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Características

Entradas de capítulo

Cada capítulo abre con una aplicación a la vida real de los conceptos presentados en el capítulo, ilustrada con una fotografía. Las preguntas abiertas y reflexiones sobre la aplicación motivan que el estudiante considere cómo los conceptos de cálculo se relacionan con las situaciones de la vida real. Un resumen breve con un componente gráfico resalta los conceptos matemáticos presentados en el capítulo y explica por qué son importantes.

Exploraciones

Las exploraciones para los temas seleccionados, ofrecen la oportunidad para descubrir los conceptos de cálculo antes de que se presenten formalmente en el texto, reforzando así la comprensión del estudiante. Esta sección optativa puede omitirse a discreción del profesor sin la pérdida de continuidad en la cobertura del material.

Notas históricas

Integradas a lo largo del texto, ayudan a los estudiantes a comprender los fundamentos matemáticos del cálculo.

5 Aplicaciones de la derivada

Cuando un soplador de vidrio saca una “gota” incandescente de vidrio fundido de un horno, la temperatura de la misma es casi de 1 700° F. Al principio, el vidrio fundido se enfría con rapidez. Luego, conforme la temperatura del vidrio se acerca a la temperatura ambiente, el enfria-miento es más y más lento. La temperatura del vidrio ¿se hará realmen-te igual a la del ambiente? ¿Por qué?

En el capítulo 5 se usará el cálculo para analizar gráficas de funciones. Por ejemplo, recurrirá a la derivada de una función para determinar los valores máximo y mínimo de la misma. Se utiliza-rán los límites para identificar todas las asíntotas de la gráfica de la función. En la sección 5.4 se combinarán estas técnicas para dibujar la gráfica de una función.

www.shawnolson.net/a/507

203

Sección 3.7

augustin-Louis CauChy (1789-1857)

El concepto de función continua fue presentado por vez primera por Augustin-Louis Cauchy en 1821. La definición expuesta en su texto Cours d’Analyseestablecía que las pequeñas modificaciones indefinidas en y eran resultado de las pequeñas modificaciones indefinidas en x.“… ƒ(x) será una función continua si… los valores numéricos de la diferenciaƒ(x ) ƒ(x) 0 de forma indefinida con los de …”

f x n x

q x 0r xp xq x

,

p x anxn an 1x

n 1 . . . a1x a0

f xx2 1cos x

f x 3 tan x,f x x sen x,

f x tan1x.f x x2 1,f x sen 3x,

Bet

tman

n/L

atin

Stoc

kM

éxic

o

SECCión 3.7 Propiedades de la continuidad 89

Propiedades de la continuidad

Cada una de las propiedades de los límites analizadas en la sección 3.2 genera una propiedadcorrespondiente relativa a la continuidad de una función. Por ejemplo, el teorema 3.14 esconsecuencia directa del teorema 3.2.

TEOREMA 3.14 Propiedades de la continuidad

Si b es un número real y f y g son continuas en x c, entonces las siguientes funcionestambién son continuas en c.

1. Múltiplo escalar: bf

2. Suma y diferencia: f ± g

3. Producto: fg

f4. Cociente: –, si g(c) 0

g

Las funciones de los tipos siguientes son continuas en sus dominios.

1. Funciones polinómicas:

2. Funciones racionales:

3. Funciones radicales:

4. Funciones trigonométricas: sen x, cos x, tan x, cot x, sec x, csc x

Combinando el teorema 3.14 con esta síntesis, se puede concluir que una gran variedadde funciones elementales son continuas en sus dominios.

EJEMPLO 1 Aplicación de las propiedades de la continuidad

Por el teorema 3.14, cada una de las siguientes funciones es continua en todos los puntosde su dominio.

El siguiente teorema, consecuencia del teorema 3.5, permite determinar la continuidadde funciones compuestas, como

TEOREMA 3.15 Continuidad de una función compuesta

Si g es continua en c y f es continua en g(c), entonces la función compuesta dada por(f ° g)(x) f(g(x)) es continua en c.

