centrale 2001 si psi

SCIENCES INDUSTRIELLES

Concours Centrale-Suplec 2001 1/15

SCIENCES INDUSTRIELLES Filire PSI

Systme de dploiement dune antenne de satellite

Partie I - PrsentationLa France ayant dcid trs tt de disposer dunsystme national de tlcommunications, quatresatellites de seconde gnration Tlcom 2 ont tmis en orbite gostationnaire entre dcembre1991 (Tlcom 2A, pour les besoins des JeuxOlympiques dAlbertville) et aot 1996 (Tlcom2D).Ces satellites, dont la dure de vie est de dix ans,peuvent acheminer 16000 conversations tl-phoniques simultanes entre les Dom-Tom et lamtropole, relayer 11 programmes de tlvisionau-dessus de lEurope et assurer toute la gammedes services tlmatiques. Ils transportent enoutre la charge utile Syracuse, systme franaisde tlcommunication militaire. Lensemble deces missions est assur par un ensemble de dix rpteurs en bande ( ) et deux grandes antennes rflecteur bien visiblessur les photos ci-contre.Ces antennes rflecteur de de diamtre, permet-tent de concentrer la puissance dmission ou de rceptiondes signaux radio-lectriques du satellite sur une zone d-termine (lEurope par exemple). Ces deux rflecteurs sontstocks et immobiliss contre la paroi du satellite pendantla phase de lancement, pour que lensemble puisse prendreplace lintrieur de la coiffe de la fuse. Une fois le satel-lite mis poste sur lorbite gostationnaire, les rflecteurssont dploys et restent dans cette position jusqu la fin dela vie du satellite.

Limmobilisation de chaque rflecteur est assure entrois points par trois tripodes de conception identi-que. La libration du rflecteur est effectue par lamise feu des crous pyrotechniques qui quipentchaque point de fixation. Le dploiement est ra-

Tlcom 2 en configuration dploye

C 6 4 GHz

Tlcom 2 en cours dessais(configuration stocke)

2 2 m,


Filire PSI


lis par une rotation du rflecteur autour de deux articulations relies par unaxe. La motorisation est obtenue laide des ressorts prcontraints fixs cha-que articulation et la vitesse angulaire de dploiement est rgule grce un r-gulateur centrifuge install sur une des articulations, afin de limiter le chocfinal lors de la mise en position oprationnelle dploye. ce moment, limmo-bilisation de lantenne est assure par un systme de verrouillage sans jeu.

Q.1 - Reprsenter les diffrentes fonctions techniques assures par lesdispositifs de fixation et de dploiement de lantenne laide dun diagrammeFAST et donner la solution technique associe chaque fonction.

Configuration dploye

Configuration stocke

axedarticulationde la liaison pivotrflecteur/plate-forme

Plate-formedu satellite

rflecteur

ZY

X

un tripode

foyer de lantenne

Figure 1

: assurer lefonctionnement delantenne

FS FS1 : retenir le rflecteur enposition stocke

FT21 :

FT22 :

FT23 :

FS2 : dployer lerflecteur



Les diffrentes fonctions tant recenses, il sagit maintenant de les caract-riser. Les principaux critres de dimensionnement des dispositifs de fixation etde dploiement de lantenne sont : : angle de dploiement : , : capacit de rglage en position dploye : , : capacit de rglage linterface du rflecteur

et des points de fixation : , : raideur de lantenne (en supposant la plate-forme rigide) :

1re frquence de rsonance en position dploye : minimum,1re frquence de rsonance en position replie : minimum.

: rsistance mcanique aux efforts linterface avec la plate-forme, pen-dant le lancement :composante de leffort normale au plan dinterface : maximum,composante de leffort tangentielle au plan dinterface : maximum.

: prcision dorientation du rflecteur en position dploye : .Q.2 - Associer chacun des critres spcifis la (ou les) fonction(s) de servicecorrespondante(s) ou . La rponse sera prsente sous la forme duntableau :

Des fonctions contraintes pourront ventuellement intervenir dans le tableau.La vrification des critres et fait lobjet du paragraphe suivant.Le dispositif pyrotechnique de libration du rflecteur et le dispositif de dploie-ment sont tudis par la suite.Nota : lattention des candidats est attire sur limportance de la dernire ques-tion dans lvaluation ; cette question 28 peut tre traite sans avoir rpondu lensemble des questions prcdentes, mais elle exige nanmoins une lecture at-tentive de lensemble du sujet.

