13

CAPÍTULO II

Ondas sagitales en cristales fonónicos 1D con defectos:

método de balance de energía para determinar los estados

de polarización

Empleamos el Método de Balance de Energía para determinar las contribuciones longitudinal y

transversal de los modos elásticos sagitales en estructuras multicapas sólidas periódicas, con y sin

defectos. El promedio - balance - de energía de deformación longitudinal y transversal en la

celda unitaria determina el estado de polarización específico de las ondas. El método de

supercelda es requerido para tratar los sistemas con defectos. Algunos efectos relacionados con la

polarización de los modos elásticos tales como repulsión de modos o cruce de modos son

discutidos.

_______________

Parte del contenido de este Capítulo fue publicado en J. Appl. Phys [17]

14

En un CF 1D de constituyentes sólidos pueden propagarse ondas con vector de onda local

y vector de desplazamiento local contenidos en el plano sagital. Es decir, en cada punto de la

superred, ambos vectores que definen la vibración elástica tienen componentes a lo largo del eje

de la superred (en dirección de la periodicidad) y también a lo largo de las interfaces entre las

capas (en dirección de la homogeneidad). Además, dependiendo de las propiedades materiales y

estructurales, el vector de desplazamiento elástico puede tener componentes en las direcciones

paralela y perpendicular al vector de onda. Entonces la superred soporta vibraciones longitudinal

y transversal acopladas - son las ondas sagitales.

Nos proponemos analizar con detalle las contribuciones longitudinal y transversal en estas

ondas particularmente para los estados de defecto en CF 1D.

II.1 Ondas sagitales en una superred.

Consideramos el sistema mostrado en la Fig. 2-1. Se trata de un arreglo periódico de

placas sólidas paralelas de espesores a y b. Entonces el período de la estructura es d = a + b. Los

parámetros materiales son respectivamente talblaba ccc ,,,, y tbc . Para resolver el sistema de

ecuaciones acopladas (1.8) empleamos el método de ondas planas. Requerimos entonces los

siguientes desarrollos para la densidad y los parámetros de Lamé de la estructura periódica:

)1.2(),exp()()( xiGGx x

G

x

x

)2.2(),exp()()()( 2 xiGGxcx x

G

xt

x

15

)3.2().exp()()()( 2 xiGGxcx x

G

xl

x

En estas ecuaciones el vector de la red recíproca está dado por ndGx )/2( . En el Capítulo I

hemos dicho que debido a la periodicidad de la estructura el vector de desplazamiento elástico se

escribe satisfaciendo el Teorema de Bloch [Eq. (1.9)]. La estructura de bandas la obtendremos al

sustituir las Ecs. (2.1)-(2.3) y (1.9) en el sistema

Fig. 2.1. Estructura periódica infinita cuya celda unitaria tiene espesor d, siendo xy el plano de

desplazamiento sagital y el eje x la dirección de propagación de las ondas.

de las ecuaciones (1.8). Realizando el álgebra correspondiente es fácil llegar a la siguiente

expresión matricial

,0

02

y

x

y

x

yyyx

xyxx

u

u

1

1N

u

u

MM

MM (2.4)

en donde xu y yu son vectores infinitos teniendo por componentes los coeficientes de la

expansión en la Ec. (1.9). Las matrices infinitas tienen las siguientes componentes:

. . . . . .

a b

d

x

y

16

).(),(

),)()(()(),(

,))(()()](2)([),(

),()()](2)()[(),(

),)()(()(),(

2

2

xxxx

xxxxxxyxxxxyy

yxxxxxxyxxxxxxyx

xxxxyxxxxxxyxxxy

xxxxxxxxyxxxx

GGGGN

GkGkGGkGGGGM

kGkGGGkkGGGGGGM

GGGkkGGGGGkkGGM

GkGkGGGGkGGM

(2.5)

Para llegar a esta forma de los elementos matriciales se ha hecho uso de la condición de

ortogonalidad de las ondas planas. También es pertinente recordar que la suma o resta de dos

vectores de la red recíproca da como resultado otro vector de la red recíproca.

