Pertemuan minggu Ke-8 (2 x 50 menit)Model AntrianTujuan Instruksional Umum : Mahasiswa dapat membuat model antrian dan menggunakan rumus-rumusnya untuk mendapatkan solusi optimal, sehingga diharapkan dapat membuat program aplikasinya.Tujuan Instruksional Khusus :1. Mahasiswa dapat menentukan elemen dasar model antrian.2. Mahasiswa dapat menjelaskan proses pure birth dan pure death.3. Mahasiswa dapat memahami distribusi Poisson dan Eksponensial.Elemen Dasar Model Antrian. Aktor utama customer dan server.Elemen dasar :1. distribusi kedatangan customer.2. distribusi waktu pelayanan.3. disain fasilitas pelayanan (seri, paralel atau jaringan).4. disiplin antrian (pertama datang pertama dilayani, terakhir datang pertama dilayani, pelayanan secara acak) dan prioritas pelayanan.5. ukuran antrian (terbatas atau tidak terbatas).6. sumber pemanggilan (terbatas atau tidak terbatas).7. perilaku manusia.Distribusi Poisson dan eksponensial. Proses Poisson memenuhi kondisi:1. peluang suatu kejadian (kedatangan atau keberangkatan) terjadi antara waktu t dan t+s tergantung hanya pada jangka waktu s.Catatan Riset Operasional 2, jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 342. peluang suatu kejadian terjadi selama jangka waktu sangat pendek h adalah positif tapi kurang dari 1.3. paling banyak satu kejadian dapat terjadi selama jangka waktu sangat pendek h.Karakteristik Poisson:1. proses acak sempurna forgetfulness.2. rata-rata dan ragam sama. Contoh :Mesin pelayanan selalu mempunyai pengganti yang siap setiap saat menggantikan mesin yang sedang beroperasi jika rusak.Selang waktu kerusakan mesin atau pengganti adalah eksponensial dengan rata-rata 10 jam.Maka distribusi eksponensial waktu kerusakan adalah sebagai berikut (= 1/10 kerusakan per jam=0.1):( )te t f1 . 01 . 0 , t > 0Distribusi Poisson untuk jumlah kerusakan selama periode T adalah :( )( )!1 . 01 . 0ne tt pt nn , n = 0, 1, 2, Misalnya kita ingin mengetahui peluang bahwa satu kerusakan akan terjadi dalam 5 jam, maka probabilitasnya adalah:Catatan Riset Operasional 2, jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 35Eksponensial :( )te t f ,t 0, dimana{ }1 t EPoisson :( )( )! ne tt pt nn ,n = 0, 1, 2, dimana { } t t n E { } ( ) > > xe t P t t PProses Pure Birth and Pure Death.Pure birthcustomer bertambah terus dalam sistem dan hampir tidak meninggalkan sistem dalam suatu periode waktu tertentu.Pure birth proses acak dan dapat dijelaskan dengan distribusi Poisson.( )( )! ne tt pt nn , n = 0, 1, 2, (pure birth)= laju kedatangan per satuan waktu Ekspektasi jumlah kedatangan selama periode t = t.Contoh:Misalkan kelahiran dalam salah satu propinsi didata sepanjang waktu mengikuti distribusi eksponensial dimana rata-rata satu kelahiran setiap 7 menit.Dari antar waktu kelahiran, laju kelahiran ( ) dapat dihitung, yaitu 7 . 205760 24 xkelahiran per hari.Ekspektasi jumlah kelahiran dalam propinsi tersebut per tahun adalah205.7 x 365 = 75080.Probabilitas jumlah kelahiran dapat dihitung dengan rumus:( )( )!7 . 2057 . 205ne tt pt nn , n = 0, 1, 2, dan t dalam satuan hari.Catatan Riset Operasional 2, jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 36Pure deathsistem antrian dimana customer ditarik dari sistem dan hampir tidak ada customer yang masuk ke dalam sistem dalam suatu periode waktu tertentu.( )( )( )! n Ne tt pt n Nn ,n = 1, 2, , N( ) ( ) Nnnt P t p101Contoh :Pada awal setiap bulan, 15 unit itemdistok untuk penggunaan selama minggu itu. Penarikandari stokterjadi hanyaselama6hari pertama(karenatooktutuppadahari Minggu) dan mengikuti distribusi Poisson dengan rata-rata 3 unit/hari. Ketika level stok mencapai 5, order baru dengan jumlah 15 unit dibuat ke supplier untuk diantarkan pada awal minggu berikutnya. Karena sifat produk yang mudah rusak, semua barang yang sisa pada akhir minggu harus dibuang.Ada beberapa cara untuk menyelesaikan masalah ini:1. = 3 unit/hari. Misalkan kita tertarik untuk menghitung peluang ada 5 unit dalam stok pada hari ke-t, maka :( )( )( )! 5 1553 5 155 te tt p , t = 1, 2, ,6t (hari) 1 2 3 4 5 6 t3 6 9 12 15 18p5(t) 0.0008 0.0413 0.1186 0.1048 0.0486 0.0152. jika kita tertarik probabilitas membuat order pada hari ke-t, kita harus menghitung probabilitas kumulatif memiliki 5 atau kurang dari 5 pada hari ke-t, yaitu:pn 5(t) = p0(t) + p1(t) + p2(t) + p3(t) + p4(t) + p5(t)t (hari) 1 2 3 4 5 t3 6 9 12 15Pn 5(t)0.0011 0.0839 0.4126 0.7576 0.9301Catatan Riset Operasional 2, jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 37sistem12cX XXXCustomer tibaGaris antrian/ menungguserverkeberangkatansistemInformasi lainyangbisadidapat adalahrata-rataunit yangdibuangpadaakhir setiap minggu.{ } ( ) 1506 6nnnp t n E, t = 18n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11pn(6) 0.792 0.0655 0.0509 0.0368 0.0245 0.015 0.0083 0.0042 0.0018 0.0007 0.0002 0.0001Pertemuan minggu Ke-9 (2 x 50 menit)Antrian Dengan Kombinasi Kedatangan dan KeberangkatanServer paralel Server tunggalServer seriCatatan Riset Operasional 2, jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 38sistemCustomer tibaGaris antrian/ menungguserverkeberangkatanX XXX1Customer tibaGaris antrian/ menungguserverkeberangkatanX XXX2 3sistemkeberangkatanCustomer tibaX XXXGaris antrian/ menungguserver12c22iii Server jaringan Model Poisson UmumAntrian Poisson dengan state-dependent arrival and departure rates. Diagram laju transisi , n= 1, 2, ... dan01nnpContoh :Perhatikan situasiantrianservertunggal dimana laju kedatangan konstan 3 per jam dan keberangkatan konstan 8 perjam, untuk semua n 0.Catatan Riset Operasional 2, jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 39n-1nn+1n-1nnn+101 10 2 1p pn nn nn ( )0 0 0375 . 083p p p pnnnn

