t i o n s we o b t a i n +
k k
a s e r i e - s o f a l g e b r a i c e q u a t i o n s f o r t h e q u a n t i t i e s - *
I
I
. W r i t i n g down f i r s t o f a l l t h e k
r ' e s u l t s d e k i v e d f r o m e q u a t i o n s ( 1 0 ) a n d (12) . f o r ul a n d v 1 - -
%/-'
we h a v e
w h e r e 6 i s t h e ~ r & e c k : & d e l t a a n d w h e r e t h e c o n s t a g t s kj , 3, , . KL a r e d e f i n e d b y , -
1 " - . 1
From e q u a t i o n s ( 1 7 ) , c o n s i d e r i n g t h e c a s e k = l , c o m p a r i n g
t h e c o e f f i c i e n t s . o f c o s $ a n d s i n $J s h o w s t h a t A = B = 0. 1 1
F o r a l l o t h e r p a i r s q f v a l u e s o f k a n d n , we s e e t h a t
( I ) = , D ( q 0 . We may a l s o a s s u m e t h a t C 1 ) - ( 1 ) = O , 'nk ' n k 11 - D1l
s i n c e a n y t e r m s s u c h a s ~ : * : ) @ ~ ( x ) c o s $ a n d
( 1 ) 4 k ( x ) s i n $ i n v c p u l d b e i n c l u d e d i n t h e f i r s t t e r m D1l 1 8
i n ' t h e s o l u t i o / n - ( 8 ) : .F rom e q u a t i o n (16), c o m p a r i n g t h e -1
' *.
d i f f e r e n t c o e , f f i c i e r n t s o f c o s n$ a n d s i n n$ ; we s e e t h a t , .
a l l t h e c o e f f i c i e n % s B (1) n k
a r e a r e z - e r o , a n d a l l t h e A n k
z e r o e x c e p t \
i d
** - -- - - ---
S i n c e A = B1 = v % 0 , e q u a t i o n (11) f o r u 2 h a s 1 1
a z e r o r i g h t h a n d s i d e a n d we r e a & i l g p ; s e e ' a f t e r m a k i n g u h e
I n
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, w i i h u a n d $ b e i n g g i v e n b y e q u a t i o n s ( 1 4 ) a n d ( 1 5 ) 1 2 * .
i n whi-c$ t h e p p n - z e r o c o e f f i c - i e n t s a r e g i v e n by e q u a t i o h s -..
( 1 9 ) a n d ( 2 3 ) . B e a r i n g i n m i n d t h a t t h e p h y s i c a l
7
L
t r a n s v e r s e d i s p l a c e m e n t i s ~ v ( x , . t ) , we s e e o n e e f f e c t 8
, . o f t h e k i n e m a t 6 c a l n o n l i n e a r i t i e s i s t o A n c r e a s e - t h e
. . n a t u r a l f r e q u e n c y o f ' t h e b a s i c mohe f r o m i t s l i n e a r . v a l u e L L u
o f u1 by a f a c t b y w h i c h i s -one p l u s E t i m e s t h e s q u a r e o f .
t h e ' a m p l i t u d e o f , t h e v i b r a t i o n o .
. . F i n a l l y , w? n o t e t h a t o u r a n a l y s i s o f e q u a t i o n s -. 2 2 2
s;ch a s ( 1 6 ) , ( 1 7 ) , a n d ( 2 0 ) i s v a l i d o h l y if (Qk - n a l l - 2
Ic
2 2 a n d (ak - n w ) n e v e r v d n i s h f o r a n y p a i r s o f v a l u e s df n
'1 1-
a n d k ( e x c e p t o f c o u r s e f o r k = n = 1 f o r t h e s e c b n d o f
i
t h e s e q u a n t i t i e s ) . T h i s c o n d i t i o n i s g e n e r a l l y f o u n d t o
b e n e c . e s s a r y *when t h e KBM m e t h o d i s a p p l i , e d t o c o n t i n u o u s
s y s t e m s [ 9 , 1 0 ] . When i t i s v i o l a t e d , t h e s y s t e m i s s a i d %
t o d i s p l a y i n t e r n a l r e s o n a n c e , a n d t h e e x t e n s i o n o f t h e
KBM\method t o s u c h ' s y s t e m s [ l l ] i n v o l v e s c o n s i d e r a b l y m o r e 1 " 2- -
c o m p l e x i t i e s t h a n t h e m e t h o d a s u s e d h e r e . < - . e
R A p a r t i 2 u l a r e x a m p 3 e , S ' E
. "
Le-t u s k h o o s e u n i t s o f l e n g t h i-n s u c h a way t h a t 1
t h e e n d s o f t h e s t r i n g a r e a t x = O a n d j x = 1 . . We 0 3
c o n s i d e r t h e c a s e when t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n C u a n d v j
are of the form
where h is some constant. This cortesponds to having Z r . ,
the ends of the string fix'ed except for the end x = 1 8
3
which is held by some elastic'fixture in the transverse
direction. The-normalised eigenfunctians and eigen- 4 ..
value: satisfying equations ( 4 ) , (5) and the boundary v
% condition*^ areFtherefore
o,(x)- = fi sin nnx , 0, = nnc. . k n 1-'
$n(~) = H sin q x , w = qnc2 , C
n n n L,
P where
. "
and q (n = E , 2 , . . .) are the' roots of the equation n
tan q + hq = 0". -
using these e i g e n f u n c t i ~ n s ~ i ~ the definitions
(18) and (21) we dbtain that - . .
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-' e 0 .
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2 3 . ( - 1 ) n n . ~ r ~ q r - K = - n 2 2
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~ u b s t i g u t i n ~ t h e s e i n t o e q u a t i o n ( 2 4 ) , t h e sum o v e r k -. C s
1 .
'may b e p e r f o r m e d u s i n g t h e r e s u l t t h a t ,
a f t e r s o m e s i m p l i f i c a t i o n we o b t a i n m t h a t " h k a n d
4
E = - 4 q 1 ( 3 + r ) ( 1 ) - r ( 4 3 ) s i n 4 q l - 2 5 6r. a
2 -1 2 - 2 s i n 2q1[q1 ( 1 - r ) + & ( 1 - 2 r ) ~ o t ( 2 ~ ~ & ) ] I . \
2 w h e r e r = c 2 / c 2 = e O / ( l + e O ) .
1
O b s e r v i n g t h a t q l i s t h e s m a l l e s t r o o t o f e q u a t i o n # \
( 2 6 ) a n d t h a t H1 i s g i v e n b y e q u a t i o n ( 2 5 ) we s e e t h a t E
d e p e n d s o n l y o n t h e two p a r a m e t e r s r a n d h - t h a t x i s o n
b - I , - -,
4; L
- t h e i n l t i a l , s t r a i n i n t h e s t r i n g a n d , o n . L~ t h e e l a s q i ~ i t y o f ,
t h e e<d f i x t u r e a t x=l , . C u r v e s of' E. a g a i n s t h • ’ o h \ 4 a
d i f f e r e n t v a l u e s o f r a r e shown i n F i g . - 2 . \ A-
- I t c a n b e s e e n t h a t E b e c a m e s i n f i n i t e when It -
zqlJr = , k ~ f o r a n y i n t e g e r k . I n P i g . -2; t h i s i s s e e n . *'A
t o o c c u r o n t h e c u r v e f o r $ = 0 . 4 u a t p a f p r o x i m a t e l y h ,= 0 . 3 .
T h i s * c ' o a d i . c i o n i s e q u i v a l e n t t o fi k = 2 b a n d s o . f 7
c o r r e s p o n d s t o an!-terna_l r e s o n a n c e ' . b e t w e * e n tge b a s i c '
% _
t r a n s v e r s e mode a n d o n e o f t h e l o n g i t u d i n a l mod'es. A s
- * r e m a r k e d o n p a g e 8 9 , t h e a b o v e d e r i v a t i o n
, b e c o m e s i n v a l i d •’0; internal r e s o n a n c e s , a n d ' t h e r e f o r e
t h e ~ e u l t s f o r E a r e P n o t & e a n i n g f u _ l i n t h e n e i g h b o u r h o o d s . .t
c o f s u c h a s y m p t o t e s .