Partie II - Fixation du rflecteur sur la plate-forme

La fixation du rflecteur sur la plate-forme doit assurer deux fonctions : dunepart, autoriser une grande capacit de rglage lors du montage au sol pour viterde dformer le rflecteur et, dautre part, supporter les efforts lors du lancementsans solliciter le mcanisme de dploiement. On se propose dans cette partie devrifier que ces deux fonctions sont correctement assures.

Fonctions Critres Niveaux

: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

S1 65S2 0 25,S3

10 mmS4

5 Hz

70 Hz

S5

2500 N

2000 N

S6 0 02,

FS1 FS2

FS1

S4 S5



II - 1 - Fonction 1 : autoriser la capacit de rglage attendue lors dumontage au solLe maintien du rflecteur en position replie est assur par trois structures tri-podes identiques. Chaque pied de la structure est pourvu chaque extrmitdun embout sphrique mont dans un insert. Le plateau suprieur du tripodeest lui-mme li au rflecteur par une rotule, non reprsente sur le croquis d-taill du pied. La longueur des pieds est rglable. Lorsque tous les rglages durflecteur sont termins, les embouts sphriques et les rotules du rflecteur sontensuite bloqus par rapport au plateau du tripode.

Une structure tripode

u1A

ZX

Y

X

Y



Q.3 - Tracer le schma cinmatique de la structure tripode, une fois effectule rglage de la hauteur des pieds mais avant le blocage des embouts sphriqueset des rotules du rflecteur.

Analyse des mobilits du mcanisme avant blocage des embouts sphriques(lorsque le rglage de la hauteur des pieds est effectu).

La liaison pivot entre le rflecteur et la plate-forme est ralise de faon isosta-tique par les deux articulations.Q.4 - Montrer que la mobilit utile et le degr dhyperstatisme du mcanismeconstitu par le rflecteur et les trois structures tripodes, en mouvement parrapport la plate-forme du satellite sont respectivement de et . Identifierles mobilits internes.Q.5 - Dterminer et justifier par une analyse de votre choix la liaisonquivalente ralise par un pied entre lembase (fixe rigidement sur la plate-forme du satellite) et le plateau tripode. Donner les caractristiquesgomtriques de cette liaison (point, normale ou axe). Dterminer, sansdvelopper de calculs, le nombre de mobilits de la liaison quivalenteisostatique ralise par les trois pieds entre lembase et le plateau du tripode.

Analyse de lhyperstatisme du mcanisme aprs blocage des embouts sphriques

On bloque tout dabord un seul des six embouts sphriques dun tripode entreun des trois pieds et lembase, en ralisant ainsi une liaison encastrement entrece pied et lembase.Q.6 - Dterminer les consquences de ce blocage sur les mobilits internes etutile du mcanisme constitu par le rflecteur et les trois structures tripodes. Q.7 - Combien dinconnues statiques de liaison supplmentaires sontintroduites par le blocage dun seul embout sphrique ? En dduire linfluencedu blocage dun seul des six embouts sphriques dun tripode surlhyperstatisme du mcanisme. la fin des rglages au sol,tous les embouts sphriques et les rotules rflecteurdu mcanisme sont bloqus. Le mcanisme est alors constitu de neuf pieds enliaison encastrement avec lembase et avec les trois plateaux des tripodes. Ceux-ci sont galement en liaison encastrement avec le rflecteur, lui-mme en liaisonpivot avec la plate-forme du satellite.Q.8 - Dterminer le degr dhyperstatisme du mcanisme en considrant queles inconnues statiques dans les liaisons encastrement au niveau des emboutssphriques, sont des grandeurs que lon souhaite dterminer pour choisir lematriau constituant chaque embout (en effet, deux types de matriau sontpossibles : inox ou titane, moins rsistant mais plus lger).

