caracterizaciÓn de puntos singulares …

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

TRABAJO DE GRADO

CARACTERIZACIÓN DE PUNTOSSINGULARES MONODRÓMICOS

UTILIZANDO EL MÉTODO DEDARBOUX

Autor:Rafael Augusto CastañedaVanegas

Director de tesis:Pedro Pablo Cárdenas Alzate,

Ph.D(c)

Trabajo presentado como requisito para optaral título de MAGISTER EN MATEMÁTICAS

bajo la supervisión del

Grupo de Investigación en Ecuaciones Diferenciales No Lineales GEDNOLDepartamento de Matemáticas

Facultad de Ciencias BásicasUniversidad Tecnológica de Pereira

12 de enero de 2018

http://www.utp.edu.co

http://www.johnsmith.com

http://www.johnsmith.com

http://www.jamessmith.com

http://www.jamessmith.com

http://ppcalzate.wix.com/2016




I

Agradecimientos

Dedico este logro a mis padres Rafael Castañeda y Marleny Vanegas por el amor y pacien-cia que me han brindado en la vida y especialmente a mi esposa Viviana e hijo Simón poracompañarme todo este tiempo.

A mi director, Pedro Pablo Cárdenas Alzate por su persistencia de seguir en el camino de lamatemática aplicada, por sus sabios consejos, correcciones, opiniones y toda la ayuda brin-dada durante esta etapa.

A todos los que de una u otra forma hicieron realidad este sueño de culminar mi maes-tría.

Rafael Augusto Castañeda Vanegas

II

Índice general

1. Introducción 11.1. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3.1. General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.2. Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4. Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5. Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Generalidades sobre el problema del foco-centro 52.1. Generalidades de los sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. El problema del foco-centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1. Punto singular con valores propios complejos puros . . . . . . . . . . . 92.2.2. Formas normales para un sistema con dos valores propios imaginarios

puros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3. El método de Darboux 193.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2. El método de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4. Aplicación al modelo generalizado de Gauss 284.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2. Puntos singulares del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1

Capítulo 1

Introducción

1.1. Resumen

En este trabajo se estudia el problema del centro-foco (o foco-centro) para sistemas deecuaciones diferenciales de la forma:

{x′ = P (x, y)

y′ = Q(x, y),(1.1)

donde P yQ son funciones polinomiales. Acá se desarrolló una técnica que permite concluirque un punto singular de tipo monodrómico para este sistema no lineal es un centro [1]. Dichatécnica o método se conoce como el método de Darboux, el cual usa curvas algebraicas inva-riantes en la construcción de una primera integral.

Como aplicación de este método, se considera un modelo de tipo Gauss [2] generalizadode la forma:

{x′ = αx

(1− x

k

)− yp(x)−m1

y′ = y (−β + γp(x)) ,(1.2)

donde p es la función de tipo Holling, es decir,

p(x) =mx2

ax2 + bx+ c, (1.3)

con c = 1.[3]

1.2. Introducción

El estudio de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales inicia generalmente porla búsqueda de puntos singulares, en los cuales en cada vecindad de dichos puntos, se es-tudia normalmente su linealización. En este trabajo se limitó a un sistema sobre un abiertoU ⊂ R2, donde X = (x, y) ∈ U . Así pues, observando los valores propios de la matrizJacobiana del sistema

X ′ = w(x, y) = (P (x, y), Q(x, y))

Capítulo 1. Introducción 2

en un punto singular, por ejemplo (x0, y0), donde P y Q son funciones polinomiales o sim-plemente analíticas sobre el abierto U , puede concluirse sobre la naturaleza de un puntosingular para el sistema lineal asociado. Esta información es vital, ya que proporciona mu-cha ayuda sobre la caracterización de estos puntos. Sin embargo, la presencia de un centropara el sistema linealizado de un sistema en un punto singular no implica necesariamentela presencia de un centro para el sistema no lineal en ese mismo punto.

En este trabajo, se expone el problema del cetro-foco, en el cual se estudia el tipo de unpunto singular monodrómico no degenerado en un sistema de ecuaciones diferenciales nolineales [4, 5, 6]

{x′ = P (x, y)

y′ = Q(x, y),

donde tanto P como Q son funciones polinomiales (o analíticas). Decimos que un puntosingular es no degenerado y monodrómico si el sistema lineal asociado tiene ya sea un centro oun foco en dicho punto singular. Ahora bien, la pregunta esencial es bajo que condiciones sepuede concluir que un punto singular monodrómico no degenerado es un centro o un focopara el sistema no lineal.

Se puede decir entonces que el problema del centro-foco es general, es decir, existe tam-bién para puntos singulares en los cuales la parte lineal es degenerada, es decir, en los cualeslos valores propios son nulos, por ejemplo de matriz nilpotente o más aun, nula. No obstan-te, esto es tema para futuras investigaciones, por lo cual el trabajo se limita solo al casodonde la parte lineal tiene dos valores propios imaginarios puros no nulos, es decir, el casono degenerado.

Finalmente, se aplica este problema al modelo predador-presa donde la recolecta de pre-sas es permitida. Dicho modelo es aplicado en la pesca, en problemas forestales y en lagestión de la fauna. Este modelo presenta una dinámica más compleja que otro tipo de mo-delos de tipo predador-presa sin recolecta de presas. La interacción predador-presa es linealen el número de predadores. Es este trabajo, se estudia el sistema llamado modelo de Gaussgeneralizado con recolecta de presas.

1.3. Objetivos

1.3.1. General

Aplicar el método de Darboux en la caracterización de puntos singulares monodrómicosen sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales de tipo polinómico.

1.3.2. Específicos

Presentar y analizar el problema del foco-centro para sistemas diferenciales de tipoalgebraico.


Describir el método de Darboux para sistemas de ecuaciones diferenciales de tipo po-linómico.

Caracterizar los puntos singulares del sistema polinomial (1.1) mediante el método deDarboux.

Utilizar varias versiones de las funciones de tipo Holling como aplicación para el pro-blema del foco-centro.

1.4. Justificación

El estudio de puntos singulares en campos vectoriales analíticos planos es un problemaque se encuentra parcialmente resuelto. El único caso que permanece abierto es el de tipomonodrómico, en el cual las órbitas giran alrededor de la singularidad.

En los sistemas de ecuaciones diferenciales analíticos, si x0 es un punto singular mono-drómico, entonces este punto es un centro o un foco. El problema es entonces como deter-minar las condiciones para distinguir entre un centro y un foco. El objetivo principal deeste trabajo es la investigación del problema de foco-centro en sistemas de ecuaciones di-ferenciales analíticos con puntos singulares nilpotentes. Este problema ha sido ampliamenteestudiado, puesto que no existe un algoritmo para este caso, comparable por ejemplo con elmétodo de Lyapunov para el caso de singularidades no degeneradas. Se estudia acá un méto-do denominado el método de Darboux; el cual hace uso de la teoría de la forma normal y tratael problema de la forma clásica. Por lo tanto, se investiga los sistemas analíticos diferencialescon puntos singulares nilpotentes como límite de sistemas diferenciales con singularidadesno degeneradas. Para evaluar la eficiencia y comprender posibles obstrucciones, se aplicó latécnica a una familia concreta de sistemas de ecuaciones diferenciales. [13]

1.4.1. Planteamiento del problema

En el problema del centro-foco, se hace la pregunta objetivo de este trabajo: Bajo quecondiciones se puede concluir que un punto singular monodrómico no degenerado es uncentro o un foco para un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales?.

1.5. Metodología

La primera etapa corresponde a un barrido bibliográfico a través los diferentes trabajosde investigación que se encuentran disponibles en medio digital (journals), donde se buscóel origen, las generalidades, descripción del método y su aplicación a sistemas de ecuacionesdiferenciales de tipo polinómico, los cuales constituyen la primera carpeta de archivos elec-trónicos. Con esa información se avanzó en la resolución de diferentes modelos no linealesque involucran funciones de tipo Holling .

Una vez se estudió el método de Darboux, el investigador avanzó a la segunda etapa,la cual consistió en la búsqueda de nuevos documentos a través de la red especializados enresolver este tipo de problemas, específicamente problemas de tipo Holling y que constitu-yeron una segunda carpeta de archivos electrónicos. Una vez más se analizaron diferentes


versiones de sistemas polinomiales y se consignaron en cuaderno borrador.