- ,
* SECTION 1.I
DAMPING PRESENT
. I f y d e n o t e s t h e c o e f f i c i e n t o f t r a n s v e r s e d a m p i n g ,
t h e n a s i n ( 2 ) t h e . e q u a t i o 5 s o f m o t i o n o f t h e s t r i n g i n
t h i s c a se a r e
u
I f & - s e t E = 0 i n ( 2 7 ) we o b t a i n t h e - c o r r e s p o n d i n g . . I
g e n e r a t i n g e q u a t i o n s
j, \ J
T h e p r o b l e m ( 2 8 ) p o s s e s s e s s e t s o f s e p a r a b l e
s o l u t i o n s f o r . u a n d v (O) w h i c h c a n a b e w r i t t e n a s
* T h i s w o r k h a s b e e n a c c e p t e d f o r p u b l i c a t i o n i n ACTA
w h e r e a n y a n , Y n y q n a r e a r b i t r a r y c o n s t a n t s a n d w h e r e ,
t h e B i g e n f u n c t i o n s s a t i s f y t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s
9 1 2 2 -
w h e r e X . = o n n - ( n = 1 , 2 , . . . ) .
We s h A l a s s u m e t h a t t h e d a m p i n g i s l e s s t h a n e r i f i c a l ;
2 i . . y < X f o r a l l n , w h i c h m e a n s t h a t a l l . w n a r e
n
T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s 8 ) ( = 0 a n d ,'
b j 2 ) ( @ , ) = d ( i = l Y 2 ) , e n a b l e t h e s e t o f a l l o w e d
e i q g e n f u n c t i o n s a n d e i g e n f r e q u e n c i e s { a , u n } t o b e r L
n
4, d e t e r m i n e d . . I f t h e s e l f - a d j o i n t n e s s c r i t e r i a a r e 9 c ..i'
s a t i s f i e d by t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s , t h e n t h e s e t s o f
f u n c t i o n s ( x ) } a n d { Q n ( x ) } f o r m a S t u r m - L i o u v i l l e 3 n
. ~ " y s t e m a n d t h e y h a v e t h e p r o p e r t y t h a t b e p s i d e s b e i n g ~ +
0 z
c o m p l e t e , t h e y a q e o r t h o g o n a l . i
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By s u i t a b l y n o r m a l i z i n g @,(XI a n d $ , ( X I , t h e s e
f u n c t i o n s - c a n b e made t o s a t i s f y e q u a t i o n s (5). 4
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F rom e q u a t i o n (419,~ c o n s i d e r i n - g t h e c a s e r = 1, .
c o m p a r i n g t h e c o e f f i c i e n t s o f cos.'@ a n d s i n +, we f i n d -
t h a t A1 = B1 = 0. F o r a l l o t h e r p a i r s ' o f v a l u e s o f n a n d
( 1 ) = D ( 1 ) r ( e x c e p t n = r = 11 , w e h a v e C = 0 . n r n r
T h e c o n s t a n t s C ( 1 ) a n d D l l r e m a i n u n d e t e r m i n e d . 11 ( 1 ) R e t u r n i n g ' t o ( 3 3 ) , we $ e e t h a t we may t a k e C l l
t
s i n c e a n y t e r m s i n v ( x , t ) p r o p o r t i o n a l t o @ ( x ) c o s $ a n d 1 1
G1(x) s i n + c a n b e i n c l u d e d w i t h t h e f i r s t t e r m i n t h e
\ - .
7 e x p a n s i o n .
L
- 1 "I
1 From e q u a t i o n ( 4 2 ) , c o m p a r i n g t h e d i f f e r e n t c o -
1' - e f f i c i e n t s o f c o s n+ a n d s i n n$ , we s e e t h a t a l l A n r r
a n d
13''' a r e z e r o e x c e p i n r
A") O r . = L21i r - 7 q 4,')
2 w h e r e P = R + 4y
2 2 - 4 9 . r r
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d e t e r m i n e d b y ( 4 9 ) . i
2 H e n c e t o t h e o r d e r o f E , t h e s o l u t i o n b e c o m e s
w h e r e u ( x , a , J , ) a n d v 2 ( x , a , $ J ) a r e g i v e n b y ( 4 5 ) a n d ( 5 0 ) 1
a n d a , J, b y
a n d Q , R b y e q u a t i o n s ( 4 8 ) . -,
T h e e q u a t i o n s ( 5 2 ) may b e i n t e g r a t e d t o g i v e .
I
w h e r e C ' a n d $J a r e c o n ' s t a n t s o f i n t e g r a t i o n . 0
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~ i ' i m i n a t i n g a f r o m equa . t . ions i n ( 5 3 . ) , w e h a v e
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T h e g r a p h o f Q / W ~ a g f i n s t t h e d a m p i n g f a c t o r - j
i s shown i n t h e f i g u r e f o r d i f f e r e n t v a l u e s o f r .
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4.
2 . ASYMPTOTIC SOLUTION.
A c c o r d i n g t o K-B-M m e t h o d , we s e e k t h e s o l u t i o n
o f n o n & e a r e q u a t i o n ( 1 ) i n t h e f o r m
1 w h e r e y = y ( r ) a n d u ( r , a , $ , x ) a r e 27r p e r i o d i c i n $ f o r - r
e a c h r = 1 , 2 , . . . . T h e p a r a m e t e r s a a n d $ a r e f u n c t i o n s r
o f t i m e t a n d a r e g i v e n b y t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s .#
. - We a s s u m e t h e t r u t h o f e q u a t i o n s h ( 2 ) a n d ( 4 ) when r o i s
r e p l a c e d b y T . T h e f u n c t i o n s $ n ( ~ ) a r e i n d e p e n d e n t o f T . e f
2.
a r e t o .be d e t e r m i n e d f r o m t h e r e q u i r e m e n t t h a t t h e s o l u t i o n 4
( 7 ) - ( 8 ) s h o u l d s a t i s f y t h e e q u a t i o n ( I ) . .
I t s h o u l d b e n o t e d t h a t f o r E = 0 , t h e s,;J.ution
- *
- (7):(8) r e d u c e s t o t h e s o l u t i o n ( 6 ) o f t h e g e n e r a t i n g
. e q u a t i o n . We s h a l l r e s t r i c t o u r i n v e s t i g a t i o n t o t h e
/ S u b s t i t u t i n g ( 1 0 ) i n t o ( 9 ) , m u l t i p l y i n g b o t h s i d e s by
$ , ( x ) , i n t e g r a t i n g f r o m 0 t o it w i t h r e s p e c t t o x., a n d
u s i n g ( 4 ) a n d ( 5 ) , we h a v e :
a 2v n
'd 2v 2 a 'V av n
a v 2
+ 2y - aa 1 a @ n + ~ 2 V + 2yw - 'da n n
+ 2ulB1 + 2 y ' ) c o s $ -
aB1 ' + ( - 2ywlA1 - 2 a y 1 u l + w;) s i n $ 1 + F ( a , $ ) 0
n ( 1 1 )
w h e r e - R
S i n c e V n ( r , a , @ ) a n d F (a,@) a r e b o t h ZIT p e r i o d i c n
b
i n $ , we c a n e x p a n d them i n F ' o u r i e r s e r i e s a s
U s i n g (12) - i n ( 1 1 ) i m p l i e s
T h e s e e q u a t i o n s d e t e r m i n e A a n d B 1 .I'
C o m p a r i n g t h e c o e f f i c i e n t s o f c o s r a n d s i n r in.(4.,3+),
we g e t
T h e l a s t two e q u a t
n = 1, r = 1. The >
i o n s h o l d f o r a l l n a n d r e x c e p t when
8 c o e f f i c i e n t s An, a n d B a r e , d e t e r m i n e d n r
f r o m t h e s e u a t i o n s . ;/" 1
1
From ( 1 2 ) V n a r e d e t e r m i n e d a n d t h e n f r o m ( 1 0 ) - \
u ( ? l a , $ , x ) i s d e t e r m i n e d . he ref&-e t h e l o l u i i o n o f ( 1 ) 1
u p t o f i r s t i m p r o v e d a p p r o x i m a t i o n i s > -
da - 1 + E A ~ ( T , ~ ) , w h e r e - - d t
#
a n d A 1 , B; a r e d e t e r m i n e d by
( 1 4 ) .