Una consecuencia del teorema 3.15 es que si f y g satisfacen las condiciones señaladas,es posible determinar que el límite de f(g(x)) cuando x se aproxima a c es

límx c

f g x f g c .

(00) Front matters.indd 9 30/1/09 19:59:20

� CARACTERíSTICAS

Teoremas

Se resaltan los teoremas y definiciones para dar énfasis y permitir una localización rápida. Se muestran las pruebas para los teoremas seleccionados para reforzar la comprensión del estudiante.

Ayudas de estudio

Estas ayudas permiten a los estudiantes evitar los errores comunes, los guían en casos especiales y amplían conceptos teóricos.

Gráficas

Las numerosas gráficas a lo largo del texto refuerzan la comprensión de los conceptos de cálculo complejos (sobre todo en las representaciones tridimensionales), así como en las aplicaciones de la vida real.

Ejemplos

Para garantizar la utilidad del texto como una herramienta de estudio y aprendizaje, la octava edición contiene numerosos ejemplos. Detallamos las soluciones de ejercicios (muchos de ellos con comentarios para aclarar los pasos o el método) se presentan gráfica, analítica y/o numéricamente para proporcionar oportunidades para la práctica y una visión amplia de los conceptos de cálculo. Muchos ejemplos incorporan el análisis de datos reales.

Notas

Las notas con instrucciones acompañan muchos de los teoremas, definiciones y ejemplos, para ofrecer una perspectiva adicional o puntualizar generalizaciones.

56 CaPítULo 3 Límites y continuidad

Límites por factorización

En las tres páginas previas se han estudiado diversos tipos de funciones cuyos límites pue-den calcularse mediante sustitución directa, lo que aunado al teorema siguiente permiten desarrollar una estrategia para calcular límites. No se incluye la demostración.

TEOREMA 3.7 Funciones que coinciden en todo salvo en un punto

Sea c un número real y f(x) g(x) para todo x c en un intervalo abierto que contiene a c. Si existe el límite de g(x) cuando x se aproxima a c, entonces también existe el límite de f(x) y

límx c

f x límx c

g x .

EJEMPLO 6 Cálculo del límite de una función

Encontrar el límite: límx 1

x3 1x 1

.

Solución Sea f(x) (x3 1)/(x 1). Factorizando y cancelando factores, f se puede es-cribir como

x 1.f xx 1 x2 x 1

x 1x2 x 1 g x ,

De tal modo, para todos los valores de x distintos de x 1, las funciones f y g coinciden, como se muestra en la figura 3.13. Puesto que el lím

x cg(x) existe, se puede aplicar el teorema

3.7 y concluir que f y g tienen el mismo límite en x 1.

Factorizar.

Cancelar factores idénticos o factores comunes.

aplicar el teorema 3.7.

Usar sustitución directa.

3

12 1 1

límx 1

x2 x 1

límx 1

x 1 x2 x 1x 1

límx 1

x3 1x 1

límx 1

x 1 x2 x 1x 1

Simplificar.

Una estrategia para el cálculo de límites

1. aprenda a reconocer cuáles límites pueden evaluarse por medio de la sustitución directa (estos límites se enumeran en los teoremas 3.1 a 3.6).

2. Si el límite de f(x) cuando x se aproxima a c no se puede evaluar por sustitución directa, tratar de encontrar una función g que coincida con f para todo x distinto de x c. [Seleccionar una g tal que el límite de g(x) se pueda evaluar por medio de la sustitución directa.]

3. aplicar el teorema 3.7 para concluir de manera analítica que

lím límx c x c

x g x g c( ) ( ) ( ).