Para resolver numéricamente la Ec. (2.4) hace falta definir los coeficientes )( xG , )( xG

y )( xG . Como el tratamiento que haremos es igual para los tres coeficientes los designaremos

de manera genérica con el símbolo (Gx). Como la celda unitaria seleccionada es simétrica

podemos escribir

)2/()()( zdz bab ,

en donde )( es la función de Heaviside ( 1 para 0 , 0 para 0 ). Los

coeficientes de Fourier están dados por

2/

2/

.)(1

)(

d

d

xiG

x dxexd

G x

Consecuentemente,

17

.0,

2

2)(

,0,)(

)(

xx

x

ba

xbab

x

GaG

aGsen

d

a

Gd

a

G (2.6)

Con la Ec. (2.6) completamos los requerimientos para resolver la Ec. (2.4). Nótese que la Ec.

(2.4) puede convertirse en una ecuación de eigenvalores al multiplicar ambos lados por la matriz

inversa N-1

.

Para resolver la Ec. (2.4) haremos uso de un Programa elaborado en lenguaje Fortran en

donde se utilizan algunas rutinas de las paqueterías LINPACK,18

LAPACK19

y Numerical

Recipes.20

El Programa de Cómputo forma parte de la herramienta numérica con que cuenta el

CA de Fenómenos Ópticos de la Universidad de Sonora. La mayoría de los códigos utilizados en

este Capítulo son modificaciones o adaptaciones de la biblioteca numérica de la Dra. M. B.

Manzanares-Martínez de la UNISON Unidad Sur.

Consideramos la superred epoxy/estaño (Ep/Sn) con factor de llenado f = a/d = 0.5, esto

es, los espesores de las capas de Ep (capa a) y Sn (capa b) son iguales. Para el Ep usamos los

siguientes parámetros: Ep = 1.15 gr/cm3, clEp = 2.65 10

5 cm/s, ctEp = 1.23 10

5 cm/s. Para el

estaño usaremos: Sn = 7.33 gr/cm3, clSn = 3.3 10

5 cm/s, ctSn = 1.7 10

5 cm/s. La estructura de

bandas sagitales se muestra en la Fig. 2.2 en donde estamos empleado unidades reducidas para la

frecuencia y el vector de onda. En el panel (a) estamos graficando las bandas a lo largo del eje de

la superred (el eje x de periodicidad). El vector de propagación es el vector de Bloch el cual toma

valores de la primera zona de Brillouin, dkB0 . Puede observarse un conjunto de cinco

bandas. Su identificación estaría condicionada a resolver la ecuación de onda transversal, y

saber las que son de tipo longitudinal o transversal. Esta separación de polarización ocurre sólo

para este tipo de propagación. Por otro lado el panel (b) presenta las bandas de propagación

oblicua (vector ky diferente de cero). Se conocen como bandas proyectadas; dado un valor para la

componente de vector de onda paralelo a las capas, la banda proyectada contiene todos los modos

18

con vector de Bloch real. Entonces, los modos justo en los bordes de una banda proyectada son

aquellos con kx = 0 y kx = /d.

Figura 2.2. Estructura de bandas para una superred, los paneles (a) y (b) representan las

frecuencias de vibración del vector de onda ky finito, y kB en la dirección de propagación

respectivamente.

Las bandas proyectadas que hemos calculado no muestran diferencia alguna entre los

modos que contienen. Podemos sólo afirmar que son ondas sagitales con componentes de

desplazamiento en los ejes x y y. La figura nos da sólo la información básica de la posición y

anchura de las bandas prohibidas que, como ya mencionamos en la introducción, le dan

potenciales aplicaciones a este tipo de estructuras.

19

II.2 Modos sagitales localizados.

