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Carolina del Valle Zambrano Cabrera
Estudos numéricos e analíticos para quantificar a produção de areia em um campo
da Bacia de Maracaibo, Venezuela
Dissertação de Mestrado
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio.
Orientador: Eurípedes do Amaral Vargas Junior
Rio de Janeiro, Abril de 2009
Carolina del Valle Zambrano Cabrera
Estudos numéricos e analíticos para quantificar a produção de areia em um campo da Bacia de
Maracaibo, Venezuela
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.
Eurípedes do Amaral Vargas Junior Orientador
PUC-Rio
Paulo Dore Fernandes PETROBRAS
André Luís Müller Puc-Rio
José Eugenio Leal
Coordenador Setorial do Centro Técnico - Puc-Rio
Rio de janeiro, 28 de Abril de 2009
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, da autora e do orientador.
Carolina del Valle Zambrano Cabrera Engenheira de Petróleo graduada pela Universidad de Oriente, Nucleo Anzoategui em 2003.
Ficha Catalográfica
Zambrano Cabrera, Carolina Del Valle
Estudos numéricos e analíticos para quantificar a
produção de areia em um campo da Bacia de Maracaibo,
Venezuela / Carolina Del Valle Zambrano Cabrera;
orientador: Eurípedes do Amaral Vargas Junior. – 2009.
104 f. : il. ; 30 cm
Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil)–
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de
Janeiro, 2009.
Inclui bibliografia.
1. Engenharia civil – Teses. 2. Produção de
areia. 3. Modelo analítico de Willson. 4. Modelagem
numérica. 5. Ensaio de cilindro oco. I. Vargas Junior,
Eurípedes do Amaral. II. Pontifícia Universidade Católica
do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV.
Título.
CDD: 624
A minha família, muito especialmente aos anjos que iluminam a
minha vida, Miguel Angel e Manuel Alejandro.
Agradecimentos
A Deus todo poderoso, pela força que me deu para culminar este longo caminho
com sucesso.
A minha família, meus pais, Roberto e Luisa, meus irmãos, Roberto e Lisbeth,
minha cunhada Fabíola pelo amor, apoio, compreensão.
Ao Sr. Pedro Acuña e Leonardo Graterol, por terem acreditado em mim e
apoiado o desenvolvimento desta dissertação junto à minha empresa, o Intevep.
Ao pessoal de Estudos integrados e reservatório pela colaboração prestada no
desenvolvimento deste trabalho. Aos meus companheiros Juan Ramos, Leydy
Garcia e Juan Almeida pela disposição e apoio
Ao Professor Eurípedes Vargas, orientador deste trabalho, pessoa de grande
capacidade, fonte de estimulo e sabedoria.
O meu mais sincero agradecimento ao grupo de mecânica das rochas do
Cenpes-Petrobras: Francisco Henriques, Karen Lobato, Erick Slis, Rodrigo
Barra, Julio Beltrami, Rafael, Marcos Dantas, Marcos, Antônio Cláudio, que além
de dispor o laboratório, não hesitou em compartilhar o seu conhecimento. Os
conselhos que recebi foram muito importantes não só neste trabalho, mas
também no meu desenvolvimento como profissional.
A quatro pessoas chave em todo o processo desta dissertação: Geralf Pineda,
Jose Roberto Silvestre, Carlos Aguilar e Raquel Velloso. Não tenho palavras
para expressar meu agradecimento.
Aos meus grandes amigos no Brasil: Pamela, Ranena, Camilo e Patricia, pelo
apoio, pelas palavras nos momentos difíceis, carinho e amizade.
Meus amigos na Venezuela, Vanessa, JeanCarlo, Katiuska, Rosalinda, Fabiola e
Cesar.
As meninas do apartamento, Lorena, Carlinha e a Gabi pelos bons e
descontraídos momentos além das importantes correções com o português.
A todos que, de alguma forma, me ajudaram a chegar aqui.
Resumo
Zambrano Cabrera, Carolina Del Valle; Vargas Junior, Eurípedes do Amaral (orientador). Estudos numéricos e analíticos para quantificar a produção de areia em um campo da Bacia de Maracaibo, Venezuela. PUC - Rio, 2009. 104p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
A produção de areia em poços de petróleo é um problema bem
conhecido devido às conqüências catastróficas, que muitas vezes chegam a
afetar a vida produtiva de um reservatório inteiro. Estudos sobre o assunto vêm
sendo desenvolvidos, e uma importante linha de pesquisa tem se formado. No
entanto, estes estudos focam principalmente na predição ou começo da
produção de areia, dando uma importância menor à sua quantificação. Há mais
de vinte anos, este problema tem sido relatado em um Campo da Bacia de
Maracaibo na Venezuela, levando ao fechamento de um grande numero de
poços. O problema é ainda maior devido às condições do reservatorio:
profundidade (maior a 5000 (m)), alta pressão e temperatura assim como a
resistência mecânica da rocha (maior a 50 (Mpa)) fazem que estudos mais
avançados sejam precisados para além de determinar que fatores influenciam
este fenômeno, observar se os modelos de quantificação utilizados neste
trabalho representam o que ocorre no campo. Para isto, utilizo-se o software
comercial de elementos finitos Abaqus junto com a sub-rotina de erosão assim
como o modelo analitico de Willson, baseada na resistência equivalente da
formação obtida a partir dos ensaios de cilindro oco ou TWC (thick Walled
Cylinder) desenvolvidos também neste trabalho. Em ambos métodos, foram
imposta condições reais do campo: estado de tensão, pressão de fundo do
poço, poro-pressão, assim como o comportamento tensão-deformação da
rocha, obtidos a partir de ensaios de compressão uniaxial. Para o caso da
modelagem numerica, forem analisados dois casos, poço aberto (modelo de
duas dimensoes) e tunel canhoneado (modelos de tres dimensoes). No caso
do modelo de Willson foi implementado o túnel canhoneado.
Palavras-chave Produção de areia, simulação numérica, modelo analítico Willson, ensaio
do cilindro oco.
Abstract Zambrano Cabrera, Carolina del Valle. Vargas Junior, Eurípedes do Amaral (Advisor). Numerical and Analytical studies to quantify the sand production in a field of the Maracaibo Basin, Venezuela. PUC - Rio, 2009. 104p. Msc. Dissertation - Civil Engineering Department, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Sand production at oil wells is a well-known problem, due to the
disastrous consequences that in some cases affect the productivity of the entire
reservoir. Studies about the subject have been development and a very
important research line has been created. However, those progresses are more
focus on sand production onset, giving less importance to the quantification
issue. Whit more than twenty years, there is a field located on Maracaibo Basin,
Venezuela that has been affected with this problem occasionating the closure of
a big amount of wells. The problem is even bigger due to the reservoir
conditions: depth (more than 5000 (m)), high pressure and temperature
conditions and also rock mechanics strength (more than 50 (Mpa)) make that
more advanced studies will be need for seeking the factors that affect in this
phenomenon and observe if the quantifications models used in this work
represent the field observations. For this, was used the commercial software of
finite elements Abaqus whit the erosion sub-routine as well as the analytical
Willson model based on the equivalent strength formation obtain from thick
walled cylinder test development in this work also. In both methods were used
real field conditions: state of stress, bottom hole pressure, pore pressure and
the stress-strain rock behavior obtain form uniaxial compression test. For the
numerical model were analyzed two cases, open hole (two dimension model)
and perforation tunnel (three dimension model). For the analytical Willson
model was just implemented the perforation tunnel case.
Key-words Sand production, numerical simulation, Willson analytical model, Thick
hollow cylinder
Sumário
Lista de símbolos 14
1 . Introdução 17
2 . Fundamentos básicos sobre produção de areia 19
2.1. Introdução 19
2.2. Mecanismo de produção de sólidos 20
2.2.1. Ruptura à compressão ou cisalhamento 20
2.2.2. Ruptura por tração (Spalling) 21
2.3. Fatores que afetam a produção de areia 22
2.3.1. Fatores relacionados à formação 23
2.3.2. Fatores relacionados à completação 24
2.3.3. Fatores relacionados à produção 26
2.4. Modelos de predição de areia 28
2.5. Experimentos para a simulação da produção de areia 30
2.5.1. Ensaio em cilindros de paredes espessas, ou TWC (Thick Walled
Cylinder) 30
3 . Descrição do Campo em estudo 33
3.1. Antecedentes 33
3.2. Descrição do reservatorio 34
3.3. Definição do estado de tensões e pressão de poro 36
3.3.1. Pressão de poros 38
3.4. Definição das propriedades mecânicas 38
3.5. Representação esquemática dos poços da área 41
4 . Programa Experimental 42
4.1. Preparação dos corpos de prova 42
4.2. Equipamento utilizado 45
4.3. Metodologia Utilizada 46
4.3.1. Ensaio de Compressão Uniaxial 46
4.3.2. Ensaio de paredes espessas (Thick walled cylinder, TWC) 47
5 . Resultado dos ensaios experimentais 51
5.1. Resultados dos ensaios uniaxiais 51
5.2. Resultados dos ensaios com cilindros de paredes espessas (TWC) 56
6 . Modelagem numérica com o programa Abaqus 63
6.1. Modelo de erosão 2D e 3D 63
6.1.1. Modelagem numérica em 2D 63
6.1.2. Modelagem numérica 3D 66
6.2. Modelagem numérica do ensaio de cilindro de paredes espessas 69
6.3. Sub-rotina de erosão do programa Abaqus 70
6.3.1. Definições do modelo matemático 71
6.3.2. Lei Constitutiva da geração de massa 73
6.4. Uso das malhas adaptativas no modelo de erosão 74
7 . Resultados do modelo numérico 76
7.1. Resultados da modelagem numérica de problemas em 2D 76
7.2. Modelo 3D 86
8 . Modelo Analítico de Willson. 88
8.1. Definição do modelo 88
9 . Conclusões e Sugestões para trabalhos futuros 92
9.1. Conclusões 92
9.2. Sugestões 93
10 Referencias Bibliográficas 94
Apendice A 99
Apendice B 103
Lista de figuras
Figura 1.- Breakout observado em corpo de prova com ID=39mm – Berea 22
Figura 2.- Fraturamento à tração observado em corpo de prova com ID=
39mm –Castlegate 22
Figura 3.- Efeito das mudanças nas tensões in situ em a estabilidade de
cavidades esféricas (Morita 1989) 23
Figura 4.- Plastificação da formação por contração do cimento (Dusseault &
Santarelli, 1989) 25
Figura 5.- Plastificação da formação após o canhoneio (Dusseault & Santarelli,
1989) 25
Figura 6.- Rupturas por tração associadas à força de percolação. poço aberto
(lado esquerdo) túnel canhoneado (lado dereito) 26
Figura 7.- Formas de rupturas típicas para arenitos. (a) Clase A (e.g Castlegate)
(b) Clase B (e.g. Field G), and (c) Clase C (e.g. arenito sintético) 27
Figura 8.- Configuração do ensaio cilindro de paredes espessas (TWC) 31
Figura 9.- Relação da pressão externa em função da espessura
(relação OD/ID) e diâmetro interno no ensaio TWC (Willson, 2002) 32
Figura 10.- Localização da Bacia de Maracaibo, Venezuela 34
Figura 12.- Produção de areia acumulada no campo 36
Figura 13.- Core Disking, prova dos altos gradientes horizontais na zona 37
Figura 14.- Variação da direção da tensão horizontal maior no reservatorio 38
Figura 16.- Comportamento do registro litologico do poço 40
Figura 17.- Representação esquemática padrão dos poços 41
Figura 18.- Tomografia computadorizada das amostras em estudo 43
Figura 19.- Tomografia computadorizada (em escala de cores) das amostras
em estudo 43
Figura 20.- Corpos de prova para os ensaio de Compressão uniaxial 44
Figura 21.- Corpo de prova para os ensaio de cilindro oco 45
Figura 22.- Execução do ensaio de compressão uniaxial 46
Figura 23.- Saturação das amostras. Ensaio de cilindro oco, ou TWC 47
Figura 24.- Corpo de prova saturado 48
Figura 25.- Colocação dos caps no corpo de prova 48
Figura 26.- Montagem dos extensômetros elétricos 49
Figura 27.- Execução do ensaio de cilindro oco 49
Figura 28.- Comportamento tensão-deformação 52
dos corpos de prova 05 e 12 do arenito A 52
Figura 29.- Classificação do comportamento tensão-deformação de rochas
sob compressão uniaxial durante o amolecimento. Wawersick & Fairhurst
(1970) 53
Figura 30.- Corpo de prova # 5. Logo após do ensaio UCS 53
Figura 31.- Comportamento tensão-deformação com ciclos de 54
descarregamento e re-carregamento 54
Figura 32.- Curva virgem (traços) e curva re-carregada (continua)
para a determinação dos parâmetros elásticos (Goodman, 1989) 55
Figura 33.- Comportamento tensão-deformação radial para o 56
cálculo da relação de poisson 56
Figura 34.- Comportamento tensão-deformação do CP01 obtido com
ensaio em cilindro de parede espessa. 57
Figura 36.- Comparação das tensões máximas e mínimas do modelo
analítico e numérico ao longo do raio 59
Figura 37.- Comportamento tensão-deformação do CP01 obtido com
ensaio em cilindro de paredes espessas com relação de diâmetros 2:1 59
Figura 38.- Falha da rocha no ensaio do cilindro ôco 60
Figura 39 Comparação do tipo de falha do trabalho de Papamichos com
o ensaio TWC 61
Figura 40.- Comportamento tensão-deformação do ensaio TWC. 61
Figura 41.- Comparação dos resultados do TWC em função da resistência
à Compressão Uniaxial. 62
Figura 42.- Representação do carregamento aplicado 64
Figura 43.- Malha para a modelagem em duas dimensões 64
Figura 44.- Detalhe da malha (na zona do poço) 65