Durante esta etapa también se tuvieron en cuenta las diferentes modificaciones aplicadasal método y se pusieron a prueba en el mismo borrador. A través de las dos etapas anterioresse consultaron documentos físicos que trataron temas de la investigación como la clasifica-ción de los sistemas de ecuaciones diferenciales, especialmente de tipo homogéneo.

La tercera etapa consistió en consultas a investigadores, principalmente aquellos relacio-nados con la línea de ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones (sistemas dinámicos) con elfin de analizar las soluciones encontradas mediante otro tipo de métodos.

En la cuarta etapa se aplicó el método a un modelo biológico, donde mediante una simu-lación computacional se expusieron los valores de algunas constantes de Lyapunov para lasolución del problema en cuestión ([8,9]) . Finalmente la quinta etapa consistió en la elabo-ración del último borrador y su revisión previa antes de la elaboración del documento final,por parte del director.

5

Capítulo 2

Generalidades sobre el problema delfoco-centro

2.1. Generalidades de los sistemas lineales

A continuación se presentan los diferentes tipos de singularidades en un sistema lineal(en el cual la matriz es invertible). Esto nos dará una herramienta útil para poder compren-der la noción de centro y de foco ([10]). Para ello, se considera inicialmente un sistema deecuaciones diferenciales lineal en el plano:

X ′ = AX, (2.1)

dondeX ∈ R2 yA es una matriz cuadrada de orden dos. Acá, el interés se centra en el retratofase del sistema X ′ = BX con B = P−1AP y en el cual B está en la forma de Jordan (real).Ahora bien, los casos siguientes presentan el resumen en el cual todos los valores propiosson diferentes de cero.

1. Sea B la matriz

B =

(λ 00 µ

),

donde λ < 0 < µ. En este caso, se tiene un punto de silla el cuál tiene como retrato defase la singularidad dada por la figura 2.1.

FIGURA 2.1: Punto de silla.

Capítulo 2. Generalidades sobre el problema del foco-centro 6

2. Sea B la matriz

B =

(λ 00 µ

),

donde λµ > 0. Acá, si λ ≤ µ < 0, se tiene entonces un nodo estable. Se conoce laexistencia de dos casos diferentes según los valores que λ y µ puedan tomar. Un casoparticular se encuentra cuando la matriz B tiene la forma

FIGURA 2.2: Nodo estable: λ = µ < 0.

B =

(λ 10 λ

),

con λ < 0. Los retratos de fase para estos casos pueden verse en la figura 2.2. Ahora, esimportante observar que si λ ≥ µ > 0, tenemos así la presencia de un nodo inestable.

FIGURA 2.3: Nodo estable: λ < µ < 0.

3. Sea B la matriz

B =

(α −ββ α

),


donde α, β 6= 0. Acá, si α < 0, se tiene entonces un foco estable con trayectorias en elsentido dado por β, lo cual podemos ver en la figura 2.3. Ahora, si α > 0, se obtiene unfoco inestable.

FIGURA 2.4: Nodo estable: λ < 0 y bloque de Jordan.

FIGURA 2.5: Foco estable: β > 0.

FIGURA 2.6: Foco estable: β < 0.

4. Sea B la matriz

B =

(0 −ββ 0

),

donde β 6= 0. Por lo tanto, el sistema dado por X ′ = BX posee un centro en el origen(ver 2.7). Como en el caso anterior, las trayectorias están dadas en el sentido dado porβ. Se sabe que este sistema puede ser escrito en coordenadas polares de la siguientemanera ([11]):


FIGURA 2.7: Centro β > 0.

{r′ = αr

θ′ = β.(2.2)

La siguiente proposición permite concluir sobre la naturaleza de un punto singular en elorigen para un sistema lineal el cual tiene dos valores propios no nulos. ([12])

Proposición 2.1.1. El sistema lineal (2.1) tiene un punto de silla, un nodo, un foco o un centro en elorigen si la matriz A es semejante a una de las matrices B descritas anteriormente.

Es importante anotar que si por ejemplo la matriz A tiene valores propios imaginarios(puros) ±ωi, entonces el retrato fase del sistema lineal es linealmente equivalente a uno de losretratos de fase dados en la figura 2.7.

2.2. El problema del foco-centro

Supóngase el sistema de ecuaciones diferenciales no lineal sobre un conjunto abiertoU ⊂ R2:

{x′ = P (x, y)

y′ = Q(x, y),(2.3)

donde P (x, y) y Q(x, y) son funciones polinomiales.

Definición 2.2.1. Se dice que un punto singular monodrómico no degenerado X0 es aquel en elcual el sistema lineal asociado tiene un centro o un foco débil en este punto singular (en el caso odegenerado, es decir, los valores propios son diferentes de cero).

Más adelante se da una definición del término monodrómico, el cual significa que existeuna aplicación de primer retorno de Poincaré sobre una sección.

En general, el problema del foco-centro conduce a la pregunta siguiente: Bajo que con-diciones se puede concluir que este punto X0 (singular monodrómico) es un centro para elsistema (2.3)?


Tómese el punto singular en el origen (sin pérdida de generalidad). Sea ademásw(x, y) =(P (x, y), Q(x, y)). Así pues, el sistema lineal asociado en el origen tiene por matriz la matrizA dada por Dw(0), en el cual

Dw(x, y) =

∂P

∂x

∂P

∂y

∂Q

∂x

∂Q

∂y

.

El siguiente teorema permitirá comprender la organización de las trayectorias en una ve-cindad de un punto singular([13). Intuitivamente, el teorema muestra que en una vecindadde un punto singular hiperbólico X0, el sistema no lineal

X ′ = w(X) (2.4)

tiene la misma estructura cualitativa de las trayectorias que el sistema lineal

X ′ = AX, (2.5)

donde A = Dw(X0). Lo anterior significa que el sistema no lineal (2.4) es topológicamenteorbitalmente equivalente al sistema lineal (2.5) en una vecindad del origen. Antes de presentarel teorema, se darás unas definiciones previas.

Definición 2.2.2. Se dice que un punto singular X0 de un campo vectorial w(X) se dice hiperbólicosi todas las partes reales de los valores propios de Dw(X0) son no nulos.

Definición 2.2.3. Sean las ecuaciones diferenciales X ′ = w1(X) y Y ′ = w2(Y ) con X ∈ U ⊂ Rn yY ∈ V ⊂ Rn. Se dice que ambas ecuaciones son topológicamente orbitalmente equivalentes si existeun homeomorfismo H de U en V tal que las trayectorias de X ′ = w1(X) en U son enviadas sobrelas trayectorias de Y ′ = w2(Y ) en V preservando la orientación de las trayectorias (pero no necesa-riamente la parametrización). Si el homeomorfismo preserva la parametrización, se habla entonces deequivalencia topológica.

Cuando se menciona en esta definición sobre topológicamente orbitalmente equivalen-tes, se quiere decir que los sistemas en cuestión tienen la misma organización topológica delas trayectorias.

Teorema 2.2.1. (Hartman-Grobman). Sean la ecuación diferencial ordinaria X ′ = w(X) de claseC1 sobre un abierto U ⊂ Rn y X0 un punto singular hiperbólico. Sea A = Dw(X0). Entonces,X ′ = w(X) es topológicamente equivalente al campo lineal Y ′ = AY sobre una vecindad V de X0.

2.2.1. Punto singular con valores propios complejos puros

Se estudia a continuación el caso particular de un punto singular con valores propioscomplejos puros ±ωi (no nulos). Así, la matriz A asociada al sistema lineal puede ser escritaen la forma ([14]):

B =

(0 −ωω 0

), (2.6)


con ω 6= 0. Ahora, puede definirse sobre una sección dada por una semirecta desde el puntosingular una aplicación de primer retorno φ. En general, se toma la semirecta horizontalmen-te hacia la derecha (ver figura 2.8). En efecto, la existencia de la aplicación de primer retornose explica observando la transformación del sistema en coordenadas polares. Se puede ob-servar que la parte lineal en el origen del sistema que trataremos está dado en (2.6), dondeun centro en el origen para el sistema lineal puede ser escrito en la forma

FIGURA 2.8: Aplicación de primer retorno de Poincaré.

