数理逻辑-课程简介

马 帅

北航计算机学院

13701068603

dfma@buaa.edu.cn

马 帅 计算机学院

mashuai@buaa.edu.cn

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2 计算机学院 2

个人简介

北京航空航天大学(目前)

• 计算机学院，教授

• 计算机学院新技术研究所(ACT)开展工作

爱丁堡大学(2005年-2010年)

• 信息学院，博士/博士后

• 从事数据质量和图数据管理的理论与应用研究

北京大学(2001年-2004年)

• 信息科学技术学院，博士

• 从事数据挖掘在移动环境中的理论与应用研究

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3 计算机学院 3

ACT教师队伍

怀进鹏教授 马殿富教授 刘旭东教授 樊文飞教授

韩军教授 李欢副教授 胡春明副教授

林学练博士

张日崇副教授 孙海龙副教授 李建欣副教授

沃天宇副教授

赵永望博士

徐洁教授 马帅教授

李博博士 邓婷博士

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什么是逻辑？ 逻辑示例

• 有2个红色帽子，3个黑色帽子。

• 三个人站成一纵队，各戴一顶帽子，每人仅能看到前面人帽子颜色。

• 问？ –第三个人帽子颜色？

» 回答：不知道！

–第二个人帽子颜色？ » 回答：不知道！

–第一个人帽子颜色？ » 回答：知道！

• 第一个人帽子颜色是什么？为什么？

第一个人推理： • 如果第一人和第二人都是红色

帽子，则第三人知道自己帽子颜色为黑色。

• 因为第三人不知道自己帽子颜色为黑色，所以，第一人和第二人不都是红色帽子。

• 如果第一是红色帽子，则第二人知道自己帽子颜色为黑色。

• 因为第二人不知道自己帽子颜色为黑色，所以，第一不是红色帽子。

• 第一是黑色帽子。

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数理逻辑是什么？

狭义数理逻辑

• 用数学方法研究数学中演绎思维和数学基础的学科。

广义数理逻辑

• 用特制符号和数学方法来研究处理演绎方法的理论。

狭义数理逻辑包括五个部分

• 逻辑演算

• 模型论

• 集合论

• 递归论

• 证明论

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数理逻辑的主要内容

数理逻辑可分成五大部分

• 逻辑演算

• 公理集合论

• 证明论

• 递归函数论

• 模型论

公理集合论、证明论、递归函数论和模型论都以逻辑演算(命题演算和谓题演算)为基础。

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为什么学习数理逻辑？

理论基础

• 集合论、图论、代数系统、形式语言与自动机理论

硬件基础

• 数字逻辑、计算机组成原理

软件基础

• 软件证明、软件验证

理论基础、硬件基础和软件基础能否用数理逻辑方法建立？

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理论基础—图论

G=<V,E>

• 其中，V是顶点集合，E是边的集合。

• 图的性质

Social networks are graphs • The nodes are the people and groups

• The links/edges show relationships or flows between the nodes.

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理论基础—群论（专用公理）

设G是一个非空集合，∘是它的—个代数运算，如果满足以下条件：

• 结合律： xyz((x∘y)∘z=x∘(y∘z))

• 单位元：x ((x∘e=x)(e∘x=x))

• 逆元： xy((x∘y = e)(y∘x = e))

则称G对代数运算，作成一个群。

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理论基础—形式语言与自动机理论

形式文法

• 乔姆斯基文法

形式语言

• 正则语言

• 上下文无关语言

• 上下文有关语言

自动机理论

• 有穷自动机

• 下推自动机

• 图灵机

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硬件基础

数理逻辑

• 建立逻辑描述的方法和能力，包括布尔逻辑及其变换、真值表的逻辑表示以及逻辑范式表示

数字逻辑与数字部件设计

• 数理逻辑是组合逻辑与时序逻辑原理基础

• 基于MIPS指令集，设计寄存器、加法器、移位器、控制器、多路选择器、计数器、比较器

计算机组成原理

• 基于MIPS指令集，指令周期、数据通路、系统控制

• 在部件设计基础上，实现计算机硬件系统设计

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1 1

0 1

1 0

0 0

1 1 1 0

1 1 0 1

1 0 1 1

0 1 1 1

Y0 Y1 Y2 Y3 A B

Y0=AB Y1=AB

Y2=AB Y3=AB

B

A

Y3

Y2

Y1

Y0

数字逻辑-地址译码器

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硬件基础

建立数据通路

设计控制逻辑

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软件基础

基于公理证明

• 系统描述是一组公式集合Γ，规范是一个公式σ，

• 证明Γ├ σ是否成立？

基于模型检测

• 系统描述逻辑模型M 表示，规范是一个公式σ，

• 检测M ╞ σ是否成立？

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软件基础

在1966年，G.Jaccopini和C.Bohm证明

• 任何程序逻辑可用顺序、选择和循环等三种结构来表示

软件规范： {φ}S{ψ}

软件功能与结构

• 功能：φ(x) ψ(x,z)

