capÍtulo viii aplicaciones de la integral 8.1...

203

CAPÍTULO VIII

APLICACIONES DE LA INTEGRAL

8.1 VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Cuando una región plana es girada alrededor de un eje de revolución engendra

un sólido de revolución.

y y

x x

La primera región resulta de girar una región parabólica alrededor del eje y,

mientras que en el segundo caso se ha girado un rectángulo alrededor del eje

constituido por la parte superior del rectángulo.

8.1.2 METODO DE LOS DISCOS

w

R

r

eje de

revolución

El volumen generado al girar el rectángulo en torno al eje de revolución genera

un disco cuyo volumen es:

wrRdiscoVolumen )( 22

Si en lugar de girar un rectángulo se gira el área de la siguiente figura tenemos:

204

x

R(x)

r(x)

x=a x=b

Cada disco representativo del volumen viene dado por:

xxrxRV ))()(( 22

Se puede obtener una aproximación del volumen, calculando el volumen de n

discos similares de ancho x.

xxrxRVolSólido

xxrxRVolSólido

n

i

iin

n

i

ii

1

22

1

22

)()(lim

)()(

El volumen exacto para eje de revolución horizontal será:

dxxrxRVolSólido

b

a

22 )()(

Si el eje de revolución es vertical se tendrá:

dyxrxRVolSólido

b

a

22 )()(

Ejemplo 1 Calcular el volumen del sólido engendrado al girar la región

acotada por

205

y = x ; y = 0 ; x = 4 por revolución en torno de: a) el eje x b) el eje y c) la

recta x = 4 d) la recta x = 6.1

y

dx 4 x

a) eje x

802

4

2

0

24

0

24

0

4

0

2222

xdxxA

dxxdxrRA

b

a

b) eje y

5

128

5

37160

5

3232

5

22*16

5164

4

55

2

0

52

0

42

2

0

22222

A

A

yydyyA

dyydyrRA

d

c

1 LARSON HOSTETLER, Cálculo y Geometría Analítica Mc Graw Hill, 1986 Pag 287

4

2

dy

2yx

y = x

206

c) x=4

15

256

15

96320480

5

32

3

6432

5

2

3

282*16

53816

816)04(

04

532

0

53

2

0

422

0

22

2

0

22222

A

yyyA

dyyydyyA

dyydyrRA

d

c

d)

4

2

dy

24 y

4

2

dy

26 y

x=6

207

22 2 2 2 2

0

2 22 4 4 2

0 0

25 3 5 3

0

(6 ) 2

36 12 4 12 32

2 212 32 4 64

5 3 5 1

32 32 160 19232

5 5 5

d

c

A R r dy y dy

A y y dy y y dy

y yA y

A

8.2.2 MÉTODO DE LAS CAPAS

El volumen de una capa cilíndrica generada por un rectángulo es igual a:

h h

w

p p

eje de revolución

pwhVol

hw

pwpw

pwpVol

hw

phw

pVol

2

44

22

22

22

22

208

Si la que gira es una sección triangular se tiene:

h(y)

d

y

P(x) c

El volumen de la capa representativa de este rectángulo es

V = 2 p(y) h(y) y

Si se toman n capas el volumen del sólido de revolución será

aproximadamente:

d

c

ii

n

in

ii

n

i

dyyhypyyhypSólidoVol

tienesenSi

yyhypSólidoVol

)()(2)()(2lim.

)()(2.

1

1

Por tanto, cuando se aplica el método de capas con eje de revolución horizontal

se tiene: d

c

phdySólidoVol 2.

Si el eje de revolución es vertical tendremos:

d

c

dxphSólidoVol 2.

