Verhóczki László

Projektív Geometria

ELTE TTK Matematikai IntézetGeometriai Tanszék

Budapest, 2010

1) A projektív tér értelmezése. A projektív sík koordinátázása

A projekció szó vetítést jelent. A térbeli alakzatok síkon történő ábrázolásához kézenfekvővagy a parallel vetítés vagy a centrális vetítés módszerét alkalmazni. Mint ismeretes, azemberi szem által a térbeli tárgyakról alkotott kép a centrális vetületnek felel meg. Ilymódon főként a festészet és az építészet számára már évszázadokkal ezelőtt szükségesnekmutatkozott a centrális vetítés törvényszerűségeinek feltárása. A centrális vetítés összefüg-géseinek tanulmányozása egy matematikai elmélet, a projektív geometria, kialakulásáhozvezetett.

Jelölések és elnevezések

Tárgyalásunkat az euklideszi geometriára alapozva végezzük. Jelölje X az euklideszi térpontjainak halmazát. Mint ismeretes, az X részhalmazait alakzatoknak mondjuk. Azegyenesek és a síkok kitüntetett alakzatok. A pontokat, egyeneseket és síkokat együttesentérelemeknek hívjuk. A térelemek illeszkedését a tartalmazás alapján értelmezzük. Atovábbiakban az euklideszi tér összes egyenesének halmazát E , az összes sík halmazátpedig S jelöli.

Ha A és B különböző pontok, 〈A,B 〉 fogja jelölni azt az egyenest, amely az A–n ésa B–n egyaránt áthalad. Amennyiben az A pont nem illeszkedik az e egyeneshez, 〈 e, A 〉jelöli azt a síkot, amely tartalmazza az A pontot és az e egyenest.

Az alábbi definíció az egyazon pontra illeszkedő egyenesek, illetve síkok összességéread egy–egy elnevezést.1.1. Definíció. Legyen T az euklideszi tér egy tetszőleges pontja. A T–n áthaladóegyenesek E(T ) = { g ∈ E | T ∈ g } összességét sugárnyalábnak nevezzük. A T pontotezen sugárnyaláb tartópontjának mondjuk.A T ponthoz illeszkedő síkok S(T ) = { µ∈S | T ∈µ } összességét síknyalábnak mondjuk.A T pontot ezen síknyaláb tartópontjának hívjuk.

1.2. Definíció. Legyen adva egy σ sík és egy arra eső T pont. A σ síkra és a T pontraegyaránt illeszkedő egyenesek E(σ, T ) = { g ∈ E | g ⊂ σ, T ∈ g } halmazát sugársornaknevezzük.

Ismeretes, hogy az euklideszi tér egyenesei között értelmezett párhuzamosság egy ekvi-valenciareláció. Soroljuk egyazon osztályba az euklideszi tér egymással páhuzamos egye-neseit (illetve síkjait). Egy tetszőleges g egyenest tekintve E(g) = { h∈E | g ‖ h } adjaa g–vel reprezentált párhuzamos egyenesosztályt.

A centrális vetítés problémája

Könnyű belátni, hogy a centrális vetítés, a parallel vetítéstől eltérően, két sík között nemnyújt bijektív megfeleltetést.

Az euklideszi térben tekintsük az egymást metsző σ és ̺ síkokat, továbbá egy C pontot,amely nincs rajta sem a σ, sem pedig a ̺ síkon. A σ síkot képezzük rá a ̺ síkra olymódon, hogy a σ egy P pontjához a 〈C,P 〉 egyenes és a ̺ metszéspontját rendeljük. AP ′ = 〈C,P 〉∩̺ pontot nevezzük a P centrális vetületének. A fenti hozzárendelést a σ és a̺ síkok közötti azon centrális vetítésnek mondjuk, amelynél a C pont a vetítési centruma.

1

Tekintsük a C–n átmenő, a ̺–val párhuzamos τ síkot és annak a σ–val vett q metszés-vonalát. Válasszunk a q egyenesen egy tetszőleges Q pontot. Evidens, hogy a t = 〈C,Q 〉egyenes párhuzamos a ̺ síkkal, tehát a Q–hoz nem tudunk képpontot rendelni. Ebbőlmár adódik, hogy a centrális vetítés nem ad bijektív megfeleltetést a σ és ̺ síkok között.

Vegyünk a σ síkban egy olyan a (a 6= q) egyenest, amely áthalad Q–n. Az a egyenesés a C pont által meghatározott 〈 a, C 〉 sík messe el ̺–t az a′ egyenesben. Nyilvánvaló,hogy az a pontjainak a ̺ síkon vett centrális vetületei az a′ egyenesre esnek. Emiattaz a′ egyenes adja az a centrális vetületét. Amennyiben az a–ra illeszkedő P ponttalközelítünk a Q–hoz, akkor az a′ egyenesen a P ′ képpont egyre távolabbra kerül a σ ∩ ̺

metszésvonaltól.Célszerű még megjegyezni, hogy mivel az 〈 a, C 〉 sík tartalmazza a ̺–val párhuzamos

t = 〈C,Q 〉 egyenest, az a′ és t párhuzamosak egymással. Ez a párhuzamosság fennállaz összes Q–n áthaladó σ–beli egyenes centrális vetületére (a q egyenes kivételével). Ilymódon azt mondhatjuk, hogy a centrális vetítés az E(σ,Q) sugársor egyeneseit a ̺ képsíkegymással párhuzamos egyeneseibe képezi.

1. ábra. A σ sík centrális vetítése a ̺ síkra.

A centrális vetítésnél felvetődő probléma az alábbi ötletet adja: Az euklideszi teretbővítsük ki további pontokkal oly módon, hogy minden egyeneshez hozzárendelünk mégegy úgynevezett végtelen távoli pontot (vagy más szóval ideális pontot). Az egymás-sal párhuzamos egyenesekhez ugyanazt a végtelen távoli pontot csatoljuk. Ekkor a fentivetítésnél a t = 〈C,Q〉 egyenessel párhuzamos egyenesek közös végtelen távoli pontja lesza Q pont centrális vetülete a ̺ síkon. Ily módon el tudjuk érni, hogy a centrális vetítés akibővített síkok között már egy bijektív, egyenestartó megfeleltetést adjon.

2

A projektív tér származtatása az euklideszi térből

A projektív teret az euklideszi tér kibővítéseként értelmezzük az alábbiak szerint.Az euklideszi tér összes párhuzamos egyenesosztályához rendeljünk hozzá egy–egy

ideális pontot (vagy más szóval végtelen távoli pontot). A g egyenessel reprezentált E(g)párhuzamos egyenesosztályhoz rendelt ideális pontot jelölje Ig. Amennyiben a h egyenespárhuzamos g–vel, azaz fennáll E(h) = E(g), akkor Ih = Ig teljesül.

Különböző párhuzamos egyenesosztályokhoz különböző ideális pontokat rendelünk.Eszerint ha fennáll E(g) 6= E(f), akkor Ig 6= If .

Az így definiált ideális pontok halmaza legyen ι. Az euklideszi térből származtatottprojektív tér pontjainak halmazán az X = X ∪ ι halmazt értjük.

Tetszőleges E(g) párhuzamos egyenesosztály minden egyenesét bővítsük ki az egyene-sosztályhoz rendelt Ig ideális ponttal. A bővítéssel nyert egyeneseket projektív egyene-seknek mondjuk. A g (g∈E) által meghatározott projektív egyenest a megkülönböztetéscéljából g–vel fogjuk jelölni. Ezen bővítés műveleti kifejezése: g = g ∪ {Ig}.

Az euklideszi tér egy tetszőleges σ síkját a σ–beli egyenesekhez rendelt ideális pontokkalbővítjük. Ezen pontok iσ = { Ig | g ⊂ σ } halmazát a projektív tér egyik ideálisegyenesének tekintjük. A σ kibővítésével nyert síkot projektív síknak nevezzük és σ–valjelöljük. A sík bővítésének műveleti kifejezése: σ = σ ∪ iσ.

Nyilvánvaló, hogy amennyiben a σ és µ síkok egymással párhuzamosak, akkor fennálliσ = iµ. Ily módon az euklideszi tér összes párhuzamos síkosztályának megfelel egy–egyideális egyenes.

A bővítés során vett ideális pontok ι halmazát a projektív tér egyik síkjának tekintjük.Ezt a továbbiakban a tér ideális síkjának mondjuk. Evidens, hogy ι a projektív tér összesideális egyenesét tartalmazza.

A megkülönböztetés érdekében az X–beli (azaz a nem ideális) pontokat közönségespontoknak hívjuk, továbbá a projektív tér nem ideális egyeneseit (illetve a ι–tól különbözősíkjait) közönséges egyeneseknek (illetve közönséges síkoknak) nevezzük.

A tartalmazás alapján a projektív tér pontjai, egyenesei és síkjai között is értelmeznitudjuk az illeszkedési relációt. Például, egy projektív egyenesről akkor mondjuk, hogyilleszkedik egy adott projektív síkhoz, ha a sík tartalmazza az egyenest. Egy pont akkorilleszkedik egy egyeneshez vagy egy síkhoz, ha annak az egyik eleme.

1.1. Tétel. A projektív térben az illeszkedésre vonatkozóan igazak az alábbi kijelentések.(1) Két ponthoz egy és csak egy egyenes illeszkedik.(2) Két síkhoz egy és csak egy egyenes illeszkedik.(3) Ha adott egy egyenes és egy hozzá nem illeszkedő sík, akkor az egyenes és a síkmetszete egyetlen pont.(4) Ha két egyenes egyazon síkhoz illeszkedik, akkor a két egyenesnek van egy közöspontja.

Megjegyzés. Az 1.1. Tétel (3) kijelentéséből adódóan két projektív sík között a centrálisvetítés már egy bijekív megfeleltetést létesít, amely egyben egyenestartó is.

Megjegyzés. A síkbeli centrális vetítés módszerével egy bijektív megfeleltetést lehetkapni egy kör pontjai és egy projektív egyenes pontjai között. (A kör egyik pontját kell a

3

vetítés centrumának választani.) Ez a tény arra mutat rá, hogy a projektív egyenes egyzáródó, körszerű alakzat.

Megjegyzés. A legtöbb szakkönyvben a projektív tér egyeneseit (akárcsak az euklideszitér egyeneseit) latin kisbetűkkel jelölik, a felülvonás jelet nem használják.

Bijektív megfeleltetés egy projektív sík pontjai és egy sugárnyaláb egyenesei között

A továbbiakban feltesszük, hogy a térben adva van egy σ projektív sík, amelyet a σ euk-lideszi sík kibővítésével nyertünk (σ = σ ∪ iσ). A projektív sík koordinátázása érdekébenmost rámutatunk arra, hogy egy természetes kapcsolatot lehet létesíteni a σ projektív síkés az euklideszi tér egy nyalábja között.

Legyen T egy olyan közönséges pont, amely nincs rajta a σ projektív síkon. Az euk-lideszi térben vett E(T ) sugárnyaláb minden egyeneséhez hozzá tudunk rendelni egy σ–belipontot az alábbiak szerint:

Ha g az E(T ) sugárnyaláb egy olyan egyenese, amely nem párhuzamos a σ–val, akkorg–hez a P = g ∩ σ pontot rendeljük.

Amennyiben h az E(T ) sugárnyaláb egy olyan egyenese, amely párhuzamos a σ síkkal,akkor h–hoz az E(h) párhuzamos egyenesosztálynak megfelelő Ih ideális pontot rendeljük,amely rajta van a σ kibővített síkon. Evidens, hogy az Ih pont éppen a h projektív egyenesés a σ projektív sík metszéspontja.

Könnyű belátni, hogy a fenti hozzárendelés egy bijekciót létesít az E(T ) sugárnyalábegyenesei és a σ sík pontjai között.

Az S(T ) síknyaláb síkjai és a σ projektív sík egyenesei között is adódik egy bijektívmegfeleltetés az alábbi módon:

Amennyiben a T–hez illeszkedő ε sík nem párhuzamos σ–val, akkor tekintsük az e =ε ∩ σ egyenest, és ε–hoz rendeljük hozzá az e projektív egyenest.

