UNIVERSIDAD POLITCNICA SALESIANACUENCA-ECUADOR

RESISTENCIA DE MATERIALES

CARGAS COMBINADAS, TORCION Y TRACCION.

MILTON TORRESMARCELO SANCHEZDARIO VENTIMILLAGEOVANY SEGARRAJOSE HURTADO

ASESOR: ING. JOSE MOLINA

2012/2012

INTRODUCCION.

El diseo de cualquier elemento o de un sistema estructural implica responder dos preguntas:El elemento es resistente a las cargas aplicadas? y Tendr la suficiente rigidez para que lasdeformaciones no sean excesivas e inadmisibles? Las respuestas a estas preguntas implican elanlisis de la resistencia y rigidez de una estructura, aspectos que forman parte de susrequisitos. Estos anlisis comienzan por la introduccin de nuevos conceptos que son elesfuerzo y la deformacin, dentro de los cuales tambin tenemos los conceptos de traccin ytorsin, los mismos que podran ser aplicados al diseo de cualquier maquina o estructura lacual lo necesite. Claro que hay que tomar en cuenta que para maquinas y estructurascomplejas estos anlisis se encuentran en el mismo sistema de anlisis, lo cual se debe conocercomo es el anlisis en estos casos. A esto se hace mencin en el presente trabajo.

OBJETIVOS:

1. Comprender la Resistencia de Materiales.

2. complementar el estudio de la resistencia de materiales.

3. Conocer los conceptos y los mtodos de anlisis y resolucin de las cargas

combinadas torsin y traccin.

4. Reconocer el tipo de esfuerzo o carga, al cual esta aplicando al diseo de ejes,

vigas, estructuras, maquinas.

5. Aplicar el anlisis de las cargas combinadas.

TRACCINEn fsica e ingeniera, se denomina tensin mecnica al valor de la distribucin defuerzas por unidad de rea en el entorno de un punto material dentro de un cuerpomaterial o medio continuo.Un caso particular es el de tensin uniaxial, que se define en una situacin en que seaplica fuerza F uniformemente distribuida sobre un rea A. En ese caso la tensinmecnica uniaxial se representa por un escalar designado con la letra griega (sigma)y viene dada por:

=F/ASiendo las unidades [Pa] (pascal = [N/m]), [MPa] = 106 [Pa] y tambin [kp/cm].

Alargamiento unitarioAlargamiento unitario () es la cantidad que alarga un cuerpo () por unidad delongitud (L).

= /L ( no tiene unidades)

Ley de HookeExisten materiales en los que la relaccin entre tensin () y alargamiento () esconstante. Se dice que estos materiales cumplen la ley de Hooke.

1/1 = 2/2 = 3/3 = / = cte = ELa relacin entre ambas magnitudes (/) se llama Mdulo de elasticidad (E) o Mdulode Young. E = /

Alargamiento total para una pieza sometida a una fuerza externa.Para los alargamientos totales debido a la deformacin producida por una fuerzaexterna (despreciando su propio peso), la frmula a utilizar es:

= PL/AE

(siendo , el alargamiento total; P, la fuerza que actua; L, la longitud; A, la seccin y E,el mdulo de elasticidad.)

Tensin de un elemento suspendido y sometido a su propio pesoCuando partimos de una barra y queremos hallar la tensin debida a su propio peso,tenemos que fijar primeramente que el peso equivale al volmen de la barra por elpeso especfico del material que la compone. Como el volmen lo podemosdescomponer en la multiplicacin del rea por la longitud, tenemos que:

W = A L PeDado que la tensin es = P/A y que la fuerza actuante, para este caso es W, podemosponer que = W/A. sustituyendo el peso en esta frmula tenemos que = A L Pe/A. Quedando que la tensin mxima sera

= L Pe

Alargamiento de una estructura debido a su propio pesoEn el caso del estudio de alargamiento de una estructura debido a su propio peso, lafrmula a utilizar es:

= W L / 2AE

Elemento suspendido y sometido a su propio peso ms una carga adicionalEn el caso de que contemplemos el elemento sometido a su propio peso al que seaplica una carga adicional, tanto la tensin como el alargamiento ser suma de lascorrespondientes por separado, es decir, contemplando el elemento con una cargaadicional y sin peso, sumado al elemento sin carga adicional y con peso, esto es:Tensin (peso + carga): = L PeAlargamiento (peso + carga): = (W/2 + P) L/AE

Tensin admisible o tensin de trabajoLa tensin admisible es aquella que asegura las no deformaciones permanentes en losmateriales y que por tanto debe ser inferior a la tensin producida por las fuerzasexteriores.Para que una estructura est siempre en condiciones elsticas seguras se acostumbraa escoger la tensin admisible bastante inferior al lmite de proporcionalidad.

