caracterização de filtros acústicos baseada no método dos elementos...
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Caracterização de Filtros Acústicos Baseada no Método dos Elementos Finitos
António José Ferreira Mourão Cartaxo
Dissertação para a obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Mecânica
Júri
Presidente: Prof. Nuno Manuel Mendes Maia
Orientadores: Prof. José Luís Bento Coelho
Prof. Miguel António Lopes de Matos Neves
Vogais: Prof. Edgar Caetano Fernandes
Outubro de 2007
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iii
Agradecimentos
Agradeço aos orientadores Prof. Bento Coelho, do Centro de Análise e Processamento de Sinais
(CAPS-IST), pela supervisão do trabalho, sugestões de melhoria de ensaios experimentais e
equipamento laboratorial disponibilizado e ao Prof. Miguel Matos Neves, do Instituto de Engenharia
Mecânica (IDMEC-IST), pela orientação e apoio ao desenvolvimento das tarefas programadas no
plano de trabalhos.
Agradeço o apoio concedido pela Fundação para a Ciência e Tecnologia e FEDER, através do
Projecto FCT POCTI 44728/EME/2002 – “Técnicas de Análise Aplicadas ao Projecto Óptimo de
Estruturas Periódicas” (MMN).
Agradeço ao aluno de doutoramento Olavo Silva da UFSC (Brasil), que realizou parte da sua tese no
IST durante a realização deste trabalho, as sugestões dadas, referências bibliográficas
disponibilizadas e a colaboração durante a realização dos ensaios experimentais na câmara anecóica
do CAPS-IST.
Agradeço aos Eng.º Onofre Moreira e Rafael Serrenho pelo incomensurável apoio e disponibilidade,
aquando da realização dos ensaios experimentais na câmara anecóica.
Finalmente, gostaria de agradecer à minha esposa pelo apoio concedido nos momentos de maior
cansaço e pelo incondicional companheirismo...
iv
Resumo
Nesta dissertação apresenta-se o estudo de uma metodologia para caracterizar a propagação de
ondas sonoras através de elementos periodicamente espaçados, bem como através de silenciadores
de câmara de expansão, recorrendo ao método dos elementos finitos.
Para o caso dos elementos periodicamente espaçados, verificam-se os valores de soluções analíticas
com os obtidos por elementos finitos através de modelos bidimensionais e tridimensionais e ainda
com valores experimentais obtidos na literatura e em ensaios com um protótipo construído para o
efeito. No caso dos silenciadores, aplica-se a ferramenta computacional testada nos elementos
periodicamente espaçados para verificar os valores obtidos por elementos finitos através de modelos
bidimensionais e tridimensionais com as respectivas soluções analíticas.
As aplicações computacionais para os modelos de fluido acústico e os de interacção fluido-estrutura,
bidimensionais e tridimensionais, foram desenvolvidas em linguagem APDL no programa comercial
de elementos finitos Ansys®. Utiliza-se essencialmente a análise harmónica para avaliar o
desempenho dos dispositivos de filtragem e assumem-se as aproximações de fluido compressível,
invíscido, sem escoamento médio e com densidade e pressão média uniformes no fluido.
Apresentam-se exemplos de aplicação da metodologia que permitem verificar quanto às
concordâncias e discrepâncias entre os valores analíticos, numéricos e experimentais, concluindo-se
sobre os requisitos práticos para que tal aconteça. No caso dos elementos periodicamente espaçados
foi construído um protótipo com seis filas de cinco cilindros cada e que permitiu os primeiros ensaios
experimentais de verificação dos modelos numéricos.
Palavras-chave: Propagação de ondas sonoras, atenuação passiva, filtros periódicos, silenciadores,
banda de frequências proibidas, elementos finitos.
v
Abstract
In this dissertation a study of a methodology to characterize sound wave propagation through
periodically spaced elements is presented, as well as in single expansion chamber mufflers, recurring
to the finite element method.
For the periodically spaced elements case, analytical solution values are verified with those obtained
with two-dimensional and three-dimensional finite element models, and even with those obtained
experimentally in bibliographic references and with a prototype built and tested for that purpose. For
the simple expansion chamber mufflers case, the mentioned computational tool tested in the
periodically spaced elements, is applied to verify the values obtained by finite elements through two-
dimensional and three-dimensional models with the respective analytical solutions.
The computational applications for acoustic fluid models and fluid-structure interaction models, two-
dimensional and three-dimensional, were developed in APDL language in the finite elements
commercial program ANSYS®. It is used, essentially, harmonic analysis to evaluate the performance
of the filtering systems assuming the approximations: compressible fluid, inviscid fluid, no mean flow
and mean density and pressure uniform trough all fluid.
Methodology application examples are presented to verify the concordance and discrepancies
between the analytical, numerical and experimental values, concluding about the practical requisites
for what they happen. For periodically spaced elements case, a prototype was built with six lines of
cylinders, five cylinders each line, allowing the first experimental tests for verification of the numerical
models results.
Keywords: Sound wave propagation, passive attenuation, periodic filters, mufflers, band gap, finite
elements.
vi
Índice
AGRADECIMENTOS........................................................................................................................................III
RESUMO............................................................................................................................................................. IV
ABSTRACT...........................................................................................................................................................V
ÍNDICE................................................................................................................................................................VI
ÍNDICE DE FIGURAS....................................................................................................................................VIII
ÍNDICE DE TABELAS.................................................................................................................................... XII
1. INTRODUÇÃO............................................................................................................................................... 13
2. FUNDAMENTOS DE ACÚSTICA ............................................................................................................... 19
2.1. GRANDEZAS BÁSICAS DE ONDAS SONORAS................................................................................................ 19 2.2. EQUAÇÃO DE ONDA .................................................................................................................................... 22
2.2.1 Equação de Onda Acústica – Modelos Tridimensionais...................................................................... 22 2.2.2 Equação de Onda Acústica – Modelos Unidimensionais..................................................................... 23
2.3. PROPAGAÇÃO DE ONDAS EM SILENCIADORES............................................................................................. 26 2.3.1 Propagação de Onda Acústica no Interior de um Tubo Uniforme ...................................................... 27 2.3.2 Atenuação em Silenciadores com Descontinuidades de Secção .......................................................... 30 2.3.3 Atenuação em Silenciadores com uma Câmara de Expansão.............................................................. 33
2.4. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS............................................................................................................. 34 2.5. ELEMENTOS FINITOS PARA A ANÁLISE ACÚSTICA ...................................................................................... 36
3. CARACTERIZAÇÃO DA PROPAGAÇÃO DE UMA ONDA SONORA PLANA NUM TUBO
CILÍNDRICO...................................................................................................................................................... 38
4. CARACTERIZAÇÃO ACÚSTICA DE FILTROS PERIÓDICOS ........................................................... 44
4.1. CONDUTA BIDIMENSIONAL ......................................................................................................................... 45 4.2. CONDUTA TRIDIMENSIONAL ....................................................................................................................... 49 4.3. ENSAIOS EXPERIMENTAIS ........................................................................................................................... 53
4.3.1 O Modelo.............................................................................................................................................. 53 4.3.2 A Câmara de Ensaios........................................................................................................................... 54 4.3.3 Esquema de Montagem do Equipamento ............................................................................................. 56 4.3.4 Ensaio com Protótipo Suspenso........................................................................................................... 56 4.3.5 Análise dos Modos de Vibração do Modelo......................................................................................... 57 4.3.6 Ensaio com Protótipo Apoiado Sobre a Rede ...................................................................................... 58 4.3.7 Campo Sonoro...................................................................................................................................... 59
5. CARACTERIZAÇÃO ACÚSTICA DE SILENCIADORES...................................................................... 62
5.1. RESULTADOS TEÓRICOS.............................................................................................................................. 62
vii
5.2. RESULTADOS NUMÉRICOS .......................................................................................................................... 65 5.2.1 Modelo de Elementos Finitos............................................................................................................... 65 5.2.2 Silenciador com uma Câmara de Expansão ........................................................................................ 67 5.2.3 Dois Silenciadores de Câmara Simples em Série................................................................................. 69 5.2.4 Silenciador com Tubos Estendidos....................................................................................................... 69 5.2.5 Silenciador com uma Divisão Interna.................................................................................................. 70 5.2.6 Silenciador com duas Divisões Internas .............................................................................................. 71
6. CONCLUSÕES E FUTUROS DESENVOLVIMENTOS ........................................................................... 74
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................................................... 76
8. ANEXOS.......................................................................................................................................................... 78
8.1. DISTRIBUIÇÃO DA PRESSÃO TEÓRICA NUM TUBO DE TOPO TOTALMENTE REFLECTIVO ............................. 78 8.2. DISTRIBUIÇÃO DA PRESSÃO TEÓRICA NUM TUBO DE TOPO ANECÓICO....................................................... 78
viii
Índice de Figuras
Figura 1 – Representação de compressor em corte [22]...................................................................................... 16 Figura 2 – Esquema de silenciador de uma câmara de expansão........................................................................ 27 Figura 3 – Descontinuidades de área. Contracção súbita, a), e expansão súbita, b)........................................... 30 Figura 4 – Geometria de silenciador cilíndrico de uma câmara de expansão. .................................................... 33 Figura 5 – Geometria do elemento FLUID29....................................................................................................... 36 Figura 6 – Geometria do elemento FLUID30....................................................................................................... 37 Figura 7 – Geometria do elemento SHELL63....................................................................................................... 37 Figura 8 – Geometria do elemento SOLID45. ...................................................................................................... 37 Figura 9 – Distribuição teórica da pressão sonora para uma frequência de 1500Hz e reflexão total. ............... 38 Figura 10 – Representação do modelo de elementos finitos do tubo e do topo de aço (a vermelho), a), e malha
de elementos finitos de sólido e fluido do modelo numérico, b)............................................................................ 39 Figura 11 – Comparação de resultados teóricos (a vermelho) e numéricos (linha interrompida a preto) de
pressão sonora para modelo com reflexão total, e respectivo erro relativo (a verde - eixo secundário à direita).
.............................................................................................................................................................................. 39 Figura 12 – Resultados numéricos da distribuição da pressão sonora ao longo do tubo para o modelo com
reflexão total e 80 elementos por comprimento de onda (valores em Pa). ........................................................... 40 Figura 13 – Comparação de resultados teóricos (a vermelho) e numéricos (linha interrompida a preto) de
pressão sonora para modelo com reflexão total (com 12 elementos por comprimento de onda) e respectivo erro
relativo (a verde - eixo secundário à direita)........................................................................................................ 40 Figura 14 – Comparação de resultados teóricos (a vermelho) e numéricos (linha interrompida a preto) de
pressão sonora para modelo com reflexão total (com 36 elementos por comprimento de onda) e respectivo erro
relativo (a verde - eixo secundário à direita)........................................................................................................ 41 Figura 15 – Distribuição teórica da pressão sonora para uma frequência de 1500Hz e absorção total............. 41 Figura 16 – Comparação de resultados teóricos (a vermelho) e numéricos (linha interrompida a preto) de
pressão sonora para modelo com absorção total (com 36 elementos por comprimento de onda) e respectivo erro
relativo (a verde - eixo secundário à direita)........................................................................................................ 42 Figura 17 – Resultados numéricos da distribuição da pressão sonora ao longo do tubo para o modelo com topo
anecóico e 80 elementos por comprimento de onda (valores em Pa). .................................................................. 42 Figura 18 – Comparação de resultados teóricos (a vermelho) e numéricos (linha interrompida a preto) de
pressão sonora para modelo com absorção total (com 36 elementos por comprimento de onda) e respectivo erro
relativo excluindo os valores na vizinhança de p=0 (a verde - eixo secundário à direita). ................................. 43 Figura 19 – Pormenor da malha de elementos finitos no contorno dos cilindros. ............................................... 46 Figura 20 – Variação da atenuação sonora em função do número de filas de cilindros para 1560Hz (em dB).. 46 Figura 21 – Distribuição da pressão sonora a 1560Hz (em dB). ......................................................................... 47
ix
Figura 22 – Atenuação sonora obtida para uma conduta com 6 filas de cilindros; a preto os resultados obtidos
por Sánchez-Pérez et al e a vermelho os resultados obtidos pelo modelo bidimensional de elementos finitos. Na
figura interior apresenta-se uma comparação entre os resultados teóricos e experimentais da largura de banda
de frequências atenuadas, variando com a fracção volúmica de ocupação dos cilindros, obtidos por Sánchez-
Pérez et al. ............................................................................................................................................................ 47 Figura 23 – Representação da disposição quadrangular dos cilindros, a), e representação da disposição
triangular dos cilindros, b). .................................................................................................................................. 48 Figura 24 – Atenuação sonora obtida para uma conduta com 6 filas de cilindros dispostos de forma
quadrangular, para diferentes fracções volúmicas ocupadas pelos cilindros. ..................................................... 48 Figura 25 – Atenuação sonora obtida para uma conduta com 6 filas de cilindros dispostos de forma triangular,
para diferentes fracções volúmicas ocupadas pelos cilindros. ............................................................................. 49 Figura 26 – Distribuição da pressão sonora (dB) numa conduta tridimensional com furos de ar a simular a
presença de cilindros. Resultados obtidos para uma frequência de 1500Hz e fracção volúmica de ocupação dos
furos de ar de 0.104. ............................................................................................................................................. 50 Figura 27 – Distribuição irregular da pressão sonora (dB) numa conduta tridimensional, com cilindros
encastrados num dos topos. Resultados obtidos para uma frequência de 1500Hz e fracção volúmica de
ocupação de 0.104. ............................................................................................................................................... 50 Figura 28 – Distribuição da pressão sonora (dB) numa conduta tridimensional, com cilindros de alumínio de
Ø40X250mm encastrados num dos topos. Resultados obtidos para uma frequência de 1500Hz e fracção
volúmica de ocupação de 0.104. ........................................................................................................................... 51 Figura 29 – Distribuição da pressão sonora (dB) numa conduta tridimensional, com cilindros de alumínio de
Ø40X125mm encastrados num dos topos. Resultados obtidos para uma frequência de 1500Hz e fracção
volúmica de ocupação de 0.104. ........................................................................................................................... 51 Figura 30 – Modo de vibração a 1153Hz do cilindro de alumínio de Ø40X500mm encastrado num dos topos. 51 Figura 31 – Modo de vibração a 1795Hz do cilindro de alumínio de Ø40X500mm encastrado num dos topos. 52 Figura 32 – Distribuição da pressão sonora (dB) numa conduta tridimensional, com cilindros de alumínio de
Ø40X125mm encastrados em ambos os topos. Resultados obtidos para uma frequência de 1500Hz e fracção
volúmica de ocupação de 0.104. ........................................................................................................................... 52 Figura 33 – Atenuação sonora obtida para uma conduta com 6 filas de cilindros; a preto os resultados obtidos
experimentalmente por Sánchez-Pérez et al, a vermelho os resultados obtidos pelo modelo bidimensional de
elementos finitos e a verde os resultados obtidos pelo modelo tridimensional de elementos finitos. ................... 53 Figura 34 – Cilindro de aço com chapas interiores furadas ao centro, atravessado por varão cilíndrico de
pontas roscadas, a), e modelo do protótipo com tubos apertados às chapas de suporte através de anilha e porca
b). .......................................................................................................................................................................... 54 Figura 35 – Modelo pronto para ensaios. ............................................................................................................ 54 Figura 36 – Vista geral da câmara anecóica, a), e vista inferior da câmara, abaixo da rede de suporte, b). ..... 55 Figura 37 – Apoio elástico da câmara montado num fixe independente do edifício e revestimento exterior de lã
de rocha, a), e revestimento inferior da câmara montado em carrinhos de suporte removíveis, b). .................... 55 Figura 38 – Esquema de montagem do equipamento utilizado nos ensaios na câmara anecóica. ...................... 56 Figura 39 – Protótipo suspenso ao tecto da câmara anecóica............................................................................. 56
x
Figura 40 – Comparação dos resultados experimentais obtidos para o protótipo suspenso (a azul) com os
resultados numéricos e de Sánchez-Pérez et al (Figura 33). ................................................................................ 57 Figura 41 – Modo de vibração associado às chapas de suporte a 1388Hz, a), e modo de vibração associado às
chapas de suporte a 1426Hz, b). ........................................................................................................................... 58 Figura 42 – Montagem do protótipo sob a rede a câmara anecóica.................................................................... 58 Figura 43 – Resultados da atenuação sonora obtidos para protótipo apoiado na rede da câmara anecóica; a
vermelho os resultados obtidos com dois microfones e a verde os resultados obtidos com sonómetro. .............. 59 Figura 44 – Localização dos pontos de medição da pressão sonora para a caracterização de campos. ............ 60 Figura 45 – Protótipo montado para medição dos campos sonoros: cilindros apertados em ambos os topos, a), e
cilindros apertados apenas num topo, b). ............................................................................................................. 60 Figura 46 – Protótipo de ensaios laboratoriais, após as modificações propostas. .............................................. 61 Figura 47 – Representação em corte do modelo de silenciador estudado............................................................ 63 Figura 48 – Resultados teóricos da atenuação sonora obtida num silenciador de uma câmara com topo
anecóico a jusante (resultados válidos até aos 2878Hz). ..................................................................................... 63 Figura 49 – Resultados teóricos da atenuação sonora obtida num silenciador de uma câmara com topo
anecóico a jusante (resultados a 1000Hz, comprimento de onda de 344mm). ..................................................... 64 Figura 50 – Resultados teóricos da atenuação sonora obtida num silenciador de uma câmara com topo
anecóico a jusante (resultados a 1000Hz, comprimento de onda de 344mm). ..................................................... 64 Figura 51 – Malha de silenciador modelado em ambiente ANSYS, a), e pormenor do total controlo de malha, b).