A T–t tartalmazó és a σ–val párhuzamos µ síknak pedig feleltessük meg az iσ ideálisegyenest.

A projektív sík koordinátázása

A σ euklideszi síkon rögzítsünk egy (O, i, j) derékszögű koordináta–rendszert. Mint is-meretes, egy σ–beli P pont esetén a helyvektor

−→OP = xP i + yP j kifejezésében szereplő

együtthatókat mondjuk a P síkbeli koordinátáinak. Ezáltal a σ sík egy κ : σ → R2

koordinátázásához jutunk, ahol a κ bijektív leképezést a κ(P ) = (xP , yP ) összefüggésselértelmezzük.

A σ = σ ∪ iσ projektív síkot úgy koordinátázzuk, hogy ahhoz a fenti Descartes–féle koordináta–rendszert vesszük alapul. Legyen k a σ–beli i, j ortonormált vektorokvektoriális szorzata, azaz legyen k = i × j.

Az i, j, k vektorok a szabad vektorok V terének egy ortonormált bázisát képezik,amelyet a továbbiakban rögzítettnek tekintünk. Vegyük az euklideszi térben azt a T

pontot, amellyel fennáll a−→TO = k egyenlőség.

A fentiek szerint a σ sík pontjai és az E(T ) sugárnyaláb egyenesei között természetesmódon adódik egy bijektív megfeleltetés.

4

2. ábra. A σ projektív sík koordinátázása a meghatározó vektorok alkalmazásával.

Elsőként a közönséges pontok meghatározó vektorait és homogén koordinátáit definiáljuk.1.3. Definíció. Egy P ∈ σ közönséges pont meghatározó vektorain a 〈T, P 〉 egyenesirányvektorait értjük. Ezen meghatározó vektoroknak az i, j, k bázisra vonatkozó koordináta–hármasait mondjuk a P pont homogén koordinátáinak.

Vegyük a−→TP = xP i + yP j + k vektort. A 〈T, P 〉 egyenes irányvektorai éppen a

λ ·−→TP (λ ∈ R, λ 6= 0) vektorok. Ebből adódóan a P pont homogén koordinátái mege-

gyeznek a [λ xP , λ yP , λ] (λ∈R, λ 6= 0) számhármasokkal.Fontos tény, hogy a meghatározó vektorok és a homogén koordináták csak szám-

szorzótól eltekintve egyértelműek. Ezt abban a formában is jelezzük, hogy a homogénkoordinátákat szögletes zárójelbe tesszük.

Megjegyzés. Tegyük fel, hogy egy P ∈σ közönséges pontnak az [x1, x2, x3] számhármasaz egyik homogén koordináta–hármasa. A fentiek alapján evidens, hogy x3 6= 0 teljesül.Azt is könnyű belátni, hogy ekkor a P derékszögű koordinátái (a σ euklideszi sík (O, i, j)Descartes–féle koordináta–rendszerében) megegyeznek az

xP =x1

x3

, yP =x2

x3

hányadosokkal.

1.4. Definíció. Egy σ–beli e egyeneshez tartozó Ie ideális pont meghatározó vektorainaz e egyenes irányvektorait értjük. A meghatározó vektorok koordináta–hármasait az Ie

ideális pont homogén koordinátáinak nevezzük.

Az e egyenessel párhuzamos v vektort fejezzük ki az i, j, k bázisvektorok lineáriskombinációjaként: v = v1 i + v2 j + 0k. A fenti definíció szerint az Ie pont homogénkoordinátái a [λ v1, λ v2, 0] (λ∈R, λ 6= 0) számhármasok lesznek. A projektív sík ideálispontjainak a harmadik koordinátája tehát mindig 0.

5

A projektív síkon az egyenesek homogén koordinátáinak értelmezése

Emlékezzünk rá, hogy a σ projektív sík egyenesei és a S(T ) síknyaláb elemei között isvan egy bijektív megfeleltetés.1.5. Definíció. Egy σ–beli e (e 6= iσ) közönséges egyenesnél az 〈 e, T 〉 = ε euklideszisík normálvektorait mondjuk az e meghatározó vektorainak. Ezen vektoroknak az i, j, k

bázisra vonatkozó koordináta–hármasait az e egyenes homogén koordinátáinak nevezzük.

Tegyük fel, hogy adva van az e egyenes egy P (xP , yP ) pontja és egy σ–beli m = a i+b j

vektor, amely merőleges az e–re. A σ egy tetszőleges Q (x, y) pontja akkor van rajta aze egyenesen, ha az m és

−→PQ vektorok skaláris szorzatára m ·

−→PQ = 0 teljesül, vagyis

ha fennáll a(x − xP ) + b(y − yP ) = 0. Eszerint az e egyenes egyenlete a síkbeli (O, i, j)koordináta–rendszerben a x + b y + c = 0, ahol c = −a xP − b yP . Vegyük még észre, hogya v = b i − a j vektor az egyik irányvektora az e egyenesnek.

Evidens, hogy az 〈 e, T 〉 síkkal párhuzamos−→TP és v vektorok vektoriális szorzata

merőleges az 〈 e, T 〉 síkra. Egyszerű számolással ezen n =−→TP × v normálvektorra az

n = a i + b j + ck kifejezést nyerjük. Ily módon az 1.5. Definíciónak megfelelően a[λ a, λ b, λ c] (λ∈R, λ 6= 0) számhármasok képezik az e egyenes homogén koordinátáit.

Megjegyzés. Amennyiben az e euklideszi egyenes egyenletébe a pontok homogén ko-ordinátáinak megfelelő hányadosait írjuk be, akkor az a

x1

x3

+ bx2

x3

+ c = 0 (x3 6= 0)

összefüggéshez jutunk. Az ebből nyert

a x1 + b x2 + c x3 = 0

egyenletet csak az e egyenes pontjainak homogén koordinátái elégítenek ki.

1.6. Definíció. Az iσ ideális egyenesnek korábban a T–n áthaladó és a σ–val párhuzamosµ síkot feleltettük meg. Az iσ–hoz rendeljük hozzá a µ sík normálvektorait, vagyis aλk (λ ∈ R, λ 6= 0) vektorokat. Ezek [0, 0, λ] koordináta–hármasait mondjuk az iσegyenes homogén koordinátáinak.

Megjegyzés. Fontosnak tartjuk ismételten hangsúlyozni, hogy a σ projektív sík pont-jaihoz és egyeneseihez rendelt meghatározó vektorok, illetőleg a homogén koordináta–hármasok csak számszorzótól eltekintve egyértelműek. Ha két vektor egymásnak szám-szorosa (és 0–tól különbözőek), akkor azoknak ugyanaz a pont, illetve ugyanaz az egyenes,felel meg a σ síkon.

Vegyük viszont észre, hogy a meghatározó vektorok egy bijektív megfeleltetést adnaka σ sík pontjai és a V vektortér 1–dimenziós alterei között.

A homogén koordinátákra vonatkozó alapvető állítások

A σ projektív síkon lévő P pont egyik meghatározó vektora legyen x = x1 i + x2 j + x3 k,

továbbá egy e (e ⊂ σ) egyenes egyik meghatározó vektora legyen u = u1 i + u2 j + u3 k.

Nyilvánvaló, hogy a P pont rajta van az e egyenesen akkor és csak akkor, ha az u, x

vektorok merőlegesek egymásra, vagyis ha a skaláris szorzatukra u ·x = 0 teljesül. Ennekkövetkeztében igaz az alábbi kijelentés.

6

1.1. Állítás. A σ projektív sík e egyenese és P pontja illeszkednek egymáshoz akkor éscsak akkor, ha a homogén koordinátáikra fennáll az u1 x1 +u2 x2 +u3 x3 = 0 összefüggés.

Megjegyzés. A fenti állítás szerint a homogén koordinátákra vonatkozóan azu1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0 egyenlet írja le az g egyenest .

Könnyen igazolni lehet az alábbi állításokat is.1.2. Állítás. A σ projektív sík P és Q (P 6= Q) pontjainak egy–egy meghatározó vektoralegyen x és y. Igaz a következő két kijelentés.(1) A 〈P,Q〉 összekötő egyenes pontjainak meghatározó vektorai előállnak a λx + µy

(λ, µ∈R, λ2 + µ2 > 0) alakban.(2) Az u = x × y vektor által meghatározott egyenes megegyezik a 〈P,Q〉 egyenessel.

1.3. Állítás. A σ projektív sík e, f (e 6= f) egyeneseinek egy–egy meghatározó vektoralegyen u és v. Ekkor igazak az alábbi kijelentések.(1) Az e∩ f metszéspontra illeszkedő σ–beli egyenesek meghatározó vektorai előállnak aλu + µv (λ, µ∈R, λ2 + µ2 > 0) alakban.(2) Az x = u × v vektorral vektor által meghatározott pont megegyezik az e ∩ f met-szésponttal.

Megjegyzés. Az 1.2. és 1.3. Állítások szerint a vektoriális szorzás módszerét alkal-mazva két pont homogén koordinátáiból megkapjuk az őket összekötő egyenes homogénkoordinátáit, illetve két egyenes homogén koordinátáiból kiszámolhatjuk a metszésponthomogén koordinátáit.

7

Centrálisan és tengelyesen perspektív háromszögek. Desargues tétele

Az egyszerűség kedvéért a továbbiakban a projektív egyeneseket felülhúzás nélkül jelöljük.A σ projektív síkon legyenek adva az A, B, C nem kollineáris pontok. Tekintsük az

A, B, C csúcspontokkal meghatározott ABC△ háromszöget. A szokásoknak megfelelőenezen háromszög oldalegyeneseire az a = 〈B,C〉, b = 〈C,A〉 és c = 〈A,B〉 jelölést alkalmaz-zuk. Fontosnak látszik kihangsúlyozni, hogy jelen esetben a, b és c projektív egyenesek.

Értelmezni lehet két háromszög centrális és tengelyes perspektivitásának a fogalmát.1.7. Definíció. A σ projektív síkban legyen adott két háromszög ABC△ és A′B′C ′△.Ezekről akkor mondjuk, hogy centrálisan perspektívek egymással, ha van a σ síkon olyanS pont, hogy az S, A, A′ pontok kollineárisak, az S, B, B′ pontok kollineárisak, továbbáaz S, C, C ′ pontok is kollineárisak.

1.8. Definíció. A két háromszögről akkor mondjuk, hogy tengelyesen perspektívekegymással, ha van a σ síkon olyan t egyenes, hogy a t, a, a′ egyeneseknek van közöspontja, a t, b, b′ egyeneseknek van közös pontja, továbbá a t, c, c′ egyeneseknek is vanközös pontja.

3. ábra. Perspektív háromszögek a projektív síkon.

Megjegyzés. Tekintsük most az általános esetet, amikor a σ síkon olyan ABC△ ésA′B′C ′△ háromszögek vannak adva, ahol a megfelelő csúcspontok és a megfelelő oldale-gyenesek páronként különbözőek. Ez esetben a két háromszög centrálisan perspektív, haa p = 〈A,A′ 〉, q = 〈B,B′ 〉, r = 〈C,C ′ 〉 egyenesek egyazon S ponthoz illeszkednek. Akét háromszög akkor lesz tengelyesen perspektív, ha az X = a∩a′, Y = b∩ b′, Z = c∩ c′

metszéspontok egyazon t egyenesre illeszkednek.

8

Az alábbi fontos eredményt Desargues tételeként szokás említeni. A tétel bizonyításaa csúcsok és az oldalegyenesek meghatározó vektorainak alkalmazásán alapul.1.2. Tétel. A projektív síkon vett két háromszög centrálisan perspektív egymással akkorés csak akkor, ha tengelyesen perspektívek.

A dualitás elve a projektív síkon

A projektív síkon a pontok és az egyenesek illeszkedésére vonatkozó állításokkal kapcso-latosan az alábbi észrevételt tehetjük:Legyen adva egy (korábban már bizonyított) állítás, amely a pontok és az egyenesekilleszkedésére vonatkozik. Ha ebben felcseréljük a "pont" és az "egyenes", illetve a "met-szés" és az "összekötés" szavak szerepét, akkor az így nyert kijelentés érvényben marad.

