capítulo 7 para lÁminas de revoluciÓnel polo de una super cie de revolución es el punto en el...

Capítulo 7

FORMULACIÓN MEMBRANALPARA LÁMINAS DEREVOLUCIÓN

7.1. Introducción

En este capítulo introducimos las formas más sencillas que tienen las cáscaraspara resistir cargas externas, que son mediante mecanismos membranales. La se-cuencia del estudio es la siguiente. Primero se la geometría de la cáscara y luego lascondiciones de equilibrio (Sección 7.2). El planteo de equilibrio es ingenieril, en elsentido que se toma cada componente del esfuerzo y se analizan las contribucionesen las direcciones de las coordenadas intrínsecas. En la Sección 7.3 se ven las rela-ciones cinemáticas. El resto del capítulo trata de aplicaciones a formas sencillas: elcilindro (Sección 7.4), la esfera (Sección 7.5) y el cono (Sección 7.6).

7.1.1. Descripción geométrica de la lámina

Las cáscaras de revolución se generan mediante una curva denominada meri-

diano y un eje de revolución. Al hacer rotar el meridiano alrededor del eje de revo-lución se genera una super�cie, cuyas intersecciones con planos perpendiculares aleje de revolución son círculos. Estos círculos se denominan paralelos de la cáscara.Desde el punto de vista constructivo es posible hacer estas super�cies utilizando hor-migón armado, acero, plásticos reforzados con �bras o madera. Ejemplos de láminasde revolución en ingeniería civil son silos cilíndricos, tanques para almacenamientode líquidos, techos en forma de domos esféricos, etc.

En lugar de utilizar ejes cartesianos y coordenadas (x1, x2, x3), en este caso esmás simple usar ejes que están sobre la propia super�cie media de la lámina; estosse denominan ejes intrínsecos. La descripción de una super�cie de revolución concontornos axilsimétricos puede hacerse convenientemente usando las coordenadascurvilíneas en las direcciones de los paralelos y los meridianos. En lo sucesivo, lacoordenada ξ (llamada ξ1en el capítulo anterior) identi�ca la posición en sentido delmeridiano, mientras que la coordenada ζ (llamada ξ2 en el capítulo anterior) recorreel paralelo. En sentido del paralelo también puede usarse la coordenada angular θ,mientras que en algunos casos es posible usar para el meridiano el ángulo ϕ. Ensentido normal a la cáscara se usará la coordenada n. La Figura 7.1.a muestra los

1

2 Análisis de estructuras laminares

ejes coordenados mencionados.

Figura 7.1: (a) Ejes coordenados en una lámina de revolución; (b) Radios de curva-tura de la super�cie media.

Los radios de curvatura del meridiano y del paralelo se muestran en la Figura7.1.b. El centro de curvatura del radio R1 que describe el meridiano es Om, mientrasque el centro de curvatura de R2 es Op. Ambos radios se encuentran sobre la direcciónnormal a la cáscara en cada punto. También se identi�ca el radio horizontal r delparalelo, que no es un radio de curvatura de la super�cie sino que describe la curvadel paralelo. El ángulo ϕ se usa para indicar la dirección de la normal con respectoa un plano horizontal.

Figura 7.2: (a) Polo regular; (b) Polo singular.

El polo de una super�cie de revolución es el punto en el cual la cáscara llegaal eje de revolución, Se dice que el polo es regular si allí ϕ = π/2 (Figura 7.2.a),mientras que para otros valores de ϕ 6= π/2 el polo es singular (Figura 7.2.b). Enun polo regular los radios de curvatura en las dos direcciones, R1 y R2 se igualan,de manera que localmente puede considerarse que la super�cie es como una esfera.

Formulación Membranal de Láminas de Revolución 3

7.1.2. Hipótesis de comportamiento

Desde el punto de vista estructural, consideraremos inicialmente comportamien-tos que solamente requieren de esfuerzos membranales para establecer equilibrio,mientras que la contribución de la �exión se discutirá en el capítulo próximo.