• 结构：

–φi(x) ψi(x,z)

–=、if then else 、while

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软件基础—软件证明与验证 Hoare定义了一条赋值公理和四条推理规则：

赋值公理：

• {P(x, g(x,y))}y←g(x,y){P(x,y)}

条件规则:

• {PR}F1{Q},{PR}F2{Q}{P}if R then F1 elese F2 {Q} 或

• {PR}F1{Q},{PR}F2{Q}{P}if R do F1

while规则

• PI,{IR}F1{Q}, (PR) Q{P}while R do F {Q}

并置规则

• {P}F1{R}, {R}F2{Q}{P}F1; F2{Q}

结论规则：

• PR, {R}F{Q}{P}F{Q}

• {P}F{R}, RQ{P}F{Q}

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软件基础—软件测试定理 Γ├ σ是半可判定问题

• Γ是软件形式表示

• σ软件测试错误

如果Γ├ σ成立，则有算法建立证明序列A1,…,An， An= σ，并且

• (1) Ai Ak

• (2) AiΓ；

• (3) 有j,k<i,Ak=AjAi由Ak,Aj用MP规则推出。

• (4) 有j<i,使Ai=xAj由用UG规则推出。

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软件规约的形式化方法 Z语言、B语言、SAZ、TASM、TLA+、LOTOS

EVENT B、VHDL、Estelle、SDL、E-LOTOS

CASL、Coq

机载软件

• Do178B/C

Common Criteria (2006)

Common Criteria

Requirements Functional Specification

HLD LLD Implementation

EAL 1 Informal Informal Informal Informal Informal

EAL 2 Informal Informal Informal Informal Informal

EAL 3 Informal Informal Informal Informal Informal

EAL 4 Informal Informal Informal Informal Informal

EAL 5 Formal Semiformal Semiformal Informal Informal

EAL 6 Formal Semiformal Semiformal Semiformal Informal

EAL 7 Formal Formal Formal Semiformal Informal

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结论

数理逻辑是计算机专业的理论基础；

• 集合论、图论、代数系统、形式语言与自动机理论

• 数字逻辑、计算机组成原理

数理逻辑是重要的理论工具

• 建立逻辑形式系统，严格地建立理论体系。

• 数字逻辑、计算机组成系统设计

• 软件可靠性与安全性证明与验证

• 安全攸关软件设计

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课程的性质、目的和任务 介绍命题逻辑、谓词逻辑等数理逻辑的基础知识，是计

算机科学的理论基础。

通过学习，掌握数理逻辑的基本内容，认识形式化方法，熟练地进行形式推演，掌握公理系统的可靠性，对完全性有一定的认识，熟练归结法并将该方法应用于解决一些简单实际问题。

是一门理论性较强的课程，在教学过程中，要求完成一定数量的作业，以便消化课内涉及的相关知识点和概念。

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课时分配（3学分/48学时） 第零节 课程简介（1~2学时）

第一章 命题逻辑（12~14学时）

• 命题与联结词、 公式与真值赋值

• 等值演算、 对偶定理

• 联结词的完全集、 范式

• 逻辑推论

第二章 谓词逻辑（12~14学时）

• 谓词和量词、项和公式

• 解释和赋值、永真式

• 等值演算、逻辑推论

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课时分配（3学分/48学时） 第三章 公理系统（10学时）

• 命题逻辑的公理系统

• 谓词逻辑的公理系统

第四章 归结法原理（10学时）

• 命题逻辑的归结法

• 前束范式与斯科伦范式

• 谓词逻辑的归结法

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考核方式 30%：平时上课、作业成绩

70%：考试成绩

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教材

尹宝林,何自强,许光汉,檀凤琴等， 高等教育出版社，2004

耿素云，屈婉玲，王扞贫 编著 北京大学出版社，2004

参考教材

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助教（美女）

王莹 新主楼G501

wangying13@act.buaa.edu.cn

李佳 新主楼G501

lijia@act.buaa.edu.cn

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幻灯片的来源 主要是老院长马殿富老师以前的主讲材料

选课代表（自愿-给助教或者我发email？）

• 反馈讲课方式/方法:可以提问题，可以提建议

• 反馈课程内容:作业，以及其他特殊问题？

• 反馈其他生活、学习等方面的问题

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联系方式 办公室：主校区新主楼G1122

mashuai@buaa.edu.cn；mashuai@act.buaa.edu.cn

个人主页：http://mashuai.buaa.edu.cn

课程主页：http://mashuai.buaa.edu.cn/teaching.html