A projektív tér koordinátázása

Az euklideszi térben rögzítsünk egy (O, i, j, k) Descartes–féle koordináta–rendszert. Azeuklideszi tér kibővítésével nyert X = X ∪ ι projektív tér koordinátázását erre alapozvavégezzük az alábbiak szerint.

Egy közönséges P pont esetén vegyük az−→OP = xP i + yP j + zP k helyvektor kife-

jezésében szereplő xP , yP , zP együtthatókat. A [λ xP , λ yP , λ zP , λ] (λ ∈ R, λ 6= 0)számnégyeseket mondjuk a P pont térbeli homogén koordinátáinak.

Tekintsünk egy Ie ideális pontot, amelyet az E(e) párhuzamos egyenesosztályhoz ren-deltünk. Az e egyenes egyik v irányvektorát fejezzük ki az i, j, k bázisvektorok lineáriskombinációjaként: v = v1 i + v2 j + v3 k. Az Ie pont térbeli homogén koordinátáin a[λ v1, λ v2, λ v3, 0] (λ∈R, λ 6= 0) számnégyeseket értjük.

Nyilvánvaló, hogy egy adott Q [x1, x2, x3, x4] pont ideális akkor és csak akkor, hafennáll x4 = 0. Amennyiben x4 6= 0, akkor a Q közönséges pont derékszögű koordinátái:xQ = x1

x4

, yQ = x2

x4

, zQ = x3

x4

.

A projektív tér síkjaihoz is lehet homogén koordinátákat rendelni. Az euklideszi térbenvegyünk egy ω síkot, amelynek az egyenlete a x+ b y + c z + d = 0, ahol az egyútthatókrafennáll a2 + b2 + c2 > 0. A [λ a, λ b, λ c, λ d] (λ∈R, λ 6= 0) számnégyeseket az ω projek-tív sík homogén koordinátáinak nevezzük. Azonnal adódik, hogy az ω síkot a homogénkoordinátákra nézve az a x1 + b x2 + c x3 + d x4 = 0 egyenlet írja le.

A tér ideális pontjait tartalmazó ι ideális sík homogén koordinátáin a [0, 0, 0, λ](λ∈R, λ 6= 0) számnégyeseket értjük.

A projektív tér tetszőleges egyenesének pozícióját egyértelműen meghatározhatjukazáltal, ha megadunk két hozzá illeszkedő pontot (vagy síkot) a homogén koordináta–négyeseivel.

9

2) A kollineáris pontnégyesek kettősviszonya.A sík projektív transzformációi

Ebben a fejezetben értelmezni fogjuk a kollineáris pontnégyesek és a sugárnégyesek ket-tősviszonyát, továbbá bevezetjük a síkbeli projektív transzformáció (vagy más szóvalkollineáció) fogalmát. Látni fogjuk, hogy a kettősviszonyt a síkok közötti centrális vetítésekés projektív transzformációk egyaránt megőrzik.

A kollineáris közönséges pontnégyes kettősviszonya

Először csak olyan kollineáris pontnégyes esetében értelmezzük a kettősviszonyt, ahol minda négy pont közönséges (azaz egyik pont sem ideális). A kettősviszonyt az osztóviszonyfogalmának felhasználásával definiáljuk. Emlékezzünk rá, hogy amennyiben A, B és C

kollineáris pontok az euklideszi térben, akkor a ponthármas osztóviszonyát (AB C) jelöli.2.1. Definíció. Legyenek adva az A, B, C, D egymástól különböző, közönséges pontok,amelyek egyazon egyenesre esnek. A pontnégyes kettősviszonyán az

(AB C D) =(AB C)

(AB D)valós számot értjük.

Megjegyzés. Tekintsünk az euklideszi térben egy g egyenest és azon az A, B, C, D

pontokat. Ha a g egyenest irányítjuk, az−→AC,

−−→CB,

−−→AD,

−−→DB irányított szakaszokhoz

előjeles hosszat tudunk rendelni. Ezek felhasználásával a pontnégyes kettősviszonyát az

(AB C D) =AC

CB:

AD

DBalakban lehet kifejezni.

Megjegyzés. Mivel a 2.1. Definícióban szereplő pontnégyes elemei különbözőek, tel-jesülnek az (AB C D) 6= 1, (AB C D) 6= 0 egyenlőtlenségek.Vegyük észre, hogy az R\{1, 0} számhalmaz bármely eleme lehet a kettősviszony értéke.

Megjegyzés. Könnyű belátni, hogy a kettősviszonyra tetszőleges A, B, C, D pontnégyesesetén igazak az alábbi összefüggések:(1) (AB C D) · (AB D C) = 1,(2) (AB C D) = (C D AB).

Egyazon sugársorhoz tartozó négy egyenes kettősviszonya

Állapodjunk meg abban, hogy a továbbiakban a szögeket ívmértékben fogjuk mérni.A kettősviszony definiálható az euklideszi tér négy olyan egyenesének esetében is, ame-

lyek egyazon síkon vannak és egyazon pontra illeszkednek.2.2. Definíció. Az euklideszi tér egy σ síkjában legyenek adva az egymástól különbözőa, b, c, d egyenesek, amelyek egyazon O ponthoz illeszkednek. Irányítsuk a σ síkot ésa négy egyenest. A sík irányítása kijelöl egy σ–beli forgásirányt az O pont körül, azegyenesek irányításának pedig mind a négy egyenesen megfelel egy–egy O kezdőpontúfélegyenes. Jelölje (a, c)∢ azt az előjeles szöget, amelynek megfelelő O körüli elforgatás aza–n megadott félegyenest a c–n megadott félegyenesbe viszi (−π < (a, c)∢ < π). Analógmódon értelmezzük a (c, b)∢, (a, d)∢, (d, b)∢ előjeles szögmértékeket is.

Az a, b, c, d sugárnégyes kettősviszonyán az (a b c d) =sin(a, c)∢

sin(c, b)∢:sin(a, d)∢

sin(d, b)∢valós

számot értjük.

10

Megjegyzés. A fenti definícióban szereplő az a, b, c, d egyenesek az E(σ,O) sugársorelemei. Nem nehéz annak belátása, hogy az (a b c d) kettősviszony értéke nem függ sem a σ

sík, sem pedig az egyenesek irányításától. Amennyiben a sík irányítását változtatjuk meg,akkor a kettősviszony kifejezésében szereplő négy szinuszfüggvényérték mindegyike előjeletvált. Ha pedig az egyik egyenes irányítását változtatjuk meg, akkor két függvényérték váltelőjelet.

Megjegyzés. A 2.2. Definíció alapján meghatározott (a b c d) számot egyben az O pontraés σ síkra illeszkedő a, b, c, d projektív egyenesek kettősviszonyának is mondjuk.

A következő fontos eredményt a szakirodalomban Pappos tételeként szokás említeni.2.1. Tétel. Egy σ síkon legyenek adva az egymástól különböző a, b, c, d egyenesek,amelyek egyazon O ponthoz illeszkednek. Legyen g a σ egy olyan egyenese, amely nemmegy át az O–n és az a, b, c, d egyeneseket az A, B, C, D pontokban metszi. Ez esetbenfennáll az (a b c d) = (AB C D) összefüggés.

A Pappos–tételből következik, hogy igaz az alábbi két kijelentés.2.1. Következmény. Egy σ síkon legyenek adva az egymástól különböző a, b, c, d

egyenesek, amelyek egyazon O ponthoz illeszkednek. Legyenek g1, g2 a σ olyan egyenesei,amelyek nem mennek át az O–n, és amelyek az a, b, c, d egyeneseket az A1, B1, C1, D1,

illetve az A2, B2, C2, D2 pontokban metszik. A kimetszett pontnégyesek kettősviszonyárateljesül az (A1 B1 C1 D1) = (A2 B2 C2 D2) egyenlőség.

2.2. Következmény. A centrális vetítés megőrzi a kollineáris pontnégyesek kettősvis-zonyát és a sugárnégyesek kettősviszonyát.

A kettősviszony fogalmának kiterjesztése projektív térelemekre

Az alábbiak során a kollineáris pontnégyes kettősviszonyát értelmezni fogjuk majd arraaz esetre is, amikor nem mind a négy pont közönséges. (Amennyiben egy pontnégyestveszünk, akkor mindig feltesszük, hogy annak elemei különbözőek.)

Az 1. fejezetben már sor került a σ projektív sík koordinátázására. Ezt úgy végeztükel, hogy a σ egy tetszőleges P pontjához hozzárendeltük a T és P pontokat összekötő〈T, P 〉 egyenes irányvektorait, mint meghatározó vektorokat. Emlékezzünk rá, hogy ameghatározó vektorok és a homogén koordináták csak számszorzótól eltekintve egyértelműek.A továbbiakban a meghatározó vektorokat fogjuk felhasználni a kettősviszony fogalmánakkiterjesztéséhez. Ehhez azonban szükségünk van a következő állításra.2.1. Állítás. A σ projektív síkon legyenek adva a közönséges, kollineáris A, B, C, D

pontok. Ezen pontoknak feleljenek meg az x, y, z1 = λ1 x + µ1 y, z2 = λ2 x + µ2 y

meghatározó vektorok. A pontnégyes kettősviszonyára fennáll(AB C D) =

µ1

λ1

:µ2

λ2

.

A kettősviszony általánosított fogalmát a meghatározó vektorok felhasználásával defini-áljuk. A 2.1. Állítás következtében az alábbi értelmezés összhangban van a 2.1. Definí-cióval.2.3. Definíció. Legyenek A, B, C, D a σ projektív sík egyik egyenesének azon pontjai,melyeknek az x, y, z1 = λ1 x + µ1 y, z2 = λ2 x + µ2 y vektorok felelnek meg. Apontnégyes kettősviszonyán az (AB C D) =

µ1

λ1

:µ2

λ2

számot értjük.

11

Megjegyzés. Az előző definícióval kapcsolatosan fontos megjegyezni, hogy a µ1

λ1

: µ2

λ2

kifejezés értéke nem függ az A, B, C, D pontok x, y, z1, z2 meghatározó vektorainaka megválasztásától.

Megjegyzés. A σ síkon lévő e egyenesen vegyük az A, B, C közönséges pontokat ésaz Ie ideális pontot. Könnyen belátható, hogy ezen pontnégyes kettősviszonyára fennáll(AB C Ie) = −(AB C).

Sugárnégyes kettősviszonyának kifejezése a meghatározó vektorok alapján

A továbbiakban a projektív egyenesekből álló sugárnégyes esetére fogjuk kiterjeszteni akettősviszony fogalmát.

A Pappos–tétel és a 2.1. Állítás felhasználásával könnyen igazolható, hogy az alábbikijelentés.2.2. Állítás. Az euklideszi tér egy σ síkjában legyen adott négy egyenes a, b, c és d,amelyek egyazon S pontra illeszkednek. A σ projektív síkon vett a, b, c, d egyenesekhezrendelt meghatározó vektorok legyenek u, v, w1 = λ1 u + µ1 v és w2 = λ2 u + µ2 v.

Ekkor az a, b, c, d sugárnégyes kettősviszonyára fennáll az

(a b c d) =µ1

λ1

:µ2

λ2

összefüggés.

A kettősviszony fogalmát a fentiek alapján ki tudjuk terjeszteni a projektív sugárnégyesesetére is.2.4. Definíció. A σ projektív síkon legyenek adva az egymástól különböző a, b, c, d

egyenesek, amelyek egyazon S ponthoz illeszkednek. Vegyük ezen projektív egyenesek egy–egy meghatározó vektorát, legyenek ezek u, v, w1 = λ1 u + µ1 v és w2 = λ2 u + µ2 v.A projektív sugárnégyes kettősviszonyán az (a b c d) =

µ1

λ1

:µ2

λ2

számot értjük.

Megjegyzés. A fenti definícióban szereplő S pont lehet a σ projektív sík egyik ideálispontja, továbbá a négy egyenes egyike megegyezhet az iσ ideális egyenessel.

Megjegyzés. Könnyű belátni, hogy a 2.1. Tétel (vagyis a Pappos–tétel) a projektívtérelemek esetében is érvényben marad.