Figura 45.- Condições iniciais, de contorno e carregamento no modelo 2D 65
Figura 46 Malha do modelo 3D 66
Figura 47 Condições inicias, de contorno e carregamento aplicado 67
Figura 48 Detalhe da malha 3D. Túnel canhoneado 67
Figura 49 Aplicação da pressão de fluido nas faces do túnel canhoneado 68
Figura 51 Malhas utilizadas para a modelagem do ensaio de cilindro oco. 69
Relação de diâmetros 3:1 (a) e 2:1 (b) 69
Figura 52.- Condições iniciais e de carga na modelagem 70
Figura 53.- Representação dos componentes que considera o
modelo matemático 71
Figura 59.- Volume de areia produzido com as novas modificações
(Tabela 6) 80
Figura 60.- Volume de areia para o tempo de 60 horas 81
Figura 61.- Seqüência do processo de erosão expressado em
deformações plásticas equivalentes (PEEQ) 83
Figura 62.- Volume produzido para um tempo de 200 horas 83
Figura 63.- Volume produzido em poço com drawdown de 14 (Mpa) 84
Figura 64.- Comparação do volume produzido em função do drawdown 85
Figura 65.- Comportamento da deformação plástica equivalente no
túnel canhoneado 86
Figura 66.- Relação do fator de resistência em função da relação de
diâmetros das amostras de cilindro de parede espessa 89
Figura 67.- Previsão da produção de areia a partir do modelo analítico de
Willson 90
Lista de tabelas
Tabela 1.- Parâmetros que influenciam a produção de areia 23
Tabela 2.- Definição dos gradientes de tensão do campo 37
Tabela 3.- Propriedades mecânicas do arenito A. ensaios feitos no Intevep 39
Tabela 4.- Corpos de prova 45
Tabela 5.- Parâmetros utilizados nas simulações 78
Tabela 6.- Parâmetros para a simulação 80
Tabela 7.- Análise de sensibilidade 82
Lista de símbolos
PΔ Diferencial de pressão entre o reservatório e o poço
Cdr
dp⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Gradiente de pressão de poro na cavidade
Ms Quantidade de areia por área na cavidade
Cσ Tensão externa
t Tempo
Sa Constante de calibração
Sdr
dp⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Gradiente critico de pressão de poro
nσ Excesso de tensão normalizado
OD Diâmetro externo
ID Diâmetro interno
Pb Pressão de ruptura
Sh Tensão horizontal mínimo
SH Tensão horizontal máxima
Sv Tensão vertical
Po Pressão de poro
To Resistência à tração
)(DVσ Tensão de sobrecarga
)(DnVσ Tensão de sobrecarga normal
k Gradiente normal de pressão hidrostática
cτ Onda compressional do perfil sônico
φ Ângulo de atrito (Modelo Mohr Coulomb)
Co Coesão (Modelo Mohr Coulomb)
d Coesão (Modelo Drucker Prager)
dV Volume do elemento
TdV Volume total
VdV Volume de vazios
ffdV Volume da fase fluida
fsdV Volume das partículas fluidizadas
SdV Volume de sólidos
•
dM Massa da mistura
ffdM Massa da fase fluida
fsdM Massa das partículas sólidas fluidizadas
SdM Massa de sólidos
fsVi Velocidade das partículas sólidas fluidizadas ffVi Velocidade da fase fluida SVi Velocidade da fase sólida
fsρ Densidade das partículas solidas fluidizadas
ffρ Densidade da fase fluida
sρ Densidade dos sólidos
ρ Densidade da mistura
iq Velocidade de descarga da mistura
idS Área transversal
dt Tempo
im•
Taxa de transferência de massa da mistura ff
im•
Taxa de transferência de massa do fluido fs
im•
Taxa de transferência de massa das partículas fluidizadas
erm•
Taxa de massa erodida
'λ Coeficiente de produção de areia
λ Coeficiente de produção de areia pg deformação plástica
ppeakg deformação plástica de pico
C Concentração de transporte dos sólidos fluidizados
1λ Constante de calibração
2λ Constante de calibração
X Posição original do nó
1+iU Deslocamento nodal
NiX posições nodais das vizinhanças
NN funções de peso
PEEQ Deformações plásticas equivalentes
U Resistência efetiva à formação
CBHFP Critical Bottom hole flowing pressure
CDP Critical drawdown pressure
TWC Thick Hollow Cylinder
FC Factor de correção
1. Introdução
Na indústria do petróleo, é bem conhecido o problema de produção de
areia, que quando não controlado, pode trazer conseqüências catastróficas.
Através do tempo, os estudos desenvolvidos para a compreensão do
fenômeno mantêm-se focado na predição do começo da produção de areia,
dando uma importância menor à sua quantificação.
Além disso, as soluções apresentadas para a solução do problema de
produção de areia têm sido em função da classificação da rocha, sendo que, em
reservatórios constituídos por rochas pouco consolidadas (resistência à
compressão uniaxial, UCS entre 0-10 (Mpa)) o controle é baseado com técnicas
de exclusão. Entretanto, em arenitos classificados como resistentes (com uma
resistência à compressão uniaxial entre 10-30 (Mpa)) podem, em certos casos,
ser produzidos com uma taxa controlada de areia.
Estas duas razões expressas nos parágrafos anteriores fazem que o
campo a ser estudado neste trabalho seja de grande importância. Primeiro
porque o fenômeno de produção de areia tem se observado desde o começo da
vida produtiva do campo; sendo que o 40% da causa do fechamento dos poços
na área é devido ao fenômeno e que na zona norte do campo (zona de interesse
deste estudo) 74% dos poços atualmente encontram-se fechados devido ao
problema.
Por outro lado, as condições do reservatório: rochas de uma resistência
superior a 50 (Mpa) a mais de 5000 (m) de profundidade sob condições de
pressão e temperatura extremas fazendo que o método de exclusão seja
inviável. Tudo isto obriga à procura de metodologias que além de permitir
entender os parâmetros que influenciam o processo, possam quantificar e de
uma forma reproduzir o que acontece no campo.
Inúmeras técnicas para predizer a produção de sólidos têm sido criadas
para a indústria petrolífera por diversos pesquisadores. Vários modelos
baseados em dados de campo, ensaios de laboratório e fundamentos teóricos
têm sido propostos nos últimos anos. Contudo, os modelos até pouco tempo só
eram capazes de definir o inicio da produção de areia, fazer analise de
18
estabilidade da cavidade e descrever a superfície da rocha fornecendo
resultados mais qualitativos do que quantitativos.
As soluções numéricas podem ser vistas como uma das técnicas mais
favoráveis, em termos de versatilidade, pois conseguem agregar vários eventos
que podem intervir na produção de areia. Como experiência previa nesta área
tem-se o trabalho de Silvestre (2004) onde foi estudado o comportamento de
estabilidade de poços a través de modelos elastoplásticos reproduzindo o
comportamento mecânico da rocha.
É por isto, que o presente trabalho visa à utilização do programa de
elementos finitos Abaqus como uma ferramenta para a determinação do volume
de areia produzida através da rotina que o programa implementou. O modelo
proposto inclui os estágios onde o material sofre mudanças: cisalhamento, a
completa desagregação seguida pelo apropriado gradiente necessária para
fluidizar o material conseguindo a mobilidade ou o chamado processo de erosão.
Como método comparativo, será usado o modelo analítico de Willson, o
qual permite a determinação da mínima pressão de fluxo, a partir de dados
experimentais obtidos nos ensaios em cilindros de paredes espessas (Thick
Hollow Cilynder, TWC) também desenvolvidos no presente trabalho.
O trabalho aqui descrito está dividido em oito (8) capítulos os fundamentos
teóricos da produção de areia, mecanismos, fatores assim como modelos que
permitem estudar o fenômeno são descritos no capítulo dois (2). O capítulo três
(3) faz uma breve descrição do campo em estudo: características mais
importantes e os dados utilizados para a modelagem.
O capítulo quatro (4) descreve o processo para a obtenção dos corpos de
prova a serem ensaiados no laboratório. Os resultados destes ensaios foram
apresentados no capítulo cinco (5).
A descrição da modelagem numérica em duas e três dimensões, assim
como a simulação do ensaio do cilindro de paredes espessas é apresentada no
capítulo seis (6). Os resultados das simulações mencionadas são apresentados
no seguinte capítulo.
O capítulo oito (8) baseia-se no modelo analítico de Willson e seus
resultados mais importantes. Por fim, no capítulo 9, com base nos resultados
obtidos, descrevem-se as conclusões mais importantes do trabalho assim como
algumas recomendações.
2. Fundamentos básicos sobre produção de areia
Neste capitulo, pretende-se agrupar os principais aspectos básicos
relacionados ao problema de produção de areia: a descrição do fenômeno,
mecanismos de produção, fatores que influenciam o processo assim como fazer
uma revisão dos trabalhos mais relevantes publicados na literatura técnica ao
longo do tempo.
2.1. Introdução
Dusseault e Santarelli (1989) definem o processo de produção de areia ou
sólidos como a produção de partículas durante a extração de óleo ou gás, de
uma rocha reservatório. O fenômeno está referenciado, normalmente, aos
arenitos poucos consolidados, porem, a produção de sólidos é observada
também em rochas como calcários e arenitos de resistência media a elevada.
A produção de sólidos começa quando a concentração de tensões na
parede do poço devida às condições de produção é suficientemente alta para
romper a cimentação natural dos grãos, tornando-os livres para serem
arrastados pelas forças de percolação que acabam por incorporá-los ao fluxo
dos fluidos.
Em poços de petróleo, o fenômeno é prejudicial aos sistemas de
condução, elevação e controle de produção. O seu efeito abrasivo acarreta
prejuízo para a indústria, implicando em um maior número de paradas
operacionais para a substituição de elementos danificados, necessidade de
tratamento e descarte de sólidos.
20
2.2. Mecanismo de produção de sólidos
Teorias convencionais da produção de areia distinguem o mecanismo de
ruptura entre ruptura por compressão e tração. A primeira é produzida pela
combinação das tensões in situ e o drawdown, a segunda induzida pelo
gradiente de poro-pressão nas vizinhanças da cavidade.
2.2.1. Ruptura à compressão ou cisalhamento
A ruptura por cisalhamento é induzida pela ação conjunta das tensões in-
situ e do diferencial de pressão entre o reservatório e o fundo de poço conhecido
como pressão de drawdown (ΔP). Assim, quando o valor das tensões in-situ
ultrapassa o valor da resistência à compressão, e quando baixas pressões de
produção no fundo do poço geram elevados valores da pressão de drawdown
(ΔP), a ruptura por cisalhamento é induzida na parede da cavidade. Este tipo de
ruptura cria uma zona de grandes deformações ao redor das cavidades,
propagando um processo de produção de areia que pode vir a produzir
quantidades catastróficas de sólidos, caso essa zona se expanda.
Hoek et al (2000), conceitua bem a ruptura do material por cisalhamento e
compara dados experimentais com os resultados obtidos pelo modelo proposto,
concluindo que a teoria reproduz bem os ensaios de laboratório efetuados nos
arenitos Castlegate e Red Wilmore. Vale lembrar que este modelo foi
desenvolvido para arenitos friáveis com grandes cavidades, muito embora não
faça referência a um tamanho físico de cavidade.
A ruptura do material quanto ao cisalhamento é caracterizada pela
formação de bandas de cisalhamento que se iniciam adjacentes à parede do
poço e se encontram em duas áreas diametralmente opostas, denominadas de
breakouts (figura 1) sem ocorrer fratura por tração e sem necessariamente
ocorrer desprendimento ou produção de material fragmentado. De acordo com
Hoek et al (2000), este tipo de ruptura de serviço pode ser modelada
analiticamente empregando-se o contínuo de Cosserat e a teoria da bifurcação.
21
Figura 1.- Breakout observado em corpo
de prova com diâmetro interno de 39mm – Berea
2.2.2. Ruptura por tração (Spalling)
A ruptura por tração geralmente se dá quando as forças de percolação
geram tensões de tração que, por a sua vez, promovem a desagregação de
partículas da rocha reservatório, especialmente aquelas pobremente
consolidadas. Esse tipo de instabilidade é freqüentemente verificado em poços
com elevadas taxas de produção que levam à dilatação dos sólidos
desagregados e a perda das interações mecânicas entre as partículas.
Segundo van den Hoek (1994), em observações feitas no seu trabalho, a
ruptura no ensaio de compressão hidrostática em corpo de prova com orifício
pode ser caracterizada também por fraturas propagadas por tração nas
imediações do orifício, seguida por desprendimento e produção de material. A
estrutura final é apresentada, e é identificada por uma forma cúspide (figura 2).
Quando as lascas de rocha fraturada não se desprendem da face interna do
orifício, o modo de ruptura pode evoluir para breakout.
22
Figura 2.- Fraturamento à tração observado em
corpo de prova com diâmetro interno de 39 mm–Castlegate
Morita (1991) sustém que a ruptura por tração só é comum na zona
cisalhada quando é diminuída a área aberta ao fluxo e pode ocorrer:
• Quando o intervalo perfurado é menor a 1⁄3 do intervalo total;
• Se a densidade do canhoneio é menor do que dois (2) tiros por pé;
• Se as perfurações se encontram obstruídas;
• Durante a limpeza das perfurações.
Os problemas de ruptura por tração podem ser resolvidos re-perfurando
com uma maior densidade do canhoneio.
