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物理数学１Ｂ（後半部）担当教員：山本貴博

第1回目講義：平面におけるグリーンの定理（線積分⇔2重積分）

第2回目講義：ガウスの定理 （面積分⇔体積分）

第3回目講義：ストークスの定理 （線積分⇔面積分）

(12月11日)

(12月18日)

(1月15日)

講義内容：講義内容：ベクトル場における積分定理ベクトル場における積分定理

第1回目講義：平面におけるグリーンの定理(テキスト p144-p149)

G.Green (1793-1841) グリーンの定理に関する原著論文

An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism (Green, 1828)

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線積分⇔2重積分

■ 平面におけるグリーンの定理 (テキスト p.144-145)

■平面におけるグリーンの定理の証明

A

BR

単連結領域R内で

は、1価連続関数とする。

a b

左図の黄色の短冊部分に関してx軸にそってaからbまで積分

･･････ (1.1), , ,

■ 証明（つづき）

E

F

R

d

c左図の黄色の短冊部分に関してy軸にそってcからdまで積分

単連結領域R内で

は、1価連続関数とする。 ･･････ (1.2)

(1.1)式と(1.2)式を足し合わせて、平面におけるグリーンの定理

を得る。（証明終了）

････････････ (1.3)

, , ,

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■ 多重連結領域 (テキスト p.146)

単連結領域

2重連結領域

虫食い領域

※ 単連結領域：領域内の任意の閉曲線を連続的に縮めていくと点となる

※ 多重連結領域：領域内の任意の閉曲線を点に縮めることができない

C2

C1

C2

C1

閉曲線C1, C2とも、点に縮めることができる

虫食い領域を囲まない閉曲線C1は、点に縮めることができる

虫食い領域を囲む閉曲線C2は、点に縮めることができない

虫食いの数=N個： N+1重連結領域虫食いの数=N個： N+1重連結領域

■ 多重連結領域でのグリーンの定理 (テキスト p.146)

＝ ＋ ＋ ＋

A

B

A

BA A

BB

ステップ2： 積分経路の分解

ステップ１： バイパスの導入

A

B

CA

CB

経路CAと経路CBを結ぶ経路ABを導入

→ 領域Rは単連結領域と見なすことが

　　できる

→

単連結領域

キャンセル

∴

∴

∴

･････････ (1.4)

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■ 平面上の線積分が経路に依らないための条件（テキスト p.147）

A

B

0

線積分が経路に依らないとき

一般的に、線積分の値は経路に依存する

(1.3)式に線積分の性質[C=C1+(-C2)]より

線積分が経路に依らない = 周回積分ゼロ

となる。したがって、

･････････ (1.5)

線積分

∴

が成立することである。

が積分経路に依存しないための必要十分条件は

ただし、単連結領域Rにおいて、 は1価連続関数

■ 証明

※ 十分条件

が経路に依存しないということは、

と等価である。したがって、平面におけるグリーンの定理を用いると

となる。この等式が成立するためには第2項の非積分が常にゼロでなければならない。

（証明終了）

, , ,

････････････ (1.6)

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R

を満足する点

■ 証明（つづき）

R0

領域R0の境界をC0とすれば、グリーンの定理より

C0

C

仮定と矛盾!!同様に、

の場合も矛盾を導く（証明略）

∴ R内で恒等的に （証明終了）

※ 必要条件

が成立するとし、 として矛盾を導く。

はR内で1価連続である。 R内で

を含む領域R0があるとする（下図を参照）。

を満たすような点

証明の手続き：

領域R（それを囲む経路C）内で が成立するならば、

,

■ 全微分条件

を満足するP, Qからなる関数:

を導入する。 Aは定点としているので U は(x,y)の関数である。

yを固定してx軸方向にΔxだけ並進させると、関数U(x,y)は

青線の経路 赤線の経路

赤線の経路においてdy=0

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Δxが非常に小さいとすると、U(x+Δx, y)は

となる。また、 U(x+Δx, y)をΔxに関して１次までテーラー展開すると

････････････ (1.7)

････････････ (1.8)

