centro nacional de investigación y desarrollo tecnológico

Microsoft Word - Portada interna.docDepartamento de Ingeniería Mecánica
TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS
Obtención de Modelos Modales Estructurales en Tiempo Real a partir de Datos Experimentales
Presentada por
Luis Carlos Daniel Solórzano Delgado Ing. Mecánico por el Instituto Tecnológico de Zacatepec
Como requisito para la obtención del grado de: Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica
Directores de tesis:
Jurado:
Dr. José María Rodríguez Lelis-Vocal Cuernavaca, Morelos, México. 3 de Septiembre de 2008
ABSTRACT
ABSTRACT This research focuses on extracting modal parameters in real time in the
frequency domain. The algorithm was tested for the first three bending modes of a
structure. The extraction of parameters is done by applying the peak amplitude
method (Ewins, 2000) and the sequence of two stages using the linear sweep sine
by steps technique for the excitation .The first stage is to locate the natural
frequencies of the structure through a rapid sweep. The second stage consists of
a fine sweep in order to obtain a bandwidth discretization that allows the extraction
of the modal parameters in the tested structure.
Algorithms were developed with virtual instruments that combine hardware and
software to generate a spectrum analyzer in open architecture that generates
modal parameters as output data. The interface that was used during this thesis
work was Labview 8.2 and PXI technology for single input-single output systems.
In conclusions the presented technique make it possible to determine the modal
parameters of a structure immediately after having carried out one or more FRF´s
through the method of analysis presented in the thesis. The experimental results
are compared and discussed with numerical and analytical results.
.
AGRADECIMIENTOS Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) y a la Dirección
General de Educación Superior Tecnológica (DGEST) por el apoyo económico
brindado.
Al Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CENIDET) por la
formación académica que me otorgó a través de sus profesores.
A mis asesores de tesis, Dr Enrique Simón Gutiérrez Wing y el
M.C. Eladio Martínez Rayón, por compartir sus conocimientos, brindarme su
amistad y su apoyo durante este trabajo de tesis; sin su ayuda y conocimientos no
estaría en donde me encuentro ahora ¡Muchas gracias!.
A los miembros del jurado revisor, Dr. José María Rodríguez Lelis,
Dr. Jorge Aguirre Romano y Dr. Jorge Bedolla Hernández, por sus valiosas
aportaciones, sugerencias y observaciones durante la revisión de este trabajo de
tesis.
A mis nuevos amigos y compañeros de generación: Pepe, Gigí, Mario, David,
Luis, George, Memo, Gabo, Vladi, Tun, Chava, Toño, Diabb, Monse, Melvin, Efra
y Ángel, que estuvieron conmigo y compartimos tantas aventuras.
A todas aquellas personas que su nombre se me escapa y que de una u otra
manera contribuyeron para realizar esta meta en mi vida.
.
La matriz de rigidez del elemento viga:

− −−−
− −
=

−−− − − −
=
[ ]∑= N
][ (A1.4)
Sustituyendo las ecuaciones de matrices globales en la ecuación A1.5 se tiene la
ecuación característica:
[ ] [ ]( ){ } 02 =− tiGG eXMK ωω (A1.5)
Se considera movimiento armónico. La solución no trivial se debe satisfacer:
APÉNDICES
A-1-2
[ ] [ ][ ] 0det 2 =− GG MK ω (A1.6)
De esta ecuación se obtiene un polinomio de grado N de acuerdo a los grados de
libertad o coordenadas independientes de cada nodo de la estructura. Las N
posibles soluciones son los eigenvalores o frecuencias naturales del sistema sin
amortiguamiento. La matriz diagonal es una matriz única.
Sustituyendo los eigenvalores en A1.5 se resuelve cada una de las ecuaciones
para { }X , se obtienen “N” posibles vectores solución; los eigenvectores
{ }( )Nrr .........3,2,1=ψ , representan los modos de vibración del sistema de análisis.
La matriz es escalable.
El sistema vibra libremente con movimiento síncrono para “N” valores particulares
de frecuencia rω , cada una implica una configuración particular del movimiento
libre { }rψ . Cada par rω y { }rψ definen las propiedades modales del sistema y el
subíndice “r” denota el numero de modo.

Figura A2-1 Diagrama de bloques etapa barrido rápido configuración.
La ejecución de las estructuras anidadas se ejecuta de afuera hacia adentro.
A.- La estructura WHILE repite todo el algoritmo que se encuentre dentro del
rectángulo hasta que la terminal boleana de lado inferior derecho por default
FALSE, recibe una condición TRUE para este caso en particular. D.- La
generación y adquisición continua de datos también utiliza esta estructura y
ejecuta los bloques de análisis de datos. Ver Figura A2-1
B.- El botón boleano permanece en la condición FALSE, hasta que el usuario lo
oprime para cambiar a la condición TRUE, y ejecutar el barrido después de haber
definido los parámetros de configuración Figura A2-2.
Figura A-2-2 Botón de inicio y fin de barrido rápido (FALSE).
A
B
C
D
E
APÉNDICES
A-2-2
C.- La estructura CASE ejecuta el algoritmo que contiene adentro de acuerdo a la
condición boleana del botón. TRUE, es la condición que ejecuta todo el algoritmo
en este caso. Ver Figura A2-1
E.- El botón indicador detiene el algoritmo general por medio de un TRUE si se
presenta cualquiera de las siguientes condiciones:
• Error en el código del programa
• Fin de barrido
• Oprimir el botón de paro en cualquier instante de la prueba
APÉNDICES
A-3-1
ALGORITMO FILTRO DE DATOS
Figura A3-1 Diagrama de bloques del filtro de aceleración y fuerza.
Las entradas del algoritmo son los dos bloques configurados previamente de
aceleración y fuerza en el dominio del tiempo. Ver Figura A3-1.
Para un instante de tiempo los bloques de aceleración y fuerza se muestran en la
Figura A3-2 y A3-3.
APÉNDICES
A-3-2
Figura A3-3 Bloque señal de fuerza.
En la siguiente etapa los bloques se ventanean con el objetivo de reducir la fuga
espectral y concentrar el espectro a una línea de frecuencia. Las figuras A3-4 y
A3-5 muestran los bloques ventaneados.
Figura A3-4 Bloque de aceleración ventaneado.
APÉNDICES
A-3-3
Figura A3-5 Bloque de fuerza ventaneado.
La transformación al dominio de la frecuencia utiliza el algoritmo de transformada
discreta de Fourier. La transformación utiliza el producto punto de la serie en el
tiempo multiplicada por las bases ortogonales a la frecuencia normalizada de
filtrado Fnorm.
Muestras F
F filtro norm = (A3.2)
Las salidas del algoritmo se expresan a partir de las partes reales e imaginarias
para los dos bloques de fuerza y aceleración. Ver Figura A3-1.
APÉNDICES
A-3-4
FRECUENCIA.
Mediante el siguiente diagrama de bloques se obtiene la función de respuesta.
Figura A3-6 Diagrama de bloques para la obtención de FRF.
Después de terminar la secuencia de cómputo de datos anterior, las salidas
reales e imaginarias para cada bloque se dividen; los indicadores del algoritmo de
salida son el diagrama de Nyquist y los diagramas de Bode de magnitud y fase.
APÉNDICES
A-4-1
MANUAL DE USO INTERFAZ GENERAL
Figura A4-1 Herramientas de la pantalla en la interfaz general de usuario.
En este apéndice se hace una breve descripción de las herramientas presentes en la pantalla de
la interfaz general. La descripción se realiza de acuerdo a la numeración 1-8 presente en la Figura
A4-1.
1.-Gráfica del diagrama de bode de magnitud. Dentro de esta gráfica tres
múltiples graficas se presentan: el bode de magnitud (puntos blancos), el límite
superior (línea verde continua) y el límite inferior (línea azul continua).
2.- Es una propiedad de la gráfica de bode magnitud que permite operar en modo
cursor, modo acercamiento y modo arrastre.
3.- Gráfica del diagrama de bode de fase (línea verde continua).
1
4
6
7
8
APÉNDICES
A-4-2
4.- Es una propiedad del diagrama de bode de fase que permite operar en modo
cursor, modo acercamiento y modo arrastre.
5.- Gráfica de Nyquist de acuerdo a la magnitud y la fase del sistema de un grado
de libertad (línea roja continua).
6.- En este cuadro se presentan 4 datos importantes: la frecuencia natural (Fn), la
frecuencia de primer punto medio de potencia (F1), la frecuencia del segundo
punto medio de potencia (F2) y el amortiguamiento estructural del sistema ( rη ).
7.- Este cuadro contiene el valor de la amplitud máxima ( maxA ) y el valor
correspondiente de la fase para el cual la amplitud es máxima.
8.- Botón para guardar los parámetros de salida que se obtienen en 7. El estado
inicial de botón es falso, después de oprimir el estado del botón es verdadero y se
guardan los datos en un archivo de texto.