3D

1 0



Q.9 - Quel est lintrt dun tel degr dhyperstatisme. Pourquoi peut-onconsidrer que les dformations de la parabole du rflecteur restent nanmoinsacceptables ?II - 2 - Fonction 2 : supporter les efforts de lancement sans fairetravailler le mcanisme de dploiementLa fixation du rflecteur sur la plate-forme est dimensionne pour rsister auxsollicitations pendant la phase de lancement, lorsque le satellite est fix dans lacoiffe de la fuse et le rflecteur en position replie. Celles-ci proviennent soit desacclrations importantes au lancement de la fuse (acclrations dites quasi-statiques ), soit de vibrations. Le dimensionnement sera vrifi successivementpour ces deux cas de charge.II - 2 - A1- Dtermination des efforts quasi-statiques Par rapport au repre terrestre suppos galilen, les niveaux dacclration pen-dant le lancement sont considrs constants : suivant les directions et et suivant la direction (les directions , , sont dfinis sur lafigure 1). Pendant cette phase, le satellite nest soumis aucun mouvement derotation. La masse du rflecteur avec les dispositifs de fixation et de dploie-ment est de . est lacclration de pesanteur. On prendra .Q.10 - Dterminer numriquement le torseur dynamique galilen du rflecteurau point , centre de gravit du rflecteur.II - 2 - A2 - Optimisation de la position des tripodesOn se place dans lhypothse dfavorable o ilny a seulement que deux tripodes et , posi-tionns symtriquement par rapport laxe ,qui participent la fixation du rflecteur.Hypothses simplificatrices : problme plan , les composantes des actions mcaniques sur

laxe sont gales ( et ), les composantes de moment autour de laxe

des actions mcaniques en et sont nul-les.

Q.11 - Dterminer la position note de cestripodes suivant laxe , qui minimise les effortssur le mcanisme de dploiement lorsque le systme est soumis des acclrations quasi-statiques suivant laxe uniquement (laction de pesanteur estsuppose ngligeable devant les autres actions). Prciser le systme isol et lechoix de lquation utile du PFD qui permet de conclure.

20 g X Z10 g Y X Y Z

21 2 kg, g g 10 m s 2=

G

ZTripode B Tripode A

Tripode C

LL e

h

G

O

d d

Y

FD2 FD1

D2 D1

A BZ

Y Z,( )

Z ZA ZB= ZD1 ZD2=X

A B

eZ

D1 D2,( )

Y



Q.12 - Mme avec ces hypothses simplificatrices, est-il possible de dtermineranalytiquement un optimum pour la position dun systme de fixation avec troistripodes ? Expliquer pourquoi en se rfrant au rsultat de la question Q.8 ?II - 2 - A3 - Vrification des efforts linterface avec la plate-formeLa gomtrie des points de fixation du rflecteur sur la plate-forme est dfinieainsi : Tripode : points de fixation , , . Tripode : points de fixation , , . Tripode : points de fixation , , . Mcanisme de dploiement : points de fixation et .Le calcul des efforts linterface avec la plate-forme ne pouvant tre men ana-lytiquement, on donne le tableau des rsultats issus dun calcul numrique, ex-prims dans les axes plate-forme . Ils reprsentent les composantes dutorseur des actions mcaniques exerces par le satellite sur le rflecteur duesaux acclrations quasi-statiques .

Q.13 - Vrifier la validit de ces rsultats, en expliquant la dmarche retenue.La spcification est-elle vrifie ?

Point dinter-

face

en en en en en en

Total

A A1 A2 A3B B1 B2 B3C C1 C2 C3

FD1 FD2

X Y Z, ,

Pi

FX N( ) FY N( ) FZ N( ) MXNm( )

Pi

MYNm( )

Pi

MZNm( )

Pi

MXNm( )

G

MYNm( )

G

MZNm( )

G

FD1 473 95 1055 8 258 9 215 478 129

FD2 404 161 567 12 129 22 438 402 204

A1 498 9 506 15 6 18 448 266 433

A2 2231 441 593 5 10 9 732 1163 1891

A3 500 196 9 7 13 7 88 238 409

B1 420 1 60 1 4 11 44 307 308

B2 442 9 225 6 1 10 161 260 327

B3 412 118 163 5 8 2 27 263 263

C1 107 32 104 1 9 1 20 57 3

C2 1256 540 1029 2 21 9 479 951 86

C3 508 521 66 5 2 8 403 396 11

4239 2121 4239 2 2 1

S5



Q.14 - Calculer le taux de rpartition (en pourcentage) des efforts provenant dumcanisme de dploiement et du systme de fixation. Conclure sur le respect delobjectif (II-2) du systme de fixation du rflecteur.II - 2 - B - Dtermination des efforts dus aux vibrations Lorsque le rflecteur est soumis des vibrations, il peut tre modlis commeun systme linaire, soumis des acclrations sinusodales :