2.3. Fatores que afetam a produção de areia
Os seguintes subtópicos estão baseados no trabalho de Veeken et al
(1991) que realizaram um inventario dos parâmetros que influenciam a produção
de areia em poços verticais ( ver Tabela 1)
23
Tabela 1.- Parâmetros que influenciam a produção de areia
Formação Completação Produção
Rocha Reservatório Inclinação e
diâmetro de poçoVazão
Tensões in situ Poro-pressão
Tipo de
completação
(poço aberto ou
com revestimento)
drawdown
Resistência Permeabilidade Tipo de canhoneio Velocidade de fluxo
Raio de drenagemFluidos de
completaçãoProfundidade
(influencia a
resistência e as
tensões) Espessura do
reservatório
Tipo de controle
para produção de
areia
Volume de areia
acumulado
2.3.1. Fatores relacionados à formação
A magnitude das tensões in situ influencia a concentração de tensões na
parede do poço e nos túneis abertos pelo canhoneio, afetando a produção de
areia.
A figura 3 apresenta o efeito das tensões na envoltória de ruptura, Morita
(1989). Quanto maior a tensão, maior probabilidade de ruptura por cisalhamento.
A probabilidade de ruptura por tração é menor.
A depleção no reservatório aumenta as tensões efetivas, especialmente a
vertical. O problema de produção de areia em rupturas por tração pode ser
diminuído com a diminuição da pressão do reservatório, todavia a ruptura por
cisalhamento converte-se em um problema sério, ainda mais em formações
frágeis
24
Figura 3.- Efeito das mudanças nas tensões in situ em a estabilidade de cavidades
esféricas (Morita 1989)
A influência da resistência da rocha sobre a estabilidade da cavidade tem
sido estudada tanto experimentalmente, como analiticamente. Observa-se que a
produção de areia é gerada por um mecanismo de plastificação e
enfraquecimento do material adjacente à cavidade, devida a uma excessiva
tensão externa, Tronvoll et al (1997)
A variação da poro-pressão no reservatório submetido a um campo de
tensões desviadoras, durante a produção, pode reduzir a resistência ao
cisalhamento, favorecendo a produção de sólidos.
2.3.2. Fatores relacionados à completação
Após o poço ter sido revestido, injeta-se pasta de cimento no espaço
anular entre o revestimento e a formação. Devido ao endurecimento da pasta, o
cimento poderá sofrer retração e, conseqüentemente, reduzir a tensão radial (σr)
atuante na parede do poço. A diminuição da tensão radial aumenta a tensão
desviadora, possibilitando a criação de uma zona fragilizada, composta por
25
material similar à areia, susceptível ao transporte pelo fluxo de fluido (ver Figura
4).
Figura 4.- Plastificação da formação por contração do cimento
(Dusseault & Santarelli, 1989)
A operação de canhoneio, realizada após a cimentação, também leva à
desintegração da estrutura da rocha reservatório. Esse procedimento provoca a
produção de sólidos a partir das paredes plastificadas das pequenas cavidades
formadas (Figura 5)
Figura 5.- Plastificação da formação após o canhoneio
(Dusseault & Santarelli, 1989)
A ação do canhoneio cria uma região onde a cimentação mineral é
destruída e muitos grãos encontram-se triturados. No entorno da cavidade uma
sucessão de regiões comportam-se de diferentes formas. Mais afastado da
26
cavidade há uma região elástica não afetada pelo canhoneio, uma região elasto-
plástica intermediária apresentando um variado grau de dano e uma terceira
região, adjacente à cavidade, onde a rocha está completamente desagregada e
as deformações devem se comportar de forma completamente plástica.
A geometria do canhoneio é outro item a ser considerado. Há vinte anos
quando o sistema de canhoneio era menos eficiente, cavidades de pequena
dimensão e uma baixa densidade não tinha sucesso. Isto, no intervalo produtor
levava a problemas relacionados à ruptura por tração (Morita, 1987)
2.3.3. Fatores relacionados à produção
A velocidade do fluido e sua viscosidade afetam diretamente a migração
de finos - partículas de pequeno diâmetro das frações silte e argila — através do
meio poroso. Esta migração, por sua vez, promove o tamponamento parcial dos
poros reduzindo a permeabilidade da formação e incrementando o gradiente de
poro-pressão. Como conseqüência eleva-se as forças de percolação, o que pode
levar o arcabouço rochoso à ruptura por tração. (figura 6)
Figura 6.- Rupturas por tração associadas à força de percolação. poço aberto (lado
esquerdo) túnel canhoneado (lado dereito)
Cook et al. (1994) discutiram a importância relativa do fluxo radial e
longitudinal nas cavidades canhoneadas. Baseados em dados de campo, os
autores estimaram que a velocidade longitudinal é cerca de 50 a 100 vezes
maior do que na direção radial, portanto mais relevante que esta última. O
27
principal papel do fluxo radial seria alimentar o fluxo que ocorre ao longo da
cavidade canhoneada.
O drawdown, foi proposto por Morita et al (1989), junto com o gradiente de
pressão como parâmetros que governam a estabilidade das cavidades
canhoneadas. Para elevados valores de drawdown, predominam rupturas por
cisalhamento enquanto o alto gradiente de poro-pressão nas vizinhanças das
cavidades propicia rupturas por tração
Papamichos (2008) definiu que o volume de areia produzida depende do
tipo de ruptura e esta, em função do tipo de arenito como mostrado na Figura 7.
Os ensaios revelaram que as rupturas dos cilindros vazados seguem modos que
dependem basicamente do tipo de arenito, os quais foram definidos como:
• Classe A, Frágil
• Classe B, Dúctil
• Classe C, Compacta
Figura 7.- Formas de rupturas típicas para arenitos. (a) Classe A (e.g Castlegate) (b)
Classe B (e.g. Field G), and (c) Classe C (e.g. arenito sintético)
No caso do arenito classe A, a produção de areia aumenta rapidamente
com o acréscimo das tensões externas, devido ao rápido desenvolvimento da
ruptura tipo fenda. A razão desta rápida evolução deve-se ao fato da rocha
28
romper como grãos independentes ou pequenas estruturas as quais não tem a
possibilidade para formar arcos estáveis.
A produção de areia da amostra B é cíclica, logo de um processo de
diminuição na taxa, começa um incremento na produção com os acréscimos de
tensão externa. No caso do arenito C, a ruptura caracteriza-se por ser estável,
mostrando um aumento da produção de areia mais demorado.
2.4. Modelos de predição de areia
Morita (1989) e Vekeen (1991) classificaram as técnicas de previsão de
produção de areia baseados em observações de campo, ensaios de laboratório
e (previsões) de modelos teóricos.
Observações de campo: consiste no estabelecimento de uma correlação
entre dados de produção de areia de um poço e parâmetros operacionais.
Modelos semi-analíticos: Ou modelos laboratoriais, são desenvolvidos com
base em teorias analíticas simplificadas e expeditas, associadas a correlações
empíricas calibradas com os dados de campo e ensaios de laboratório em
condições controladas. A modelagem é macroscópica e os efeitos microscópicos
são incluídos por estes fatores de correção. Como os ensaios de laboratório são
efetuados em menor escala que os fenômenos de campo, estes modelos se
baseiam em alguns modelos teóricos para a extrapolação dos dados obtidos.
Modelos semi-analíticos existem para predição de início de produção e previsão
de taxa de produção.
Como exemplo tem-se os modelos apresentados por Papamichos (2008)
para a determinação do volume de areia a partir do tipo de ruptura da rocha.
Esses modelos estão baseadas em analises de ensaios de laboratório
feitos através do modelo de erosão de produção de areia, as quais conduziram a
um modelo onde a massa de areia produzida é função das tensões, do gradiente
de poro-pressão na cavidade, do tempo de ensaio assim como parâmetros do
material (Papamichos, 2002).
( )ssscc dpatdpMsMs σσ ,,;,,= (2.1)
A desvantagem da função proposta inicialmente é que não diferencia os
tipos de arenitos. Por isto, a equação é substituída por três equações que
dependem do tipo de arenito.
29
Classe A: (2.2)
Classe B: (2.3)
Classe C (2.4)
Onde:
,Ms é a quantidade de areia por área da cavidade
,nσ é o excesso de tensão normalizado
,Cdr
dp⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ é o gradiente de poro pressão critica para produção de areia
Sa , é uma constante de calibração, os colchetes indicam que o resultado
e zero se o resultado é negativo.
Van De Hooke, (2000) propôs através da teoria da bifurcação um modelo
para a determinação da produção de areia em cavidades cilíndricas e
hemisféricas. Os resultados contradizem os resultados de Morita nos anos 80´ já
que o tipo de ruptura na cavidade não foi influenciado pelas tensões efetivas da
cavidade e se pelas dimensões das mesmas.
Outro modelo conhecido e estudado no presente trabalho (Capitulo 7) é o
modelo Semi-Analitico de Willson (2002)
Modelagens analíticas ou teoricas: buscam no ferramental da mecânica
dos meios contínuos, da mecânica da fratura e da dinâmica dos fluidos a
abstração macro e microscópica dos fenômenos envolvidos na estabilidade da
cavidade do poço ou canhoneio, conduzindo a um modelo de ruptura. Os
modelos de ruptura mais empregados são à tração, ao cisalhamento, à
compressão e à erosão. Estes modelos estão relacionados com a predição do
ponto inicial de produção. Como exemplo cita-se os modelos de Morita (1989)
para cavidades cilíndricas e esféricas.
Os três modelos, quando bem calibradas, apresentam resultados
satisfatórios. Devido em parte à grande variabilidade dos dados e em parte aos
fenômenos não equacionados nos modelos apresentados, não se observam
30
vertentes melhores ou piores dentre as apresentadas, mas sim nichos de
aplicação (segundo intervalos de resistência mecânica, etc).
2.5. Experimentos para a simulação da produção de areia
Dentro dos ensaios contemplados para a simulação e a pesquisa dos
processos físicos envolvidos no processo de produção de areia tem-se o ensaio
de paredes espessas ou TWC entre o mais importante.
2.5.1. Ensaio em cilindros de paredes espessas, ou TWC (Thick Walled Cylinder)
Em sua forma mais simples, o ensaio baseia-se em um cilindro vazado de
paredes espessas o qual é submetido a uma compressão axial e confinado por
uma pressão a qual é constante ao redor da seção circular externa. No furo
interno, podem se ter fluxo ou simplesmente o fluido estático à pressão
atmosférica. Ao longo do ensaio são medidas as deformações do corpo de
prova.
A proporção definida como a mais comum é a OD:ID (outer diameter:inner
diameter) de 3:1, porem, os conhecedores do tema recomendam fazer ensaios
em amostras com relações maiores. Em quanto ao comprimento, mantém-se a
mesma usada nos ensaios triaxiais, OD:L 2:1.
31
Figura 8.- Configuração do ensaio de cilindro de paredes espessas (TWC)
Existe uma grande variedade de estudos apresentados com relação ao
comportamento, tipo de ruptura na rocha, influencia do tamanho assim como as
relações entre a resistência à compressão uniaxial, UCS
Van den Hoek (1992) observou que para amostras de 8 mm a 28 mm de
diâmetro interno o valor da resistência diminui, embora para diâmetros maiores o
valor é mantido praticamente constante, no caso do arenito de Berea e do mar
do norte com uma relação OD:ID ao infinito, o maximo valor do fator de correção
varia entre 3.0 e 3.8, dependendo do valor pos-pico no amolecimento do material
Wilson et al (2002) afirma que as pesquisas feitas pela BP (British
Petroleum) sobre uma variabilidade de amostras com diferentes relações de
OD:ID e a sua vez variando o tamanho do ID demonstrarem o efeito no ensaio.
O efeito do tamanho é conhecido como um fator importante em ensaios
mecânicos, por exemplo, o ensaio de resistência à tração brasileiro, resistência à
compressão uniaxial etc.
32
Figura 9.- Relação da pressão externa em função da espessura (relação OD/ID) e
diâmetro interno no ensaio TWC (Willson, 2002)
No caso do tipo de ruptura, van den Hoek (1992) observou breakouts que
crescem pelo mecanismo de cisalhamento em amostras de Berea, entretanto, os
arenitos de Casteglate apresentaram fraturas à tração.
Barreto (2004) observou a través de tomografia computadorizada o inicio
e desenvolvimento da falha em tempo real assim como a tensão inicial de falha
da rocha.
Papamichos (2008) no seu trabalho observou o seguinte comportamento
de ruptura:
Arenito classe A: o inicio da fratura com forma côncava indicando ruptura
por tração assim como desenvolvimento de trincas. A largura da fenda
permanece constante em todo o comprimento.
Arenito classe B, tem-se o desenvolvimento de breakouts convexos
devido à ruptura por cisalhamento. Com o acréscimo da tensão externa
desenvolvem-se bandas cisalhantes o que faz o breakout maior.
Na classe C, se observo o desenvolvimento de uma ruptura uniforme ao
redor da cavidade a qual é erodida pelo fluxo do fluido resultando o aumento da
cavidade de forma uniforme (Figura 7).
van den Hoek (1992), estabeleceu uma relação do ensaio UCS com o
TWC, onde as tensões tangenciais no diâmetro interno do furo de 8 mm
superam o valor de UCS por 4.5 e um fator de 9 para arenito do Mar do Norte.
Wu e Tan (2000) estabeleceram uma relação entre os dois valores e
concluíram que a resistência nominal do TWC tem um comportamento constante
de 1,5 para materiais com UCS maior a 30 (Mpa).
3. Descrição do Campo em estudo
Este capítulo tem por finalidade descrever a área em estudo, além da
contextualização do leitor nas principais propriedades do reservatório que foram
utilizadas para o analise numérica e analítica.