{r′ = O(r2)

θ′ = ω +O(r).(2.7)

Bajo esta forma, el sistema proporciona información sobre la aplicación de primer retorno.Ahora, para un r pequeño, por ejemplo r < δ, se tiene que θ′ ∈

[ω2, 3ω

2

]y B(0, r) ⊂ U . Tó-

mese ahora una condición inicial (pequeña) r0 ∈ [0, Cδ) con C < 1. Así, para un tiempo Tentre 4π

3ωy 4π

ω, se retorna sobre la sección dada por θ = 0. En este caso C debe ser escogido

suficientemente pequeño para que se cumpla que r(t) < δ para 0 ≤ t ≤ T .

Lo anteriormente expuesto es lo que define la aplicación de primer retorno de Poincaré([15]). Esta aplicación es una de las principales herramientas en el estudio de la estabilidadde un punto singular y de las bifurcaciones de las órbitas periódicas. El siguiente teoremapermite definir la analiticidad de la aplicación de primer retorno.

Teorema 2.2.2. Supóngase el sistema de ecuaciones diferenciales no lineales analítico X ′ = w(X).Sea X0 un punto singular el cual tiene valores propios de parte imaginaria no nula. Entonces laaplicación de primer retorno (definida anteriormente) es analítica.

Demostración. Inicialmente se hace una traslación para retornar X0 al origen y obsérvese elsistema en coordenadas polares. En efecto,

{r′ = f(r)

θ′ = ω + g(r).(2.8)

Este sistema es analítico en r y θ. Ahora supóngase que φ = (φ1, φ2) es el flujo del sistema,donde φ1 representa la coordenada radial y φ2 la coordenada angular. Se tiene entonces que

φ(t,X1) = (φ1(t,X1), φ2(t,X1)) , (2.9)


dondeX1 = (x1, 0) es la condición inicial sobre la sección (ver figura 2.9) y sea T (x1) = T (r0),le tiempo de retorno sobre esta sección, entonces r0 = x1. La condición inicial regresa a (r0, 0).

21

point singulier et des bifurcations des orbites périodiques.

Ainsi, partons du fait que nous travaillons dans un système analytique.

Théorème 1.3.1. Soit X = v(X), un système d’équations différentielles non-linéaires analytique. Soit X0 un point singulier ayant des valeurs propres de partieimaginaire non nulle. Alors, l’application de premier retour définie ci-haut estanalytique.

Fig. 1.6. Section d’une solution périodique

Démonstration. Faisons une translation pour ramener X0 à l’origine et regar-dons le système en coordonées polaires, soit

(r = f(r),

✓ = ! + g(r).(1.3.3)

Ce système est analytique en r et ✓. Soit � = (�1,�2) le flot du système, où �1

représente la coordonnée radiale et �2 la coordonnée angulaire.

On a que

�(t,X1) = (�1(t,X1),�2(t,X1)), (1.3.4)

où X1 = (x1, 0) est la condition initiale sur la section (voir figure 1.6) et soitT (x1) = T (r0), le temps de retour sur cette section. Alors r0 = x1. La conditioninitiale devient (r0, 0).

FIGURA 2.9: Sección de una solución periódica.

Ahora, T (r0) está definida implícitamente por

φ2(T (r0), (r0, 0)) = 2π. (2.10)

La idea es solucionar esta ecuación, o lo que es lo mismo

φ2(t, (r0, 0))− 2π = ψ(t, r0) = 0, (2.11)

en una vecindad de (2πω, 0). Se tiene entonces que

ψ(t0, 0) = φ2

(2π

ω, (0, 0)

)− 2π = 0. (2.12)

A continuación se hace uso del teorema de la función implícita, donde primero se debetener que

∂ψ

∂t

∣∣∣∣(t0,0)

=∂φ2

∂t

∣∣∣∣( 2πω,(0,0))

6= 0. (2.13)

De la definición de flujo

∂φ

∂t(t,X) = w(φ(t,X)), (2.14)

donde w = (f(r), ω + g(r)) tenemos que

∂φ2

∂t= w + g(φ1(t,X)), (2.15)

lo que implica que

∂ψ

∂t

∣∣∣∣(t0,0)

=∂φ2

∂t

∣∣∣∣( 2πω,(0,0))

= ω 6= 0. (2.16)

Así se ha verificado la condición (2.13). Ahora, se aplica el teorema de la función implícitapara funciones analíticas y poder decir entonces que existe una vecindad U de

(2πω, 0), una

vecindad V de 0 y una función analítica T : V → R tales que


ψ(t, r0) = 0, (2.17)

sobre el conjunto U si y sólo si t = T (r0). Así pues, se tiene que T (r0) es analítica y entoncespuede verse que la aplicación de primer retorno de Poincaré,

φ1(T (r0), (r0, 0)) = p(r0), (2.18)

es analítica ya que la composición de funciones analíticas es analítica. Finalmente, comor0 = x1 sobre la sección θ = 0.

La prueba anterior concluye que se tienen dos opciones para el tipo de la singularidad,ya sea un foco débil o un centro. A este punto se le denomina punto monodrómico.

Ahora bien, supóngase p(x) la aplicación de primer retorno definido anteriormente. Siesta aplicación es analítica en 0, entonces se puede decir que las soluciones periódicas son lospuntos fijo de dicha aplicación p o aún los ceros de la aplicación (desplazamiento) definidapor

23

est analytique, car la composition de fonctions analytiques est analytique. Commer0 = x1 sur la section ✓ = 0, la démonstration est terminée.

⇤

Ceci laisse deux choix pour le type de notre singularité, soit un foyer faible ou uncentre. Par définition, un tel point est appelé monodromique.

En effet, soit p(x) l’application de premier retour définie plus haut. Si p(x) estanalytique en 0, alors nous pouvons remarquer que les solutions périodiques sontles points fixes de p ou encore les zéros de l’application déplacement définie par :

V (x) = p(x) � x, (1.3.14)

où V (0) = 0 correspond au point singulier. Regardons la figure 1.7. En sachant

Fig. 1.7. Application de premier retour de Poincaré pour une so-lution périodique

que p est analytique, nous savons également que V est analytique et une applica-tion analytique ne peut avoir une accumulation de zéros. Nous avons alors deuxcas possibles.

– Soit V a des zéros isolés. Donc il n’y a aucun autre zéro que x = 0 dansun voisinage de l’origine. Ceci représente alors le cas d’un foyer.

– Soit V ⌘ 0, ce qui correspond à un centre.

C’est donc ici qu’apparaît notre problème de centre-foyer. Afin de faciliterla compréhension, nous regardons le théorème 1.3.2 ci-dessous et son corollaireassocié provenant de [18]. Mais avant, donnons quelques définitions rigoureusesd’un foyer, d’un centre et d’un centre-foyer. Nous supposons que X0 2 R2 est unpoint singulier isolé du système non-linéaire ayant été translaté à l’origine et nous

FIGURA 2.10: Primer retorno de Poincaré para una solución periódica.

V (x) = p(x)− x, (2.19)

donde V (0) = 0 corresponde al punto singular (ver figura 2.10). Ahora, como p es analítica,se sabe igualmente que V es analítica y una aplicación de este tipo no puede tener unaacumulación de ceros. Así, se tienen dos casos posibles:

Supóngase que V tiene ceros aislados. Entonces no hay ningún otro cero más que x = 0en una vecindad del origen. Esto representa entonces el caso de un foco.

Supóngase que V ≡ 0, entonces este caso corresponde a un centro.

En resumen, esto es lo que se conoce como el problema del foco-centro. Ahora bien, seproporciona el siguiente teorema y sus corolarios con el fin de entender mejor el problema encuestión. Al igual que esto, se dan algunas definiciones de foco, de centro y de foco-centro.

Sea X0 un punto singular aislado en el plano de un sistema no lineal con traslación enel origen y sea (r(t, r0, θ0), θ(t, r0, θ0)) la solución del sistema no lineal en coordenadas po-lares con condiciones iniciales r(0) = r0 y θ(0) = θ0. Las siguientes definiciones puedenencontrarse en el clásico libro de Perko ([14,15]).


Definición 2.2.4. El origen es llamado un foco estable para el sistema no lineal si existe un δ > 0tal que para 0 < r0 < δ y θ0 real, r(t, r0, θ0) → 0y |θ(t, r0, θ0)| → ∞ cuando t → ∞. Ahora, enel sentido contrario, el origen es llamado un foco inestable si r(t, r0, θ0) → 0 y |θ(t, r0, θ0)| → ∞cuando t → −∞. El foco se dice débil si los valores propios del sistema linealizado son imaginariospuros.