209

Ejemplo 1 Calcular el volumen del sólido engendrado al girar la región

acotada por

y = x ; y = 0 ; x = 4 por revolución en torno de: a) el eje x b) el eje y c) la

recta x = 4 d) la recta x = 6.2

a) Eje x y

x = y2

dy

y

dx 4 x

8)2(2

024

2

4222 444

2

0

42

0

3

2

0

2 ydyydyyyVol

b) Eje y y

y=x1/2

x dx 4 x

5

1284

5

4

5

2222 2/54

0

2/5

4

0

2/3

4

0

xdxxdxxxVol


210

c) x = 4 y x = 4

y=x1/2

dx 4 - x x

15

256

5

32

3

324

5

44

3

44

2/52/3

42)4(2)4(2

2/52/3

4

0

2/52/34

0

2/32/1

4

0

xxdxxxdxxxVol

d) x = 6 y x = 6

y=x1/2

dx 6 - x x

5

192

5

32164

5

4424

2/52/3

62)6(2)6(2

2/52/3

4

0

2/52/34

0

2/32/1

4

0

xxdxxxdxxxVol

8.3 LONGITUD DE ARCO

Sin duda esta constituye otra apasionante aplicación del cálculo integral pues,

nos permite determinar la longitud de una curva sin importar su forma o

ubicación. El procedimiento consiste en dividir la curva en pequeños

211

segmentos de recta del siguiente modo:

y2

y1

y0

a x1 x2 x3 x4 x5 x6 b

La longitud del segmento comprendido entre los puntos 1 y 2 es:

2

12

2

12 )()( yyxxd

La longitud de todos los segmentos rectilíneos será:

2 2 2 21 0 1 0 2 1 2 1

2 21 1

( ) ( ) ( ) ( ) .........

...... ( ) ( )n n n n

x x y y x x y y

x x y y

Llamando Δxi , Δyi a cada intervalo la longitud s aproximada de la curva

desde el punto a hasta el punto b es:

n

i

ii yxs1

22 )()(

En el límite tendremos:

dxcfxcf

xx

yyxs

b

a

ii

n

i

in

i

n

i i

i

n

n

i

iin

2

1

2

1

2

1

22

)('1)('1lim

1lim)()(lim

212

Por tanto, si y = f(x) tiene derivada continua en [a,b] la longitud de arco entre a

y b viene dada por

dxxfs

b

a

2)('1

Si la curva es x = g(y) la longitud de arco entre c y d será:

dyygs

d

c

2)('1

Ejemplo Hallar la longitud de la curva 2

4

4

1

8 x

xy entre x = 1 ; x = 2

La derivada de la función viene dada por:

3

3

2

1

2'

x

xy

La longitud de la curva

22 2 32

31 1

2 26 3 6

3 6 61 1

11 '( ) 1

2 2

1 1 1 11 2 1

4 2 2 42 4 4

xs f x dx dx

x

x x xdx dx

x x x

22 2 26 3 3

6 3 31 1 1

1 1 1 1

4 2 2 24 2 2

x x xdx dx dx

x x x

24 4 4

2 2 2

1

1 2 1 1 1 1 1 12

8 8 8 16 8 44 4* 2 4*1

32 1 2 4 33

16 16

x

x

213

8.4 TRABAJO3

8.4.1 TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE

Si un objeto se mueve una distancia D bajo la aplicación de una fuerza

constante F, y en su misma dirección, el trabajo W realizado por esa fuerza se

define como W=FD

8.4.2 TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE

Supongamos que un objeto se mueve en una línea recta desde x=a hasta x=b

por la acción de una fuerza F(x) que varía de forma continua. Sea ∆ una

partición de [a,b] en n subintervalos determinados por

a = x0 < x1 < x2 < ....... < xn = b

y sea ∆xi = xi – xi-1. Para cada i escogemos ci tal que xi-1 ≤ ci ≤ xi. En ci la fuerza

viene dada por F(ci). Ya que F es continua, y supuestos ∆xi muy pequeños,

concluimos que la fuerza en cada subintervalo es casi constante. Por tanto, el

trabajo realizado al mover el objeto a lo largo del i-ésimo subintervalo, es

aproximadamente

∆Wi = F(ci) ∆xi

Sumando sobre todos los subintervalos, podemos estimar aproximadamente el

trabajo realizado al mover el objeto desde a hasta b por

n

i

iWW1

Más aún, cuanto menor sea ∆xi mejor será la aproximación. Tomando el límite

de esa suma para │∆│→0. ( n→∞ ) tenemos

n

i

in

WW1

lim

Definimos el trabajo como sigue:

Si un objeto se mueve en línea recta bajo la acción de una fuerza F(x) que varía

de manera continua, y en su misma dirección, el trabajo realizado por esa

fuerza para mover el objeto desde x=a hasta x=b viene dado por:


214

b

a

n

i

in

dxxFWW )(lim1

Ejemplo 1. Una fuerza de 5 libras comprime un muelle de 15 pulgadas un total

de 4 pulgadas. ¿Qué trabajo hace falta para comprimirlo 7 pulgadas?