Uno de los métodos más conocidos para determinar los estados localizados en estructuras

cristalinas con defectos es el Método de Supercelda (MSC). Esta técnica de cálculo ha probado su

utilidad, por ejemplo, para determinar los modos de vibración de superficie fotónicos21

y

fonónicos22

en estructuras periódicas truncadas. Nosotros nos interesamos en los estados con

desplazamiento elástico confinado a un defecto cristalino – estados con intensidad de

desplazamiento elástico decayendo exponencialmente al alejarse del defecto. Por esta razón

esperamos que la curva de dispersión de los estados localizados se ubique en los gaps de las

bandas de volumen (en los gaps de la Fig. 2-2).

Con el MSC en realidad lo que calculamos son bandas de modos de defecto. Con la

supercelda (SC) de anchura D se define una superestructura periódica cuyo bloque unitario es

precisamente la SC. Mientras más extensa sea la SC más separados quedarán los estados

localizados debidos a los defectos y las bandas asociadas a los traslapes entre estados localizados

serán más angostas. Entonces, en el límite matemático de SC de extensión infinita las bandas

asociadas a los estados localizados tienen anchura cero reproduciendo la curva de dispersión de

los modos elásticos del defecto.

En la Fig. 2-3 presentamos la SC centro-simétrica que estaremos utilizando.

Siguiendo la notación de la Secc. I.1, los parámetros materiales satisfacen la relación

zc

zz defSdef2

])([)( , (2.7)

en donde def y c corresponden a los parámetros materiales y espesor del defecto,

respectivamente. La función )(zS que corresponde a la superred de “fondo” tiene la forma

j

jbabS zzD

z2

)()( . (2.8)

20

Con el origen en el centro de la SC es fácil definir las posiciones zj de las capas a . Por ejemplo,

para la SC de la Fig. 2-3 los 6 valores de zj son )12(22

sdDb

con s =1, 2, 3.

Fig. 2.3. Configuración infinita de una superred periódica a/b con una capa c centrada con

espesor dc y plano de desplazamiento sagital xy.

Procedemos entonces a resolver la Ec. 2.4 pero para la superestructura de período D con

la SC como celda unitaria (bloque unitario). Los vectores de la red recíproca estarán dados por

nDGx )2( . Seleccionamos la misma superred cuyas bandas presentamos en la Fig. 2.2. En

una supercelda de 20 celdas unitarias de superred sustituimos la capa central de Ep por Zn. Los

parámetros del Zn son: Zn = 7.1 gr/cm3, clZn = 4.17 10

5 cm/s, ctZn = 2.41 10

5 cm/s. Los

resultados se muestran en la Fig. 2-4. Por un lado el MSC entrega soluciones que se identifican

con las bandas de volumen de la superred; mientras más grande es la SC más pobladas aparecen

esas bandas. Lo importante del método es que nos entrega las curvas de dispersión de los modos

del defecto. Estas curvas se localizan en los gaps de la superred, y son asociados en la capa de

. . . . . .

a b

d

x

y

c

D

21

defecto y, como ya dijimos anteriormente, el desplazamiento elástico no se propaga en la

superred, más bien decae exponencialmente.

Variando el espesor de la capa de defecto modificamos la posición y curvatura de sus

curvas de dispersión. En la Fig. 2.5 mostramos un par de efectos que consideramos de los más

interesantes hasta esta etapa de la investigación. Existen cruces y repulsiones de modos. Los

resultados de la Fig. 2.5 se obtienen cuando doblamos el espesor de la capa de defecto. Esto es, c

= 2a. Aprovechamos esta figura para mostrar la forma de soluciones que entrega el MSC;

claramente las bandas de volumen se forman por el agrupamiento de modos y los estados

localizados se ubican en los gaps. Para entender el cruce y repulsión de modos requerimos más

información cualitativa de las soluciones.

Figura 2.4. Estructura de bandas de ondas sagitales de los modos del volumen y curvas de los

modos del defecto en la supercelda SC de la figura 2-3. Donde las capas son a = Ep, b = Sn y c =

Zn.