Definición 2.2.5. El origen es llamado un centro-foco para el sistema no lineal si existe una sucesiónde soluciones periódicas Γn con Γn+1 al interior de una región (ovalada) definida por Γn tal queΓn → 0 cuando n → ∞ y tal que toda trayectoria entre Γn y Γn+1 espiral hacia Γn o Γn+1 cuandot→ +∞ y hacia Γn+1 o Γ cuando t→ −∞. (ver figura 8)

Ahora, el teorema central propuesto en ([14,17]) se presenta a continuación.

Teorema 2.2.3. Sea U un subconjunto abierto del plano que contiene al origen y sea v ∈ C1(E) conw(0) = 0. Supóngase que el origen es un centro para el sistema lineal asociado con A = Dw(0).Entonces en origen será un centro, un centro-foco o un foco para el sistema no lineal.

La demostración del teorema puede encontrarse en ([14]). A continuación se presenta unejemplo del caso centro-foco.

Ejemplo 2.2.1. Supongamos el sistema C∞ (no analítico):{r′ = f(r)

θ′ = 1,(2.20)

donde f(r) es la función

f(r) =

{e−

1r sin

(1r

), r > 0

0, r = 0.

Puede verse que este sistema tiene un equilibrio estable en el origen que no es ni un centro ni unfoco. En efecto, no puede verse la apariencia de las trayectorias tomando valores precisos de r. Sear ∈ { 1

π, 12π, 13π, . . . , 1

nπ, . . .}, tenemos que e−

1r sin

(1r

)= 0 y entonces se tiene la presencia de ciclos

límites. Sea en particular el valor r = 1nπ

y obsérvese su trayectoria ([16,18]). Por lo tanto,{r′ = 0

θ′ = 1.(2.21)

Así pues, esta trayectoria es un ciclo límite de radio 1nπ

. Se tiene entonces una infinidad de cicloslímites. Un ciclo sobre dos es atractivo y los otros son repulsivos. Las trayectorias (espiralmente)entre estos ciclos límites hacia el que es atractivo y regresando en el tiempo hacia el que es repulsivo.Esto corresponde a la definición de centro-foco. Una idea de esto puede verse en el retrato de fase de lafigura 8.

El siguiente corolario nos muestra la descripción de la situación para un sistema analítico.

Corolario 2.2.1. Sea un abierto U del plano que contiene al origen y sea w analítico en U conw(0) = 0. Supóngase que el origen es un centro para el sistema lineal con A = Dw(0). Entonces elorigen o es un centro o un foco para el sistema no lineal.

Con una buena idea hasta el momento sobre el problema del centro-foco, el interés secentra en un sistema analítico que tenga un centro en el origen para el sistema lineal asociadoy se intentará probar si el origen en un centro o un foco para el sistema no lineal.


2.2.2. Formas normales para un sistema con dos valores propios imagina-rios puros

Acá se presenta la forma normal para un sistema analítico en una vecindad de un puntosingular con dos valores propios imaginarios puros. Para una detallada descripción del te-ma, se puede consultar en ([14]). Por lo tanto, acá se limita solamente al caso de los valorespropios imaginarios puros (±ωi). El ejemplo siguiente será vital en el desarrollo del trabajo.Sean los valores propios imaginarios puros λ1 = ωi y λ2 = −ωi del sistema

{x′ = P (x, y)

y′ = Q(x, y).(2.22)

Ahora bien, este sistema tomando z = x+ iy adopta la forma

z′ = iωz + f2(z, z) + f3(z, z) + · · ·z′ = −iωz + f2(z, z) + f3(z, z) + · · · ,

(2.23)

donde fr(z, z) es homogénea de grado r. Es importante resaltar que sólo interesa en el casoparticular donde la matriz A es diagonal.

En el caso de las formas normales para un sistema no lineal con matriz A diagonal, esposible desarrollar la teoría de formas normales de la siguiente forma para un sistema ([19])

(x′

y′

)=

(λ1 00 λ2

)(xy

)+

(g1(x, y)g2(x, y)

), (2.24)

donde gi(x, y) = O(|x, y|). Sean λ1, λ2 los valores de este sistema. La idea de la forma normales hacer cambios de coordenadas para simplificar al máximo el sistema. Ahora bien, losmonomios que nos interesan son los monomios resonantes, los cuales se escribirán en nuestrocaso como zm1 zm2 y serán de la forma

< λ,m >= λs, (2.25)

donde m = (m1,m2), λ = (λ1, λ2) y s = 1, 2. Esto permite así analizar el caso particular de lapresencia de dos valores imaginarios puros. Por lo tanto, se tiene λ1 = ωi y λ2 = −ωi. Ahora,para el caso s = 1, se hallan los monomios resonantes en la primera ecuación. En efecto, setiene

λ1 = m1λ1 +m2λ2, conmj ≥ 0 y m1 +m2 ≥ 2

⇔ ωi = m1ωi−m2ωi

⇔ 1 = m1 −m2

⇔ m1 = m2 + 1, m2 ≥ 1.

(2.26)

Por lo tanto, los monomios resonantes de la primera ecuación son entonces

z2z, z3z2, . . . , zr+1zr, . . . (2.27)


Para s = 2, se tiene la segunda ecuación.

λ2 = m1λ1 +m2λ2, conmj ≥ 0 y m1 +m2 ≥ 2

⇔ −1 = m1 −m2

⇔ m2 = m1 + 1.

(2.28)

Los monomios resonantes de la segunda ecuación son entonces

zz2, z2z3, . . . , zrzr+1, . . . (2.29)

Puede verse entonces que estos son los conjugados de los monomios resonantes de laprimera ecuación. Por lo tanto, haciendo un cambio de variable se obtiene

z = Z +Q(Z,Z)

z = Z +Q(Z,Z),(2.30)

con Q de grado 2s+ 1. Así pues el sistema adopta la forma{Z ′ = ωiZ + c1Z

2Z + c2Z3Z

2+ · · ·+ csZ

s+1Zs

+O (|Z|2r+2)

Z′= −ωiZ + c1Z

2Z + c2Z

3Z2 + · · ·+ csZ

s+1Zs +O

(|Z|2r+2

) (2.31)

En general, en el infinito, el cambio será divergente. Para el caso Re(cj) = 0, se obtieneconvergencia, lo que corresponde al caso de un centro. Si por el contrario, sabiendo que todoslos valores Re(cj) son nulos hasta j = s− 1 y que Re(cs) 6= 0, es decir,

Re(c1) = Re(c2) = · · · = Re(cs−1) = 0

Re(cs) 6= 0,(2.32)

entonces el sistema en coordenadas polares queda en la forma{r′ = Re(cs)r

2s+1 +O(r2s+1)

θ′ = ω +O(r),(2.33)

donde puede verse que se tiene un foco débil atractivo si Re(cs) < 0 y repulsivo si Re(cs) > 0.Se dice que este foco débil es de orden k. Ahora, si los Re(cj) son nulos, entonces se tiene uncentro. Esto es expresado por el teorema de Poincaré que se verá mas adelante.

Ahora bien, si tomando cj = aj + ibj se obtiene{r′ = a1r

3 + a2r5 + · · ·+ akr

2k+1 +O(r2s+2)

θ′ = ω + b1r2 + · · ·+ bkr

2k +O(r2s+2).(2.34)

Una pregunta interesante es sobre los valores de los cj . El cálculo de los cj puede reali-zarse utilizando un software de manipulación simbólica. La fórmula del primer coeficientees bien conocida. Sabiendo que cj = aj + ibj , puede encontrarse el primer coeficiente de laforma normal, para un sistema con dos valores propios imaginarios puros.


Proposición 2.2.1. Si tenemos el sistema

x′ = −ωy +∑

k+j≥2

ajkxjyk

y′ = ωy +∑

k+j≥2

bjkxjyk,

(2.35)

entonces

Re(c1) =1

8(3a30 + a12 + b21 + 3b03) +

1

8ω[a11(a20 + a02)− b11(b20 + b02)− 2a20b20 + 2a02b02] .

(2.36)

A continuación se introduce el teorema de Poincaré, el cual proporcionará un criteriopreciso para determinar si se está en presencia de un centro.

Teorema 2.2.4. (Teorema de Poincaré). Sea un sistema analítico con un punto singular con dosvalores propios imaginarios puros. Si todos los Re(cj) son nulos, donde los cj son los coeficientes dela forma normal (2.31), entonces el punto singular es un centro.