La Ley de Hooke dice F(x) = k x, donde F(x) es la fuerza, k una constante que

depende del muelle y x la distancia comprimida.

F(4) = k 4 = 5, de donde, k = 5/4

F(x) = 5/4 x

adapulibrasx

dxxW lg625,308

245

2

49

4

5

24

5

4

57

0

27

0

Problema propuesto. Un tanque cilíndrico, de 12 pies de alto y 8 de radio, se

coloca sobre una torre de modo que su fondo este a 20 pies sobre el suelo.

¿Cuánto trabajo es necesario para llenarlo hasta la mitad por un orificio del

fondo, tomando el agua de un manantial en el suelo?

∆y

20 p

215

8.5 PRESIÓN DE UN FLUIDO

La presión ejercida por un líquido sobre un cuerpo sumergido en él viene dada

por

p = ρ h

que es independiente de la forma del recipiente, donde; p es la presión del

fluido, ρ la densidad del fluido, h la altura debajo de la superficie o

profundidad. Para una región plana sumergida horizontalmente la fuerza total F

sobre la región plana será:

F = ρ h A

Sea una región plana vertical sumergida en un fluido de densidad ρ como se ve

en la figura. Deseamos hallar la fuerza total que actúa sobre esa región, desde

la profundidad h – a hasta h – b.

Consideremos el rectángulo representativo ∆y de longitud Li con yi un punto

del i-ésimo intervalo. La fuerza que actúa sobre ese rectángulo representativo

es

∆Fi = ρ (profundidad)(área) = ρ ( h – yi ) Li ∆y

Superficie del fluido

La fuerza que actúa sobre los n rectángulos de este tipo es:

yLyhF i

n

i

i

n

i

i )(11

Tomando el límite cuando │∆│→0 ( n→∞ ) se tiene la fuerza total sobre la

región

yi

a

b h-yi

h-yi

∆y

h

Li

216

yLyhF i

n

i

in

)(lim1

Por tanto, la fuerza ejercida por un fluido de densidad constante ρ sobre una

región plana, sumergida verticalmente entre y=a e y=b, viene dada por

LdyyhF

b

a

)(

donde h denota la profundidad total del fluido y L la longitud horizontal de la

región en y.

Ejemplo. Hallar la fuerza en libras sobre la cara lateral vertical de un depósito

que tiene la forma de un rectángulo y que se encuentra lleno de agua.

librasF

yydyyF

dyyareadprofundidaF

2,11232

9)4,62(4

2

994

02

3334

234)3(4

4)3(

23

0

23

0

3

0

3

0

8.6 MOMENTOS CENTROS DE MASA Y CENTROIDES4

El momento que produce una cierta masa respecto al punto P es


4

3

3-y

∆y

217

Momento = (masa) (brazo del momento)

Donde el brazo del momento es la distancia de la masa al punto P.

El momento de un sistema respecto al origen es

n

i

iinn xmxmxmxmM1

22110 .........

Si el momento es cero el sistema está en equilibrio.

Consideremos un sistema que no esté en equilibrio, y desplacemos el punto de

apoyo a un cierto x = x’ de modo que el sistema quede ya en equilibrio. De

manera que: n

i

nnii xxmxxmxxmxxm1

2211 0)'(.....)'()'()'(

o sea

sistemadeltotalmasa

origenalrespectosistemadelmomento

m

xm

x

xmxm

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

ii

1

1

11

'

0'

Ese punto x’ de balanceo en equilibrio, se llama centro de masas del sistema.