APÉNDICES
A-5-1
MÉTODO DETALLADO PRIMER MODO (AMPLITUD PICO) PRIMER MODO (DETALLADO)
No. Punto Fn 1 (Hz) 1η *(10-4) PRIMERA FORMA
MODAL Fn 1 (Hz) 1η *(10-4) PRIMERA FORMA
MODAL (v =24.79) 1 68.092 1.762 -37.962 68.091 2.249 -42.938 2 68.121 1.615 -35.006 68.121 2.366 -42.809 3 68.152 1.467 -31.069 68.151 1.774 -29.569 4 68.183 1.32 -25.41 68.182 1.477 -22.407 5 68.2 1.173 -20.276 68.206 1.772 -20.101 6 68.212 1.173 -12.603 68.212 1.477 -9.939 7 68.217 1.319 -5.073 68.217 1.240 -3.618 8 68.218 1.319 2.079 68.218 1.240 1.6838 9 68.216 1.319 6.608 68.217 1.477 4.7414 10 68.208 1.466 13.957 68.208 1.477 11.32 11 68.2 1.32 18.185 68.2 1.477 15.114 12 68.19 1.32 22.13 68.19 1.477 18.653 13 68.182 1.467 25.077 68.182 1.477 21.145 14 68.175 1.32 26.852 68.175 1.478 23.461 15 68.17 1.467 27.636 68.17 1.714 25.601 16 68.168 1.467 28.319 68.168 1.714 25.552
Tabla-A5-1 Resultados método Amplitud pico y método detallado del primer modo.
SEGUNDO MODO (AMPLITUD PICO) SEGUNDO MODO (DETALLADO)
No. Punto Fn 2 (Hz) 2η * (10-4) SEGUNDA FORMA
MODAL Fn 2 (Hz) 2η *(10-4) SEGUNDA FORMA
MODAL (v =7.83) 1 187.13 2.138 -100.44 187.13 2.358 -132.847 2 187.26 2.403 -73.386 187.26 2.518 -91.358 3 187.37 2.135 -59.482 187.37 2.032 -57.366 4 187.43 1.601 -36.031 187.43 1.548 -26.043 5 187.45 1.6 2.019 187.45 1.440 1.540 6 187.43 1.601 39.089 187.43 1.440 27.641 7 187.395 1.334 67.837 187.39 1.441 52.014 8 187.325 1.868 83.154 187.33 1.602 62.618 9 187.325 1.868 82.5 187.32 1.818 69.737 10 187.3 1.869 83.326 187.3 1.979 80.034 11 187.305 2.136 79.493 187.3 2.033 74.058 12 187.305 1.869 76.155 187.31 1.925 70.514 13 187.36 1.868 65.347 187.36 1.817 56.755 14 187.4 1.601 51.207 187.4 1.656 35.945 15 187.43 1.601 27.416 187.43 1.548 19.679 16 187.435 1.601 -1.725 187.44 1.655 -1.4725
Figura A5-2 Resultados método Amplitud pico y método detallado del segundo modo.
APÉNDICES
A-5-2
No. Punto Fn 3 (Hz) 3η * (10-4) TERCERA FORMA
MODAL Fn 3 (Hz) 3η * (10-4) TERCERA FORMA
MODAL (v =5.38) 1 366.73 1.772 -122.7 366.73 1.791 -137.31 2 367.035 1.635 -87.985 367.04 1.592 -89.256 3 367.255 1.225 -50.575 367.26 1.190 -37.155 4 367.305 1.089 12.368 367.31 1.142 8.7534 5 367.24 1.225 61.879 367.24 1.195 49.04 6 367.125 1.362 81.706 367.12 1.438 73.536 7 366.975 1.499 91.306 366.97 1.548 90.391 8 367.03 1.499 92.216 367.03 1.548 92.859 9 367.065 1.498 89.431 367.06 1.509 92.859
10 367.19 1.498 60.142 367.19 1.470 53.169 11 367.26 1.225 29.001 367.27 1.201 19.752 12 367.265 1.225 -18.244 367.27 1.201 -13.753 13 367.195 1.226 -59.571 367.19 1.278 -52.923 14 367.075 1.362 -86.996 367.08 1.394 -76.152 15 366.965 1.771 -89.661 366.97 1.664 -95.22 16 366.925 1.771 -89.055 366.92 1.779 -101.11
Figura A5-3 Resultados método Amplitud pico y método detallado del tercer modo.
Introducción Capítulo 1
CAPÍTULO 1
1 INTRODUCCIÓN
La mayor parte de la investigación en ingeniería se centra en la obtención de
modelos dinámicos de estructuras reales. En la etapa de diseño el modelado es
de gran importancia; a partir de un modelo se pueden caracterizar condiciones de
prueba reales. Todas las estructuras mecánicas experimentan vibración y su
diseño requiere consideraciones de su conducta oscilatoria.
El modelo dinámico de una estructura se obtiene a través de sus parámetros
modales: frecuencia natural, amortiguamiento estructural y forma modal. La
estimación de parámetros modales mediante datos medidos es una de las
aplicaciones más importantes de las pruebas experimentales; ya que a partir de
los parámetros se genera el modelo.
El estudio del comportamiento dinámico de una estructura a partir de un modelo
reduce tanto costos materiales como de prueba, comparado con estudios
basados en modelos reales.
Los métodos experimentales tradicionales para obtener parámetros modales en el
dominio de la frecuencia se basan en la función de respuesta a la frecuencia
(FRF). La función es la relación que existe entre la respuesta a una fuerza de
excitación de frecuencia que se aplica al sistema (Irvine, 2000). Después de
obtener un conjunto de curvas de función de respuesta, la obtención de
parámetros se realiza mediante el ajuste de curvas a las mediciones (Richardson
y Formenti, 1985).
Una de las metas actuales es la obtención de modelos en tiempo real. Entre las
etapas de captura de funciones de respuesta, los métodos usados comúnmente
necesitan un gran número de mediciones para comenzar con el análisis de datos
3
y derivación del modelo. Entre las distintas sesiones de recolección de datos la
estructura puede presentar variaciones en los parámetros y el modelo que se
estima es inconsistente. La obtención de un modelo en tiempo real, se tiene
instantes después de obtenerse la función de respuesta en la medición
experimental.
Una mejor descripción de la función de respuesta se presenta al hacerse variar la
frecuencia de excitación de forma continua en un intervalo de resonancia de
interés; ya que los parámetros modales se pueden estimar dentro este intervalo.
Un método para hacer variar la frecuencia de excitación se tiene al aplicar la
técnica de barrido sinusoidal lineal. En esta etapa, el estado estable en la
respuesta se pretende, antes de realizar la extracción de parámetros para evitar
distorsiones en la función de respuesta (Gloth y Sinapius, 2003).
El método Amplitud pico permite la obtención de parámetros en la zona de
resonancia de la estructura. Un conjunto de puntos de respuesta en frecuencia se
miden en la zona para posteriormente estimar los parámetros modales. El método
se aplica a sistemas de un grado de libertad; los modos se consideran separados
y la relación de amortiguamiento 1<<ζ (Kielb y Gavin, 2005). El método es de
implementación sencilla y no requiere excesiva memoria de cómputo. La mayoría
de las estructuras reales se modelan mediante sistemas de un grado de libertad o
superposición de éstos a partir del principio de linealidad.
En la actualidad existen diferentes métodos para la medición de la función de
respuesta. La clasificación se realiza de acuerdo al número de canales para la
adquisición de la respuesta y de fuentes de excitación, los tipos son: una entrada-
una salida, una entrada-múltiples salidas, múltiples entradas-una salida, múltiples
entradas-múltiples salidas. El tipo una entrada-una salida es el más común por las
facilidades de instrumentación, montaje de sensores y activación de canales; esto
reduce el equipo que se requiere en las pruebas.
El desarrollo actual de tecnología para la adquisición de datos proporcionaron a
esta investigación las técnicas necesarias para el análisis de señales de vibración.
4
El uso de un método de programación abierta y gráfica mediante una interfaz
desarrollada en la plataforma Labview permitieron: la generación y adquisición de
señales, la obtención de función de respuesta una entrada-una salida, la
aplicación del método Amplitud pico y la estimación de parámetros modales en
tiempo real.
1.1 ANÁLISIS MODAL CONTEMPORÁNEO La historia del análisis modal comienza a mediados de 1940 con trabajos
orientados a la medición de parámetros modales en estructuras aeronáuticas; el
problema de flutter fue el centro de estudio, (Kennedy y Pancu, 1947), (Lewis y
Wrisley, 1950), (De Veubeke, 1956). El término flutter hace referencia a un
movimiento periódico rápido, que se causa por la interacción de la masa, rigidez y
fuerzas aerodinámicas en la estructura.
A principios de 1960 surgieron los primeros transductores para medir propiedades
dinámicas de fuerza y aceleración; su naturaleza analógica y funcionalidad
originaron procesos retardados y poco prácticos en situaciones experimentales.
Con la invención de mini-computadores digitales y el algoritmo de la transformada
rápida de Fourier, (Cooley y Tukey, 1965); en 1967 se consigue tener el primer
analizador de frecuencia y con esto es posible medir funciones de respuesta; es
en esta fecha que se cuenta con el equipo de hardware, software y transductores
necesarios para correlacionar la teoría generada hasta ese momento, con
prácticas experimentales.