Harmonikus pontnégyesek. A teljes négyoldal tétele

A továbbiakban a projektív egyenesek és az euklideszi egyenesek jelölésében már nemteszünk különbséget, azaz nem használjuk a felülvonás jelet.

A projektív egyenesen (amely topológiailag egy körszerű alakzatnak tekinthető) a ren-dezést pontpárok alkalmazásával lehet értelmezni.2.5. Definíció. Legyenek A, B, C, D egy projektív egyenes különböző pontjai. Amennyi-ben fennáll az (AB C D) < 0 egyenlőtlenség, akkor azt mondjuk, hogy az A, B pontpárés a C, D pontpár elválasztják egymást.

2.6. Definíció. Legyenek adva az A, B, C, D kollineáris, egymástól különböző pontok.Ezek egy harmonikus pontnégyest alkotnak, ha (AB C D) = −1 teljesül.

12

Megjegyzés. Ha egy e projektív egyenesen adva vannak az A, B, C pontok, akkor az e–nek egy és csak egy olyan D pontja van, amelyre igaz (AB C D) = −1. A kettősviszonyravonatkozó összefüggések következtében ekkor fennáll (AB D C) = (C D AB) = −1. Ezesetben szokás azt is mondani, hogy az A, B és C, D pontpárok harmonikusan választjákel egymást.

2.7. Definíció. Egy projektív sík négy egyeneséről azt mondjuk, hogy azok egy teljesnégyoldalt képeznek, ha közülük bármelyik három nem illeszkedik egyazon pontra.

Legyenek a, b, c, d olyan egyenesek a σ projektív síkon, amelyek egy teljes négyoldaltalkotnak. Az a, b, c, d egyeneseket a teljes négyoldal oldalegyeneseinek nevezzük. Anégy oldalegyenesnek összesen hat metszéspontja van, melyeket a teljes négyoldal szög-pontjainak hívunk.

Két szögpontot átellenesnek mondunk, ha nincsenek egyazon oldalegyenesen. Az átel-lenes szögpontok összekötésével további három egyenest kapunk, melyeket a teljes né-gyoldal átlós egyeneseinek nevezünk. Az átlós egyenesek metszéspontjai (három pont)képezik a teljes négyoldal átlós pontjait. Egy átlós egyeneshez két szögpont és két átlóspont illeszkedik.

4. ábra. Illusztráció a teljes négyoldal tételéhez.

Megjegyzés. A mellékelt ábrán az a, b, c, d teljes négyoldal átlós egyenesei a g =〈A,B〉, h = 〈C,D〉 és j = 〈E,F 〉 egyenesek. A G = h ∩ j, H = j ∩ g, J = g ∩ h

metszéspontok képezik a teljes négyoldal átlós pontjait.

Az alábbi kijelentést a szakirodalomban a teljes négyoldal tételeként szokás említeni.2.2. Tétel. A teljes négyoldal bármely átlós egyenesén lévő két szögpont és két átlóspont egy harmonikus pontnégyest alkotnak.

Megjegyzés. Amennyiben a mellékelt ábrán szereplő jelölést alkalmazzuk, akkor az előzőtétel szerint fennáll (ABHJ) = −1, (CDGJ) = −1 és (EFGH) = −1 .

13

Megjegyzés. A σ euklideszi síkon legyen adva egy g egyenes három pontja A, B és C olymódon, hogy a C különbözik az AB szakasz felezőpontjától. Ekkor vonalzós szerkesztéssel(a fenti tétel ismeretében) kijelölhetjük a g egyenesen azt a D pontot, amelyre fennáll(AB C D) = −1.

A projektív sík projektív transzformációi (kollineációi)

A továbbiakban többnyire egy σ projektív síkot tekintünk. A σ–ról végig feltesszük,hogy már koordinátázva van egy a σ euklideszi síkon rögzített (O, i, j) Descartes–félekoordináta–rendszer alapján.

2.8. Definíció. A κ : σ → σ bijektív leképezést a σ sík projektív transzformációjának(vagy kollineációnak) mondjuk, ha bármely σ–beli egyenesnek a κ szerinti képe egyenes.

Megjegyzés. A fenti definíció alapján igazak az alábbi kijelentések.(1) Ha κ1 és κ2 a σ sík projektív transzformációi, akkor az azok szorzataként nyert κ2 ◦κ1

leképezés is egy kollineáció.(2) Ha κ egy kollineáció, akkor a κ−1 : σ → σ inverz leképezés is egy projektív transzfor-máció.(3) A σ projektív sík kollineációi a leképezések kompozíciójára, mint szorzásműveletre,nézve egy csoportot alkotnak, amelyet a továbbiakban Coll(σ) fog jelölni.

Megjegyzés. A 2.8. Definíciónak megfelelően két különböző sík között is értelmeznitudjuk az úgynevezett projektív leképezést.

Legyenek adva a ̺ és σ projektív síkok. A κ : ̺ → σ leképezést projektívnek mondjuk,ha bijektív és bármely ̺–beli egyenesnek a κ szerinti képe egyenes.

Ha a ̺ síkot centrálisan rávetítjük a σ síkra, akkor az így nyert leképezés bijektív ésegyenestartó, vagyis a centrális vetítés egy projektív leképezést ad.

Kollineáció konstrukciója két centrális vetítés szorzataként

Legyenek adva a σ és ̺ projektív síkok, továbbá olyan C1, C2 (C1 6= C2) pontok, amelyeknincsenek rajta a σ, ̺ síkokon. Tekintsük előbb azt a π1 : σ → ̺ centrális vetítést,amelynek vetítési centruma a C1 pont, majd azt a π2 : ρ → σ centrális vetítést, ahol aC2 pont a vetítési centrum. Evidens, hogy a két vetítés szorzataként nyert κ = π2 ◦ π1

leképezés a σ síknak egy projektív transzformációját adja.Vegyük észre, hogy a κ : σ → σ kollineáció nemcsak a σ ∩ ρ egyenes pontjait

hagyja fixen, hanem a 〈C1, C2 〉 egyenes σ síkkal vett metszéspontját is. Emellett bármelya 〈C1, C2 〉 ∩ σ metszéspontra illeszkedő egyenesnek a κ szerinti képe önmaga.

2.9. Definíció. Legyen adva egy κ : σ → σ projektív transzformáció. A σ sík egyt egyenesét a κ kollineáció tengelyének mondjuk, ha κ fixen hagyja a t egyenes összespontját. A σ sík egy C pontját a κ kollineáció centrumának nevezzük, ha κ fixen hagyjaaz C–re illeszkedő összes egyenest.

Megjegyzés. A két centrális vetítés szorzataként nyert κ = π2◦π1 kollineációnak tengelyea t = σ ∩ ρ egyenes és centruma a C = 〈C1, C2 〉 ∩ σ pont.

14

2.10. Definíció. Centrális–tengelyes kollineáción egy olyan κ : σ → σ projektív transz-formációt értünk, amelynek van centruma és van tengelye.

Az euklideszi síkon vett affinitás projektív lezárása, mint kollineáció

A σ euklideszi síkon vegyünk egy ϕ : σ → σ affin transzformációt. Ehhez hozzá lehetrendelni egy kollineációt a σ (σ = σ ∪ iσ) projektív síkon az alábbi módon.

Tekintsük azt a ϕ : σ → σ leképezést, ahol tetszőleges P ∈ σ pontra fennáll ϕ(P ) =ϕ(P ), továbbá bármely σ–beli e egyeneshez tartozó Ie ideális pont esetében ϕ(Ie) = Iϕ(e)

teljesül. (A ϕ tehát nem más, mint a ϕ leképezés kiterjesztése a teljes projektív síkraoly módon, hogy az e egyeneshez tartozó Ie ideális ponthoz a ϕ(e) képegyeneshez tartozóideális pontot rendeljük.)

Mivel a ϕ affin transzformáció párhuzamos egyeneseket párhuzamos egyenesekbe képez,a ϕ leképezés fenti meghatározása egzakt.

Könnyen belátható, hogy a ϕ : σ → σ leképezés bijektív és egyenestartó, továbbáϕ(iσ) = iσ is teljesül. Eszerint a ϕ egy olyan kollineációja a σ projektív síknak, amelyfixen hagyja az iσ ideális egyenest.2.11. Definíció. A fentiek során értelmezett ϕ kollineációt a ϕ affinitás projektív lezárásá-nak nevezzük.

Megjegyzés. A ϕ leképezést szokás még a ϕ affinitás által meghatározott projektívtranszformációnak is mondani.

Megjegyzés. Jelölje Aff(σ) a σ euklideszi sík affin transzformációinak halmazát. Em-lékezzünk rá, hogy a kompozícióra, mint szorzásműveletre, nézve az affinitások is egycsoportot alkotnak. Tekintsük az L : Aff(σ) → Coll(σ) leképezést, melyet tetszőlegesσ–beli ϕ affinitás esetén az L(ϕ) = ϕ összefüggés definiál.

Evidens, hogy az L egy injektív leképezés. Mivel bármely ϕ1, ϕ2 : σ → σ affintranszformációkra fennáll ϕ2 ◦ ϕ1 = ϕ2 ◦ ϕ1, az L egy homomorf leképezése az Aff(σ)transzformációcsoportnak a σ–beli kollineációk Coll(σ) csoportjába.

Az L injektivitása következtében az Aff(σ) és az L(Aff(σ)) csoportok egymássalizomorfak. Amennyiben ezt a két csoportot azonosítjuk egymással, akkor az Aff(σ)csoportot tekinthetjük úgy, mint a Coll(σ) transzformációcsoport azon részcsoportját,amelynek elemei az iσ ideális egyenest fixen hagyó kollineációk.

15

A V–beli lineáris izomorfizmus által indukált kollineáció

Mint ismeretes, jegyzetünkben V jelöli az euklideszi tér szabad vektorainak terét. A σ

projektív sík koordinátázása során már rögzítettünk egy i, j, k ortonormált bázist V–ben. Ennek felhasználásával adódik egy természetes izomorfizmus a V vektortér és a valósszámhármasok R

3 tere között, amely egy tetszőleges V–beli x = x1 i+x1 j+x3 k vektorhozaz (x1, x2, x3) számhármast rendeli.

Az előző fejezetben bijektív megfeleltetést adtunk meg a σ sík pontjai és egy E(T ) su-gárnyaláb egyenesei között. Az egyenesek irányvektorait, mint meghatározó vektorokat,rendeltünk a σ sík pontjaihoz. Mivel egy pont meghatározó vektorai egymásnak szám-szorosai, egy bijektív megfeleltést nyerünk a σ sík pontjai és a V vektortér 1–dimenziósalterei között is. Amennyiben egy x (x 6= 0) vektor a σ sík P pontjának az egyikmeghatározó vektora, akkor a P pontnak az Rx egydimenziós altér felel meg.

Alkalmazni fogjuk a következő jelölést. Egy V–beli x (x 6= 0) vektor esetén [x] jelölimajd a σ projektív sík azon pontját, amelynek egyik meghatározó vektora az x. Célszerűitt megjegyezni, hogy bármely λ (λ 6= 0) szám esetén fennáll [λx] = [x].

2.12. Definíció. Legyen adva egy ξ : V → V lineáris izomorfizmus a V vektortéren.A ξ által indukált σ–beli kollineáción azt a κ : σ → σ leképezést értjük, amely tet-szőleges x (x 6= 0) vektor esetén az x által meghatározott ponthoz a ξ(x) képvektor általmeghatározott pontot rendeli.

Megjegyzés. Egy σ–beli egyenes pontjaihoz rendelt meghatározó vektorok (ha még a0 nullvektort is hozzájuk vesszük) egy 2–dimenziós alteret alkotnak. Mivel a ξ lineárisizomorfizmus egy alteret azzal azonos dimenziójú altérbe képez, így a fenti definícióbanszereplő κ leképezés bijektív és egyenestartó, azaz valóban egy projektív transzformációtad.

Az itt bevezetett jelölést használva a ξ–hez rendelt κ kollineációra bármely x (x 6= 0)vektor mellett teljesül κ([x]) = [ξ(x)] .