Adoptaremos las hipótesis de Kirchho�, pero considerando la rigidez �exional dela lámina: Por lo tanto D = Eh3/ [12 (1− ν2)] = 0, Mij = 0 y Ni3 = 0. Haremos dossuposiciones básicas sobre la simetría del problema:

1) Si la geometría es de revolución, entonces cualquier meridiano es representativode la lámina. Esto se conoce como geometría axisimétrica.

2) Se supone que las cargas exteriores son también constantes en sentido de losparalelos. Estas acciones se conocen como cargas axisimétricas.

A consecuencia de esas hipótesis, los esfuerzos tangenciales son nulos (N12 =N21 = 0) y el tensor de fuerzas resultantes se reduce a sus componentes membranalesen direcciones principales:

Nij =

N11 0 00 N22 00 0 0

(7.1)

Figura 7.3: (a) Fuerzas externas consideradas; (b) Fuerzas membranales considera-das.

Solamente actúan en este caso p1 y p3, como se ilustra en la Figura 7.2.a. Lasfuerzas Nij se muestran en la Figura 7.2.b.

7.2. Ecuaciones Membranales de Equilibrio

Para establecer el equilibrio de la cáscara consideremos las componentes de fuer-zas en la dirección del meridiano y luego las componentes en sentido del paralelo.Para ello se descomponen N11 y N22 en direcciones del meridiano y del paralelo.


7.2.1. Contribuciones a equilibrio debidas al esfuerzo N11

Con referencia a la Figura 7.4, consideremos un elemento de cáscara entre losparalelos A y B. El radio horizontal en A es r, mientras que en B ha variado, siendoahora

r + dr = r +∂r

∂ξ1dξ1

Figura 7.4: Componentes de N11

Para un ángulo central dθ el segmento sobre el paralelo en A mide dsA2 = rdθ,

mientras que en B resulta dsB2 =(r + ∂r0

∂ξdξ)dθ.

La fuerza resultante en A en dirección del meridiano, denominada FA1 , es

FA1 = N11ds

A2 = N11rdθ

En B el esfuerzo N11se ha modi�cado en dN11y se tiene

FB1 = (N11 + dN11) ds

B2 =

(N11 +

∂N11

∂ξdξ

)(r +

∂r

∂ξdξ

)dθ

= N11rdθ +N11∂r

∂ξdξdθ +

∂N11

∂ξdξrdθ +

∂N11

∂ξ

∂r

∂ξdξdξdθ

= N11rdθ +∂ (N11r)

∂ξdξdθ +

∂N11

∂ξ

∂r

∂ξdξdξdθ

Si sumamos fuerzas en sentido del meridiano y despreciamos el último términopor ser de orden superior, se llega a la resultante debida a N11en el sentido delmeridiano de la cáscara∑

Fξ = FB1 − FA

1 =∂ (N11r)

∂ξdξdθ

En el sentido de la normal a la lámina, de la Figura 7.4 podemos encontrar lassiguientes relaciones entre triángulos

dϕ =dξ/2

R1

=F ′1F1


de donde

F ′1 =F1

2

dξ

R1

Reemplazando F1 = N11rdθ se obtiene

F ′1 =N11rdθ

2

dξ

R1

Esta fuerza es contraria a la dirección positiva de la normal a la cáscara. La contri-bución total al equilibrio den el sentido de la normal es 2F ′1.

Finalmente la contribución de N11 al equilibrio resulta∑Fn = −N11

r

R1

dξdθ∑Fξ = −

∂ (rN11)

∂ξdξdθ

7.2.2. Contribuciones a equilibrio debidas al esfuerzo N22

Con referencia a la Figura 7.5, las fuerzas a uno y otro extremo del elemento soniguales debido a la simetría de geometría y carga, y dan una resultante en sentidodel paralelo.

Figura 7.5: Componentes de N22.