Le diagramme de Bode de la fonction de transfert mcanique du rflecteur enposition replie est reprsent sur le document rponse : il sagit de la rponsefrquentielle des efforts linterface avec la plate-forme (somme des efforts din-terface sur laxe , exprims en Newton) pour une entre sinusodale en accl-ration sur laxe damplitude .Q.15 - Identifier le gain statique. Donner la relation liant le gain statique et unegrandeur caractristique du rflecteur en utilisant une quation du PFD.Commenter.Q.16 - partir du diagramme de Bode, donner sous forme canoniquelexpression littrale de la fonction de transfert du rflecteur. Tracer lallure dudiagramme asymptotique et identifier les caractristiques de la premirersonance (frquence propre et coefficient damortissement) en ngligeantlimpact des autres ples de la fonction de transfert. La spcification est-ellevrifie ?Q.17 - Les vibrations dentre sont supposes identiques pour les trois axes,avec le profil suivant : pour variant entre et :

dplacement sinusodal damplitude .

pour variant entre et :

acclration sinusodale damplitude .

Lamplitude du mouvement dentre peut tre reprsente sous la forme dundiagramme semi-logarithmique : par exemple, entre et , lam-plitude exprime en dplacement, est reprsente par une droite horizontale demodule .Les niveaux de vibrations en dplacement et en acclration sont-ils cohrentspour la pulsation ? Tracer sous la forme dun diagramme semi-lo-garithmique dans la bande , lamplitude des vibrations

Fonction de transfertdu rflecteur

acclration sinusodale Efforts linterface plate-forme

x= d2x

dt2--------- x0 t( )sin=

Fx Fx0( ) t +( )sin=

XX 1 g

S4

5 rad s 100 rad sx x0 sint( )= x0 10 mm=

100 rad s 5000 rad s

xd2x

dt2--------- x0 t( )sin= = x0 10 g=

5 rad s 100 rad s

40 dB 20 log102 m ( )

= 100 rad s5 rad s 5000 rad s



dentre exprimes en dplacement. Justifier les diffrentes pentes du diagram-me obtenu. Tracer de mme le niveau des vibrations dentre exprimes enacclration et justifier les diffrentes pentes du nouveau diagramme obtenu.Q.18 - Le comportement dynamique du rflecteur et du dispositif de fixation surla plate-forme est valid par des essais de vibrations sur un exemplaire dusatellite Tlcom 2 (le modle de qualification) spcialement ddi aux essaisdenvironnement (vibrations, essais thermiques, essais dans le vide...).Calculer lamplitude de lacclration pour et lamplitude du dpla-cement pour . Sachant que les essais de vibrations sont pilotspar des capteurs de types diffrents, justifier pourquoi les niveaux de vibrationssont exprims en dplacement dans les basses frquences et en acclrationdans les hautes frquences et prciser le type de capteur qui doit tre utilisdans chaque cas.Q.19 - Les niveaux de vibrations donns ci-dessus constituent une enveloppeforfaitaire de la ralit du lancement du satellite, et conduisent surdimensionner puis surtester le satellite et son rflecteur sils sontappliqus sans rduction de niveau dans certaines bandes de frquence. Or, lescontraintes de rduction de masse imposent un dimensionnement au plus prsde la ralit du vol. En consquence, des rductions des niveaux damplitudevibratoires sont appliqus pendant les essais pour viter de dtriorer lerflecteur : le niveau maximum des efforts dinterface obtenu lors de ces essaisne doit pas dpasser le niveau maximum requis en chargement quasi-statique , soit sur laxe .Pour cela, on dterminera les efforts maximum induits par les vibrations en uti-lisant le diagramme de Bode de la fonction de transfert mcanique du rflecteur.Si ncessaire, on modifiera ensuite le profil dentre des acclrations dans lesbandes de pulsation o les efforts dpassent le niveau maximum requis.Le critre est-il vrifi avec le profil dacclration demand ? Sinon proposerune modification locale du diagramme damplitude du niveau dacclrationdentre (par exemple en crant un trou au voisinage de la rsonance, et en cal-culant le niveau maximum de lacclration au voisinage de cette frquence).