3.1. Antecedentes
A primeira referencia de petróleo na Venezuela foi através do Gonzalo
Fernandez de Oviedo quem informa em 1535 a existência de óleo no mar ao
Oeste da ilha Cubagua, e logo, em 1540 faz referencia à presencia de óleo nas
costas do Golfo de Venezuela, Martinez (1976)
No entanto, foi em 1914, em Mene Grande, localizado na Costa Oriental do
Lago, Bacia de Maracaibo, quando através do poço Zumaque-1 foi descoberto o
primeiro campo gigante no país.
A bacia de Maracaibo é uma das bacias mais importantes da Venezuela, a
rocha mãe por excelência é a formação La Luna de idade Cretáceo Tardio. O
petróleo foi gerado, migrado e acumulado em diversos lugares, sendo o mais
importante o ocorrido no levantamento andino.
Os principais campos de petróleo encontram-se na Costa Oriental do Lago
de Maracaibo, tendo, por exemplo: Cabimas, Tia Juana, Lagunillas, Bachaquero,
Mene Grande e Motatán. Na costa oeste, campos como Urdaneta, la
Concepcion, Mara e La Paz. No centro, Lago, Centro, Lama e Lamar.
34
Figura 10.- Localização da Bacia de Maracaibo, Venezuela
3.2. Descrição do reservatorio
Descoberto no ano 1978, o reservatório encontra-se localizado no Campo
Ceuta, ao centro-Sul do Lago do Maracaibo. Possui uma área de 143 km2. Com
profundidades máximas de até 5500 (m) / 18300 (ft) e temperatura de 320 °F. A
gravidade API (American Petroleum Institute) do fluido varia entre 29° e 35° e
pressões iniciais entre 60-77 (Mpa) / 9000-11500 (psi) uma porosidade e
permeabilidade media de 13% e 20 mD respectivamente. O principal mecanismo
de produção é da expansão da rocha e os fluidos, Santarrosa (1992).
Geologicamente, o campo esta composto por duas falhas principais com
direção NNO-SSE que o limitam nos seus extremos este e oeste. Nos limites
Norte e Sul se têm falhas normais, reversas e conjugadas com direção quase
perpendicular que separam a zona em compartimentos (figura 11). O Campo é
dividido em três regiões ou zonas. O interesse neste trabalho é na região norte a
qual tem registrado os maiores problemas de produção de areia (figura 12).
35
Figura 11.- Mapa estrutural do reservatório
Fonte: (Ruiz, N; Silva, L; 2006)
Desde o inicio da perfuração (1978-1990) cinco (5) dos sete (7) poços
apresentarem problemas de produção de areia. A zona Norte apresenta os
maiores volume acumulados de areia produzida por poço. A figura 12 apresenta
a distribuição da areia acumulada no campo.
36
Figura 12.- Produção de areia acumulada no campo
3.3. Definição do estado de tensões e pressão de poro
De acordo com o Informe técnico desenvolvido no Intevep (1997), as
tensões in situ foram determinadas a través dos seguintes métodos:
Tensão de sobrecarga: determinada a partir da integração do registro de
densidade para um intervalo de profundidade de 1384-5300 (m) / 4543–17220
(ft) do poço A85.
Tensão Horizontal mínima: Obtida através do ensaio Leak-off ao nível do
revestimento intermediário de dois poços A84, A90, (furo aberto e revestido)
Tensão Horizontal máxima: Calculada a partir dos dados do Leak-off e a
seguinte correlação baseada na determinação da pressão de ruptura de uma
fratura em regime elástico.
ToPoSHShPb +−−= 3 (3.1)
Onde Sh é a tensão horizontal mínima, SH é a tensão horizontal máxima,
Po é a pressão de poro, Pb é a pressão de ruptura do Leak-off e To, é a
resistência à tração
Os resultados indicam um regime de tensões de tipo transcorrentes, de
modo que, SH>Sv=>Sh, a tabela 2 resume os gradientes no campo
37
Tabela 2.- Definição dos gradientes de tensão do campo
Gradiente de tensão
(psi/ft) SH 1,40-1,30 Sh 1,00 Sv 1,1
Fonte: Apresentação. “Evaluación del Cañoneo Orientado".
Fevereiro de 1998, Intevep.
Uma prova dos altos gradientes horizontais na formação é o
comportamento dos testemunhos tirados dos poços da área os quais
apresentam Core Disking (figura 13).
Figura 13.- Core Disking, prova dos altos gradientes horizontais na zona
No caso das direções, a figura 14 apresenta o comportamento da tensão
horizontal maior no reservatório do Campo. Observa-se como dependendo a
localização do poço (zona norte, central ou sul) existe uma rotação na direção da
tensão horizontal máxima.
38
Figura 14.- Variação da direção da tensão horizontal maior no reservatorio
3.3.1. Pressão de poros
Existem vários métodos para determinar a pressão de poros do
reservatório. Um dos métodos mais conhecidos utiliza registros sônicos.
Mediante a correlação de Eaton, aplicada ao perfil de velocidade sônica (Fjaer,
2008) tem-se que:
( )( ) [ ]
sonicoperfildoalcompresionOndacahidrostátipressãodenormalGradientek
normalasobrecdetensao
asobrecdetensaoD
psiDkDPo
c
Dnv
Dv
cn
DnvDv
==
=
==
→−−=
τ
σ
στ
σσ
arg
arg/6,29005
)(
)(
)(
)()(
(3.2)
3.4.Definição das propriedades mecânicas
Foram realizados ao longo do tempo muitos ensaios nos arenitos do
reservatório em estudo, tanto nos laboratórios de Intevep como em companhias
de serviço No entanto, o critério para escolher os dados a serem usados na
simulação se baseou na localização (poços vizinhos) e o reservatório destas
39
amostras respeito às amostras que foram ensaiadas para o desenvolvimento
desta dissertação. As propriedades de coesão e ângulo de atrito calculadas a
partir de ensaios triaxiais, assim como o comportamento tensão-deformação se
apresentam na seguinte tabela e figura respectivamente.
Tabela 3.- Propriedades mecânicas do arenito A. ensaios feitos no Intevep
POÇO COESÃO ϕ POROSIDADE
(psi) / (Mpa) (°) (%)
2 2400 / 16.54 41.5 18.5
2 2820 / 19.44 41.7 16.1
Figura 15.- Ensaios de compressão uniaxial efetuados no Intevep
No caso das constantes elásticas, estas foram determinadas a partir dos
ensaios UCS executados nas amostras e que será explicado no Capitulo 5. Para
a modelagem será usado como critério de falha o modelo poro-elástico de
Drucker Prager. Os parâmetros que definem este modelo foram determinados a
partir dos parâmetros de Mohr Coulomb. No caso do estado de deformação
plana, as equações que definem os parâmetros são (considerando fluxo
associado)
40
φ
φβ2sin
311
sin3tan×+
×= (3.3)
φ
φ
2sin311
cos3
×+
×=
cd
(3.4)
Onde βtan é comumente referida como o ângulo de atrito do material, d a
coesão do material no modelo de Drucker e c a coesão do modelo de Mohr
Coulomb
A razão principal para utilizar o Modelo de Drucker Prager é o fato do
modelo de Mohr Coulomb assumir que a falha independe do valor da tensão
intermediaria enquanto Drucker-Prager a considera. Além disso, a vantagem em
termos de estabilidade numérica que o modelo propõe
Detalhes do modelo podem ser vistos no Abaqus Analysis User´s Manual,
seção 18.3.1 No caso das amostras utilizadas para os ensaios, a seguinte figura mostra
o registro de litologia de um dos poços estudados.
Figura 16.- Comportamento do registro litologico do poço
41
Como se observa, a litologia do poço é muito variável ao longo da
profundidade, embora a amostra tenha sido obtida dos trechos com os arenitos
mais limpos, observa-se uma grande quantidade de folhelho e intervalos de
pouco interesse em termos de produção.
3.5. Representação esquemática dos poços da área
Devido às características do reservatório: profundidade, pressão e
temperatura, os poços são revestidos e canhoneados no reservatório. A figura
17 apresenta o esquema padrão dos mesmos.
Figura 17.- Representação esquemática padrão dos poços
4. Programa Experimental
Para a determinação das propriedades de deformabilidade e resistência
dos arenitos em estudo a serem utilizados no modelo numérico, foram
executados ensaios de compressão simples (UCS) nos laboratórios do Cenpes-
Petrobras. Foram também realizados ensaios de compressão em cilindros de
paredes espessas para uso em modelos de previsão da produção de areia
utilizando o modelo analítico de Willson (Willson, 2002). Os procedimentos para
a obtenção dos corpos de provas a serem utilizados nos ensaios referidos acima
são descritos a seguir.
4.1. Preparação dos corpos de prova
Para a preparação dos corpos de prova contava-se com um testemunho
de 18 cm (7,0 polegadas) de comprimento e 10 (cm) / 4,0 (polegadas) de
diâmetro, identificado como Amostra 1, pertencente ao poço do reservatório em
estudo e mais três testemunhos com dimensões de 10 (cm) / 4,0 (polegadas) de
comprimentos por 6,50 (cm) / 2,625 (polegadas) de diâmetro de um campo
vezinho, identificados como Amostras 2, 3 e 4.
Como todo processo de sondagem e transporte pode afetar aos
testemunhos, antes de começar a preparação dos corpos foram feitas
tomografias computadorizadas de raios X no Laboratório do Cenpes com o
objetivo de observar o estado das amostras.
43
Figura 18.- Tomografia computadorizada das amostras em estudo
Figura 19.- Tomografia computadorizada (em escala de cores) das amostras em estudo
As figuras apresentam a presença de fraturas nos testemunhos, sobretudo,
em as amostras 3 e 4. Na figura 19, a escala de cores para cada amostra é
individual, porém todas representam as regiões de maior contraste tanto para
menor densidade (azul) quanto para maior (vermelha)
Sendo assim, foi nestas amostras que se teve ainda mais cuidado na
preparação dos corpos de prova.
A metodologia tem inicio com os cortes dos testemunhos com a serra
circular diamantada de quarenta milímetros de espessura visando garantir a
mínima perda da rocha.
44
Depois de cortada a seção, a amostra foi levada ao processo de
usinagem em torno mecânico, na qual as superfícies são deixadas lisas,
melhorando as imperfeições geradas nos processos anteriores.
As amostras para os ensaios de compressão uniaxial forem
dimensionadas com diâmetros de 1,27 (cm) / 0,5 (polegadas) e comprimentos de
2,54 (cm) / 1 (polegada), mantendo desta forma a relação recomendada pelo
ISRM (1981).
Figura 20.- Corpos de prova para os ensaio de Compressão uniaxial
No caso das amostras do ensaio de paredes espessas foi feito um furo
interno que deve obedecera uma relação 3:1 com o diâmetro externo. Neste
caso, o corpo de prova é de 3,81 (cm) / 1,5 (polegadas), por tanto, o furo interno
foi feito de 1,27 (cm) / 0,5 (polegadas) A amostra é envolvida por uma membrana para impedir que o fluido do
equipamento afete a constituição mineralógica do corpo, ou seja, a tensão seja
transmitida diretamente na membrana e não na rocha.
Uma vez feito o furo é seguido o faceamento das superfícies através de
um rebolo diamantado visando garantir o paralelismo das fases e a
perpendicularidade com o eixo da amostra.
45
Figura 21.- Corpo de prova para os ensaio de cilindro oco
O total dos corpos de provas se apresenta na seguinte tabela
Tabela 4.- Corpos de prova
Testemunho Corpo
de prova
Litología Tipo de ensaio
AMOSTRA 1 01 TWC
AMOSTRA 1 02 TWC AMOSTRA 1 03 TWC AMOSTRA 1 04 UNIAXIALAMOSTRA 1 05 UNIAXIALAMOSTRA 1 06 UNIAXIALAMOSTRA 1 07 UNIAXIALAMOSTRA 2 08 UNIAXIAL
AMOSTRA 2 09
ARENITO
UNIAXIAL
4.2. Equipamento utilizado
Os ensaios foram executados no laboratório de Mecânica das Rochas do
Centro de Pesquisa da Petrobras S.A, CENPES, no Rio de Janeiro. Para os
ensaios de compressão uniaxial foi utilizado o equipamento MTS 816 de
capacidade de 500 KN em compressão.
Para o ensaio TWC, foi utilizado o equipamento MTS 815, que consiste
de uma prensa servo-controlada com rigidez de 10 GN/m e capacidade de
2700 KN em compressão. Para as medidas das deformações axial e radial
foram utilizados extensômetros elétricos modelos MTS 632.11C-20 (axial) e
46
632.92C-03 (radial), cujas sensibilidades são de 2,386 mV / V (axial) e 0,765
m V / V (radial), Barroso (2002).
4.3. Metodologia Utilizada
4.3.1. Ensaio de Compressão Uniaxial
Optou-se pela realização dos ensaios uniaxiais com controle de
deformação antes de chegar à resistência máxima, tendo em vista as
vantagens que esse procedimento oferece em relação aos ensaios com
tensão controlada, especialmente para a obtenção do comportamento pós-
pico da rocha. A escolha da taxa de carregamento (0,05 KN/seg) obedeceu
basicamente ao valor conhecido de ensaios feitos no passado e
dimensionamento da amostra. A taxa de deformação radial foi de 1,20E-4
mm/seg
Para a obtenção do comportamento pós-pico é necessário calibrar o
equipamento já que o ensaio necessita fazer seguimento das deformações
laterais, que no caso de corpos de provas tão pequenos é necessário.
Foram realizados também durante os ensaios ciclos de carregamento e
descarregamento para identificar o comportamento elasto-plástico do
material.