t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ? ! ,
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A c c o r d i n g t o t h e KBM m e t h o d , we s e e k t h e s o l u t i o n o f 4
( 1 5 ) i n t h e f o r m
- t
- w h e r e a a n d I) aree f u n c t i o n s ' o f t g i v e n b y * ~
2 - - - 1 + EA ( a , ? ) + E .... d t 1
We a l s o a s s u m e t h a t w f pwl f o r p a n y i n t e g e r a n d e n > 2 n
a n d a s b e f o r e ' we a s s u n l e t h e v a l i d i t y o f e q u a t i o n s ( 1 6 ) a n d
W A a r e f u n c t i o n s o f T . , n o t c o n s t a n t s . . . (18) when c l , c 2 , n , n
We a l s o a s s u m e t h a t mn(x) a Q n ( x a r e i n d e p e n d e n t o f r . q. I S u b s t i t u t i n g ( 2 1 ) - ( 2 2 ) i 1 , a n d e q u a t i n g t h e
c o , e f f i c i e n t s o f E o n b o t h s i d e s , we o b t a i n t h e f o l l o w i n g \ e q u a t i o n s f o r u a n d V1:
1
+ (0;- + - - 2ywIA1 - 2 a w l y 1 ) s i n $ "' aa
To s o l v e ( 2 3 ) - ( 2 4 ) ' w e e x p a n d u 1 ' Vi a s d o u b l e F o u r i e r
s e r i e s i n a n d x u s i n g t h e h a r m o n i c b a s i s f o r $ a n d t h e -,
- . + B ( ~ , a ) s i n n $ ) ] @ ( x ) ( 2 5 ) . n r n
m 1
m
V l ( ~ , a , $ , x ) = E [ I C O r ( r . a ) - + C { C ( r , a ) c o s n$ r = l n = l n r
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aJ I-, aJ a
II; (I]
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CHAPTER 5
0 PLANE SHOCK WAVES IN VISCOELASTIC MEDIA
DISPLAYING CUBIC ELASTICITY. - . '3
1 . INTRODUCTION.
I n t h i s c h a p t e r we . c o n s i d e r t h e p l a n e v i b r a t i o n s
o f a medium w h i c h i s p r e d o m i n a n t l y l i n e a r l y e l a s t i c b u t -2 -
w h i c h d i s p l a y s i n a d d i t i o n s m a l l n o n l i n e a r e l . a s t i c a n d
l i n e a r v i s c o e l a s t i c . b e h a v i o u r . T h e n o n l i n e a r i t y i n
s s u p p o s e d t o o c c u r i n t h e f o r m o f t e r m s i n -- t h e s t r e A - s t r a i n r e l a t i o n w h i c h a r e q u a d r a ' t i c a n d c u b i c
i n s t r a i n a n d t h e v i s c o e l a s t i c i t y i s t a k e n a s a f u n ~ t i o n a l
t e r m i n t h e s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n . T h e c a s e , ; h e n t h e
z 1
s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n c o n t a i n s o n l y n o n l i n e a r q u a d r a t i ~ c ...-
t e r m i n s t r a i n i n q d d i t i o n t o l i n e a r t e r m h a s b e e n
i n v e s t i g a t e d by L a r d n e r [ 2 2 j a n d ' i t h a s . b e e n . s h o w n t h a t .
t h e s o l u t i o n o f a n y n o n - t r i v i a l i n i t i a l v a l u e p r o b l e m \ .
f o r s u c h a medium d e v e l o p s a s i n g u l a r i t y i n t h e f o r m o f
a s h o c k - w a v e a f t e r a f i n i t e i n t e r v a l o f t i m e . I n [ 2 2 ] ,
t h e s t r u c t u r e o f t h e " s h o c k l a y e r h a s a l s o p e e n i n v e s t i -
gated .
T h e c o n s i d e r a t i o n o f t h e c a s e when t h e s t r e s s -
s t r a i n r e l a t i o n c o n t a i n s q u a d r a t i c a s w e l l a s c u b i c t e r m s
i n s t r a i n i s i n c e f o r many m a t e r i a l s i t c a n b e
e x p e c t e d t h a t s i s a n o d d f u n c t i o n o f s t r a i n , ,
m e a s u r e d gram i t s n a t u r a l s t a t e . I n s u c h a c a s e t h e
d e p a r t u r e f r o m . l i n e a r i t y c a n b e e x p e c t e d t o b e c u b i c a n d
n o t q u a d r a t i c i n s t r a i n .
*
%7+ S i m i l a r p r o b l e m s h a v e b e e n i n v e s t i g a t e d e a r l i e r
b y M o r t e l l a n d V a r l e y [ 2 3 ] , M o r t e l a n d S e y m o u r [ 2 4 , 2 5 ] ,
j K r u s k a l a n d Z a b u s k y [ 2 6 ] , K e l l e r a n d K o g e l m a n [ 2 7 ] a n d
Chukwendu a n d K e v o r k i a n [ 1 5 ] . T h e m e t h o d s o f a p p r o x i -
m a t i o n u s e d w e r e t h e a v e r a g i n g m e t h o d o r c l o s e l y r e l a t e d -
Krylov-Bogoliubov-Mitropolskii m e t h o d , C
m e t h o d
s t r a i n e d c o - o r d i n a t e s o r t h e two t i m e m e t h o d . I n [ 2 4 - 2 7 1 ,
t h e t w o - t i m e m e t h o d wa's u s e d t o f i n d t h e s o l u t i o n i n t h e
f o r m o f a n e x p a n s i o n i n s p a t i a l e t g e n f u n c t i o n s . T h e
s y s t e m o f e q u a t i o n s f o r t h e t i m e d e p e n d e n t a m p l i t u d e s
o b t a i n e d b y t h e t w o - t i m e m e t h o d i s t h e s a m e a s o b t a i n e d I
by t h e a v e r a g i n g m e t h o d . I n - f a c t a c o m p s i s o n o f two-
t i m e a n d a v e r a g i n g m e t h o d s [ 2 0 ] h a s shown t h a t i n t h e i r
l o w e s t a p p r o x i m a t i o n s , t h e s e two m e t h o d s a r e f o r m a l l y
e q u i v a l e n t f o r w i d e c l a s s h y p e r b o l i c p a r t i a l
/ i /
d i f f e r e n t i a l e q u a t i o ~ s w i t h s m a l l n o n l i n e a r i t i e s , g & ~ o w -
/ '? $a
e v e r , i t h a s b e e n p o i n t e d o u t b y N a y f e h [ 2 8 ] , t h a t f o r
c e r t a i n n o n l i n e a r wave e q u a t i o n s , a d i r e c t u s e o f t h e
t w o - t i m e m e t h o d w i t h o u t a n e i g e n f u n c t ' i o n e x p a n s i o n 1
a l l o w s t h e s o l u t i o n t o b e g e n e r a t e d m o r e d i r e c t l y t h a n
t h r o u g h t ' h e a v e r a g i n g m e t h o d . T h e 9 r o b l e m . t o b e i n - --
v e s t i g a t e d i n t h i s c h a p t e r f a l l s u n d e r t h i s c a t e g o r $ . J
I 1
T h e e q u a t i o n s d e s c r i b i n g ? h e p h y s i c a l m o d e l a r e
w r i t t e n down i n s e c t i o n 2 , where-we show t h a t t h e y l e a d
t o a c e r t a i ~ n o n l i n e a r w a v e e q u a t i o n f o r l o n g i t u d i n a l
d i s p l a c e m e n t o f t h e c o l u m n .
I n s e c t i o n 3 , t h e s o l u t i o n i s o b t a i n e d by u s i n 8
t w o - t i m e e x p a n s i o n . T h e s o l u t i o n t o t h e l o w e s t o r d e r
c o n s i s t s o f t h e s u p e r p o s i t i o n o f two I \
d i s p e r s e d t r a v e l l i n g w a v e s , o n e t r a v e l l i n g t o t h e r i g h t
a n d t h e o t h e r t o t h e l e f t . U n l i k e t h e c a s e o f q u a d r a t i c +L
e l a s t i c i t y , t h e two w a v e s i n t h i s c a s e a r e n o t q u i t e -
u n c o u p l e d a n d a t e r m p r o p o r t i o n a l t o t h e t o t a l e n e r g y
c o n t a i n e d i n o n e w a v e a p p e a r s i n t h e d i f f e r e n t i a l e q u a -
t i o n w h i c h d e s c r i b e s t h e p r o p a g a t i o n o f t h e o t h e r w a v e
a n d v i c e v e r s a .