である。(1.7)式と(1.8)式を比較すると、

を得る。

一方で、xを固定してy軸方向にΔyだけ並進させることを考えると、同様に

を得る。(1.9)式と(1.10)式から

････････････ (1.9)

････････････ (1.10)

････････････ (1.11)

を得る。したがって、 は U(x,y) の全微分を表す。

■保存力場

力学概論で学んだように、保存力　　　　は

によって、ポテンシャルUから導かれることを学んだ。逆に、保存力　　　　に対して

ポテンシャル　　　　は

で与えられる。この線積分の値は、積分経路に無関係である。すなわち任意の閉曲線Cに対して

が成り立つ。いま、平面（2次元）運動を考え、保存力を

とすると、････････････ (1.15)

････････････ (1.12)

････････････ (1.13)

････････････ (1.14)

････････････ (1.16)

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(1.16)式に対して、平面におけるグリーンの定理を用いると

を得るので、全微分条件：

を得る。

････････････ (1.6)

････････････ (1.3)

保存力の回転（rotation）は

であることを、力学概論で学んだ。平面（2次元）運動の場合に力が

とする。全微分条件(1.6)式を導きなさい。

その場演習：保存力場

平面におけるグリーンの定理を用いて、次の線積分の値を求めよ。

ここで、積分路は

を反時計まわりにとる。

レポート課題：平面におけるグリーンの定理の応用

レポート提出に関する注意事項

・表　　　紙：指定のものを用いること（以下のＨＰよりダウンロード）　　　　　　　　http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~takahiro/math1B_07.html・ 提出期間：木曜日12:00～金曜日16:00まで・提出場所： 1号館8階渡辺研前のボックス

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C.F.Gauss (1777-1855)

第2回目講義：ガウスの定理(テキスト p.151-157)

ガウス生誕の地（Brunswick）に建つガウスの像

面積分⇔体積分

■ ガウスの定理

■ガウスの定理 の（直感的）導出

P:

Q:

R:体積 の微小直方体を考える。

この微小直方体の表面

上での面積分：

を計算する。

ここで、n は積分面の単位法線ベクトルである。図2-1: 積分面（ガウス面）

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直方体の体積　　　は非常に小さい　⇒　各面　　でのベクトル場を中心の値

で代表させる

平面 S1+S2の計算

n n

nn

は非常に小さいので、　　　　　 のまわりで

テーラー展開を行い

となり、したがって

同様にして、平面 S3+S4と平面 S5+S6の計算を行うと、

,

を得る。以上をまとめると、微小直方体に対して

を得る。

0・

次に、任意の3次元体積V（左図）について考える。

体積 V（表面積S） を体積　　　　　　　　　　　　　のN個の微小直方体に分割する。

隣り合う2つの直方体の共有する面では面積分はキャンセルしあうので、ΔVl→0（N→∞）の

極限で

を得る（ガウスの定理）。

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■ ガウスの積分 (テキスト p.155-156)

(原点Oが曲面Sの外)

(原点Oが曲面Sの内)

・・O O

nn

rr

原点Oが曲面Sの外原点Oが曲面Sの内

閉曲面 S 上の任意の点P の位置ベクトル r とするとき、次のガウスの積分が成立する。

P P

※ ガウスの定理を用いて証明

ベクトル公式：

を用いると、　原点Oが曲面Sの外の場合にはガウスの定理より

････････････ (2.1)

次に、原点OがSの内の場合について考える。

. n

n

a

S’

S閉曲面内部に原点Oを中心とする半径aの空洞（球面S’）を作る（左図参照）

O閉曲面S+S’（左図の水色部分）を考えれば、原点OはS+S’の外にある。

したがって、

(2.1)式と(2.2)式をまとめると、任意の閉曲面Sに対してガウスの積分

(原点Oが曲面Sの外)

(原点Oが曲面Sの内)

････････････ (2.2)

を得る。

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物理例：点電荷の作る電場

+q

原点Oに置かれた点電荷（電荷q）がつくる電場は

････････････ (2.3)

E

である。

n

左図の閉曲面S1とS2に対して電場Eを面積分すると

S1S2

(S1)

