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NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA

55

CAPÍTULO IV

NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMÁTICA

4.1 INTRODUCCIÓN

Los números Complejos constituyen el mínimo conjunto C, en el que se

puede resolver la ecuación ax2 donde Ra . Un número complejo se

escribirá como:

biaba ),(

Donde

1;1 2ii

4.2 ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

idcbadicbia

dbcadcba

)()()()(

),(),(),(

ibdadbdacbdibciadiacdicbia

bcadbdacdcba

)()()())((

),(),)(,(

2

4.3 SUSTRACCIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Sean z, w dos números complejos

1

)(

wzw

z

wzwz

Donde

Si yixw entonces iyx

y

yx

xw

2222

1

Denominado simétrico multiplicativo

4.4 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Los números reales son un subconjunto propio de los números

complejos.

ÁLGEBRA I

56

Los complejos de la forma (a,b) en los cuales b ≠ 0 se denominan

números imaginarios y si a = 0 se trata de un número imaginario

puro.

El complejo conjugado de ),(,),( babazesbaz ,

todo número real es su propio conjugado, mientras que el

conjugado de un imaginario puro es su opuesto.

La suma y el producto de dos complejos conjugados es un número

real.

El cuadrado de todo número imaginario puro es un número real

negativo.

Ejemplo 1 . Si iviwiz 241;32 hallar:

a) wz

iiii 3)43(12)41()32(

b) wz

iii

iiii

514)41)(32(

)38()122())1(3)4(2()4(312()41)(32(

c) zz

13)66()94()32)(32( iii

e) ww

2)41()41( ii

d) 2vvv

44)2)(2( 2iii

e) w

z

i

iii

iiwzw

z

17

11

17

10

17

3

17

8

17

12

17

2

17

4

17

1)32(

41

4

41

1)32(

2222

1


57

4.5 REPRESENTACIÓN TRIGONOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS

COMPLEJOS

Si establecemos un sistema de ejes cartesianos en el cual el eje y sirve para

representar la parte imaginaria del número complejo, tenemos:

Conocida como la forma trigonométrica o forma polar de un número

complejo, donde r se conoce como el módulo de z y Ө como el

argumento.

4.6 TEOREMA

El valor absoluto del producto de dos números complejos es el producto

de sus valores absolutos y el ángulo del producto es la suma de sus

ángulos.

Demostración: Sea

1 1 1 1

2 2 2 2

cos sin

cos sin

z r i

z r i

1 2 1 1 1 2 2 2

21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

cos sin cos sin

cos cos sin sin sin cos cos sin

z z r i r i

z z r r i i

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2(cos cos sin sin ) (sin cos cos sin )z z r r i

1 2 1 2 1 2 1 2cos( ) sin(z z r r i

4.7 TEOREMA

El valor absoluto del cociente de dos números complejos es el cociente

P(x+yi)

r

y

r

x

θ 2 2

cos

sin

(cos sin )

z x iy

x r

y r

z r i

r x y z

ÁLGEBRA I

58

de sus valores absolutos y el ángulo del cociente es el ángulo del

numerador menos el ángulo del denominador.

Demostración: Sea

1 1 1 1

2 2 2 2

cos sin

cos sin

z r i

z r i

1 1 1 2 21

2 2 2 2 2 2

cos sin cos sin

cos sin cos sin

r i iz

z r i i

1 1 2 1 2 1 2 1 21

2 22 2 2 2

cos cos sin sin ) (sin cos cos sin

cos sin

r iz

z r

1 11 2 1 2

2 2

cos( ) sin( )z r

iz r

Ejemplo 2

Si 4

3sin

4

3cos4;

4sin

4cos2 21 iziz Hallar

a) 21 zz

1 2

3 32 cos sin 4 cos sin

4 4 4 4z z i i

1 2

1 2

3 38 cos sin 8(cos sin )

4 4 4 4

8

z z i i

z z

b) 1

2

z

z

1

2

2 cos sin1 3 34 4

cos sin3 3 2 4 4 4 4

4 cos sin4 4

iz

iz

i


59

1

2

1cos sin

2 2 2 2

z ii

z

4.8 FÓRMULA DE EULER

La exponencial compleja

cos sinie i

Con Ө Є R es la fórmula de Euler.