Figura 22.- Execução do ensaio de compressão uniaxial
47
4.3.2. Ensaio de paredes espessas (Thick walled cylinder, TWC)
O ensaio em cilindros de paredes espessas é versátil e pode ser utilizado
em diferentes aplicações. Sua geometria particular é particularmente útil para
reproduzir condições de tensões ao redor de escavações subterrâneas e simular
uma grande variedade de trajetória de tensões do que outros ensaios
A metodologia original do ensaio, corresponde a um corpo de prova de
dimensões OD:ID:L (relação diâmetro externo, diâmetro interno, comprimento)
de 25 mm: 8.5 mm: 50mm com tensões axiais e radiais iguais (mesma pressão
confinante). O ensaio é realizado sem fluxo e conduzido até o colapso (perda
total da coesão da parede interna) do corpo de prova. O valor é registrado como
a resistência à TWC
Em termos de produção de areia, Veeken et al. (1991) propuseram este
ensaio devido ao fato da elasticidade não linear e a plasticidade serem partes
dos resultado dos TWC. O ensaio compreende os seguintes passos:
• As amostras são previamente saturadas com óleo por
aproximadamente 24 horas. Isto com a idéia de representar as
condições de um túnel canhoneado.
Figura 23.- Saturação das amostras. Ensaio de cilindro oco, ou TWC
48
Figura 24.- Corpo de prova saturado
• Revisão das dimensões da amostra, sobretudo, a uniformidade do
diâmetro interno.
• Colocação dos caps na base e topo da amostra os quais são
fixados com fita adesiva.
• Cobertura da amostra com membrana termo-retractil “teflon”, a
qual é aderida ao corpo de prova utilizando-se um soprador
térmico marca Steinel modelo HL 1800E de 200 a 1500 (W) que
atinge temperaturas de até 600 (°C). Logo depois, o topo e base
são amarrados com arame (entre os caps e a camisa). Todo o
processo é apresentado na seguinte figura.
Figura 25.- Colocação dos caps no corpo de prova
49
• O processo continua com a montagem dos extensômetros elétricos ao
redor do corpo de prova e logo na célula triaxial (figura 26)
Figura 26.- Montagem dos extensômetros elétricos
Figura 27.- Execução do ensaio de cilindro oco
• O ensaio começa sendo expulsas as bolhas de ar no sistema. Logo a
amostra é colocada em um précarregamento de 0,3 (Mpa)
aproximadamente com o objetivo de evitar deformação excessiva
durante a pressurização.
• É enchido o furo interno com óleo, para logo fazer mais uma prova de
que não exista ar no sistema.
• Começa o carregamento tipo hidrostático a uma taxa de acréscimo de
0,1 KN por segundo
50
• São medidas as deformações axiais e laterais através dos
extensiômetros.
• Quando é observada a inflexão da curva de deformação, momento no
qual começa o colapso do material a taxa de confinamento é baixada e é
deixado até o corpo de prova romper.
• É assentado o valor de colapso, conhecido como resistência à TWC
5. Resultado dos ensaios experimentais
Os resultados serão apresentados seguindo a ordem utilizada para a
descrição dos ensaios no capitulo anterior.
5.1. Resultados dos ensaios uniaxiais
No total foram ensaiadas seis (6) amostras, nas quais (como foi
mencionado no capitulo anterior) foi feito o controle de deformação, isto para
analisar o comportamento pós-pico do material. Para rochas que exibem
comportamento frágil, quando carregadas em compressão uniaxial não é
suficiente o controle da taxa de ruptura, portanto, a “preservação” das amostras
(sem rupturas explosivas) nas regiões de pico e pós condicionaram a preferência
pelo controle de deformação.
A Figura 28 mostra comportamento da curva tensão-deformação de dois
corpos de prova do arenito A
52
Figura 28.- Comportamento tensão-deformação
dos corpos de prova 05 e 12 do arenito A
Segundo Wawersick & Fairhurst (1970) é possível distinguir entre duas
classes de comportamento de rocha, sob compressão uniaxial além do pico de
tensão máxima. Os autores acima definem os materiais de classe I como
aqueles cujo comportamento é caracterizado por uma propagação estável de
fraturas, tal que um trabalho externo deva ser realizado para que a amostra sofra
uma posterior redução em sua capacidade de suportar a carga aplicada. Nos
materiais de classe II ocorre uma propagação instável dessas fraturas em face
da energia de deformação acumulada na rocha, que é suficiente para manter o
crescimento de fissuras logo depois do pico de resistência tenha sido
ultrapassado. O exemplo de este comportamento é apresentado na figura 28.
Para o caso das amostras ensaiadas elas apresentam o comportamento
similar como aquele definido como tipo II (ver figura 29).
Os arenitos que apresentam algum tipo de cimentação, mesmo quando
muito brandos, têm comportamento frágil e com trecho de pós-pico tipicamente
de classe I. Isto ocorre provavelmente porque estas rochas têm rigidez baixa e
não possibilitam que a máquina de testes acumule energia de deformação,
sobretudo quando ensaiadas em sistemas rígidos e servo-controlados. Portanto,
é aceitável supor que o comportamento de classe II seja se não característico
mais provável em rochas de alta rigidez.
53
Fatores ligados às características da máquina de testes, às taxas de
deformação aplicadas durante os ensaios, à geometria dos corpos de prova e à
própria estrutura da rocha exercem significativa influência sobre a forma da
curva tensão-deformação na região de pós-pico (Wawersick & Fairhurst, 1970;
Hudson et al., 1972).
Figura 29.- Classificação do comportamento tensão-deformação de rochas sob
compressão uniaxial durante o amolecimento. Wawersick & Fairhurst (1970)
A figura 30 mostra o modo de ruptura encontrado para o CP05 (ruptura por
cisalhamento)
Figura 30.- Corpo de prova # 5. Logo após do ensaio UCS
Logo após determinar o valor da resistência à compressão uniaxial, foram
definidos os trechos de descarregamento – recarregamento com o objetivo de
conhecer melhor o comportamento elasto-plástico da rocha.
54
A Figura 31 apresenta o comportamento tensão-deformação encontrada
para os CPs 08 e 10.
Figura 31.- Comportamento tensão-deformação com ciclos de
descarregamento e re-carregamento
Como se pode observar, além das amostras terem valores de resistência
máximas bem diferentes, o CP 10 atingiu quase 100 (Mpa), no entanto o CP 08
alcanço a resistência observada nas amostras previamente ensaiadas, 60 (Mpa).
Só uma parte da deformação produzida no carregamento é recuperada no
descarregamento seguinte. Comparando as deformações permanentes em cada
amostra, observa-se como para o mesmo nível de tensões o CP 08 tem maiores
deformações plásticas do que o CP 10.
A recuperação no descarregamento deve-se à energia elástica
armazenada nas partículas ao carregar a rocha. No entanto existe um
deslizamento inverso entre as partículas ao descarregar, Lambe & Whitman
(1969)
Para tensões inferiores à máxima do primeiro ciclo de carga, o arenito tem
uma rigidez ainda maior ao voltar a carregar, já que grande parte do
deslizamento potencial entre as partículas foi produzida no primeiro ciclo. Ao
passar a tensões maiores do primeiro ciclo, a curva tensão-deformação é
praticamente a mesma.
55
Goodman (1989) afirma a dificuldade de definir exatamente o que significa
E e ν já que não é simplesmente a tangente da curva virgem (Ver figura 32). Por
isso a recomendação de determinar os parâmetros elásticos da curva de
recarregamento.
Figura 32.- Curva virgem (traços) e curva re-carregada (continua) para a determinação
dos parâmetros elásticos (Goodman, 1989)
Os valores dos coeficientes de elasticidade são determinados a partir das
Figuras 31 e 33.
56
Figura 33.- Comportamento tensão-deformação radial para o
cálculo da relação de poisson
Assim foram estabelecidos os valores de 20E3 (Mpa) / 2,96E6 (psi) para o
módulo de elasticidade e de 0,22 para o módulo de Poisson. Em dois dos
ensaios observou-se a repetibilidade dos resultados.
Existem problemas que envolvem a determinação dos módulos de
elasticidade em amostras pequenas. Primeiro, o fato dos extensômetros ficar em
o centro da amostra com o comprimento tão pequeno. Adicionalmente, os caps
afetam a medição. O comprimento da amostra não é tão grande para não
garantir o efeito dos caps.
5.2. Resultados dos ensaios com cilindros de paredes espessas (TWC)
Como foi comentado no capitulo anterior, o ensaio TWC foi executado em
sua forma mais simples, com monitoração das pressões externas e
deslocamento do raio externo e sem considerar fluxo.
van den Hoek (1992) propõe que a resistência do cilindro de paredes
espessas na ausência de pressão interna pode ser usada como uma estimativa
57
do carregamento requerido para produzir a falha inicial de uma perfuração em
campo.
Foram realizados três ensaios utilizando cilindros de parede espessa. A
Figura 34 mostra o resultado encontrado com o CP01.
Figura 34.- Comportamento tensão-deformação do CP01 obtido com ensaio em cilindro
de parede espessa.
Como pode ser visto o ensaio não foi concluído, já que a célula chegou ao
carregamento máximo, 80 (Mpa), e a amostra não rompeu. O ensaio teve que
ser interrompido e foram avaliados os motivos para que isto tenha ocorrido.
O CP01 teve sua geometria alterada para uma relação de diâmetros ID:OD
2:1. Isto foi feito com o objetivo de procurar alcançar o valor máximo de
resistência da rocha naquelas condições.
Paralelamente aos ensaios foram feitas análises numéricas para sua
simulação. Estas análises foram realizadas diferentes relações ID:OD 3:1 e 2:1,
porem, mantendo as características do ensaio para observar o comportamento
das tensões ao redor do furo. Para isso foi usado o programa de elementos
finitos Abaqus; detalhes deste analise serão descrito no próximo capitulo, todavia
os resultados comparativos de ambas geometrias se apresentam na seguinte
figura.
58
Figura 35.- Tensões máxima e mínima ao longo do raio obtido de simulações numéricas
de ensaios de cilindros de parede espessa.
Pode se observar como o nível de tensões no interior da rocha atinge
valores de quase dois e três vezes a tensão aplicada no exterior para a
geometria 3:1 e 2:1 respectivamente. Sendo que no caso do primeiro ensaio não
foi o suficiente para colapsar a rocha. É importante ressaltar que embora a
simulação mostre a plastificação do furo, o corpo de prova não deu sinais de
amolecimento nem sequer no momento de modificar a geometria do mesmo.
Os resultados obtidos da análise numérica foram comparados com uma
solução analítica detalhada no Apêndice A. A figura 36 mostra a boa
concordância entre a solução numérica e a solução analítica. Na mesma figura
compara-se o uso dos modelos Mohr-Coulomb e Drucker Prager; notando-se
neste ultimo uma maior plastificação do raio para um mesmo nível de tensão.
59
Figura 36.- Comparação das tensões máximas e mínimas do modelo analítico e
numérico ao longo do raio
O ensaio com a relação de diâmetros 2:1 foi feito e o resultado é
apresentado na Figura 37.
Figura 37.- Comportamento tensão-deformação do CP01 obtido com ensaio em cilindro
de paredes espessas com relação de diâmetros 2:1
60
Neste caso o colapso da rocha foi atingido para um valor de pressão
externa de 75 (Mpa). Por outro lado se apresenta a ruptura do arenito ensaiado
da figura 35
Wu e Tan (2000) definiram que a grande diferença entre o valor UCS e o
TWC, é basicamente porque, a resistência do material no ensaio UCS é
unicamente uma medida da resistência do material cimentante (devido às
condições do ensaio, sem confinamento), no entanto, no caso do ensaio TWC, a
resistência ao colapso é uma combinação da resistência do material cimentante
e a resistência dos grãos de areia (devido à tensão deviadora).
Segundo a bibliografia, Wu & Tan (2000), a resistência reportada do TWC
corresponde as tensões tangenciais no diâmetro interno do furo que excede a
resistência à compressão simples (UCS) por um fator de 2 a 5. Nestes ensaios,
a relação ou fator entre TWC e UCS obtida para amostras de 8 mm de diâmetro
interno foi de 4,5 (arenito de Berea) e um fator de 9 para arenitos do Mar do
Norte. Os autores sugerem que esta diferença seja devida à dependência do
Modulo de Young pelas tensões confinantes o que causa que o ponto da tensão
tangencial máxima se desloque da parede ao interior da rocha. No caso dos
ensaios executados a relação diminui para 1,15 tendo em conta que o diâmetro
interno é de 19 mm.
Figura 38.- Falha da rocha no ensaio do cilindro ôco
Outro fator importante observado nesta amostra foi o tipo de falha
apresentada (figura 38). Segundo o estudo feito por Papamichos (2008) a
produção de areia aumenta rapidamente com o acréscimo das tensões externas,
devido ao rápido desenvolvimento da falha tipo fenda. A razão desta rápida
evolução deve-se ao fato da rocha falhar como grãos independentes ou
61
pequenas estruturas as quais não tem a possibilidade para formar arcos
estáveis.
Figura 39 Comparação do tipo de falha do trabalho de Papamichos com o ensaio TWC
Foram feitos mais dois ensaios e a figura 39 apresenta o comportamento
nos corpos de prova 3 y 4, sendo notável a similaridade das curvas e o valor de
TWC atingido.
Figura 40.- Comportamento tensão-deformação do ensaio TWC.
CP 03 e CP 04
Para saber se os resultados obtidos encontravam-se em um intervalo
aceitável, optou-se por colocá-los junto com correlações e dados coletados (ver
figura 39) de diferentes literaturas. Tronvoll (1997)
62
Figura 41.- Comparação dos resultados do TWC em função da resistência à
Compressão Uniaxial.
