cartilla nº 2 · profesora: daniela santoni cens nº 3-508 emma cartelone de zuccardi matemÁtica...
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Alumno: …………………………………….
Curso: 3º año
Año: 2020
Aula Anexo: Santa Blanca
Profesora: Daniela Santoni
CENS Nº 3-508 EMMA CARTELONE DE ZUCCARDI
MATEMÁTICA CARTILLA Nº 2
Función cuadrática.
CENS 3-508 EMMA DE ZUCCARDI 3°Año aula anexa Santa Blanca
Prof. Daniela Santoni Página 1
Matemática
Queridos alumnos:
En esta cartilla vamos a trabajar con el tema: FUNCIÓN CUADRÁTICA. Adjunto
encontraran un avance de la materia con teoría y ejemplos para que trabajen desde casa.
Luego de analizar y estudiar dicha guía, los invito a realizar las actividades pedidas en las
cuales debes aplicar todo lo aprendido.
Es importante que conozcan ciertos criterios que tendrán que tener en cuenta a la hora de
enviar las devoluciones:
Pueden realizar consultas y salvar dudas a través de whatsapp al número
2613821327 en el horario correspondiente a la materia.
Fecha límite de entrega de la cartilla: miércoles 22 de abril.
No recibo más trabajos/cartillas a mi whatsapp, ha colapsado y no funciona bien mi
celular, para que no suceda la pérdida de ningún trabajo les pido que me lo manden
a mi correo:
Enviar dicha cartilla preferentemente en formato PDF (o en su defecto por foto)
Aclaración: Es importante que sea legible.
Nota: Para enviarla en formato PDF pueden utilizar la aplicación CamScaner que
pueden descargan en Play Store. Es muy fácil de usar y de esa manera se trabaja
de una manera más organizada.
Al enviarlo debes indicar: Nombre y apellido, curso y escuela, en el asunto.
Por ejemplo: Juan Sánchez – 3º aula anexo Santa Blanca
Estamos en contacto!
Saludos
Prof. Daniela Santoni
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LEER ATENTAMENTE EL SIGUIENTE TEXTO:
Disparo de emergencia
Desde un barco se halla la siguiente situación de emergencia, se efectúa un disparo, en
forma vertical, con una pistola de señales.
El destello podrá verse desde la base naval más cercana únicamente mientras se
encuentre a una altura no menor de 195m sobre el nivel del mar.
Los técnicos que integran la tripulación estiman que, de acuerdo con las características de
la pistola de señales y con las condiciones en que se dispara, la altura del destello estará
dada por la siguiente fórmula:
𝐡(𝒕) = 𝟖𝟎. 𝒕 − 𝟓. 𝒕𝟐
Donde h es la altura sobre el nivel del mar, en metros, cuando hayan transcurrido t
segundos desde el momento del disparo.
Como todo objeto lanzado verticalmente hacia arriba, el destello que produce la señal
luminosa ascenderá hasta cierto punto y luego comenzará a caer.
La fórmula de la función nos permite evaluar con exactitud la altura del disparo en cada
instante posterior al disparo.
Por ejemplo, para saber a qué altura se encontrará a los 2 segundos, reemplazamos en la
fórmula de la función: h (2) = 80. 2 − 5.22
h(2) = 160 − 5.4
h(2) = 160 − 20
h(2) = 140
Es decir que, a los 2 segundos, el destello se encontrará a 140 m de altura.
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ACTIVIDADES:
1) Completa el siguiente cuadro con los datos de la situación planteada, luego marcar los
puntos en el gráfico y unirlos trazando una curva:
Por la naturaleza del problema, sólo tomamos valores de t para los que h ≥ o.
2) Observando el gráfico obtenido, completar las líneas punteadas y responder a las
preguntas:
a. El destello estará en el aire durante………………. s.
b. Alcanzará una altura máxima de……………. m a los…………… s.
c. Llegará a los 195 m de altura a los………….. segundos y seguirá siendo visible
desde la base naval hasta………….. segundos después de haberse efectuado el
disparo, es decir, podrá verse desde ese lugar durante………… s.
d. ¿A qué altura se encuentra el destello 1 segundo antes de alcanzar la altura
máxima?
e. ¿En qué otro momento volverá a estar a esa misma altura?
La situación planteada anteriormente, corresponde a una FUNCIÓN CUADRÁTICA.
TIEMPO
(s)
ALTURA
(m)
0
2 140
3
4
6
8
10
12
13
14
16
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FUNCIÓN CUADRÁTICA
Al ser de segundo grado el mayor exponente al que está elevado la variable independiente es 2, por ejemplo:
23x-xy
23)(/:
2
2
xxxfRRf
Los términos de la función reciben los siguientes nombres:
Representación gráfica de funciones cuadráticas La representación gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola. Las ramas de la parábola pueden ir hacia arriba si o hacia abajo si
positiva) es (a 0a negativa) es (a 0a
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Graficar mediante tabla de valores Esta forma de representar una función involucra la creación de una tabla de valores para
obtener puntos (x ; y) del gráfico.