Egyezzünk meg abban, hogy a továbbiakban a ξ által indukált σ–beli projektív transz-formációt [ξ] fogja jelölni.Megjegyzés. Nyilvánvaló, hogy amennyiben a c valós szám különbözik 0–tól, akkor a ξ ésc · ξ lineáris izomorfizmusok ugyanazt a kollineációt indukálják, vagyis fennáll [ξ] = [c · ξ].

Ha a ξ1 és ξ2 olyan V–beli lineáris izomorfizmusok, hogy bármely c ∈ R szám mellettfennáll ξ2 6= c · ξ1, akkor [ξ1] 6= [ξ2] teljesül.

Felvetődik a kérdés, hogy vajon van–e olyan σ–beli kollineáció, amely nem származ-tatható V–beli lineáris izomorfizmusból. Az alábbi tétel, melyet a projektív geometriaalaptételének mondanak, nemleges választ ad a kérdésre.2.3. Tétel. A σ projektív sík tetszőleges κ kollineációjához létezik olyan ξ : V → Vlineáris izomorfizmus, hogy a ξ által indukált projektív transzformáció megegyezik κ–val.

A fenti tétel szerint bármely κ kollineációt olyan V–beli lineáris izomorfizmusok in-dukálnak, amelyek számszorzóban különböznek egymástól. Mivel a kettősviszony kiszámít-ható a meghatározó vektorok alapján, a 2.3. Tételből már következik az alábbi állítás.

16

2.3. Állítás. A σ projektív síkon vett tetszőleges projektív transzformáció megőrzi akollineáris pontnégyesek és a sugárnégyesek kettősviszonyát.

A továbbiakban arra kérdésre adunk választ, hogy egy σ–beli kollineációt hány síkbelipont képe határoz meg egyértelműen. Ehhez szükségünk van az alábbi fogalomra.2.13. Definíció. A σ projektív síkon legyenek adott négy pont. Ezekről akkor mondjuk,hogy egy általános helyzetű pontnégyest alkotnak, ha közülük bármelyik három nincs egyegyenesen.

A következő tétel bizonyításához ugyancsak a projektív geometria alaptételét (azaz a2.3. Tételt) célszerű alkalmazni.2.4. Tétel. A σ projektív síkon legyenek adva a P1, P2, P3, P4 és Q1, Q2, Q3, Q4 ál-talános helyzetű pontnégyesek. Ekkor egyértelműen létezik egy olyan κ : σ → σ projektívtranszformáció, amelyre fennáll κ(Pr) = Qr (r = 1, 2, 3, 4).

A projektív sík kollineációinak analitikus leírása

Tekintsünk egy κ : σ → σ projektív transzformációt. Legyen ξ : V → V egy olyan lineárisizomorfizmus, amelyre igaz, hogy a ξ által indukált projektív transzformáció megegyezikκ–val. Tekintsük a már rögzített i, j, k bázist V–ben. A bázisvektorok ξ szerinti képeitfejezzük ki a

ξ(i) = m11 i + m21 j + m31 k,

ξ(j) = m12 i + m22 j + m32 k,

ξ(k) = m13 i + m23 j + m33 k

lineáris kombinációk formájában. Eszerint az mrs (r, s = 1, 2, 3) együtthatókból képzett3× 3–as M mátrix írja le ξ–t az i, j, k bázisra nézve. Amennyiben egy σ–beli P pontnakaz x = x1 i+x1 j+x3 k az egyik meghatározó vektora, akkor a ξ(x) képvektornak a κ(P )pont felel meg. Ez pedig azt jelenti, hogy a κ kollineáció a sík egy tetszőleges P [x1, x2, x3]pontját azon P ′ [x′

1, x′2, x

′3] pontba képezi, melynek homogén koordinátáira fennáll az

x′1

x′2

x′3

= λ ·

m11 m12 m13

m21 m22 m23

m31 m32 m33

x1

x2

x3

összefüggés valamely λ (λ 6= 0) szám mellett. A λ szám azért szerepel a κ–t leíró fentimátrixegyenletben, mivel a homogén koordináta–hármas és a κ–t indukáló lineáris izomor-fizmus csak számszorzótól eltekintve egyértelműek.

Az eddigiek alapján már könnyű azt belátni, hogy igaz az alábbi kijelentés.2.4. Állítás. Legyen adva egy M 3 × 3–as invertálható mátrix. Tekintsük azt aκ : σ → σ leképezést, amely tetszőleges σ–beli P [x1, x2, x3] ponthoz azt a P ′ = κ(P )

pontot rendeli, amelynek [x′1, x′

2, x′3] homogén koordinátáit az

x′1

x′2

x′3

= λ · M

x1

x2

x3

(λ 6= 0) összefüggés adja meg. Ez esetben a κ leképezés egy kollineáció.

Megjegyzés. A 2.3. Tétel alapján be lehet látni azt is, hogy tetszőleges κ kollineációesetén van a σ projektív síknak (legalább) egy olyan pontja, amelyet a κ fixen hagy.

17

3) Másodrendű görbék a projektív síkon

Ezen fejezet tanulmányozása előtt célszerű felidézni az euklideszi sík másodrendű görbéirevonatkozó fogalmakat és a velük kapcsolatos alapvető összefüggéseket.

A projektív másodrendű görbék értelmezése

Vizsgálatainkat egy adott σ projektív síkban végezzük. A továbbiakban mindvégig fel-tesszük, hogy a σ sík már koordinátázva van, azaz értelmeztük a homogén koordinátákata σ euklideszi síkban vett (O, i, j) Descartes–féle koordináta–rendszer alapján.

3.1. Definíció. Legyenek adva olyan ars (1 ≤ r ≤ s ≤ 3) valós számok, amelyek nemmindegyike 0. Az

a11 (x1)2 + a22 (x2)

2 + a33 (x3)2 + 2 a12 x1 x2 + 2 a13 x1 x3 + 2 a23 x2 x3 = 0 (HMFE)

egyenlettel leírt σ–beli másodrendű görbén a sík azon pontjainak M halmazát értjük,amelyek homogén koordinátái kielégítik az egyenletet.

Megjegyzés. Egy σ–beli M ponthalmazt akkor mondunk projektív másodrendű gör-bének, ha vannak olyan ars (1 ≤ r ≤ s ≤ 3) valós együtthatók, hogy az általuk meghatáro-zott (HMFE) másodfokú egyenletet éppen az M alakzat pontjainak a homogén koordinátáielégítik ki.

Megjegyzés. Amennyiben a fenti (HMFE) másodfokú egyenlet mindkét oldalát megszoroz-zuk egy µ (µ 6= 0) valós számmal, akkor a kapott egyenlet ugyanazt az M alakzatot fogjaleírni.

Megjegyzés. Az alábbiakban a speciális másodfokú egyenletek által leírt másodrendűgörbéket vesszük sorra.

Az (x1)2 +(x2)

2− (x3)2 = 0 egyenletnek megfelelő alakzat megegyezik az O centrumú

és 1 sugarú körrel.Az (x1)

2+(x2)2+(x3)

2 = 0 egyenletet egyetlen pont homogén koordinátái sem elégítikki, vagyis a leírt másodrendű görbe a ∅ üreshalmaz.

Az (x1)2 − (x2)

2 = 0 egyenlet átírható az (x1 −x2)(x1 +x2) = 0 alakba. Ebből adódik,hogy az általa meghatározott alakzat két egyenes uniójával egyenlő.

Az (x1)2 + (x2)

2 = 0 egyenletet kielégítő nemtriviális számhármasok a (0, 0, λ)(λ∈R, λ 6= 0) formában állnak elő. Eszerint a leírt alakzat egyetlen (ideális) pont.

Az (x1)2 = 0 egyenlet esetében pedig nyilvánvaló, hogy a meghatározott másodrendű

görbe egy egyenes.

A másodrendű görbe egyenletének mátrixos alakja

A (HMFE) egyenletben szereplő ars (1 ≤ r ≤ s ≤ 3) együtthatókból képezni tudunk

egy A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

szimmetrikus mátrixot, melynek elemeire fennáll ars = asr. Nem

nehéz belátni, hogy a (HMFE) másodfokú egyenlet egyenértékű az A szimmetrikus mátrix

18

felhasználásával nyert

(

x1 x2 x3

)

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

x1

x2

x3

= 0

összefüggéssel. A továbbiakban az A–t az M másodrendű görbéhez rendelt egyik kvadra-tikus mátrixnak nevezzük.

Az (HMFE) egyenletet tömörebb formában tudjuk leírni azáltal is, hogy alkalmazzuka szummációs jelet:

∑3r=1

∑3s=1 ars xr xs = 0.

Származtatás a σ euklideszi sík egyik másodrendű görbéjéből

A σ euklideszi síkon legyen adott egy M másodrendű görbe, amelyet az

a11 x2 + 2 a12 x y + a22 y2 + 2 b1 x + 2 b2 y + d = 0 (MFE)

egyenlet ír le. Könnyen belátható, hogy a fenti összefüggés egyenértékű az

(

x y 1)

a11 a12 b1

a21 a22 b2

b1 b2 d

x

y

1

= 0

mátrixegyenlettel, ahol fennáll a21 = a12.

Emlékezzünk rá, hogy megfelelő koordináta–transzformáció alkalmazásával az M má-sodrendű görbe egyenlete úgynevezett kanonikus alakra (a 9 speciális másodfokú egyenletegyikére) hozható. Ennek következtében az M alakzat csakis az alábbi alakzatok egyikelehet: ellipszis, hiperbola, parabola, két metsző egyenes uniója, két párhuzamos egyenesuniója, egyetlen egyenes, egyetlen pont, üreshalmaz.

Az euklideszi sík másodrendű görbéin végezzünk most el egy olyan osztályozást, amelya másodfokú tagok együtthatóiból nyert A33 = a11 a22 − (a12)

2 szám előjelén alapul.3.2. Definíció. Az (MFE) egyenlettel leírt σ–beli M másodrendű görbét A33 > 0 ese-tén elliptikusnak, A33 < 0 esetén hiperbolikusnak, A33 = 0 esetén pedig parabolikusnaknevezzük.

Vegyük észre, hogy az M alakzatot a homogén koordinátákra vonatkozóan az

a11

(x1

x3

)2

+ 2 a12x1

x3

x2

x3

+ a22

(x2

x3

)2

+ 2 b1x1

x3

+ 2 b2x2

x3

+ d = 0, x3 6= 0

összefüggésekkel lehet leírni. Ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk az (x3)2 kife-

jezéssel, akkor lehetséges, hogy az így nyert másodfokú egyenlet az M–nél egy bővebbponthalmazt határoz meg.3.3. Definíció. A homogén koordinátákra vonatkozóa11 (x1)

2 + a22 (x2)2 + d (x3)

2 + 2 a12 x1 x2 + 2 b1 x1 x3 + 2 b2 x2 x3 = 0egyenlet által leírt σ–beli M alakzatot az M kiterjesztésével nyert projektív másodrendűgörbének mondjuk. (Az M–et szokás még az euklideszi síkon vett M másodrendű görbeprojektív lezárásának is nevezni.)

19

Megjegyzés. A fenti definícióval kapcsolatban vegyük észre, hogy az M–nek megfelelő3 × 3–as A mátrix elemeire fennáll a13 = b1, a23 = b2 és a33 = d.

Megjegyzés. Nem nehéz belátni, hogy a 3.3. Definícióban szereplő M, M alakzatokrateljesülnek az M = M∩ σ és M = M∪ (iσ ∩M) összefüggések.

A következő állítás kimondásához felhasználjuk a 3.2. Definícióban értelmezett fogal-makat.3.1. Állítás. A σ euklideszi síkon vegyük az (MFE) egyenlettel leírt M másodrendűgörbét. Az M kiterjesztésével nyert M projektív másodrendű görbére igazak az alábbikijelentések.(1) Ha az M elliptikus, akkor az iσ ideális egyenessel fennáll M∩ iσ = ∅.(2) Ha az M hiperbolikus, akkor az M és az iσ közös pontjainak száma 2.(3) Ha az M parabolikus, akkor az M és az iσ közös pontjainak száma 1.