,_

,_

, n = 0, 1, 2, ...1 375 . 0 375 . 0020 0 + + p p p atau( ) 1 375 . 0 375 . 0 120 + + + pDeret geometri : 1375 . 0 110

,_

pp0 = 0.625n 0 1 2 3 4 5 6 7 8pn0.625 0.234 0.088 0.033 0.012 0.005 0.002 0.001 0.000Ukuran Keseimbangan KinerjaKinerja antrian : Ls = jumlah ekspektasi customer dalam sistem. Lq = jumlah ekspektasi customer dalam antrian. Ws = ekspektasi waktu dalam sistem Wq = ekspektasi waktu menunggu dalam antrian.0 nn n effp Kita gunakan contoh di atas untuk menghitung parameter sistem :0 nn n effp = 3 kedatangan per jam.6 . 0 001 . 0 7 002 . 0 6005 . 0 5 012 . 0 4 033 . 0 3 088 . 0 2 234 . 0 1 625 . 0 00 + + + + + + + nn snp L2 . 036 . 0 effssLW jam ; 812 . 01 s qW W=0.075 jam; 225 . 0 075 . 0 3 q ef qW L customer;Catatan Riset Operasional 2, jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 40PnLs =0 nnnpq s q eff q s qeffssL L c W L W WLW 1persentase utilisasi =% 5 . 37 1001225 . 0 6 . 01001100 q sL LccPertemuan minggu Ke-10 (2 x 50 menit)Review dan latihan Soal-soal1. Tujuhkotaakandihubungkandengankabel untuksuatujaringantelevisi kabel. Panjang kabel yangdibutuhkan jika satu kota dihubungkan dengan kota lainnya ditunjukkan Tabel 1. prinsipnya, suatu kota hanya perlu dihubungkan sekali dengan sembarang keenam kota lainnya.Tentukan total minimal kabel yang dibutuhkan!Bogor Jakarta Tangerang Bekasi DepokKarawang BandungBogor - 1300 1000 1400 780Jakarta - 200 300 200 1300 1400Tangerang - 900 800 2000 2600Bekasi - 1100 1100 1300Depok- 2000 2600Karawang - 1000Bandung -2. Sebuah truk harus mengantarkan konsentrat bahan bangunan dari pabrik pencampuran ke lokasi pembangunan.Jaringan di bawah ini menunjukkan rute yang adadari pabrikmenujulokasi. Setiaprutedilengkapi dengan2informasi (d, t), dimanad menunjukkan panjang rute dan t adalah waktu yang dibutuhkan olehtruk untuk melewati rute tersebut.Kecepatan truk pada setiap truk tergantung dari kondisi jalan dan jumlah serta lama lampu merah yang ada di rute yang dilalui.Tentukanlah rute terbaik bagi truk tersebut!Catatan Riset Operasional 2, jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 411246Lokasi pembangunan(1,3)(3,4)(2,7)(3,20)(4,10)(1,5)(7,12)(6,8)3. Perhatikan perencanaan produksi sebuah pabrik yang memproduksi 200 unit suatu produk tertentu menggunakan 3 mesin setiap harinya. Biaya persiapan, biaya produksi per unit, dan kapasitas produksi maksimum setiap mesin ditunjukkan Tabel 2.tujuan yang ingin dicapai adalah meminimumkan biaya produksi per hari.4. Dalam suatu permainan judi, pemain A memegang kartu Asmerah,10hitam dan Jack hitam; sementara pemain B memegang Queenmerah,Kinghitam dan 5 merah. Secara bersamaan kedua pemain akan menunjukkan salah satu kartu yang dipegangnya.Jika kedua kartu sesuai warnanya pemain A menang; jika tidak, pemain Byangmenang. Masing-masingkartumempunyai nilai dalamdolar. KartuAs mempunyai nilai $5, kartu jack hitam $5 