cc/ec/ufes 2010/2 teoria dos grafos (inf 5037/inf2781) cortes (cut-sets)
TRANSCRIPT
![Page 1: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/1.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037/INF2781)
Cortes (cut-sets)
![Page 2: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/2.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Corte por arestas
• Em um grafo conexo G, um corte de arestas é um conjunto de arestas cuja remoção de G torna G desconexo, desde que nenhum subconjunto próprio desse conjunto também desconecte G
![Page 3: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/3.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Corte por arestas
• rank de um grafo: r = n - (G)
• Subconjunto minimal de arestas de maneira a garantir a conexidade de cada componente do grafo
• corte de arestas: subconjunto minimal de arestas cuja remoção reduz o rank de um grafo de uma unidade.
![Page 4: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/4.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Corte por arestas
• corte de arestas: subconjunto minimal de arestas cuja remoção acarreta uma partição no grafo.
![Page 5: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/5.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Propriedades
• Todo corte de arestas de um grafo conexo G deve conter pelo menos uma aresta de toda árvore geradora de G;
• Em um grafo conexo G, qualquer conjunto minimal de arestas contendo pelo menos uma aresta de qualquer árvore geradora de G é um corte de arestas;
• Todo ciclo possui um número par de arestas em comum com qualquer corte de arestas
![Page 6: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/6.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Corte por Aresta (Bondy & Murty)
• Para subconjuntos S e S’ de V, denotamos por [S, S´] o conjunto de arestas com um extremo em S e outro em S´
![Page 7: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/7.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Corte por Aresta (Bondy & Murty)
• Para subconjuntos S e S’ de V, denotamos por [S, S´] o conjunto de arestas com um extremo em S e outro em S´
• Seja C um subconjunto de E da forma [S, S´], onde S é um subconjunto não vazio e próprio de V e S´=V-S
![Page 8: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/8.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Bond
• Se C é minimal, então C é um corte de arestas de G.
• Em alguns livros o corte de arestas é denominado bond.
• Se G é conexo, então um bond B de G é um subconjunto minimal de E tal que G-B é desconexo.
![Page 9: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/9.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Exemplo:
G
![Page 10: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/10.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Exemplo:
G
b
a
![Page 11: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/11.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Exemplo:
G
b
a Conjunto de arestasque desconecta o grafo!
![Page 12: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/12.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Exemplo:
G
b
aMas não é minimal!!!
![Page 13: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/13.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Exemplo:
G
b
aÉ um corte de arestas (bond)!!
![Page 14: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/14.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Cotree
• Se H é um subgrafo de G, o complemento de H em G, denotado por H é o subgrafo G-E(H).
• Se G é conexo, e T é uma árvore geradora de G, então T é dita cotree de G
![Page 15: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/15.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Teorema:
Seja T uma árvore geradora de um grafo conexo G e seja a uma aresta de T. Então:
a) a cotree T não contém corte de aresta de G;
• T + a contem um único corte de arestas de G.
![Page 16: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/16.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Prova
• Exercício!!!!!!!!!!
![Page 17: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/17.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Conectividade e Separabilidade
![Page 18: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/18.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Conectividade de arestas
• Em um grafo conexo G, o número de arestas do menor corte de arestas de G é definido como conectividade de arestas de G (K´ (G))
• K´ (G): número mínimo de arestas cuja remoção reduz o rank de G em uma unidade.
• K´(T) = ????, onde T é uma árvore.
![Page 19: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/19.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Corte de vértices
• Subconjunto minimal de vértices V´ V, cuja remoção de G o desconecta ou o transforma em um grafo nulo.
• G – V´: desconexo ou nulo e subconjunto próprio V´´ V´, G – V´´ é conexo e não nulo.
![Page 20: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/20.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Conectividade de vértices
• O número mínimo de vértices que desconecta o grafo G ou o reduz a um único vértice é definido como conectividade de vértices de G (K (G))
• K(T) = ????, onde T é uma árvore.
• Conectividade de vértices tem sentido apenas para grafos conexos com mais de três vértices e não completos.
![Page 21: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/21.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Conectividade de vértices
• K´(G) = K(G) = 0, G desconexo
• K(G) n – 2, G Kn
![Page 22: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/22.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Grafo separável
• Um grafo G é dito separável quando
K(G) = 1.
• Neste caso, G pode ser decomposto em subgrafos G1 e G2 tal que G1 e G2 tem apenas um vértice em comum.
![Page 23: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/23.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Articulação
• Vértice cuja remoção desconecta o grafo.
![Page 24: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/24.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Teorema
Seja G (V,E) um grafo conexo, |V| > 2. Então:
• Um vértice v de V é articulação sss existem dois vértices x e y em G, x, y v, tais que todo caminho entre x e y passa por v;
a) Uma aresta {p,q} de E é ponte sss {p, q} for o único caminho entre p e q em G.
![Page 25: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/25.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Exemplo
Suponha que são dadas n estações que devem ser conectadas por e linhas,
e ≥ n-1. Qual é a melhor maneira de conectá-las, de maneira a evitar sua
destruição devido à destruição de estações individuais e/ou linhas individuais?
Maior conectividade de vértices e arestas
![Page 26: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/26.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Teorema
A conectividade de arestas de um grafo G não pode exceder o grau do vértice com o
menor grau de G
![Page 27: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/27.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Prova
• Seja w o vértice de grau mínimo de G ()
• É possível desconectar G, removendo-se as arestas incidentes a w.
• ≥ K´(G)
![Page 28: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/28.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Teorema
A conectividade de vértices de um grafo G não pode exceder a conectividade de
arestas de G
![Page 29: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/29.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Questão
Sejam G = (V,E) um grafo e
E´ um corte de arestas de G.
É sempre possível encontrar
um corte de vértices V´
tal que |V´| |E´|?
![Page 30: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/30.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
G, K(G) K´(G)
![Page 31: CC/EC/UFES 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Cortes (cut-sets)](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062623/552fc0fe497959413d8bb9eb/html5/thumbnails/31.jpg)
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Corolário
Todo corte de arestas em um grafo não separável com mais de dois vértices contém
pelo menos duas arestas