Megjegyzés. Tekintsük a σ euklideszi síkon azx2

a2−

y2

b2− 1 = 0 egyenlettel leírt

M hiperbolát. Az M által meghatározott M projektív másodrendű görbét homogénkoordinátákban a b2 (x1)

2 − a2 (x2)2 − a2 b2 (x3)

2 = 0 egyenlet írja le. Könnyen kiszá-molható, hogy az I1 [a, b, 0], I2 [−a, b, 0] pontok lesznek az M és az iσ ideális egyenesközös pontjai. Vegyük észre, hogy az I1, I2 pontok azonosak a hiperbola aszimptotáihozrendelt ideális pontokkal.

A projektív sík másodrendű görbéinek egy osztályozása

Könnyű belátni, hogy a (HMFE) egyenlettel leírt M projektív másodrendű görbe pontosanakkor nem jön létre egy σ–beli másodrendű görbe kiterjesztéseként, ha az együtthatóirafennáll a11 = 0, a12 = 0 és a22 = 0. Ebben az esetben a (HMFE) egyenlet az

a33 (x3)2 + 2 a13 x1 x3 + 2 a23 x2 x3 = 0

alakra egyszerűsödik, ahol (a13)2 + (a23)

2 + (a33)2 > 0. Ez viszont felírható az

x3 (2 a13 x1 + 2 a23 x2 + a33 x3) = 0 formában is. Ily módon azt kapjuk, hogy az M vagyaz x3 = 0 egyenletű iσ ideális egyenes és egy másik egyenes uniójával azonos, vagy pedigmaga az iσ ideális egyenes.

Eddigi megállapításainket a következő kijelentésben lehet összegezni, amely egyben aprojektív másodrendű görbékre ad meg egy osztályozást.3.1. Tétel. A σ projektív síkon vett tetszőleges M másodrendű görbe megegyezik azalábbi alakzatok egyikével: egy σ–beli ellipszis, egy σ–beli hiperbola projektív lezárása,egy σ–beli parabola projektív lezárása, két egyenes uniója, egyetlen egyenes, egyetlen pont,üreshalmaz.

Az elfajuló másodrendű görbék és azok konstrukciói

3.4. Definíció. A σ projektív síkon a (HMFE) másodfokú egyenlettel leírt M másodrendűgörbét elfajulónak mondjuk, ha az együtthatókból képzett A szimmetrikus mátrix deter-minánsára fennáll detA = 0.

20

Megjegyzés. Az algebrai ismeretek alapján evidens, hogy amennyiben a 3 × 3–as A

mátrix determinánsára detA = 0 teljesül, akkor a z1, z2, z3 ismeretlenekre felírt

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

z1

z2

z3

=

000

homogén lineáris egyenletrendszernek van nemtriviális megoldása. Ha veszünk egy nemtri-viális megoldó számhármast és az annak megfelelő S [z1, z2, z3] pontot, akkor az S nyilváneleme az elfajuló M másodrendű görbének. Ebből már következik, hogy az elfajuló má-sodrendű görbe nem lehet üreshalmaz.

3.5. Definíció. A σ projektív síkon legyen adott egy M elfajuló másodrendű görbe,melyet a (HMFE) egyenlet ír le. Az olyan σ–beli S pontot, melynek homogén koordinátáimegoldják a fenti lineáris egyenletrendszert, az M szinguláris pontjának mondjuk.

Az alábbiak során megmutatjuk, hogy elfajulóak az alábbi másodrendű görbék: kétegyenes uniója, egyetlen pont, egy egyenes.

A σ projektív síkon vegyünk két egyenest, legyenek ezek g és h (g 6= h). A g egyenestírja le az u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0 egyenlet, a h–t pedig a v1 x1 + v2 x2 + v3 x3 = 0egyenlet. Mivel g és h különbözőek a homogén koordinátáikat adó (u1, u2, u3) és (v1, v2, v3)számhármasok nem lehetnek egymás számszorosai.

Tekintsük a σ síkon

2 (u1 x1 + u2 x2 + u3 x3)(v1 x1 + v2 x2 + v3 x3) = 0

homogén másodfokú egyenlettel leírt M görbét. Evidens, hogy M megegyezik a g és h

egyenesek uniójával, azaz fennáll M = g ∪ h. Könnyen ellenőrizhető, hogy fenti egyenlet-nek megfelelő A szimmetrikus mátrixot ki lehet fejezni az

A =

u1

u2

u3

(

v1 v2 v3

)

+

v1

v2

v3

(

u1 u2 u3

)

alakban. Ebből már következik, hogy az A mátrix rangja 2, tehát fennáll detA = 0.

Vegyük most a σ síkon azt az M másodrendű görbét, melyet az

(u1 x1 + u2 x2 + u3 x3)2 + (v1 x1 + v2 x2 + v3 x3)

2 = 0

másodfokú egyenlet ír le. Látható, hogy M megegyezik a g és h egyenesek metszéspont-jával, azaz fennáll M = g ∩ h. Az együtthatókból képzett A szimmetrikus mátrix ezesetben kifejezhető az

A =

u1

u2

u3

(

u1 u2 u3

)

+

v1

v2

v3

(

v1 v2 v3

)

alakban. Ebből pedig adódik, hogy az A mátrix rangja 2, tehát ismét fennáll detA = 0.

21

Végül tekintsük a σ síkon az

(u1 x1 + u2 x2 + u3 x3)2 = 0

homogén másodfokú egyenlettel leírt M görbét, amely megegyezik a g egyenessel. Ekkor

az A =

(u1)2 u1 u2 u1 u3

u2 u1 (u2)2 u2 u3

u3 u1 u3 u2 (u3)2

mátrix rangja 1 lesz, vagyis detA = 0 teljesül.

A fenti eredmények már alátámasztják, hogy igaz az alábbi kijelentés.3.2. Állítás. A σ projektív síkon vett M másodrendű görbe elfajuló akkor és csak akkor,ha az M vagy két egyenes uniója, vagy egyetlen egyenes, vagy pedig egyetlen pont.

Megjegyzés. Amennyiben az M elfajuló másodrendű görbe két egyenes uniójával azonos,akkor a két egyenes metszéspontja adja az M egyetlen szinguláris pontját.

Ha az M másodrendű görbe egyetlen egyenes, akkor a M összes pontja szinguláris.

A közönséges projektív kúpszelet

3.6. Definíció. A σ projektív síkon az (HMFE) másodfokú egyenlettel leírt M másod-rendű görbét közönséges projektív kúpszeletnek nevezzük, ha M 6= ∅ és az együtthatókbólképzett A szimmetrikus mátrix determinánsára detA 6= 0 teljesül.

A 3.1. Tételből és a 3.2. Állításból már következik az alábbi eredmény.3.2. Tétel. A σ síkon vett M másodrendű görbe egy közönséges projektív kúpszelet akkorés csak akkor, ha az M vagy egy σ–beli ellipszis, vagy egy σ–beli hiperbola projektívlezárása, vagy pedig egy σ–beli parabola projektív lezárása.

Megjegyzés. Ismeretes, hogy amennyiben az euklideszi térben egy forgáskúpot olyansíkkal metszünk el, amely nem megy át a forgáskúp csúcsán, akkor a kimetszett alakzatvagy egy ellipszis, vagy egy hiperbola, vagy pedig egy parabola lesz. Ez a tény indokoljaaz előbbi definícióban a közönséges projektív kúpszelet elnevezést.

Konjugált pontok egy közönséges projektív kúpszeletre nézve

3.7. Definíció. A σ projektív síkon legyen adva egy M közönséges projektív kúpszelet,amelyet a

∑3r=1

∑3s=1 ars xr xs = 0 egyenlet ír le, továbbá a P [y1, y2, y3], Q [z1, z2, z3]

pontok. Azt mondjuk, hogy az M–re vonatkozóan a P pont konjugált a Q ponthoz, ha apontok homogén koordinátáival fennáll a

∑3r=1

∑3s=1 ars yr zs = 0 összefüggés.

Megjegyzés. A koordináta–transzformációval kapcsolatos összefüggések alapján be lehetbizonyítani, hogy a konjugáltság fenti értelmezése nem függ a σ euklideszi sík (O, i, j)Descartes–féle koordináta–rendszerének megválasztásától. (Későbbi eredményeink is iga-zolják majd ezt a kijelentést.)

Amennyiben a σ sík P pontja konjugált a Q ponthoz az M közönséges projektívkúpszeletre nézve, akkor ezt a továbbiakban a P ∼

MQ szimbólummal jelöljük.

Megjegyzés. Mint ismeretes, az M–et leíró egyenlet együtthatóira teljesül ars = asr

(r, s = 1, 2, 3). A 3.7. Definíció alapján nyilvánvaló, hogy igazak az alábbi kijelentések.(1) A σ projektív sík egy P pontja konjugált önmagához az M–re nézve akkor és csak

22

akkor, ha fennáll P ∈M.(2) Ha P ∼

MQ teljesül, akkor Q ∼

MP is igaz.

A szokásoknak megfelelően egy valós elemű M mátrix transzponáltját MT fogja jelölni.Ismeretes, hogy amennyiben valamely M, N mátrixoknak értelmezhető az MN szorzata,akkor a szorzatmátrix transzponáltjára fennáll (MN)T = NTMT .

Állapodjunk meg abban, hogy amennyiben egy P pontnak az (y1, y2, y3) számhármasaz egyik homogén koordináta–hármasa, akkor a koordinátákból képzett 3 × 1–es oszlop-mátrixot y fogja jelölni. Ily módon tehát teljesül yT = (y1, y2, y3).

Megjegyzés. A σ síkon legyen adott egy M közönséges projektív kúpszelet, melyeta (HMFE) egyenlet ír le. Tekintsük az egyenlet együtthatóiból nyert A szimmetrikusmátrixot. Vegyük a σ síkon a P [y1, y2, y3] és Q [z1, z2, z3] pontokat.

Evidens, hogy ez esetben az yTAz szorzat egyetlen számot ad. A fentiek alapjánnem nehéz belátni, hogy yTAz = zTAy teljesül.

Nyilvánvaló, hogy a P, Q pontok konjugáltak egymással az M–re vonatkozóan pon-tosan akkor, ha fennáll yTAz = 0.

Az alábbi kijelentés azt mondja ki, hogy egy rögzített ponthoz konjugált pontok egyegyenesen vannak.3.3. Állítás. A σ projektív síkon legyen adott egy M közönséges projektív kúpszelet,melyet a (HMFE) egyenlet ír le, továbbá egy P [y1, y2, y3] pont. Az M–re vonatkozóan aP–hez konjugált pontok egy egyenest alkotnak, amelynek (az egyik) homogén koordináta–hármasát az

u1

u2

u3

=

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

y1

y2

y3

összefüggéssel nyert (u1, u2, u3) számhármas adja.

Az előző állítás ismeretében be lehet bevezetni egy új fogalmat.3.8. Definíció. A σ projektív síkon legyen adott egy M közönséges projektív kúpszeletés egy P pont. Azt az egyenest, amelyet a P–hez konjugált pontok alkotnak, a P pontM–re vonatkozó polárisának nevezzük.

Mivel a közönséges projektív kúpszeletnek megfelelő A mátrixra detA 6= 0 teljesül,a 3.3. Állításból már következik az alábbi kijelentés.3.1. Következmény. Különböző σ–beli pontoknak az M közönséges projektív kúp-szeletre vonatkozó polárisai különbözőek.

Ugyancsak a 3.3. Állításból adódik az alábbi megállapítás.3.2. Következmény. A σ síkon legyen adott egy M közönséges projektív kúpszeletet,melyet a (HMFE) egyenlet ír le, továbbá egy g [u1, u2, u3] egyenes. Ekkor egyetlenolyan σ–beli pont van, amelyhez a g egyenes összes pontja konjugált. Ezen pontnak az(y1, y2, y3) = (u1, u2, u3)A

−1 számhármas képezi az egyik homogén koordináta–hármasát.

3.9. Definíció. A σ síkon legyen adott egy M közönséges projektív kúpszelet és egy g

egyenes. Azt a pontot, amelyhez a g összes pontja konjugált, a g egyenes M–re vonatkozópólusának mondjuk.