.............................................................................................................................................................................. 66 Figura 52 – Frequências dos modos de vibração do silenciador entre os 1000Hz e os 2000Hz em função do
número de elementos por comprimento de onda e erro relativo entre os modelos de 24 e 36 elementos por
comprimento de onda............................................................................................................................................ 67 Figura 53 – Pressão sonora (Pa) obtida para o volume de ar contido dentro do silenciador para o 2º modo, a), e
12º modo, b). ......................................................................................................................................................... 67 Figura 54 – Atenuação sonora para silenciador de uma câmara de expansão simples....................................... 68 Figura 55 – Representação em corte do silenciador de uma câmara de expansão, a), e distribuição da pressão
sonora (dB) a 2230Hz para modelo de elementos finitos, b). ............................................................................... 68 Figura 56 – Representação em corte dos dois silenciadores de uma câmara de expansão montados em série, a),
e distribuição da pressão sonora (dB) a 2230Hz para modelo de elementos finitos, b)....................................... 69 Figura 57 – Atenuação sonora para dois silenciadores de uma câmara de expansão simples montados em série.
.............................................................................................................................................................................. 69 Figura 58 – Representação em corte de silenciador de uma câmara de expansão com tubos interiores
estendidos, a), e distribuição da pressão sonora (dB) a 2230Hz para modelo de elementos finitos, b)............... 70 Figura 59 – Atenuação sonora de um silenciador de câmara simples com tubos internos estendidos. ............... 70 Figura 60 – Representação em corte de silenciador de uma câmara de expansão e uma divisão interna, a), e
distribuição da pressão sonora (dB) a 2230Hz para modelo de elementos finitos, b).......................................... 71 Figura 61 – Atenuação sonora de um silenciador de câmara simples com uma divisão interna. ........................ 71 Figura 62 – Representação em corte de silenciador de uma câmara de expansão e duas divisões internas, a), e
distribuição da pressão sonora (dB) a 2230Hz para modelo de elementos finitos, b).......................................... 72
xi
Figura 63 – Atenuação sonora de um silenciador de câmara simples com duas divisões internas. .................... 72 Figura 64 – Comparação dos resultados da atenuação obtida nos vários modelos de silenciadores.................. 72
xii
Índice de tabelas
Tabela 1 – Resultados da atenuação sonora obtidos para modelo com cilindros apertados em ambos os topos,
a), e apertados apenas num dos topos, b), em dB. ................................................................................................ 60 Tabela 2 – Frequências dos modos de vibração do volume de ar do silenciador entre os 1000Hz e os 2000Hz. 66 Tabela 3 – Frequências para as quais se verificam mínimas atenuações no silenciador de uma câmara de
expansão simples. ................................................................................................................................................. 68 Tabela 4 – Frequências para as quais se verificam máximas atenuações no silenciador de uma câmara de
expansão simples. ................................................................................................................................................. 69
13
1. Introdução
O ruído gerado por sistemas mecânicos é, actualmente, uma das principais fontes de poluição sonora
com impacto significativo na perda de qualidade de vida das populações. As fontes de ruído são
muito diversas, podendo dar-se como exemplos o gerado pelos meios de transporte, equipamentos
motorizados, condutas de ar condicionado e electrodomésticos.
Desde meados do século XX que a Organização Mundial de Saúde tem incentivado estudos
internacionais sobres os efeitos nocivos do ruído no Homem. Estes têm concluído que o ruído é
responsável, por exemplo, pela perda parcial (e em alguns casos total) da audição, por problemas
gastrointestinais e cardiovasculares decorrentes de sucessivas contracções musculares, por
problemas respiratórios e de secreções hormonais entre outros. No entanto, os mais preocupantes
são os associados aos distúrbios no sistema nervoso, responsáveis pelo aparecimento de
depressões, dores de cabeça, actos de violência e sensação generalizada de fadiga e
hipersensibilidade.
Trata-se de um problema essencialmente ligado às engenharias, pois é directamente sobre a fonte do
ruído que em geral mais se poderá fazer. Felizmente, recorrendo a técnicas apropriadas, o ruído
emitido pelos componentes mecânicos pode ser consideravelmente filtrado, quer directamente na
fonte, quer numa interface próxima entre esta e o meio envolvente.
Existem na literatura científica numerosos trabalhos científicos na área dos filtros acústicos
descrevendo métodos de análise e de optimização, permitindo o projecto de novos dispositivos
designados por filtros acústicos. Neste trabalho interessam-nos essencialmente os relacionados com
a propagação de ondas sonoras através de elementos periodicamente espaçados, bem como através
de silenciadores de câmara de expansão.
Uma descrição dos aspectos mais relevantes para a área da propagação de ondas sonoras através
de elementos periodicamente espaçados encontra-se em Sigalas et al [1], Kushwaha [2] e Vasseur et
al [3]. Neste último artigo encontra-se uma descrição dos aspectos relacionados com as curvas de
dispersão relativas ao meio de suporte da propagação, identificando-se, em alguns casos, zonas de
frequência para as quais a onda não se pode propagar (em inglês, band gaps). Este fenómeno tem
também aplicações importantes na área de ondas electromagnéticas, que designamos por bandas
fotónicas proibidas (ver trabalhos de Selamet et al [4], Joannopoulos et al [5] e Yablonovitch [6]) e tem
igualmente aplicações na área de ondas acústicas que designamos por bandas sónicas proibidas (ver
trabalhos de Joannopoulos et al [5] e Yablonovitch [6]). Estas metodologias de análise baseiam-se na
teoria de Ondas de Bloch (ver, por exemplo, em Brillouin [7]) quando se trata o caso de meios
periódicos com repetição infinita, ou então baseiam-se na análise modal e harmónica quando se trata
de casos onde a repetição é finita e até mesmo quasi-periódica.
Algumas aplicações recentes destas metodologias à optimização estrutural foram apresentadas por
Sigmund [8], Cox e Dobson [9], Sigmund e Jensen [10] e [11] e Barbarosie e Neves [12] recorrendo a
14
técnicas de optimização de topologia (para uma descrição destas técnicas ver, por exemplo, Bendsøe
e Sigmund [13]).
A verificação experimental dos resultados de bandas proibidas tem levado diversos investigadores
aos laboratórios em busca de confirmação do fenómeno, recorrendo a várias técnicas como, por
exemplo, as dos ensaios experimentais de Vasseur et al [3]. Uma das referências mais comuns nesta
área é a que foi a publicada por Sánchez-Pérez et al em 1998 [14] que, recorrendo a um modelo
bidimensional de ondas de Bloch, faz a determinação de bandas de frequências proibidas, tendo
ainda realizado alguns ensaios experimentais.
Destas experiências em meios com repetição finita da periodicidade, sabe-se que as previsões de
bandas proibidas traduzem-se em bandas de frequência com significativa atenuação e que esta é
tanto maior quanto maior o número de repetições da periodicidade.
No capítulo 4 apresentam-se mais detalhadamente os trabalhos de maior referência e que motivaram
a realização desta tese.
Uma descrição dos aspectos mais relevantes para a área da propagação de ondas sonoras através
de silenciadores de câmara de expansão pode ser encontrada em publicações científicas tais como,
por exemplo, Ver e Beranek [15], Munjal [16] ou em Mead [17], que descrevem os aspectos
essenciais relacionados com silenciadores de câmaras de expansão. Estes fenómenos interessam a
diversas aplicações industriais motivando estudos como, por exemplo, os apresentados por Gerges et
al [18] ou Davis et al [19].
No trabalho da dissertação que se apresenta, o foco esteve em desenvolver e testar metodologias e
as respectivas aplicações informáticas para caracterizar a propagação de ondas sonoras através de
elementos periodicamente espaçados, bem como através de silenciadores de câmara de expansão,
recorrendo ao método dos elementos finitos. Podemos observar nas referências já citadas que
existem diversos modelos teóricos na teoria dos filtros acústicos, só que em geral o seu
desenvolvimento só é possível para determinadas geometrias e com a hipótese de propagação de
ondas planas. Para permitir responder às actuais tendências de projecto com as mais diversas e
complexas geometrias, e continuar a ser capaz de prever a resposta mesmo em regiões onde a onda
deixa de ser plana, a tendência natural é procurar os métodos numéricos, e entre eles o método dos
elementos finitos. Ao ganho em generalidade, vêm associados alguns problemas típicos da precisão
da aproximação dos elementos finitos, como saber qual a necessária discretização do fluido e da
estrutura e qual a correcta escolha das condições de fronteira.
Para o caso dos elementos periodicamente espaçados, verificam-se, neste trabalho, os valores de
soluções analíticas obtidas por técnicas de ondas de Bloch, com os obtidos por elementos finitos
através de modelos bidimensionais e tridimensionais e ainda com valores experimentais obtidos na
literatura e em ensaios com um protótipo construído para a verificação. Com o trabalho experimental
aprendeu-se como é essencial associar a parte de análise numérica com a experimental. Por
exemplo, foi através da análise numérica que se preparou a parte experimental, tendo dessa forma
detectado alguns cuidados que seriam necessários tomar relativamente ao protótipo. Este aspecto
15
será referido mais adiante a propósito da onda deixar de ser plana por falta de rigidez nos tubos
periodicamente espaçados. Já durante a experiência, observou-se que os desvios entre os resultados
dos elementos finitos (depois de verificada a convergência numérica) relativamente aos
experimentais devem ser considerados com base nas simplificações assumidas, como por exemplo a
atenuação sonora ao longo da distância.
No caso dos silenciadores, aplica-se a ferramenta computacional utilizada nos elementos
periodicamente espaçados, agora com objectivo de verificar os valores obtidos por elementos finitos
através de modelos bidimensionais e tridimensionais com as respectivas soluções analíticas.
As aplicações computacionais para os modelos de fluido acústico e os de interacção fluido-estrutura
foram desenvolvidas em linguagem APDL no programa comercial de elementos finitos Ansys®,
assumindo as aproximações adoptadas por Kinsler et al. [20] de fluido compressível, invíscido, sem
escoamento médio e com densidade e pressão média uniformes no fluido.
Apresentam-se vários exemplos de aplicação da metodologia para verificação entre os valores
analíticos, numéricos e experimentais, concluindo-se sobre alguns requisitos práticos para que tal
aconteça (por exemplo, suficiente rigidez das inclusões periódicas). No caso dos elementos
periodicamente espaçados foi construído um protótipo com seis filas de cinco cilindros cada e que
permitiu os primeiros ensaios experimentais de verificação dos valores analíticos e numéricos.
Todo este trabalho foi também incentivado através de projectos científicos e de uma colaboração
industrial no grupo de investigação do orientador, com os quais foi possível perceber o interesse
industrial em obter competências na modelação numérica destes fenómenos para o melhor
desenvolvimento dos novos produtos, incluindo competências com metodologias de optimização.
O actual interesse do tema que motiva a primeira parte deste trabalho sobre os filtros acústicos de
elementos periodicamente espaçados pode ser avaliado pelo elevado número de referências em
bases de dados de artigos científicos ao artigo de Martinez-Sala et al [21] da revista Nature. O
fenómeno de existência de bandas de frequências proibidas já era bem conhecido de investigadores
físicos e matemáticos relativamente a meios periódicos infinitos, sendo designado por bandas de
frequências proibidas na propagação no referido meio. O que não era bem conhecido, era a evidência
experimental de significativa atenuação sonora da propagação de som através de um meio periódico
de repetição finita (neste caso, a verificada por medições com a escultura minimalista de Eusébio
Sempere, exposta na altura na Fundação Juan March em Madrid).
Apesar de existirem técnicas e materiais com elevada eficácia para praticamente as mais diversas
situações de controlo de ruído, estas envolvem tecnologias em geral dispendiosas. O que despertou
tanta atenção para os elementos periodicamente espaçados foi o seu baixo custo tecnológico,
embora também se deva aqui afirmar que dependendo das frequências envolvidas a solução pode
não ser suficientemente compacta.
Para sublinhar a importância actual do tema, apesar de entrar em pormenores que estão além do
âmbito da dissertação, descreve-se de seguida em poucas linhas o componente que motiva a
segunda parte deste trabalho que é um compressor hermético típico de sistemas de refrigeração (ver
16
Figura 1). Em geral, o compressor hermético representa a principal fonte de ruído e vibrações do
sistema de refrigeração. Este é formado por um conjunto interno (moto-compressor), apoiado em
molas metálicas helicoidais ligadas a uma carcaça onde, no fundo desta, existe uma camada de óleo
de lubrificação das partes móveis (pistão, biela e eixo). O gás de refrigeração ocupa o espaço entre o
moto-compressor e a carcaça, denominada cavidade, de onde é sugado para o interior do cilindro,
passando antes pelo filtro acústico que, por sua vez, tem a função de atenuar as pulsações do fluxo
de gás, causadas pela sucção. Depois de comprimido, é transferido para o exterior da carcaça pelo
tubo de descarga.
Figura 1 – Representação de compressor em corte [22].
O ruído provocado pela sucção do gás é uma importante fonte de excitação da cavidade. A fonte
primária de ruído está localizada próximo da válvula de sucção, propagando-se em direcção à
entrada de gás (em sentido oposto ao da velocidade de entrada do fluido). É neste troço do sistema
de compressão que se situa um pequeno silenciador acústico, precisamente para atenuar o ruído
gerado pela válvula de sucção. Por esta razão, é neste componente mecânico que se consegue a
mais significativa contribuição para a redução do ruído gerado pelo normal funcionamento do
compressor, e a possibilidade de modelar as suas respostas com rigor nas mais diferentes
configurações geométricas é um verdadeiro desafio para os projectistas destas empresas.
Em termos de principais resultados desta dissertação, validaram-se os modelos de elementos finitos
de fluido acústico, com e sem interacção fluido-estrutura, para a propagação de ondas sonoras ao
longo de inclusões cilíndricas periodicamente espaçadas. Os resultados obtidos foram
satisfatoriamente comparados com os correspondentes valores teóricos, confirmando-se as previsões
relativamente à disposição (quadrangular ou triangular das inclusões), à fracção volúmica ocupada e
ao número total de filas de inclusões.
Concluiu-se que o número de elementos finitos por comprimento de onda comummente utilizado em
engenharia (geralmente, 12 elementos) mostra-se ser insuficiente para as análises dos problemas de
acústica testados nesta dissertação.
17
Concluiu-se ainda que as inclusões cilíndricas periodicamente espaçadas, quando mal constrangidas,
podem dar origem a um campo sonoro completamente irregular.
Este trabalho permitiu verificar experimentalmente, mais qualitativamente que quantitativamente, a
existência de uma Banda de Frequências Atenuadas determinadas com modelos de elementos
finitos, validando o uso destas técnicas para o estudo deste tipo de problemas acústicos.