I n s e c t i o n 4 , w e e x a m i n e , t h e c a s e o f a p u r e l y
e l a s t i c r e g i m e when b e i g n o r e d a n d t h e
e n e r g y i n e a c h o f When
s h o c k s f o r m i n t ' h e s o l u t i o n , t e d i s s i p a t i o n b e c o m e s J s i g n i f i c a n t a n d t h e c o u p l i n g b e t w e e n t h e two w a v e s
b e c o m e s l e s s t r i v i a l . d
I n t h e r e m a i n i n g s e c t i o n s , we e x a m i n e t h e
s t r u c t u r e o f 2 s h o c k - w a v e p h e n t h e p r e d o m i n a n t d i s s i p a -
t i v e m e c h a n i s m i s v i s c o e l a s t i c i n n a t u r e .
5 , we c o n s i d e r t h e V o i g t m o d e l , when t h e
o c c u r s a s a s m a l l term i n t h e s k r e s s - s t r a i b r e l a t i o n \
p r o p o r t i o n a l t o t h e s t r a i n r a t e . T h e c o m p l e t e s o l u t i o n
i n v o l v i n g t h e s h o c k - w a v e i s f o u n d by m e a n s o f a m a t c h i n g
t e c h n i q u e . -. - - I n s e c t i o n 6 , w e e x a m i n e t h e c a s e o f g e n e r a l
v i s c o e l a s t i c r e l a x a t i o n f u n c t i o n . I n t h i s c a s e we f i n d
a n i n t e g r a l e q u a t i o n f o r t h e i n n e r s o l u t l o n w i t h i n t h e ,
s h o i f k - l a y e r a n d o b t a i n t h e c o n d i t i o n f o r f h e s h o c k -
v e l o c i t y .
I n s e c t i o n 7 , we i n v e s t i g a t e a p a r t i c u l a r
2 c a s e when t h e r e l a x a t i o n f u n c t i o n i s o f e x p o n e n t i a l ,P
P -
n a t u r e a n d d e r i v e t h e e x p l i c i t s o l u t i o n f o r t h e i n t e g r a l
e q u a t i o n o f s e c t i o n 6 . i
8 .
\
2 . THE PHYSICAL MODEL.
We s h a l l c o n s i d e r t h e p l a n 9 v i b r a t i o n s o f a
v i s c o e l a s t i c s l a b . L e t x b y a c o o r d i n a t e / t h r o u g h t h e
s l a b a n d l e t u ( x y t ) d e n o t e t h e d i s p l a c e m e n t i n t h e
x - d i r e c t i o n a t t i m e t o f t h e c r o s s - s e c t i o n o f t h e s l a b
w h i c h o c c u p i e s t h e p o s i t i o n x i n t h e n a t u r a l s t a t e .
T h e n t h e l o n g i t u d i n a l s t r a i n e ( x , t ) a n d p a r t i c l e
v e l o c i t y v ( x , t ) a r e d e f i n e d b y
s u b s c r i p t s d e n 0 t i n g p a r t i a l d i f f e r e n t i a t i o n . T h e e q u a -
t i o n o f m o t i o n t a k e s t h e f o r m
w h e r e O ( x , t ) ' i s t h e l o n g i t u d i n a l s t r e s s a n d p t h e
d e n s i t y .
We s h a l l s u p p o s e t h a t t h e c o n s t i t u t i v e l a w r e l a -
t i n g s t r e s s a n d s t r a i n f o r t h e m a t e r i a l o f w h i c h t h i s l a b - i s c o m p o s e d t a k e s t h e f o r m
4 o ( x , t ) = ~ { e ( x , t ) + p l [ e ( x , t ) 1 2 + - 3 v [ e ( x , t ) 1 3 + 0 ( i 4 ) }
a3
- / G , ( s ) f e ( x y t - s ) - e f x , t ) 3 d s g
a, k
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U
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Ec
s i m i l a r l y r e - s c a l e d : u = & u * , v = & v * , o = 4; o* r
We a l s o w r i t e 11 = p a n d G l ( s ) = E E G ( s ) , s o t h a t t h e 1
s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n i n t e r m s o f t h e new v a r i a b l e s
t a k e s t h e f o r m
. E q u a t i o n s ( 1 ) a n d ( 2 ) r e m a i n u n c h a n g e d i n t e r m s o f t h e
r e - s c a l e d v a r i a b l e s .
From now o n , we s h a l l d r o p t h e * ' s , w r i t i n g
\ s i m p l y u f o r t h e r e - s c a l e d d i s p l a c e m e n t u * , a n d s o o n . $
a E q u a t i o n s ( l ) , ( 2 ) a n d ( 4 ) c a n b e c o m b i n e d i n t o
a s i n g l e e q u a t i o n f o r u ( x , t ) w h i c h t a k e s t h e f o r m
- , \ w h e r e u n i t s h a v e b e e n c h o s e n i n s u c h a way t h a t E / p = 1. .
C 1 - T h e v i s c o e l a s t i c r e l a x a t i o n function G ( s ) 5 s -
a s s u m e d t o d e c a y t o z e r o a s s + w i t h a c h a r a c t e r i s t i c
&
&.
d e c a y t i m e w h i c h i s d e n o t e d by 8 . I f i t h a p p e n s t h a t ,
t h e s t r a i n c h a n g e s s l o w l y r e l a t i v e t o t h e t i m e s c a l e 8 ,
- t h e s t r a i n e ( x , t - s ) i n t h e r e l a x a t i c n t e r m . i n e q n . ( 4 )
may b; expand .ed i n a . T a y l o r e x p a n s i o n a b o u t s = 0 , a n d
we o b t a i n t h e a p p r o ' x i m a t e r e s u l t t h a t
w h e r e k = s G ( s ) d s . We s h a l l r e f e r t o t h i s e x p r e s s i o n 0
a s t h e V o i g t a p p r o x i m a t i o n . W i t h i n t h i s a p p r o x i m a t i o n ,
e q n . ( 5 ) i s r e p l a c e d b y t h e e q u a t i o n
I n a d d i t i o n to t h e s e f i - e l d e q u a t i o n s i t i s
n e c e s s a r y t o i m p o s e i - n i t i a l a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n
t h e s y s t e m . We s h a l l s u p p o s e t h a t t h e s l a b o c c u p i e s
t h e f e g i o n 0 < x < R a n d t h a t t h e f a c e s x = 0 a n d x = !k
a r e h e l d f i x e d . T h e n t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s t a k e t h e
f o r m
A s i n i t i a l c o n d i t i o n s we s h a l l a s s u m e t h a t t h e i n i t i a l I
d i s p l a c e m e n t a n d v e l o c i t y , u ( x , O ) a n d v ( x , O ) = u ( x , O ) , t
a r e b o t h p r e s c r i b e d . I t f o l l o w s t h e r e f o r e t h a t
i n i t i a l s t r a i n e ( x , O ) = u ( x , O ) i s a l s o known. X
t h e
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we, i m p o s e t h e f o l l o w i , n g ~ o n d i t i o n s o n F a n d G : " s
L e t u s now e x a m i n e t h e c a s e w h e r e t h e f u l l
f u n c t i o n a l f o r m f o r t h e v i s c o e l a s t i c t e r m i s t a k e n ,
e q n . ( 5 ) . I n t h i s c a s e t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n f o r ,
u, i s t h e s a m e a s e q n . - ( l 2 ) e x c e p t t h a t t h e k - t e r m i s
% r e :p l aced b y t h e e x p r e s s i o n
m
- r ~ ( s ) p a a ( a - S , T - E S ) - ~ ~ ~ ( a , . ' ) 0
+ G ( 6 - s , T - ES) - G B B ( ~ , T ) j d ~ . . B B
I' I
G ( s ) d e c a y s t o z e r o w i t h i n a n i n t e r v a l 6 w h i c h c a n b e
-1 a s s u m e d t o b e s m a l l c o m p a r e d t o E , s o t h a t t o a g o o d .