23

A konjugáltság geometriai jelentése

Az alábbi tétel arra mutat rá, hogy ha vesszük a projektív kúpszelet egy pontját, akkor aponton áthaladó egyenesek között kitüntetett szerepet játszik a pont polárisa.3.3. Tétel. A σ síkon legyen adott egy M közönséges közönséges projektív kúpszelet ésazon egy P pont. A P pontnak az M–re vonatkozó polárisát jelölje p. Ekkor igazak azalábbi kijelentések.(1) Teljesül az M∩ p = {P } összefüggés.(2) Ha egy σ–beli g egyenes illeszkedik a P pontra és fennáll g 6= p, akkor a g és az Mközös pontjainak száma 2.

3.10. Definíció. A σ sík egy e egyenesét az M (M ⊂ σ) közönséges projektív kúpszeletérintőjének mondjuk, ha az e–nek és az M–nek egyetlen közös pontja van. Ez esetben azegyetlen közös pontot az e érintési pontjának hívjuk.

Az alábbi fontos kijelentés a 3.3. Tétel következménye.3.4. Állítás. A σ síkban legyen adott egy M közönséges projektív kúpszelet és azon egyP pont. Az M–nek egyetlen olyan érintője van, amely a P pontban érinti a kúpszeletet,és ez megegyezik a P pont polárisával.

Ha egy g egyenesnek és egy M projektív kúpszeletnek két közös pontja van, akkor aztmondjuk, hogy a g metszi az M–t.3.11. Definíció. A σ síkon legyen adva egy M közönséges projektív kúpszelet és egyolyan Q pont, amely nincs rajta az M–en. A Q pontot az M külső pontjának mondjuk,ha a polárisa metszi az M–t.

Amennyiben a Q polárisa nem metszi az M–t, akkor a Q pontot az M közönségesprojektív kúpszelet belső pontjának nevezzük.

Megjegyzés. Korábbi eredményeinkből már adódik, hogy amennyiben az e érintőegye-nese az M–nek, akkor az e–nek az érintési ponttól különböző pontjai az M projektívkúpszeletnek külső pontjai. Egy külső ponton át mindig két érintőt lehet húzni az M–hez.

5. ábra. Illusztráció a 3.4 Tételhez (P ∼M

Q feltétele (B C P Q) = −1 teljesülése).

24

Az alábbi fontos eredmény a konjugált pontok és a harmonikus pontégyesek kapcso-latára mutat rá.3.4. Tétel. A σ síkon legyen adva egy M közönséges projektív kúpszelet, továbbá olyanP, Q (P 6= Q) pontok, amelyek nincsenek az M–en és az összekötő egyenesük a B, C

pontokban metszi az M–et. Ez esetben a P, Q pontok konjugáltak egymáshoz az M–renézve akkor és csak akkor, ha a pontnégyes kettősviszonyára fennáll (B C P Q) = −1.

Megjegyzés. Egy g egyenesen vegyünk egy BC szakaszt és annak F felezőpontját.Emlékezzünk rá, hogy ekkor a B, C, F, Ig pontok egy harmonikus pontnégyest alkotnak,azaz fennáll (B C F Ig) = −1. Ezen tényből és a fenti tételből már következik az alábbikijelentés.

Amennyiben a σ síkon vett M kúpszelet egy ellipszis vagy egy hiperbola, akkor az Mkúpszelet centrumának az M–re vonatkozó polárisa megegyezik az iσ ideális egyenessel.

6. ábra. Illusztráció a 3.5. Állításhoz.

A 3.4. Tétel alapján lehet igazolni az alábbi állítást is.3.5. Állítás. A σ euklideszi síkon legyen adva egy M közönséges kúpszelet és egy g

egyenes. Tekintsük a g–vel párhuzamos és a kúpszeletet metsző egyeneseken a kimetszettszakaszok felezőpontjait, továbbá a g–vel párhuzamos érintőkön vegyük az érintési pon-tokat. Ekkor a felezőpontok és az érintési pontok egy egyenesre esnek.Bizonyítás.Azt kell csak belátni, hogy az Ig ideális pont M–re vonatkozó π(Ig) polárisa tartalmazzaa kijelölt felezőpontokat és az érintési pontokat. �

Az öt ponton áthaladó másodrendű görbe létezése

Az alábbiak során egy algebrai bizonyítást adunk arra, hogy ha a síkon veszünk öt pontot,akkor van legalább egy olyan másodrendű görbe, amely mind az öt ponton áthalad.3.5. Tétel. A σ síkon legyenek adva a P1, P2, P3, P4, P5 pontok. Ekkor van olyan Mmásodrendű görbe, amely tartalmazza a Pr (r = 1, . . . , 5) pontokat.Bizonyítás.

25

Rögzítsük a Pr (r = 1, . . . , 5) pontok egy–egy [yr1, yr2, yr3] homogén koordináta–hármasát.A projektív másodrendű görbét leíró (HMFE) egyenletben 6 független együttható szerepel,nevezetesen a11, a22, a33 és a12, a13, a23. Evidens, hogy a (HMFE) egyenlettel leírtmásodrendű görbe, akkor megy át a Pr (r = 1, . . . , 5) pontokon, ha ezen együtthatókrafennállnak az

(yr1)2 a11 + (yr2)

2 a22 + (yr3)2 a33 + (2 yr1 yr2) a12 + (2 yr1 yr3) a13 + (2 yr2 yr3) a23 = 0

(r = 1, . . . , 5) összefüggések. Ezeket tekintsük az a11, a22, a33, a12, a13, a23 ismeretlenekrefelírt egyenleteknek. Ily módon egy 5 egyenletből álló homogén lineáris egyenletrendszer-hez jutunk, amelyben 6 az ismeretlenek száma. Az Algebrából ismeretes, hogy az egyen-letrendszert megoldó számhatosok egy H alteret képeznek R

6–ban, melynek dimenziójárafennáll dimH ≥ 6 − 5, vagyis dimH ≥ 1. Ez pedig azt jelenti, hogy a fenti egyenletrend-szernek van nemtriviális (azaz nem csupa 0–ból álló) megoldó számhatosa. �

Megjegyzés. Az előző tétel bizonyításában szereplő homogén lineáris egyenletrendszermátrixa egy olyan 5×6–os mátrix, melyet a Pr (r = 1, . . . , 5) pontok rögzített [yr1, yr2, yr3]homogén koordinátáiból nyerünk. Amennyiben ezen mátrix rangja 5, akkor a megoldószámhatosok H altere 1–dimenzós, vagyis a megoldó számhatosok egymás számszorosai.Ez esetben tehát egyértelműen létezik olyan másodrendű görbe, amely mind az öt pontonáthalad.

Megjegyzés. Korábbi eredményeinkből már következik, hogy amennyiben az adottPr (r = 1, . . . , 5) pontok között nincs három kollineáris pont, akkor a rajtuk áthaladómásodrendű görbe csakis egy közönséges projektív kúpszelet lehet. Később (az algebraieszközök felhasználása nélkül) be fogjuk majd látni, hogy ekkor csak egy olyan közönségeskúpszelet van, amely átmegy mind az öt ponton.

A köri pontnégyes kettősviszonya

Az euklideszi tér egy síkján legyenek adva az A, B, C, D egymástól különböző pontok,amelyek a sík egy k körére illeszkednek. Jelölje O ezen k körnek a centrumát, illetve r asugarát. Tekintsük a k kör egy további S pontját és az a = 〈S,A 〉, b = 〈S,B 〉, c =〈S,C 〉, d = 〈S,D 〉 egyeneseket. Az alábbiak során belátjuk, hogy az S pontra illeszkedősugárnégyes (a b c d) kettősviszonya nem függ az S pont megválasztásától.

Vegyük az A, C pontok által határolt (a fékörnél nem hosszabb) körívnek az AOC∢

középponti szögét. A kerületi szögek tétele alapján az AC húr hosszára fennáll az AC =2r sin(1

2AOC∢) = 2r sin(ASC∢) egyenlőség feltéve, hogy a szögekhez most nem ren-

delünk előjelet. Ily módon a húrhosszakkal teljesül az

AC

CB:

AD

DB=

sin(ASC∢)

sin(CSB∢):

sin(ASD∢)

sin(DSB∢)

összefüggés, amiből már következik, hogy igaz

|(a b c d)| =AC

CB:

AD

DB.

26

7. ábra. A köri pontnégyes kettősviszonya: (AB C D)k = (a b c d).

A fentiek szerint már csak azt kell megmutatnunk, hogy az (a b c d) kettősviszony előjelesem függ az S köri pont megválasztásától. Ez viszont a következő észrevételből adódik. AzA, B pontok a k kört két körívre bontják fel. Amennyiben az A, B pontokkal határol kétkörív egyike tartalmazza a C, D pontokat, akkor az (a b c d) kettősviszony előjele pozitív.Ha pedig a C, D pontok más–más köríven vannak, akkor az (a b c d) kettősviszony előjelenegatív.

3.12. Definíció. Az euklideszi térben legyen adva négy pont A, B, C és D, ame-lyek egy körön vannak. Vegyük a pontokon átmenő kör egy további S pontját és aza = 〈S,A 〉, b = 〈S,B 〉, c = 〈S,C 〉, d = 〈S,D 〉 egyeneseket. Az A, B, C, D köripontnégyes kettősviszonyán az (a b c d) számot értjük.

Megjegyzés. A fenti definíció kiterjeszthető arra az esetre is, amikor az S pontot a köripontnégyes egyik pontjával, például a B–vel, megegyezőnek választjuk. Ekkor b legyen akör B pontbeli érintőegyenese.

Az A, B, C, D köri pontnégyes kettősviszonyát (AB C D)k fogja jelölni a továbbiak-ban.

A kúpszeleti pontnégyes kettősviszonya

Célszerű felidézni a forgáskúp fogalmát. Az euklideszi térben vegyünk egy t egyenest ésazon egy C pontot, továbbá legyen adott egy ϕ (0 < ϕ < π

2) szögmérték. Tekintsük

a C ponton áthaladó összes olyan egyenest, amelynek a t–vel vett hajlásszöge ϕ. Ezenegyenesek unióját forgáskúpnak mondjuk. Jegyzetünkben a forgáskúpra a K jelölést al-kalmazzuk.3.13. Definíció. Legyen adott egy K forgáskúp az euklideszi térben. AK = K∪{ Ig | g∈E , g ⊂ K} alakzatot a K kúp projektív kiterjesztésének (vagy projektívlezárásának) mondjuk.

Tekintsünk egy olyan σ síkot, amely nem megy át a K kúp C csúcspontján. Mintismeretes, a σ sík a K forgáskúpot vagy egy ellipszisben, vagy egy hiperbolában, vagy

27

pedig egy parabolában metszi el. Evidens, hogy amennyiben vesszük a sík és a kúpprojektív kiterjesztését, akkor a σ ∩ K metszet egy közönséges projektív kúpszeletet ad.

A következő állítás bizonyításához alkalmaznunk kell azt az eredményt, amely szerinta centrális vetítés megőrzi a pontnégyesek és a sugárnégyesek kettősviszonyát. Emellettszükség van arra a korábbi eredményre is, hogy amennyiben egy σ síkon adva van egy ellip-szis (illetve egy hiperbola vagy egy parabola), akkor az mindig előáll egy K forgáskúpnaka σ–val vett metszeteként.3.6. Állítás. Egy σ síkon legyen adva egy M közönséges projektív kúpszelet és azon azA, B, C, D egymástól különböző pontok. Vegyük az M további S1, S2 pontjait és azaj = 〈Sj, A 〉, bj = 〈Sj, B 〉, cj = 〈Sj, C 〉, dj = 〈Sj, D 〉 egyeneseket (j = 1, 2). Ekkora sugárnégyesek kettősviszonyára fennáll (a1 b1 c1 d1) = (a2 b2 c2 d2).

Az előző állítás alapján egy rögzített kúpszelet négy pontjának is definiálni tudjuk akettősviszonyát.3.14. Definíció. A σ projektív síkon legyen adva egy M közönséges projektív kúpszelet ésazon az A, B, C, D egymástól különböző pontok. Tekintsük az M kúpszelet egy továbbiS pontját és az a = 〈S,A 〉, b = 〈S,B 〉, c = 〈S,C 〉, d = 〈S,D 〉 egyeneseket. AzA, B, C, D pontnégyes M–re vonatkozó kúpszeleti kettősviszonyán az (a b c d) számotértjük.