22

Figura 2.5. Comportamiento de los cruces y repulsión de modos del defecto de Zn en una

estructura Ep/Sn SC obtenida por el método de la super-celda, con dZ = 0.06 cm.

Veremos en seguida que la estructura de bandas y modos localizados es mucho más rica

que lo mostrado en las Figs. 2-2, 2-4 y 2-5; presentaremos detalles de la polarización de modos

sagitales.

II.3 El Método de Balance de Energía.

Hemos visto que el método de ondas planas nos permite evaluar el vector de

desplazamiento elástico en cada punto de la celda unitaria o de la supercelda. Entonces al

resolver nuestras ecuaciones conoceremos las componentes xu y yu . Nótese que estas

componentes son amplitudes efectivas que resultan de la suma de un número infinito de ondas

23

que se propagan de izquierda a derecha y de derecha a izquierda en la multicapa. Por otro lado,

tenemos definidas las magnitudes de los vectores de onda locales en las dos capas de la celda:

),(

,

),(

, ba

tl

ba

tlc

Q . También conocemos la componente paralela a las capas de esos vectores de onda:

ky. Entonces, podríamos calcular la componente del vector de onda perpendicular a las capas y

por lo tanto conoceríamos su ángulo de propagación. Esto es, 22),(

,

),(

, )( y

ba

tl

ba

xtxl kQk y

),(

,

1),(

, tanba

xtxl

yba

tlk

k.

La Fig. 2.6 muestra esquemáticamente todos los vectores involucrados. El subíndice “kB”

se refiere a la solución que satisface el teorema de Bloch. Según esta

Figura 2-6. Vectores involucrados al cálculo del método de balance de energía en una supercelda

unitaria, que forma una superred 1D.

geometría es fácil de obtener las siguientes relaciones:

.cossen

,sencos

ttllyk

ttllxk

uuu

uuu

B

B

(2.8)

Consecuentemente

,1

yk

xk

t

l

B

B

u

uM

u

u (2.9)

y

x l

t

lQ

tQ

lu

tu

ykBu

xkBu

24

en donde

.cossen

sencos

tl

tlM (2.10)

Escribiendo explícitamente el inverso de la matriz M, la Ec. 2.9 nos lleva al valor de las

correspondientes amplitudes en cualquier punto (x,y) dentro de la celda unitaria:

x

yxx

BB

G

yikxGki

tyktxk

tl

Bl esenuuyxku)(

]cos[)cos(

1),;( (2.11)

x

yxx

BB

G

yikGki

lyklxk

tl

Bt eusenuyxku)(

]cos[)cos(

1),;( (2.12)

Con estas ecuaciones podemos evaluar la energía de deformación que como veremos

enseguida se compone de dos partes, la longitudinal (de compresión) y la transversal. Partimos de

la expresión conocida para el promedio temporal de la energía elástica que se propaga en forma

de onda plana en la dirección definida por el vector de onda:29

2

,,

2

,, tltltltl uQcS

. (2.13)

Esta expresión representa la energía que cruza una unidad de área en la dirección perpendicular al

vector de onda. Entonces es posible definir una cantidad de energía por unidad de volumen al

dividir con la velocidad ambos lados de esta ecuación. La densidad de energía de deformación

estaría definida como

2

,

2

, tltl uU

. (2.14)

Entonces, los promedios de energía de deformación a lo largo de la celda unitaria tienen la forma

25

dxUU

dxU

tl

l

l)( , (2.15)

dxUU

dxU

tl

t

t)( . (2.16)

El método de balance de energía queda establecido con las Ecs. (2.15) y (2.16).11

La integrales se

realizan a lo largo de toda la celda unitaria 22 dxd . [Estas ecuaciones pueden escribirse

igualmente en términos de 2

lu y 2

tu o en términos de 2

xu y 2

yu , el resultado, por supuesto, es el

mismo]6,11

.