El avance en los últimos 40 años con respecto a la capacidad de medir y analizar,
generó un número importante de aplicaciones en: barcos, aviones, puentes, autos
y todo tipo de estructura alrededor del mundo. Hasta la fecha se desarrollan
diferentes publicaciones e investigaciones en técnicas de análisis modal; según
las aplicaciones de ingeniería.
5
Hoy en día el análisis modal es una ciencia interdisciplinaria en el campo de
ingeniería y cubre los campos de acondicionamiento, generación y adquisición de
señales en fenómenos vibratorios.
1.2 ¿QUE ES EL ANÁLISIS MODAL?
El análisis modal consiste en estudiar un sistema como si estuviera formado por
sistemas más sencillos de un grado de libertad y suponiendo que la respuesta del
sistema global, es una superposición dentro de un intervalo lineal de las
respuestas de los sistemas de un grado de libertad.
Una de las aplicaciones comunes del análisis modal es la corrección y validación
de modelos numéricos o analíticos, pero algunas veces no existe el modelo
analítico y los parámetros modales que se obtienen de manera experimental
sirven para modelar la estructura bajo prueba. Uno de los objetivos principales
del análisis es obtener un modelo matemático de la estructura a través de sus
parámetros.
El proceso para determinar parámetros modales involucra varias etapas. Las
etapas básicas se describen a continuación y son la base del entendimiento del
análisis modal:
• Planeación de prueba.
• Adquisición de datos.
• Estimación de parámetros.
• Validación de datos.
Planeación de prueba: Es el punto de partida. Es aquí donde se realiza la
configuración experimental, el número de modos a medir, el número de puntos, la
ubicación idónea de sensores, el rango de frecuencia de interés, las condiciones
de frontera, el tamaño de bloque de la medición entre otros.
6
Adquisición de datos: Esta etapa incluye los aspectos necesarios en laboratorio
para la adquisición de los datos de entrada y salida necesarios para medir una
función de respuesta en frecuencia. En esta etapa se involucra medición,
instrumentación y procesamiento digital de señales.
Comúnmente en esta etapa se presentan errores en las mediciones. Las curvas
que se obtienen se aplican a un algoritmo para obtener los parámetros.
Figura 1.1 Instrumentación errónea de acelerómetro por separación.
Estimación de parámetros: Esta etapa comprende el cálculo de parámetros
modales en base a los datos que se miden en la prueba. Las funciones de
respuesta a la frecuencia se miden en diferentes puntos de la estructura para
obtener diferentes curvas. Los métodos para la estimación comúnmente ajustan
un modelo analítico a los datos medidos de la función de respuesta a la
frecuencia. Existe una clasificación de las técnicas para la estimación de
parámetros en el dominio de la frecuencia, (Maia, 1999). En esta etapa es en
donde se acumulan los errores de las etapas anteriores.
Para la mayoría de las aplicaciones prácticas solo un cierto intervalo de
frecuencias es de interés y solo las propiedades dinámicas que están dentro de
ese intervalo son las que se estudian. Comúnmente se realiza un modelo analítico
en elemento finito y se correlaciona con los parámetros que se obtiene en la
prueba (Emory y Zhu, 2006).
7
Validación de parámetros: Finalmente en la etapa de validación se comparan
resultados del modelo numérico con mediciones experimentales. El modelo se
corrige para que coincida con las mediciones.
1.4 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
El proceso normal para la construcción de modelos dinámicos de estructuras
consta de varias etapas: planeación, adquisición de datos, estimación de
parámetros modales y validación de parámetros.
Comúnmente en la realización de pruebas se cometen errores en la adquisición
de datos, que no pueden detectarse si no hasta la etapa de validación. Diferentes
factores originan los errores por ejemplo: cambio de rigidez de los soportes,
influencia vibratoria antes de iniciar la prueba, posición axial de la varilla de
conexión del excitador a la estructura es incorrecta, instrumentación errónea en
los sensores de respuesta y excitación, comportamiento no lineal, planeación
errónea de prueba, etc. Es evidente que de la estructura no puede obtenerse una
función de respuesta; sin que la estructura tenga interacción con los soportes, los
sensores y la varilla de conexión del excitador.
Para corregir estas deficiencias normalmente es necesario repetir la adquisición
de datos. Las etapas de medición, extracción de parámetros y validación se
repiten; esto prolonga las pruebas, provoca una predicción incorrecta de
parámetros modales y origina modelos inconsistentes. Es comprobable que estas
deficiencias generan costos en tiempo y dinero.
Por lo antes expuesto, surge la necesidad de plantear una metodología de
solución evidente, que permita relacionar los parámetros modales medidos en
campo instantes después de finalizar la prueba, con datos que se miden en la
parte más importante de la función de respuesta a la frecuencia que es la
resonancia, con un barrido lineal de frecuencia dependiente del tiempo, para
sistemas una entrada-una salida y un grado de libertad. Esta es la idea general
que se desarrolla en los siguientes capítulos de la tesis.
8
1.5 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA La revisión bibliográfica de este trabajo de tesis se realiza de los conceptos que
son de importancia y sirvieron como punto de partida en capítulos posteriores.
El método Amplitud pico (Ewins, 2000). Asume que la frecuencia natural ocurre
cuando la amplitud alcanza un valor local máximo en la función de respuesta a la
frecuencia. El amortiguamiento se obtiene al calcular el ancho de banda de esa
frecuencia natural; mediante los puntos medios de potencia. La forma modal para
cada frecuencia natural se obtiene al evaluar la amplitud a esa frecuencia
particular y el signo correspondiente de la fase. Los modos son reales, no
cercanos y amortiguamiento no significativo.
(Bishop y Gladwell, 1963), presentaron por primera vez un artículo en donde
aplican el método Amplitud pico para determinar: modos principales, frecuencias
naturales y amortiguamiento en estructuras aeronáuticas. La estructura fue
excitada armónicamente en varios puntos; una gráfica de respuesta se construye
a partir de la amplitud y frecuencia; de esta, se extrae la información que se
requiere para los parámetros modales. La única afirmación para la aplicación del
método es la no existencia de modos cercanos en frecuencia.
(Luk y Mitchell, 1983), describen un método que se basa en un ajuste por
mínimos cuadrados del diagrama Nyquist. El método encuentra el centro del
círculo y el diámetro matemáticamente por mínimos cuadrados. Con esto se
origina una aproximación de los datos que se miden. Es similar al método
Amplitud pico pero se grafica en otro dominio, real e imaginario.
Por otra parte (Khalil y Greimann, 1998). En la investigación el método Amplitud
pico se aplica para identificación de frecuencias naturales. Asumen que los modos
de la estructura son reales y existe una separación considerable entre modos. El
artículo se enfoca a pruebas modales. El objetivo se centra en obtener el
comportamiento dinámico del puente River en Iowa; de acuerdo a los modos de
vibraciones y frecuencias naturales. Las frecuencias naturales están directamente
9
relacionadas con la masa y rigidez de la estructura; por tanto, si la estructura se
deteriora la rigidez disminuye y las frecuencias naturales cambian.
Una clasificación de métodos una entrada-una salida y de un grado de libertad en
el dominio de la frecuencia que incluye: Amplitud pico, respuesta de cuadratura, el
algoritmo de Kennedy-Pancu, ajuste de círculo. Todos los métodos se analizan y
discuten (Maia, 1999).
En este artículo (Prombonas y Paralika, 2002) presentan la aplicación del método
en aplicaciones dentales. El objetivo de este trabajo es estimar la fricción interna
en productos dentales de yeso, a partir del factor de pérdida en amortiguamiento;
el cual se estima con la utilización del método de Amplitud pico, los autores
explican que este método es rápido, de implementación sencilla y confiable.
Los investigadores (Mandal y Rahman, 2003) realizan un trabajo experimental de
la perdida de amortiguamiento en placas de acero en condiciones libre-libre. La
investigación utiliza el método Amplitud pico, el objetivo del trabajo es investigar la
rigidez flexionante, los modos y el factor de amortiguamiento.
La estimación de parámetros modales comúnmente se basa en métodos de
ajuste; por ejemplo, fracciones parciales; cada modo se representa por un polo y
un residuo. La insuficiente generación de puntos en la FRF en sistemas de un
grado de libertad en los picos de resonancia; deben contener un número de
puntos suficientes en el ancho de banda para obtener parámetros precisos (Lee y
Richardson, 1992).
Si el método Amplitud pico se utiliza para la estimación de amortiguamiento y los
puntos que se tiene entre los puntos medios de potencia son mínimos; se
presentará un error considerable en la estimación de amortiguamiento. (Wolf y
Richardson, 1989). Ver Figura 1.2.
10
Figura 1.2 Error por Falta de puntos en el ancho de banda.
En el artículo (Gloth y Sinapius 2004) presentan un análisis de la técnica de
barrido sinusoidal lineal particularmente a través de la resonancia. Investigan
diferentes métodos de procesamiento de datos y ajustes para la obtención de
parámetros modales a partir de la técnica.
De la revisión bibliográfica se concluye que existen diferentes métodos que
aplican la teoría de un grado de libertad en el dominio de la frecuencia. El método
amplitud pico es comúnmente usado en ingeniería por ser de implementación
sencilla, rápida y confiable.