Para detalles de la demostración puede verse ([14 ]). El teorema de Poincaré utiliza lasconstantes de Lyapunov que se introducen a continuación. Este teorema proporciona una con-dición suficiente para lograr determinar la existencia de un centro en el problema del foco-centro. En general, se puede calcular los primeros coeficientes con la ayuda de un software.Para efectivamente mostrar la existencia de un centro, hay varias formas de hacerlo, una delas cuales se presentarán en el siguiente capítulo. Cabe recalcar que en este trabajo se utilizaen lugar de Re(cj) las constantes de Lyapunov L(j).

Proposición 2.2.2. (Constantes de Lyapunov). Para un sistema de la forma (2.35), existe una serieformal de la forma

F :=1

2(x2 + y2) +

∞∑

p=3

Fp(x, y), (2.37)

donde

Fp(x, y) =

p∑

i=0

ai,p−ixiyp−i, (2.38)

tal que

F ′ =∞∑

k=1

L(k)(x2 + y2)k+1. (2.39)

Acá, los L(k) son las denominadas constantes d eLyapunov.

Es posible obtener operando grado a grado (para un grado dado), un sistema de variablesno conocidas ai,p−i. Acá, el principio es sencillo (pero los cálculos son un poco tediosos). Setiene entonces que

F ′ =∞∑

p=3

Gp(x, y). (2.40)


Cuando el grado p de Gp es impar, se puede solucionar el sistema Gp = 0 y encontrarasí las ai,p−i. Cuando el grado de p es par, hay que escoger L(k − 1) para que el sistemaGp = L(k− 1)(x2 + y2)k sea compatible. Sin embargo, utilizando un software de cálculo sim-bólico, es posible determinar las primeras constantes de Lyapunov.

El siguiente teorema establece que es posible enunciar el teorema de Poincaré con lasconstantes de Lyapunov.

Teorema 2.2.5. Supóngase el sistema de ecuaciones diferenciales de la forma (1.1) con un puntosingular con dos valores propios imaginarios puros. Entonces, el sistema posee un centro en el origensi y solo si todas las constantes de Lyapunov son nulos.

Una prueba de este teorema se puede encontrar en ([14]). Se vió de manera intuitiva quesi todas las constantes de Lyapunov son nulas, entonces la serie F es una integral primeraformal del sistema, es decir, que ella es constante sobre todas las trayectorias del sistema. Demanera semejante se puede decir que el sistema tiene un foco débil de orden k si

L(1) = L(2) = · · · = L(k − 1) = 0

yL(k) 6= 0.

Este foco es atractivo si L(k) < 0 y repulsivo si L(k) > 0. En efecto, la función hallada esuna función de Lyapunov. Las constantes de Lyapunov y las partes reales de los coeficientescj de la forma normal no son extraños entre si. En efecto, en el caso donde el sistema está yaen la forma normal de Poincaré (2.31), se tiene que

f(x, y) =1

2(x2 + y2) =

1

2zz,

entonces L(i) = Re(ci). Ahora, puede enunciarse la siguiente proposición.

Proposición 2.2.3. Sea el sistema analítico de ecuaciones diferenciales no lineales X ′ = w(X) conun punto singular en el origen de parte lineal

(0 −ωω 0

). (2.41)

Sea L(k) sus constantes de Lyapunov y sea (2.31) su forma normal. Entonces

Re(c1) = Re(c2) = · · · = Re(ck−1) = 0, Re(ck) 6= 0

⇐⇒L(1) = L(2) = · · · = L(k − 1) = 0, L(k) 6= 0.

(2.42)

Además, Re(ck) y L(k) tienen el mismo signo.

En efecto, se podría simplemente observar como se comportan los L(k) fuera de los cam-bios de variable que llevan el sistema bajo la forma normal de Poincaré. Un análisis másdetallado se puede encontrar en ([6]).


Finalmente, se puede decir que el teorema de Poincaré no ayuda a encontrar todas lasconstantes de Lyapunov, ya que el cálculo es aún imposible, sin embargo es posible calcularalgunas L(j) de forma computacional y el cálculo es más simple que el de las Re(cj).

19

Capítulo 3

El método de Darboux

3.1. Introducción

En el capítulo anterior se describió el problema del centro-foco. Resumiendo, este pro-blema se refiere a que si tenemos un sistema no lineal y analítico, el sistema lineal asociadotiene una singularidad monodrómica, por ejemplo en el origen (sin perdida de generalidad)dos casos son posibles para el origen en el sistema no lineal, ya sea un centro o un foco débil.Se busca ahora un criterio que permita determinar el tipo de esta singularidad.

En este capítulo, se presenta el método objetivo de la presente investigación para la re-solución del problema centro-foco, el cual permite concluir la existencia de un centro. Unode los mecanismos para demostrar la existencia de un centro fue conjeturado por Zoladek yse trata de la existencia de curvas algebraicas invariantes con las cuales podemos construirun factor integrante o una integral primera, lo que se conoce como el método de Darboux, quepor definición, un centro de este tipo es llamado el centro de Darboux.

3.2. El método de Darboux

Se discute a continuación el mecanismo que nos permite determinar la existencia de uncentro en un campo de vectores polinomial; tal mecanismo es el método de Darboux. Prime-ro, debemos presentar la definición de las nociones de curvas algebraicas, curvas algebraicasinvariantes y de integrales primeras.

Supóngase el sistema polinomial no lineal{x′ = P (x, y)

y′ = Q(x, y).(3.1)

Se presenta a continuación, la definición de curva algebraica.

Definición 3.2.1. Una curva algebraica es el conjunto de puntos (x, y) ∈ C2 tales que F (x, y) = 0,donde F es un polinomio de C[x, y].

De acuerdo al sistema (3.1), se puede dar igualmente la definición de una curva alge-braica sobre el flujo de un campo de vectores. Es importante recalcar que este sistema estátambién definido para x, y ∈ C.

Capítulo 3. El método de Darboux 20

Definición 3.2.2. La curva algebraica F (x, y) = 0, donde F es un polinomio de C[x, y], se diceinvariante sobre el flujo del campo vectorial (3.1) si

F ′|F (x,y)=0 = 0. (3.2)

De igual forma, se puede introducir la siguiente proposición:

Proposición 3.2.1. SeaF (x, y) = 0 un polinomio irreducible de C[x, y]. La curva algebraica F (x, y) =0 es invariante bajo el flujo del campo vectorial (3.1) si y sólo si existe un polinomioK(x, y) ∈ C[x, y]tal que

F ′ =dF

dt= K(x, y)F (x, y). (3.3)

Demostración. ComoF ′ =

dF

dxP (x, y) +

dF

dyQ(x, y) (3.4)

es un polinomio de coeficientes complejos que se anula cuando F (x, y) = 0, este polinomiodebe entonces ser divisible por F (x, y) ya que F es irreducible. Así pues es posible escribirF ′ como

F ′ = K(x, y)F (x, y). (3.5)

Es de anotar que la otra implicación se demuestra de forma directa. Entonces, si existe unpolinomio K(x, y) ∈ C[x, y] tal que

F ′ =dF

dt= K(x, y)F (x, y), (3.6)

entoncesF ′|F (x,y)=0 = 0. (3.7)

Se tiene que la curva algebraica F (x, y) = 0 es invariante bajo el flujo.

Acá, se llama al polinomio K(x, y) el cofactor de F (x, y). Ahora se presenta el método deDarboux, objetivo de este trabajo. Interesa en primera medida el papel de las curvas inva-riantes en la construcción de integrales primeras y de factores integrantes de tipo de Dar-boux, las cuales son por definición, funciones que se expresan como productos de potenciasde polinomios Fi tal que Fi(x, y) es una curva algebraica invariante.

Definición 3.2.3. Una integral primera de un sistema es una función no constante que es constantesobre todas las trayectorias de este sistema.

El método de Darboux permite entonces encontrar una integral primera de un campode vectores polinomial de la forma (3.1). Supóngase ahora que el campo tiene m curvasalgebraicas invariantes, denotadas

F1(x, y) = 0, . . . , Fm(x, y) = 0, (3.8)

con Fi(x, y) = 0 ireducible, para i = 1, 2, . . . ,m. Es importante notar que cada una de estascurvas tiene su respectivo cofactor K1(x, y), . . . , Km(x, y). Se puede entonces escribir

F ′i = Ki(x, y)Fi(x, y). (3.9)


Supóngase ahora que existen constantes α1, . . . , αm ∈ C tales que

m∑

i=1

αiKi(x, y) = 0. (3.10)

Para la obtención de una integral primera asociada al sistema, se hace uso de la siguienteproposición.