dan kartu 10 hitam dengan nilai $2, kartu Queen mempunyai nilai $3, kartu 5 mempunyai nilai $2 dan kartu King dengan nilai $6.Payoff (perolehan) masing-masing pemain ditentukan secara berikut:a. Jika pemain A menunjukkan kartu As, kedua pemain akan mempertukarkan selisih nilai kartu yang mereka pegang. b. Jika pemain A menunjukkan kartu 10, kedua pemain akan mempertukarkan total nilai kedua kartu yang ditunjukkan.c. Jika pemain A menunjukkan kartu Jack, kedua pemain akan mempertukarkan nilai yang terbesar dari kedua kartu yang ditunjukkan.Tentukanlah strategi terbaik bagi A dan B!5. JimdanAnnadalahduaorangkaryawansuaturestoran. Sebelumjambuka restoran, keduaorangtersebut menyepakati suatupermainan. Jikadalamsatu(1) menit ada minimum satu pelanggan yang datang, Ann harus membayar Jim sebesar $0.5, jikatidakJimharusmembayar Anndenganjumlahyangsama. Kedatangan Catatan Riset Operasional 2, jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 4235pabrik(1,2)(5,15)pelanggan diidentifikasi mengikuti distribusi Poisson dengan laju rata-rata 1 pelanggan per menit.Permainan berlangsung untuk satu hari kerja dengan jam kerja 8 jam.Selesaikan untuk berbagai informasi yang dapat diperoleh dengan teori antrian!6. Sebuahrestoranyangmelayani parapelanggannyadi dalammobil mengalami sukses selama beberapa bulan terakhir ini. Agar pelanggan puas, salah satu servis yang diberikanadalahmemberikanpelayananyangsecepat mungkin, agar tidakterjadi antrian yang panjang. Hasil pengamatan menunjukkan bahwa tingkat kedatangan rata-rata pelanggan selama periode-periode jammakan siang dan malamadalah 20 mobil/jam. Tingkat kedatangan mengikuti suatu distribusi poisson dengan waktu pelayananrata-ratasebesar0.5menit dengandistribusi eksponensial. Tentukanlah parameter sistem antriannya!!Pertemuan minggu Ke-11 (2 x 50 menit)Tujuan Instruksional Khusus :Mahasiswa dapat menggunakan berbagai model dari model antrian khusus Poisson.Antrian Khusus Poisson.Model (M/M/1) : (GD/~/~) Contoh :Catatan Riset Operasional 2, jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 43( )nnp 1 , n = 0, 1, 2, { } 1n E Ls ; 12s qL L ;( ) 11ssLW; ( ) 1qqLWPada suatu fasilitas pencucian mobil, informasi yagn dikumpulkan menunjukkan kedatangan mobil ke pelayanan mengikuti distribusi Poisson dengan rata-rata 4 per jam. Waktu pencucianmasing-masing mobil bervariasi dan mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata 10 menit per mobil.Fasilitas pelayanan tidak dapat menangani lebih dari satu mobil dalam periode waktu tertentu.Penyelesaian :Kasus ini merupakan antrian dengan model (M/M/1) : (GD/~/~).Dik : = 4 mobil per jam; = 60/10 mobil per jam = 6 mobil per jam.Jawab := /= 2/3 (< 1) antrian ada pada steady-state.Model (M/M/1) : (GD/N/~)Contoh :Catatan Riset Operasional 2, jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 44'++1 ,1111 ,1 N1 nNnp, n = 0, 1, 2, , N( ) { }( )'