Los métodos comúnmente usados para la extracción de parámetros modales se
basa en métodos de ajuste que se realizan tiempo después de adquirir FRF. En la
resonancia los puntos dentro del ancho de banda son algunas veces insuficientes;
esto presenta errores en la estimacion de los parámetros modales.
1.6 OBJETIVO El objetivo general de este trabajo es desarrollar un algoritmo para incorporar
datos experimentales de funciones de respuesta en frecuencia y obtener
parámetros modales en tiempo real.
Los objetivos específicos de este trabajo son los siguientes:
• Minimizar el número de datos en las funciones de respuesta en frecuencia
mediante mediciones de puntos en el ancho de banda de las resonancias.
• Utilizar el método Amplitud pico y una prueba una entrada-una salida para
caracterizar la respuesta dinámica de la estructura.
• Armar con instrumentos virtuales un analizador de espectro de magnitud y
fase que utilice la técnica de barrido sinusoidal lineal como excitación.
• Generar una interfaz gráfica que realice la adquisición de datos y la
obtención de parámetros modales de la estructura de prueba en campo
con el uso del paquete Labview 8.2, hardware y software especial para
medición de vibraciones.
1.7 ALCANCE
• La investigación se centra en estructuras de acero tipo viga, en condiciones
libre-libre. La estructura se considera: un sistema lineal e invariante con el
tiempo.
• Los modos se consideran ligeramente amortiguados y no acoplados. Los
parámetros modales se miden directamente de la función de respuesta a la
frecuencia de la estructura en prueba.
• La excitación es una señal de barrido sinusoidal lineal ascendente, que
excita una línea de frecuencia a la vez; mediante la implementación en un
excitador electromagnético.
• A partir de un modelo numérico de elementos finitos tipo viga se genera un
algoritmo para obtener parámetros modales teóricos, que sirven para la
planeación de pruebas.
12
1.8 ESTRATEGIA DE SOLUCIÓN 1.- Plantear las ecuaciones de las técnicas: barrido sinusoidal lineal y Amplitud
pico, obtención de función de respuesta en frecuencia para sistemas de un grado
de libertad.
2.- Generar un modelo numérico en elemento finito. Para tener una identificación
preliminar de: rango de frecuencia a utilizar, las frecuencias naturales, las formas
modales. Posteriormente planear las pruebas experimentales, colocación de
soportes y del excitador electromagnético.
3.- Habilitar el sistema de adquisición de datos, tarjetas 4472B, 6722, (PXI) 1031 y
canales para la adquisición de señales dinámicas de la marca National
Instruments.
4.- Implementación del método Amplitud pico y de la técnica experimental. Para
tener control en la salida de voltaje de la fuente de excitación y la frecuencia de
excitación; la prueba utiliza un excitador electromagnético y la técnica de barrido
sinusoidal lineal.
5.- Desarrollar el algoritmo y la interfaz gráfica. El algoritmo tiene dos partes: la
identificación de frecuencias naturales y discretización del ancho de banda a partir
de dos puntos de referencia que se obtiene en la etapa de identificación de
frecuencia.
6.- Los parámetros modales que se obtengan se guardarán en una base de datos
para tener acceso directo en cualquier instante.
7.- Discutir los parámetros modales que se obtienen por comparación mediante
entre los métodos: Amplitud pico, método detallado y analítico.
BARRIDO DE FRECUENCIA LINEAL Y EL MÉTODO AMPLITUD PICO Capítulo 2
13
INTRODUCCIÓN
En este capítulo se presentan las ecuaciones que describen un barrido lineal
sinusoidal cuya frecuencia es una función lineal del tiempo, así como el proceso
de la técnica presentada en la tesis. En la parte final se describe la ecuación de
movimiento para un sistema de un grado de libertad sujeto a una fuerza de
amplitud constante y frecuencia que varía linealmente con el tiempo. En la parte
final se describe el método Amplitud pico.
2.1 FUNCIÓN DE RESPUESTA A LA FRECUENCIA La medición con mayor importancia para realizar la prueba modal es la función de
respuesta en frecuencia. Es una medición fundamental para extraer las
propiedades dinámicas de un sistema: frecuencias naturales nF , amortiguamiento
η y forma modal ψ . La función representa la vibración del sistema en un punto
causada por una excitación aplicada en el mismo u otro punto. La medición de las
respuestas puede ser de tres formas (ver Tabla 2.1) según el tipo de respuesta
que se mide.
Parámetro de respuesta
Desplazamiento Velocidad Aceleración
Inertancia
14
El comportamiento dinámico de un sistema se describe por la ecuación de la
función de respuesta en frecuencia o FRF.
( ) ( ) ( )ω ωω
2.2 BARRIDO SINUSOIDAL LINEAL Existen diferentes técnicas de excitación y procedimientos de análisis para medir
las propiedades mecánicas de las estructuras: periódicas, transitorias y aleatorias
(Ewins, 2000).
En la práctica la frecuencia de excitación varía de forma lineal; a este método de
excitación se le llama barrido de frecuencia.
La técnica experimental que se utiliza considera una excitación de barrido
sinusoidal lineal cuya frecuencia es una función lineal de tiempo.
El proceso básico de la técnica que se utiliza en este trabajo de tesis se describe
a continuación:
• Los incrementos de frecuencia son lineales a través del rango de
frecuencia de barrido.
• En ambas señales de fuerza y aceleración, se calcula la magnitud y la
fase; para obtener la función de respuesta en frecuencia.
• (Para repetir el proceso), la fuente de excitación se ajusta a la frecuencia
lineal siguiente del rango de frecuencia.
15
2.3 ECUACIONES DE UN BARRIDO LINEAL
La fuerza de excitación necesaria para la excitación sinusoidal lineal se expresa
matemáticamente como: (Gloth y Sinapius, 2003):
( ) ( )( )F t Amp sen t= ⋅ ( )2.2
La función es constante en amplitud y la frecuencia dependiente del tiempo. La
variación de frecuencia instantánea con el tiempo se define:
( ) ( )t dt
td ω = ( )3.2
Si se considera una variación de frecuencia lineal, dadas una frecuencia inicial iF
y final fF con el respectivo tiempo entre ambas, if ttT −= ,se tiene:
( ) i
( )4.2
Al realizar la integración se resuelve la fuerza de excitación dependiente del
tiempo:
( ) 2
= ⋅ ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅

( )5.2
16
2.4 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
El análisis se realiza a partir de un sistema lineal con un grado de libertad. Para la
aplicación del método Amplitud pico. El sistema y el diagrama de cuerpo libre se
muestran en la Figura 2.1.
a)
b)
Figura 2.1. a) Sistema de un grado de libertad. b) Diagrama de cuerpo Libre.
Al realizar suma de fuerzas en la dirección vertical:
∑ = xmFx && ( )6.2
c k Fx x x m m m
+ + =&& & ( )8.2
k ω= ( )10.2
17
La sustitución de la ecuaciones 2.9 y 2.10 en 2.8 produce, la ecuación diferencial
lineal ordinaria de coeficientes constantes. Si en el sistema x representa el
desplazamiento la ecuación de movimiento para el sistema de un grado de
libertad es:
ζω ω ω+ + =&& & ( )11.2
Al aplicar la transformada de Fourier a ambos lados de la ecuación 2.11 y realizar
( ) ( ) ( ) ( )
= − +
= − ( )14.2
Existen tres maneras de representar la función de transferencia, según el
parámetro de respuesta que se obtiene en laboratorio. Las diferentes
representaciones se muestran en la Tabla 2.2.
Tabla 2.2. Tipos de función de respuesta.
RECEPTANCIA MOVILIDAD ACELERANCIA
= − +
( ) ( ) ( ) ( )
= − +
& ( ) ( ) ( ) ( )
− = − +
&&
La representación gráfica de la función de respuesta se puede graficar mediante
un diagrama de bode de magnitud y fase. La Figura 2.2 muestra un diagrama de
bode de un sistema lineal. Los parámetros están en la Tabla 2.3.
18
m Kg1
ζ 0.005
Figura 2.2. Magnitud y fase de un sistema con un grado de libertad.
2.5 EL MÉTODO AMPLITUD PICO El método Amplitud pico (Ewins, 2000) describe el análisis para sistemas de un
grado de libertad es decir; se considera un grado de libertad a la vez y se extraen
los parámetros modales del mismo.
19
Este es un método adecuado para estructuras en las cuales la función de
respuesta en frecuencia presenta modos separados y ligeramente amortiguados.
Para la simplificación de la ecuación de acelerancia se introduce el parámetro:
n
( ) ( )
( ) ( ) ( )
ωω ω ζ
&& ( )16.2
Las frecuencias a las cuales la amplitud es max2 1 A antes y después del pico de
resonancia máximo maxA , son los puntos medios de potencia. Estos puntos 1ω y
2ω generan los parámetros 1r y 2r .
( ) ( ) ( )
k k r r
La ecuación 2.17 en forma de polinomio característico:
( ) ( )4 2 2 22 1 2 1 8 0i ir rζ ζ− − + − = ( )18.2
Al resolver se obtienen las raíces:
( )2 2 21 2 2 1ir ζ ζ ζ= − ± + ( )19.2
Se considera 1ζ << .