/I-
a p p r o x i m a t t o n - w e may r e p l a c e t h e a r g u m e n t s r - E S by T ---
i n t h i s i n t e g r a l . C o ~ s e q u e n t l y i n r h e s o l u t i o n ( 1 3 ) f o r a
u1 , t h e k -be rm i s r e p l a c e d b y
P
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e q n . ( 1 7 ) we o b t a i n t h ~ c o n d i t i o n s t h a t - -,
i
T h e f i r s t o f t h e s e c o n d i t i o n s i s s a t i s f i e d - i f we t a k e
G ( B , T ) = - F ( ~ , T ) f o r a n y p 3 o f a r g u m e n t s ( 0 T . U n d e r -
B
t h i s i d e n t i f i c a t i o n , t h e two e q u a t i o n s (-15) b e c o m e
4 . i d e n t i c a l , a s a l s o d o t h e two e q n s . ( 1 6 ) . - T b s c o n s i s t e n c y
i s a c h i e v e d b y t a - k i n % t h e s o l u t i o n i n t h e f o r m
i n t h i s c a s e , w h e r e F f e , ~ ) s a t i s f i e s t h g e q u a t i o n
i n t h e c a s e o f t h e V o i g t a p p r o x i m a t i o n , a n d m o r e g i n e r a l l y
s a t i s f i e s d
S i m i l a r l y , ' t h e s e c o n d o f t h e ' b o u n d a r y c o n d i t i o n s 9 \
-- - ( 1 8 ) i s m e t b y a s s u m i n g t h a t F i s p e r i o d i c i n i t s f i r s t
a r g u m e n t w i t h p e r i o d 2R : F ( 6 + 2 2 , ~ ) = F ( f 3 , ~ ) . T h i s
c o n d i t i o n i s c o n s i s t e n t w i t h t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s . 9
( 2 0 ) o r ( 2 1 ) .
I t i s c o n v e n i e n t t o i n t r o d u c e f ( 0 , r ) = F O ( @ , r ) .
w -' % A f t e r d i f f e r e n t i a t i o n w i t h r e s p e c t t o 0 , e q n s . ( 2 0 ) a n d
t a k e t h e f o r m
w h e r e . ..
I n t h i s l a s t e q u a t i o n w e h a v e made u s e o f t h e p e r i o d i c i t y
o f f ( @ , - r ) i n 8 i n c h a n g i n g f r o m t h e i n f i n i t e a v e r a g e i n
t h e o r i g i n a l d e f i n i t i o n ( 1 4 ) t o t h e a v e r a g e o v e r o n e p e r i o d
i n e q n . ( 2 2 ) .
T h e s t r a i n a n d v e l o c i t y a r e e x p r e s s i b l e , t o l o w e s t ,--
o r d e r , i n t e r m s o f t h e f u n c t i o n • ’ ( @ , ~ ' ) , - f o r , u p o n d i f f e - ,* -Y
r e n t i a t i n g e q n . ( 1 9 ) w i t h r e s p e c t t o x a n d t i n t u r n , we
o b t a i n t h a t
From t h e i n i t i a l v a l u e s o f e a n d v , t h e f o l l o w i n g - i n i t i a l v a l u e s o f f ( 8 , ~ ) a r e o b t a i n e d :
\
C o n s e q u e n t l y t h e v a l u e s f ( 8 , O ) a r e known f o r - 2 < 8 < R .
I n v i e w o f t h e p e r i o d i c i t y o f f ( ' 8 , ~ ) i n 8 , i t f o l l o w s
t h e r e f o r e t h a t t h e v a l u e s f ( 8 , O ) a r e known f o r a l l v a l u e s
ci - F o r v a l u e s o f ' t w h i c h a r e o ( ~ ) , r i s s m a l l a n d
may b e r e p l a c e d b y z e r o i n t h e s o l u t i o n ( 1 7 ) . T h e s o l u t i o n
t h e n may b e i n t e r p r e t e d a s c o n s i s t i n g o f two w a v e s , a n
a - w a v e ' w i t h a m p l i t u d e TF t r a v e l l i n g t o t h e l e f t a n d a 8-wave -A w i t h a m p l i t u d e G t r a v e l l i n g t o t h e r i g h t . F o r v a l u e s , o f T
s i g n i f i c a n t l y d i f f e r e n t f r o m z e r o t h i s i n t e r p r e t a t i o n
b r e a k s down b e c a u s e o f t h e T - d e p e n d e n c e o f F a n d G ( a l t h o u g h ,
1 a s we s h a l l s e e i n t h e n e x t s e c t i o n , a n i n t e r p r e t a t i o n i n
t e r m s o f s i m p l e w a v e s i s m s t i l l p o s s i b l e i n t h e p u r e l y J
e l a s t i c c a s e ) . O v e r t i m e - s c a l e s o f o r d e n i t y , t h e
a n d G p a r t s o f t h e s o l u t i o n s t i l l a p p e a r p r o x i m a t e l y
a s w a v e s p r o p a g a t i n g i n e a c h d i r e c t i o n , b u t t h e *9 .>,-dependence o f t h e s e f u n c t i o n s i n t r o d u c e s a s l o w
A p e r n i o n a n d m o d u l a t i o n o f t h e two w a v e s .
When v = 0 , t h e two e q n s . ( 1 5 ) b e c o m e e n t i r e l y
d e c o u p l e d , i n d i c a t i n g t h a t t h e two p a r t s F a n d G o f t h e
s o l u t i o n p r o p a g a t e i n d e p e h d e n t G o f o n e a n o t h e r . T h i s
f e a t u r e o f q u a d r a t i c e l a s t i c ' m a t e r i a l s h a s be.en n o t e d .
p r e v i o u s l y i n s l i g h t l y d i f f e r e n t c o n t e x t n s b y M o r t e l l a i d +G
V a r l e y [ 2 3 ] a n d M o r t e l l a n d Seymour [ 2 4 , 2 5 ] . F o r t h e
c a s e o f c u b i c e l a s t i c i t y ( V # 0 ) t h e two w a v e s d o n o t
p r o p a g a t e i n d e p e n d e n t l y , 3 l t h o u g h t h e c o u p l i n g b e t w e e n
2 t h e m o n l y a r i s e s t h r o u g h t h e a v e r a g e v a l u e s < F B > a n d
2 <G > .
B
W h e n v = O , e q n . ( 2 0 ' ) r e d u c e s t o B u r g e r s l
e q u a t i o n , a s h a s b e e n shown e l s e w h e r e [ 2 3 ] .
t h e a m p l i t u d e o f t h e s i g n a l c a r r i e d b y t h a t c h a r a c t e r i s t i c .
T h e a m p l i t u d e s H ( 8 1 ) a r e c o m p l e t e l y d e t e r m i n e d 6 y
t h e i n i t i a l s t r a i n a n d v e l o c i t y i n ' t h e med ium. S e t t i n g
t = 0 ( T = 0 ) i n e q n . ( 2 7 ) we s e e t h a t = 0 i n i t i a l l y ,
a n d h e n c e f r o m e q n s . ( 2 6 ) a n d ( 2 4 ) ,
i n 0 w i t h p e r i o d 2 2 , s o t h a t e q n s . ( 3 0 ) d e t e r m i n e H ( 8 ) 1
f o r a l l v a l u e s o f 0 . )
L e t u s now d e t e r m i n e C ( T ) . I n t h e d e f i n i t i o n
- ( 2 2 ) w e s u b s t i t u t e t h e s o l u t i o n ( 2 6 ) a n d c h a n g e t o e l a s
i n t e g r a t i o n v a r i a b l e u s i n g e q n . ( 2 7 ) t h u s o b t a i n i n g \ -- d
S i n c e H ( 8 ) i s p e r i o d i c i n e l w i t h p e r i o d 2 2 , t h e t e r m s i n 1
e q n . ( 3 1 ) i n v o l v i n g t h e f a c t o r H ' ( 8 1 ) v a n i s h , l e a v i n g
1
-
I t i s c l e a r t h e r e f o r e t h a t C(T) i s , i n f a c t a C,
, c o n s t a n t , i n d e p e n d e n t o f r . his f a c t c a n a c t u a l l y b e
v e r i f i e d d i r e c t l y f r o m t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( 2 5 ) ,
b u t we h a v e k e p t C ( r ) v a r i a b l e u p t o t h i s p o i n t f o r
f u t u r e u s e .