,_

+ ++ + 1 ,11 111 11 ,2N nNNNNNsLeff= (1-pN); ( )Nseffs qpL L L 1( ) ( )NsqNqeffqqpLWpL LW + 11 W ;1s { } 2321321 n E Ls;3 / 4322 s qL L;5 . 042 ssLW ; 31434 qqLWGunakan contoh di atas dan dtambahkan dengan informasi bahwa fasilitas hanya menyediakan ruangan menunggu yang dapat menampung 4 mobil.Mobil lain yang tidak dapat memasuki ruang menunggu akan mencari fasilitas pencucian lainnya.Penyelesaian :Model antrian(M/M/1) : (GD/5/~)Dik. : sama dengan yang di atas.Jawab :( )( ) 0160401 . 0323213211151 5 1+ +nNnp ( ) { }( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

,_

)' + + + ++566 51132321321325326 1321 11 1nNN NsN NL Model (M/M/c) : (GD/~/~)Catatan Riset Operasional 2, jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 45eff= (1-pN)= 4(1-0.0160401)= 3.9358396; ( )Nseffs qpL L L 1( ) ( )NsqNqeffqqpLWpL LW + 11 W ;1s ( ) ( ) ( )ccqcnc npnnc ncc nnpc cpc cLccnpp11]1

)'

,_

+ '+ >20211100c n 0 ,0! ,0p! cn! 11 !! Model (M/M/c) : (GD/N/~), c NModel (M/M/~) : (GD/N/~) Pelayanan SendiriCatatan Riset Operasional 2, jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 46 1 ; ; + + q sqq q sW WLW L L( )''111111]1

,_

,_

+

,_

+11]1

+ + 1c

110 1 !11!1c

1101! !0c n 0 ,0!,0p! cn cnccc Nccnncnc NccnnpnnN n ccc nnpp( )( )( ) ( )( )( )( )L1c;effq21 102! 111c;! 21 + + 11]1

')'

,_

,_

,_

++ c c L Lpc cLq sccc Ncc Nc Ncpc cccc N c Ncq{ }0 L;1L... 2, 1, 0, n,!qs q snnW Wn EnepModel (M/M/R) : (GD/K/K)R < K, Perawatan MesinPertemuan minggu Ke-12 (2 x 50 menit)Tujuan Instruksional Khusus :1. Mahasiswa dapat menggunakan model antrian non-Poisson2. Mahasiswa dapat menggunakan model antrian dengan prioritas.3. Mahasiswa dapat menggunakan antrian seriCatatan Riset Operasional 2, jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 47( ) ( )10 10R n 0 ,0K n R,0!!Kn!! + ,_

,_

)'+ ' RnKR nR nnKnn Knpn KnpR nR RnnnR Rnpp( ) ( )( ) RpK L p K LL R R L L p R n Ls qeffq q sKR nn q11; 1111 R ;001

,_

+ > + + + Antrian Non-Poisson Antrian dengan Prioritas. Model (Mi/Gi/1) : (NPRP/~/~)Model (Mi/M/c) : (NPRP/~/~)( ){ }( ) ( )m ..., 2, 1, k ,1 110 k kkqS S EW{ }( )( ) 11]1