Por similitud de triángulos se tiene

dθ

2=F ′2F2

=ds22r

de donde F ′2 =ds22rF2

o bien como ds2 = rdθ. Recordamos que F2 = N22dξ, y así resulta:

F ′2 =rdθ/2

rN22dξ =

N22

2dθdξ

La componente horizontal resultante es las suma de las F ′2 que actúan en losextremos (ver Figura 7.5.b)

F = 2F ′2 = N22dξdθ


Debido a la inclinación del meridiano, es necesario usar las funciones trigonomé-tricas de ϕ: para encontrar las componentes de N22en sentido del meridiano y de lanormal ∑

Fn = −F cosϕ = −N22 cosϕ dξdθ∑Fξ1 = F sinϕ = N22 sinϕ dξdθ (7.2)

7.2.3. Ecuaciones de equilibrio

Sumando las componentes de fuerzas externas y esfuerzos internos en direccióndel meridiano se llega a∑

Fξ =∂ (rN11)

∂ξdξdθ +N22 sinϕ dξdθ + p1dξrdθ = 0

o bien, eliminando dξdθde todos los términos∑Fξ =

∂ (rN11)

∂ξ+N22 sinϕ + p1r = 0

Sumando componentes en la dirección normal a la cáscara se tiene∑Fn = −N11

r

R1

dξdθ −N22 cosϕ dξdθ + p3dξrdθ = 0

Considerando r = R2 cosϕ y simpli�cando se llega a∑Fn = −N11

R1

r − N22

R2

r + p3r = 0

o bien ∑Fn = −N11

R1

− N22

R2

+ p3 = 0

En resumen, resultan dos ecuaciones diferenciales simultaneas con dos incógnitas,N11 y N22

∂ (rN11)

∂ξ+N22 sinϕ + p1r = 0

−N11

R1

− N22

R2

+ p3 = 0 (7.3)

El problema es estáticamente determinado, y es necesario resolver ambas condiciones(7.3) de manera simultánea.

7.2.4. Planteo alternativo de equilibrio

En lugar de resolver dos ecuaciones diferenciales acopladas con dos incógnitas,es posible manipular el sistema para resolverlas en forma secuencial. Para ello, enlugar de escribir la condición

∑Fξ = 0 se escribe

∑Fz = 0, donde z es la dirección

vertical (según la dirección del eje de revolución).Con referencia a la Figura 7.6, si cortamos la cáscara en un paralelo de radio

r = rA, la fuerza vertical resultante en ese lugar es

2πrA cosϕAN11


rA

rB

A

B

ϕ

ϕA

ϕB

r

N11

(2πr1)

Figura 7.6: Equilibrio según la direccion del eje de revolucion

Esta fuerza debe estar en equilibrio con la suma de las fuerzas que se encuentranpor encima del paralelo considerado, que valen

ˆ ξB

ξ=ξA

(p1 cosϕ+ p3 sinϕ) 2πrdξ

Igualando ambas expresiones, se establece equilibrio

ˆ ξB

ξ=ξA

2πr (p1 cosϕ+ p3 sinϕ) dξ = 2πrA cosϕAN11

A continuación se despeja N11

N11 =1

rA cosϕA

ˆ ξB

ξ=ξA

(p1 cosϕ+ p3 sinϕ) rdξ (7.4)

Nótese que no es posible simpli�car el radio rA fuera de la integral con el radio rdentro de la integral. La ecuación anterior no involucra derivadas de las variablesincógnitas del problema, y se puede resolver en base a los datos. Una vez que seencuentra el valor de N11 en el paralelo determinado, se puede encontrar allí elesfuerzo N22 usando la condición

N22 = R2

(p3 −

N11

R1

)(7.5)

Las ecuaciones anteriores no se resuelven de manera simultanea sino de manerasecuencial, y son ecuaciones algebraicas, no diferenciales.

7.3. Cinemática de la Lámina

Conocidos los valores de los esfuerzos resultantes N11 y N22 en un punto cual-quiera del meridiano es posible encontrar las deformaciones anulares en el plan del


paralelo

ε22 =1

Eh(N22 − νN11) (7.6)

En función de los desplazamientos radiales ur que ocurren en el plano del paralelo,ε22 resulta

ε22 =urr

(7.7)

El desplazamiento radial se compone mediante las contribuciones en direccionescoordenadas (Figura 7.7)

ur = u3 cosϕ− u1 sinϕ (7.8)

Figura 7.7: Desplazamiento radial en un punto de la lámina.