4. Utilizar una gráfica o una tabla para respaldar la conclusión.

f y g coinciden salvo en un puntoFigura 3.13

aYUDa DE EStUDio Cuando se aplique esta estrategia al cálculo de límites, recordar que algunas funciones no tienen límite (cuando x se aproxima a c). Por ejemplo, el siguiente límite no existe

límx 1

x3 1x 1

x2 1 1

2

3

yf (x) x3 1

x 1

x2 1 1

2

3

g (x) x2 x 1

y

100 CAPítuLo 4 Derivadas

EJEMPLO 1 La pendiente de la gráfica de una función lineal

Encontrar la pendiente de la gráfica de

ƒ(x) 2x 3

en el punto (2, 1).

Solución Para encontrar la pendiente de la gráfica de ƒ cuando c 2, aplicar la definición de la pendiente de una recta tangente como se muestra a continuación:

La pendiente de ƒ en (c, ƒ(c)) (2, 1) es m 2, como se observa en la figura 4.5.

La gráfica de una función lineal tiene la misma pendiente en todos sus puntos, lo cual no sucede en las funciones no lineales, como se puede observar en el próximo ejemplo.

EJEMPLO 2 Rectas tangentes a la gráfica de una función no lineal

Calcular las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de

ƒ(x) x2 1

en los puntos (0, 1) y ( 1, 2), que se ilustran en la figura 4.6.

Solución Sea (c, ƒ(c)) un punto cualquiera de la gráfica de ƒ. La pendiente de la recta tangente en él se encuentra mediante:

De tal manera, la pendiente en cualquier punto (c, ƒ(c)) de la gráfica de ƒ es m 2c. En el punto (0, 1) la pendiente es m 2(0) 0 y en ( 1, 2), la pendiente es m 2( l) 2.

NotA observar que en el ejemplo 2, c se mantiene constante en el proceso de límite (cuando ∆x 0).

La pendiente de ƒ en (2, 1) es m 2Figura 4.5

x1 2 3

3

2

1 (2, 1)

m = 2

f (x) 2x 3

x 1

y 2

y

2

límx 0

2

límx 0

2 xx

límx 0

4 2 x 3 4 3x

límx 0

f 2 x f 2x

límx 0

2 2 x 3 2 2 3x

2c.

límx 0

2c x

límx 0

2c x x 2

x

límx 0

c2 2c x x 2 1 c2 1x

límx 0

f c x f cx

límx 0

c x 2 1 c2 1x

4

21

3

2

2 1x

Recta tangente en (0, 1)

Rectatangenteen (

f (x) = x2 1

y

La pendiente de ƒen un punto cualquiera (c, ƒ(c)) es m 2cFigura 4.6


Ejercicios

El corazón de cualquier texto de cálculo; los ejercicios mantienen oportunidades de exploración, práctica y comprensión.

Tecnología

A lo largo del texto el uso de una calculadora para elaborar gráficas o un sistema de cálculo algebraico se sugiere para la solución de problemas, así como para la exploración y el descubrimiento. Por ejemplo, los estudiantes pueden escoger calculadora para elaborar gráficas y para ejecutar los cálculos complicados, visualizar los conceptos teóricos, descubrir los enfoques alternativos o para verificar los resultados de otros métodos de solución. Sin embargo, no se exige a los estudiantes el acceso a este instrumento para usar con eficacia el texto. Además de describir los beneficios de usar la tecnología para aprender cálculo, el texto también muestra su posible uso incorrecto o interpretación equívoca.

Características adicionales

A lo largo del libro se integran recursos de aprendizaje, como la sección de proyectos de trabajo, las referencias a periódicos, y la sección de desarrollo de conceptos.

a 1f x arctan x,a 12f x arcsen x,

a 0f x arccos x,a 0f x arctan x,

y 3x arcsen xy 4x arccos x 1En los ejercicios 41 a 60, hallar la derivada de la función.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.

49. 50.

51. 52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

En los ejercicios 61 a 66, encontrar una ecuación de la recta tan-gente a la gráfica de la función en un punto dado.