En la Fig. 2.7 presentamos la estructura de bandas del mismo sistema de la Fig. 2.4. La

presentación en color deja ver los detalles de la polarización sagital. El panel (a) corresponde a

las bandas de modos que se propagan en la dirección perpendicular a las capas. Sólo en este caso

las bandas son transversales o longitudinales. Luego, el panel (b) muestra que la polarización de

las bandas está bien definida solo en las regiones de vector de onda ky pequeños. Conforme ky

crece las bandas se tornan mixtas; sólo en algunas regiones recuperan la tendencia a una

polarización específica.

Igual podemos decir de los estados localizados. Son cuasi-transversales o cuasi-

longitudinales en la vecindad de ky = 0. Notamos también que las curvas de dispersión no tienen

comportamiento uniforme. Mientras que los modos en los gaps segundo y tercero se tornan

rápidamente mixtos, en el cuarto gap las curvas prácticamente mantienen su polarización.

La diferencia más notable con la Fig. 2.4 es que el conocimiento de la polarización de los

modos nos deja ver la existencia de resonancias (modos de defecto que caen en las bandas de la

superred anfitriona). En el tercer gap la curva de modos localizados penetra en la banda

volumétrica. También en la quinta banda se aprecia una resonancia de curva de dispersión

26

definida solo para vectores de onda relativamente pequeños. Pero el resultado más notable es la

resonancia que se sobrepone a la tercera y cuarta bandas. Claramente la diferencia de

polarización permite esta coexistencia.

Figura 2.7. Curvas de dispersión y Mapa de polarización de modos del defecto en el sistema

Ep/Sn con Zn incluyendo la polarización de modos de volumen y del defecto respectivamente,

obtenido por medio de MSC y balance de energía.

Continuando con los ejemplos de aplicación del método de balance de energía en la Fig.

2-8 retomamos la Fig. 2.5 y calculamos los detalles de su polarización. A diferencia de la Fig. 2-7

en donde hemos sobrepuesto los resultados de la estructura de bandas y los estados localizados,

en la Fig. 2.8 presentamos los resultados tal y como los entrega el MSC. Ahora podemos

27

entender, en principio, el cruce y repulsión de las curvas de dispersión: los modos con

polarizaciones diferentes pueden cruzarse mientras que los modos con polarizaciones semejantes

se repelen. Podemos observar que cuando las curvas se repelen intercambian su estado de

polarización el cual es prácticamente el mismo en el punto de máximo acercamiento.

Figura 2.8. Mapa de polarización mostrando el cruce y repulsión de curvas de dispersión de

modos sagitales localizados. Las flechas indican la localización del cruce y repulsión en

(1.73,11.1) y (3.68,12.2) respectivamente para la componente del vector de onda y frecuencia

normalizadas.

28

II.4 Conclusiones.

Hemos calculado las contribuciones longitudinal y transversal para ondas elásticas

sagitales que se propagan en una superred de componentes sólidas. Las contribuciones fueron

obtenidas indirectamente calculando el promedio de las respectivas energías de deformación. Los

mapas de polarización se obtuvieron para superredes con y sin defectos estructurales.

Polarizaciones bien definidas se encuentra sólo para ondas que se propagan a lo largo del eje de

la superred y para las bandas de propagación oblicua de vector de onda pequeño y paralelo a las

placas. Con vectores de onda grandes las bandas se tornan mixtas. Entonces los modos sagitales

varían la relación de componente longitudinal/transversal al cambiar el vector de onda paralelo a

las capas.

De igual forma las curvas de dispersión de los modos localizados debido a defectos

cambian su polarización específica con la variación del vector de onda. Hemos encontrado que

los cruces y repulsiones de curvas de dispersión tienen que ver con la polarización de los modos.

Los cruces se dan entre curvas que poseen polarización opuesta y las repulsiones se dan entre

curvas con la misma polarización o polarización cercana.

Entonces el método de balance de energía permite determinar la polarización específica

de los modos sagitales lo cual puede ser de gran utilidad en aplicaciones o en la interpretación de

resultados experimentales.