Dado que es difcil determinar este punto, se toman los puntos de fluencia o de roturacomo base para determinar la tensin admisible.

adm = Fl/n1 y adm = R/n2Donde n1 y n2 son coeficientes de seguridad.

Tensiones de origen trmicoCuando a un sistema se le aplica un incremento de temperatura que hace que sedilate, y hay alguna causa que impide el alargamiento (debido a la dilatacin) aparecenunas tensiones denominadas de origen trmico.El alargamiento para un cuerpo suponindole sin rozamiento con el suelo, al que se leaplica un aumento de temperatura, se produce un alargamiento determinado por:

= L T(siendo T = incremento de temperatura, = Coeficiente de dilatacin yL = Longitud)La tensin, en cambio, vendr determinada por la siguiente frmula:

= E T

Deformaciones en el estado simple, doble y triple de tensiones.

Consideremos el caso de un slido en equilibrio bajo la accin de cargas exteriores yaislemos del interior del cuerpo un cubo elemental de aristas dx, dy y dz, de maneraque las cargas pueden orientarse segn el sistema de referencia. Sobre cada una de lascaras existir un vector tensin total de manera tal que el cubo elemental se encuentreen equilibrio. Estos vectores pueden proyectarse segn los ejes de referencia demanera que en cada una de las seis caras tendremos en general una tensin normal ydos tensiones tangenciales perpendiculares entre si. Un estado de tensiones de estascaractersticas se dice que es un estado triple o espacial.En determinadas circunstancias las cargas actuantes sobre el cuerpo hacen que lastensiones sobre el cubo elemental queden ubicadas dentro de un plano. Este estado sedenomina doble o plano.

Cuando los vectores tensin son paralelos a un eje, el estado se denomina simple olineal.En realidad, la definicin de un estado como simple, doble o triple no solo depende deestado de cargas actuante sino de la orientacin del cubo elemental. Como veremosmas adelante, el estado simple puede pasar a ser un estado doble si el elementodiferencial tiene una rotacin, inclusive puede convertirse en un estado triple. Elproceso al revs no siempre es factible. Es decir, si tenemos un estado doble, porejemplo, es probable que no encontremos, por rotacin del elemento, una posicinpara el cual el estado sea lineal.

TORSINEn ingeniera, torsin es la solicitacin que se presenta cuando se aplica un momentosobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecnico, comopueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensin predomina sobre lasotras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas.La torsin se caracteriza geomtricamente porque cualquier curva paralela al eje de lapieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por la dos curvas. Enlugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de l.El estudio general de la torsin es complicado porque bajo ese tipo de solicitacin laseccin transversal de una pieza en general se caracteriza por dos fenmenos:

1. Aparecen tensiones tangenciales paralelas a la seccin transversal.2. Cuando las tensiones anteriores no estn distribuidas adecuadamente, cosa

que sucede siempre a menos que la seccin tenga simetra circular, aparecenalabeos seccionales que hacen que las secciones transversales deformadas nosean planas.

Diagrama momentos torsores.Al aplicar las ecuaciones de la esttica, en el empotramiento se producir un momentotorsor igual y de sentido contrario a T.Si cortamos el eje por 1-1 y nos quedamos con la parte de abajo, para que este trozode eje este en equilibrio, en la seccin 1-1 debe existir un momento torsor igual y desentido contrario. Por tanto en cualquier seccin de este eje existe un momento torsorT.El diagrama de momentos torsores ser:

ngulo girado por un eje.Para el estudio de la torsin de un eje cilndrico vamos a suponer las siguienteshiptesis: a) Hiptesis de secciones planas. b) Los dimetros se conservan as como la distancia entre ellos. c) Las secciones van a girar como si se tratara de cuerpos rgidos.

Planteadas estas hiptesis vamos a considerar un elemento diferencial de eje en el queestudiaremos su deformacin y despus las tensiones a las que esta sometido.Vamos a aislar el trozo dx de eje.

El ngulo ser el ngulo que mide la distorsin del elemento. = Clculo de las tensiones a las que est sometido el elemento abcd.El lado cd desliza hacia la derecha respecto al lado ab; por tanto existe una t.Este elemento trabaja a tensin cortante pura. El valor de t ser:r = G . y = G . e . D/2El circulo de Morh de este elemento es el circulo de la tensin cortante pura.

Las tensiones principales de este elemento sern:

Las direcciones principales del elemento estarn a 45.1 = y 2 = -Si en vez de considerar al elemento la superficial abcd, hubiera considerado otroelemento a la distancia r del centro, la t a la que estara sometido este elemento ser:

Clculo de Tmx y del ngulo girado por el eje en funcin del momento torsor.Supongamos que la figura representa la seccin del eje y el momento torsor T queactuaLa tensin t en el punto B vale:Si tomamos un diferencial de are dA alrededor del punto B las t de ese dA dan unaresultante dF.