Si

(cos sin ) iz x iy r i re

La potencia enésima será:

( ) (cos sin )

(cos sin )

n n n n n in

n n n

z x iy r i r e

z r i

Que se conoce como el Teorema De Moivre

Ejemplo 3

Calcular 6

1 3i

Solución

2 31 3 2 ; arctan 60º 300º

1r

Por el teorema De Moivre

6 6 6(cos6 sin6 ) 2 cos1800º sin1800ºz r i i

6 64 cos0º sin0º 64z i

6

1 3 64i

ÁLGEBRA I

60

4.9 RAÍCES1

Para cualquier entero positivo n se tiene:

(cos sin ) (cos sin )n nr i r n i n

La ecuación (cos sin )nz A i

Donde n es un entero positivo y A es cualquier número complejo, tiene

exactamente n raíces, si (cos sin )z r i es una de ellas se tiene

(cos sin ) (cos sin )nr n i n i

Donde 1

22

n nr r

kn k

n n

El número de raíces distintas es el de los ángulos del conjunto

2k

n n

que no terminan en el mismo lado. Para cualquier entero positivo

; 0k nq m m n

Es evidente que

2 2k my

n n n n

Tienen lados terminales coincidentes. Por tanto hay n raíces distintas dadas

por

1 2 2cos sin ; 0,1,2,3,......, 1n

k ki k n

n n n n

Estas n raíces son coordenadas de n puntos equidistantes sobre un círculo

de centro en el origen y radio n A . Si entonces (cos sin )nz A i

es cualquiera de las raíces enésimas de A, las otras raíces se obtendrán

sucesivamente aumentando el ángulo en 2n

y reduciendo módulo 2π

cuando quiera que el ángulo sea mayor a 2π.

1 AYRES FRANK, Álgebra Moderna. Edit McGraw-Hill (Colección Schaum) 1969.Pag. 77


61

Las n raíces enésimas de la unidad son

2 3 4 12 2cos sin ; , , , ,......, , 1n ni

n n

Ejemplo 4

Hallar las raíces cuartas de 1 3z i

Observe que el módulo y el argumento de este ejemplo ya fueron hallados

en el ejemplo anterior y son:

2 31 3 2 ; arctan 60º 300º

1r

La expresión que nos permite hallar la raíz enésima es

360º 360ºcos sinn n k k

z r in n

Para el ejercicio planteado tendremos:

4 4 300º 360º 300º 360º2 cos sin

4 4

k kz i

4 4

00 2 cos 75º sin 75º 2(0.259 0.966)k w i i

4 4

11 2 cos 115º sin 115º 2( 0.966 0.259)k w i i

4 4

22 2 cos 255º sin 255º 2( 0.259 0.969)k w i i

4 4

33 2 cos 345º sin 345º 2(0.969 0.259)k w i i

Si los valores de k se tomasen a partir del uno la última raíz coincidiría con

la hallada en primer término para k = 0 , es decir, w0 = w4

4 4

44 2 cos 75º sin 75º 2(0.259 0.969)k w i i

En el plano complejo se puede representar gráficamente:

ÁLGEBRA I

62

Ejemplo 5

Encuentre las raíces cúbicas de la unidad

Sean w1 , w2 , w3 las raíces buscadas, entonces:

1

2 2 1 3cos sin

3 3 2 2w i i

2

2

4 4 1 3cos sin

3 3 2 2w i i

3

3

6 6cos sin cos 2 sin 2 1

3 3w i i

4.10 RAÍCES PRIMITIVAS DE LA UNIDAD

Una raíz enésima z de 1 se dice primitiva si, y sólo si,

1 0nz con m n

Es decir, una raíz se considera primitiva si, multiplicada por si misma un

número menor de veces que el grado de la raíz no reproduce la unidad.

