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補論2　生産者行動の理論

生産関数　市場制約　利潤最大化　生産物供給　要素需要　

短期と長期の供給曲線

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1. 生産関数：技術制約

 生産集合：生産可能な投入と産出の組合せ(生産ベクトル)の集まり

 生産集合の条件  桃源郷の不可能性  自由可処分性  連続性

 効率的な生産ベクトルの集まり 　　⇒ 生産関数 y=f(x1,x2)

3

y

x

　　Y 生産集合

y=f(x)

0

A

C

B

x1

y1

y3

y2

生産集合と生産関数

4

限界生産物と平均生産物

 限界生産物 MP(x0)=f’(x0)  生産要素の追加的1単位増加によってもたらされる生産物の増加分

 平均生産物 AP(x0)=f(x0)/x0

 生産要素1単位あたりの生産物の量  限界生産物逓減の法則

 生産要素投入の増大に伴って限界生産物が次第に小さくなること → f”(x)<0

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y

x

f’(x1)

0

A

x1

y1

限界生産物と平均生産物

y1/x1

6

2. 最適生産計画  利潤最大化の条件(1要素のケース)

 max Π(x)=pf(x)-wx 　　↓↓

 Π’(x*)=0  Π”(x*)<0　(2階の条件) 　　↓↓

 p・MP(x*)=w　(限界価値生産物=要素価格)  MP(x*)=w/p　(限界生産物=価格比)

7

C,R Π

Π=Π(x)

Π(x*)

Π(x**)

R=pf(x)

C=wx py=wx+Π(x*)

0 x** x1 x* x2 x

8

Π’(x)

0

Π”(x)

0 x**

x* x

Π”(x*)<0

Π”(x**)>0

Π'(x**)=0 Π'(x*)=0

x x* x**

9

 利潤最大化の条件(n要素のケース)  max Π(x1,x2,...,xn)  =max pf(x1,x2,...,xn)-w1x1-w2x2-...-wnxn 　　↓↓

 Πi(x1*,x2*,...,xn*)=0  Πii(x1*,x2*,...,xn*)<0　(2階の条件) 　　↓↓

 p・MPi(x1*,x2*,...,xn*)=wi　

　　　(限界価値生産物=要素価格)  MPi(x1*,x2*,...,xn*)=wi/p　(限界生産物=価格比)

 要素需要←利潤最大化条件

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3. 制約付き要素需要

 等量曲線(生産量が同じ)  y0=f(x1,x2)を満たす(x1,x2)の集まり

 技術的限界代替率 MTS  MTS=-△x2/△x1=MP1/MP2

 同一の生産量の下で，第1要素を1単位増やしたときに第2要素を何単位減らしてよいかを表す

 等量曲線の接線の傾きにマイナスの符号をつけたもの

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x2

0 x1

y=y0

A

C

B

技術的限界代替率逓減の法則 MTSA>MTSB>MTSC

原点に向かって膨らんだ 等量曲線

12

 等費用線(費用が同じ)  C0=f(x1,x2)を満たす(x1,x2)の集まり

 制約付き要素需要  所与の生産量を最小費用で産出できる要素需要

 制約付き要素需要曲線  xi=hi(w1,w2,y0) i=1,2

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x2

0 x1

y=y0

A

B

E

x10

x20

C1=w1x1+w2x2

C0=w1x1+w2x2

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4. 費用関数

 短期費用関数  可変的生産要素：x1　→可変費用VC  固定的生産要素：x2=x2

0　→固定費用FC  y=f(x1,x2

0)→x1=g(y,x20)

 C=w1x1+w2x20=w1g(y,x2

0)+c0= C(y)

 限界費用MC=△C/△y  追加的1単位の生産に必要な費用の増加分

 平均費用AC=C/y  平均可変費用AVC  平均固定費用AFC　→　AC=AVC+AFC

15

45°

y y2 y1 0 c1

c2

y1

y2

x1 y

y

0

y

c1

c2

C C C1(y)

C2(y) C2=w1x1+c2

C1=w1x1+c1

y=f(x1,x22)

y=f(x1,x21)

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C

c0

0 y y2 y1 y0

A

B

D

E

C(y)

17

0 y0 y1 y2 y

AFC

AVC

AC MC

18

5. 短期利潤の最大化

 max Π(y)=py-C(y)  追加的1単位の生産の増加によって収入は価格pの大きさだけ増加する．一方，費用はその1単位の生産増加に要する限界費用MCの分だけ増大する．両者がバランスしたところが利潤最大となる．

 p=MC　(価格=限界費用)  限界費用が逓増的 MC’>0

19

C,R Π

0

c0

-c0

y** y* y

Π(y)

R=py C(y)

20

6. 短期供給曲線

 価格=限界費用，限界費用逓増 　　→　最適供給量　→　供給曲線

 MC逓増　→　MC曲線の右上がり部分  価格p3のとき供給量y3．y3’では利潤極小  価格p4のとき供給量y4．赤字は固定費より少ない

 価格p5のとき供給量y5が候補，赤字は固定費より多いので供給しない

 供給曲線は操業停止点より上のMC曲線

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0 y0 y1 y2 y

AVC

AC MC

y3’ y5 y3

y4

p

p3

p2

p4

p1

p5

A

B A: 損益分岐点 B: 操業停止点

22

２要素投入における利潤最大化

K, Lについて狭義単調増加 ２回連続微分可能 狭義凹関数

€

FK > 0 FL > 0FKK < 0 (FLL < 0) FKKFLL −FKL

2 > 0

23

２要素投入における利潤最大化

要素価格　資本レンタル価格　r 　　　　　　　賃金率　w 生産物価格　p

24

２要素投入における利潤最大化

25

生産者の費用最小化問題

s. t.

狭義準凹

線型（準凸関数）

凸集合

26

ラグランジュ乗数法

ラグランジュ関数を作る

目的関数は線形，生産関数は狭義準凹関数だから 最小化の2階の条件は満たされる