Megjegyzés. A köri pontnégyes kettősviszonyának megfelelően, a fenti definíció is kiter-jeszthető arra az esetre, amikor az S pont egybeesik a kúpszeleti pontnégyes egyik pont-jával, például C–vel. Ekkor c legyen az M kúpszelet C pontbeli érintőegyenese.

Megjegyzés. A kúpszeleti kettősviszonyt a továbbiakban (AB C D)M

fogja jelölni.Evidens, hogy egy σ–beli A, B, C, D pontnégyes kúpszeleti kettősviszonya függ a

pontokon átmenő M kúpszelet megválasztásától.

A kúpszeletekre vonatkozó Pascal–tétel

3.15. Definíció. A σ projektív síkon legyen adva egy M közönséges kúpszelet. LegyenekA, B, C, D, E, F az M különböző pontjai. Az általuk, mint csúcspontokkal, meghatáro-zott zárt töröttvonalat az M kúpszeletbe írt hatszögnek mondjuk.

Az a = 〈A,B 〉, b = 〈B,C 〉, c = 〈C,D 〉, d = 〈D,E 〉, e = 〈E,F 〉, f = 〈F,A 〉egyeneseket a hatszög oldalegyeneseinek hívjuk. Az a–val átellenes oldalegyenesnek a d–t,a b–vel átellenes oldalegyenesnek az e–t, a c–vel átellenes oldalegyenesnek pedig az f–ttekintjük.

3.6. Tétel (Pascal tétele). A közönséges projektív kúpszeletbe írt hatszög átellenesoldalegyeneseinek metszéspontjai egy egyenesre illeszkednek.

A Pascal–tétel igazolásához szükségünk van az alábbi segédtételre, amely valójában aPappos–tételnek egy egyszerű következménye.3.1. Lemma. A σ sík g1, g2 (g1 6= g2) egyenesein legyenek adva az A1, B1, C1 és azA2, B2, C2 ponthármasok. Ha a D = g1 ∩ g2 metszésponttal fennáll (A1 B1 C1 D) =(A2 B2 C2 D), akkor az 〈A1, A2 〉, 〈B1, B2 〉 és 〈C1, C2 〉 egyenesek egyazon pontra illesz-kednek.

28

8. ábra. Illusztráció a Pascal–tételhez.

A 3.6. Tétel bizonyítása.Az M kúpszeletbe írt hatszög átellenes oldalegyeneseinek metszéspontjai legyenek P =a ∩ d, Q = b ∩ e és R = c ∩ f . Tekintsük a P, R pontok összekötésével nyert t = 〈P,R〉egyenest. A 3.1. Lemma alapján be fogjuk látni, hogy a b, e, t egyenesek egyazon pontrailleszkednek. Ez nyilván azt jelenti, hogy a t egyenes áthalad a Q = b ∩ e metszésponton,tehát a P, R, Q pontok kollineárisak.

Vegyük az X = b ∩ d és Y = c ∩ e pontokat. Az X, E, P ponthármas a d egyenesreesik, a C, Y, R ponthármas a c egyenesen van, továbbá fennáll d ∩ c = D, 〈X,C〉 =b, 〈E, Y 〉 = e és 〈P,R〉 = t. Amennyiben alkalmazzuk a Pappos–tételt és a C, E, A, D

kúpszeleti pontnégyesre a 3.6. Állítást, akkor azt kapjuk, hogy

(X E P D) = (〈B,X〉 〈B,E〉 〈B,P 〉 〈B,D〉 ) = (〈B,C〉 〈B,E〉 〈B,A〉 〈B,D〉 ) =

(〈F,C〉 〈F,E〉 〈F,A〉 〈F,D〉 ) = (〈F,C〉 〈F, Y 〉 〈F,R〉 〈F,D〉 ) = (C Y R D)

teljesül. Mivel igaz az (X E P D) = (C Y R D) egyenlőség, a 3.1. Lemmából már adódik,hogy a b, e, t egyenesek egyazon pontra illeszkednek. �

29

Megjegyzés. Egy kúpszeletbe írt hatszögnél azt az egyenest, amelyre az átellenes oldal-egyenesek P = a ∩ d, Q = b ∩ e, R = c ∩ f metszéspontjai illeszkednek, a hatszöghöztartozó Pascal–egyenesnek nevezzük. A 8. ábrán a Pascal–egyenest t jelöli.

9. ábra. Pascal tétele az A = B és C = D egybeeső csúcsok esetére.

Megjegyzés. A Pascal–tétel érvényben marad abban az esetben is, amikor a kűpszeletbeírt ABCDEF zárt töröttvonal két–két szomszédos csúcsa egybeesik. Ez esetben az elfajulthatszög két egybeeső csűcsát összekötő egyenesként a kúpszelet érintőjét vesszük.

Amennyiben a beírt ABCDEF zárt töröttvonal csúcsai között van négy különböző,akkor az elfajult esetre vonatkozó bizonyításban is fel lehet használni a 2.1. Tételt, a 3.6.Állítást és a 3.1. Lemmát.

A 9. ábrán az az elfajuló eset látható, amikor A = B és C = D teljesül.

Megjegyzés. Leginkább speciálisnak mondható az az eset, amikor a kűpszeletbe írtABCDEF zárt töröttvonal csúcsaira fennáll A = B, C = D és E = F , azaz az elfajulthatszögünk valójában egy háromszög. Ez esetben a Pascal–tétel bizonyításához már nemalkalmazhatjuk a 3.6. Állítást. Ekkor a 2.2. Tétel és a 3.4. Tétel alkalmazásával adhatunkbizonyítást a tételre.

Vegyük észre, hogy a Pascal–tételt elegendő arra az esetre igazolni, amikor a kúpszeletegy kör, hiszen bármely közönséges kúpszelet előáll egy kör centrális vetületeként. Ha akúpszelet egy kör és A = B, C = D, E = F teljesül, akkor a háromszögekre vonatkozóMenelaosz–tétel alapján is igazolni lehet a Pascal–tételt.

A Pascal–tételből következik, hogy az M közönséges projektív kúpszeletet annak ötpontja már egyértelműen meghatározza. Ugyanis, ha az M–en veszünk öt pontot és egytetszőleges g egyenest az egyik ponton át, akkor a 3.6. Tétel alapján g–nek az M–melvett másik metszéspontját vonalzós szerkesztéssel már ki tudjuk jelölni. Ily módon a 3.5.Tételt is figyelembe véve a következő megállapítást tehetjük.

30

3.3. Következmény. A síkon legyenek adva olyan P1, P2, P3, P4, P5 pontok, melyekközött nincs három kollineáris pont. Ekkor egyértelműen létezik egy olyan közönségeskúpszelet, amely áthalad a Pr (r = 1, . . . , 5) pontokon.

A pólus–poláris megfeleltetés egy adott kúpszeletre nézve

A σ projektív síkon legyen adott egy M közönséges projektív kúpszelet, amelyet rögzí-tettnek tekintünk. Az M kúpszeletet az xT = (x1, x2, x3) homogén koordinátákra nézveírja le az xTAx = 0 egyenlet. Az M kúpszelet által egy bijektív megfeleltetést tudunklétesíteni a σ sík pontjai és a σ–beli egyenesek között az alábbiak szerint.

Jelölje E(σ) a σ projektív síkra illeszkedő egyenesek halmazát. Vegyük azt aπ : σ → E(σ) leképezést, ahol tetszőleges Q∈ σ pont esetén a π(Q) egyenes azonos a Q

pont M kúpszeletre vonatkozó polárisával. Mivel az A szimmetrikus mátrix invertálható,a 3.3. Állításból adódik, hogy a π leképezés bijektív.

Tekintsük most azt a Π : E(σ) → σ leképezést, ahol a σ sík tetszőleges g egyeneseesetén a Π(g) pont megegyezik g–nek az M kúpszeletre vonatkozó pólusával. Könnyűbelátni, hogy ez a Π leképezés is bijektív, továbbá a Π éppen a π leképezés inverze, vagyisfennáll a Π ◦ π = idσ összefüggés.

A korábbi definíciókból azonnal adódik, hogy a fentiekben leírt pólus–poláris megfelel-tetés megőrzi a σ–beli pontok és egyenesek illeszkedését. Konkrétan ez azt jelenti, hogyegy Q pont illeszkedik egy g egyeneshez akkor és csak akkor, ha a Π(g) pólus illeszkedika π(Q) polárishoz.

Brianchon tétele

3.16. Definíció. A σ projektív síkon legyen adva egy M közönséges kúpszelet. Egy σ–belihatoldalú zárt töröttvonalat az M kúpszelet köré írt hatszögnek mondunk, ha az összesoldalegyenese érintője az M–nek.

Legyenek A, B, C, D, E, F egy olyan σ–beli zárt töröttvonal csúcspontjai, amelynéla hat oldalegyenes mindegyike érintője egy adott M projektív kúpszeletnek. Egy ilyen Mköré írt hatszögnél az A–val átellenes csúcspontnak a D–t, a B–vel átellenes csúcspontnakaz E–t, a C–vel átellenes csúcspontnak pedig az F–t tekintjük.

Az alábbi tételt, amely a kúpszelet köré írt hatszögekre vonatkozik, a Pascal–tételduálisának szokás tekinteni.3.7. Tétel (Brianchon tétele). A projektív kúpszelet köré írt hatszög átellenes csúcs-pontjait összekötő egyenesek egyazon pontra illeszkednek.Bizonyítás.Tekintsünk a σ síkon egy M közönséges projektív kúpszeletet és egy M köré írt ABCDEF

hatszöget. Az átellenes csúcsokat összekötő egyenesek legyenek p = 〈A,D 〉, q = 〈B,E 〉és r = 〈C,F 〉.

Vegyük a hatszög 〈F,A 〉 és 〈A,B 〉 oldalaira eső érintési pontokat és az őket összekötőa egyenest. Evidens, hogy a megegyezik az A csúcsnak az M kúpszeletre vonatkozópolárisával, vagyis fennáll π(A) = a. A másik öt csúcs esetében is a megfelelő érintésipontok összekötő egyenese adja a polárist. Ebből következik, hogy az érintési pontokkal

31

10. ábra. Illusztráció a Brianchon–tételhez.

meghatározott beírt hatszög oldalegyenesei azonosak az M kúpszelet köré írt hatszögA, B, C, D, E, F csúcsainak polárisaival.

Pascal tétele szerint a beírt hatszög átellenes oldalegyeneseinek P = a ∩ d, Q =b ∩ e, R = c ∩ f metszéspontjai kollineárisak, azaz illeszkednek egy t egyenesre. Vegyükészre, hogy a P, Q, R metszéspontok éppen a p, q, r egyenesek pólusai, mivel a P, Q, R

pontok konjugáltak a p, q, r egyenesek két–két pontjához.Végül tekintsük a t egyenesnek az M–re vonatkozó T = Π(t) pólusát. Mivel a P, Q, R

pontok illeszkednek a t egyenesre, a π(P ) = p, π(Q) = q, π(R) = r polárisok illeszkednekezen Π(t) = T pontra. �

11. ábra. A Brianchon–tétel a B ∈ M (e1 = e2) elfajuló esetben.

32

Megjegyzés. Egy M kúpszelet köré írt hatszögnél azt a pontot, amelyre az átellenescsúcsokat összekötő p = 〈A,D 〉, q = 〈B,E 〉, r = 〈C,F 〉 egyenesek illeszkednek, ahatszöghöz tartozó Brianchon–pontnak nevezzük.

Megjegyzés. A Brianchon–tétel érvényben marad abban az esetben is, amikor a kúp-szeletbe köré írt ABCDEF zárt töröttvonal egyes csúcsai a kúpszeletre esnek és a rajtukáthaladó két–két oldalegyenes egybeesik. Az ilyen elfajult esetekre vonatkozó bizonyításis elvégezhető a Pascal–tétel felhasználásával.

A 11. ábrán egy olyan hatszög szerepel, ahol a B csúcs rajta van az M kúpszeleten,és emiatt az e1 = 〈A,B〉, e2 = 〈B,C〉 érintők egybeesnek.

33