8.6.1 DEFINICIÓN DEL MOMENTO DE UN SISTEMA LINEAL

El momento respecto al origen de un sistema de masas m1, m2, .....,mn,

colocadas en los puntos x1, x2, ... , xn, es:

M0 = m1 x1 +m2 x2 + ... + mn xn

Si la masa total del sistema es m, su centro de masas x’ viene dado por:

x’ = M0/m

8.6.2 DEFINICIÓN DE LOS MOMENTOS DE UN SISTEMA

BIDIMENSIONAL

Para un sistema de masas m1, m2, ....., mn, colocadas en los puntos (x1, y1),

(x2,y2) ... ,( xn, yn) del plano xy, el MOMENTO My RESPECTO AL EJE Y es

218

My = m1 x1 +m2 x2 + ... + mn xn

Y el MOMENTO MX RESPECTO AL EJE X es

Mx = m1 y1 +m2 y2 + ... + mn yn

Si la masa total del sistema es m, el centro de masas (x’, y’) viene dado por:

x’ = My/m y’ = Mx/m

y y=f(x)

y=g(x)

y1 (xi, yi)

a x1 b x

Sea la lámina de la figura de densidad constante ρ, el rectángulo representativo

se ha obtenido subdividiendo [a,b] en n subintervalos de anchuras ∆x. Si

denotamos por (xi, yi) el centro de masas del i-ésimo rectángulo, la regla del

punto medio lleva a que:

2

)()( iii

xgxfy

La masa del i-ésimo rectángulo es:

Masa = (densidad) (área) = ρ [ ∆Ai ] = ρ [f(xi) – g(xi)] (∆x)

Siendo la masa total aproximadamente

219

n

i

ii xxgxfm1

))](()([

tomando el límite para │∆│→0 (n→∞), obtenemos como definición de la

masa

b

a

Adxxgxfm )]()([

donde A es el área de la lámina.

El momento respecto del eje x del i-ésimo rectángulo es

Momento = (masa)(brazo del momento)=(ρ∆Ai)(yi)=ρ(yi)(∆Ai)

xxgxf

xxgxfxgxf

ii

iiii

])()([

)]()([2

)()(

22

Sumando todos esos momentos y tomando el límite cuando n→∞, obtenemos

el momento respecto al eje x definido como

b

a

x dxxgxfM ])()([2

22

para el momento del eje y

b

a

y dxxgxfxM ])()([

8.6.3 MOMENTOS DE UNA LÁMINA PLANA

Sean g ≤ f funciones continua en [a,b]. Para la lámina plana, de densidad

uniforme ρ, acotada por y = g(x), y = f(x), x = a, x = b, los momentos respecto

a los ejes x, y vienen dados por:

b

a

x dxxgxfM ])()([2

22

b

a

y dxxgxfxM ])()([

220

la masa m de la lámina viene dada a su vez por

b

a

Adxxgxfm )]()([

y el centro de masas (x’, y’) por

m

Mx

y' ' xM

ym

Ejemplo. Hallar Mx, My, (x’, y’) para la lámina de densidad uniforme ρ

acotada por y x , y = 0, x = 4.

42

4

222

2]0)[(

2])()([

2

24

0

2

4

0

4

0

222

xM

dxxdxxdxxgxfM

x

b

a

x

5

6432

5

24

5

2

2/5

)0(])()([

2/5

4

0

2/54

0

2/3

4

0

xdxxM

dxxxdxxgxfxM

y

b

a

y

221

3

164

3

2

2/3

2/3

4

0

2/34

0

xdxxm

5

12

3

165

64

'm

Mx

y

4

3

3

16

4'

m

My x

8.7 CENTROIDE DE UNA REGIÓN PLANA

El centro de masas de una lámina uniforme sólo depende de la forma de ésta,

no de densidad, por tanto, podemos generalizar la fórmula del centro de masas

de una lámina para hallar el centro de una región ‘sin masa’ del plano. Cuando

hagamos tal cosa, llamaremos a (x’, y’) el centroide de esa región.

Sean g ≤ f funciones continuas en [a, b]. El centroide (x’, y’) de la región

acotada por y=g(x), y=f(x), x=a, x=b viene dado por

A

dxxgxfx

x

b

a

])()([

' A

dxxgxf

y

b

a

])()([2

1

'

22

donde A es el área de la región.