Verificou-se, ainda, para a propagação de ondas sonoras em silenciadores de uma câmara de
expansão, a concordância entre as soluções analíticas e as obtidas pelo método dos elementos
finitos (não houve tempo para continuar o estudo para análises de elementos finitos com geometrias
mais complexas). Por fim, observou-se ser possível caracterizar uma maior gama de frequências
atenuadas e respectivas atenuações, dividindo-se o interior da câmara. A realização de verificações
com modelos de geometrias mais complexas fica para futuros desenvolvimentos.
Objectivos e Estrutura da Tese
Os objectivos que guiaram este trabalho foram os seguintes:
1) Comparar os resultados da propagação de som obtidos recorrendo a modelos de elementos
finitos com os previstos teoricamente, e determinar um número suficiente de elementos finitos
por comprimento de onda, a utilizar nos modelos, que permita reproduzir, com uma margem
de erro aceitável, os fenómenos físicos envolvidos;
2) Caracterizar a propagação de ondas sonoras através de inclusões cilíndricas periódicas,
recorrendo a modelos bidimensionais e tridimensionais de elementos finitos, e respectiva
comparação com resultados obtidos com protótipo em câmara anecóica;
3) Caracterizar a propagação de ondas sonoras em silenciadores cilíndricos recorrendo a
modelos de elementos finitos, e estudar o efeito de alterações geométricas a silenciadores
cilíndricos de uma câmara de expansão, na propagação das ondas sonoras.
O conteúdo desta tese, por capítulos, é o indicado de forma breve nas linhas que se seguem:
No Capítulo 2 é feita uma breve apresentação das principais grandezas que permitem o estudo da
acústica, sendo ainda abordado o desenvolvimento teórico de onda sonora.
No Capítulo 3 comparam-se resultados da propagação de ondas sonoras em tubos cilíndricos obtidos
com modelos de elementos finitos com resultados teóricos obtidos na literatura [16]. É explorado, com
algum detalhe, o erro relativo e é identificado um número mínimo de elementos por comprimento de
onda recomendável nos modelos de elementos finitos.
No Capítulo 4 é caracterizada a propagação de ondas sonoras através do meio envolvente ao
conjunto de cilindros metálicos periodicamente espaçados, considerando diferentes configurações e
fracções volúmicas, modelos de elementos finitos a duas e a três dimensões, com e sem
acoplamento fluido-estrutura. Apresenta-se o protótipo construído para os ensaios experimentais,
descreve-se a câmara de ensaios, o esquema de montagem do equipamento para o ensaio e
18
comparam-se os resultados obtidos experimentalmente com os obtidos na bibliografia e
numericamente a duas e três dimensões.
No Capítulo 5 é estudada a propagação de ondas sonoras através modelos de silenciadores
construídos a partir de modelo de uma câmara de expansão.
No Capítulo 6 apresentam-se as conclusões e futuros desenvolvimentos.
19
2. Fundamentos de Acústica
Neste capítulo apresentam-se algumas das principais grandezas utilizadas no estudo da acústica,
sendo ainda abordado o desenvolvimento teórico da propagação de onda sonora.
2.1. Grandezas Básicas de Ondas Sonoras
O Som define-se como uma vibração, ou onda mecânica, gerada por um corpo em vibração, passível
de ser detectada pelo ouvido humano (sensível na gama 20Hz a 20000Hz). Partindo de uma fonte
sonora, o som propaga-se originando uma onda sonora segundo todas as direcções de forma
esférica necessitando, para isso, de um meio de propagação que pode ser sólido, líquido ou gasoso.
Dependendo do tipo de fonte, pode haver uma maior concentração de energia num determinado
sentido evidenciando-se, assim, a direcção do som.
A Onda Sonora resulta de oscilações de moléculas que se propagam num meio elástico. Ao imaginar-
se um corpo a vibrar ao ar, por exemplo, o seu movimento vai comprimir camadas de ar de um lado e
provocar uma depressão do outro, para onde o ar circundante aflui. O seu movimento vibratório
constante vai provocar sucessivas compressões e descompressões de camadas de ar, colocando-as
em movimento sob a forma de onda. A pressão do ar numa determinada área pode considerar-se
constante e, assim sendo, as variações de pressão impostas por uma fonte vibrante vão-se-lhe
sobrepor. Esta definição inclui as ondas ultra-sónicas, infra-sónicas e sónicas (aquelas que são
perceptíveis pelo ouvido humano). Uma onda sonora pode compreender um tom puro (uma
frequência simples, 1000Hz, por exemplo), contudo, é normalmente composta por várias frequências
simultaneamente.
A propagação de ondas sonoras no ar sofre uma particularidade associada às propriedades
mecânicas do meio gasoso: não suporta esforços de corte. Esta característica implica que o único
tipo de ondas sonoras possíveis de nele se propagar são as longitudinais. Em função do meio de
propagação, a onda sonora poderá sofrer reflexões que serão tanto maiores quanto maior a alteração
do mesmo, provocando menores transmissões de som.
As oscilações cíclicas de pressão e depressão características de uma onda sonora relacionam-se
com a Frequência de Propagação de onda, f , definida como o Número de Oscilações (Ciclos) por
unidade de tempo (segundo), sendo a sua unidade de grandeza o Hertz (Hz).
Conhecendo-se a frequência de propagação e as características do meio, é possível obter-se o
Comprimento de Onda, λ , sendo este definido como a distância percorrida pela onda sonora num
ciclo completo de pressão/depressão. O tempo que a onda demora a cumprir um ciclo completo de
pressão/depressão define-se por Período de Onda, T , e é inversamente proporcional à frequência de
propagação. A Velocidade de Propagação do Som num determinado meio, c , é obtida dividindo o
comprimento de onda pelo período de onda, obtendo-se assim as seguintes expressões equivalentes:
20
fc
f
cT
c =⇔=⇔= λλλ1
(m). (1)
A velocidade de propagação do som num determinado meio é independente da frequência de
propagação, dependendo apenas das propriedades do mesmo. Matematicamente esta grandeza é
calculada como:
0ργ ambP
c = (m/s), (2)
sendo γ a relação entre os calores específicos do ar a pressão e volume constantes, ambp a
pressão ambiente (N/m2) e 0ρ a massa específica do ar (kg/m3).
Uma pessoa saudável detecta, como som, qualquer vibração do tímpano na gama de frequências
audíveis, resultantes de uma variação incremental da pressão do ar junto ao ouvido. Uma variação de
pressão em torno da pressão atmosférica é chamada Pressão Sonora, p , cuja unidade é o Pascal
(Pa). Sendo o ouvido humano sensível a esta grandeza, é conveniente realizar as medições
associadas à amplitude sonora em termos de pressão, uma vez que as pressões detectadas pelo
tímpano também são detectáveis pelo diafragma de um microfone.
Quando se determina o valor médio de pressão de uma onda sonora (tendo esta, normalmente, um
comportamento periódico no tempo), o respectivo valor será nulo. Este resultado deve-se ao facto de
a parte positiva da onda ser igual à parte negativa. Um tipo de medição que permite contornar esta
questão é a do valor eficaz, rmsp , (em inglês, rms – root mean square), que é obtido fazendo a média
da soma dos quadrados da pressão em cada instante, ao longo de um período, ou seja:
Pprms 21
= (Pa), (3)
em que P é a amplitude máxima da pressão sonora instantânea.
A Intensidade Sonora, I , é outra grandeza usualmente medida e é definida como o fluxo de energia
emitida por unidade de tempo num determinado ponto, sendo igual à média temporal do produto da
pressão sonora pela velocidade de propagação da onda sonora, nv :
( ) ( )tvtpI n= (W/m2). (4)
Esta grandeza é importante por duas razões: primeiro, num ponto livre no espaço, está relacionada
com a potência total irradiada para o ar por uma fonte sonora; segundo, permite obter uma relação
fixa com a pressão sonora.
A intensidade sonora num ponto é uma quantidade vectorial, ao passo que a pressão sonora é uma
grandeza escalar. Por esta razão, a intensidade sonora deve ser considerada segundo a direcção de
propagação de onda.
21
Uma fonte sonora radia uma quantidade mensurável de energia para o ar circunvizinho, chamada de
Potência Sonora, W , sendo definida como a quantidade de energia acústica produzida por unidade
de tempo. O efeito da potência sonora é a pressão sonora detectável pelo ouvido humano.
Analisando-se a equação (4), conclui-se que esta grandeza é dada pelo produto da intensidade
sonora pela área envolvente da fonte. Tal como a pressão sonora, a potência sonora é uma grandeza
escalar cujas unidades são o Watt (W).
Para uma fonte sonora pontual a radiar uniformemente no espaço, por exemplo, a área de radiação
será a de uma superfície esférica, obtendo-se a seguinte expressão para o cálculo da potência
sonora [23]:
( )IrW 24π= (W). (5)
Alexander Graham Bell criou uma unidade de intensidade física relativa ao som, definida em relação
à pressão mínima detectada pelo ouvido humano. A essa grandeza foi dado o nome de Bel, em
homenagem ao seu inventor, sendo definida como:
2
0⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛pp
, (6)
em que 0p é o nível mais baixo de pressão sonora detectável pelo ouvido humano (20 µPa). Como a
unidade Bel comprime demasiado a escala de pressões sonoras, é mais conveniente o uso do
Decibel, unidade logarítmica definida como:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇔⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
0
2
0
2010pplogdB
pplogdB . (7)
Refira-se que esta não é uma escala absoluta, mas uma escala comparativa, relacionando dois
valores diferentes de pressão sendo, portanto, adimensional. O facto de a escala ser logarítmica,
justifica-se por se verificar que a percepção sonora é proporcional ao logaritmo dos estímulos
sonoros.
As unidades para a medição do som em unidades logarítmicas são, respectivamente:
a) Nível de Pressão Sonora ou Nível Sonoro
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
×= −5102
20 rmsp
plogL (dB); (8)
b) Nível de Intensidade Sonora
121010 −=
IlogI I (dB); (9)
c) Nível de potência sonora
121010 −=
WlogLW (dB). (10)
22
Após esta breve síntese sobre as principais grandezas envolvidas na propagação sonora, passa-se a
apresentar uma formulação analítica de propagação de ondas.
2.2. Equação de Onda
2.2.1 Equação de Onda Acústica – Modelos Tridimensionais
Para obter a Equação de Onda Acústica combinam-se as equações de quantidade de movimento de
Navier-Stokes (11) a (13), a equação de continuidade (14), e introduzem-se simplificações utilizando
as aproximações adoptadas por Kinsler et al [20]:
1. Fluido compressível (variações de densidade do fluido devidas a variações de pressão);
2. Fluido invíscido (ausência de dissipações viscosas);
3. Ausência de escoamento médio do fluido;
4. Densidade e pressão média uniformes ao longo do fluido.
( ) ( ) ( )=
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂zvv
yvv
xvv
tv xzxyxxx ρρρρ
xx
ex
ex
exx Tzv
zyv
yxv
xR
xpg +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
++∂∂
−= µµµρ
(11)
( ) ( ) ( )=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
zvv
yvv
xvv
tv yzyyyxy ρρρρ
yy
ey
ey
eyy Tz
vzy
vyx
vx
Rypg +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂
∂∂
++∂∂
−= µµµρ
(12)
( ) ( ) ( )=
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂z
vvy
vvx
vvtv zzzyzxz ρρρρ
zz
ez
ez
ezz Tzv
zyv
yxv
xR
zpg +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
++∂∂
−= µµµρ
(13)
onde xv , yv , zv , são as componentes cartesianas do vector de velocidade nas direcções x , y , z
(coordenadas cartesianas globais); t o tempo; zg , yg , zg são as componentes de aceleração da
gravidade; ρ a densidade do fluido; eµ a viscosidade efectiva (que no caso de escoamento laminar
é, simplesmente, a pressão dinâmica, uma propriedade do fluido); xR , yR , zR são as componentes
de resistência distribuída (utiliza-se, por exemplo, para modelar o efeito de algumas características
geométricas sem modelar a geometria); xT , yT , zT são os termos de perdas viscosas (nulos no caso
de fluido incompressível de propriedades constantes); p a pressão.
23
A equação de continuidade é expressa da seguinte forma:
( ) ( ) ( )0=
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂∂
zv
yv
xv
tzyx ρρρρ
. (14)
Atendendo às referidas simplificações, obtém-se a seguinte Equação de Onda:
01 22
2
2 =∇−∂∂ p
tp
c, (15)
onde o laplaciano, 2∇ , para sistemas de coordenadas cartesianas é dado por:
2
2
2
2
2
22
zyx ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ . (16)
É nesta equação de onda que se baseiam as metodologias desenvolvidas neste trabalho para simular
os problemas de propagação ao longo de um fluido acústico com determinadas fronteiras assumidas
rígidas ou semi-infinitas. Se houver interacção com fronteiras deformáveis elásticas o problema tem
de ser acoplado a equações de elasticidade. O método dos elementos finitos para problemas
acústicos é desenvolvido nestes termos.
Pelo interesse que tem para o estudo de alguns escoamentos, como em silenciadores de câmara de
expansão, por exemplo, apresenta-se ainda a equação reduzida para o caso unidimensional.
2.2.2 Equação de Onda Acústica – Modelos Unidimensionais
No caso particular de propagação do som ao longo de uma conduta contendo um fluido invíscido e de
paredes assumidas como rígidas, as ondas sonoras de pequena amplitude propagam-se como ondas
planas. É o caso em que a perturbação da pressão acústica, p , e a velocidade, zv , em qualquer
ponto de uma secção transversal é a mesma. A frente de onda (superfície de fase) é um plano normal
à direcção de propagação de onda, que no caso de um tubo se considera a direcção longitudinal z .
As equações linearizadas para este caso são:
a) Conservação de massa
00 =∂∂
+∂∂
zv
tzρρ
; (17)
b) Equilíbrio dinâmico
00 =∂∂
+∂∂
tv
zp zρ ; e (18)
24
c) Equação de energia (processo isentrópico, assumindo o ar como gás perfeito e tomando
apenas os termos de primeira ordem da expansão em série de Taylor, válido na propagação em
condutas de secção constante ou em transições de secção nos limites de (54)).
( ) 2
00
cPpPp ambamb
s
=≈++
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
ργ
ρργ
ρ; (19)
sendo z a coordenada longitudinal (ou axial), ambP a pressão ambiente, 0ρ a densidade do meio,
para 1<<ambPp
e 10
<<ρρ
.
A equação (19) implica que:
2cp
=ρ ; tp
ct ∂∂
=∂∂
2
1ρ;
zp
cz ∂∂
=∂∂
2
1ρ. (20)
Substituindo a equação (20) em (17), eliminando o campo de velocidades zv das equações (17) e
(18), diferenciando a primeira em relação a t , a segunda em relação a z e, por fim, substituindo a
primeira na segunda, obtém-se a equação de onda:
02
22
2
2
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
−∂∂ p
zc
t. (21)
Esta equação diferencial parcial homogénea, unidimensional, de coeficientes constantes admite uma
solução geral dada por:
( ) ( ) ( )ctzgCctzfCt,zp ++−= 21 , (22)
onde que 1C e 2C são constantes.
Se a dependência no tempo for assumida como sendo do tipo exponencial, tje ω , a solução (22) é
expressa na seguinte forma:
( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+= cztj
cztj
eCeCt,zpωω
21 . (23)
A primeira parte desta solução é igual a 1C para 0== tz e, ainda, para ctz = . Assim sendo, o
primeiro termo representa uma onda progressiva a mover-se a jusante da fonte de ruído, sem
atenuação nem aumento de amplitude, com uma velocidade c . De forma semelhante, observa-se
que o segundo termo da equação representa uma onda progressiva movendo-se na direcção oposta
com a mesma velocidade c . Assim sendo, c é a velocidade de propagação de onda, a equação (21)
é uma equação de onda e a solução (23) representa a sobreposição de duas ondas progressivas com
amplitudes 1C e 2C movendo-se em direcções opostas.
A equação (21) é denominada por equação de onda unidimensional clássica e a velocidade de
propagação de onda, c , é denominada por velocidade do som.
25
O carácter de onda da equação (21) reside no operador diferencial
2
22
2
2
zc
tL
∂∂
−∂∂
≡ , (24)
que é denominado por operador de onda unidimensional clássico.