61. y 2 arcsen x 62. y12

arccos x

63. y arctanx2

64. y arcsec 4x

y arctanx2

12 x2 4

y arctan xx

1 x2

y 25 arcsenx5

x 25 x2

y 8 arcsenx4

x 16 x2

2

y x arctan 2x14

ln 1 4x2

y x arcsen x 1 x2

y12

x 4 x2 4 arcsenx2

y12

12

lnx 1x 1

arctan x

y ln t 2 412

arctant2

y x arccos x 1 x2

f x arcsen x arccos xh t sen arccos t

h x x2 arctan xg xarcsen 3x

x

f x arctan xf x arctanxa

f x arcsec 2xg x 3 arccosx2

f t arcsen t2f x 2 arcsen x 1

( , )

y

x

2

22

21

3

y = 2 arcsen x

1 11 , ))

y

x

2

2

21

83

y = arccos x

1 1121

22

(2, )

y

x

4

2

2

4

4 2 42

2x

y = arctan

( , )

y

x4

2

2

4

y = arcsec 4x

1 1121

42

y

x

y = 4x arccos (x 1)

2

2

1

(1, 2 )

y

x

y = 3x arcsen x

11

2

( , )21

4

h x arcsen x 2 arctan x

f x arctan x arctan x 4

f x arcsen x 2x

f x arcsec x x

1, 0arctan x y y2

4,

22

,2

2arcsen x arcsen y

2,

0, 0arctan xy arcsen x y ,

4, 1x2 x arctan y y 1,

SECCióN 4.11 Derivada de las funciones trigonométricas inversas 191

65. 66.

Aproximación lineal y cuadrática En los ejercicios 67 a 70, usar un sistema algebraico por computadora para hallar la aproxi-mación lineal

P1 x f a f a x a

y la aproximación cuadrática

P2 x f a f a) x a 12 f a x a 2

de la función ƒ en x a. Dibujar la gráfica de la función y sus aproximaciones lineal y cuadrática.

67. 68.

69. 70.

En los ejercicios 71 a 74, encontrar la segunda derivada de la función.

71.

72.

73.

74.

Derivación implícita En los ejercicios 75 a 78, encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la ecuación en el punto dado.

75.

76.

77.

78.

Desarrollo de conceptos

79. Explicar por qué los dominios de las funciones trigonomé-tricas están restringidos cuando se calcula la función trigo-nométrica inversa.

80. Explicar por qué tan 0 no implica que arctan 0 .

81. Explicar cómo dibujar y arccot x en una computadora queno tiene la función arco cotangente.

82. ¿Son las derivadas de las funciones trigonométricas inversasalgebraicas o trascendentales? Cítense las derivadas de lasfunciones trigonométricas inversas.

a 1f x arctan x,a 12f x arcsen x,

a 0f x arccos x,a 0f x arctan x,

y 3x arcsen xy 4x arccos x 1En los ejercicios 41 a 60, hallar la derivada de la función.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.

49. 50.

51. 52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

En los ejercicios 61 a 66, encontrar una ecuación de la recta tan-gente a la gráfica de la función en un punto dado.

61. y 2 arcsen x 62. y12

arccos x

63. y arctanx2

64. y arcsec 4x

y arctanx2

12 x2 4

y arctan xx

1 x2

y 25 arcsenx5

x 25 x2

y 8 arcsenx4

x 16 x2

2

y x arctan 2x14

ln 1 4x2

y x arcsen x 1 x2

y12

x 4 x2 4 arcsenx2

y12

12

lnx 1x 1

arctan x

y ln t 2 412

arctant2

y x arccos x 1 x2

f x arcsen x arccos xh t sen arccos t

h x x2 arctan xg xarcsen 3x

x

f x arctan xf x arctanxa

f x arcsec 2xg x 3 arccosx2

f t arcsen t2f x 2 arcsen x 1

( , )

y

x

2

22

21

3

y = 2 arcsen x

1 11 , ))

y

x

2

2

21

83

y = arccos x

1 1121

22

(2, )

y

x

4

2

2

4

4 2 42

2x

y = arctan

( , )

y

x4

2

2

4

y = arcsec 4x

1 1121

42

y

x

y = 4x arccos (x 1)