Proposición 3.2.2. Considérese un sistema de la forma (3.1) con curvas algebraicas invariantes,Fi(x, y) = 0, donde Fi(x, y) = 0 un polinomio irreducible, donde i = 1, . . . ,m tales que (3.10) sesatisface para constantes αi, no todos nulos. Entonces, la función

H(x, y) =m∏

i=1

Fαii , (3.11)

es una integral primera del sistema en cuestión.

Demostración. Sea H = Fα11 · · ·Fαm

m . Se puede entonces escribir:

dH

dt= α1F

α1−11 (Fα2

2 · · ·Fαmm )F ′1 + · · ·+ αmF

αm−1m (Fα1

1 Fα22 · · ·Fαm−1

m−1 )F ′m

= K1α1Fα11 (Fα2

2 · · ·Fαmm ) + · · ·+KmαmF

αmm (Fα1

1 Fα22 · · ·Fαm−1

m−1 )

= (α1K1 + α2K2 + · · ·+ αmKm)H

= 0,

donde H es una integral primera del sistema.

Ejemplo 3.2.1. Se muestra a continuación que el sistema de ecuaciones diferenciales adjunto tienetres rectas invariantes y se deduce una integral primera del mismo.

Sea el sistema {x′ = x(1 + x− y)

y′ = y(−1 + x− y).(3.12)

Se puede ver que x = 0 y y = 0 son dos rectas invariantes las cuales pueden ser escritas comoF1 = x = 0 y F2 = y = 0. En efecto, para verificar que son invariantes se tiene que para F1:

F ′1 = x′ = x(1 + x− y) = (1 + x− y)x = K1F1,

con K1(x, y) = 1 + x− y. Ahora, para F2 se obtiene

F ′2 = y′ = y(−1 + x− y) = (−1 + x− y)y = K2F2,

con K2(x, y) = −1 + x− y. Ahora, para encontrar la tercera recta invariante, se realiza el siguienteanálisis: x′ = 0 y y′ = 0si x = y = 0. x′ = 0 si y = 0 y x0 − 1 (con x 6= 0). Finalmente, y′ = 0 six = 0 y y = −1 (con y 6= 0).

Por consiguiente, se tendría la recta invariante F3 = y + x+ 1 = 0. En efecto,


F ′3 = y′ + x′ = −y + xy − y2 + x+ x2 − xy= x2 − y2 + x− y= (x− y)(x+ y) + (x− y)

= (x− y)(x+ y + 1)

= K3F3,

con K(x, y) = x− y.

Ahora bien, para encontrar una integral primera con la ayuda del método de Darboux, se buscan

constantes α1, α2 y α3 sabiendo que3∑

i=1

αiKi(x, y) = 0. Así pues se tiene que:

α1(1 + x− y) + α2(−1 + x− y) + α3(x− y) = 0

(α1 − α2) + (α1 + α2 + α3)x+ (−α1 − α2 − α3)y = 0,

por lo que α1 − α2 = 0 implica que α1 = α2. Ahora, si α1 + α2 + α3 = 0, se tiene que α3 = −2α2.Si por ejemplo, α2 = 1, entonces α1 = 1 y α3 = −2. Así pues

H(x, y) =3∏

i=1

Fαii = Fα1

1 Fα22 Fα3

3

= (x)1(y)1(y + x+ 1)−2

=xy

(y + x+ 1)2.

Vale la pena notar que H(x, y) es constante a lo largo de las trayectorias, en efecto,

dH

dt= Hxx

′ +Hyy′ =

y2 + y − xy(x+ y + 1)3

x′ +x2 − xy + x

(x+ y + 1)3y′

=1

(x+ y + 1)3[(y2 + y − xy)(x+ x2 − xy) + (x2 − xy + x)(−y + xy − y2)

]

=1

(x+ y + 1)3[(y2 + y − xy)(x+ x2 − xy)− (x+ x2 − xy)(y2 + y − xy)

]

= 0.

Ahora, por definición, un factor integrante es una función M(x, y) 6= 0 tal que el sistema{x′ = P (x, y)M(x, y)

y′ = Q(x, y)M(x, y)(3.13)


es Hamiltoniano, ya sea de la forma{x′ = ∂H

∂y

y′ = −∂H∂x

(3.14)

para una función H(x, y), lo que es equivalente a

div(PM,QM) = 0, (3.15)

en una vecindad del punto singular ya que el dominio es simplemente conexo.

Proposición 3.2.3. Considérese el sistema (3.1) con curvas algebraicas invariantes, Fi(x, y) = 0,donde Fi(x, y) = 0 es un polinomio irreducible, con i = 1, . . . ,m, tales que (3.10) se satisface paraconstantes αi (no todas nulas). Entonces, si

M =m∏

i=1

Fαii (3.16)

ym∑

i=1

αiKi + div(P,Q) = 0, (3.17)

entonces M es un factor integrante.

Demostración. Inicialmente se quiere que div(PM,QM) = 0. Sea

div(PM,QM) = P∂M

∂x+Q

∂M

∂y+M

(∂P

∂x+∂Q

∂y

). (3.18)

En la proposición (3.22) se mostró que

dH

dt= (α1K1 + α2K2 + · · ·+ αmKm)H, (3.19)

donde

H(x, y) =m∏

i=1

Fαii . (3.20)

Acá, H = M . EntoncesdM

dt= M

(m∑

i=1

αiKi

). (3.21)

También se tiene que

dM

dt=∂M

∂x

dx

dt+∂M

∂y

dy

dt= P

∂M

∂x+Q

∂M

∂y(3.22)


y por tanto

div(PM,QM) = P∂M

∂x+Q

∂M

∂y+M

(∂P

∂x+∂Q

∂y

)

=dM

dt+M(div(P,Q))

= M

(m∑

i=1

αiKi

)+M(div(P,Q))

= M

(m∑

i=1

αiKi + div(P,Q)

)

= 0

(3.23)

utilizando la hipótesis. Se tiene finalmente que

div(PM,QM) = 0, (3.24)

donde M es entonces un factor integrante.

Ahora se puede entonces obtener una integral primera por integración; lo que resumeentonces el método de Darboux el cual da un criterio para determinar si una singularidaden un sistema no lineal analítico es un centro.

A continación se presentan dos ejemplos de aplicación en los cuales podemos utilizar elmétodo de Darboux para determinar la existencia de un centro.

Ejemplo 3.2.2. Supóngase el sistema polinomial{x′ = −x2 − y + 3y2

y′ = x(1 + y).(3.25)

Puede verse que es posible hallar una recta invariante y una cónica invariante para este sistema. Asípues, es fácil ver que la recta y = −1 es una recta invariante para (3.25). De igual forma, dicha rectapuede ser escrita como

F1(x, y) = y + 1 = 0.

Se puede verificar que esta recta es efectivamente invariante. Ahora, escribiendo

F ′1 = y′ = x(1 + y) = F1K1, (3.26)

se obtiene el cofactorK1 = x. Por consiguiente, se puede encontrar la ecuación de la cónica invariantesabiendo que esta cónica debe ser escrita bajo la forma general

F2(x, y) = Ax2 +By2 + Cy + 1 = 0. (3.27)

En efecto, como el sistema es reversible respecto al eje y, se puede limitar a cónicas simétricas respectoal eje y. La ecuación de esta cónica (no pasando por el origen) toma la forma (3.26). De igual formapuede hallarse la ecuación F2 de esta cónica y su cofactor K2, calculando F ′2 y escribiendo F ′2 =F2(x, y)K2(x, y). Por lo tanto


F ′2 = 2Axx′ + 2Byy′ + Cy′

= 2Ax(−x2 + y + 3y2) + 2By(x+ xy) + C(x+ xy)

= −2Ax3 + (6A+ 2B)xy2 + (−2A+ 2B + C)xy + Cx

= −2x

(Ax2 + (−3A−B)y2 +

(A−B − C

2

)y − C

2

).

(3.28)

Realizando la comparación de los términos de x3, se encuentra que K2 = −2x. Sabiendo finalmenteque la última linea debe ser igual a

− 2x(Ax2 +By2 + Cy + 1), (3.29)

donde −2x sería el cofactor K2. Realizando la comparación término a término se puede encontrarA,B y C, donde

A = −6

5; B =

9

5; C = −2 (3.30)

Así pues, después de algunas manipulaciones aritméticas se tiene que la ecuación de nuestra cónicainvariante es

F3(x, y) = −6x2 + 9y2 − 10y + 5 = 0, (3.31)

donde su cofactor es K3(x, y) = −2x.