+ < ,1!! 11Ek semua untuk , 1 S ; 01001k 0cnnckiinc c ccSCatatan Riset Operasional 2, jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 48{}{} {} ( ){} ( ){}( )~) / ~ / ( : ) 1 / (M/E ;1 21~) / ~ (GD/ : (M/D/1) ;1 2 ; ; ;~) / ~ (GD/ : (M/G/1);1 2varm22 2GDmmLLLW t E L LLWt Et t Et E Lsqq qsss

,_

++ + ++ ( ){ } { } ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( )kkq kkqkq kk kmii i ikqL t E W WS St t EW + + +kskskq112L; W ; L;1 1 2var( ) kqmkkqW W1 Antrian seri.Model 2 stasiun seri dengan kapasitas antrian nolsistemModel k stasiun seri dengan kapasitas antrian tidak terbatasMasing-masing stasiun dapat diperlakukan sebagai (M/Mi/1) : (GD/~/~)Jika bentuk seri diikuti dengan bentuk paralel (jaringan) setiap stasiun seri dapat diperlakukan sebagai (M/Mi/ci) : (GD/~/~), jika < cii, untuk i = 1, 2, ...,kPertemuan minggu Ke-13 (2 x 50 menit)Penjadwalan ProyekTujuanInstruksional Umum:Mahasiswadapat menggunakanalgoritmayagnadapada metode pemrograman bulat untuk mendapatkan solusi optimal permasalahan pemrograman linier, sehingga diharapkan dapat membuat program aplikasinya.Tujuan Instruksional Khusus :Catatan Riset Operasional 2, jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 49Stasiun 1 Stasiun 2inputoutput( ) ( )Ap p p p p LApA A AAb sb 4 52 1 0p ;2p ;2p;2p ; 2 4 321 11 10 01 0021 11210 01 002+ + + + + + + + ( ) ,... 2 , 1 , 0 ni ; 1 nii i nip ProyekProyekkombinasi aktifitas yang saling berkaitan yang harus dilaksanakan dalam urutan tertentu sebelum keseluruhan tugas diselesaikan.Aktivitas suatu tugas yang membutuhkan waktu dan sumber daya untuk menyelesaikannya.1. Diagram bar GanttMetode perencanaan proyek tertua. Menunjukkanwaktuawaldan akhir masing-masing aktivitas dalamskala horizontal. Kelemahannya : tidak dapat menunjukkan saling ketergantungan antar aktivitas.2. Critical Path Method (CPM)perusahaan Du Pont (1956 1958).3. Project Evaluationand Review Technique (PERT) angkatan laut A.S. (1956-1958).Penjadwalan proyek pada CPMdan PERT terdiri dari 3 tahap :perencanaan, penjadwalan dan pengawasan.Pembentukan Diagram jaringan.Presentasi diagram jaringan: :aktivitas :kejadian (awal atau akhir kejadian)Aturan:1. Setiap aktivitas direpresentasikan oleh satu dan hanya satu panah penghubung.2. Tidak ada dua aktivitas yang diidentifikasikan oleh awal dan akhir suatu kejadian.3. Untuk meyakinkan hubungan urutan dalamdiagram, pertanyaan berikut harus dijawab setiap penambahan aktivitas ke dalam jaringan:a. Aktivitas apa yang harus diselesaikan terlebih dahulu sebelum aktivitas itu dapat dimulaipredecessorCatatan Riset Operasional 2, jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 50b. Aktivitas apa yang harus mengikuti aktivitas tsb? successorc. Aktivitas apa yang harus terjadi secara bersamaan dengan aktivitas tersebut? Contoh :Tabel di bawah ini menunjukkan aktivitas pembangunan sebuah rumah baru.Buatlah jaringannya!Aktivitas Deskripsi Predecessor langsungLama (hariA Pembersihan lokasi - 1B Mempersiapkan perlengakapan di lokasi - 2C Pembentukan A 1D Peletakan fondasi C 2E Plumbing bagian luar B,C 6F Pembuatan rangka rumah D 10G Pemasangan kabel listrik F 3H Peletakan lantai G 1I Peletakan atap F 1J Plumbing bagian dalam E,H 5K Pelapisan tembok dan atap I 2L Pelapisan bagian luar F,J 1M Pemasangan jendela dan pintu luar F 2N Pekerjaan bata L,M 4O Pelapisan dinding dan langit-langit G,J 2P Penutupan dinding dan langit-langit O 2Q Pelapisan atap I,P 1R Penyelesaian interior P 7S Penyelesaian eksterior I,N 7T Pembentukan taman S 3Diagram jaringanCatatan Riset Operasional 2, jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 511112LDummy8162374591001813141516170BADCHGFEJPONMKIQRSTDummyDummyDummyDummyDummy15DummyDummyAnalisa