Partie III - Dispositif pyrotechnique de libration du rflecteur

Il sagit dans cette partie de comprendre le fonctionnement du mcanisme per-mettant de librer le rflecteur une fois que le satellite est mis poste.

= 5 rad s = 5000 rad s

4240 N X



Chacun des trois tripodes de fixation est constitu de deux sous-ensembles :

le premier assure linterface avec le satellite et reoit lensemble des compo-sants qui restent, aprs sparation, solidaires du satellite (pieds et plateaudu tripode, crou pyrotechnique et initiateur),

le second, solidaire du rflecteur, est compos de la rotule rflecteur, de la visde fixation avec ressort djection et du capot de confinement.

Q.20 - Expliquer le fonctionnement du systme de libration. Reprsenter surtrois schmas technologiques diffrents la position des diffrents constituantslorsque le rflecteur est en position stocke, puis lorsque la vis est libre etenfin lorsque le rflecteur est en cours de dploiement. Justifier la prsence ducapot de confinement.



Q.21 - Sur un schma reprsentant linterface conique entrela rotule rflecteur et la partie suprieure du plateau dutripode, reprsenter laction mcanique lmentaire

exerce en un point de la surface de contact,lorsque le rflecteur est stock, en se plaant la limite duglissement. Le ressort exerce dans ce cas un effort presseursur la rotule rflecteur. Reprsenter sur ce mme schmalaction normale , laction tangentielle

, langle de frottement et le demi-angledouverture du cne . La pression de contact est suppose uniformmentrpartie sur la surface conique.Q.22 - Lorsque la vis est libre et que le rflecteur commence se dployer,mettre en place sur un schma identique laction mcanique lmentaire pourassurer la libration du rflecteur sans aucun effort de dploiement au niveaude laxe darticulation. Y reprsenter les mmes grandeurs. En dduire dabordla relation entre et qui conduit au coincement (arc-boutement) de la rotulerflecteur, puis la condition qui permet la libration du rflecteur sans effort dedploiement.

Partie IV - Dispositif de dploiementLe dploiement du rflecteurest motoris par deux res-sorts. Lobjectif de cette partieporte tout dabord sur lechoix du ressort qui permet-tra de respecterles contraintes du systme,puis sur la proposition dunenouvelle solution avec mo-teur lectrique.Chacune des deux articula-tions et assurant ledploiement du rflecteurest constitue : dune ferrure principale

lie la structure du sa-tellite,

dune ferrure lie au r-flecteur (la liaison m-canique entre les deux

M

effortpresseur

rotulerflecteurdFplateau rotule M

dNplateau rotuledTplateau rotule

Dessin de larticulation avec rgulateur

D1 D2



ferrures est soit une liaison rotule pour soit une linaire annulaire pour),

dune bute ajustable avec dtecteur, dun systme de verrouillage, dun ressort hlicodal pour motoriser le dploiement.On appelle la position angulaire du rflecteur autour de laxe et la posi-tion du ressort au repos. Les ressorts exercent un couple moteur sur la ferrurerflecteur : o reprsente la raideur en torsion dun res-sort.La rgulation de la vitesse de dploiement est assure par un rgulateur centri-fuge, fix la ferrure principale et actionn par un cble inextensible reli unepoulie solidaire de la ferrure rflecteur. Ce rgulateur est constitu dun multi-plicateur de vitesse engrenages avec 2 tages identiques. Le dernier tage en-trane en rotation un frein centrifuge, constitu de deux patins de formecylindrique qui sous leffet des forces centrifuges sont plaqus contre le corps durgulateur, exerant ainsi un couple de freinage, qui peut tre modlis de faonsimplifie dans la plage de vitesse concerne, par :

avec vitesse de rotation du frein autour de laxe

et

Le rle du rgulateur est dviter les chocs en fin de course qui pourraient pro-voquer des dformations permanentes incompatibles avec la prcision de poin-tage requise pour lantenne. La vitesse de rotation du rflecteur en fin dedploiement est ainsi limite .