2

2

1

(1, 2 )

y

x

y = 3x arcsen x

11

2

( , )21

4

h x arcsen x 2 arctan x

f x arctan x arctan x 4

f x arcsen x 2x

f x arcsec x x

1, 0arctan x y y2

4,

22

,2

2arcsen x arcsen y

2,

0, 0arctan xy arcsen x y ,

4, 1x2 x arctan y y 1,

SECCióN 4.11 Derivada de las funciones trigonométricas inversas 191

65. 66.

Aproximación lineal y cuadrática En los ejercicios 67 a 70, usar un sistema algebraico por computadora para hallar la aproxi-mación lineal

P1 x f a f a x a

y la aproximación cuadrática

P2 x f a f a) x a 12 f a x a 2

de la función ƒ en x a. Dibujar la gráfica de la función y sus aproximaciones lineal y cuadrática.

67. 68.

69. 70.

En los ejercicios 71 a 74, encontrar la segunda derivada de la función.

71.

72.

73.

74.

Derivación implícita En los ejercicios 75 a 78, encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la ecuación en el punto dado.

75.

76.

77.

78.


79. Explicar por qué los dominios de las funciones trigonomé-tricas están restringidos cuando se calcula la función trigo-nométrica inversa.

80. Explicar por qué tan 0 no implica que arctan 0 .

81. Explicar cómo dibujar y arccot x en una computadora queno tiene la función arco cotangente.

82. ¿Son las derivadas de las funciones trigonométricas inversasalgebraicas o trascendentales? Cítense las derivadas de lasfunciones trigonométricas inversas.

ddx

sech x sech x tanh x

ddx

senh 1 x1

x2 1

ddx

cosh 1 x1

x2 1

ddx

sech 1 x1

x 1 x2

ddx

cosh x senh x

42.

43.

44.

45.

46.


47. Discutir en qué son similares las funciones hiperbólicas y las funciones trigonométricas.

48. Dibujar la gráfica de cada una de las funciones hiperbólicas. Después identificar el dominio y el recorrido o rango de cada función.

Límites En los ejercicios 49 a 54, encontrar los límites.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

Tractriz En los ejercicios 55 a 58, usar la ecuación de la tractriz

a > 0.y a sech 1 xa

a2 x2,

55. Encontrar dy/dx.

56. Sea L la recta tangente a la tractriz en el punto P. Si L corta al eje y en el punto Q, probar que la distancia entre P y Q es a.

y x tanh 1 x ln 1 x2

y 2x senh 1 2x 1 4x2

y csch 1 x 2

y tanh 1 sen 2x

0 < x < 4y sech 1 cos 2x ,

y senh tan x

límx 0

coth x

límx

csch x

límx

tanh x

límx 0

senhxx

límx

sech x

límx

senh x

SECCIón 4.12 Derivada de las funciones hiperbólicas 201

Proyecto de trabajo: Arco de San Luis

El arco de entrada a San Luis, Missouri, fue diseñada utilizando la función coseno hiperbólico. La ecuación para la construcción del arco es

y 693.8597 68.7672 cosh 0.0100333x,

299.2239 ≤ x ≤ 299.2239

donde x y y se miden en pies. Las secciones del arco son triángulos equiláteros, y (x, y) describe la trayectoria de los centros de masas de esos triángulos. Para cada valor de x, el área del triángulo de la sección transversal es A 125.1406 cosh 0.0100333x.(Fuente: Owner’s Manual for the Gateway Arch, Saint Louis, MO, de William Thayer.)

a) ¿A qué altura sobre el suelo está el centro del triángulo más alto? (Al nivel del suelo es y 0.)

b) ¿Cuál es la altura del arco? (Sugerencia: En un triángulo equi-látero, A 3c2, donde c es la mitad de la base del triángulo y el centro de masa del triángulo está situado a dos tercios de la altura del triángulo.)

c) ¿Qué anchura tiene el arco en su base?