Ejemplo 6

Determine cuáles de las raíces cúbicas de la unidad son primitivas

75º

w0=w4

w1

w2

w3


63

1 1

1 3 1 3 1 3 3 3

2 2 2 2 4 4 4 4w w i i i i

1 1

2 2 3 1 31

4 4 2 2w w i i

Podemos observar que la raíz w1 es una raíz primitiva

2 2

1 3 1 3 1 3 3 3

2 2 2 2 4 4 4 4w w i i i i

2 2

2 2 3 1 31

4 4 2 2w w i i

La raíz w2 es también una raíz primitiva de la unidad.

4.11 SUMATORIA

Es el símbolo que se utiliza para abreviar una suma que sigue una ley de

formación, por ejemplo, la suma de los números naturales

1 2 3 4 5 ............... n

Se puede abreviar como

1

n

i

i

Que se lee como, sumatoria de los i que varían desde 1 hasta n

4.11.1 PROPIEDADES

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

a b a b

1 1

n n

i i

i i

aa a a donde .a cte

Ejemplo 7 6

1

2 2 4 6 8 10 12i

i

3 3 3 3 3

1

1 2 3 .........n

i

i n

ÁLGEBRA I

64

Ejemplo 8 1 2 3( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

.....1 2 3

i nn

i i n

Ejemplo 9

Hallar la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales

2 2 2 2 2 2

1

1 2 3 4 .......n

i

i n

El cubo de un binomio viene dado por:

3 3 2

3 3 2

( 1) 3 3 1

( 1) 3 3 1

x x x x

x x x x

Por tanto: 3 3 2( 1) 3 3 1x n n n n n

3 3 21 ( 1) ( 2) 3( 1) 3( 1) 1x n n n n n

3 3 22 ( 2) ( 3) 3( 2) 3( 2) 1x n n n n n

…………………………………………………….. 3 3 22 2 (1) 3(2) 3(2) 1x

3 3 21 1 (0) 3(1) 3(1) 1x

Sumando todas estas ecuaciones vemos que los segundos términos de cada

ecuación del primer miembro se cancelan, mientras que en el segundo

miembro aparecen: las sumatoria de los cuadrados menos la sumatoria de

los naturales mas n veces uno, por tanto:

3 2

1 1 1

3 3 1n n n

i i i

n i i

La sumatoria de los números naturales es la suma de una progresión

aritmética conocida, por tanto:


65

3 2

1

( 1)3 3

2

n

i

n nn i n

2 3 2

1

( 1) ( 1)3 3 ( 1) 3

2 2

n

i

n n n ni n n n n

2

1

( 1) 33 ( 1)( 1) 3 ( 1) ( 1)

2 2

n

i

n n ni n n n n n n

4.12 PRODUCTORIO

Denota el producto de n términos de una sucesión

1 2 3 4

1

.......n

i n

i

a a a a a a

Y goza de la siguiente propiedad

1 1

log log 0n n

i i i

i i

a a a

4.13 INDUCCIÓN MATEMÁTICA

El principio reinducción matemática proporciona un método de

demostración por recurrencia de varias aplicaciones en matemática

“Este principio afirma el poder razonar por recurrencia. Compendia casi

todo el pensamiento matemático, todo lo que hacemos cuando construimos

agregados complejos a partir de elementos simples. Es como lo destacó

Poincaré „ a la vez necesario al matemático e irreductible a la lógica‟. El

enunciado del principio es: „Si una propiedad es verdadera para el número

uno y si demostramos que es verdadera para n+1, considerando que lo es

ÁLGEBRA I

66

también para n, entonces será verdadera para todos los números naturales‟.