S i n c e c i s c o n s t a n t , i t f o l l o w s t h a t t h e v e l o c i t y
o f p r o p a g a t i o n o f t h e c h a r a c t e r i s t i c s a r e c o n s t a n t ( c . f . -2 ,
-
e q n . ( 2 9 ) ) . I n t h e x t - p l a n e , t h e a- a n d 8 - c h a r a c t e r i s t i c s
f o r m two f a m i l i e s o f s t r a i g h t l i n e s .
S u b s t i t u t i n g e q n . ( 3 0 ) i n t o e q n . ( 3 2 ) we o b t a i n
t h e r e s u l t t h a t
s h o w i n g t h a t , a p a r t f r o m a c o n s t a n t f a c t o r , C i s e q u a l ,
t o t h e e n e r g y i n t h e i n i t i a l s t a t e o f s t r a i n a n d ' m o t i o n
o f t h e s l a b ( u p t o t e r m s - o f o r d e r E ) .
E q u a t i o n s ( 2 6 ) a n d ( 2 7 ) p r o v i d e a s o l u t i o n o f
e q n . ( 2 5 ) o n l y i f e q n . ( 2 7 ) c a n b e s o l v e d f o r 8 f o r c 1
g i v e n ( 0 , ~ ) . T h i s a m o u n t s t o r e q u i r i n g t h a t o n l y o n e
c h a r a c t e r i s t i c from e a c h f a m i l y p a s s e s t h r e e g h e a c h - p o i n t
i n t h ' e ( x , t ) p l a n e . Now i n f a c t , t h e f a m i l y o f l i n e s
d e f i n e d b) e q n . ( 2 7 ) d o e s h a v e a n e n v e 1 o p e . w h i c h t h e r e - \
- 5 \+..:.
f o r e m u s t p r o v i d e a b o u b d a r y b e y o n d w h i c h t h e s o l u ' t i o n
we h a v e f o u n d b e c o m e s i n v a l i d .
e q n . ( 2 7 ) t a k e s t h e f o r m e l = 0 + r P ( B 1 ) . T h e e n v e l o p e
i s o b t a i n e d b y d i f f e r e n t i a t i n g w i t h r e s p e c t t a 8 1 '
w h i c h g i v e s T P ' ( B ) = 1, a n d s o i s g i v e n p a r a m e t r i c a l l y 1
by t h e e q u a t i o n s
I f we d e n o t e b y B m t h e v a l u e o f e l a t w h i c h P 1 ' ( e l ) i s
a maximum, t h e n t h e s m a l l e s t v a l u e o f T o n t h e e n v e l o p e
i s g i v e n b y
T h u s f o r T < T f Y
t h e s o l u t i o n ( 2 6 ) , ( 2 7 ) i s v a l i d f o r
a l l y a l u e s o f 8 , w h i l e f o r T 3 T i t b e c o m e s i n v a l i d f o r - f
a t l e a s t some s e t o f v a l u e s o f 8 . S i n c e P ( 0 ) i s ~ e r i o d i c , . 1
'f- p r o v i d e d t h a t i t i s n o t i d e n t i c a l l y ' c o n s t a n t , t h e r e i s
a l w a y s s o m e v a l u e o f 0 a t w h i c h P ' ( e l ) > 0,. s o t h a t , a 1
-
f i n i t e v a l u e o f T a l w a y s e x i s t s . f
For T >, T p it is necessary to include a shock f
'G w a v e in the solution, and in the following sections w e
.- shall investigate'the nature,of'the shock layer in the
case when the material displays a small degree of P
viscoelasticity.
5 . SOLUTION I N THE VOIGT APPROXIMATION. !
,-
I n t h i s s e c t i o n we s h a l l e x a m i n e t h e s o l u t i o n . ~ • ’
e q n . ( 2 0 ' ) i n t h e c a s e when t h e c o n s t a n t k i s s m a l l . T h i s b
' fk'q v i s c o e l a s t i c c o n t r i b u t i o n a m o u n t s t o a s s u m i n g t h a t
t o t h e s t r e s s i n e q n . ( 6 ) i s s m a l l c o m p a r e d t o T h e c o n t r i -
b u t i o n o f t h e n o n l i n e a r e l a s t i c t e r m s e x c e p t i n r e g i o n s
w h e r e t h e s t r a i n i s r a p i d l y v a r y i n g . , I n p a r t i c u l a r , t h e -
v i s c o e l a s t i c t e r m s a r e s i g n i f i c a n t w i t h i n t h e n e i g h b o u r -
h o o d o f a n y s h o c k w a v e w-hich may d e v k l o p i n t h e s o l u t i o n .
Under ' t h e s e c o n d i t i o n s , ' a s l o n g a s t h e i n i t i a l
v a l u e s o f t h e s t r a i n a n d v e l o c i t y g r a d i e n t s a r e n o t l a r g e ,
t h e e l a s t i c s o l u t i o n f o u n d i n S e c t i o n 4 w i l l p r o v i d e a
g o o d a p p r o x i m a t i o n , w i t h i n O(k ) o f ' t h e c 0 r r e c . t s o l u t i o n
o f e q n . ( 2 0 1 ) , u p t o t i m e s a t w h i c h a s h o c k f o r m s . C
F u r t h e r m o r e , e v e n ' f o r r > r f , t h e l a s t t e r m i n e q n . ( 2 0 ' )
c a n b e i g n o r e d f o r p o i n t s w h i c h a r e o u t s i d e t h e s .hock --I
l a y e r , a n d a t s u c h p o i n t s t h e s o l u t i o n i s g i v e n a p p r o x i -
m a t e l y b y e q n . ( 2 6 ) a n d ( 2 7 ) . We s h a l 1 , r e f e r t o t h i s
a p p r o x i m a t i o n a s t h e o u t e r s o l d t i o n . We n o t e h o w e v e r t h a t "
t h e r e i s o n e d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e o u t e r s o l u t i o n f o r I
r > -rf a n d t h e e l a s t i c a p p r o x i m a t i o n for T i r , n a m e l y f
w e may r e g a r d t h i s a s a r e s u l t o f a b s o r p t i o n o f e n e r g y b y
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A s 0 v a r i e s f r o m b e l o w t o a b o v e t h e s h o c k l a y e r , f v a r i e s
f r o m f t o f , w h e n c e r c h a n g e s f r o m -1 t o +l. I t i s 2 3
g i v e n by t h e r e l a g i o n ,
On c r o a i n g t h e s h o c k l a y e r , t h e i n n e r s o l u t i o n
( 3 7 ) f o r f c h a n g e s f r o m t h e v a l u e * • ’ a t p o i n t s w e l l b e l o w 2
t h e l a y e r t o f a t p o i n t s a b o v e t h e l a y e r . T h e s e l i m i t i n g 3, -
v a l u e s m u s t b e d e t e r m i n e d by m a t c h i n g w i t h t h e o u t e r
s o l u t i o n a t p o i n t s j u k t b e l o w a n d j u s t a b o v e t h e s h o c k .
A t a n y p o i n t 8 = Bs(-r) o n t,he' s h o c k , t h e r e a r e
two v a l u e s o f 8, f o r w h i c h e q n . ( 2 7 ) i s s a . t i s f i e d , w h i c h 1 - .
+ we d e n o t e by 8 -
1 '
T h i s m e a n s t h a t
t h e two c h a r a c t e r -
i s t i c s w i t h p a r a -
meters 6 = 8- a n d 1 1,
T/' ' = b o t h pass
t h r o u g h t h e p o i n t
t h e f i r s t a r r i v i n g a t d
1
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k
d e t e r m i n e d t h r o u g h a c e r t p i n g e o m e t r i c a l c o n s t r u c t i o n .