20
Por medio de expansión binomial se tiene:
( )
( )
11 2 1 2 ... 2 11 2 1 2 ... 2
2
r
r
El método consiste en:
* Detectar las resonancias en la función de respuesta en frecuencia. Cada
resonancia se toma como frecuencia natural de ese modo.
* El máximo maxA corresponde a la frecuencia natural nF , después se identifican
los puntos medios max2 1 A a los lados del pico que generan los puntos de
frecuencia 1F y 2F en Hz.
* Se identifica el amortiguamiento del modo mediante la siguiente expresión:
n r F
FF 12 −=η ( )22.2
* Por último se determina la forma modal de acuerdo al valor de magnitud maxA y
el respectivo signo de la fase sing( maxA ).
La Figura 2.3 presenta el método Amplitud pico, así como los puntos medios de
potencia.
21
DISEÑO EXPERIMENTAL Capítulo 3
INTRODUCCIÓN
En la primera parte del presente capítulo se modela una viga de sección
rectangular de acero (ASTM) A36 por medio de elementos finitos, tipo viga
Bernoulli. El propósito del modelo es tener una estimación preliminar de los
parámetros modales: frecuencia natural y forma modal; se estudian los primeros
tres modos flexionantes. En la segunda parte, se describen los equipos National
Instruments y conexiones. Actualmente el acero es un material usualmente
empleado en aplicaciones de ingeniería; a nivel mundial se producen 1.24 billones
de toneladas cifra record en (IISI, 2006)
3.1 VIBRACIÓN Todos los cuerpos que poseen masa y rigidez son capaces de vibrar. La mayoría
de las máquinas experimentan vibración y su diseño requiere consideraciones de
su conducta oscilatoria (Thomson, 1982)
Las vigas son elementos estructurales de importancia. Las geometrías simples de
estas forman parte esencial en investigaciones y diseños de ingeniaría. Diferentes
componentes estructurales se pueden modelar por medio de vigas.
Si una fuente de vibración presenta alguna frecuencia que coincida con alguna de
las frecuencias naturales del elemento estructural, el elemento entraría en
resonancia. La resonancia es la tendencia de un sistema a vibrar con amplitud
máxima a una cierta frecuencia natural. La frecuencia natural de la estructura es
función de su masa y rigidez.
23
Al vibrar una estructura a una frecuencia natural el movimiento predominante
conforma un patrón geométrico llamado forma modal.
La estructura tendrá una amplitud de vibración excesiva que puede dañarla o
destruirla. Por lo tanto, es importante conocer las frecuencias naturales y modos
de vibración de la estructura.
Al presentarse amortiguamiento despreciable, la frecuencia resonante es
aproximada a la frecuencia natural de la estructura en vibración libre (James
Wren, 2007).
3.2 MÉTODO DE ELEMENTO FINITO El concepto del método es dividir un sistema continuo en un número de elementos
finitos; resolver sobre cada uno de los elementos las ecuaciones del sistema para
después ensamblar la solución total. El método de elemento finito se utiliza en
este trabajo para tener una estimación preliminar de parámetros modales del
espécimen de prueba (viga libre-libre).
En el modelo que se construyó la viga se divide en nodos. Los nodos son puntos
que se encuentran en la frontera de los elementos que se generan de la
discretización del continuo y son los responsables de mantener la continuidad al
mantener unidos los elementos. El sistema es un conjunto de elementos unidos
mediante nodos.
La metodología es la siguiente: selección del tipo de elemento, discretización de
la geometría, asignación de las propiedades del material, definición de cargas y
condiciones de frontera; solución del conjunto de ecuaciones (Kobayashi y Altan,
1989)
24
3.2.1 ELEMENTO VIGA Para la elección del tipo de elemento, los elementos tipo viga contienen dos
grados de libertad por nodo; necesarios para la obtención de las formas modales
flexionantes en el plano, además las propiedades de la viga son constantes a
través de toda la sección; estas características llevaron a modelar elementos tipo
viga.
La estructura se divide en elementos finitos tipo viga. Los elementos se modelan
por un segmento de línea con un desplazamiento horizontal y una rotación en
cada nodo. La viga tiene una longitud L y una propiedad de sección E, sI . U1 y U2
son desplazamientos nodales, V1 y V2 las rotaciones. Cada elemento tipo viga
tiene 4 grados de libertad como se muestra en la Figura 3.1 (Tirupathi y
Chandrupatla, 1996).
Figura 3.1 Elemento finito tipo viga.
Para la generación de algoritmo numérico, se resuelve la eigensolución de las
matrices globales de masa y rigidez del sistema ][ GK y ][ GM . Todo el procedimiento anterior se presenta en el Apéndice I. 3.2.2 CARACTERÍSTICAS DE LA ESTRUCTURA MODELADA La estructura a modelar es lineal, invariante en el tiempo y cumple con el principio
de reciprocidad de Maxwell.
La estructura es un sistema continuo y teóricamente es necesario un número
infinito de coordenadas independientes para especificar la posición de cada punto
de la estructura y por tanto, un número infinito de grados de libertad. En este caso
sólo se estudian los primeros tres grados de libertad, por lo que sólo se consideró
25
el rango de frecuencia que abarca las frecuencias naturales de los primeros 3
modos flexionantes (con respecto al eje x) de la viga libre-libre. Ver Figura 3.2.
La forma recomendada para comparar resultados experimentales con resultados
teóricos está dada por la condición libre-libre para cualquier estructura de prueba
(Ewins, 2000).
Figura 3.2 Condición libre-libre de la viga.
Las características geométricas de la viga de acero del modelo se muestran en la
siguiente en la Tabla 3.1.
Tabla 3.1. Propiedades de la viga.
PROPIEDADES GEOMÉTRICAS PROPIEDADES DEL MATERIAL
Largo 110.9 cm Densidad
Espesor 1.6 cm
Inercia (x) 2.167 cm4
3.2.3 DIAGRAMA DE FLUJO EN MATLAB Una vez que se formularon las matrices de los elementos que componen la viga
se emplea el programa Matlab para la manipulación de matrices. El algoritmo
siguiente desarrolla el procedimiento necesario para obtener un modelo modal de
26
la viga de pruebas en condición libre-libre. La viga se divide en 30 elementos tipo
viga; con el objeto de tener simetría de la estructura en un nodo. El diagrama de
flujo se muestra en la Figura 3.3.
Figura 3.3 Diagrama de flujo Matlab.
INICIO
Introducir parámetros de elemento viga: número de elementos, número de nodos por elemento, numero de grados de libertad por nodo
Introducir propiedades características del material: E, Is, A, L, ρ
Cálculo número total de nodos y grados de libertad del sistema
Cálculo de longitud del elemento
Puesta a cero matrices KG y MG dimensión cuadrada (grados de libertad )
Cálculo de matrices elementales Ke y Me
Ensamble de las matrices elementales en matrices globales
Cálculo de los eigenvalores y eigenvectores de las matrices globales
Selección de eigenvalores y eigenvectores del rango de interés
FIN
27
3.2.4 RESULTADOS DEL MODELADO En la Figura 3.4 se muestran las primeras tres formas modales flexionantes de la
viga que se obtuvieron después de ejecutar el algoritmo que resuelve la
eigensolución de las matrices globales de masa y rigidez.
Figura 3.4 Primeras 3 formas modales flexionantes suaves.
Las frecuencias naturales de cada modo se muestran en la Tabla 3.2.
Tabla 3.2 Parámetros modales elemento finito.
Modo ψ Frecuencia Natural [Hz]
1 67.463
2 185.960
3 364.570
3.2.5 PLANEACIÓN DE PRUEBA EXPERIMENTAL Al obtener parámetros modales preliminares en elemento finito, se procede con la
planeación de la prueba. Dentro de las consideraciones de planeación se
encuentran: condiciones de frontera, colocación de soportes y excitación, rango
de frecuencia de interés y número de nodos a medir.
• Condiciones de frontera: la primera parte de la etapa experimental, es la
condición a simular de la estructura. En la parte experimental la condición
libre-libre es sencilla de lograr en comparación con condiciones de frontera
en donde se presentan restricciones: empotramientos, articulaciones etc.
• Colocación de soportes: al calcular los modos de vibración se conocen los
nodos y antinodos; cero respuesta de amplitud y máxima respectivamente.
Los dos soportes en la estructura se colocaran en los nodos de cada modo
a analizar respectivamente. Por ejemplo, para el modo 1 los nodos 8 y 24
serán los idóneos. Ver Figura 3.5.
Figura 3.5 Colocación de soportes en nodos modo 1.
• Colocación del excitador: la excitación se realizara mediante un excitador
electromagnético o shaker; la posición única para los tres modos de prueba
será cercana al nodo 9 medido físicamente en la viga. La excitación nunca
debe de estar en un punto que sea un nodo de ese modo, ya que esto
impide que el modo sea excitado y por ende elimina toda posibilidad de
identificar sus parámetros.