Jalur Kritis. Jalur kritisrantai aktivitas kritis yang menghubungkan kejadian awal dan akhir diagram jaringan. Aktivitas kritis penundaan penyelesaian aktivitas akan menunda penyelesaian proyek.Catatan Riset Operasional 2, jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 52126115002212 103020411037100721112LDummy8162374591001813141516170BADCHGFEJPONMKIQRSTDummyDummyDummyDummyDummy15DummyDummy Earliest Start (ES)waktu paling awal dapat memulai suatu aktivitas. Earliest Finish (EF) waktu paling cepat untuk mengakhiri suatu aktivitas. Latest Start (LS) waktu paling lama untuk memulai suatu aktivitas. Latest Finish (LF) waktu paling lambat untuk menyelesaikan suatu aktivitas.Perhitungan jalur kritisforward pass atau backward pass.Forward Pass{ }ij iijD ES maks ES + , untuk semua aktivitas (i,j)ES PerhitunganES00ES11 1 001 0 + + D ESES22 1 1 121 + + D ESES34 2 223 2 + + D ESES414 10 434 3 + + D ESES517 3 1445 4 + + D ESES62 2 006 0 + + D ESES7{ } { } 18 6 2 , 1 17 ,6 , 567 6 57 56 , 5 + + + + i imaks D ES D ES maksES823 5 1878 7 + + D ESES9{ } { } 18 0 3 2 , 0 17 maks ,5,8 i89 8 59 58 , 5 + + + + D ES D ES maksiES1015 1 14410 4 + + D ESES11{ } { } 23 0 3 2 , 0 14 ,8 , 4811 8 411 48 , 4 + + + + i imaks D ES D ES maksES12{ } { } 24 1 3 2 , 2 14 ,11 , 41112 11 412 411 , 4 + + + + i imaks D ES D ES maksES13{ } { } 28 4 24 , 0 15 ,12 , 101213 12 1013 1012 , 10 + + + + i imaks D ES D ES maksES1425 2 23914 9 + + D ESES15 27 2 251514 14 + + D ESES16{ } { } 27 0 7 2 , 0 15 ,15 , 101516 15 1016 1015 , 10 + + + + i imaks D ES D ES maksES1735 7 281317 13 + + D ESES18{ } { } 38 3 35 , 1 27 , 7 7 2 , 2 15 , , ,17 , 16 , 15 , 101718 17 1618 16 1518 15 1018 1017 , 16 , 15 , 10 + + + + + + + + i imaks D ES D ES D ES D ES maksCatatan Riset Operasional 2, jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 53Backward Pass{ }ij jjiD LF LF min, untuk semua aktivitas (i,j) yang didefinisikanLF PerhitunganLF18ES18 = 38LF1735 3 381718 18 D LFLF1637 1 381618 18 D LFLF15{ } { } 31 7 38 , 0 37 min , min18 , 161518 18 1516 1618 , 16 j jD LF D LFLF1429 2 311415 15 D LFLF1328 7 351317 17 D LFLF1224 4 281213 13 D LFLF1123 1 241112 12 D LFLF10{ } { } 28 2 38 , 0 37 , 0 28 min , , min18 , 16 , 131018 18 1016 16 1013 1318 , 16 , 13 j jD LF D LF D LFLF927 2 29914 14 D LFLF8{ } { } 23 0 3 2 , 0 27 min , min11 , 9811 11 89 911 , 9 j jD LF D LFLF718 5 2378 8 D LFLF612 6 1867 7 D LFLF5{ } { } 17 0 7 2 , 1 18 min , min9 , 759 9 57 79 , 7 j jD LF D LFLF4{ }{ } 14 2 24 , 0 23 , 1 6 3 , 3 17 min, , , min12 , 11 , 10 , 5412 12 411 11 410 10 45 512 , 11 , 10 , 5 jjD LF D LF D LF D LFLF34 10 1434 4 D LFLF2{ } { } 2 2 4 , 0 12 min , min6 , 326 6 23 36 , 3 j jD LF D LFLF11 1 212 2 D LFLF0{ } { } 0 2 12 , 1 1 min , min6 , 006 6 01 16 , 1 j jD LF D LFAktivitas ada pada jalur kritis kalau memenuhi kondisi:1. ESi = LFi2. ESj = LFj3. ESj ESi = LFj LFi = DijCatatan Riset Operasional 2, jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 54ES NILAI NILAI LFES NILAI NILAI LF 0 0 0 01 1 1 1 10 15 28 102 2 2 2 11 23 23 113 4 4 3 12 24 24 124 14 14 4 13 28 28 135 17 17 5 14 25 29 146 2 12 6 15 27 31 157 18 18 7 16 27 37 168 23 23 8 17 35 35 179 18 27 9 18 38 38 18Maka jalur kritis adalah :Pertemuan minggu Ke-14 (2 x 50 menit)Tujuan Instruksional Khusus :1. Mahasiswa dapat menjelaskan arti float,menentukannya dan menggunakannya.2. Mahasiswa dapat membentuk bagan waktu proyek.Catatan Riset Operasional 2, jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 55L126115002212 103020411037100721112Dummy8162374591001813141516170BAD CHGFEJPONMKIQRSTDummyDummyDummyDummyDummy15DummyDummyPenentuan FloatTotal Float (TF) :Float