A Figura 41 mostra que os valores de resistência obtidos com os ensaios
de compressão simples e cilindros de parede espessa nos arenitos A são mais
elevados dos que aqueles reportados na literatura, mas parecem se enquadrar
na tendência geral aparente. Isto confirma o que foi mencionado anteriormente,
tanto as condições do poço quanto as características da rocha fazem este
estudo particularmente atípico
6. Modelagem numérica com o programa Abaqus
Este capítulo apresenta os resultados obtidos com a modelagem numérica,
realizada com o programa Abaqus em duas (2D) e três (3D) dimensões. Estes
resultados se referem às condições dos poços localizados na área em estudo,
descrita nos capítulos anteriores. O capítulo mostra também exercícios de
simulação numérica dos ensaios de cilindros de paredes espessas
6.1. Modelo de erosão 2D e 3D
6.1.1. Modelagem numérica em 2D
O modelo 2D representa um poço que em termos de completação define-
se como “poço aberto”, ou seja, o intervalo de produção não possui
revestimento.
As características do analise são: poço vertical, com a representação de
somente 25% do domínio e considerando um estado plano de deformação. A
geometria tem 10,2 m (401,5 polegadas) de largura do domínio e o diâmetro do
furo é de 0,3176 m (12,5 polegadas)
Os valores de carregamento no contorno e o drawdown aplicado estão
baseados em dados reais de campo. A rocha é considerada um meio poroso,
contínuo e isotrópico. A figura 42 mostra a representação esquemática do
carregamento aplicado.
64
Figura 42.- Representação do carregamento aplicado
A modelagem foi feita com elementos tipo CPE4P (Abaqus Analysis User´s
Manual), quatro (4) nós, com forma quadrilateral. A malha é mostrada nas
figuras 41 e 42, a mesma possui 2087 nós e 1993 elementos. O processo de
simulação é desenvolvido em três estágios
Figura 43.- Malha para a modelagem em duas dimensões
65
Figura 44.- Detalhe da malha (na zona do poço)
O primeiro passo, definido como a etapa geostática, é feito com o objetivo
de alcançar o equilíbrio logo após de colocar as condições iniciais de tensão e
poro pressão (Ver figura 45).
Figura 45.- Condições iniciais, de contorno e carregamento no modelo 2D
Na etapa de perfuração, são removidos os elementos que representam o
poço. É colocada uma força distribuída ao redor dele, a qual representa o fluido
de perfuração, sendo que, é considerado um fluido não penetrante, portanto, não
afetara a resistência mecânica da rocha.
Na etapa de erosão, o terceiro passo, as condições de contorno mudam
para aplicar a pressão de poro na parede do poço e começar o processo de
66
erosão. Neste trabalho as simulações foram feitas para tempos de 30 e 60
horas. Todas as etapas antes do processo de erosão são em regime
permanente, o processo de erosão é transiente.
6.1.2. Modelagem numérica 3D
O domínio do problema considera uma fatia circular de rocha de 0,20 (m) /
8 (polegadas) de espessura, o qual é atravessado por o poço e o túnel
canhoneado na sua seção axial e transversal respectivamente. O domínio tem
um diâmetro de 10 (m) / 400 (polegadas) o poço de 0,15 (m) / 6,25 (polegadas) e
o túnel de 0,043 (m) / 1,7 (polegadas) com 0,508 (m) / 20 (polegadas) de
comprimento. Na modelagem é considerada a tubulação de revestimento e
cimento. A rocha é modelada com elementos tipo C3D8P, e o revestimento com
M3D4. A malha tem um total de 15496 elementos.
Figura 46 Malha do modelo 3D
O processo é realizado em cinco (5) passos:
1. Geoestático, utilizado para equilibrar em relação as tensões iniciais,
poro pressão e o carregamento distribuído o qual representa a rocha
acima do túnel perfurado (figura 47)
67
Figura 47 Condições inicias, de contorno e carregamento aplicado
2. Perfuração: representa as operações de remoção dos elementos do
poço e o túnel canhoneado (figura 48)
Figura 48 Detalhe da malha 3D. Túnel canhoneado
3. Aplicação da pressão de fluido na face do túnel canhoneado (figura 49)
68
Figura 49 Aplicação da pressão de fluido nas faces do túnel canhoneado
4. No quarto passo (figura 50) é aplicada a pressão de drawdown
desejada com analise permanente (steady-state).
Figura 50.- Aplicação do diferencial de pressão no túnel canhoneado
5. O ultimo passo corresponde à analise transiente do processo de
erosão.
69
6.2. Modelagem numérica do ensaio de cilindro de paredes espessas
O objetivo deste modelo foi de analisar as tensões ao longo do raio do
cilindro para diferentes relações de diâmetro, entre 3:1 e 2:1 (ver figura 35). Esta
modelagem considerou estado de deformação plana e devido à simetria
somente 25% do domínio total. A malha foi feita, para ambos casos, com
elementos tipo CPE4R e o numero de elementos foi de 975 e 792 para as
geometrias 3:1 e 2:1 respectivamente (ver figura 51) .
Figura 51 Malhas utilizadas para a modelagem do ensaio de cilindro oco.
Relação de diâmetros 3:1 (a) e 2:1 (b)
70
Da mesma forma como o ensaio experimental, a carga foi imposta até o
valor máximo alcançado pela maquina no laboratório (80 (Mpa)/12000 psi). A
figura 52 apresenta as condições de contorno e a carga aplicada para o caso da
geometria 2:1
Figura 52.- Condições iniciais e de carga na modelagem
6.3. Sub-rotina de erosão do programa Abaqus
O programa Abaqus oferece ao usuário uma rotina escrita na linguagem
Fortran para análise dos processos de produção de sólidos em poços de
petróleo. Esta rotina é baseada no trabalho de E. Papamichos e M. Stavropoulou
(1998), na qual se considera a erosão na superfície do meio poroso. No item
seguinte será descrito o modelo matemático correspondente, assim como as
considerações assumidas.
Do ponto de vista da modelagem, a produção de areia em poços de
petróleo esta relacionada aos dois seguintes mecanismos:
• Instabilidade mecânica e falhas localizadas da rocha nas
vizinhanças do poço devido à concentração de tensões.
• Instabilidades hidro-mecânica devido à erosão interna e da
superfície, as quais se manifestam na transferência de partículas
pela ação das forças de percolação
Portanto, o modelo de erosão foi desenvolvido no marco da instabilidade
hidro-mecânica e as teorias de infiltração de Einstein.
71
fsff dVdVdVv +=
6.3.1. Definições do modelo matemático
Considera-se um volume elementar dV de um meio poroso, granular e
totalmente saturado. O volume possui três constituintes: uma fase fluida (ff), uma
fase solida (s) e as partículas sólidas fluidizadas (fs) com as massas dMff, dMfs,
dMs e volumes dVff, dVfs, dVs respectivamente. A figura 53 representa
esquematicamente os componentes do modelo. O símbolo dVv representa o
volume dos poros interconectados qual se encontra ocupado pelo fluido e os
sólidos fluidizados.
Figura 53.- Representação dos componentes que considera o modelo matemático
Onde dVfs são aquelas partículas em suspensão que se movimentam
com o fluido. Qualquer outra partícula que fica dentro dos espaços vazios é visto
como fase sólida.
6.3.1.1. Considerações do modelo
O fluido e as partículas fluidizadas possuem a mesma velocidade. Os
sólidos têm velocidade zero.
72
fsff
fsff
dVdVdMdM
+
+=ρ
(6.1)
A porosidade é definida por
(6.2)
A concentração de transporte dos sólidos fluidizados, C e definida por
(6.3)
As densidades da fase fluida e as partículas fluidizadas coincidem
com as densidades totais dos constituintes correspondentes
(6.4)
(6.5)
Define-se a densidade parcial da mescla como
(6.6)
Substituindo a concentração de transporte, e as densidades parciais na
equação anterior, tem-se que
(6.7)
Por outro lado, a velocidade da mistura é definida pela relação
dtdS
Vdqi
i = (6.8)
0=
==s
i
ifffs
V
VVVii
T
V
dVdV
=φ
V
fs
dVdV
C =
ffρ fsρ
fff
ffff dV
dMρρ ==
ss
s
fs
fsfs dV
dMdVdM
ρρ ===
( ) sf CC ρρρ +−= 1
73
fsier mm 'λ=
•
E a taxa de transferência de massa da mistura é definida por
6.3.2. Lei Constitutiva da geração de massa
Estudos teóricos e experimentais em relação à filtração das partículas não-
coloidais em meios porosos foram feitos nos anos 60´ por H.A Einstein na
Califórnia (Stavropoulou, 1998). Einstein propôs a seguinte forma para a taxa da
massa erodida
(6.13)
Onde, •
erm é a taxa de massa erodida, fsim a taxa de transferência de
massa das partículas fluidizadas e 'λ o coeficiente de produção de areia na
superficie
Substituindo a definição de mifs dada pela equação 6.12 na equação 6.13,
tem-se que
(6.14)
o que significa que a erosão é função da descarga das partículas
fluidizadas iqC
Espera-se que o processo de erosão seja mais intenso nas regiões
intactas as quais são caracterizadas por pequenos canais de poros, por isto
assume-se que
iser qCm λρ=•
( )
( ))12.6(
)11.6(1
)10.6(
)9.6(1
isfs
i
ifff
i
fsi
ffii
isifii
qCm
qCm
sejaou
mmm
qCqCqdSidt
VddSidt
Mdm
ρ
ρ
ρρρρ
=
−=
+=
+−====•
74
(6.15)
Onde λ é definido como coeficiente de produção de areia. Quando o
processo de erosão é acoplado com as deformações do material rochoso, λ é
função das deformações plásticas. Na rotina do programa Abaqus, a função que
define o comportamento do coeficiente é:
(6.16)
Sendo gp, a deformação plástica equivalente, gppeak a deformação plástica
máxima. λ1 e λ2 devem ser determinados experimentalmente, na sub-rotina
forem definidos valores de λ1= 4 e λ2=0,01.
Substituindo o valor de λ´ dado pela equação 6.15
(6.17)
(6.18)
Na equação 6.18 o termo do lado esquerdo é definido como “velocidade
de erosão”. Onde, λ, como mencionado anteriormente, é o coeficiente de
produção de areia e depende das deformações plásticas do material. (1-n) é a
porosidade, C é a concentração de transporte dos sólidos fluidizados e vw a
velocidade do fluido.
6.4. Uso das malhas adaptativas no modelo de erosão
O programa Abaqus utiliza malhas adaptativas para analise do processo
de erosão. As características básicas dos procedimentos utilizados são
( )φλλ −= 1'
iser qCm ρφλ )1( −=•
is
er qCm )1( φλρ
−=
•
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
>
>−=
22
1
λλ
λλ
p
ppeak
pppeak
pp
gif
ggifggg
75
• Manter uma malha topologicamente similar
• É usada para resolver problemas de tipo Lagrangiano, ou seja, nenhum
material deixa a malha, e para modelar efeitos de redução de volume, no
qual o material é erodido da superfície.
• Restrições de malha Lagrangiana no nó são usadas para indicar que a
suavização da malha não deve ser aplicada, quer dizer, o nó deve seguir
o material.
• A suavização da malha é definida como parte da definição do passo; a
malha adaptativa usa um método na qual cada incremento consiste numa
fase lagrangiana seguida por uma fase eureliana. A fase lagrangiana é a
típica solução do programa onde nenhuma suavização ocorre. Uma vez
que as equações de equilíbrio tenham convergido é feito a suavização da
malha.
• A suavização da malha é feita logo que as equações de equilíbrio
estrutural tenham convergido. As equações de suavização da malha são
resolvidas explicitamente varrendo iterativamente no domínio da malha
adaptativa. Durante cada varredura da malha, nós do domínio são
realocados baseados na posição de nós vizinhos obtidos durante uma
analise previa para reduzir a distorção do elemento. A nova posição Xi+1
de um nó é obtida através de
Ni
Nii xNuXX ×=+= ++ 11 (6.20)
Onde X é a posição original do nó, 1+iu é o deslocamento nodal Nix são
as posições nodais das vizinhanças obtidas durante varredura previa de malha e NN são funções de peso. Os deslocamentos aplicados durante as varreduras
não estão associadas com o comportamento mecânico
7. Resultados do modelo numérico
Este capítulo apresenta os resultados obtidos com os modelos numéricos
definidos no capítulo anterior. Os resultados são também confrontados com os
dados existentes de produção de sólidos nos poços da área em estudo.
7.1. Resultados da modelagem numérica de problemas em 2D
Os resultados apresentados a seguir se referem basicamente à quantidade
de sólidos prevista na análise. Para isto foram utilizados os parâmetros do
modelo de erosão sugeridos pelo manual do programa Abaqus.
O valor do volume de areia, expressos em m3, assim como as
deformações plásticas ao redor do furo são apresentadas nas figuras 54 e 55
respectivamente. Embora ocorram deformações plásticas ao redor do furo, a
analise de erosão não consegue atingir valores comparáveis observados em
campo. Nota-se que a produção de areia é praticamente instantânea (ocorre nos
primeiros segundos da analise) alcançando um valor de 3,5E-5 (m3) por metro
de profundidade e que permanece constante ao longo do tempo de simulação.
77
Figura 54.- Volume de areia produzido em m^3/metro de profundidade
Figura 55.- Deformações plásticas equivalentes no poço
Um detalhe importante na figura 55 é o fato das deformações serem
maiores na direção de influencia da tensão horizontal maior. Pergunta-se porque
o modelo não estaria prevendo os valores obtidos no campo. Duas
possibilidades poderiam ser consideradas para responder essa pergunta, uma
que as constantes no modelo não representam o que acontece no campo e
outra, que as hipóteses do modelo também não se ajustam a esta realidade.