Factorizando este operador como se indica na seguinte igualdade,
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
=∂∂
−∂∂
zc
tzc
tzc
t 2
22
2
2
, (25)
pode concluir-se que a onda acústica emitida (o primeiro termo da solução da equação (23)) é a
solução da equação
0=∂∂
+∂∂
zpc
tp
, (26)
e que a onda reflectida (o segundo termo da solução da equação (23)) é a solução da equação
0=∂∂
−∂∂
zpc
tp
. (27)
A equação (23) pode ser reescrita como
( ) [ ] tjjkzjkz eeCeCtzp ω+− += 21, , (28)
em que λπω 2
==c
k , sendo k o Número de Onda, ou a constante de propagação, e λ o
comprimento de onda.
Uma vez que a velocidade da partícula, zv , também satisfaz a mesma equação de onda, pode
escrever-se igualmente1:
( ) [ ] tjjkzjkzz eeCeCt,zv ω+− += 43 . (29)
Substituindo as equações (28) e (29) na equação de equilíbrio dinâmico (18) obtém-se
cCC
0
13 ρ= ,
cCC
0
24 ρ
−= , (30)
e, assim,
( ) [ ] tjjkzjkzz eeCeC
Zt,zv ω+− −= 21
0
1, (31)
1 Pode mostrar-se que, recorrendo ao potencial de velocidade φ :
zvz ∂
∂=
φ e
tp
∂∂
−=φρ0 .
26
onde cZ 00 ρ= é a Impedância Característica do Meio, definida como a razão da pressão acústica
pela velocidade da partícula de uma onda plana progressiva.
Segue-se uma breve revisão dos conceitos teóricos relevantes para a análise da propagação de
ondas em silenciadores.
2.3. Propagação de Ondas em Silenciadores
O ruído pode definir-se simplesmente como sendo um som indesejável. A subjectividade desta
definição é em geral aceite, uma vez que aquilo que para uns é considerado ruído (uma banda de
hard rock, por exemplo), para outros é um som agradável. Alguns tipos usuais de ruído são o
aeronáutico, o urbano, o industrial ou, mesmo, o ruído doméstico associado a electrodomésticos.
Existem várias metodologias utilizadas para a atenuação do ruído. Algumas são activas, como por
exemplo as que utilizam a emissão de ondas sonoras opostas às emitidas pela fonte de ruído, outras
são passivas, como por exemplo, as dos simples silenciadores reflectivos de uma câmara de
expansão da onda sonora.
Os silenciadores são, convencionalmente, classificados como dissipativos ou reflectivos, dependendo
da forma como a energia acústica é dissipada em calor (através de um material de absorção
acústica), ou reflectida para montante através de descontinuidades de área.
Os silenciadores dissipativos consistem em condutas contendo, no seu interior, um material de
absorção acústica. Em motores de combustão estes silenciadores tendem a perder a sua
performance por fenómenos como, por exemplo, a destruição do material dissipativo, devido a
partículas de carbono não consumidas na combustão virem a obstruí-lo, ou devido à propagação de
fendas de origem térmica.
Os silenciadores reflectivos consistem num determinado número de elementos tubulares, de
diferentes dimensões de secção transversal, juntos de forma a provocar em cada junção a reflexão
de uma parte substancial da energia acústica incidente de volta para a fonte. Isto é possível
combinando as diferentes impedâncias acústicas.
Para o estudo da atenuação sonora em silenciadores e a realização de ensaios experimentais em
acústica definem-se três grandezas comummente utilizadas: a redução de ruído (em inglês, noise
reduction – NR), a perda de inserção (em inglês, insertion loss – IL) e a perda de transmissão (em
inglês, transmission loss – TL).
A Redução de Ruído é simplesmente calculada pela diferença dos níveis de pressão sonora em dois
pontos do sistema de atenuação, sendo habitual tomar os valores relativos aos pontos de entrada e
saída do silenciador (vd. Figura 2), e calcula-se pela expressão (32).
27
21
Figura 2 – Esquema de silenciador de uma câmara de expansão.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=−=
2
1
0
2
0
1
0
2
0
1 2020202021 p
plog
pppp
logpp
logpp
logLLNR pp (dB), (32)
A Perda de Inserção é definida como a diferença entre a potência acústica radiada sem qualquer filtro
e a radiada com a presença de um filtro acústico. Calcula-se da seguinte forma:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=−=
−
−
−−2
1
122
121
122
121 10
10
101010
1010
1021 W
WlogW
W
logWlogWlogLLIL WW (dB), (33)
em que os subscritos 1 e 2 representam os sistemas sem e com filtro, respectivamente.
A Perda de Transmissão é independente da fonte de ruído e requer que o elemento em estudo tenha
um topo anecóico:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=−=
t
iWWi W
WlogLLTLt
10 (dB). (34)
Esta grandeza descreve a performance do silenciador propriamente dito, sendo definida como da
diferença entre a potência incidente no silenciador, ( )iW , e a transmitida a jusante, ( )tW , em
direcção à terminação anecóica.
2.3.1 Propagação de Onda Acústica no Interior de um Tubo Uniforme
Para silenciadores acústicos cilíndricos, conduzindo gases de escape, é mais apropriado utilizar o
caudal mássico, SvQ zm 0ρ= (em que S é a secção transversal do tubo), em vez da velocidade das
partículas no cálculo da impedância característica do meio. Assim sendo, define-se Impedância
Característica, 0Y , como:
ScY =0 , (35)
Juntando o resultado anterior às equações (28) e (31) obtém-se:
jkzjkz BeAep += − , (36)
28
( )jkzjkzm BeAe
YQ −= −
0
1, (37)
em que o factor exponencial temporal foi absorvido nas constantes A e B.
A Impedância Acústica Específica em qualquer ponto de uma onda estacionária é, assim, definida
como:
( ) ( )( ) jkzjkz
jkzjkz
m BeAeBeAeY
zQzpz
−+
== −
−
0ζ , (38)
e representa a impedância equivalente do subsistema passivo completo a jusante deste ponto.
Os valores da impedância acústica em 0=z (início do tubo) podem ser relacionados com os
localizados em lz = (final do tubo), recorrendo à equação (38) e eliminando A e B da seguinte
forma:
( ) ( ) ( )BABA
YBABAY
BeAeBeAeY
−+
=⇔−+
=⇔−+
=0
000
00
0000 ζζζ ; (39)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
.kltan
BABAj
kltanjBABA
YklsinBAjklcosBAklsinBAjklcosBAYl
klsinjklcosBklsinjklcosAklsinjklcosBklsinjklcosAY
BeAeBeAeYl jkljkl
jkljkl
−+
−
−−+
=+−−−−+
=⇔
⇔+−−++−
=−+
= −
−
100
00
ζ
ζ
(40)
Substituindo o resultado da equação (39) na equação (40), obtém-se o seguinte resultado:
( )( ) ( )
( ) ( )kltanY
j
kltanjY
Yl
0
0
0 01
0
ζ
ζζ
−
−= , (41)
ou
( )( ) ( )
( ) ( )kltanY
lj
kltanjY
l
Y0
0
0 1
0ζ
ζζ
+
−= , (42)
29
ou, ainda,
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )klsin
Yljklcos
klsinjYklcosl
kltanY
lj
kltanjYl
0
0
0
0 01
0ζ
ζζ
ζζ
ζ+
+=⇔
+
−= .
(43)
De forma semelhante, a equação (41) pode ser reescrita como:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )klsin
Yjklcos
klsinjYklcosl
0
0
00
ζζ
ζ−
−= .
(44)
Para um tubo com o topo rígido em lz = , o caudal mássico tende para 0, ( ) 0→lQm , logo a
impedância acústica específica tende para infinito, ( ) ∞→lζ , que, pela equação (44), implica ter o
denominador a tender para 0, permitindo concluir que no limite:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )klsinklcosjYklsin
Yklcosjklsin
Yjklcos 0
00
00000−=⇔=+⇔=− ζζζ
. (45)
Na realidade, ao utilizarem-se chapas metálicas finas para tapar tubos, não se pode garantir uma
impedância infinita, pelo que o resultado exacto da equação (43) deve ser utilizado em vez do
resultado da equação (45).
O comportamento acústico numa terminação é, normalmente, descrito em termos do Coeficiente de
Reflexão, R , definido como a razão da pressão de onda reflectida pela de onda incidente.
Recorrendo ao resultado da equação (36) chega-se à expressão:
jkz
jkz
AeBeR −= , (46)
de onde de obtém:
( )ABR =0 (47)
e, ainda,
( ) jkl
jkl
AeBelR −= . (48)
Substituindo o resultado de (47) em (39) tem-se:
RRY
−+
=11
0ζ , (49)
30
ou, alternativamente,
0
0
YY
R+−
=ζζ
. (50)
Num topo rígido, ( ) 0→lQm , ∞→ζ , logo a equação (49) requer:
1→R . (51)
Assim sendo, um topo rígido reflecte totalmente a onda incidente, com a mesma amplitude e a
mesma fase.
Outra terminação que é usualmente utilizada é a de topo anecóico, caracterizada por um coeficiente
de reflexão igual a zero,
0→R , (52)
e, assim sendo, utilizando a relação (49):
0Y→ζ . (53)
Este resultado mostra que a impedância de um tubo com uma terminação anecóica se iguala à
impedância característica do tubo em todos os pontos. Este resultado não é surpreendente, uma vez
que o campo acústico num tubo deste tipo consiste apenas numa onda progressiva, não existindo
onda reflectida.
Estamos, agora, em condições de estudar o que se passa quando ao longo do tubo se produz uma
transição de secções com diferentes dimensões.
2.3.2 Atenuação em Silenciadores com Descontinuidades de Secção
Dois tipos de descontinuidades de secção do tubo são apresentados na Figura 3, nomeadamente a
contracção súbita e a expansão súbita.
a) b)
Figura 3 – Descontinuidades de área. Contracção súbita, a), e expansão súbita, b).
Quando os diâmetros de ambos os tubos se encontram dentro dos limites impostos pela propagação
de ondas puramente planas, então a pressão acústica e o caudal mássico mantêm-se os mesmos
através de qualquer uma das duas descontinuidades. Se a frequência for suficientemente pequena
(ou o comprimento de onda suficientemente grande) de tal forma que se verifique:
12 ••12 ••
31
8410 .kr < ou D.841πλ < ou c
D.fπ841
< , (54)
em que D é o diâmetro 02r , então propagam-se apenas ondas planas [16]. Nos casos de transição
de diâmetros para além destes limites, não se mantêm as condições isentrópicas da equação (19),
devendo a expansão ser considerada como um processo adiabático.
No estudo de silenciadores de escape, as frequências de interesse são normalmente suficientemente
baixas de tal forma que os limites de secção transversal de condutas da equação (54) são satisfeitos.
Desta forma, as análises de atenuação em silenciadores considerando a aproximação de onda plana
têm demonstrado ser adequadas [16].
Assim sendo,
12 pp = , (55)
12 mm QQ = (56)
e, consequentemente,
11
1
2
22 ζζ ≡=≡
mm Qp
Qp
. (57)
Em termos das amplitudes complexas dos dois componentes de onda progressiva das ondas
estacionárias nos dois tubos através da junção, as equações (55) e (56) podem ser escritas como
1122 BABA +=+ , (58)
igualando a pressão em ambos os lados da descontinuidade, e, da mesma forma, igualando o caudal
mássico:
( ) ( )1
11
2
22
YBA
YBA −
=−
. (59)
Para o caso especial de um topo anecóico tem-se 01 =B e consequentemente:
112 Y== ζζ , (60)
e o coeficiente de reflexão do ponto anterior é dado por:
12
12
21
21
22
22
2
22 SS
SSYYYY
YY
ABR
+−
=+−
=+−
=≡ζζ
, (61)
sendo 1S e 2S as secções transversais dos tubos na secção 1 e na secção 2, respectivamente.
32
Perante os resultados anteriores, para uma contracção súbita ( )12 SS > , 2R tem um valor entre 0 e
1 e, para uma expansão súbita ( )12 SS < , 2R terá um valor entre -1 e 0.
Em termos de potências aplicam-se as seguintes expressões para
a) Potência incidente: ( )20
22
2 YA
Wi ρ= ; (62)
b) Potência transmitida: ( )10
21
2 YA
Wt ρ= ; e (63)
c) Potência reflectida: ( )20
22
2 YB
Wr ρ= . (64)
O fluxo de energia no tubo a montante é então calculado por:
20
22
22
2 2 Y
BAWWW ri ρ
−=−= (65)
e, no tubo a jusante é (assumindo-se 01 =B , ou seja, topo anecóico)
20
21
1 2 Y
AWW t ρ
== . (66)
Utilizando as equações (58) e (59), verifica-se que através de qualquer descontinuidade de área
12 WW = . (67)
Este resultado indica que, num estado estacionário, uma simples mudança de secção de um tubo não
resulta em qualquer perda de potência acústica, mas reflecte uma quantidade substancial da potência
incidente de volta para a fonte, criando uma descontinuidade de impedâncias características. Assim
sendo, descontinuidades de área são elementos reflectivos e constituem as bases elementares de
silenciadores reflectivos.
A perda de transmissão é obtida por:
( )
12
212
22 4
log101
1log10log10log10SSSS
RWWW
WW
TLri
i
t
i +=
−=
−== . (68)
Assim, a perda de transmissão para uma contracção súbita é a mesma que para uma expansão
súbita para a mesma relação de áreas.
33
2.3.3 Atenuação em Silenciadores com uma Câmara de Expansão
Na figura seguinte representa-se, esquematicamente, um silenciador de uma câmara de expansão de
comprimento el e secção 2S , com tubos de entrada e saída de iguais secções 1S .
3 421 S2 S1S1
le
Figura 4 – Geometria de silenciador cilíndrico de uma câmara de expansão.
Omitindo-se as constantes de tempo, as equações de continuidade de pressão e caudal volúmico na
transição de diâmetros onde ocorre expansão podem ser escritas como:
2211 BABA +=+ , (69)
( ) ( )222111 BASBAS −=− , (70)
ou, recorrendo à relação de áreas 1
2
SSm = ,
( )2211 BAmBA −=− . (71)
De igual modo, na transição de diâmetros onde ocorre a contracção, as expressões são:
322 AeBeA ee jkljkl =+− , (72)
( ) 322 AeBeAm ee jkljkl =−− . (73)
Se as equações (69) a (73) forem resolvidas em simultâneo para a razão 3
1
AA
, o resultado é
( ) ( )
( )⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
e
ee
klsinm
mAA
klsinm
miklcosAA
22
3
1
3
1
1411
121
, (74)
e a perda de transmissão é dada por:
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+= ekl
mmTL 2
2
10 sin1411log10 . (75)
34
O resultado da equação (75) é uma referência teórica para a verificação e validação de resultados,
quer obtidos experimentalmente, quer obtidos numericamente recorrendo a modelos de elementos
finitos.
2.4. Método dos Elementos Finitos
No item 2.2 apresentaram-se as equações de quantidade de movimento de Navier-Stokes (11) a (13)
e a equação de continuidade (14) bem como as aproximações adoptadas por Kinsler et al [20] que
combinadas permitiram obter a equação de onda acústica.
Definindo-se ( ) { } ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
∂∂
∂∂
==∇zyx
L. T , a equação (15) escreve-se em notação matricial da
seguinte forma:
{ } { }( ) 012
2
2 =−∂∂ PLL
tP
cT . (76)
As matrizes dos elementos são então obtidas discretizando a equação (76) utilizando o método de
Galerkin (ver descrição do método, por exemplo, em [28]). Multiplicando a equação por uma variação
virtual de pressão e integrando-a em torno do seu domínio de volume, após alguma manipulação
obtém-se:
( ) { }( ) { }( ) ( ) { } { }( ) ( )SdPLPnvoldPLPLvoldtPP
c vol S
TT
volδδδ ∫ ∫∫ =+
∂∂
2
2
2
1, (77)
onde vol é o volume do domínio; Pδ é uma variação virtual de pressão ( )( )t,z,y,xPδ ; S é a
superfície onde se aplica a derivada normal à superfície (condição de fronteira natural) e { }n é o
vector unitário normal à superfície S .