Lat

in S

tock

Méx

ico

57. Demostrar que tanh 1 x12

ln1 x1 x

,, 1 x 1.

58. Demostrar que arctan (senh x) arcsen (tanh x).

En los ejercicios 59 a 63, verificar la fórmula de derivación.

59. 60.

61. 62.

63.

Preparación del examen Putnam

64. Desde el vértice (0, c) de la catenaria y c cosh (x/c), se dibuja una recta L perpendicular a la tangente de la catenaria en el punto P. Demostrar que la longitud de L intersecada por los ejes es igual a la ordenada y del punto P.

65. Aprobar o rechazar que existe al menos una recta normal a la gráfica de y cosh x en un punto (a, cosh a) y también normal a la gráfica de y senh x en un punto (c, senh c).

[En un punto de la gráfica, una recta normal es la perpendicular a la recta tangente al punto. También, x (ex e x)/2 y senhx (ex e x)/2.]

Estos problemas fueron preparados por el Committee on the Putnam Prize Competition.©The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.

a) Usar la función de regresión de una computadora para ajustarlos siguientes modelos a los datos.

b) Usar una computadora para representar los datos y cadauno de los modelos. ¿Cuál de los modelos se ajusta mejora los datos?

c) interpretar la pendiente del modelo lineal en el contextodel problema.

d) Calcular el ritmo o velocidad de cambio de cada modelopara el año 1996. ¿Cuál de ellos crece a mayor ritmo ovelocidad en 1996?

97. Conjetura

a) Usar una computadora que aproxime las integrales de lasfunciones

en el intervalo [0, 4]. b) Usar una computadora para representar gráficamente las

tres funciones. c) Usar los resultados de los apartados a) y b) para formular

una conjetura acerca de las tres funciones. ¿Podría haberrealizado una conjetura usando sólo el apartado a)? Expli-car. Demostrar la conjetura analíticamente.

98. Completar la tabla para demostrar que e puede definirse tambiéncomoas lím

x 01 x 1 x.

En los ejercicios 99 y 100, encontrar una función exponencialque se ajuste a los datos experimentales tomados en los tiempost indicados.

99.

100.

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 101 a 106, determinar sila afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar la razón odar un ejemplo que muestre su falsedad.

101. e 271 80199 900

102. Si ƒ(x) ln x, entonces ƒ(e n 1) ƒ(e n) 1 para cualquier valorde n.

103. Las funciones ƒ(x) 2 ex y g(x) ln (x 2) son inversas unade otra.

104. La función exponencial y Cex es la solución de la ecuacióndiferencial dny/dxn y, n 1, 2, 3, …

105. Las gráficas ƒ(x) ex y g(x) e x se cortan en ángulo recto.

106. Si ƒ(x) g(x) ex, los únicos ceros de ƒ son los ceros de g.

107. Resolver la ecuación diferencial logística

y obtener la función de crecimiento logístico del ejemplo 7.

108. Dada la función exponencial ƒ(x) ax, demostrar que

a) ƒ(u v) ƒ(u) · ƒ(v)

b) ƒ(2x) [ƒ(x)]2.

109. a) Determinar y dado yx xy.

b) Encontrar la pendiente de la recta tangente a la gráfica deyx xy en cada uno de los siguientes puntos.

i) (c, c)ii) (2, 4)

iii) (4, 2)

c) ¿En qué punto de la gráfica de yx xy no existe la rectatangente?

110. Considerar la función ƒ(x) 1 x y g(x) bx, b > 1.

a) Sea b 2, usar la computadora para representar gráfica-mente ƒ y g en la misma pantalla. identificar los puntos deintersección.

b) Repetir el apartado a) usando b 3. c) Calcular todos los valores de b tales que g(x) ƒ(x) para

todo x.


