MECÁNICA ESTRUCTURAL

DANIELA TORO ROJASSINDY PATRICIA RAMIREZ TEATÍN

Estudiantes de: Ingeniería Civil

MAURICIO AYALAProfesor de: Mecánica Estructural

UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIAFACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

BOGOTÁ D.COCTUBRE 1 DE 2012

TABLA DE CONTENIDO

1. INTRODUCCIÓN 32. OBJETIVOS 42.1. OBJETIVO GENEREAL 2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 3. CENTROS DE GRAVEDAD DE UN CUERPO BIDIMENSIONAL 5 4. PRIMEROS MOMENTOS DE ÁREA 6 5. PLACAS Y ALAMBRES COMPUESTOS 76. CONCLUSIONES 87. BIBLIOGRAFÍA 9

1. INTRODUCCIÓN

Se ha supuesto que la atracción ejercida por la Tierra sobre un cuerpo rígido podía representarse por una sola fuerza W. Esta fuerza es la fuerza de gravedad o peso del cuerpo. La tierra ejerce una fuerza sobre cada una de las partículas que forman al cuerpo. De esta manera, la acción de la Tierra sobre un cuerpo rígido debe representarse por un gran número de pequeñas fuerzas distribuidas sobre todo el cuerpo. Sin embargo, se puede ver que la totalidad de dichas fuerzas pequeñas puede ser reemplazada por una sola fuerza equivalente W, esta fuerza tiene un punto de aplicación de la resultante W para cuerpos de varias formas, llamado centro de gravedad.

Existen cuerpos bidimensionales con centros de gravedad como las placas planas y los alambres que se encuentran contenidos en un plano dado, así como cuerpos tridimensionales que determinan su centro de gravedad con el centroide de un volumen y los primeros momentos respecto a los planos coordenados. Estos conceptos (centroide de un área o de una línea y el concepto de primer momento respecto a un eje), se encuentran directamente relacionados con las fuerzas distribuidas

2. OBJETIVOS

2.1. OBJETIVO GENERAL

Conocer diferentes conceptos de la mecánica aplicada a la ingeniería en los temas referentes a la estática.

2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Profundizar en el concepto de centro de gravedad para entender qué es y cómo se trabaja.

Entender el concepto de primeros momentos y su aplicación en la mecánica estructural.

Reconocer qué es y el funcionamiento de las placas y alambres compuestos.

3. CENTROS DE GRAVEDAD DE UN CUERPO BIDIMENSIONAL

“Se considera una placa plana horizontal, que puede dividirse en n elementos pequeños. Las coordenadas del primer elemento se representan con X1 y Y1, las del segundo elemento se representan con X2, Y2, etc. Las fuerzas ejercidas por la tierra sobre los elementos de la placa se pueden representar respectivamente, como ∆W1, ∆W2,…, ∆Wn. Estas fuerzas o pesos están dirigidos hacia el centro de la Tierra; sin embargo, por propósitos prácticos, se supone que dichas fuerzas son paralelas. Por lo tanto, su resultado es una sola fuerza en la misma dirección. La magnitud de W de esta fuerza, se obtiene con la suma de las magnitudes de los pesos de los elementos:

∆FZ: W= ∆W1, + ∆W2 +,…, + ∆Wn

Para obtener las coordenadas X y Y de un punto, donde debe aplicarse la resultante W, se escribe que los momentos de W con respecto a los ejes y y x son iguales a la suma de los momentos correspondientes de los pesos elementales, esto es:

∆My: xW= X1∆W1, + X2∆W2 +,…, + Xn∆Wn

∆Mx: yW= Y1∆W1, + Y2∆W2 +,…, + Yn∆Wn

Si se incrementa el número de elementos en los cuales se ha dividido la placa y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento se obtienen, en el límite, las siguientes expresiones:

W=∫ dW xW=∫ x dW yW=∫ y dW

Estas ecuaciones definen el peso W y las coordenadas x y y del centro de gravedad G de una paca plana”1

4. PRIMEROS MOMENTOS DE ÁREA

1 Beer, Ferdinand. Johnston, Russell. Mazurek, David. Eisenberg, Elliot. Mecánica Vectorial Para Ingenieros Estática. McGraw Hill/Interamericana Editores S.A de C.V. México. 2010. Pág.220 y 221

“La integral ∫ x dAse conoce como el primer momento del área A con

respecto al eje Y y se representa con Qy. En forma similar, la integral ∫ y dAdefine el primer momento de A con respecto al eje x y se representa con Qx.