A s i m i l a r c o n s t r u c t i v e m e t h o d d o e s n o t a p p e a r t o b e
f e a h h e n v Z 0. 1
we o b e t h a t , i n o r d e r f o r t h e s i t u a t i o n
i l l u s t r a t e d i n u r e 1 t o b e r e a l i i e d , t h e s l o p e s o f \
t h e two c h a r a c t e r i s t i c s m u s t s a t i s f y t h e
( d @ / d ~ ) + < ( d $ / d ~ ) - . B u t f r o m e q n . ( 2 7 ) ,
s o t h a t t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n i s o b t a i n e d a f t e r u s i n g . '-
e q n s . ( 4 2 ) :
I * -
T h i s c o n d i t i o n r e l a t e s t h e s i g n o f t h e jump a c r , o s s t h e
2 .
/ s h b c k t o t h e q u a d r a t i c - a n d c u b i c e l a s t i c c o n s t a n t s a n d
t o t h e a v e r a g e v a l u e o f f a t t h e c e n t r e o f t h e s h o c k
T h e t h r e e e q u a t i o n s ( 4 3 ) , (4&> d e t c i m i n e T s ( ~ ) ,
b u t t h e s h o c k p a t h 0 ( T ) c a n b e o b t a i n e d f r 3 m e q n . ( 3 4 ) s
--. o n l y when C ( ~ ) " h a s b e e n f o u n d . W i t h t h e p r e s e n c e o f a
s h o c k , C ( T ) i s no l o n g e r c o n s t a n t . I n o r d e r t o o b t a i n
a n e x p r e s s i o n f o r C ( T ) , l e t u s m u l t i p l y e q n . ( 2 0 ' ) b y
f ' ( @ , r ) - k n d i n t e g r a t e o v e r e f r o m 0 t o 2 k . I n v i e w o f F
h
t h e p e r i o d i c i t y o f f , s e v e r a l ,o f t h e i n t e g r a l s v a n i s h ,
a n d t h e e n d r e s u l t i s
\ From t h e d e f i n i t i o n ( 2 2 ) o f C ( T ) t h e r e f o r e ,
\
1h t h e a b s e n c e o f a s h o c k w a v e , t h e r i g h t - h a n d .
s i d e h e r e i s ' s m d l , o f o r d e r k . H o w e v e r , w>hen t h e s h o c k P
i s p r e s e n t , a c o n t r i b u t i o n oJ o r d e r u n i t y t o t h i s r i g h t -
h a n d s i d e i s made by t h e s h o c k l a y e r i t s e l f . To e v a l u a t e -
t h e c o n t r i b u t i o n . o f t h e l a y e r , t h e i n n e r v a r i a b l e 5 may d
b e u s e d , i n w h i c h c a s e - we c a n p r i r e
\ .
e q n . ( 3 3 ) i n w h i c h k i s s e t e q u a l t o z e r o . A f t e r s u b s t i - A -
t u t i n g a n d p e r f o r m i n g t h e i n t e g r a t i o n o v e r 5 , we o b t a i n
I-i U
+I
A = f - 3 - • ’ 2 > 0 we t h e r e f o r e h a v e a r a r b f a c t i o n w a v e
i n w h i c h t h e medium , d i l a t e s a s t h e s h o c k p a s s e s w h i l e
when A < 0 we h a v e a c o m p r e s s i o n w a v e . W h i c h o f t h e s e %
two t y p e s o f s h o c k i s p o s s i b l e i s d e t e r m i n e d b y t h e
c o n d i t i o n ( 4 5 ) . '\
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p a r t i c u l a r c a s e . I n t h e n e x t s e c t i o n we s h a l l e x a m i n e
t h e s o l u t i o n f o r t h e s p e c i a l c a s e o f a n e x p o n e n t i a l , . ,
I r e l a x a t i o n f u n c t i o n , f o r whJch a n e x p l i c i t s o l u t i o n
c a n be f o u n d . ,
E q u a t i o n ( 4 6 ) . c o n t i n u e s t o h o l d f o r a g e n e r a l
r e l a x a t , i o n f u n c t i o n , p r o v i d e d t h a t v i s c o e l a s t i c ,
d i s s i p a t i o n i s s i g n i f i c a h o n l y w i t h i n t h e s h o c k l a y e r .
F o r ; . f r o m e q n s . ( 2 1 ' ) a n d 622) i t f o l l o w s tet
I f t h e 0 i n t e g r a l i s r e s t r i c t e d t o t h e s h o c k l a y e r , e q n .
( 4 7 ) may b e u s e d w i t h . t h e r e s u l t t h a t
A f t e r e v a l u a t i n g t h i s i n t e g r a l , e q n . ( 4 6 ) i s o b t a i n e d .
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s i d e o f t h e l a y e r i s b . : c o m p r e s s e d r e l a t i v e t o t h e t r a i l i n g
s i d e . When c u b i c e l a s t i c i t y i s s i g n i f i c a n t , t h e s t r u c t u r e
o f t h e s h o c k l a y e r l o s e s i t s s y m m e t r y a b o u t a t h e c e n t r , e
e v e n f o r t h e V o i g t a p p r o x i m a t i o n .
An e s t i m a t e o f t h e w i d t h o f t h e l e a d i n g f l e o f O f
t h e s h o c k l a y ' e r ( i . e . , t h e s i d e o f w h i c h f + f 2 C
o b t a i n e d b y s e t t i n g r = -1 + 1 / N w i t h N s o m e p u i t a b l y 3; "0,-d
. l a r g e n u m b e r . We t h e n o b t a i n t h a t 0 - 0 =: - ka2RnN f o r 2;. s
t h e v o i g t a p p r o x i m a a t i o n , a n d 0 - 0 s z - kd2!tnN f o r t h e C/ e x p o n e n t i a l r e l a x a t i o n f u n c t i o n . F o r t h e t r a i l i n g s i d e
o f t h e l a y e r , w e c a n s e t r = 1 - <IN, o b t a i n i n g
I 8 - €lS z k a EnN f o r t h e V o i g e a p p o x i m a t i o n a n d 3 1
8 -- B s z kdj!LnN f r o m e q n . (5511 ~ i e t o t a l w i d t h o f t h e - /
i" s h o c k i s o b t a i n e d $y a d d i n g t h e e two h a l f - w i d t h s t o g e t h e , r ,
g i v i n g t h e v a l u e s k ( a 2 + a3)RnN a n d k ( d 2 + d 3 ) k n N f o r t h e
two- s o l u t i o n s . , B u t c o m p a r i n g e q n s . ( 3 9 ) a n d ( 5 6 ) $we see 1 i
t h a t t h e s e two e x p r e s s i o n s a r e i d e n t i c a l , s o t h a t i k h e
t o t a l w i d t h o f t h e s h o c k l a y e r i s g i v e n c o r r e c t l y by t h e e
V o 2 i g t a p p r o x i m a t i o n .. i
S i n c e a '> a f o r v > 0 , , i t f o l l o w s & h a t i n t h e .2 3
V o i g t a p p r o x i m a t i o n t h e t r a i l i n g s i d e o f t h e l a y e r i s pp- - --
c o m p r e s s e d r e l a t i v e t o t h e l e a d i n g s i d e when t h e c u b i c
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c o u l d b e d e r i v e d ' i n a q u a l i t a t i v e s e n s e f r o m a e s o l u t i o n r- .
( 4 1 ) a 1 o n e ; s i n c e a n i n t u i t i v e c o n d i t i o n f o r t h e v a l i d i t y
o f t h e V o i g t a p p r o x i m a t i o n i s t h a t t h e d e & a y t i m e 6 s h o u l d
b e much s m a l l e r t h a n t h e w i d t h s o f t h e two s i d e s o f t h e
s h o c k l a y e r . T h u s we a r e l e d t o t h e c o r i u t i o n s 6 << k a 2
a n d 6 << ka, w h i c h a r e i d e n t i c a l w i f h c o n d i t i o n s , . 3
i I T h e s o J u t i o n ( 4 1 ) a l w a y s s a t i s f i e s t h e b o u n d a r y
c o n d i t i o n s , r + f + a s ( 8 - BS) / k + s i n c e a a n d a 2 3
- w h i l e t h e e c o n d i t i o n r -+ +1 a s
m e t b y s o l u t i o n ( 5 5 ) , t h e -
3 / p r o v i d e d t h a t s e c o n d b o u n d a r y c o n d i t i o n i s o n q y s a t 1
b-
C L
d g > 0. T h i s c o n d i t i o n may b e r e w r i t t e n i n t h e f o r m
U n l e s s t h i s c o n d i t i o n i s m e t , e q n . ( 5 4 ) 4s n o s p l u t i o n - . s a t i s f y i n g t h e ' t e q u i r e d b o u n d a r y c o n d i t y / o n .