Nos problemas de interacção fluido-estrutura, a superfície S é tratada como sendo a interface. Para
as aproximações de simplificação feitas, as equações de momento do fluido produzem a seguinte
relação entre o gradiente de pressão normal e aceleração normal à estrutura na interface fluido-
estrutura S :
{ }{ } { } { }2
2
0 tu.nP.n
∂∂
−=∇ ρ . (78)
Na notação matricial a equação (78) é dada por:
{ } { }( ) { } { }⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−= ut
.nPL.n TT2
2
0ρ . (79)
Substituindo a equação (79) em (77), o integral é dado por:
( ) { }( ) { }( ) ( ) { } { } ( )Sdut
nPvoldPLPLvoldtPP
cT
vol S
T
vol ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−=+∂∂
∫ ∫∫ 2
2
02
2
2
1 δρδδ , (80)
35
Para descrever o problema de interacção fluido-estrutura, o carregamento correspondente à pressão
do fluido a actuar na face da estrutura, prF , é adicionado à equação de dinâmica estrutura
discretizada:
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } { }pre
aeeeeeee FFuKuCuM +=++ &&& . (81)
onde [ ]M é a matriz de massas estrutural; [ ]C é a matriz de amortecimento estrutural; [ ]K é a matriz
de rigidez estrutural; { }u&& é o vector de aceleração nodal; { }u& é o vector de velocidade nodal; { }u é o
vector de deslocamentos nodais e{ }aF o vector de forças aplicadas. O vector de pressão do fluido
{ }preF na interface S é obtido integrando a pressão ao longo da área da superfície:
{ } { } { } ( )SdnP'NFS
pre ∫= , (82)
onde { }'N são as funções de forma dos elementos finitos utilizados para discretizar os domínios e
interpolar neles as componentes do deslocamento u , v e w (obtidas a partir do elemento estrutural)
e { }n é a normal à fronteira do fluido.
Substituindo em (82) a função de aproximação de elemento finito para pressão, e substituindo-a na
equação (80) vem, finalmente, a equação dinâmica da estrutura:
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }eeeeeeeee FPRuKuCuM =−++ &&& . (83)
Ou evidenciando os acoplamentos tem-se:
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡f
S
f
FSIS
P
u
fFSI
S
FF
pu
KKK
p
uC
C
p
uMM
M00
00.
.
..
..
. (84)
O método dos elementos finitos, MEF (em inglês Finite Element Method, FEM), tem provado ser uma
técnica numérica para o estudo de silenciadores de geometrias complexas. Ainda que este método
seja aplicável a qualquer configuração de silenciador, quando as formas deste se tornam complexas,
o MEF requer um grande número de nós e elementos. Isto resulta numa lenta e demorada
preparação de dados e computação. Para lidar com esta limitação, alguns investigadores têm
sugerido elementos finitos não convencionais, tais como, por exemplo, elementos finitos espectrais,
que se consideram fora do âmbito deste trabalho.
Ainda que existam máquinas computacionais de grande velocidade de processamento de cálculo e
capacidade de armazenagem de dados, o uso do MEF para projecto de silenciadores está restringido
a pessoal treinado e é comercialmente oneroso, em particular para avaliações preliminares de
projecto. A maioria dos fabricantes de silenciadores são pequenas ou médias empresas com
limitados recursos. Deste modo os fabricantes requerem rápidos e baratos métodos para o
anteprojecto de silenciadores pelo que deve ser bem ponderado o uso do MEF.
Embora fora do âmbito desta tese, para algumas configurações poderão definir-se princípios simples
de projecto baseados no MEF mas que dispensem o mesmo.
36
2.5. Elementos Finitos para a Análise Acústica
Neste item são apresentados os elementos finitos que se utilizam nesta dissertação. São utilizados
elementos finitos isoparamétricos bidimensionais quadrangulares de 4 nós e tridimensionais
hexaédricos de 8 nós, com e sem acoplamentos fluido-estrutura. Os elementos finitos utilizados foram
seleccionados entre os disponíveis no programa comercial de elementos finitos ANSYS (versão 10.0)
tendo sido utilizados os seguintes elementos finitos: o FLUID29, FLUID30, SHELL63 e o SOLID45 do
ANSYS.
De seguida apresenta-se uma breve descrição destes elementos finitos utilizados, podendo consultar-
se os detalhes da formulação utilizada na referência [28].
O elemento FLUID29, cuja geometria é apresentada na Figura 5, é utilizado para modelar o meio
fluídico e a interface em problemas com e sem interacção fluido/estrutura. Algumas aplicações típicas
incluem e propagação de ondas sonoras e a dinâmica de estruturas submergidas. A equação de
onda bidimensional foi discretizada tendo em conta o acoplamento de pressões sonoras e movimento
estrutural na interface. O elemento tem quatro nós com três graus de liberdade em cada canto:
translações nas direcções nodais x e y e pressão. As translações, contudo, são aplicáveis apenas
aos nós que se encontram na interface.
O elemento tem capacidade para incluir amortecimento de materiais com absorção de som na
interface; pode ser usado com elementos estruturais de duas dimensões para realizar métodos de
análise modal amortecida ou assimétrica, respostas estáticas, harmónicas e respostas transientes.
[28].
Figura 5 – Geometria do elemento FLUID29.
O elemento FLUID30, cuja geometria é apresentada na Figura 6, é semelhante ao elemento
FLUID29, mas formulado para análises tridimensionais. O elemento tem oito nós em cada canto,
cada um deles com quatro graus de liberdade: translações nas direcções nodais x, y, z e pressão,
contudo, à semelhança do elemento FLUID29, as translações aplicam-se apenas aos nós da
interface fluido/estrutura.
37
Figura 6 – Geometria do elemento FLUID30.
O elemento SHELL63, cuja geometria é apresentada na Figura 7, é um elemento adequado para o
estudo de estruturas lineares tipo casca, de espessura moderada. Tem capacidades de flexão e
membrana; permite que sejam aplicadas cargas no seu plano ou normais ao mesmo. O elemento
possui quatro nós, um em cada canto, com seis graus de liberdade cada: translações nas direcções
nodais x, y e z, e rotações em torno dos mesmos eixos. O elemento tem capacidade para encruar e
para responder a grandes deflexões [28].
Figura 7 – Geometria do elemento SHELL63.
O elemento SOLID45, cuja geometria é apresentada na Figura 8, é utilizado na modelação de
estruturas sólidas tridimensionais. O elemento é definido por oito nós, tendo três graus de liberdade
em cada um: translações nos eixos nodais x, y e z. O elemento possui capacidades de análise para
elasticidade, plasticidade, geração de fendas, encruamento e grandes deflexões e extensões [28].
Figura 8 – Geometria do elemento SOLID45.
38
3. Caracterização da Propagação de uma Onda Sonora Plana num Tubo Cilíndrico
Neste capítulo, avalia-se de forma breve o comportamento do método dos elementos finitos no
estudo da propagação de uma onda sonora num tubo cilíndrico Ø40mmx500mm, comparando os
resultados numéricos com os obtidos pela teoria de onda plana. Apresentam-se resultados para dois
modelos de tubos cilíndricos uniformes, um com o topo a montante completamente rígido (reflectindo
todas as ondas sonoras incidentes) e outro com o topo a montante anecóico (absorvendo todas as
ondas sonoras incidentes).
Para a frequência de 1500Hz, e para uma velocidade de propagação do som de 344m/s, obtém-se a
distribuição teórica de pressão sonora ao longo da direcção de propagação representada na Figura 9,
para [ ]500 .,z∈ (vd. anexo 8.1).
Figura 9 – Distribuição teórica da pressão sonora para uma frequência de 1500Hz e reflexão total.
No modelo de elementos finitos (vd. Figura 10 a)) foi omitido o acoplamento do fluido (modelado com
elementos FLUID30) à casca cilíndrica, mas impôs-se, no topo em lz = , uma tampa de aço com
4mm de espessura (modelada com elementos tetraédricos SOLID45), possibilitando a activação de
uma flag para criar uma interface fluido-estrutura e, assim, obterem-se diferentes condições de
fronteira. No modelo foi imposta uma onda sonora plana de 1Pa no topo em 0=z .
A malha do modelo foi totalmente construída com elementos hexaédricos para controlo paramétrico
de toda a malha, evitando excessivas distorções dos elementos (vd. Figura 10 b)), tendo-se corrido o
modelo com 80 elementos por comprimento de onda.
39
a) b)
Figura 10 – Representação do modelo de elementos finitos do tubo e do topo de aço (a vermelho), a), e malha de elementos
finitos de sólido e fluido do modelo numérico, b).
Na Figura 11 apresenta-se a comparação dos resultados teóricos e numéricos, da distribuição da
pressão sonora, e calcula-se o erro relativo.
Figura 11 – Comparação de resultados teóricos (a vermelho) e numéricos (linha interrompida a preto) de pressão sonora para
modelo com reflexão total, e respectivo erro relativo (a verde - eixo secundário à direita).
Analisando-se a sobreposição das curvas e os resultados do erro relativo da Figura 11 constata-se
que a aproximação dos resultados numéricos aos teóricos é boa. No entanto, quando a pressão
sonora é aproximadamente 0Pa, o erro relativo cresce fortemente como já era previsível. Verifica-se
que, excluindo-se os pontos em tornos dos quais a pressão é nula, obtém-se globalmente um erro
relativo inferior a 5%.
O comportamento periódico ascendente da curva do erro relativo poderá estar associado a pequenos
desfasamentos nos pontos do cálculo da pressão entre os resultados teóricos e numéricos, sendo
que o pico do erro está directamente relacionado a problemas numéricos.
40
Figura 12 – Resultados numéricos da distribuição da pressão sonora ao longo do tubo para o modelo com reflexão total e 80
elementos por comprimento de onda (valores em Pa).
Outro aspecto digno de referência é a não verificação da afirmação generalizada de que normalmente
um número de elementos finitos por comprimento de onda considerado aceitável na análise de
fenómenos oscilatórios por modelos de elementos finitos é 12! Para o estudo em análise, esse
número ainda produz erros relativos elevados, como se pode ver na Figura 13. Observe-se que
mesmo não considerando as vizinhanças dos pontos onde 0=P , ainda assim têm-se desvios
superiores a 20%.
Figura 13 – Comparação de resultados teóricos (a vermelho) e numéricos (linha interrompida a preto) de pressão sonora para
modelo com reflexão total (com 12 elementos por comprimento de onda) e respectivo erro relativo (a verde - eixo secundário à
direita).
Para estudos da atenuação sonora em intervalos de frequência com largura considerável, há que
tomar um compromisso entre qualidade dos resultados e rapidez no método de cálculo, porque para
41
manter o mesmo número de elementos por comprimento de onda, há que construir um novo modelo
sempre que se altera o valor da frequência.
Outra alternativa seria fazer os cálculos sempre com o maior número de elementos finitos necessário,
o que em geral é computacionalmente pesado e desnecessário.
Figura 14 – Comparação de resultados teóricos (a vermelho) e numéricos (linha interrompida a preto) de pressão sonora para
modelo com reflexão total (com 36 elementos por comprimento de onda) e respectivo erro relativo (a verde - eixo secundário à
direita).
Permitindo no máximo um erro relativo de 10%, não considerando os valores numéricos na
vizinhança dos valores de pressão sonora próximos de 0Pa, chega-se à conclusão que é necessário
um número de 36 elementos por comprimento de onda (vd. Figura 14).
Figura 15 – Distribuição teórica da pressão sonora para uma frequência de 1500Hz e absorção total.
42
Alterando agora o modelo para topo anecóico, obtém-se a distribuição teórica de pressão sonora da
Figura 15, e obtêm-se os resultados e respectiva representação gráfica da Figura 16 e da Figura 17,
respectivamente.
Figura 16 – Comparação de resultados teóricos (a vermelho) e numéricos (linha interrompida a preto) de pressão sonora para
modelo com absorção total (com 36 elementos por comprimento de onda) e respectivo erro relativo (a verde - eixo secundário
à direita).
Figura 17 – Resultados numéricos da distribuição da pressão sonora ao longo do tubo para o modelo com topo anecóico e 80
elementos por comprimento de onda (valores em Pa).
Tendo o tubo um topo anecóico, seria de esperar que o valor máximo de pressão sonora obtido ao
longo de todo o tubo nunca ultrapassasse o valor máximo imposto (1Pa), nem o seu simétrico,
oscilando em torno de um valor nulo. Esse comportamento verifica-se na Figura 15 e Figura 16.
Tal como no modelo anterior evidencia-se um bom comportamento do modelo numérico quando
comparado com os resultados teóricos, contudo, constata-se que o erro relativo é mais significativo
43
que no modelo anterior, quando utilizado o mesmo número de elementos por comprimento de onda
(vd. Figura 14 e Figura 16). Tal deve-se ao facto de neste modelo a gama de pressões ser inferior,
Ao não existir a sobreposição da onda reflectida, a amplitude de pressão é menor, sentindo-se mais o
efeito dos valores próximos de 0 aquando do cálculo do erro relativo.
Representando novamente os resultados da Figura 16, mas excluindo os valores na vizinhança de
0Pa, obtêm-se os valores apresentados na Figura 18.
Figura 18 – Comparação de resultados teóricos (a vermelho) e numéricos (linha interrompida a preto) de pressão sonora para
modelo com absorção total (com 36 elementos por comprimento de onda) e respectivo erro relativo excluindo os valores na
vizinhança de p=0 (a verde - eixo secundário à direita).
Os resultados evidenciam uma boa concordância entre os resultados teóricos e os numéricos,
obtendo-se erros relativos inferiores a 10%, quando desprezados os valores na vizinhança de 0Pa.
Verifica-se que os modelos de elementos finitos deverão ser resolvidos para as máximas pressões
sonoras previstas, com um número mínimo de 36 elementos por comprimento de onda, para este tipo
de problemas.
44
4. Caracterização Acústica de Filtros Periódicos
Neste capítulo é caracterizada a propagação de ondas sonoras através do meio envolvente a um
conjunto de cilindros metálicos periodicamente espaçados, considerando diferentes configurações e
fracções volúmicas, modelos de elementos finitos a duas e a três dimensões, com e sem
acoplamento fluido-estrutura. Apresenta-se, no capítulo 4.3.1, o protótipo construído para os ensaios
experimentais, descreve-se a câmara de ensaios, o esquema de montagem do equipamento para o
ensaio e comparam-se os resultados obtidos experimentalmente com os obtidos na bibliografia e
numericamente a duas e três dimensões.
Para enquadrar a motivação para este estudo, referem-se trabalhos anteriores que foram relevantes.
Em 1998, Vasseur et al [3] estudou a transmissão de ondas acústicas através dum meio compósito
bidimensional, composto por inclusões de cilindros de duralumínio numa matriz de resina expoxídica.
Este artigo apresenta uma interessante exposição de resultados da transmissão sonora obtidos
experimentalmente, assim como a estrutura de banda teórica, para dois modelos com duas filas
periódicas de cilindros dispostos de forma quadrangular e em rede rectangular centrada. Em especial
apresenta uma previsão de frequências proibidas absolutas estendendo-se através das duas
primeiras zonas bidimensionais de Brillouin.
Em 1998, Sánchez-Pérez et al [14] apresentou uma análise experimental da transmissão acústica
através de filas periódicas de cilindros rígidos dispostos ao ar em duas configurações geométricas
bidimensionais diferentes: em malha quadrangular e em malha triangular (vd. Figura 23). Em ambas
as configurações, e acima de uma determinada razão volúmica de ocupação dos cilindros, observa-
se uma sobreposição na gama de frequências audíveis, entre os picos medidos ao longo de duas
direcções de alta simetria da zona de Brillouin. Este efeito é considerado como uma impressão digital
da existência de lacunas acústicas.
Em 1999, Rubio et al [26] determinou teórica e experimentalmente estruturas de bandas sonoras de
filas bidimensionais de cilindros rígidos ao ar. Foram apresentadas medições para disposições em
rede quadrangular e triangular. Foi utilizado um método variacional para calcular a relação da
dispersão acústica. Experimentalmente, uma técnica de transmissão e a análise do atraso de fase
entre a onda incidente e a onda difundida pela estrutura são usados para construir as bandas
acústicas. A comparação entre os resultados teóricos e experimentais permite caracterizar
completamente as bandas de frequências proibidas e demonstrou a existência de bandas surdas, ou
seja, bandas que não podem ser excitadas devido a razões de simetria. Para o caso da disposição
em rede quadrangular, demonstra-se que uma estrutura com uma fracção de ocupação dos cilindros
de 0.41 possui uma completa lacuna acústica.