Utilizando las ecuaciones (7.6)-(7.8) se llega a

ur =r

Eh(N22 − νN11) (7.9)

Para calcular el desplazamiento u3y el giro de la normal en el mismo punto esnecesario introducir la simpli�cación que u3 � u1, con lo que se puede escribir

ur ' u3 cosϕ

o bien

u3 =1

Eh

r

cosϕ(N22 − νN11)

Como R2 = r/ cosϕ

u3 =R2

Eh(N22 − νN11) (7.10)

El giro se calcula ahora a partir de la derivada del desplazamiento u3 como

β = −∂u3∂ξ1

=1

Eh

∂

∂ξ[R2 (N22 − νN11)] (7.11)

Las ecuaciones de las secciones 7.2 y 7.3 son generales. En las secciones siguientesse particularizan para formas comunes de cáscaras usadas en ingeniería.


Figura 7.8: (a) Lámina cilíndrica; (b) Lámina esferica; (c) Lámina conica.

7.4. Láminas Cilíndricas

Las ecuaciones de equilibrio y cinemáticas anteriores pueden especializarse paraalgunos casos de interés frecuente en ingeniería, como son el cilindro, la esfera y elcono, que se muestran en la Figura 7.4.

7.4.1. Ecuaciones de equilibrio y cinemáticas

En el cilindro el radio de curvatura del meridiano es in�nito, mientras que elradio del paralelo es constante

R1 =∞ R2 = r = constante ϕ = 0

∂r

∂ξ= 0 =

∂R2

∂ξ

sinϕ = 0 cosϕ = 1

En este caso el ángulo ϕ no puede elegirse como coordenada porque no sirve paradistinguir entre puntos diferentes del meridiano (todos tienen el mismo valor de ϕ).

Las ecuaciones de equilibrio se reducen a

N11 =

ˆ ξB

ξ=ξA

p1 dξ

N22 = r p3 (7.12)

La solución se desacopla, N22 varía siguiendo la forma de la carga p3 (ξ1) y losparalelos actúan como si fueran anillos. N11 se encarga de equilibrar la componentep1.

La cinemática resulta

u3 =r

Eh(r p3 + νN11)

β = −∂u3∂ξ

(7.13)

7.4.2. Presión normal a la lámina

Como ejemplo consideremos una presión constante que sea normal a la lámina:

p1 = 0 p3 = constante


La solución resulta:

N11 = 0

N22 = r p3

u3 =r2

2Ehp3

β = 0 (7.14)

7.4.3. Presión hidrostática sobre la pared

En este casop1 = 0 p3 = γ (d− ξ)

donde d es la altura de la cáscara sometida a presión, γ es el peso especí�co del �uido,ξ es la coordenada meridional (en sentido del eje de revolución), medida desde labase.

Los resultados explícitos de esfuerzos y desplazamientos son

N11 = 0

N22 = r γ (d− ξ)

u3 =r2

Ehγ (d− ξ)

β =r2

Ehγ

El desplazamiento varía linealmente con la altura, y el giro es constante en todala cáscara.

7.5. Láminas Esféricas


En una esfera, los radios de curvatura son iguales

R1 = R2 = R r = R dϕ

dξ = Rdϕ

En la esfera el ángulo ϕ es una coordenada conveniente para escribir las ecuaciones,y en muchos textos se las presenta en función de esa variable. Las ecuaciones deequilibrio resultan

N11 =1

rA cosϕA

ˆ ϕ=ϕB

ϕ=ϕA

(p1 cosϕ+ p3 sinϕ) (R cosϕ) (Rdϕ) (7.15)

=R

(cosϕA)2

ˆ ϕ=ϕB

ϕ=ϕA

(p1 cosϕ+ p3 sinϕ) cosϕdϕ (7.16)

N22 = R p3 −N11

u3 =R

Eh(N22 − νN11)

β = − ∂u3R∂ϕ

(7.17)

donde las cargas se extienden entre el paralelo ϕ = ϕA y ϕ = ϕB.