78
Devido ao fato de ter alguns parâmetros que influenciam diretamente a
equação da taxa de geração de massa, como por exemplo, a concentração de
transporte e os valores de λ1 e λ2, forem feitas algumas simulações variando
estes valores. A tabela 5 resume as variações feitas nos parâmetros C, λ1 e λ2
Tabela 5.- Parâmetros utilizados nas simulações
Simulação C λ1 λ2
1 0,001 5E4 75
2 10 5E4 75
3 10 4 0,001
4 1000 4 0,001
Figura 56.- Resultados das simulações 1 e 2 da tabela 5
79
Figura 57 Resultado das simulações 3 e 4
As figuras 56 e 57 apresentam os resultados do volume de areia
produzido nas diferentes simulações feitas. Não se observa maior variação do
comportamento, quer dizer, a variação dos parâmetros não modificou os
resultados obtidos previamente, ou seja, os volumes obtidos de sólidos
continuavam muito baixos.
Para tentar reproduzir os valores de produção de sólidos de campo, foi
introduzida na seqüência uma modificação na equação 6.16 que fornece os
valores de λ a serem usados na análise. A segunda parte da equação 6.16 foi
descartada para não limitar o coeficiente de produção de areia no valor λ2 ,
eliminando-se a restrição superior de λ em λ2.
80
Figura 58.- Resultado da simulação modificando a função do coeficiente de
produção de areia
Eliminar o limite máximo da função não alterou significativamente os
resultados como mostrado na Figura 58. Em seguida tentou-se colocar ao
mesmo tempo a variação dos parâmetros (como mostrado na tabela 6) e deixar
ilimitado o valor de λ (equação 7.1). O resultado na figura 57
Tabela 6.- Parâmetros para a simulação
C λ1
1000 4
( ) ( ){ ppeak
pppeak
pp ggifggg >−×= 1λλ (7.1)
Figura 59.- Volume de areia produzido com as novas modificações (Tabela 6)
Na figura 59, pode se observar a variação no comportamento da curva (já
não é mais uma produção instantânea) assim como do valor do volume de
81
produção de areia. Neste caso, para um tempo de simulação de 30,5 h o volume
produzido atinge valores da ordem de 0,6E-3 (m3) / 36,61 (polegadas3) por cada
metro de profundidade.
O tempo de simulação foi aumentado de 30,5 horas para 60 e assim se
avaliar a influência do tempo nesta analise.
Figura 60.- Volume de areia para o tempo de 60 horas
Nota-se, como mostrado na Figura 60 a tendência da produção de
aumentar com o tempo. Para o caso das 60 horas de simulação, a produção
alcança valores de 0,8E-3 m3 (48,81 polegadas3).
Foi feito um analise de sensibilidade da taxa de transporte dos sólidos
fluidizados. Os resultados resumem-se na seguinte tabela.
Tabela 7.- Analise de sensibilidade da taxa de transporte
Taxa de transporte, CVolume produzido
(m3/m de profundidade)
1 0,35E-05
10 0,50E-05
100 0,20E-03
1000 0,85E-03
Observa-se como este parâmetro tem um efeito marcante no volume de
areia produzido. Para continuar com o estudo, foram utilizados os parâmetros da
tabela 7.
A figura 61 ilustra a seqüência do processo de erosão produto das
modificações efetuadas pelo programa Abaqus na malha.
82
83
Figura 61.- Seqüência do processo de erosão expressado em deformações plásticas
equivalentes (PEEQ)
As seqüências da figura 59 mostram como os nós da malha vão se
desativando e tomando novas posições, que é basicamente o que ocorre com o
processo de malhas adaptativas, explicado no capitulo anterior. Se
considerarmos 3 (m) / 10 (ft) de espessura da camada, o resultado do volume
produzido de areia para o intervalo está representado na figura 62.
Adicionalmente, devido à tendência da curva e poupar tempo de simulação foi
feito um ajuste de curva de potência onde foi extrapolado o comportamento para
um tempo de 200 horas.
Figura 62.- Volume produzido para um tempo de 200 horas
Supondo que a extrapolação na curva seja correta, tem-se para um
tempo de simulação de oito (8) dias um volume de areia produzido de
aproximadamente 25 (bbl) / 3,97 (m3).
84
Até agora foram ajustado parâmetros que são intrínsecos da formação,
os quais são normalmente obtidos através de ensaios de laboratório. Na
equação da taxa de erosão, o único parâmetro que pode ser manipulado é a
velocidade do fluido, que é função direta do gradiente de pressão imposto. Nas
simulações feitas, foi escolhido um poço com características criticas em termos
de drawdown, 46,44 (Mpa) / 6873 (psi), para analisar o efeito deste parâmetro,
foi variada a pressão imposta no interior do poço, diminuendo o valor de
drawdown até 14 (Mpa) / 2072 (psi) os resultados obtidos são apresentados na
figura 63
Figura 63.- Volume produzido em poço com drawdown de 14 (Mpa)
Até um tempo de simulação de 80 horas o volume de areia produzido
alcança valores de oito (8) barris aproximadamente (figura 63). Se compararmos
com a simulação anterior, pode-se observar uma notável influencia da
velocidade do fluido ou drawdown aplicado no analise. As comparações das
duas simulações se apresentam a seguir.
85
Figura 64.- Comparação do volume produzido em função do drawdown
Os resultados obtidos nesta simulação foram comparados com os valores
de produção de areia do campo. Para isto, foi necessário calcular a taxa de
produção média diária da simulação. Utilizando o teorema do valor médio
(também conhecido como teorema de Lagrange) e a figura 62, temos
Tabela 7.- Valor médio da produção de areia na simulação
Dias Valor médio (bbl) Taxa (lb/bbl)
1 2,20 0,18
2 3,60 0,29
3 4,44 0,36
4 5,08 0,41
5 5,61 0,46
6 6,09 0,50
7 6,51 0,53
8 6,88 0,56
No Campo estudado, a produção de areia tem um valor médio de 25 lb
por cada mil barris de petróleo produzido, ou seja, entre 5-10 por cento
aproximadamente da areia produzida na simulação. O resultado é bem
representativo, se é considerada as condições dos poços que foram
comparados. Por um lado, a simulação representa um poço aberto com maior
área efetiva de produção, sem os efeitos do cimento-formação, diâmetro do furo
86
de 0,31 (m) / 12,25 (polegada). No campo tem-se poços do campo, completados
com revestimento e túneis canhoneados de diâmetros de 2 polegadas,
condições geométricas, de tensão, notavelmente distintas.
7.2. Modelo 3D
Logo após ter conseguido resultados satisfatórios no modelo de duas
dimensões, o próximo passo foi gerar resultados no modelo de três dimensões.
Infelizmente, não foi possível atingir a convergência do modelo na etapa de
erosão, porém, os resultados encontrados se mostram em termos de
deformação plástica equivalente ao longo do túnel canhoneado.
Figura 65.- Comportamento da deformação plástica equivalente no túnel canhoneado
Como se observa, as deformações são suficientemente grandes (região
vermelha) se comparada com a deformação de pico ou máxima (determinada
dos ensaios), para iniciar o processo de erosão. Infelizmente, em um problema
tão complexo, altamente não linear, não foi possível estabelecer os motivos de
não se conseguir a convergência nos modelos analisados.
87
Os métodos numéricos por definição devem ser capazes de manejar uma
variedade de condições de contorno complexas, comportamento do material,
características geométricas e parâmetros que dependem do tempo. A principal
razão pela qual os métodos numéricos, em algumas ocasiones, não têm sido
bem sucedidos é devido à complexidade que requerem a montagem e o tempo
das simulações. Seria desejável ter um modelo que seja simples de usar (que
use dados de fácil disponibilidade) e possível de gerar resultados que possam
complementar os modelos analíticos ou melhorar seus resultados em termos de
confiança e consistência.
8. Modelo Analítico de Willson.
Os modelos analíticos de processos de produção de sólidos podem ser
divididos em duas categorias principais, aqueles baseados no critério de falha
por tração e aqueles baseados em ruptura por cisalhamento. O primeiro grupo,
geralmente assume que uma pressão de fluxo critica ou drawdown será o
suficiente para romper a rocha por tração. Esse modo de falha identifica-se mais
em materiais relativamente não cimentados. O uso prático, tem sido mais em
prever o drawdown sem considerar a diminuição da pressão do reservatório,
fazendo o método pouco pratico para modelagem no tempo.
O modelo analítico de Willson relaciona a resistência efetiva da rocha
com as tensões principais in situ assumindo comportamento linear-elástico
aplicado a um elemento da formação próximo ao furo. O furo pode ser o poço
(no caso de poços sem revestimento) ou o túnel canhoneado (no caso de poços
revestidos). A orientação do poço ou canhoneio é tomada em conta
transformando as tensões in situ perpendiculares ao furo. A resistência efetiva
da formação é determinada por correlações ou medidas de laboratório da
resistência do cilindro de parede espessa (ensaio do cilindro oco).
O maximo Critical Bottom Hole Flowing Pressure, CBHFP, calculado no
intervalo, determina o maximo (critico) drawdown permissível (CDP). O Critical
Drawdown Pressure vai ser função da pressão do reservatório, sendo então
função da depleção do reservatório.
8.1. Definição do modelo
O modelo utiliza os seguintes parâmetros:
• Tensões in situ
• Poro-pressão
• Constante poro-elástica de Biot (função da relação de Poisson)
89
• Resistência equivalente da formação
Todos os parâmetros foram em sua maioria definidos em capítulos
anteriores, só o ultimo listado é novo na definição deste trabalho.
A resistência equivalente da formação, definida pelo termo U, tem uma
relação direta com a resistência do cilindro de paredes espessas ou TWC, já que
o ensaio não representa diretamente a pressão de colapso das condições de
poço. A equação que determina dita relação se mostra a seguir.
Onde
correçãodefatorFC =
Os dois primeiros termos da equação corrigem as transformações do
laboratório a condições de campo assim como a resposta de falha a qual é
atribuída à relação OD:ID quem é muito pequena em amostras de laboratório o
que faz influenciar a verdadeira resistência que ocorre no campo.
Existe uma grande influencia da relação OD/ID no valor do TWC. A figura
64 tirada de Willson (2002) mostra os resultados os quais comparam o fator da
resistência relativa em amostras de grandes dimensões (OD/ID=14) com
aquelas de menor escala (OD/ID=3) que são conhecidas como amostras de
tamanho padrão.
Figura 66.- Relação do fator de resistência em função da relação de diâmetros das
amostras de cilindro de parede espessa
)1.8(2 TWCFCU =
90
Como foi justificado no capitulo 5, para os arenitos ensaiados no presente
trabalho, houve necessidade de se fazer uma modificação da relação OD:ID.
Assim foi necessário utilizar o gráfico acima para obter o novo valor de correção
para a determinação da resistência equivalente da formação.
Forem simulados dois casos, o mais critico, o qual em este caso refere-
se ao túnel canhoneado em direção às tensões horizontais mínimas e o pior
cenário o canhoneio em direção às tensões horizontais máximas
Os detalhes da formulação são apresentados no Apêndice B. Os
resultados estão resumidos na figura 67.
Figura 67.- Previsão da produção de areia a partir do modelo analítico de Willson
A figura 67 mostra o resultado do cenário menos favorável, onde o valor
do CBHFP é muito baixo (valor negativo) o que quer dizer que, pode ser imposto
qualquer valor de drawdown e a probabilidade de ter produção de areia será
pequena.
Na figura, também se observa o valor do Critical Drawdown Pressure,
CDP, definida quando a pressão do fundo iguala à pressão do reservatório na
condição depletada. Para este caso, o valor obtido é de 27,87 (Mpa) / 4125 (psi).
Isto quer dizer que esta seria a pressão mínima para a qual é possível a
produção sem probabilidade na produção de areia.
91
Pode-se observar que se houver um decréscimo da pressão do
reservatório abaixo de 34 (Mpa) / 5000 (psi), a janela de trabalho de drawdown
ficará menor, sendo que, com pressões de fluxo menores a 20 (Mpa) / 3000 (psi)
já entraria na área critica.
Comparando os resultados com o comportamento de produção de areia
no campo, conclui-se que o modelo não se ajusta à realidade da área.
92
9. Conclusões e Sugestões para trabalhos futuros
9.1. Conclusões
Estudar um problema tão complexo e novo como a quantificação da
produção de areia e, além disso, tentar explicar o fenômeno que ocorre no
Campo da Bacia de Maracaibo foi realmente uma meta bastante ambiciosa.
A partir das curvas tensão-deformação e a analise pós-pico, classifico-se o
arenito como altamente resistente (resistências acima de 60 (Mpa)), porém frágil.
O tipo de ruptura em sua maioria foi por cisalhamento
O ajuste na geometria das amostras, de uma relação 3:1 para 2:1, permitiu
obter o valor da resistência no ensaio de cilindro oco ou TWC atingindo valores
de 75 (Mpa).
O tipo de falha que apresentarem algumas amostras neste ensaio foi de
tipo lasqueamento (spalling ou tração), e que por definição de estudos,
caracteriza-se por ter uma produção de areia bastante rápida com o acréscimo
das tensões externas sem conseguir a estabilidade da cavidade. Este resultado
ajusta-se a aquilo que pode estar acontecendo na área.
As velocidades de fluxo, a concentração de transporte e o coeficiente de
produção de areia são parâmetros fundamentais na equação da taxa de erosão.
Para o caso estudado, foi necessário ajustar o valor da constante para gerar
resultados que pudessem ser comparados com aquilo que é observado em
campo.
Na modelagem 2D, o exemplo conseguiu determinar um volume de areia
que em termos de quantificação representa bastante bem o que ocorre na área
se considerarmos a diferença na geometria e as condições estudadas.
Para o caso da modelagem em três dimensões, a analise não convergiu,
no entanto, segundo os resultados obtidos em termos de deformação plástica
fazem pensar que a condição de túnel canhoneado estará exposta a sofrer da
mesma forma o fenômeno de erosão de areia.