D2D1

Y 0

Cm K 0( ) y= K 2

f f f y= f D y,( )

f 10 4 Nm s( )=

0 5 s,



Donnes :Angle de dploiement :

Rapport de multiplication de chaque tage du multiplicateur de vitesse :

Rayon de poulie rflecteur :

Rayon de poulie rgulateur :

Moment dinertie de lensemble mobile (rflecteur, les deux ferrures lies au

rflecteur et poulie) autour de laxe de dploiement :

Moment dinertie de laxe dentre du rgulateur autour de laxe :

D

ferrureprincipale

poulie

rflecteur

rgulateur centrifuge

frein centrifuge

patin de frein

ferrure de rflecteur

cble

Multiplicateur devitesse

Y

X

ressort moteur

poulie

rgulateur

A

B

C

Ressort de rappel du

frein

65=

k1 k2 6= =

Rf 30 cm=

Rg 10 cm=

A y,( )Jref 12 kg m

2=

B y,( ) J1 92 kg cm2=



tant donn le fonctionnement en orbite gostationnaire, le poids des picessera videmment nglig.Q.23 - Justifier la prsence du multiplicateur de vitesse.Q.24 - Dterminer lexpression littrale de lquation diffrentielle dumouvement en . Prciser la mthode de mise en quation retenue, rcapitulertoutes les hypothses et formuler si ncessaire des hypothsescomplmentaires.

Une simulation numrique a permis dtablir les courbes ci-dessus qui reprsen-tent la solution de lquation diffrentielle de la position angulaire du r-flecteur pour et pour quatre valeurs diffrentes de la raideur duressort moteur.Q.25 - Justifier lallure de la courbe de la position angulaire du rflecteur enfonction du temps partir de lordre de lquation diffrentielle. Dterminer

Moment dinertie de laxe intermdiaire du rgulateur autour de laxe

:

Moment dinertie de la partie mobile du frein centrifuge autour de laxe

C y,( )J2 70 kg cm

2=

D y,( )J frein 55 kg cm

2=

120

100

80

60

40

20

0

-200 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

K = 0,02 Nm/K = 0,015 Nm/K = 0,01 Nm/

K = 0,005 Nm/

temps en s

Position angulaire du rflecteur en

Vitesse angulaire en1,41,2

1,0

0,6

0,4

0,2

0

-0,20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

temps en s

Vitesse angulaire en /s

0,8

K = 0,02 Nm/

K = 0,015 Nm/

K = 0,01 Nm/

K = 0,005 Nm/

0 100= K



lasymptote et justifier par un calcul numrique que la courbe de rponse nedpasse pas lasymptote pour les quatre raideurs de ressort proposes.Q.26 - Choisir la raideur du ressort qui convient le mieux et dterminer letemps de dploiement.Le contrle de la vitesse par rgulateur centrifuge peut sembler dune technologie obsolte sachant que les satellites Tlcom 2 ont t lancs au dbut des annes

. On se propose de prparer une argumentation justifiant lintrt de ltudedune nouvelle solution avec moteur lectrique courant continu.Q.27 - Pour la solution avecrgulateur centrifuge, reprsenterlquation diffrentielle de la positionangulaire du rflecteur sous formedun schma bloc comme ci-contre : Indiquer la fonction de transfert dansle domaine de Laplace et la signification physique de chaque bloc , ainsique le nom des variables intermdiaires.Q.28 - Rdiger une argumentation pour dfendre la faisabilit dune solutionavec moteur lectrique courant continu en gardant les contraintes imposesen fin de dploiement. La solution devra tre prsente partir dun schmabloc prcisant les diffrents constituants ncessaires et la (ou les) boucle(s)dasservissement retenue(s). La prsence de chaque constituant sera justifieainsi que le choix de la ou des boucles dasservissement. Le candidat pourraproposer une consigne sous forme de chronogramme permettant de diminuer letemps de dploiement tout en respectant la vitesse maximale en fin dedploiement. La solution retenue devra privilgier le gain de masse, sachantque la masse de la solution actuelle (ressort et rgulateur centrifuge) est de

environ. Le candidat pourra pour cela sappuyer sur larchitecture et lesordres de grandeur des systmes tudis au cours des travaux pratiques.

FIN

90

H1 p( ) H2 p( )

H3 p( )

0

Hi p( )

800 g

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