Ejemplo. Hallar el centroide de la región acotada por y = x2, y = x

222

6

1

3

1

2

1

32)(

1

0

321

0

2 xxdxxxA

El centroide estará dado por

2

1

12

16

4

1

3

16

436'

)(66/1

)(])()([

'

1

0

43

1

0

32

1

0

2

xxx

dxxx

dxxxx

A

dxxgxfx

x

b

a

5

2

15

23

5

1

3

13

533'

6/1

][2

1])()([

2

1

'

1

0

53

1

0

4222

xxy

dxxx

A

dxxgxf

y

b

a

8.8 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

Si la gráfica de una función continua se hace girar alrededor de un eje, la

superficie resultante se denomina superficie de revolución.

L L

R

r

eje de revolución

Cuando el segmento L se hace girar sobre el eje, engendra un tronco de un

cono, cuya área lateral es

223

LrRLrR

lateralarea )(2

2

Supongamos que la gráfica de una función f, con derivada continua en [a, b],

gira alrededor del eje x, para engendrar una superficie de revolución, tal como

se ilustra en la siguiente figura. Sea ∆ una partición de [a, b] en subintervalos

de anchuras ∆xi. Entonces el segmento rectilíneo de longitud

22

iii yxL

y=f(x)

a=x0 xi-1 xi b=xn

∆Li

∆yi

∆xi

genera un cono truncado cuya área lateral, ∆Si viene dada por

i

i

iii

iiii

iiiiiii

xy

xxfxf

yxxfxf

LxfxfLrRS

2

1

22

1

1

1)()(

)()(

)()(

Por aplicación del teorema del valor medio e del teorema del valor intermedio,

podemos concluir la existencia de un ci y di en (xi-1, xi) tales que

224

2

)()()(

)()()('

1

1

1

iii

i

i

ii

iii

xfxfdf

y

x

y

xx

xfxfcf

por tanto

iiii xcfdfS 2)]('[1)(2

el área total puede estimarse aproximadamente como

iii

n

i

xcfdfS 2

1

)]('[1)(2

tomando el límite cuando │∆│→0 (n→∞) obtenemos

dxcfxfS

xcfdfS

i

b

a

iii

n

in

2

2

1

)]('[1)(2

)]('[1)(lim2

del mismo modo se demuestra que, si la gráfica de f gira alrededor del eje y, el

área S viene dada por

dxcfxS i

b

a

2)]('[12

En ambas fórmulas para S, podemos mirar los productos 2 π f(x) y 2 π x

como asociados a las circunferencias descritas por un punto (x, y) de loa

gráfica de f en su rotación en torno a los respectivos ejes x e y.

8.8.1 ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN

Si y = f(x) tiene derivada continua en el intervalo [a, b], entonces el área S de la

superficie de revolución que engendra esa gráfica en {a, b} es:

1.- Si gira en torno al eje x

dxcfxfS i

b

a

2)]('[1)(2

225

2.- Si gira en torno al eje y

dxcfxS i

b

a

2)]('[12

Ejemplo. Hallar el área de la superficie engendrada por rotación de la gráfica

de f(x)=x3, en su intervalo [0,2], alrededor del eje x

f ’(x) = 3 x2

El área será

203,043 2/3

)91(

18

]9[13636

2]9[12

]3[12)]('[1)(2

2

0

2/34

2

0

43

2

0

43

2

0

223

2

0

2

xS

dxxxdxxxS

dxxxdxxfxfS

226

FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN

1;1

')11

nCn

udxuu

nn

Cedxue uu ')2

Cudxu

uln

')3 Cudxuu cos')(sin)4

Cudxuu sin')(cos)5 Cudxuu tan')(sec)6 2

Cudxuu cot')(csc)7 2 Cudxuuu sec')tan.(sec)8

Cudxuuu csc')cot.(csc)9 Cudxuu cosln')(tan)10

Cuuu sinln')(cot)11

Cuudxuu tansecln')(sec)12

Cuudxuu cotcscln')(csc)13

Ca

udx

ua

uarcsin

')14

22 C

a

u

adx

ua

uarctan

1')15

22

Cauudxau

u 22

22ln

')16

Cau

au

adx

au

uln

2

1')17

22

Ca

uarc

aauu

dxusec

1')18

22

Cu

aua

a

u

uau

dxu 22

22ln

')19

capÍtulo viii aplicaciones de la integral 8.1...

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