La inducción matemática no deriva de la experiencia, sino que mas bien

constituye una propiedad de la mente, intuitiva, inherente y casi

instintiva:‟lo que hemos hecho una vez, lo podremos hacer nuevamente‟.”2

Hipótesis

La proposición se cumple para n=1

Por tanto se cumple para n=h

Tesis

Debe demostrarse que se cumple para n=h+1

La demostración consiste en tomar la fórmula que es válida para n = h,

añadir un termino más a esta fórmula y demostrar que es igual a la fórmula

con n = h + 1

Ejemplo 10 Demostrar por inducción

1

22

2 2

n

i ni

i n

Verificamos la fórmula para n = 1

1 1

1 1 2 32 2

2 2 2

1 1

2 2

Suponemos que la fórmula es verdadera para n = h

1 2

1 2 2...... 2

2 2 2 2h h

h h

Debemos demostrar que se cumple para n = h + 1

1 2 1 1

1 2 1 3...... 2

2 2 2 2h h

h h

Hay que demostrar que:

1 1

2 1 32 2

2 2 2h h h

h h h

2 Kasner Edgard y Newman James, LAS MATEMÁTICAS Y LA IMAGINACIÓN Edit. UNAM

1967, 2008 Pag. 27


67

1 1

2( 2) ( 1) 32 2

2 2h h

h h h

1 1

1 1

2 4 1 32 2

2 2

3 32 2

2 2

h h

h h

h h h

h h lqqd.


2

1

( 1)(2 1)

6

n

i

n n ni

Verificamos para n = 1

1(1 1)(2 1) 61 1

6 6

Suponemos verdadera para n = h

2

1

( 1)(2 1)

6

h

i

h h hi

Demostramos para n = h + 1 1

2

1

( 1)( 2)(2( 1) 1)

6

h

i

h h hi

Hay que demostrar que:

2( 1)(2 1) ( 1)( 2)(2( 1) 1)( 1)

6 6

h h h h h hh

2( 1)(2 1) 6( 1) ( 1)( 2)(2( 1) 1)

6 6

h h h h h h h

( 1) (2 1) 6( 1) ( 1)( 2)(2( 1) 1)

6 6

h h h h h h h

2( 1) 2 7 6 ( 1)( 2)(2( 1) 1)

6 6

h h h h h h

ÁLGEBRA I

68

( 1)( 2)(2 3) ( 1)( 2)(2 3)

6 6

h h h h h h


1

33 (3 1)

2

ni n

i

Verificamos para n = 1

13 33 (3 1) 2 3

2 2

Suponemos que la fórmula se verifica para n = h

1

33 (3 1)

2

hi h

i

Para n = h + 1 se tiene: 1

1

1

33 (3 1)

2

hi h

i

Debe demostrarse que:

1 13 3(3 1) 3 (3 1)

2 2

h h h

11 13 3 3

3 (3 1)2 2 2

hh h

1 11 3 33 1 (3 1)

2 2 2

h h

1 13 3 33 (3 1)

2 2 2

h h

1 13 3(3 1) (3 1)

2 2

h h

Ejemplo 13

Demostrar que:3

11 3

n

n nn

Verificamos para n=3

3 Rojo Armando, ÁLGEBRA I, Edit. El Ateneo 1975 Pag. 174


69

3

3

13 1

3

43

3

3 2,37

Suponemos que la fórmula es correcta para n = h

11

h

hh

Debemos demostrar que se cumple para h+1

1

11 1

1

h

hh

Demostración 1

1 1 11 1 1 ( )

1 1 1

h h

ah h h

Es evidente que:

1 1

1h h

Sumando 1 a ambos miembros se tiene:

1 11 1

1h h

Elevando a la potencia h

1 11 1

1

h h

h h

1 1 1 11 1 1 1 ( )

1 1 1

h h

bh h h h

ÁLGEBRA I

70

Igualando las ecuaciones (a) y (b) se tiene: 1

1 1 11 1 1

1 1

h h

h h h

Y como

11

h

hh

Multiplicando miembro a miembro estas dos últimas desigualdades se tiene: 1

1 1 1 11 1 1 1

1 1

h h h

hh h h h

11 1

1 11 1

h

hh h

11

1 ( )1 1

hh

h ch h

Como

1 1 1 ( )1 1

h hh h h h d

h h

Por transitividad de (c) y (d) se obtiene:

1

11 1

1 1

hh

h hh h

1

11 1

1

h

h lqqdh

capÍtulo iv nÚmeros complejos e inducciÓn...

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