29
• Intervalo de frecuencia: en la prueba se excitara a la viga en un rango
máximo de frecuencias de 20 hasta 500 Hz; en donde se encuentran los
tres primeros modos de estudio.
• Puntos a medir sobre la viga: básicamente se necesita medir el número de
puntos suficientes para describir los modos de interés. La viga presenta un
eje simétrico en las formas impares y un punto de inversión en las formas
pares con respecto al punto 16 de la viga; por tanto solo 16 puntos serán
los medidos ver Figura 3.6.
Figura 3.6 Simetría de los 3 modos respecto punto 16.
3.3 DESCRIPCIÓN DEL EQUIPO EXPERIMENTAL
En esta investigación se utilizó tecnología PXI y programación abierta en Labview
8.2. Para la obtención de parámetros modales. Los equipos siguientes se
utilizaron durante la etapa experimental.
• PXI 1031
• Labview 8.2
• SH68-68 PIN
• Acelerómetro kistler tipo 8628B5
• Viga de acero ASTM A36
A continuación se describen los componentes de mayor importancia de la etapa
experimental.
3.3.1 PLATAFORMA PXI CHASIS 1031 (PXI, 2004) La tecnología PXI es una extensión de bus PCI (133 MB/s) para la
instrumentación. Esta plataforma se utiliza en la industria para la adquisición,
generación, sincronización, control y automatización. Los sistemas PXI constan
de tres componentes fundamentales: chasis, controlador y módulos periféricos.
En este trabajo experimental la ranura 1 es el controlador. Por medio de las
tarjetas PXI 8331, PCI 8331 y el controlador MXI-4 (MXI-4, 2003) se configura el
chasis y la PC, de esta manera la computadora reconoce los módulos periféricos
o tarjetas como dispositivos PCI a través del cable conector. Ver Figura 3.7
En la ranura 2 del chasis se encuentra la tarjeta PXI 4472B (DAQ NI 4472B,
2004). La tarjeta tiene 8 entradas analógicas sincronizadas, con 24 bits de
resolución y 102.4 KS/s.
31
En la ranura 3 la tarjeta PXI 6722 (NI PXI 6722 Specifications, 2003). Por medio
de un cable de SH68 con 68 pines, la tarjeta PXI 6722 se conecta a un bloque
BNC 2110 (Instalation guide BNC 2110, 2003) de salidas de voltaje con 16 bits de
resolución, 1 MS/s de 8 canales analógicos y digitales.
Figura 3.7 Chasis PXI 1031, controlador y periféricos.
3.3.2 SENSORES DE FUERZA Y ACELERACIÓN Los sensores que se utilizaron en el sistema para medir la respuesta y la
excitación fueron: acelerómetro kistler g5± , 1037 mV/g y frecuencia de
resonancia de 9 KHz; sensor de fuerza kistler 5 lbf (22.24 N), 795 mV/lbf. El
montaje en el espécimen de prueba y unos puntos de medición se muestra en la
Figura 3.8.
ACELERÓMETRO VARILLA DE CONEXIÓN
3.3.3 CONEXIONES ENTRE EQUIPOS EXPERIMENTALES Las conexiones de los equipos experimentales se realizan de acuerdo a la
secuencia que se sigue desde la generación de la señal hasta la adquisición de
fuerza y aceleración (ver enumeración Figura 3.9); después de configurar el
chasis y la PC correctamente por medio de los controladores (PXI, 2004).
1.-Generación del código para obtener la señal de excitación hacia el excitador
electromagnético y la adquisición de fuerza y aceleración del espécimen
mediante Labview 8.2
2.- Por medio de las salidas analógicas de la tarjeta PXI 6722 y mediante un canal
de salida analógico, AO 0 en este caso, la señal que se genera se conduce al
excitador.
3.- Por medio del bloque BNC 2110 y el cable SH68 es posible la conexión BNC
de la fuente del excitador.
4.- El excitador se excita por medio de la fuente de voltaje y la señal que se
genera en 1.
5.- Mediante los cables 10-32 a BNC las señales de excitación y respuesta del
sistema se conectan al acoplador.
6.- El acoplador elimina frecuencias altas y ruido presente en las señales de
fuerza y aceleración.
7.- En la tarjeta PXI 4472B se realiza la adquisición de las dos señales analógicas
sincronizadas. Los dos cables del acoplador a la tarjeta de entradas analógicas
contienen terminales BNC a SMB. El procedimiento anterior y las conexiones se
muestran en la Figura 3.9.
PC
34
INTRODUCCIÓN
En este capítulo se describen los algoritmos que se realizaron para la obtención
de parámetros modales. El algoritmo consta de dos etapas: una de barrido rápido,
en la que se localizan las frecuencias naturales de la estructura de prueba y otra
de barrido fino en la que se extraen parámetros modales. Se describen también
los bloques principales, la similitud de las dos etapas y la interfaz gráfica de
usuario (GUI) que se desarrolló en esta tesis.
4.1 DESARROLLO DE ALGORITMOS EN LABVIEW El software Labview se utilizó para esta tesis debido a que presenta algunas
ventajas para este trabajo: es una herramienta de programación gráfica para
adquirir, analizar y presentar datos de medición mediante la misma plataforma de
desarrollo, además hace posible desarrollar las interfaces y la interacción entre el
usuario y los diferentes componentes de hardware y software.
El código de Labview se genera a partir de bloques, a diferencia de otros
lenguajes de programación en los que se emplean códigos textuales. En Labview
la interfaz de usuario se representa en el panel frontal; el código sigue un
diagrama de flujo según la lógica del algoritmo y se representa en un diagrama de
bloques.
Cada bloque es un instrumento virtual (o VI por sus siglas en inglés) que ejecuta
una rutina de programación. Los tipos de datos del bloque se representan por
cables y símbolos de diferente color. Cada bloque en Labview contiene datos de
DESARROLLO DE ALGORITMOS EN LABVIEW Capítulo 4
35
entrada y salida (lado izquierdo y derecho del bloque); en el ambiente de
programación de Labview estos bloques se denominan controles e indicadores,
respectivamente.
En las siguientes páginas se hace una descripción de las herramientas de sonido
y vibración (Sound and vibration toolkit 5.0 user manual, 2005) de Labview que se
utilizaron en este trabajo de tesis, asi como de la secuencia lógica de los bloques
y sus funciones principales.
El algoritmo general presenta dos etapas: una de barrido rápido y una de barrido
fino. Cada etapa consta de tres subetapas: configuración, análisis de datos,
presentación y aplicación de resultados.
Las dos etapas tienen en común la secuencia de ciclos y bloques que se presenta
en el Apéndice II (ver Apéndice II); se utiliza como referencia la etapa de barrido
rápido; que es la primera etapa del algoritmo general.
4.2 ETAPA DE BARRIDO RÁPIDO El objetivo de la etapa de barrido rápido el localizar frecuencias naturales. El
algoritmo hace variar la frecuencia de excitación (barrer) a través de un intervalo
especifico de interés mediante una onda sinusoidal, cuya frecuencia es una
función lineal del tiempo. Después de ejecutar el barrido rápido, cada resonancia
que se encuentra al dividir el espectro de aceleración y fuerza dentro del intervalo
de interés sirve como punto de partida para el inicio del barrido fino (ver sección
4.3) en el cual se utiliza una frecuencia más fina comparada con la que se usa en
el barrido rápido, para barrer la resonancia y estimar parámetros modales del
espécimen de prueba.
4.2.1 CONFIGURACIÓN
La subetapa de configuración permite al usuario activar los parámetros iniciales
del algoritmo. La subetapa completa está representada (con línea a trazos roja)
en la Figura 4.1. Los VIs se enumeran en el diagrama de bloques de acuerdo a la
36
secuencia lógica. Los parámetros que se configuran para iniciar la subetapa se
describen en la Figura 4.1; la lógica del algoritmo sigue la numeración 1-8 que se
muestra en esa figura y se describe a continuación:
Figura 4.1 Diagrama de bloques barrido rápido etapa configuración.
1.- El primer bloque del algoritmo inicializa los parámetros de barrido en los
dispositivos analógicos de entrada y salida (Figura 4.2).
En ocasiones se utilizan clusters para interactuar con los controles e indicadores.
Un cluster es la agrupación de elementos; asociado con un color de cable
particular (café mismo tipo de datos o rosa datos mixtos). El cable verde es un
cluster de error que se utiliza para verificar el flujo correcto de datos a través del
algoritmo. Ver (Labview 8.2 user manual, 2006)
Figura 4.2 Bloque de configuración de barrido.
Los controles presentes en la interfaz de usuario están asociados con un canal y
una tarjeta en particular, la nomenclatura Dev2 / AO 0 (por ejemplo) se refiere al
dispositivo en la ranura 2 (PXI 4472B) y la salida analógica del canal 0. Mediante
el bloque de la Figura 4.2 se configura el sistema una entrada-una salida por
medio de las siguientes tarjetas:
1 2 3 4 5 6 7
8
37
AO 0 SHAKER: Define los parámetros del canal de salida analógica, el nombre
del canal de excitación en la tarjeta PXI 6722, el valor de voltaje máximo y mínimo
de la señal, así como la configuración de la terminal del canal, que es la misma en
todos los casos (ver Figura 4.3).