111. ¿Cuál es mayor

donde n 8?

112. Demostrar que si x es positivo, entonces

Estos problemas fueron prepara dos por el Committee on the Putnam Prize Competition.© The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.

y4 axb

y3 abx

y2 a b ln xy1 ax b

y h t 4e 0.653886tf t 4 38

2t 3, g t 4

3 94

t

1

1 x 1/ x

10 610 410 210 1x

0 1 2 3 4

600.00 630.00 661.50 694.58 729.30y

t

y 0 1dydt

825 y 5

4 y

Sugerencia: 1y 5

4 y45

1y

154 y

0 1 2 3 4

1 200.00 720.00 432.00 259.20 155.52y

t

loge 11x

>1

1 x.

o n 1 nn n 1

SECCión 4.10 La función exponencial y la función logaritmo en base a 183

ddx

sech x sech x tanh x

ddx

senh 1 x1

x2 1

ddx

cosh 1 x1

x2 1

ddx

sech 1 x1

x 1 x2

ddx

cosh x senh x

42.

43.

44.

45.

46.


47. Discutir en qué son similares las funciones hiperbólicas y las funciones trigonométricas.

48. Dibujar la gráfica de cada una de las funciones hiperbólicas. Después identificar el dominio y el recorrido o rango de cada función.

Límites En los ejercicios 49 a 54, encontrar los límites.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

Tractriz En los ejercicios 55 a 58, usar la ecuación de la tractriz

a > 0.y a sech 1 xa

a2 x2,

55. Encontrar dy/dx.

56. Sea L la recta tangente a la tractriz en el punto P. Si L corta al eje y en el punto Q, probar que la distancia entre P y Q es a.

y x tanh 1 x ln 1 x2

y 2x senh 1 2x 1 4x2

y csch 1 x 2

y tanh 1 sen 2x

0 < x < 4y sech 1 cos 2x ,

y senh tan x

límx 0

coth x

límx

csch x

límx

tanh x

límx 0

senhxx

límx

sech x

límx

senh x

SECCIón 4.12 Derivada de las funciones hiperbólicas 201

Proyecto de trabajo: Arco de San Luis

El arco de entrada a San Luis, Missouri, fue diseñada utilizando la función coseno hiperbólico. La ecuación para la construcción del arco es

y 693.8597 68.7672 cosh 0.0100333x,

299.2239 ≤ x ≤ 299.2239

donde x y y se miden en pies. Las secciones del arco son triángulos equiláteros, y (x, y) describe la trayectoria de los centros de masas de esos triángulos. Para cada valor de x, el área del triángulo de la sección transversal es A 125.1406 cosh 0.0100333x.(Fuente: Owner’s Manual for the Gateway Arch, Saint Louis, MO, de William Thayer.)

a) ¿A qué altura sobre el suelo está el centro del triángulo más alto? (Al nivel del suelo es y 0.)

b) ¿Cuál es la altura del arco? (Sugerencia: En un triángulo equi-látero, A 3c2, donde c es la mitad de la base del triángulo y el centro de masa del triángulo está situado a dos tercios de la altura del triángulo.)

c) ¿Qué anchura tiene el arco en su base?

Lat

in S

tock

Méx

ico

57. Demostrar que tanh 1 x12

ln1 x1 x

,, 1 x 1.

58. Demostrar que arctan (senh x) arcsen (tanh x).

En los ejercicios 59 a 63, verificar la fórmula de derivación.

59. 60.

61. 62.

63.


64. Desde el vértice (0, c) de la catenaria y c cosh (x/c), se dibuja una recta L perpendicular a la tangente de la catenaria en el punto P. Demostrar que la longitud de L intersecada por los ejes es igual a la ordenada y del punto P.

65. Aprobar o rechazar que existe al menos una recta normal a la gráfica de y cosh x en un punto (a, cosh a) y también normal a la gráfica de y senh x en un punto (c, senh c).