Free Float (FF) :TFij = LFj ESi Dij = LFj EFij = LSij - ESiFFij = ESj ESi DijLSij = LFj - DijEFij = ESi - DijAktivitas (i,j)Lama (Dij, hari)EarliestLatestTotal FloatFree FloatStart Finish StartFinish(0,1) = A 1 0 1 0 1 0 0(0,6) = B 2 0 2 10 12 10 0(1,2) = C 1 1 2 1 2 0 0(2,3) = D 2 2 4 2 4 0 0(6,7) = E 6 2 8 12 18 10 10(3,4) = F 10 4 14 4 14 0 0(4,5) = G 3 14 17 14 17 0 0(5,7) = H 1 17 18 17 18 0 0(4,10) = I 1 14 15 27 28 13 0(7,8) = J 5 18 23 18 23 0 0(10,18) = K 2 15 17 36 38 21 21(11,12) = L 1 23 24 23 24 0 0(4,12) = M 2 14 16 22 24 8 8(12,13) = N 4 24 28 24 28 0 0(9,14) = O 2 18 20 27 29 9 5(14,15) = P 2 25 27 29 31 4 0(16,18) = Q 1 27 28 37 38 10 10(15,18) = R 7 27 34 31 38 4 4(13,17) = S 7 28 35 28 35 0 0(17,18) = T 3 35 38 35 38 0 0Perhitungan :Total Float A = LF1 EF01 = LS01 ES0 = 1 -1 = 0 - 0 = 0Total Float B = LF6 EF06 = LS06 ES0 = 12 - 2 = 10 - 0 = 10Catatan Riset Operasional 2, jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 56selisih antara waktu maksimum untuk melaksanakan aktifitas dgn lama penyelesaianKelebihan waktu yang tersediaTotal Float C = LF2 EF12 = LS12 ES1 = 2 - 2 = 1 - 1 = 0Total Float D = LF3 EF23 = LS23 ES2 = 4 - 4 = 2 - 2 = 0Total Float E = LF7 EF67 = LS67 ES6 =18 - 8 = 12 - 2 = 10Total Float F = LF4 EF34 = LS34 ES3 = 14 - 14 = 4 - 4 = 0Total Float G = LF5 EF45 = LS45 ES4 = 17 - 17 = 14 - 14 = 0Total Float H = LF7 EF57 = LS57 ES5 = 18 - 18 =17 - 17 = 0Total Float I = LF10 EF410 = LS410 ES4 = 28 - 15 = 27 - 14 = 13Total Float J = LF8 EF78 = LS78 ES7 = 23 - 23 = 18 - 18 = 0Total Float K = LF18 EF1018 = LS1018 ES10 = 38 - 17 = 36 - 15 = 21Total Float L = LF12 EF1112 = LS1112 ES11 = 24 - 24 = 23 - 23= 0Total Float M = LF12 EF412 = LS412 ES4 = 24 -16 = 22 - 14 = 8Total Float N = LF13 EF1213 = LS1213 ES12 = 28 - 28 = 24 - 24 = 0Total Float O= LF14 EF9 = LS914 ES9 = 29 - 20 = 27 - 18 = 9Total Float P = LF15 EF1415 = LS1415 ES14 = 31 -27 = 29 - 25 = 4Total Float Q = LF18 EF1618 = LS1618 ES16 = 38 -28 = 37 - 27 = 10Total Float R = LF18 EF1518 = LS1518 ES15 = 38 - 34 = 31 - 27 = 4Total Float S = LF17 EF1317 = LS1317 ES3 = 35 - 35 = 28 - 28 = 0Total Float T = LF18 EF11718 = LS1718 ES17 = 38 - 38 = 35 - 35 = 0Free Float A = ES1 ES0 - D01 = 1- 0 -1 = 0Free Float B = ES6 ES0 - D06 = 2-0 - 2 = 0Free Float C = ES2 ES1 D12 = 2- 1 -1 = 0Free Float D = ES3 ES2 D23 = 4-2 - 2 = 0Free Float E = ES7 ES6 D67 = 18- 2 -6 = 10Free Float