Em 2004, Barbarosie e Neves [12] utilizaram uma ferramenta numérica cuja metodologia de análise
de propagação de ondas acústicas/elásticas é baseada na teoria de ondas de Bloch e no método dos
elementos finitos. No artigo foram apresentados resultados para diferentes tipos de células
periódicas. Estes ilustram a influência da distribuição de material no interior do elemento repetitivo na
45
obtenção de uma maior ou menor largura de banda de frequências nas quais fica impossibilitada a
propagação de ondas ao longo da estrutura repetitiva.
Em 2007, Cartaxo et al [27] utilizou técnicas de ondas de Bloch para caracterizar a resposta de
sólidos periódicos infinitos à propagação de ondas, assim como à estabilidade elástica e aos
fenómenos de vibração livre. É feita uma breve referência à técnica de ondas de Bloch para a
investigação das propriedades de estruturas repetitivas infinitas. É utilizado um modelo de elementos
finitos para caracterizar o comportamento de estruturas finitas em função do seu número finito de
repetição de células base. Os resultados incluem, para a propagação de ondas, um exemplo da
atenuação acústica obtida na propagação de ondas sonoras através de várias filas de cilindros
metálicos e, no caso da estabilidade elástica e das vibrações livres, uma comparação entre vários
painéis periódicos.
É neste contexto que se desenvolve o estudo cujos resultados se apresentam de seguida.
4.1. Conduta Bidimensional
Sánchez-Pérez et al [14] estudou experimentalmente a propagação em meios com um número finito
de elementos cilíndricos (entre 100 a 500). Os resultados obtidos mostram que a localização do pico
de atenuação é independente do número de elementos, enquanto a atenuação continua a aumentar
com o aumento do número de cilindros. Tendo por objectivo construir um modelo de uma conduta em
elementos finitos com um grupo de cilindros a trabalhar como filtro, interessa perceber para que
número de cilindros os resultados obtidos se aproximam dos resultados publicados em [14].
O modelo bidimensional desenvolvido é composto por filas de cilindros de aço de 40mm de diâmetro,
de espessura 2mm, com um espaçamento entre centros de 110mm, obtendo-se uma fracção
volúmica de ocupação dos cilindros de 0.104 (note-se que na bibliografia é documentado que nem o
material dos cilindros, nem o facto destes serem ou não ocos, influencia a atenuação), vd. Figura 21.
Os cilindros são encastrados em ambos os topos e os graus de liberdade dos elementos de ar que
não se encontram em contacto com a estrutura são igualados a zero. Na face dos elementos de ar
em contacto com a estrutura dos cilindros é (opcional) activada uma flag de interface fluido-estrutura.
É imposta uma onda plana de 1 Pa no topo esquerdo da conduta. No topo oposto é imposta absorção
sonora total (topo anecóico, MU=1). Para a definição do meio são necessários dois inputs: a
velocidade de propagação do som no meio (igual a 344m/s) e a pressão sonora de referência (20
µPa, limite inferior da audição humana). Quer antes, quer depois das filas de cilindros, modela-se a
conduta com comprimentos suficientemente grandes de forma a permitir que, no mínimo, se
desenvolva um comprimento de onda.
O modelo foi elaborado com elementos FLUID29 para o fluido de propagação e elementos SHELL63
para os cilindros, tendo sido feito um estudo da atenuação em função do número de filas de cilindros
a 1560Hz, para encontrar o número de filas de cilindros que permite uma comparação com os
resultados de Sánchez-Pérez et al [14]. Esta frequência justifica-se por ser em torno da qual se
verifica o pico máximo de atenuação (em torno dos 20dB [14]). De acordo com a comparação dos
46
perfis de pressão sonora obtidos analítica e numericamente, os modelos aqui apresentados têm, no
mínimo, 36 elementos por comprimento de onda, a que corresponde uma malha do tipo da Figura 19.
Figura 19 – Pormenor da malha de elementos finitos no contorno dos cilindros.
Figura 20 – Variação da atenuação sonora em função do número de filas de cilindros para 1560Hz (em dB).
Na Figura 20 apresentam-se os resultados da atenuação sonora em função do número de filas de
cilindros. Tal como referido na bibliografia, verifica-se que a atenuação aumenta continuamente com
o aumento do número de cilindros. Uma atenuação de 20dB é obtida para conjuntos de 6 filas de
cilindros (vd. Figura 21).
47
Figura 21 – Distribuição da pressão sonora a 1560Hz (em dB).
O modelo da Figura 21 foi testado na gama de frequências ensaiadas por Sánchez-Pérez et al, com
um incremento de frequência de 10Hz. Os resultados obtidos encontram-se na Figura 22.
Numericamente verifica-se uma gama de frequências com significativa atenuação entre os 1250Hz e
os 1750Hz, tal com previsto quer analiticamente, quer experimentalmente.
Figura 22 – Atenuação sonora obtida para uma conduta com 6 filas de cilindros; a preto os resultados obtidos por Sánchez-
Pérez et al e a vermelho os resultados obtidos pelo modelo bidimensional de elementos finitos. Na figura interior apresenta-se
uma comparação entre os resultados teóricos e experimentais da largura de banda de frequências atenuadas, variando com a
fracção volúmica de ocupação dos cilindros, obtidos por Sánchez-Pérez et al.
Ate
nuaç
ão S
onor
a (d
B)
Frequência (Hz)
48
O procedimento anterior foi repetido para diferentes fracções volúmicas ocupadas pelos cilindros,
assim como para uma disposição triangular (vd. Figura 23).
Os resultados mostram que se obtêm maiores atenuações para disposições quadrangulares, que as
atenuações aumentam com o aumento da fracção volúmica ocupada pelos cilindros e, ainda, que
esse aumento altera a posição da banda de frequências com significativas atenuações, atenuando,
preferencialmente, mais altas frequências (ver Figura 24 e Figura 25).
0.5a
aa
a
a) b)
Figura 23 – Representação da disposição quadrangular dos cilindros, a), e representação da disposição triangular dos
cilindros, b).
Figura 24 – Atenuação sonora obtida para uma conduta com 6 filas de cilindros dispostos de forma quadrangular, para
diferentes fracções volúmicas ocupadas pelos cilindros.
0.104 0.18
0.36
0.56
49
Figura 25 – Atenuação sonora obtida para uma conduta com 6 filas de cilindros dispostos de forma triangular, para diferentes
fracções volúmicas ocupadas pelos cilindros.
Perante os resultados obtidos, evoluiu-se naturalmente para o estudo de modelos de elementos
finitos tridimensionais, para estudar o efeito da terceira dimensão no fenómeno de atenuação
detectado.
4.2. Conduta Tridimensional
O modelo de conduta tridimensional de elementos finitos foi desenvolvido à semelhança do modelo
bidimensional do capítulo 4.1. (i. e., filas de cilindros de 40mm de diâmetro, 2mm de espessura,
espaçamento entre centros de 110mm, obtendo-se uma fracção volúmica de 0.104), sendo a terceira
dimensão de 500mm. O elemento utilizado na modelação do fluido foi o FLUID30 e para a modelação
dos cilindros o elementos SOLID45. Tantos os carregamentos como as condições de fronteira foram
mantidos.
Em Cartaxo e Neves [25] concluiu-se que considerar ou não o acoplamento fluido/estrutura a 2D não
alterava os resultados da distribuição da pressão sonora (veremos que a 3D já altera) nos modelos
de elementos finitos, pelo que o modelo tridimensional foi inicialmente estudado considerando apenas
furos no local dos cilindros (fronteira rígida, já que os nós estão impedido de se deslocarem), em vez
de cilindros e respectivo acoplamento fluido/estrutura.
Sujeitando o modelo de elementos finitos (sem acoplamento fluido/estrutura) a uma frequência de
1500Hz (sensivelmente a meio da banda de frequências atenuadas), verifica-se que a onda sonora
se mantém plana e obtém-se uma atenuação de aproximadamente 20dB (ver Figura 26), tal como a
2D.
0.18
0.360.56
50
Figura 26 – Distribuição da pressão sonora (dB) numa conduta tridimensional com furos de ar a simular a presença de
cilindros. Resultados obtidos para uma frequência de 1500Hz e fracção volúmica de ocupação dos furos de ar de 0.104.
Modelando-se o acoplamento fluido/estrutura, encastrando-se um dos topos dos cilindros, deixando o
outro livre, e sujeitando o modelo à mesma frequência, observa-se uma distribuição irregular da
pressão sonora (vd. Figura 27), contudo, ao reduzir-se sistematicamente o comprimento livre dos
cilindros, verifica-se que a onda sonora tende a manter-se plana, à semelhança dos resultados
obtidos a duas dimensões (vd. Figura 28 e Figura 29).
Estes resultados, obtidos com acoplamento, sugerem que a falta de rigidez dos cilindros influencia
grandemente a distribuição sonora a jusante. Pôde observar-se que os modos de vibração e
respectivas frequências apresentam frequências naturais próximas dos limites da gama de
frequências atenuadas (1153 Hz, vd. Figura 30, e 1795 Hz, vd. Figura 31).
Figura 27 – Distribuição irregular da pressão sonora (dB) numa conduta tridimensional, com cilindros encastrados num dos
topos. Resultados obtidos para uma frequência de 1500Hz e fracção volúmica de ocupação de 0.104.
51
Figura 28 – Distribuição da pressão sonora (dB) numa conduta tridimensional, com cilindros de alumínio de Ø40X250mm
encastrados num dos topos. Resultados obtidos para uma frequência de 1500Hz e fracção volúmica de ocupação de 0.104.
Figura 29 – Distribuição da pressão sonora (dB) numa conduta tridimensional, com cilindros de alumínio de Ø40X125mm
encastrados num dos topos. Resultados obtidos para uma frequência de 1500Hz e fracção volúmica de ocupação de 0.104.
Figura 30 – Modo de vibração a 1153Hz do cilindro de alumínio de Ø40X500mm encastrado num dos topos.
52
Figura 31 – Modo de vibração a 1795Hz do cilindro de alumínio de Ø40X500mm encastrado num dos topos.
Figura 32 – Distribuição da pressão sonora (dB) numa conduta tridimensional, com cilindros de alumínio de Ø40X125mm
encastrados em ambos os topos. Resultados obtidos para uma frequência de 1500Hz e fracção volúmica de ocupação de
0.104.
No modelo da Figura 27 foi modificado ao encastraram-se ambos os topos dos cilindros e repetiu-se
a análise, obtendo-se os resultados da Figura 32. Sujeitando o mesmo modelo a um intervalo de
frequência entre os 1000Hz e os 2000Hz, comparando os resultados com os obtidos para o modelo
bidimensional e com os resultados de Sánchez-Pérez et al [14], obtém-se a Figura 33. Verifica-se
uma concordância entre os resultados obtidos numericamente quer pelo modelo bidimensional, quer
pelo modelo tridimensional após a fixação de ambos os topos dos tubos, e destes com os resultados
experimentais de Sánchez-Pérez et al [14].
53
Figura 33 – Atenuação sonora obtida para uma conduta com 6 filas de cilindros; a preto os resultados obtidos
experimentalmente por Sánchez-Pérez et al, a vermelho os resultados obtidos pelo modelo bidimensional de elementos finitos
e a verde os resultados obtidos pelo modelo tridimensional de elementos finitos.
De seguida apresenta-se uma verificação experimental deste modelo.
4.3. Ensaios Experimentais
No seguimento do estudo da atenuação da pressão sonora com modelos de elementos finitos
bidimensionais e tridimensionais, foram realizados ensaios experimentais com os seguintes
objectivos:
a) Criar um modelo (protótipo) que se aproxime do modelo numérico com 6 filas de cilindros
dispostos em malha quadrangular;
b) Confirmar os aspectos construtivos face ao modelo numérico, nomeadamente condições de
fronteira, tipos de fixação dos tubos e suspensão do protótipo;
c) Validar os resultados de atenuação da pressão sonora obtidos com modelos de elementos
finitos;
d) Validar os resultados obtidos para os campos sonoros.
Apresenta-se, de seguida, uma breve descrição do modelo construído para os ensaios experimentais.
4.3.1 O Modelo
O modelo desenvolvido consiste em 6 filas de 5 tubos cilíndricos de aço de Ø40mmx500mm e 2mm
de espessura, com duas chapas furadas ao centro, soldadas interiormente em cada topo, para a
passagem de um varão cilíndrico com pontas roscadas M10, dispostos em malha quadrangular. Para
Ate
nuaç
ão S
onor
a (d
B)
Frequência (Hz)
54
a correcta localização dos cilindros, furaram-se duas chapas metálicas 660mmx550mmx1.5mm,
estando os centros dos furos dispostos em malha quadrangular distanciados 110 mm. Os cilindros
são mantidos na posição correcta atravessando as chapas de suporte e os cilindros pelos varões
roscados, apertando-os com anilha cilíndrica e porca M10 (ver Figura 34 e Figura 35).
a) b)
Figura 34 – Cilindro de aço com chapas interiores furadas ao centro, atravessado por varão cilíndrico de pontas roscadas, a), e
modelo do protótipo com tubos apertados às chapas de suporte através de anilha e porca b).
Figura 35 – Modelo pronto para ensaios.
De seguida faz-se uma breve introdução sobre as condições no local de ensaio.
4.3.2 A Câmara de Ensaios
Os ensaios experimentais foram realizados na câmara anecóica do CAPS, situada no edifício do
Complexo Interdisciplinar do Instituto Superior Técnico. A câmara é uma estrutura paralelepipédica de
betão, de espessura aproximada 32cm, cujo interior, de dimensões aproximadas 7.0mx5.5mx5.5m,
se encontra dividido por uma rede paralela à base da câmara, a uma cota de 1.85m, permitindo a
montagem de protótipos 1m acima do isolamento (vd. Figura 36).
55
a) b)
Figura 36 – Vista geral da câmara anecóica, a), e vista inferior da câmara, abaixo da rede de suporte, b).
A câmara encontra-se isolada do edifício, quer de vibrações mecânicas (estando assente em apoios
elásticos montados num fixe independente do edifício), quer de vibrações acústicas, encontrando-se
o exterior da câmara revestido com lã de rocha (Figura 37 a)). O isolamento acústico interior é
realizado por cunhas de lã de vidro; o isolamento inferior pode ser removido, obtendo-se uma câmara
semi-anecóica, em condições semelhantes às encontradas na indústria, em que o ruído se reflecte no
pavimento (Figura 37 b)).
a) b)
Figura 37 – Apoio elástico da câmara montado num fixe independente do edifício e revestimento exterior de lã de rocha, a), e
revestimento inferior da câmara montado em carrinhos de suporte removíveis, b).
56
4.3.3 Esquema de Montagem do Equipamento
A montagem utilizada nos ensaios experimentais é a apresentada esquematicamente na Figura 38.
Amplificador 1
Microfone 2 Microfone 1
Pré-amplificador 1
Fonte sonora
Geradorde Sinais
OsciloscópioCanal 1
Canal 2
Pré-amplificador 2
Amplificador 2
Figura 38 – Esquema de montagem do equipamento utilizado nos ensaios na câmara anecóica.
Uma descrição mais detalhada do equipamento utilizado nos ensaios experimentais, os
procedimentos de calibração, leitura de resultados e a manipulação dos mesmos podem ser
consultados na referência [29].
4.3.4 Ensaio com Protótipo Suspenso
Com o objectivo de isolar o protótipo de interferências provocadas pela rede da câmara anecóica, o
memo foi suspenso ao tecto da câmara por meio de cordas e isolou-se a área inferior ao protótipo
com uma manta de lã de vidro (Figura 39).
Figura 39 – Protótipo suspenso ao tecto da câmara anecóica.