AI 0 FUERZA y AI 1 ACEL: Define los parámetros de los canales de entradas
analógicas en la tarjeta PXI 4472B, el nombre de los canales de excitación, los
valores de voltaje máximo y mínimo de la señal y la configuración de la terminal
del canal (ver Figura 4.3). Dentro de la interfaz estos controles se configuran en la
etiqueta CONFIGURACIÓN-DAQ.
Figura 4.3 Controles de configuración de barrido.
2.- Para configurar los parámetros de escalamiento en las señales de excitación y
respuesta de cualquier sensor se introducen los siguientes controles:
sensibilidad, valor de referencia en dB y el valor en unidades de ingeniería (ver
Figura 4.4). La función del bloque es multiplicar las señales de estímulo y de
respuesta por un escalar para obtener las señales en unidades de ingeniería.
Figura 4.4 Bloque de configuración de escalamiento.
Dentro de la interfaz de usuario los controles están en la etiqueta configuración
de estímulo respuesta. Los controles se muestran en la Figura 4.5.
38
Figura 4.5 Controles de configuración de escalamiento.
3.- Este bloque configura los parámetros del barrido sinusoidal lineal: rango de
frecuencia, frecuencia inicial, final, pasos, resolución, amplitud de voltaje del
excitador electromagnético y tipo de barrido (ver Figura 4.6). Las funciones de
estos (y otros) parámetros de barrido se describen en la sección 5.1.
Figura 4.6 Bloque para configuración del barrido sinusoidal lineal.
La siguiente ecuación muestra la relación entre el rango de frecuencia, los pasos
y la resolución.
F F solución
− =
−
= =
=
( )1.4
Estos controles permiten barrer el rango de frecuencia de interés (ver Figura 4.7).
El número de pasos determina el número de frecuencias de prueba.
Figura 4.7 Controles de configuración barrido sinusoidal lineal.
39
4.- El bloque permite integrar datos o descartar datos de medición (en ciclos o en
tiempo). Los datos integrados a partir de este bloque son los datos con los cuales
se elimina el transitorio (presente en el arranque de la prueba) y se calcula la
función de respuesta en frecuencia en estado estable (ver sección 5.1).
Figura 4.8 Bloques configuración retraso e integración de bloque.
Los controles se muestran en el panel frontal (ver figura 4.9).
Figura 4.9 controles retraso e integración de bloque.
5.- Para alcanzar el estado estable se puede configurar la duración del bloque en
ambas entradas, de estímulo y de respuesta, de la tarjeta PXI 4472B (ver Figura
4.10.)
a)
b)
Figura 4.10 Configuración de duración de bloque. a) bloque, b) control.
6.- Este bloque realiza la tarea de configurar la frecuencia de muestreo de las dos
entradas analógicas en la adquisición (ver Figura 4.11).
a)
b)
Figura 4.11 Configuración frecuencia de muestreo. a) bloque, b) control.
40
7.- El bloque especifica el retraso, en muestras, de la tarjeta de adquisición de
datos PXI 4472B de acuerdo con la velocidad de muestreo (ver Figura 4.12). La
Tabla 4.1 contiene el retraso, en muestras, para diferentes frecuencias de
muestreo. El retraso se debe a filtros y convertidores analógico-digitales de la
tarjeta PXI 4472 B.
a)
b)
Figura 4.12 Configuración de retraso tarjeta PXI 4472B. a) Bloque, b) Control.
Tabla 4.1 Delay tarjeta PXI 4472-B.
FRECUENCIA DE MUESTREO (KS/s) RETRASO (MUESTRAS)
6.10.1 ≤≤ Fs 32
2.36.1 ≤≤ Fs 32
4.62.3 ≤≤ Fs 32
8.124.6 ≤≤ Fs 34
6.258.12 ≤≤ Fs 35
4.1026.25 ≤≤ Fs 39
8.- Después de agregar todos los controles anteriores al cluster; el bloque final de
la etapa realiza la configuración de las tarjetas PXI 6722 y PXI 4472B. La función
del bloque es sincronizar los canales y empezar tanto la generación de la señal de
excitación como la adquisición de datos de la respuesta vibratoria. (Ver Figura
4.13).
41
4.2.2 ANÁLISIS DE DATOS En la Figura 4.14 se representa con línea a trazos roja la etapa de análisis y
cómputo de datos en la adquisición, tanto para las señales de estímulo como para
las de respuesta para cada frecuencia de prueba. Tres bloques principales
realizan las tareas, la numeración adentro de la línea a trazos roja sigue la lógica
de acuerdo a los números 1-3 de esta sección. (Ver Figuras 4.15, 4.17 y 4.19).
Figura 4.14 Etapa de análisis de datos.
1.- En este bloque se genera la excitación y se adquieren las señales de estímulo
y respuesta por bloques de la estructura a cada frecuencia de prueba de acuerdo
con el número de pasos entre la frecuencia inicial y final.
Las salidas o indicadores del bloque contienen los parámetros de barrido:
señales en el tiempo de aceleración y de fuerza, frecuencia de prueba y el
diagrama de bode de magnitud. (Ver Figura 4.15).
Figura 4.15 Bloque análisis de datos del barrido.
1 2
42
El bloque análisis de datos (Figura 4.15) realiza el filtrado a los dos bloques de
excitación y de respuesta. El bloque es la implementación de un tipo de filtro
síncrono, el cual extrae cada componente de frecuencia de los bloques de
señales en tiempo de acuerdo a cada paso de frecuencia del bloque a través de
bases ortogonales unitarias (ver Figura 4.16 y apéndice III). El análisis por cada
bloque se considera periódico.
Figura 4.16 Diagrama de bloques filtro respuesta y estímulo.
2.- Este bloque es la parte fundamental del algoritmo. En el se obtiene la función
de respuesta en frecuencia del barrido sinusoidal lineal (ver Figura 4.17). El
control “view” permite obtener los resultas en dB, grados y valores absolutos
mayores que pi. El indicador es un cluster que contiene la magnitud y la
frecuencia. El algoritmo para obtener la función de respuesta por bloques se
muestra en la Figura 4.18. (Ver apéndice III.)
Figura 4.17 Bloque de función de respuesta del barrido.
43
Figura 4.18 Diagrama de bloques obtención de función de respuesta en frecuencia.
3.- Detiene las tareas si ocurre un error en el algoritmo, el error se identifica por
medio de un código mediante un cuadro de diálogo. (Figura 4.19.)
Figura 4.19 Bloque de paro y error.
4.2.3 PRESENTACIÓN Y APLICACIÓN DE RESULTADOS
El diagrama de bloques se presenta en la Figura 4.20 con la enumeración 1-2.
Figura 4.20 Etapa de presentación y aplicación de resultados.
1
2
44
1.- Se presentan la gráficas de fuerza y aceleración escaladas por la sensibilidad
de los sensores que se obtienen del análisis de datos (por bloques) en el dominio
del tiempo. En la Figura 4.21 se muestra un ejemplo de las señales en estado
estable, en la cual la frecuencia, la amplitud y la fase de cada bloque son
constantes.
Figura 4.21 Fuerza y aceleración en el tiempo.
2.- La excitación se realiza a pasos de frecuencia lineales de 20 a 500 Hz, 1 Hz
de resolución y un tamaño de bloque de 200ms. En la Figura 4.22 se muestra un
barrido de frecuencia a pasos de 20 a 30 Hz, 1 Hz de resolución e incrementos
lineales de frecuencia con un tamaño de bloque de 200ms.
Figura 4.22 Barrido de frecuencia a pasos con incrementos lineales.
45
En la etapa de barrido rápido se localizan las frecuencias de resonancia, el bloque
2 (Ver Figura 4.20) presenta la magnitud de la función de respuesta que se
obtiene del análisis. Estas frecuencias constituyen los resultados de la etapa. Por
medio de cursores se marcan las frecuencias de barrido inicial y final (ver Figura
4.23) que se utilizarán en la etapa de barrido fino. Estos valores están indicados
en el lado derecho inferior con línea a trazos roja (ver sección 4.3).
Figura 4.23 Frecuencia final e inicial del barrido segunda resonancia.
La localización de las frecuencias de resonancia puede repetirse a partir de
barridos rápidos para varios puntos de la estructura.
4.3 ETAPA DE BARRIDO FINO
El objetivo de esta etapa es barrer las resonancias encontradas en la sección
anterior y discretizar el ancho de banda. En cada resonancia se aplica el método
Amplitud pico (sección 2.5) para la extracción de parámetros modales. Para el
análisis se consideran los modos separados; por lo tanto los parámetros se
extraen directamente de la función de respuesta a la frecuencia.
Como se mencionó en la sección 4.2, los algoritmos de la etapa de barrido fino
son similares a los de la etapa de barrido rápido; por lo tanto sólo se explicarán
46
los controles e indicadores que realizan la extracción de los parámetros modales
en tiempo real; ver Figura 4.25.
La referencia para la explicación de la tareas de está etapa es el bloque en el que
se obtiene la función de respuesta del barrido rápido (número 1, Figura 4.25). Los
clusters Nyquist, fase y magnitud son los controles de partida.
