CEM 4042: Campos

Electromagnéticos

Instructor: Ing. Héctor C. Vergara V.

Profesor de Facultad de Ingeniería Mecánica

Centro Regional de Azuero

Universidad Tecnológica de Panamá

Móvil: (507) 6677-5920, email: hector.vergara@utp.ac.pa

Libro de Texto:

M.N.O. Sadiku, Elementos de Electromagnetismo 5th ed. Oxford University Press, 2011.

Lectura Auxiliar:

H.M. Shey, Div Grad Curl and all that: an informal text on vector calculus, 4th ed. Norton Press, 2005.

Todas las figuras son tomadas del libro de texto principal a menos que se diga lo contrario

Cap. 1, 2:Revisión Esencial de Matemática

Ecuaciones de Maxwell dependientes del Tiempo

• Fue James Clark Maxwell que coloco todo junto y redujo la teoría del campoelectromagnético en 4 simples ecuaciones. Fue solo a través del descubrimientode las ondas electromagnéticas fueron descubiertos y la teoría de la luz se hadesarrollado. Las ecuaciones de Maxwell se le atribuye el descubrimientocompletamente del campo electromagnético (ya sea estática o dinámica) seescribe como:

Forma Diferencial Forma Integral

Ley de Gauss

La inexistencia del monopolo magnético

Ley de Faraday

Ley circuital de Ampere

Cap. 1:Análisis Vectorial

Escalares y Vectores

Vector Unitario

Adición y sustracción de Vectores

Multiplicación de vectores

Componentes de un vector

Vectores y Escalares• Escalar: Cantidad definida solamente por su magnitud.

Tensor de Grado 0• Velocidad: 4 m/s

• Carga Eléctrica: 3 Coulomb

• Capacitancia: 5 Faradios.

• Vector: Cantidad definida por magnitud, dirección en el espacio y sentido. Tensor de Grado 1

• Fuerza: 𝐹 = 3 𝑥 + 5 𝑦 + 4 𝑧 𝑁

• Campo: Es una función que especifica una cantidad particular en cualquier parte de una región.

• Campo Eléctrico (Campo Vectorial): 𝐸 =𝑘𝑞

𝑟2 𝑟 𝑁/𝐶

• Voltaje (Campo Escalar): 𝑉 =𝑘𝑞

𝑟𝑉

Vectores Unitario• Un vector A posee tanto magnitud

y dirección.

• La magnitud de A es un escalar, elcual se escribe 𝑨 .

• Un vector unitario 𝑎𝐴a lo largo deA es un vector cuya magnitudequivale a la unidad (es decir, 1) ycuya dirección sigue la dirección

de A, esto es 𝑎𝐴 =𝑨

𝑨

Adición y sustracción de Vectores• Dos vectores, 𝑨 y 𝑩 pueden sumarse para dar otro vector 𝑪

• Se podrán utilizar las siguientes leyes básicas del algebra aplicados a vectores:

Conmutativa

Asociativa

Distributiva

Adición Multiplicación

Vectores de Posición y de Distancia• Los vectores pueden se usados para definir distancia entre dos puntos en

un sistema de coordenadas o entre una línea y un plano con un sistema decoordenadas.

• Si tiene dos puntos 𝑃 y 𝑄, se puede encontrar la distancia entre estos es el vector, 𝑟

Multiplicación de vectores: Producto Punto• Dos vectores 𝐴 y 𝐵, pueden ser multiplicados para generar un tercer vector 𝐶.

• Producto Escalar

• Producto Vectorial

• Triple Producto Escalar

• Triple Producto Vectorial

• Se podrán utilizar las siguientes leyes básicas del algebra aplicados a el productopunto (Producto escalar)

Nota: Cuando los vectores son ortogonales (perpendiculares) el producto punto se multiplicanpor un valor de coseno igual a cero.

Cuando los vectores son paralelos el producto punto se multiplica por un valor de coseno de 1

Conmutativa

Asociativa

Multiplicación de vectores: Producto Cruz• Se podrán utilizar las siguientes leyes básicas del algebra aplicados a el producto

cruz (Producto vectorial)

Nota: Cuando los vectores son ortogonales el producto cruz se multiplican por un valor deseno igual a 1

Anti-Conmutativa

No Asociativa

Distributiva

Triple producto Escalar

Triple producto Vectorial

Componentes de un Vector• Se tienen dos vectores 𝐴 y 𝐵, se puede encontrar directamente la componente

escalar de 𝐴 sobre 𝐵:

Este producto escalar se conoce como la proyección (o componente) 𝐴 a lo largo de la dirección 𝑎𝐵

• La componente del vector 𝐴 a lo largo de 𝐵 es simplemente una componenteescalar multiplicada por el vector unitario a lo largo de 𝐵

• Se puede encontrar el angulo entre 𝐴 y 𝐵 usando el producto punto y elproducto cruz

Cap. 2:Sistemas de coordenadas y su

transformación

Coordenadas cartesianas

Coordenadas cilíndricas circulares

Coordenadas Esféricas

Superficies de coordenadas constantes

Coordenadas Cartesianas• El sistema de coordenadas cartesianas están representadas por 𝑥, 𝑦, 𝑧 que son

tres vectores ortogonales en líneas rectas que se intersectan en un simple punto(el origen)

• El vector 𝐴 en este sistemas de coordenadas puede ser escrito

Coordenadas Cilíndricas• El sistema de coordenadas cilíndricas están

representadas por 𝜌, ∅, 𝑧 que son tres vectoresortogonales.

• El vector 𝐴 en este sistemas de coordenadas puedeser escrito

• Donde las siguientes ecuaciones pueden ser usadaspara convertir entre sistemas de coordenadascartesianas y cilíndricas.

Matriz de transformación: Cartesianas y Cilíndricas.

Coordenadas Esféricas• El sistema de coordenadas cilíndricas están

representadas por 𝑟, 𝜃, ∅ que son tres vectoresortogonales que emanan o giran en torno al origen

• El vector 𝐴 en este sistemas de coordenadaspuede ser escrito

• Donde las siguientes ecuaciones pueden serusadas para convertir entre sistemas decoordenadas cartesianas y esféricas

0 ≤ 𝑟 < ∞0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋0 ≤ ∅ < 2𝜋

Matriz de transformación: Cartesianas y Esféricas.

Ejemplos de Sistemas de coordenadas

1. Exprese el vector 𝐴 = 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑦 − 𝑥 𝑦 + 𝑧 𝑧 en coordenadas esférica

2. Un campo vectorial en variables de coordenadas “mixtas” está

dada por 𝐺 =𝑥 𝑐𝑜𝑠∅

𝜌 𝑥 +

2𝑦𝑧

𝜌2 𝑦 + 1 −

𝑥2

𝜌2 𝑧, Exprese G

únicamente en coordenadas esféricas

3. Exprese los vectores siguientes en el sistema cartesiano y evalúelo en el P(3, π/4,-5):

𝐴 = 𝜌2𝑧2𝑐𝑜𝑠2∅ 𝑠𝑒𝑛∅ + 𝜌𝑧 𝑠𝑒𝑛2∅ 𝝆

+ 𝜌𝑧𝑠𝑒𝑛 ∅ cos ∅ − 𝜌2𝑧2 cos ∅ 𝑠𝑒𝑛2∅ ∅+ 𝜌2𝑠𝑒𝑛 ∅ cos ∅ 𝒛