Entre o altifalante e o microfone anterior ao protótipo foi deixada uma distância de 350mm, permitindo
o desenvolvimento de pelo menos um comprimento de onda para a frequência mais baixa (a 1000Hz
obtém-se um comprimento de onda de 0.34m). Percorrendo-se a gama de frequências de 1000 Hz a
2000 Hz, com um incremento de 50Hz e sinais de 5V, obtiveram-se os resultados da Figura 40.
57
Figura 40 – Comparação dos resultados experimentais obtidos para o protótipo suspenso (a azul) com os resultados numéricos
e de Sánchez-Pérez et al (Figura 33).
Dos resultados obtidos verifica-se a existência de uma gama de frequências com atenuação
significativa dentro do intervalo de frequências esperado, mas com atenuações superiores às obtidas
numericamente.
Durante os ensaios verificaram-se oscilações do protótipo, sugerindo que o mesmo é excitado pelas
ondas sonoras. Por esta razão decidiu-se realizar a análise modal que se apresenta a seguir.
4.3.5 Análise dos Modos de Vibração do Modelo
Detectando-se uma possível excitação do protótipo aquando da sua suspensão no tecto da câmara
anecóica, construiu-se um modelo deste em elementos finitos tipo SHELL63, com o objectivo de
calcular os seus modos próprios e as respectivas frequências de vibração.
Após a análise dos resultados modais do protótipo na gama de frequências do ensaio, verifica-se
existirem vários modos de vibração das chapas de suporte dos cilindros, factor que poderá justificar
alguma má qualidade dos resultados dos ensaios experimentais (ver Figura 41 a) e b)).
Ate
nuaç
ão S
onor
a (d
B)
Frequência (Hz)
58
a) b)
Figura 41 – Modo de vibração associado às chapas de suporte a 1388Hz, a), e modo de vibração associado às chapas de
suporte a 1426Hz, b).
Com o objectivo de impedir a oscilação do protótipo, os ensaios foram repetidos apoiando-o sobre a
rede da câmara anecóica.
4.3.6 Ensaio com Protótipo Apoiado Sobre a Rede
Para eliminar as oscilações do protótipo, este foi colocado sobre uma manta de lã de vidro, sendo
suportado pela rede da câmara anecóica (vd. Figura 42). Percorreu-se a gama de frequências entre
os 1000Hz e os 2000Hz, com um incremento de 25Hz, tendo-se obtido os resultados da Figura 43.
Figura 42 – Montagem do protótipo sob a rede a câmara anecóica.
Os resultados obtidos evidenciam a existência de uma banda de frequência com atenuações
significativas entre os 1250Hz e os 1750Hz, embora estes continuem a ser de pouca qualidade. De
forma geral obtêm-se atenuações acima do esperado nos resultados obtidos pelos dois microfones,
nomeadamente uma atenuação negativa a meio do intervalo de frequências em estudo,
imediatamente seguida pelo pico de atenuação próximo dos 30dB. Este comportamento poderá ser
justificado por diferentes capacidades de resposta dos microfones a diferentes frequências;
59
verificaram-se também algumas perdas de qualidade das leituras das medições associadas a perdas
e atrasos de sinal devidas aos cabos de ligação dos pré-amplificadores aos amplificadores.
Figura 43 – Resultados da atenuação sonora obtidos para protótipo apoiado na rede da câmara anecóica; a vermelho os
resultados obtidos com dois microfones e a verde os resultados obtidos com sonómetro.
Na gama de frequências dos ensaios não são previsíveis reflexões da onda sonora na manta de lã de
vidro, embora esse fenómeno possa ocorrer a mais baixas frequências. Também não foram
identificados problemas relacionados com a rede da câmara anecóica; já o mesmo não se poderá
dizer das paredes metálicas de fixação dos cilindros, onde existirão significativas reflexões de onda
sonora, alterando os valores esperados de atenuação.
Não tendo estes testes sido totalmente controlados, nem totalmente rigorosos, cujos objectivos foram
apenas a detecção da existência de uma gama de frequências atenuadas, os resultados obtidos
serão investigados em futuros ensaios.
4.3.7 Campo Sonoro
As caracterizações dos campos sonoros foram realizadas recorrendo a uma grelha de 20 pontos de
medição quer a jusante, quer a montante do modelo, de acordo com a Figura 44, com o objectivo de
se verificarem os resultados obtidos no capítulo 4.2.
As medições foram realizadas quer para o modelo com os cilindros apertados em ambos os topos,
quer para cilindros apertados apenas num dos topos, à frequência da 1625 Hz (vd. Figura 45). A
selecção desta frequência deveu-se ao facto de ser o valor para o qual se encontraram maiores
atenuações nos ensaios, diminuindo os erros relativos de leitura.
Ate
nuaç
ão S
onor
a (d
B)
Frequência (Hz)
60
4321
1
3
2
4
5
550φ4055 110
500
72,5 145
100
Figura 44 – Localização dos pontos de medição da pressão sonora para a caracterização de campos.
a) b)
Figura 45 – Protótipo montado para medição dos campos sonoros: cilindros apertados em ambos os topos, a), e cilindros
apertados apenas num topo, b).
1 2 3 4 1 2 3 4 5 9.5 20.0 20.5 10.5 5 8.5 16.5 15.5 9.5 4 19.0 21.0 19.5 16.5 4 14.0 24.0 24.5 14.5 3 12.0 13.0 13.0 12.5 3 13.0 19.5 16.0 14.0 2 11.0 18.5 19.5 14.5 2 9.0 14.0 11.0 11.0 1 7.0 9.0 13.0 5.5 1 10.0 16.0 9.0 9.0
a) b)
Tabela 1 – Resultados da atenuação sonora obtidos para modelo com cilindros apertados em ambos os topos, a), e apertados
apenas num dos topos, b), em dB.
Os resultados dos ensaios encontram-se na Tabela 1 a) e b). Seria de esperar que, para o caso do
modelo com os cilindros apertados em ambos os topos, a atenuação fosse constante para todos os
pontos. Tal facto não se verificou devido, a priori, a alguns erros construtivos do protótipo, assim
como a algumas dificuldades com o equipamento experimental, anteriormente mencionado. Perante
estes resultados foram sugeridas algumas modificações ao protótipo que se apresentam a seguir.
61
4.3. Modificações aos Ensaios Experimentais
Os resultados dos itens anteriores evidenciam problemas de ruído associados à excitação de modos
de vibração das chapas metálica na gama de frequências ensaiadas. O objectivo da colocação das
chapas metálicas foi o de fixar correctamente os cilindros no espaço e aumentar a rigidez dos
mesmos, contudo, verifica-se que as mesmas podem ser uma fonte de ruído nas frequências do
ensaio.
Perante estes resultados foram feitas duas mudanças ao modelo de ensaios (vd. Figura 46):
a) Substituição das chapas metálicas por chapas de aglomerado de madeira;
b) Isolamento dos topos dos tubos com folha de cortiça.
As modificações feitas ao modelo têm os seguintes objectivos:
a) Manter uma rigidez dos tubos semelhante à obtida com as chapas de aço;
b) Atenuar a reverberação associada aos modos de vibração das chapas de aço;
c) Isolar os topos dos tubos.
Figura 46 – Protótipo de ensaios laboratoriais, após as modificações propostas.
Não foi possível até à data da escrita final deste documento realizar a repetição dos ensaios
anteriormente realizados. Estes estão previstos para breve recorrendo a um equipamento digital para
processamento leitura e processamento de dados, sendo a captação das ondas sonoras realizada
por dois microfones.
62
5. Caracterização Acústica de Silenciadores
Neste Capítulo é estudada a propagação de ondas sonoras através de silenciadores de uma câmara
de expansão, assim como a resposta dada pelo modelo de elementos finitos relativamente a algumas
alterações geométricas feitas ao modelo inicial.
O sucesso do método de elementos finitos na caracterização dos filtros periódicos anteriormente
apresentada incentivou a sua aplicação ao estudo de silenciadores. É o resultado desse estudo que
se apresenta de seguida.
Recorrendo ao desenvolvimento teórico para a atenuação obtida com um silenciador de uma câmara
de expansão (capítulo 2.3.3), verifica-se que os principais parâmetros que influenciam a atenuação
são as seguintes:
a) A relação de diâmetros dos tubos e da câmara de expansão, m ;
b) O comprimento da câmara de expansão, el ;
c) A gama de frequências em estudo, f ;
d) A velocidade de propagação do som no meio, c .
Embora as duas últimas variáveis não sejam de projecto, estas deverão ser identificadas a priori para
se evitarem más utilizações de silenciadores correctamente projectados para outros domínios de
frequência.
5.1. Resultados Teóricos
Para uma análise simplificada da influência dos vários factores do resultado da atenuação, apresenta-
se neste capítulo o efeito das quatro variáveis anteriormente identificadas, simplificando o modelo de
silenciador a uma única câmara de expansão, Ø70mmx85mm, ficando com uma distância entre os
topos do tubo de entrada e do tubo de saída (ambos Ø9mm) de 152mm (vd. Figura 47).
63
Figura 47 – Representação em corte do modelo de silenciador estudado.
Mantendo a relação de áreas de 970
=m , para uma velocidade do som de 344m/s e para uma
câmara de comprimento total igual a 85mm, a atenuação obtida em função da frequência de entrada
é a da Figura 48. Pelos resultados obtidos, baseados na equação (75), observa-se, tal como referido
no início deste capítulo, que um silenciador projectado para determinada gama de frequências (por
exemplo, em torno dos 1000Hz) pode ter um comportamento absolutamente ineficaz, numa
frequência de mesma grandeza (no caso 2000Hz).
Figura 48 – Resultados teóricos da atenuação sonora obtida num silenciador de uma câmara com topo anecóico a jusante
(resultados válidos até aos 2878Hz).
Aos 2034Hz, frequência à qual o comprimento de onda é igual a duas vezes o comprimento da
câmara, a atenuação sonora é mínima. Pelo contrário, aos 1012Hz, verifica-se uma atenuação
máxima, frequência à qual o comprimento de onda é igual a 4 vezes o comprimento da câmara.
64
Mantendo-se, agora, todas as variáveis à excepção do comprimento do silenciador, verifica-se que
este parâmetro permite máximas atenuações quando é da ordem de grandeza de um quarto do
comprimento de onda (ou somado de múltiplos de meio comprimento de onda) e nulo para múltiplos
de meio comprimento de onda (vd. Figura 49), à semelhança do que se tinha observado no parágrafo
anterior.
Figura 49 – Resultados teóricos da atenuação sonora obtida num silenciador de uma câmara com topo anecóico a jusante
(resultados a 1000Hz, comprimento de onda de 344mm).
Por último, relacionando a atenuação sonora com a relação das secções da câmara com o tubo,
verifica-se que existe uma clara tendência de aumento de atenuação com o aumento da relação de
áreas (vd. Figura 50).
Figura 50 – Resultados teóricos da atenuação sonora obtida num silenciador de uma câmara com topo anecóico a jusante
(resultados a 1000Hz, comprimento de onda de 344mm).
65
5.2. Resultados Numéricos
De estudos anteriormente desenvolvidos em silenciadores de compressores, sabe-se que os
silenciadores de uma câmara apenas respondem bem em baixas frequências (às quais estão
associados os modos estruturais de vibração do compressor) mas, nas mais elevadas (excitando-se
os modos de vibração da carcaça do compressor) essa performance perde-se. Por razões
geométricas, o protótipo da empresa onde foi feito o estudo apenas pode ser verificado com
resultados analíticos até aos 2878 Hz, frequência à qual a onda acústica deixa de ser considerada
plana. Criaram-se, assim, modelos numéricos baseados no referido silenciador, com algumas
simplificações: ausência de escoamento, estudo apenas de volumes de ar sem introdução do
acoplamento fluido-estrutura, introdução de onda plana e absorção total de onda no tubo de saída.
Para estes primeiros cálculos, considerou-se uma gama de frequência entre os 500Hz e os 2500Hz
procurando-se, assim, analisar a influência dos diversos parâmetros geométricos nas mais baixas
frequências. Este procedimento justifica-se porque ao aumentar-se a frequência, diminui-se o
comprimento de onda, implicando um aumento do número total de elementos finitos do modelo, para
garantir o mesmo número de elementos por comprimento de onda, aumentando de forma significativa
o tempo de resolução dos problemas.
5.2.1 Modelo de Elementos Finitos
A geometria do silenciador base para o qual foram desenvolvidos os modelos numéricos é a da
Figura 51. Trata-se de um silenciador de geometria cilíndrica, com tubos de entrada e saída ambos
de 40mm de diâmetro, com câmara de expansão de 180mm de diâmetro e 240mm de comprimento.
O tubo de entrada e o tubo de saída (ambos de 240mm de comprimento) termina e inicia-se,
respectivamente, na câmara de expansão.
Os graus de liberdade associados às translações dos nós do volume de ar foram igualados a zero.
Sendo a velocidade de propagação do som no fluido muito superior à velocidade do próprio fluido,
considerou-se velocidade nula para o mesmo, ou seja, as partículas apenas oscilam em torno da sua
posição de repouso. Como carregamento impôs-se uma onda plana de 1Pa (aproximadamente 94dB)
no topo esquerdo do tubo de entrada do silenciador e topo anecóico na extremidade oposta do tubo
de saída.
Não foi considerado o acoplamento do ar à estrutura do silenciador. Em função dos materiais,
espessura da estrutura e reforços exteriores, variáveis que condicionam os modos de vibração
estruturais do silenciador, deverão ser calculados a posteriori os modos e respectivas frequências de
vibração, devendo-se, ainda, verificar se as mesmas se encontram na gama de frequências de
funcionamento. Nesse caso deverão ser estudados os modelos com o respectivo acoplamento.
As malhas de elementos finitos construídas basearam-se em elementos finitos hexaédricos do tipo da
Figura 6, evitando excessivas distorções dos elementos e consequentes erros numéricos.
Sendo os modelos sujeitos a uma ampla gama de frequências, foi feito um estudo de convergência
de resultados com vista à diminuição do número de elementos por comprimento de onda, melhorando
66
a rapidez da resolução do problema, embora comprometendo alguma qualidade dos resultados. O
estudo baseou-se no cálculo dos modos de vibração do volume de ar contido no silenciador, na gama
1000Hz a 2000Hz.
a) b)
Figura 51 – Malha de silenciador modelado em ambiente ANSYS, a), e pormenor do total controlo de malha, b).
Na Tabela 2 apresentam-se os valores obtidos para as frequências associadas aos vários modos
próprios de vibração do volume de ar contido dentro do silenciador (cuja representação gráfica se
encontra na Figura 52).
Elementos por Comprimento de Onda Modo 12 24 36 48 60
1º 1031 1023 1017 1017 1015 2º 1177 1175 1126 1126 1117 3º 1177 1175 1126 1126 1117 4º 1350 1337 1330 1329 1325 5º 1378 1375 1333 1332 1325 6º 1378 1375 1333 1332 1327 7º 1460 1446 1442 1441 1441 8º 1725 1701 1688 1686 1683 9º 1857 1845 1813 1812 1806 10º - - 1882 1882 1857 11º - - 1882 1882 1857 12º - - 1997 1994 1988 13º - - - - 1990
Tabela 2 – Frequências dos modos de vibração do volume de ar do silenciador entre os 1000Hz e os 2000Hz.
Os modelos com menos elementos por comprimento de onda não têm sensibilidade suficiente para
detectar determinados modos de vibração associados às frequências mais elevadas. Este resultado
deve-se ao facto de modelos com menos elementos por comprimento de onda serem mais rígidos,
não dando ao modelo a possibilidade de vibrar em determinados modos.
Na Figura 53 apresentam-se os 2º e 12º modos de vibração do volume de ar contido dentro do
silenciador. O segundo modo é detectado por todos os modelos, já o 12º modo apenas é detectado
pelo modelo com 60 elementos por comprimento de onda.
67
Figura 52 – Frequências dos modos de vibração do silenciador entre os 1000Hz e os 2000Hz em função do número de
elementos por comprimento de onda e erro relativo entre os modelos de 24 e 36 elementos por comprimento de onda.
a) b)
Figura 53 – Pressão sonora (Pa) obtida para o volume de ar contido dentro do silenciador para o 2º modo, a), e 12º modo, b).