Figura 4.24 Bloque FRF barrido fino.
En la Figura 4.25 se muestra el diagrama general de bloques para la etapa de
barrido fino. La enumeración de los bloques 1-8 se describe a continuación:
Figura 4.25 Diagrama de bloques barrido fino.
1.- Se extrae del cluster rosa el vector magnitud de la función de respuesta en
frecuencia.
2.- El bloque regresa como salida el valor máximo maxA y el respectivo índice
nF del vector magnitud.
47
3.- El índice que ocupa el valor máximo de magnitud es la frecuencia natural, la
cual se escala con la resolución del barrido de acuerdo a la siguiente ecuación:
.( )*n MAX inicialF índice A resolución F= + ( )4.1
4.- El bloque genera dos vectores de referencia a partir del cluster “magnitud”,
cada uno de los cuales tiene la misma dimensión que el vector de frecuencia. La
salida del bloque es un cluster que contiene los vectores de referencia, el valor
máximo instantáneo maxA , los valores max2 1 A de los límites superior e inferior,
respectivamente y el cluster de magnitud.
5.- Se realiza la extracción de los vectores “magnitud” y “límite inferior” del cluster.
6.- Este bloque realiza la extracción de las frecuencias 1F y 2F . Las entradas son
los arreglos de “magnitud” y “límite inferior”. El bloque realiza la sustracción en
tiempo real de los arreglos “magnitud” y “límite inferior” en cada punto medido de
la función de respuesta en frecuencia. El Bloque extrae el índice de mínima
diferencia de los dos arreglos en la subida y bajada de la resonancia, estos
índices de frecuencia son los puntos 1F y 2F del algoritmo Amplitud pico (ver
Figura 4.26).
48
7.- Obtención del amortiguamiento. Los índices de las frecuencias 1F y 2F se
escalan con la resolución del barrido; el amortiguamiento por el método Amplitud
pico se calcula de acuerdo con la ecuación (Ewins, 2000):
n r F
FF 12 −=η ( )1.4
8.- Los parámetros modales rη y nF que se obtienen se guardan en un archivo
de texto. Al igual que estos parámetros que se obtienen en tiempo real, la
obtención de la forma modal se discute a continuación:
- el vector fase de la función de respuesta en frecuencia se extrae del cluster rosa
-El bloque extrae el índice del valor de la fase que corresponde a la amplitud
máxima de la magnitud maxA . Para la forma modal se multiplica maxA por el signo
correspondiente del valor de fase en ( maxA ) (por ejemplo -50 lo multiplica por (-
1)).
-Cada valor que se obtiene se guarda en un archivo de texto, la dimensión del
vector depende del número de puntos que se midan en la estructura.
4.4 INTERFAZ GENERAL
En la Figura 4.27 se tiene la interfaz general mediante la cual se obtienen los
parámetros modales del espécimen de prueba; cada indicador se enumera en la
interfaz.
49
1.- Obtención de las frecuencias: 1F , NF y 2F .
2.- Obtención de Amortiguamiento estructural rη .
3.- Obtención maxA y signo de la fase. El Botón guarda los parámetros extraídos.
En el apéndice IV se muestra la descripción de cómo usar esta pantalla.
1
2
3
50
INTRODUCCIÓN
En este capítulo se presentan los resultados que se obtuvieron después de
realizarse las pruebas experimentales en 16 puntos equidistantes a lo largo de la
viga (ver Apéndice V). Se presentan también los diferentes parámetros de prueba
y condiciones de entrada que se utilizaron en cada prueba para la obtención de
resultados. Los resultados experimentales se comparan con formulas analíticas y
con un método numérico que se basa en la combinación de las componentes
modales normal y conjugada de la función de respuesta en frecuencia. A este
último método se le llamará “método detallado”.
5.1 PARÁMETROS DE PRUEBA
La interfaz gráfica se realizó para variar los parámetros fundamentales presentes
en un barrido. Estos parámetros se describen a continuación:
“Antes de medición”: este parámetro permite eliminar los ciclos o el tiempo
(condición que ocurra primero) del total del tamaño del bloque. El objetivo es
eliminar la etapa transitoria que se presenta en cada bloque de muestras
adquiridas.
“Integración de medición”: este parámetro especifica el número de ciclos o el
tiempo mediante el cual la función de respuesta en frecuencia por cada bloque se
calcula. El objetivo del parámetro es considerar la etapa estable para el cálculo de
la función de respuesta en cada bloque.
RESULTADOS EXPERIMENTALES DE ETAPA BARRIDO FINO Capítulo 5
51
“Bloque”: es la capacidad, expresada en tiempo de la aceleración y la fuerza, a la
cual cada paso de frecuencia cambia para realizar el cálculo de la función de
respuesta en frecuencia.
“No. Muestras”: el parámetro representa el número de muestras totales en cada
bloque con respecto a la frecuencia de muestreo FS y el tamaño de bloque.
“Rango de frecuencias”: este parámetro corresponde a la frecuencia inicial y final
de excitación en el barrido. Los límites del barrido se establecieron para que en la
función de respuesta en frecuencia se midieran la frecuencia natural y los puntos
de potencia media.
“Frecuencia inicial”: frecuencia a la cual el excitador electromagnético comienza a
excitar la estructura.
“Frecuencia final”: frecuencia a la cual el excitador electromagnético termina de
excitar la estructura.
“Pasos”: número de frecuencias de prueba que genera el excitador de acuerdo a
la frecuencia inicial y final de excitación.
“Resolución”: espaciamiento entre las frecuencias de prueba consecutivas.
“Amp. Shaker”: este parámetro configura la amplitud del voltaje hacia el excitador
electromagnético. El parámetro se relaciona con la fuerza que el excitador
produce.
En las primeras pruebas, las gráficas de fuerza y aceleración contenían ruido que
se manifiesta en una línea quebrada en la región del pico de resonancia. Esta
característica de la curva en la función de respuesta se de debe a que en el
cálculo de la función de respuesta en frecuencia se consideraba todo el bloque sin
aislar la parte transitoria. Una gráfica con este tipo de error se muestra en la
Figura 5.1. Debido a este error la estimación de los puntos de potencia medios y
por lo tanto del amortiguamiento es errónea.
52
Para corregir este error, los parámetros de prueba se ajustaron de tal manera que
las señales de fuerza y aceleración aparecieran como funciones armónicas del
tiempo (en un osciloscopio virtual en paralelo con el algoritmo, ver Figura 5.2).
Figura 5.1 Función de respuesta en frecuencia con ruido.
Figura 5.2 señales en el tiempo de fuerza y de aceleración en estado estable.
53
El parámetro “resolución” genera errores al no contener puntos suficientes dentro
del ancho de banda; por lo tanto la estimación del amortiguamiento presenta
errores al no excitar suficientes puntos de frecuencia dentro del ancho de banda
del modo en análisis (ver Figura 5.3).
Figura 5.3 Resolución insuficiente dentro del ancho de banda.
De igual forma el parámetro resolución se ajustó para obtener funciones de
respuesta en frecuencia en las cuales se barriera el ancho de banda del modo en
análisis.
En las pruebas se excitó el espécimen en tres intervalos de frecuencia, cada uno
de los cuales abarcaba la región de la resonancia de cada uno de los tres
primeros modos de vibración respectivamente.
Durante el primer modo de prueba la excitación de la fuente de voltaje del
excitador electromagnético se mantuvo en 0.5 V; la fijación del acelerómetro se
realizó de forma magnética.
Para los modos segundo y tercero la fuente del excitador se aumentó al doble
(1 V con respecto al primer modo) con el objetivo de excitar con mayor fuerza los
54
modos. En esta etapa la fijación del acelerómetro se realizó de forma magnética y
pegamento con base de cyanocrilato (kola loka) con el objetivo de evitar que el
sensor perdiera contacto con la estructura durante las pruebas.
Las modificaciones que se realizaron en cada modo con respecto a los
parámetros de prueba (ver sección 5.1) se muestran en las pantallas (ver Figuras
5.4, 5.7 ,5.10.) de la interfaz gráfica desarrollada. Los parámetros de prueba se
ajustaron de forma experimental.
5.2 PARÁMETROS DE PRUEBA DEL PRIMER MODO La configuración para obtener los parámetros modales del primer pico de
resonancia se muestra en la Figura 5.4.
Figura 5.4 parámetros de prueba del primer modo.
Un ejemplo de los resultados se presenta para el punto 1 de la viga (ver Figura
5.5). En la interfaz de usuario que se realizó se muestra el diagrama de bode
magnitud y fase así como la gráfica Nyquist. En el lado superior derecho se
presentan los parámetros modales correspondientes a ese punto de la estructura.
55
Figura 5.5 Extracción de parámetros modales del primer modo punto 1.
Para los 16 puntos medidos a lo largo de la estructura se obtienen gráficas con
las mismas características (Bode magnitud-fase y Nyquist). A continuación se
presenta la recolección de todos los parámetros modales que se obtuvieron del
primer modo.
5.2.1 PARÁMETROS MODALES EXPERIMENTALES DE

centro nacional de investigación y desarrollo tecnológico

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