7.5.2. Presión uniforme normal a la lámina

Como ejemplo sencillo consideremos una esfera con presión normal a la super�cieque sea uniforme. Las componentes de presiones son:

p1 = 0 p3 = constante

Los esfuerzos resultan

N11 =Rp3

(cosϕA)2

ˆ ϕB

ϕ=ϕA

sinϕ cosϕdϕ

=Rp32

[1− (cosϕB)

2

(cosϕA)2

](7.18)

N22 =Rp32

[1 +

(cosϕ2)2

(cosϕ1)2

]Si el casquete está cerrado en la parte superior, de manera que tiene un polo regular,entonces cosϕ1 = 0. Este caso ocurre en recipientes de presión de tipo esférico, quealmacenan gases. Los esfuerzos se reducen a

N11 =Rp32

= N22

De manera que los esfuerzos resultantes son iguales en las dos direcciones en todoslos puntos de la lámina. El desplazamiento es constante y la rotación es nula:

u3 =R2

2Ehp3 (1− ν)

β = 0 (7.19)

7.6. Láminas Cónicas


En este caso el meridiano es una recta, por lo que su curvatura es nula

R1 =∞1

R1

= 0 R2 =r

cosϕϕ = constante

r = r1 − ξ sinϕ

En el cono, el ángulo ϕ no puede elegirse como coordenada porque no sirve paradistinguir entre puntos diferentes del meridiano (todos tienen el mismo valor de ϕconstante).

Resulta así la solución

N11 =1

r1

ˆ ξB

ξ=ξA

p1rdξ +tanϕ

rA

ˆ ξB

ξ=ξA

p3rdξ

N22 =r

cosϕp3

u3 =1

Eh(N22 − νN11)

r

cosϕ

β = −∂u3∂ξ1

(7.20)


7.6.2. Presión uniforme normal a la lamina

Las láminas cónicas bajo presión uniforme tienen los esfuerzos membranales da-dos por

N11 =tanϕ

rAp3

ˆ ξB

ξ=ξA

(r1 − ξ sinϕ) dξ

= tanϕp3

[(L− ξ)− sinϕ

2r(L− ξ)2

](7.21)

N22 = p3

[r

cosϕ− ξ tanϕ

]En el caso del cono las expresiones de los desplazamientos resultan más com-

plicadas que en el cilindro o en la esfera y se calculan a partir de las ecuaciones7.21.

7.7. Ejercicios

Encuentre los esfuerzos membranales y los desplazamientos y giros para las si-guientes láminas de revolución:

Problema 7.1. Cilindro bajo carga axial uniforme de tracciónSolución:

N11 = p1

N22 = 0

u3 = − R

Ehνp1

β = 0

.Problema 7.2. Cilindro bajo peso propio.Solución: (L es la longitud del cilindro)

N11 = p (L− ξ)N22 = 0

u3 = − R

Ehνp (L− ξ)

β =R

Ehνp

Problema 7.3. Esfera bajo peso propio.Solución

pv = −γhp1 = pv cosϕ

p3 = pv sinϕ

p1 cosϕ+ p3 sinϕ = pv(cos2 ϕ+ sin2 ϕ

)= pv = −γh


N11 = − Rγh

cos2 ϕ1

ˆ ϕ2

ϕ1

cosϕdϕ

=Rγh

2 cos2 ϕ1

(sinϕ1 − sinϕ2)

N22 = p3R−N11

= Rγh

(sinϕ1 −

sinϕ2 − sinϕ1

cos2 ϕ1

)Para el caso en que el casquete esté cerrado en la parte superior, ϕ2 = π/2, se

tienecosϕ2 = 0

de donde

N11 =Rγh

2 cos2 ϕ1

(sinϕ1 − 1)

=Rγh

1 + sinϕ1

N22 = −Rγh(sinϕ1 −

1

1 + sinϕ1

)

u3 =γR2

E

(sinϕ1 −

1 + ν

1 + sinϕ1

)β =

γR

E

(1 +

1 + ν

(1 + sinϕ1)2

)cosϕ

Problema 7.4. Sector de esfera entre ϕ1 y ϕ2 bajo carga lineal uniforme verticalen el paralelo superior (Figura 7.9.a).