[En un punto de la gráfica, una recta normal es la perpendicular a la recta tangente al punto. También, x (ex e x)/2 y senhx (ex e x)/2.]

Estos problemas fueron preparados por el Committee on the Putnam Prize Competition.©The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.

CARACTERíSTICAS �i

82 Capítulo 3 límites y continuidad

Desarrollo de conceptos (continuación)

52. Dibujar una gráfica de una función derivable que satisfaga lassiguientes condiciones y tenga x 2 como su único puntocrítico.

lím

xf x lím

xf x 6

f x > 0 para x > 2f x < 0 para x < 2

53. ¿Es posible dibujar una gráfica de una función que satisfacelas condiciones del ejercicio 52 y que no tiene puntos deinflexión? Explicar.

54. Si ƒ es una función continua tal que límx

f x 5,determinar,

si es posible, límx

f x para cada condición especificada.

a) la gráfica de ƒ es simétrica al eje y.b) la gráfica de ƒ es simétrica al origen.

En los ejercicios 55 a 72, dibujar la gráfica de la función utilizando extremos, intersecciones, simetría y asíntotas. Emplear después una calculadora para verificar el resultado.

55. 56.

57. 58.

59. 60.

61. 62.

63. 64.

65. 66.

67. 68.

69. 70.

71. 72.

En los ejercicios 73 a 82, utilizar un sistema algebraico por compu-tadora para analizar la gráfica de la función. Marcar cualquier extremo y/o asíntota que existan.

73. 74.

75. 76.

77. 78.

79. 80.

81. 82.

f x9x2 2

2x 1f x

3x

x2 2

f x3x 2x 2

f xx

x 1

límx

x tan1x

límx

x sen 1x

límx

x2

14

x2 xlímx

4x 16x 2 x

límx

3x 9x 2 xlímx

x x 2 x

límx

2x 4x 2 1límx

x x 2 3

f x

106105104103102101100x

f xx 1

x xf x x sen

12x

f x x 2 x x x 1f x x x x 1

x4 2 2 4

2

2

4

6

f

y

yx 3

x 2 4

y 32x

y 23x 2

y2x

1 x

xy 2 4

y2x 2

x 2 4

yx 2

x 2 9

yx

x 2 4

y2 x1 x

f x2 sen 2x

x

g x2x

3x2 1

f xx 1

x 2 x 1

f x1

x 2 x 2

f xx 2

x 2 1

yx

x 2 4

y 4 11x 2

y 11x

y2x

1 x 2

x 2y 4

y2x 2

x 2 4

yx 2

x 2 9

y2x

9 x 2

yx 3x 2

x > 3g x senx

x 2,

f x3x

4x 2 1

f xx 2

x 2 4x 3

f xx

x 2 4

f x 51x 2

En los ejercicios 35 a 38, utilizar una calculadora para repre-sentar gráficamente la función e identificar cualquier asíntota horizontal.

35. 36.

37. 38.

En los ejercicios 39 y 40, determinar el límite. (Sugerencia: Sea x 1/t y encontrar el límite cuando t 0 .)

39. 40.

En los ejercicios 41 a 46, encontrar el límite. (Sugerencia: Tratar la expresión como una fracción cuyo denominador es 1 y racio-nalizar el numerador.) Utilizar una calculadora para verificar su resultado.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

Análisis numérico, gráfico y analítico En los ejercicios 47 a 50, utilizar una calculadora para completar la tabla y estimar el límite cuando x tiende a infinito. Emplear después una calculadora para representar gráficamente la función y estimar el límite. Por último, encontrar el límite analíticamente y comparar los resultados con las estimaciones.

47. 48.

49. 50.


51. la gráfica de una función se muestra a continuación.

a) Dibujar ƒ .b) utilizar las gráficas para estimar lím

x(x) y lím

x(x).

c) Explicar las respuestas que se obtuvieron en el apartadob).


características -...

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