Este F da un diferencial de momento torsor.El momento torsor de la seccin ser:

Formula que permite calcular el ngulo girado por el eje por unidad de longitud, enfuncin del momento torsor.El ngulo total girado por el eje ser:Mdulo resistente a la torsin.Hemos visto que

Esta expresin se puede poner en la forma:

Para la seccin circular:

CARGAS COMBINADASEn el captulo anterior se estudi el diseo de elementos sometidos a cargas estticassimples, como carga axial, flexin, torsin y cortante directo. En este captuloavanzaremos en nuestro estudio al considerar elementos sometidos a cargas estticascombinadas. Cuando el punto crtico de un elemento tiene un estado de esfuerzoplano (biaxial) o triaxial, su diseo es un poco ms complejo, ya que los datosdisponibles de resistencia de los materiales son aquellos de resistencia a estados deesfuerzo simple. Se debe recurrir, entonces, a teoras que predigan la falla de losmateriales bajo estados de esfuerzo combinado. En este captulo estudiaremosalgunas teoras de falla esttica, propuestas para predecir la falla de los materialessometidos a cargas estticas.En los captulos 2 y 3 se estudiaron los estados de esfuerzo producidos por cargassimples. Sin embargo, en la resolucin de los problemas no se necesitaron dichosestados de esfuerzo, ya que el diseo se hace por comparacin directa; es decir, elesfuerzo normal mximo producido por carga axial o flexin se compara con laresistencia del material a traccin o compresin; algo similar sucede con los esfuerzoscortantes. En este captulo se estudiarn estados de esfuerzo triaxiales, ya que puedeser necesario trazar stos para la aplicacin de las teoras de falla.

Esfuerzos combinadosEn la seccin anterior se repasaron los conceptos de esfuerzo, esfuerzo normal,esfuerzo cortante y estado de esfuerzo en un punto. Aqu se resumen algunosconceptos estudiados all, pero el estudiante puede releer dicha seccin, si loconsidera necesario.

Estado triaxial de esfuerzoConsidere el cuerpo de la figura 4.1.a, el cual est sometido a fuerzas externas. Alhacer un corte sobre el elemento y aislar una de las partes (figura 4.1.b), puededeterminarse la fuerza interna que soporta dicha seccin de corte; esta fuerza tendruna componente tangencial y otra normal a la seccin, las cuales se distribuyen decierta manera sobre sta. Los esfuerzos normal, S, y cortante, S, sobre un puntocualquiera de dicha seccin dependern de la forma en que se distribuya la fuerza y semuestran en la figura 4.1.c.

El par de esfuerzos mostrado en la figura 4.1.c es el que acta en el punto indicado,

con la orientacin del plano de corte; sin embargo, si la orientacin del plano cambia,tambin lo hacen los esfuerzos. Para conocer completamente el estado de esfuerzo enun punto, se deben conocer los pares de esfuerzos que actan en tres planosortogonales. La figura 4.2.a muestra el estado general de esfuerzo en un punto, donde

, y , son los esfuerzos normales que actan en las direcciones x, y y zrespectivamente y , , , , , , ,son los esfuerzoscortantes que actan en los diferentes planos. Los subndices de los esfuerzoscortantes indican, en su orden, esfuerzo cortante (s), plano donde acta el esfuerzo ydireccin en que acta.

Como el estado de esfuerzo de un punto depende de la orientacin de los planosortogonales analizados, se tiene un nmero infinito de estados de esfuerzo, ya quedichos planos pueden tener infinitas orientaciones. Al rotar un elemento infinitesimalsometido a esfuerzos, como el de la figura 4.2.a, existir siempre una orientacin delos planos de dicho elemento en la cual slo actan esfuerzos normales, es decir, nohay esfuerzos cortantes. Los planos encontrados se denominan planos principales, ylos esfuerzos normales que actan en ellos son los esfuerzos principales, , , , loscuales se muestran en la figura 4.2.b. Por convencin ; entonces,es el esfuerzo principal mximo y es el esfuerzo principal mnimo. Ntese que lanica condicin para que un esfuerzo normal sea esfuerzo principal, es que en el planodonde ste acta, el esfuerzo cortante sea nulo.Para determinar los esfuerzos principales, partiendo de un estado de esfuerzocualquiera, se puede aplicar el siguiente polinomio cbico:

Las races de esta ecuacin son siempre reales y son los esfuerzos principales. En laecuacin 4.1, un esfuerzo cortante (actuando en un plano positivo) es positivo si actaen la direccin positiva del eje o negativo si acta en la direccin negativa del eje.