O erro relativo das frequências naturais do volume de ar calculadas com modelos de 24 elementos
por comprimento de onda apresenta um valor máximo, em relação aos valores obtidos com modelos
de 36 elementos, inferior a 5%. Este resultado permite encontrar um compromisso entre qualidade
dos resultados e rapidez na resolução dos problemas, que consiste em resolver os modelos para
contendo 24 elementos por comprimento de onda.
5.2.2 Silenciador com uma Câmara de Expansão
O modelo de câmara simples foi construído para comparação com os modelos modificados. A
atenuação sonora (vd. Figura 54) foi obtida calculando a diferença dos máximos de pressão sonora
(em dB) obtidos no tubo de entrada e no tubo de saída do silenciador (vd. Figura 55), recorrendo à
expressão (32).
Esta grandeza foi seleccionada por ser um output directo do programa de elementos finitos e, ao
mesmo tempo, por ser um parâmetro facilmente obtido em ensaios experimentais.
12 elementos
24 elementos
36 elementoserro
68
Os resultados obtidos demonstram um comportamento cíclico, qualitativamente semelhante ao
esperado pelos resultados analíticos (vd. Figura 48).
Figura 54 – Atenuação sonora para silenciador de uma câmara de expansão simples.
a) b)
Figura 55 – Representação em corte do silenciador de uma câmara de expansão, a), e distribuição da pressão sonora (dB) a
2230Hz para modelo de elementos finitos, b).
Tendo a câmara de expansão um comprimento de 240mm, os comprimentos de onda associados às
mínimas atenuações serão aqueles para os quais nela se desenvolvem múltiplos inteiros de meia
onda (Tabela 3).
Comprimento de onda (mm) Frequência (Hz) 0.5λ=240<=>λ=480 708 1.0λ=240<=>λ=240 1417 1.5λ=240<=>λ=160 2125
Tabela 3 – Frequências para as quais se verificam mínimas atenuações no silenciador de uma câmara de expansão simples.
De igual modo, as frequências para as quais se verificam máximas atenuações são aquelas para as
quais na câmara se desenvolve ¼ do comprimento de onda, somado a múltiplos inteiros de meio
comprimento de onda.
69
Comprimento de onda (mm) Frequência (Hz) 0.25λ=240<=>λ=960 354 0.75λ=240<=>λ=320 1063 1.25λ=240<=>λ=192 1771
Tabela 4 – Frequências para as quais se verificam máximas atenuações no silenciador de uma câmara de expansão simples.
5.2.3 Dois Silenciadores de Câmara Simples em Série
Para verificar o desempenho de dois silenciadores montados em série, desenvolveu-se um modelo
de elementos finitos montando o exemplo do capítulo 5.2.2 duas vezes em série (vd. Figura 56). Os
resultados traduzem um comportamento semelhante ao modelo original, verificando-se um aumento
de 10dB em torno dos picos de atenuação (vd. Figura 57).
a) b)
Figura 56 – Representação em corte dos dois silenciadores de uma câmara de expansão montados em série, a), e distribuição
da pressão sonora (dB) a 2230Hz para modelo de elementos finitos, b).
Figura 57 – Atenuação sonora para dois silenciadores de uma câmara de expansão simples montados em série.
5.2.4 Silenciador com Tubos Estendidos
Com o objectivo de se estudar o efeito da extensão dos tubos de entrada e saída do silenciador para
dentro da câmara de expansão, aumentou-se o comprimento destes em 60mm, partindo do modelo
do capítulo 5.2.2 (vd. Figura 58).
70
a) b)
Figura 58 – Representação em corte de silenciador de uma câmara de expansão com tubos interiores estendidos, a), e
distribuição da pressão sonora (dB) a 2230Hz para modelo de elementos finitos, b).
Figura 59 – Atenuação sonora de um silenciador de câmara simples com tubos internos estendidos.
Os resultados obtidos têm um comportamento semelhante aos obtidos no modelo original, à
excepção do pico de atenuação em torno dos 1063Hz, onde se verifica um aumento brusco e logo
uma perda acentuada de atenuação (vd. Figura 59).
5.2.5 Silenciador com uma Divisão Interna
Ao modelo do capítulo 5.2.2 introduziu-se uma divisão interna (câmara dupla) para verificar a
performance do silenciador (vd. Figura 60). Os resultados evidenciam o aumento da largura de banda
de frequências atenuadas aumentando, igualmente, as atenuações inicialmente obtidas (vd. Figura
61).
71
a) b)
Figura 60 – Representação em corte de silenciador de uma câmara de expansão e uma divisão interna, a), e distribuição da
pressão sonora (dB) a 2230Hz para modelo de elementos finitos, b).
Figura 61 – Atenuação sonora de um silenciador de câmara simples com uma divisão interna.
Observa-se ainda na figura anterior uma descontinuidade antes da frequência limite teórica de onda
plana; esta descontinuidade poderá estar associada a uma sobreposição de resultados obtidos a
maiores frequências ocorrido no ficheiro de saída de dados programado pelo autor. Esta explicação
baseia-se no facto de se verificar que a segunda gama de frequências atenuadas é significativamente
menos larga que a primeira e por se verificar que a transição se dá num ponto singular de frequência.
Este resultado será analisado em futuros trabalhos.
5.2.6 Silenciador com duas Divisões Internas
Os resultados do capítulo anterior evidenciaram um claro incremento da performance do silenciador
do capítulo 5.2.2 quando se introduz a divisão interna. Com o objectivo de verificar o aumento desse
desempenho, incrementou-se o número de divisões para duas (câmara tripla, vd. Figura 62).
Tal como no capítulo 5.2.5, verifica-se um novo aumento da banda de frequências atenuadas,
acompanhado de um aumento de atenuação sonora (vd. Figura 63).
72
a) b)
Figura 62 – Representação em corte de silenciador de uma câmara de expansão e duas divisões internas, a), e distribuição da
pressão sonora (dB) a 2230Hz para modelo de elementos finitos, b).
Figura 63 – Atenuação sonora de um silenciador de câmara simples com duas divisões internas.
Na Figura 64 apresentam-se os resultados da atenuação sonora obtidos nos cinco modelos de
silenciador, destacando-se os modelos com divisões internas.
Figura 64 – Comparação dos resultados da atenuação obtida nos vários modelos de silenciadores.
Analisando-se a figura anterior conclui-se que não há interesse significativo em considerar dois
silenciadores montados em série, nem em estender os tubos de entrada e saída para o interior da
73
câmara de expansão. Verifica-se, contudo, que a inclusão de divisões internas no silenciador
aumenta a banda de frequências atenuadas, assim como os respectivos valores de atenuação.
As atenuações em 80dB são suficientes para a generalidade das aplicações. Tal como se fez para o
filtro periódico, o passo seguinte é realizar ensaios experimentais para aferir estes resultados de
modelos numéricos. No entanto, tal já não foi possível nem estava previsto no plano inicial de
trabalhos.
As aproximações tomadas ao longo dos modelos desenvolvidos deverão ser tidas em conta na
interpretação dos resultados. Ao introduzir-se movimento do fluido, as descontinuidades de áreas
darão origem a ruído que provocará uma diminuição da performance dos silenciadores estudados.
Por último faz-se referência ao facto de existir já alguma distorção dos elementos dos modelos (vd.
Figura 51b)), recomendando-se que os mesmos sejam modificados para geometrias tetraédricas
(elementos de 4 nós) e os resultados comparados.
74
6. Conclusões e Futuros Desenvolvimentos
Neste trabalho o foco esteve no desenvolvimento e teste de metodologias e as respectivas aplicações
informáticas para caracterizar a propagação de ondas sonoras através de elementos periodicamente
espaçados, bem como através de silenciadores de câmara de expansão, recorrendo ao método dos
elementos finitos.
Podemos observar nas referências já citadas que existem diversos modelos teóricos na teoria dos
filtros acústicos, mas em geral o seu desenvolvimento só é possível para determinadas geometrias e
com a hipótese de propagação de ondas planas. Para permitir responder às actuais tendências de
projecto com as mais complexas geometrias e continuar a ser capaz de prever a resposta, mesmo
em regiões onde a onda deixa de ser plana, a tendência natural é procurar os métodos numéricos,
em particular o método dos elementos finitos.
Ao ganho em generalidade, vêm associados alguns problemas típicos da precisão da aproximação
dos elementos finitos, como saber qual a necessária discretização do fluido e da estrutura e qual a
correcta escolha das condições de fronteira.
Para o caso dos elementos periodicamente espaçados, verificaram-se com sucesso a concordância
entre os valores de soluções analíticas obtidas por técnicas de ondas de Bloch, com os obtidos por
elementos finitos através de modelos bidimensionais e tridimensionais e ainda com valores
experimentais obtidos na literatura e em ensaios com um protótipo construído para a verificação. Com
o trabalho experimental aprendeu-se como é essencial associar a parte de análise numérica com a
experimental. Por exemplo, foi através da análise numérica que se preparou a parte experimental,
tendo dessa forma detectado alguns cuidados que seriam necessários tomar relativamente ao
protótipo. Já durante a experiência, observou-se que os desvios entre os resultados dos elementos
finitos relativamente aos experimentais devem ser considerados com base nas simplificações
assumidas, como por exemplo a atenuação sonora ao longo da distância.
No caso dos silenciadores, aplicou-se a ferramenta computacional que fora testada nos elementos
periodicamente espaçados, verificando com sucesso os valores obtidos por elementos finitos através
de modelos tridimensionais com as respectivas soluções analíticas.
As aplicações computacionais utilizadas para os modelos de fluido acústico e os de interacção fluido-
estrutura assumem as aproximações adoptadas por Kinsler et al. [20] de fluido compressível,
invíscido, sem escoamento médio e com densidade e pressão média uniformes no fluido. Tal é
importante para a compreensão das respostas dos modelos.
Apresentaram-se vários exemplos de aplicação da metodologia para verificação entre os valores
analíticos, numéricos e experimentais. No caso dos elementos periodicamente espaçados foi
construído um protótipo com seis filas de cinco cilindros cada e que permitiu os primeiros ensaios
experimentais de verificação dos valores analíticos e numéricos.
75
As principais conclusões deste trabalho são:
1) O número de elementos finitos por comprimento de onda comummente utilizado em
engenharia (12 elementos) mostrou ser insuficiente para as análises de elementos finitos
realizadas com os problemas de acústica;
2) A introdução de inclusões cilíndricas periodicamente espaçadas na direcção de propagação
de onda sonora provoca significativas atenuações sonoras, tanto maiores quanto maior o
número de inclusões e maior a fracção volúmica ocupada pelas inclusões. Verifica-se que a
disposição quadrangular provoca maiores atenuações que a triangular;
3) Concluiu-se que o modelo de elementos finitos a duas dimensões reproduz muito
satisfatoriamente os resultados publicados na bibliografia;
4) Concluiu-se que as inclusões periódicas nos modelos tridimensionais, quando não possuem
rigidez suficiente, tornam irregular o campo sonoro, podendo, inclusive, tornarem-se em
fontes de ruído. Quando lhes é aumentada a rigidez, verifica-se que os resultados obtidos
considerando, ou não, o acoplamento são muito semelhantes;
5) Conclui-se que o modelo tridimensional de elementos finitos reproduz os resultados obtidos a
duas dimensões, desde que as inclusões apresentem suficiente rigidez;
6) Laboratorialmente conclui-se que os resultados obtidos com o protótipo apresentam
concordância com os resultados obtidos numericamente, contudo, algumas modificações ao
nível construtivo foram realizadas para futuros ensaios.
7) O trabalho permite evidenciar a existência de significativa atenuação (associada a uma banda
de frequências atenuadas entre os 1250Hz e os 1750Hz) para uma disposição quadrangular
das inclusões cilíndricas e para uma fracção volúmica de ocupação dos cilindros de 0.104.
8) Do estudo dos silenciadores de uma câmara de expansão, concluiu-se que a inclusão de
divisões internas permite simultaneamente aumentar a gama de frequências atenuadas e
respectivos valores de atenuação, para modelos sem escoamento de fluido.
Como futuros desenvolvimentos temos:
i. Repetir os ensaios experimentais do modelo de filtro periódico;
ii. Aprofundar os estudos numéricos sobre os silenciadores, nomeadamente, aumentar o
número de elementos por comprimento de onda, geometrias não cilíndricas, diferentes
distribuições das divisões e estudar gamas de frequências mais elevadas;
iii. Realizar ensaios experimentais com um modelo de silenciadores;
iv. Repetir os modelos numéricos introduzindo escoamento médio, dissipação viscosa no fluido
e interacção fluido-estrutura.
76
7. Referências Bibliográficas
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[4] A. Selamet, F. D. Denia, A. J. Besa, “Acoustic behaviour of circular dual-chamber mufflers”, Journal of Sound and Vibration, 265:967–985, 2003.
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[13] M. P. Bendsøe and O. Sigmund, “Topology Optimization – Theory, Methods and Applications”, Springer Verlag, Berlin Heidelberg, 2003.
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[18] S. N. Y. Gerges, R. Jordan, F. A. Thieme, J. L. Bento Coelho, J. P. Arenas, “Muffler Modelling by Transfer Matrix Method and Experimental Verification”, Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering”, 27, 2005.
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[20] L. E. Kinsler, A. R. Frey, A. B. Coppens, J. V. Sanders, “Fundamentals of Acoustics”, John Willey & Sons, Inc, USA, 2000.
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77
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[23] R. P. Carvalho, “Acústica Arquitectônica”, Thesaurus Editora, Brasília, Brazil, 2006.
[24] J. M. e Silva, N. Maia, “Vibrações e Ruído”, AEIST – Associação dos Estudantes do Instituto Superior Técnico, Lisboa, Portugal, 2001.
[25] A. J. Cartaxo, M. M. Neves, “Análise da Propagação de Ondas em Estruturas Periódicas Finitas e Validação de Resultados Obtidos com Técnicas de Ondas de Bloch”, Relatório 001/2006, IDMEC, Lisbon, Portugal, 2006.
[26] C. Rubio, D. Caballero, J. V. Sánchez-Pérez, R. Martínez-Sala, J. Sánchez-Pérez, F. Meseguer, F. Cervera, “The Existence of Full Gaps and Deaf Bands in Two-Dimensional Sonic Crystals”, Journal of Lightwave Technology, 17, 1999.
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[29] A. Cartaxo, M. M. Neves, “Validation of Band Gap Results Obtained with a 3D Numerical Model”, Departamento de Engenharia Mecânica, Instituto Superior Técnico, Lisbon, 2006.
78
8. Anexos
8.1. Distribuição da Pressão Teórica num Tubo de Topo Totalmente Reflectivo
Recorrendo à equação (36) obtém-se para a pressão:
( ) ( ) ( ) BABABeAep jkjk −=⇔+=⇔+= − 110 00 . (85)
Substituindo o resultado de (45) em (39) calcula-se o valor de B:
( )( ) ( )
( )( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )22
12121121
111
0
0
kltanjBBkltanjB
klsinklcosj
klsinklcosj
BBBBB
klsinklcosj
BABA
YklsinklcosjY
−=⇔−=⇔−=−
⇔
⇔−=−
⇔−−+−
=−⇔−+
=−
; (86)
e, substituindo o resultado de (86) em (85) calcula-se o valor de A:
( )22
1 kltanjA += . (87)
Uma vez obtidas as constantes A e B , pode então recorrer-se à equação (36) para obter o perfil de
pressão sonora ao longo do tubo:
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )kzsinkltankzcosp
klsinjklcoskltanjklsinjklcoskltanjp
ekltanjekltanjp jkzjkz
+=⇔
⇔+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⇔
⇔⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += −
221
221
221
221
. (88)
8.2. Distribuição da Pressão Teórica num Tubo de Topo Anecóico
Neste subcapítulo estuda-se um modelo semelhante ao do capítulo 8.1, cuja diferença reside no facto
de neste caso o topo oposto ao da emissão absorver todas as ondas incidentes, ou seja, 0=R .
De (85) obteve-se
AB −= 1 , (89)
e, de (47),
( ) 101100 =⇔=−⇔−
=⇔= AAA
AABR , (90)
implicando que 0=B .
79
A pressão sonora é, então, dada pela expressão:
( ) )kzsin(j)kzcos(ezp jkz −== − , (91)
contudo, sendo uma grandeza real,
( ) [ ] ( ) )kzcos(zp)kzsin(j)kzcos(Rezp =⇔−= . (92)