Después de todo lo expuesto, se puede ya utilizar el método de Darboux para encontrar una inte-gral primera. Se busca α1 y α3 sabiendo que

α1K1(x, y) + α3K3(x, y) = 0. (3.32)

A continuación se halla α1 y α3.

−2xα1 + xα3 = 0, ∀x, y⇔ (−2α1 + α3)x = 0, ∀x, y

⇔ α3 = 2α1.

(3.33)

Tómese por ejemplo, α1 = 1 y α3 = 2. Se encuentra entonces la ecuación de una integral primerahallada por el método de Darboux, es decir,

H = F 11F

23 = (−6x2 + 9y2 − 10y + 5)(y + 1)2. (3.34)

Analizando esta función, es posible señalar que H tiene un máximo estricto en (0, 0) y entonces suscurvas de nivel son cerradas en una vecindad del origen. Por consiguiente puede concluirse que elorigen es un centro por el método de Darboux.

Observación. Este ejemplo permitió poner en aplicación el método de Darboux, al igualque es posible mostrar que este sistema es reversible respecto al eje y.

Ejemplo 3.2.3. Sea el sistema {x′ = −x2 − y + y2

y′ = x+ xy.(3.35)


En este caso, puede verse que el sistema es temporalmente reversible respecto al eje y. Para ello, debeverificarse que

P (−x, y) = P (x, y) y Q(−x, y) = Q(x, y).

En efecto se tiene que

P (−x, y) = −y − (−x)2 + y2 = P (x, y)

yQ(−x, y) = −x− xy = −(x+ y) = −Q(x, y),

así pues es posible concluir que el origen es un centro ya que todo centro es analíticamente reversible.Ahora, se ve fácilmente que y = −1 es una recta invariante para el sistema, es decir, si se escribeF1(x, y) = y + 1 = 0, se puede verificar que esta recta es invariante, en efecto,

F ′1 = y′ = x+ xy = x(1 + y) = xF1(x, y) = K1F1(x, y),

de donde K1(x, y) = x es el cofactor de F1(x, y). Seguidamente, para encontrar la ecuación de lacónica invariante, se escribe su ecuación bajo la forma general (puesto que el sistema es reversiblerespecto al eje y)

F2(x, y) = αx2 + βy2 + γy + 1 = 0. (3.36)

Así pues, para encontrar la ecuación F2 de la cónica y su cofactor K2, se calcula F ′2. Entonces seobtiene que

F ′2 = 2αxx′ + 2βyy′ + γy′

= 2αx(−y − x2 + y2) + 2βy(x+ xy) + γ(x+ xy)

= −2αx3 + 2(α + β)xy2 + (−2α + 2β + γ)xy + γx

= −2x[αx2 + (α− β)y2 +

(α− β − γ

2

)y − γ

2

].

Ahora bien, como F ′2 = K2(x, y)F2(x, y), se tiene que

−2x[αx2 + (α− β)y2 +

(α− β − γ

2

)y − γ

2

]= K2(x, y)(αx2 + βy2 + γy + 1).

Acá se observa queK2(x, y) = −2x sería el cofactor. Ahora, se hallan los valores α, β y γ comparandolos términos. Se tiene que −α − β = β, lo que implica que α = −2β. Como −γ

2= 1 se tiene que

γ = −2 y finalmente la ecuación α− β − γ2

= γ, lo que implica que β = 1, de donde α = −2. Por lotanto, la ecuación de la cónica está dada por

F2(x, y) = −2x2 + y2 − 2y + 1,

con confactorK2(x, y) = −2x. Ahora, con la ayuda del método de Darboux se encuentra una integralprimera del sistema. Para ello, se busca α1 y α2 tales que α1K1(x, y) + α2K2(x, y) = 0, entonces


α1x+ α2(−2x) = 0

α1x− 2α2x = 0

(α1 − 2α2)x = 0 ⇔ α1 = 2α2.

Ahora, si por ejemplo α2 = 1 entonces α1 = 2, por consiguiente la ecuación de una integral primeradel sistema es

H(x, y) = Fα11 Fα2

2 = (y + 1)2(−2x2 + y2 − 2y + 1).

Seguidamente, si se analiza la función

H(x, y) = −2x2y2 + y4 + 2y3 − 2y2 − 4x2y − 2x2 + 1,

se concluye que H(x, y) tiene un máximo en (0, 0) y entonces las curvas de nivel son cerradas en unavecindad del origen, y así se deduce que el origen es un centro (método de Darboux).

Observación. Es fácil ver que la linealización del sistema A en (0, 0) está dada por

A =

(0 −11 0

),

y entonces hay dos valores propios de la forma ±i, lo que ayuda a concluir que se tiene uncentro en el origen.

28

Capítulo 4

Aplicación al modelo generalizado deGauss

4.1. Introducción

El objeto de estudio es el modelo de Gauss generalizado (con cosecha de presas), el cualtiene la siguiente forma simplificada:

{x′ = ρx(1− x)− p(x)y − λy′ = −δy + p(x)y,

(4.1)

con x, y ≥ 0. Acá, se tiene cinco parámetros reales ρ, α, δ, λ los cuales son estrictamentepositivos y β adopta cualquier valor real, donde

p(x) =x2

αx2 + βx+ 1. (4.2)

A continuación, se hace el estudio de los puntos singulares para este sistema.

4.2. Puntos singulares del sistema

En esta sección, se estudian los puntos singulares del sistema (4.1) al igual que la descrip-ción de su tipo. Se inicia señalando que la recta de ecuación y = 0 es invariante bajo el flujodel sistema (4.1). Igualmente, se recalca que el eje de las ordenadas no es invariante cuandoλ 6= 0, lo que significa que el modelo no es adecuado cuando x es muy pequeño.

Es importante recordar ahora que el cálculo de los puntos singulares del sistema (4.1)donde

p(x) =x2

αx2 + 1, (4.3)

con β = 0. Estas son las soluciones del sistema de ecuaciones siguiente con x, y desconocidas:{ρx(1− x)− yp(x)− λ = 0

y(−δ + p(x)) = 0,(4.4)

con x, y ≥ 0. Tomando la segunda ecuación, tenemos que y = 0 o p(x) = δ. Para y = 0, laprimera ecuación adopta la forma

Capítulo 4. Aplicación al modelo generalizado de Gauss 29

ρx2 − ρx+ λ = 0. (4.5)

Calculando el discriminate de esta ecuación cuadrática se tiene:

∆ = ρ(ρ− 4λ). (4.6)

Así pues, se tienen los siguientes casos:

1. Cuando ρ < 4λ, no se tiene punto singular sobre y = 0.

2. Cuando ρ = 4λ, entonces (12, 0) es un punto singular doble.

3. Cuando ρ > 4λ, entonces la ecuación (4.5) tiene dos soluciones que llamaremos acá x01y x02, tales que

x01 =1

2−√ρ(ρ− 4λ)

2ρ, x02 =

1

2+

√ρ(ρ− 4λ)

2ρ. (4.7)

Así pues, C = (x01, 0) y D = (x02, 0) son puntos singulares. (Ver cuadro 4.1)

Veáse ahora el caso p(x) = δ. Se busca entonces el punto X0 ≥ 0 tal que p(x0) = δ.Utilizando la ecuación (4.4), se tiene que

y0 =1

δ(ρx0(1− x0)− λ). (4.8)

Finalmente se halla quep(x) = δ ⇐⇒ (αδ − 1)x2 + δ = 0. (4.9)

Se podría ahora analizar los casos para (αδ − 1) > 0, (αδ − 1) > 0 o (αδ − 1) = 0. Aunque(4.7) puede tener dos soluciones positivas, para uno de las dos soluciones, el valor de ycorrespondiente es negativo. Así pues, se tiene 0 o 1 punto singular en el primer cuadrante.Cuando el punto existe, por ejemplo E, este sale del primer cuadrante confundiéndose conC o D, lo cual puede verse de forma resumida en el cuadro 4.1.