QY=∫ x dAQX=∫ y dA

Las coordenadas del centroide de un área pueden obtenerse al dividir los primeros momentos de dicha área entre el área misma. Si el centroide de un área está localizado sobre un eje coordenado, entonces el primer momento del área con respecto a ese eje es igual a cero. Por el contrario, si el primer momento de un área con respecto a un eje coordenado es igual a cero, entonces el centroide del área está localizado sobre ese eje”.2

5. PLACAS Y ALAMBRES COMPUESTOS

2 Beer, Ferdinand. Johnston, Russell. Mazurek, David. Eisenberg, Elliot. Mecánica Vectorial Para Ingenieros Estática. McGraw Hill/Interamericana Editores S.A de C.V. México. 2010. Pág.223

“Una placa plana puede dividirse en rectangulos, triangulos u otras de las formas comunes. La abcisa de su centro de gravedad G puede determinarse a partir de las abscisas x1, x2,….,xn de los centros de gravedad de las diferentes partes que constituyen la placa, expresando que el momento del peso de toda la placa con respecto al eje y es igual a la suma de los momentos de los pesos de las diferentes partes con respecto a ese mismo eje. La ordenada Y del centro de gravedad de la placa se encuentra de una forma similar , igualando momentos con respecto al eje x.

∑My=× (W 1+W 2+…+Wn)=x1W 1+ x2W 2+…xnWn

∑Mx=Y (W 1+W 2…+Wn)=Y 1W 1+Y 2W 2+…YnWn

De esta manera las coordenadas del centro de gravedad de la placa compuesta serán:

X=∑ Xw

∑Wy=

∑YW

∑W

Si la placa es homogénea y de espesor uniforme, el centro de gravedad coincide con el centroide C de su área. La abscisa X del centroide del área puede determinarse observando que el primer momento Qy del área compuesta con respecto al eje y puede expresarse como el producto de X con el área total y como la suma de los primeros momentos de las áreas elementales con respecto al eje y. La ordenada Y del centroide se encuentra de forma similar, considerando el primer momento Qx del área compuesta. Así, se tiene”3:

QY = X (A1, + A2 +,…, + An) = X1A1, + X2A2 +,…, + X nAn) QX =Y (A1, + A2 +,…, + An) = Y 1A1, + Y 2A2 +,…, + Y nAn)

6. CONCLUSIONES

3 Beer, Ferdinand. Johnston, Russell. Mazurek, David. Eisenberg, Elliot. Mecánica Vectorial Para Ingenieros Estática. McGraw Hill/Interamericana Editores S.A de C.V. México. 2005. Pág.06

El centro de gravedad de un cuerpo es el punto donde se aplica la fuerza de gravedad ejercida por la tierra. Como dicha fuerza se aplica en todas las partículas de un cuerpo, se puede encontrar una fuerza equivalente que las pueda reemplazar.

La determinación del centro de gravedad depende del centroide de un área, una línea o un volumen, y de los primeros momentos de área o de volumen.

7. BIBLIOGRAFÍA

Beer, Ferdinand. Johnston, Russell. Mazurek, David. Eisenberg, Elliot. Mecánica Vectorial Para Ingenieros Estática. McGraw Hill/Interamericana Editores S.A de C.V. México. 2010.

Beer, Ferdinand. Johnston, Russell. Mazurek, David. Eisenberg, Elliot. Mecánica Vectorial Para Ingenieros Estática. McGraw Hill/Interamericana Editores S.A de C.V. México. 2005.