' B I - When v = 0 , t h e prov%es s i m p l y
i 1
a n ' u p p e r b o u n d o a c r o s s i t h e s h o c k . \
F o r s t r o n g e r 3 ~ h o c k s t h a o u n d , n o * o t h \
s o l u t i o n of -7 f54) &-if - -Uiffg -
2. - C
t h a t when i + 0, c o n d i t i o n ( . 5 8 ) \ d o e s ~ o t provf&re ly a n
u p p e r b o u n d o n A . If we s e t A m = 3 ( % + v Z ) / v a n d fl
K = 1 - 1 2 k / v 6 ~ : t h e n t h e c o n d i t i o n s o n A a r i s i n g f r o m
t h e i n e q u a l i t y (58) c a n b e summar ia i ?d ' a s f b l l o w s . ( I n
d e r i v i n g t h e c o n d i t i o n s w h i c h f o l l o w we h a v e made u s e
o f t h e r e s t r i c t i o n ( 4 5 ) a n d a l s o o f t h e c o n d i t i o n
I A /A ml < 1 w h i c h i s n e c e s s a r y . i n o r d e r t h a t t h e t h i r d *
1 d g a r i t h m . i n e q n . ( 5 5 ) s h o u l d n o t b e s i n g u l a r f o r
/ r l < 1.) F o r 0 , i t i s n e c e s s a r y t h a t f
. * 0 < - ( A / A ~ ) m i n (I,$ (J; - 1 ) ) .
F o r v > 0 a n d K > 0, i t i s n e c e s s a r y t h a t
e i t h e r - te -: * - - - =. - - . *---
F o r v > 0 a n d K < 0 , t h e o n l y c o n d i t i o n is\-( A ) < 1. m
T h u s when v a n d K a r e b o t h p o s i t i v e , b e s i d e s a b a n d o f
w e a k s h o c k s t h e r e a l s o e x i s t s a b a n d o f s t r o n g e r s h o c k s
f o r w h i c h a s m o o t h s o l u t i o n o f . e q n . , ( 5 4 ) e x i s t s .
1 8. ~ o i n c a r i . L e s m i t h o d e s n o u v e l l e s d e l a m i c a n i q u e . ld c e l e s t e . P a r i s , 1 8 9 2 . - a
[ 2 ] I . G . M a l k i n . Some p r o b l e m s i n t h e t h e o r y ' o f n o n l m r o s c i l l a t i o n B ( i n ~ u s z a n ) , Moscow ( 1 9 6 5 ) . -
[ 3 ] N . N . K r y l o v a n d N . N . B o g o l i u b o v : I n t r o d u c t i o n t o n o n - l i n e a r m e c h a n i c s ( i n R u e s i a n ) , Ac. o f S c 2 . U k r . USSR - ( 1 9 3 7 ) [ ~ n ~ l i s h t r a n s l a t i o n , .
' P r i n c e t o n U n i v . P r e s s , Princeton, N e w - J e r s e y ( 1 9 4 7 ) 1 . I
[ 4 ] N . N . B o , g o l i u b o v a n d Yu. A, M i t r o p o l s k i i . A s y m p t o t i c m e t h o d s i n t h e t h e o r y o f n o n l i n e a r o s c i l l a -
a t i o n s ( i n R u s s i a n ) , F i z m a t g i z , Moscow ( 1 9 5 8 ) [ E n g l i s h t r a n s l a t i o n b y G o r d o n a n d B r e a c h , New Y o r k ( 1 9 6 1 ) l .
151 N . M i n o r s k i . N o n l i n e a r o s c i l l a t i o n s : D . Van N o s t r a n d 7
Company, i n c . P r i n c e t o n N . J . ( 1 9 6 2 ) . A
1
[ 6 ] A . P . P r o s k u r j a k o v . C o m p a r i s o n o$ r i o d i c s o l u t i o n s o f q u a s i l i n e a r s y s t e m s u c t e d by t h e m e t h o d s o f P o i n c a r i a n d ( i n R u s s i a n ) , A p p l i e d M a t h . a n d M e c h . , 28 ( 1 9 6 4 ) , 7 6 5 - 7 7 0 .
#
[ 7 j I . P . P o p o v a n d N.P P a l t o v , A p p r o x i m a t e m e t h o d s f o r a n a l y z i n g n o n l i n e a r a u t o m a t i c s y s t e m s ( i n
- R u s s i a n ) G o s . I z d a t . F i z . - Mat. L i t , Moscow, 1 9 6 0 .
[ 8 ] G . N . B o j a d z i e v , O n ' a s y m p t o t i c s ' o l u t i o n s o f n o n l i n e a r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h t i m e l a g , D e l a y a n d f u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a n d t h e i r a p p l i c ' a t i o n s , A c a d e m i c P r e s s ,- N e w Y o r k a n d L o n d o n , 1 9 7 2 , p p . 2 9 9 - 3 0 7 . . .
[ 9 ] Yu. A . M i t r o p o l s k i i a n d B . J . M o s e e n k o v , L e c t u r e s o n t h e a p p l i c a t i o n o f a s y m p t o t i c m e t h o d s t o t h e s o l u t i o n o f e q u a t i o n s w i t h p a r t i a l d e r i v a t i v e s ( i n R u s s i a n ) , A c a d . S c i . ' ~ k r . SSR, K i e v ( 1 9 6 8 ) .
f fi3J G . W . Bojactziev a n d R . W. L z r h e r , M o n o f r e q u e n t o s c i l l a t i o n s i n m e c h a n i c a l s y s t e m s g o v e r n e d , b y s e c o n d o r d e r h y p e r b o l i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h s m a l l n o n l i n e a r i t i e s , I n t . J . N o n l i n e a r M e c h a n i c s , V o l . 8 ( l 9 7 3 ) , p p . 2 8 9 - 3 0 2 . .
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[ l l ] G . N . B o j a d z i e v a n d R.W. Lardn-e r , S e r
o r d e r h y p e r - b o k i c e q u a t i o n s w i t h s m a l l n o n l i n e a r i f i e s i n t h e c a s e ~ f i n t e r n a l r e s o n a n c e , I n t . J .
\ \
N o n l i n e a r M e c h a n i c s , V o l . 9 ( 1 9 7 4 ) ; p p . 3 9 7 - 4 0 7 . -x=3 %
B o j a d z i e v a n d R.W. L a r d n e r , A s y m p t o t i c s o l u t i o n s
\ o f p a r t i a l d i f f @ r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h d a m p i n g a n d . d e l a y , Q u a r t . A p p l . M a t h 33 ( 1 9 7 5 ) ' '
p p . 205-14 , . i . .
F o d c h u k , V . I . , P r o c e e d i n g s o f t h e f o u r t h c o n f e r e n c e o n n o n l i n e a r o s c i l l a t i ~ n s . P r a g u e ; C z e e h o s l a v a k A c . o f S c i . , ( 1 9 6 8 ) p p . 1 6 2 - 1 6 5 .
J . D . C o l e a n d J . K e v o r k i a n , U n i f o r m l y v a l i d a p p r o x i - , 1 m a t i o n s , f o i c e r t a i n _ n o n l i n e a r d i f f e r e n t i a l
e q u a t i o n s , P r o c . I n L , Symp. o n N o n l i n e a r Dixff . P q s . a n d ' N o n l i n e a r M e c h s . , e d i t e d b y J . P . r l L a S a l l e a n d S . L e f s c h e t z ( A c a d e m i c P r e s s , 1 9 6 3 ) , p p . 1 1 3 - 1 2 0 .
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C h i k w e n d u a n d K e v o r k i a r i . A p e r t u r b a t i o n m e t h o d f o r h y p e r b o l - i c e q u a t i o n s w i t h s m a l l n ~ n l ~ n e a r i t i e s . SIAM J . o f App. M a t h . -22 ( 1 9 7 2 ) p p . 2 3 5 - 2 5 8 .
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