Damos valores a x, para luego calcular sus imágenes f(x) = y. Luego graficamos cada uno
de los puntos obtenidos en un sistema de ejes cartesianos.
La parábola es la curva que pasa por cada uno de los puntos. Tal como lo hiciste en la
situación planteada al comienzo de la actividad.
EJEMPLO: Dada la función Completa la tabla de valores y luego representa gráficamente en el sistema de ejes
cartesianos.
De la función graficada puedes decir que: a =……….; b =……..; c =………
x
-2 (-2)2 – 4.(-2) + 3= 4 + 8 + 3= 15
-1
0
1
2
3 32 – 4.3 + 3= 9 – 12 + 3= 0
4
5
34)( 2 xxxf
34)( 2 xxxf
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Elementos característicos de una función cuadrática Los elementos de mayor relevancia para poder representar gráficamente una función
polinómica de segundo grado son: las raíces, la ordenada en el origen, las coordenadas
del vértice y el eje de simetría.
Ordenada en el origen
Es la ordenada del punto de intersección entre la parábola y el eje de las ordenadas. Se
halla, calculando la imagen de cero, f(0).
La ordenada en el origen coincide con el término independiente «c».
Ceros o Raíces
Son los puntos de intersección de la parábola con el eje “x”. Es decir, cuando f(𝑥) = 0.
Las raíces son x1 y x2.
Se calculan por medio de la siguiente ecuación, donde “a”; “b” y “c”, corresponden a los
coeficientes de la función cuadrática.
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Vértice de la parábola:
Esta dado por el punto V(xv ; yv)
Se llama vértice de la parábola al punto donde la gráfica presenta un MÁXIMO o un
MÍNIMO para los valores de y.
CÁLCULO DE LA COORDENADA XV: Para hallar la coordenada xv utilizaremos la
siguiente fórmula:
donde “a” y “b”, corresponden a los coeficientes de la función cuadrática.
CÁLCULO DE LA COORDENADA YV: Para hallar la coordenada yv deberemos
reemplazar el valor de xv en la expresión de la fórmula cuadrática.
𝑦𝑣 = 𝑓(𝑥𝑣)
Eje de simetría: Es la recta paralela al eje “y” que divide a la curva en dos ramas simétricas. Es una recta
imaginaria (punteada en el dibujo) que pasa por el vértice de la parábola y tiene por
ecuación:
𝑥 = 𝑥𝑣.
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EJEMPLO:
Veamos un ejemplo resuelto de la función:
f(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 3 𝑎 = 1
Calculamos: 𝑏 = 2
𝑐 = −3
Ordenada al origen: c= - 3
Raíces:
Vértice:
Eje de simetría:
𝑥 = 𝑥𝑣 𝑥 = - 1
Para graficar, lo que tenemos que hacer
es marcar todos los puntos que
calculamos hasta el momento y luego
unirlos, quedando graficada una curva
denominada PARÁBOLA.
Recuerda que la parábola es simétrica a
ambos lados del eje de simetría.
Por lo tanto, las raíces
son:
X1 = 1
X2 = -3
Entonces, el vértice es el
punto
V (-1 ; -4)
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ACTIVIDADES:
3) Observen los gráficos y completen:
Ejemplo de resolución: lo verde es como deberían completar
Raíces: (-2; 0) y (2; 0) acá coloco las
coordenadas de los dos puntos que cortan
el eje “x”
Vértice: (0; 4) acá se coloca la
coordenadas del vértice de la función
Eje de simetría: x = 0 coloco el valor de
“x” del vértice, ya que por el vértice pasa
el eje imaginario
Ordenada al origen: (0; 4) recordemos
que es el punto que se corta al eje de la
“Y”
a) Raíces:
Vértice: _
Eje de simetría:
Ordenada al origen:
b) Raíces:
Vértice: _
Eje de simetría:
Ordenada al origen:
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4) Dada la fórmula de la función: y= x2 + 2x + 1 realiza las siguientes actividades:
a) Indica los valores de a; b y c.
b) Completa la tabla de valores.
X y= x2 + 2x + 1
-3
-2,5
-2
-1
0
0,5
1
c) Construir la gráfica cartesiana correspondiente.
d) Con las ecuaciones correspondientes, calcula el valor de los puntos notables de
la parábola graficada (raíces, vértice, ordenada al origen, eje de simetría).
5) Completa el cuadro y representa cada función usando sus elementos notables.
Escribe los cálculos auxiliares que necesites.
FUNCIÓN
a
b
c
Ceros o raíces
Ordenada al origen
Vértice
Eje de
simetría
22 xxy
42 xy
xxy 26 2
822 xxy