F = ES4 ES3 D34 = 14 - 4 - 10 = 0Free Float G = ES5 ES4 D45 = 17- 14 -3 = 0Free Float H = ES7 ES5 D57 = 18 - 17 - 1 = 0Free Float I = ES10 ES4 D410 = 15 - 14 -1 = 0Free Float J = ES8 ES7 D78 = 23 -18 - 5 = 0Free Float K = ES18 ES10 D1018 = 38 - 15 -2 = 21Free Float L = ES12 ES11 D1112 = 24 -23 - 1 = 0Catatan Riset Operasional 2, jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 57Free Float M = ES12 ES4 D412 = 24 - 14 -2 = 8Free Float N = ES13 ES12 D1213 = 28 - 24 - 4 = 0Free Float O = ES14 ES9 D914 = 25 - 18 - 2 = 5Free Float P = ES15 ES14 D1415 = 27 - 25 - 2 = 0Free Float Q = ES18 ES16 D1618 = 38 - 27 -1 = 10Free Float R = ES18 ES15 D1518 = 38 - 27 - 7 = 4Free Float S = ES17 ES13 - D1317 = 35 - 28 -7 = 0Free Float T = ES18 ES17 D1718 = 38 - 35 - 3 = 0Konstruksi Bagan Waktu. Produk akhir perhitungan jaringanbagan waktu. Pembentukan bagan waktu harus mempertimbangkan keterbatasan sumber daya yang tersedia.Aktivitas Earliest start (hari ke-)Rentang waktu penundaan untuk memulai (dalam hari)Dapat dimulai pada hari ke-A 0 0 0B 0 10* 0-10C 1 0 1D 2 0 2E 2 10* 2-12*F 4 0 4G 14 0 14H 17 0 17I 14 13* 14-27*J 18 0 18K 15 21* 15-36*L 23 0 23M 14 8 14-22N 24 0 24O 18 9* 18-27*P 25 4* 25-29*Q 27 10 27-37R 27 4* 27-31*S 28 0 28T 35 0 35Catatan Riset Operasional 2, jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 58Tanda * menggunakan aturan 2, artinya jangka waktu penundaan aktivitas.Misal, jika aktivitas B ditunda selama 10 hari, maka memulai aktivitas E tidak dapat ditunda lagi.Jika aktivitas B ditunda 2 hari dalam memulainya, aktivitas E masih dapat ditunda sampai 8 hari.Catatan Riset Operasional 2, jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 59Penggunaan total dan free float dalam menjadwalkan aktivitas tidak kritis :1. jika total float sama dengan free float aktivitas, maka aktivitas dapat dijadwalkan sembarang diantara earliest start dengan latest finish.2. jika free float kurang dari total float, maka waktu memulai aktivitas dapat ditunda relatif terhadap earliest start tidak lebih dari free float.Catatan Riset Operasional 2, jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 6001010 15 203035 381 2 3 4 5 78111213 17 186 12067410181214151618151814496waktuCatatan Riset Operasional 2, jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 61Catatan Riset Operasional 2, jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 62