(S２)

ある領域内に電荷Qが存在すると、その領域から電荷Qと等しい大きさの電束密度（ 　　　　　 ）という物理量が出入りする

ある領域内に電荷Qが存在すると、その領域から電荷Qと等しい大きさの電束密度（ 　　　　　 ）という物理量が出入りする

n

もっと一般的には、任意の電荷分布に対して（積分型の）ガウスの法則：

が成立することを電磁気学（2年次）で学ぶ。ρは電荷密度を表す。

または

と表すことができる。ここで、 A (r,t)はベクトルポテンシャルと呼ばれる。

（問題）　任意の閉曲面S上での磁場B(r,t)の積分値は如何？

演習問題2: 磁場に対するガウスの法則

電荷と異なり、磁荷は単独で存在できない。そのため磁場B(r,t)は

に従う（磁場に対するガウスの法則：電磁気学で学ぶ）。したがって、磁場B(r,t)はベクトル場A (r,t)を用いて

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第3回目講義：ストークスの定理(テキスト p157-p167)

Sir George Gabriel Stokes(1819年- 1903年, アイルランド、数学者、物理学者)

流体力学の分野　粘性流体の式：ナビエ＝ストークスの式　流体中を落下する粒子の速度：ストークスの式　水面波の「ストークス波」　粘度の単位ストークス

光学の分野　ストークス散乱

数学の分野　ストークスの定理

■ストークスの定理

線積分⇔2重積分

■ 2次元ベクトルに対するストークスの定理

2次元ベクトルAを

と書くと、ストークスの定理の左辺は

となる。一方、右辺は

となるので、

（平面に対するグリーンの定理）

を得る。

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■ストークスの定理の（直感的）導出

左図に示すような面積 の

微小長方形を考える。この長方形の周

に沿って、ベクトルAの線積分

を考える。

長方形の面積ΔSは非常に小さいので、各経路Ci (i=1,2,3,4)を横切るベクトル A を各経路の中心の値 A(i) で代表させることができる。したがって、各積分値は

, , ,

と近似できるので、

と書くことができる。

ΔxとΔyは非常に小さいので、

と書くことができる。したがって、微小長方形に対して

が成り立つ。ここで、nは面ΔSの単位法線ベクトル（今の場合はz方向の単位ベクトル）。

次に、任意の面積S（右図）の閉曲面について考える。右図のように、面積Sの閉曲面をN個の微小長方形（面積ΔS）に分割する。

この式の左辺は、N→∞の極限で

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一方、右辺に関しては

　隣り合う微小長方形が共有する1辺での線積分は、

　その積分路が逆向きのために互いにキャンセル　（右図を参照）

するので、 N→∞の極限で

となる。こうして、ストークスの定理：

を得る。

■ 保存力とポテンシャル

ストークスの定理から導かれる次の２つの結果は、物理学を学ぶ上でたびたび用いられる重要な結果である。

（１）　全ての閉曲線Cに対して、 となるための必要十分条件は

恒等的に である。

（２）　 の必要十分条件は である。

（１）の証明

[十分条件] ならば、ストークスの定理より

[必要条件] 全ての閉曲線Cに対して

とする。証明方法としては、ある点Pで とし、上の仮定との矛盾を

見つけることによって必要条件を証明する。次ページ

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ベクトル　　　　　が連続であるならば、点Pのまわりで を満たす領域Rが

存在する。

領域R内で、単位法線ベクトル　　が　　　　　と同じ方向をもつ曲面Sを考え、その周をCとする。このとき　　　　　　は

と書くことができるので、ストークスの定理より

となる。これは仮定 と矛盾するので、恒等的に

である。こうして、始点をP1, 終点をP2とする線積分

がP1からP2への路に依存しないための必要十分条件は　　　　　　　　である。

レポート問題3: 保存力とポテンシャル

の必要十分条件は

その場演習問題: 保存力とポテンシャル

（１） 力

であることを証明せよ。

が保存力であるかを

調べなさい。

（２） 中心力 が保存力であることを証明しなさい。