Estado de esfuerzo planoEl caso de esfuerzo plano es bastante comn en el diseo de ingeniera; por lo tanto,estudiaremos este caso con cierta profundidad. El estado de esfuerzo biaxial (o estado

de esfuerzo plano) es aquel en el cual slo actan esfuerzos en un plano y se muestraen la figura 4.3.a.

Al rotar el elemento infinitesimal en el plano del papel, siempre se podr encontraruna orientacin en la cual slo aparezcan esfuerzos normales; dichos esfuerzos son,entonces, los esfuerzos principales, A y B, en ese plano, tal como se muestra en lafigura 4.3.b. El tercer esfuerzo principal es el que acta perpendicularmente al planodel papel (en z), en la cara mostrada en las figuras 4.3.a y b, ya que en dicho plano noacta esfuerzo cortante; como tampoco acta esfuerzo normal, dicho esfuerzoprincipal es nulo: C = 0.Se han cambiado los subndices de los esfuerzos principales, 1, 2 y 3, por las letras A, By C, para conservar la convencin ya que slo se sabe el orden de losesfuerzos , , y en cada caso particular; es decir, para el estado de esfuerzo dela figura 4.3.b, no se sabe cul de los tres esfuerzos , , y es el mximo, elmnimo o el intermedio.Para simplificar algunas grficas y ecuaciones, se adopta la convencin A B; deacuerdo con sta, las ecuaciones para encontrar los esfuerzos principales para el casode esfuerzo plano son:

EJERCICIOS DE APLICACIN:

1. Calcular los esfuerzos normales y cortantes del cilindro de la figura 4.47, de aleacin dealuminio forjado AA 2024 grado T4, sometido a las siguientes cargas uniformementedistribuidas en los extremos: un par de fuerzas de traccin, F = 30 kN, y dos pares detorsin, T = 8 kN-m.

Propiedades del material:De la tabla A-3.5 (apndice 3) se lee Sy = 324 MPa, Su = 469 MPa y elongacin de 19% (en 2in).Esto ltimo indica que el material es dctil.

RESOLUCIONClculo de esfuerzos:El esfuerzo cortante esta dado por la ecuacin 2.12:

= =Remplazamos = y nos queda la siguiente ecuacin:

= 16 = 16(8 ) = 128 El esfuerzo normal producido por las fuerzas de traccin esta dado por la ecuacin 2.5:

= = (4) = 4 = 4(30 ) = 120Clculo del dimetro:El estado de esfuerzo de los puntos crticos es biaxial con un esfuerzo cortante y un esfuerzomormal; por lo tanto, puede aplicarse la ecuacin 4.43:

Para un estado de esfuerzo biaxial con uno de sus esfuerzos normales igual a cero, puedeusarse la siguiente ecuacion:

( ) + (0.577 ) = (1)( 0.12324 ) + ( 0.1280.577(324) ) = (12)= 0.022= 22

Como se dijo anteriormente, los resultados de la teora de la energa de distorsin coinciden conlos de la Teora del Esfuerzo Cortante Octadrico (TECO). Los resultados de estas teoras sonlos preferidos en el diseo de materiales dctiles ya que concuerdan mejor con los datosexperimentales. A la teora de la energa de distorsin se le conoce tambin como teora de vonMises-Hencky5.

CONCLUCIONES:

Las cargas combinadas no ha sido mas que el anlisis de los distintos esfuerzosy deformaciones que pueden estar presentes en vigas, estructuras o maquinas,estos esfuerzos y deformaciones se dan por la aplicacin de fuerzas las cualespueden a su ves producir torque o momentos flectores.Se debe tener muy presente cada uno de los conceptos. Revisados ya que conla debido estudio, se facilitara al resolver los diferente problemas que se nospueda, ya que las cargas combinadas se nos presentan en cosas cotidianas de lavida diaria, como carteles de anuncios, ejes, columnas, vigas , etc.Es recomendable siempre fijarse muy bien en los signos de los momentos yesfuerzos que llegue a producirse en las vigas o estructuras, tambin se debefijar muy bien en cuales son los puntos de referencian para el calculo de losesfuerzos.

REFERENCIAS:

BEER, Ferdinand y JOHNSTON E. R.. Mecnica de Materiales. Colombia:

McGRAW-HILL, 1993. 2 edicin.

FAIRES, V. M.. Diseo de Elementos de Mquinas. Mxico: Editorial Limusa,

1995. 4 Reimpresin.

HIBBELER Russell Charles, Mecnica de Materiales, Editorial Prentice Hall,

Mxico, 1996.

SINGER Ferdinand, PYTEL Andrew, Resistencia de Materiales, Editorial Harla,

Mexico, 1987.