93
A partir da modificação na geometria das amostras, foi necessário gerar
um novo fator de correção para o modelo de Willson. Todavia, o modelo não
representou o que ocorre no campo, basicamente porque é função principal da
resistência equivalente da formação quem a sua vez vê-se afetada pelo fator de
correção.
A alta produção de areia no campo deve-se ao conjunto de fatores tanto a
nível macro quanto micro: desde o alto estado de tensões in situ como as
características litológicas do reservatório
9.2. Sugestões
• Fazer estudos paramétricos que permitam determinar a influencia de outros
fatores no fenômeno de produção de areia: estado de tensão, propriedades
mecânicas, permeabilidade.
• Continuar com os estudos da modelagem 3D, tomando em consideração as
direções das tensões e o túnel canhoneado. Estabelecer diferencia e/ou
comparações entre os diferentes modelos de falhas para esta modelagem.
Desta forma, poderá ver-se a influencia das tensões intermediarias na
estabilidade do canhoneado
• Determinar através dos ensaios experimentais os fator de concentração de
transporte, C, e os parâmetros λ1 e λ2 que são função do coeficiente de
produção de areia.
• Fazer mais ensaios de cilindro oco ou TWC para observar a influencia do
raio e estabelecer alguma relação no tipo de falha
• A função apropriada da dependência do coeficiente de produção de areia
sobre o dano da rocha pode ser determinado comparando os resultados do
modelo com ensaios experimentais. Uma forma de verificar a validade destes
resultados é recorrer a algumas observações experimentais que posam ser
quantificadas como, a descarga do fluido e/ou a massa de areia produzida
como função do tempo.
94
10 Referencias Bibliográficas
ABAQUS-Documentation. Version 6.7
Barreto Santos, Janaina. Estudo Experimental dos mecanismos de produção de areia empregando tomografia computadorizada de raios X. Maio 2004.
142 p. Tese de Mestrado. DEC, Puc-Rio.
Barroso Emilio, Avaliação de um modelo elastoplástico para estudos de processos de produção de areia em rochas produtoras de petróleo. Maio,
2002. 188 p. Tese de Doutorado. DEC, Puc-Rio.
Bayona Mendoza, Angela Rocio. Análise da Instabilidade de Poços de Petróleo associada à Produção de Areia através de um Modelo do Contínuo de Cosserat. Outubro, 2003. 165 p. Tese de Doutorado. DEC, Puc-Rio.
Desai, C.S; Siriwardane, H.J. Constitutive laws for Engineering Materials with emphasis on geologic materials. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, 468 p.
New Jersey, 1984.
Documento Técnico. Estudio de arenamiento zona norte. Simulación Numérica Seudo 3D. Intevep-3981. 1997. Caracas, 1997.
Dusseault, M. B; Santarelli, F. J. A conceptual model for massive solids production in poorly-consolidate sandstones. Rock at Great Depth. Maury &
Foumaintraux (eds), Balkema, Rotterdam, 1989.
Fjaer, R. M; Holt, P.; Horsrud, A.M Raaen; R. Risnes. Petroleum related rocks mechanics. 2nd edition.
Goodman, Richard E. Introduction to Rocks Mechanics. Jonh Wiley & Sons.
University of California at Berkley. Second Edition. 1989.
95
Iapas, I; Palmer, I.D; Higgs N.G. Prediction and evaluation of sanding and casing deformation in a GOM shelf well. SPE 78236. Society of Petroleum
Engineers, Texas, 2002.
Ibanez, Juan Pablo. Modelagem constitutiva para solos com ênfase em solos
não saturados. Outubro 2003. Tese de Mestrado. DEC, Puc-Rio.
Jaeger, Charles ; Cook. Rock Mechanics and Engineering. Cambridge
University, 417 p. 1972.
Kooijman , A.P; Koninkiijke; Veeken, Large-Scale Laboratory Sand Production Test. SPE 24798. Society of Petroleum Engineers, Washington. 1992.
Lambe, T; William, Whitman; ROBERT V. Soil Mechanics. Massachusetts
Institute of technology. Jhon Wisley & sons, New York, 1969. P 548.
Morita Nobuo. Field and Laboratory verification of sand production predictions Models. SPE 27341, Society of Petroleum Engineers, Lafayette,
February. 1989.
Morita, N. Parametric Study of Sand Production Prediction: Analytical Approach. 1989
Morita, N. Realistic Sand Production prediction: Numerical Approach. SPE
16989, Society of Petroleum Engineers, Dallas, Texas. 1989
Morita, N; Boyd, P.A. Typical Sand Production Problems: Case Studies and Strategies for Sand Control. SPE 22739. Dallas, Texas. 1991.
Oettl, G; Stark, R. F. A Comparison of elastic-plastic soil models for 2D FE
analyses of tunneling. Computers and Geotechnics 23, p 18-38. 1998
Peggs, J. K; Duncan B. S. North Sea Hannay Field Case History: Perforating through a Cased-Hole Gravel Pack to Signifacantly Increase Oil Production.
SPE 95325, Aberdeen, Scotland. 2005
96
Palmer, Ian; Vaziri, Hans; Willson S. Predicting and Managing Sand Production: A New Strategy. SPE 84488, Denver, Colorado. 2003
Papamichos E. M. Stavropoulou. An Erosion-Mechanical Model for Sand Production Rate Prediction. Department of Engineering Science, National
Technical University of Athens, Greece. Int. J. of Rock Mechanics and Min Sci.
35:4-5. Paper No 90. 1998
Papamichos E; Sand Mass Prediction in a North See Reservoir. SPE/ISRM
78166. Society of Petroleum Engineers Texas, 2002.
Papamichos, E. Rock type and hole failure pattern effects on sand production. ARMA 08-217. San Francisco. 2008.
Risnes, Rasmus; Bratli, Rolf; Horsrud, Per. Sand Stress Around a Wellbore.
Society of Petroleum Engineers of AIME. 1982.
Ruiz, N; Silva, L. Analisis de las tecnicas de control de arena para el area 2 Sur Campo Ceuta. Tesis de grado. Luz, Nucleo COL. Ciudad Ojeda, Estado
Zulia. 2006
Santarelli, F.J; Brown E.T. Failure of three sedimentary rocks in triaxial and hollow cylinder compression test. Int. J. Rock Mech. Min Sci & Geomech. Vol
26 No 5 pp 401-413. 1989
Santarrosa, C. E. Synergic approach to solve the sand production problem
in the Ceuta Field. SPE 23706. Society of Petroleum Engineers. Caracas,
Venezuela. 1992
Shen, Xinpu; Shen, G; Jihang Liu. Three-Dimensional Elastoplastic
Deformation Analysis Coupled with Oil flow for Perforation Tunnels of an Oilwell. Advanced Materials Research, Vols. 33-37. P 1163-1168. 2008
Silvestre, Jose Roberto. Analise numérica de estabilidade de poços de petróleo com relevância a produção de areia. Março 2004. Tese de Mestrado.
DEC, Puc-Rio.
97
Stavropoulou, M; Papanastasiou P; Vardoulaskis I. Coupled wellbore erosion and stability analysis. International Journal for numerical and analytical
methods in geomechanics, 22. 749-769. 1998
Van den Hoek; Kooijman A. P. Size dependency of Hollow Cylinder Collapse Strength. SPE 24800. Society of Petroleum Engineers. Washington, 1992.
Van Den Hoek. Size dependency of Hollow Cylinder stability. SPE 28051.
Society of Petroleum Engineers. Netherlands, 1994.
Van den Hoek. A New Concept of Sand Production prediction: Theory and Laboratory Experiements. SPE 65756. SPE Drilling and Completion 15 (4).
2000.
Vardoulaskis I; Stavropoulou, M; Papanastasiou P. Hydro-Mechanical Aspects of the sand production Problem. Transport in porous media 22: 225-244, 1996.
Vasquez, A. R; Sanchez, M.S; The Diagnosis, Well Damage Evaluation and Critical Drawdown Calculations of sand production problems in the Ceuta Field Lake Maracaibo, Venezuela. SPE 54011. Society of Petroleum Engineers,
Caracas, Venezuela. 1999.
Vaziri, Hans. Xiao Yuing, Ian Palmer. Assessment of several sand prediction models with particular reference to HPHT wells. SPE 78235. 2002
Veeken, D. Sand Production prediction Review: Developing an Integrated
Approach. SPE 22792. Society of Petroleum Engineers. Dallas, 1991.
Villaca S.F, L.F; Taborda Garcia. Introdução à teoria da elasticidade, COPPE-
UFRJ. 115p.
Tovar, J; Zerpa, L. Impact of Formation Damage on Sand Production in Deep Eocene Reservoirs, Lake Maracaibo, Venezuela: A Case History. SPE
54757. Society of Petroleum Engineers. Netherlands. 1999.
98
Tronvoll Johan, Morita. Perforation Cavity Stability: Comprehensive laboratory Experiments and Numerical Analysis. SPE 24799. Society of
Petroleum Engineers. Texas, 1992.
Tronvoll, J; Papamichos, E; Skjaerstein, Sand Production in ultra weak Sandstones: Is sand control Absolutely necessary? SPE 39042. Society of
Petroleum Engineers. Rio de Janeiro. 1997.
Uzcategui Flores, Maylett Y. Abaqus programa de elementos finitos. Merida,
Vzla. 2004.
Wawersick, W.R; Fairhurst, C. 1970. A study of brittle rock fracture in laboratory compression experiments. Int. J. Rock Mech. Min. Sci. Vol. 7, p.
561-575.
Willson, S. M; Moschovidis, Z. A. New Model for Predicting the rate of Sand production SPE/ISRM 78168, Society of Petroleum Engineers. Texas, 2002.
Wu, B; P. CSIRO Tan. Relationship between thick-walled cylinder and unconfined compressive strength for application in sanding prediction. NARMS 2000
.
99
Apêndice A
Determinação das tensões em condições elasto-plasticas em um cilindro oco
Considerações:
rσσσσ θ
==
3
1
Critérios de ruptura da rocha intacta
φφ
φφ
σσσσ
θ
sencg
sensenf
onde
gfgf
r
−=
−+
=
+=+=
1cos2
11
31
No caso da rocha fraturada
100
φφ
σσσσ
θ
sencg
onde
gfgf
r
−=
+=+=
1cos'2'
''31
Equações de equilíbrio na direção radial:
( )
( )
ernapressaoPa
rdrd
gf
rgf
rgf
drd
rdrd
r
Rr
Pa r
rrrr
rr
r
int
'11
'1'
1
=
=+−
+−=
−+=
−=
∫∫ σσ
σσσσ
σσσ
σ
θ
Integrando
( )[ ]
plásticazonadaequaçõesasSão
gfg
Rr
fgf
fg
Rr
fg
Pase
fg
Rr
fgfPa
f
f
r
f
r
'1
'1
'
1'
1'
0
1'
1'1
1
1
1
1
1
1
+−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
=
−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+−=
−
−
−
θσ
σ
σ
Para a zona elástica, define-se
101
( )
elásticaplásticaerfacedapontonoTensão
RRf
RRgP
gfse
RR
P
Rrem
R
R
r
−
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−=
=→=
int
11
12
Pr
Pr
1
Pr2Pr
Pr
2
2
2
2
1
2
2
1
1
θ
θ
σ
σ
σ
Determinação de R
( )[ ]
11
1
11
1
1
1
1'Pr
'1
,0
1'Pr
')1(1
1'
1'1Pr
−
−
−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
−=
−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+−=
f
f
f
fg
gfRR
temosPapara
fg
gfPafRR
fg
RR
fgfPa
As distribuições na região plástica (Segundo Jaeger & Cook)
102
R
r
PPPP
onde
RRrRRPP
RRRPRP
RRrRRPP
RRRPRP
==
−−
+−−
=
−−
−−−
=
1
2
21
22
2
21
2212
21
22
211
222
21
22
2
21
2212
21
22
211
222
)()(
)()(
θσ
σ
Das equações para determinar Pr, se igualam para determinar R
11
12
11
'2
2
2
21
1+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−
RRf
RRgP
RR
fg
f
103
Apéndice B Formulação analítica do modelo de Wilson
Para o caso da condição menos favorável (segundo as condições do campo)
Para evitar a produção de areia, a menor das tensões tangenciais
efetivas (St2-Pw) deve ser menor da resistência efetiva da formação, U, próximo
ao furo
)1()21(
argmax
PrPr
)1(3)1(3
212
121
2
1
υυ
−−
=
====
−−−−=−−−−=
==>
A
asobrecdetensãoSvimaHorizontalTensãoSH
ioreservatordoessãoPopoçodoessãoPw
APoAPwSSStAPoAPwSSSt
SSvSSHSvSH
104
2
2
2
StdosubstituineCBHFPPwqueSendo
StUPwUPwSt
=
−≥≤−
( )
( )
)1(223
,tan
2)(3
var
23
,
,,Pr
23
23
)1(3
*2
*1
*2
*1
21
21
21
21
AAPoUSS
Pe
PedevaloroseobtenequaçãoadoreajusePdevalorodoSubstituin
AAPoUSPAS
PP
pressãodedepleçãoacomhorizontaltensãodaiaçãodaefeitooincluidoseraAgora
AAPoUSSCBHFP
nteanteriormedefinidaequaçãoda
PeCDPPoCBHFPCBHWFPouPwPoCDP
temosCDPessureDrawdownCriticaldocalculooPara
AUAPoSSCBHFPPw
AUAPoSSPw
UAPoAPwSSCBHFPPw
crit
critcrit
critcrit
++−−
=
−Δ
−−−−Δ+
=Δ−
−−−−
=
=−=−=
−−−−
=≥
−−−−
=
−−−−−=≥