Región Puntos singularesρ < 4λ Ningunoρ = 4λ (1

2, 0) es un punto doble si δ 6= 1

α+4, (C = D)

y es un punto triple si δ = 1α+4

, (C = D = E)

ρ > 4λ y x0 ∈]x01, x02[ C,D y E = (x0, y0) donde p(x0) = δ

y y0 = ρx0(1−x0)−λδ

ρ > 4λ y x0 = x01 (C = E) es un punto doble y Dρ > 4λ y x0 = x02 C y (D = E) es un punto doble

ρ > 4λ y x0 ∈]0, x01[∪ ]x02,+∞[ C y D

CUADRO 4.1: Puntos singulares del sistema dependiente de los valores de losparámetros.

Ahora, se puede analizar el tipo de cada uno de los puntos singulares, para ello se pro-porciona solamente ciertos elementos claves y las conclusiones con base al cuadro 4.1.


La matriz jacobiana del sistema (4.1) considerando siempre β = 0 está dada por

J(x, y) =

(ρ− 2ρx− 2xy

(αx2+1)2−p(x)

2xy(αx2+1)2

−δ + p(x)

). (4.10)

Así pues, con base a la tabla anterior se va a estudiar dos casos distintos: ρ = 4λ y ρ > 4λ.Para el caso ρ = 4λ, se tiene que el punto singular doble B = (1

2, 0) con una matriz jacobiana

en este punto vale

J(B) =

(0 1

(α+4)

0 −δ + 1(α+4)

). (4.11)

Puede verse que B = (12, 0) es entonces una silla-nodo de multiplicidad 2 si δ 6= 1

(α+4)y una

silla nilpotente de multiplicidad 3 si δ = 1(α+4)

. Ahora, para el caso ρ > 4λ, se necesita desa-rrollar un poco de mas trabajo. Se procede a iniciar con la siguiente definición.

Región Puntos singulares tipoδ < p(1

2− τ) C,D,E C es un nodo repulsivo

D,E son sillas hiperbólicasδ = p(1

2− τ) C,D C es un nodo repulsivo

D es una silla hiperbólicap(1

2− τ) < δ < p(1

2) C,D,E C y D son sillas hiperbólicas

E es una anti-sillap(1

2) ≤ δ < p(1

2+ τ) C,D,E C y D son sillas hiperbólicas

E es un foco/nodo atractivoδ = p(1

2+ τ) C,D C es una silla hiperbólica

D es un nodo-silla atractivoδ > p(1

2+ τ) C,D,E D es un nodo atractivo

C,E son sillas hiperbólicas

CUADRO 4.2: Puntos singulares del sistema dependiente de los valores de losparámetros

Definición 4.2.1. Una anti-silla de montar es un punto singular en el cual el producto de los valorespropios es positivo. Así, una anti-silla de montar es entonces, ya sea un nodo, un foco, un foco débil oun centro.

El cuadro 4.2 resume lo anteriormente dicho. Ahora, se proporciona el valor de x01 y x02.

x01 =1

2−√ρ(ρ− 4λ)

2ρ, x02 =

1

2+

√ρ(ρ− 4λ)

2ρ. (4.12)

Denótese x01 = 12− τ y x02 = 1

2+ τ , donde

τ =

√ρ(ρ− 4λ)

2ρ. (4.13)


Las posibilidades de centro o las bifurcaciones de Hopf se dan cuando E es una anti-silla.Acá interesa igualmente interesa el caso límite donde ρ = 4λ y por la condición para teneruna silla nilpotente, sea δ = 1

α+4. Hasta acá, los puntos C,D y E se pueden fusionar. En

las siguientes figuras, se representan los retratos fase de E como centro y de C,D y E sefusionan.

57

Région Points Singuliers Type� < p(1

2� ⌘) C,D,E C est un noeud répulsif

D,E sont des cols hyperboliques� = p(1

2� ⌘) C,D C est un col-noeud répulsif

D est un col hyperboliquep(1

2� ⌘) < � < p(1

2) C,D,E C et D sont des cols hyperboliques

E est un anti-sellep(1

2) � < p(1

2+ ⌘) C,D,E C et D sont des cols hyperboliques

E est un (foyer/noeud) attractif� = p(1

2+ ⌘) C,D C est un col hyperbolique

D est un col-noeud attractif� > p(1

2+ ⌘) C,D,E D est un noeud attractif

C et E sont des cols hyperboliquesTab. 3.2. Types des points singuliers pour ⇢ > 4� [11]

Fig. 3.4. Comparaison entre centre et col nilpotent

3.3. Analyse des bifurcations du système

Il y a quatre types de bifurcations dans ce système. Nous nous attarderonsplus précisément à la bifurcation de Hopf au voisinage du point singulier E =

(x0, y0) avec x0 2⇤x01,

12

⇥à la section 3.3.1 et à la bifurcation de col nilpotent au

voisinage du point singulier (12, 0) lorsque ⇢ = 4� et � = 1

↵+4à la section 3.3.2.

FIGURA 4.1: E: Centro

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Région Points Singuliers Type� < p(1

2� ⌘) C,D,E C est un noeud répulsif

D,E sont des cols hyperboliques� = p(1

2� ⌘) C,D C est un col-noeud répulsif

D est un col hyperboliquep(1

2� ⌘) < � < p(1

2) C,D,E C et D sont des cols hyperboliques

E est un anti-sellep(1

2) � < p(1

2+ ⌘) C,D,E C et D sont des cols hyperboliques

E est un (foyer/noeud) attractif� = p(1

2+ ⌘) C,D C est un col hyperbolique

D est un col-noeud attractif� > p(1

2+ ⌘) C,D,E D est un noeud attractif

C et E sont des cols hyperboliquesTab. 3.2. Types des points singuliers pour ⇢ > 4� [11]

Fig. 3.4. Comparaison entre centre et col nilpotent

3.3. Analyse des bifurcations du système

Il y a quatre types de bifurcations dans ce système. Nous nous attarderonsplus précisément à la bifurcation de Hopf au voisinage du point singulier E =

(x0, y0) avec x0 2⇤x01,

12

⇥à la section 3.3.1 et à la bifurcation de col nilpotent au

voisinage du point singulier (12, 0) lorsque ⇢ = 4� et � = 1

↵+4à la section 3.3.2.

FIGURA 4.2: C = D = E: Silla nilpotente.

32

Conclusiones y sugerencias

En este trabajo de grado se estudió el problema del centro-foco, el cual responde a lapregunta: Bajo que condiciones puede concluirse que un punto singular monodrómico esun centro para el sistema de ecuaciones diferenciales no lineal

{x′ = P (x, y)

y′ = Q(x, y),(14)

donde P (x, y) y Q(x, y) son funciones polinomiales?

Se estudió el método de Darboux, el cual permitió responder a esta pregunta. Este méto-do brindó una forma de encontrar una integral primera de un campo vectorial polinomialutilizando las curvas algebraicas invariantes y sus respectivos cofactores.

En este trabajo se mostró igualmente que un sistema de ecuaciones en particular presentarectas invariantes y se calculó la primera integral del mismo. Mediante el método de Dar-boux, se probó la existencia de un centro para otros dos sistemas de ecuaciones diferencialeslineales; hallando una recta y una cónica invariante, para luego hallar una primera integralaplicando nuevamente el método en cuestión.

Para el modelo generalizado de Gauss, se probó que la primera constante de Lyapu-nov para este sistema es nula, es decir, L(1) = 0, lo cual demostró que el punto singularE = (x0, y0) es un centro, lo cual era uno de los objetivos respecto a las aplicaciones del mé-todo.

Finalmente, se presentó todo el detalle de los puntos singulares del sistema para el mo-delo de Gauss generalizado y se proporcinó igualmente su tipo topológico utilizando ladefinción de anti-silla.

Sugerencias.

Se pueden mencionar muchas sugerencias las cuales hacen parte esencial de posibles in-vestigaciones en el área. Entre ellas, como el problema del centro-foco es general, es decir,existe también para puntos singulares en los cuales la parte lineal es degenerada, dicho enotras palabras, en los cuales los valores propios son nulos, por ejemplo de matriz nilpotente,es interesante ahondar en el caso degenerado.

Otra posible investigación sobre el problema del centro-foco es estudiarlo utilizando otrotipo de técnicas, entre las cuáles se destaca el método de análisis de reversibilidad algebraica o deanálisis del sistema. Esto quiere decir que si un sistema posee una singularidad monodrómica(siendo algebraicamente o analíticamente reversible en ese punto), entonces esta singulari-dad será necesariamente un centro.

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caracterizaciÓn de puntos singulares …

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