Problema 7.5. Para un cono truncado se considera una situación de cargasimilar a la del Problema anterior (Figura 7.9.b).

Problema 7.6. Cono truncado bajo presión normal a la super�cie y de variaciónlineal entre un máximo en la parte inferior y cero en el extremo del cono (Figura7.9.c).

Problema 7.7. Cono truncado bajo carga en la dirección del meridiano, p1, enel extremo superior (Figura 7.9.d).

Problema 7.8. Calcule la solución membranal de un casquete esférico bajo unacarga vertical uniformemente distribuida en planta (carga de nieve), como se indicaen la Figura 7.9.a. Dibuje los diagramas de N11 y N22.

Problema 7.9. Calcule la solución membranal del cono de la Figura 7.7.b bajopeso propio, siendo ϕ = 15◦.

Problema 7.10. Calcule la solución membranal de una semiesfera invertida conlíquido en su interior (Figura 7.7.c), y gra�que los resultados. Compruebe que en elcentro N11 = N22 = γR2/2, y en el apoyo N11 = γR2/3 = −N22.

Problema 7.11. En el caso de un cono con carga q uniformemente distribuidaen planta (Figura 7.7.d) con ϕ = 60◦, encuentre la solución membranal.


Figura 7.9: (a) Problema 7.4; (b) Problema 7.5; (c) Problema 7.6; (d) Problema 7.7.

Figura 7.10: (a) Problema 7.8; (b) Problema 7.9; (c) Problema 7.10; (d) Problema7.11.

Capítulo 8

Flexión en Láminas de RevoluciónSimples

8.1. Introducción

En el capítulo anterior se vieron soluciones membranales para láminas de revolu-ción. Para que una solución membranal sea una buena representación del mecanismode equilibrio en una cáscara es necesario que los apoyos respondan membranalmente,esto es, que las reacciones actúen en la misma dirección de la cáscara y no introduz-can efectos �exionales (momentos o esfuerzos de corte). En la Figura 8.1 se muestrauna cáscara esférica que tiene apoyo membranal y algunos casos que introducenefectos �exionales.

En los casos en los que los apoyos no son membranales es necesario compatibilizarlos desplazamientos de la membrana y el apoyo. Esto introduce inevitablementeefectos de �exión en las paredes de la cáscara.

También hay casos en los que las cargas son las que introducen �exión, porejemplo, cargas puntuales con componentes normales a la super�cie, o momentos.Otros casos donde aparecen efectos de �exión son:

Cambios bruscos en la tangente del meridiano (que producen un cambio bruscoen el radio de curvatura R2).

Cambios bruscos en el radio de curvatura del meridiano R1.

Cambios bruscos en el espesor.

Cambios bruscos en el valor de la carga.

Anillos rigidizadores.

Intersección de dos cáscaras.

Intersección de tres cáscaras.

En este capítulo se considera la �exión de láminas simples, formadas, por ejemplo,por un cilindro, un domo o un cono, con condiciones de borde en sus extremos. Enprimer lugar se considera el cilindro, cuya solución es más sencilla, y a continuaciónse consideran las otras láminas usando la aproximación debida a Geckeler. Cáscarascompuestas se consideran en el capítulo siguiente.

15

16 Analisis de estructuras laminares

Figura 8.1: Cascaras esfericas con (a) apoyo membranal; (b-d) apoyos �exionales.

8.2. Formulación de Flexión en Cilindros

8.2.1. Ecuaciones membranales

En el capítulo anterior se identi�caron las ecuaciones membranales para una lá-mina cilíndrica. Con referencia a la Figura 8.2, las ecuaciones cinemáticas resultaron

ε11 =du1dx1

ε22 =u3r

ε12 = 0

β = −du3dx1

(8.1)

Los desplazamientos positivos u3 van en sentido de la normal (saliente de lacáscara), mientras que el giro β es positivo como se indica en la Figura 8.3.

Las relaciones constitutivas se consideran representadas por la versión clásicaelástica lineal

N11 = K (ε11 + νε22) donde K =Eh

1− ν2N22 = K (ε22 + νε11) N12 = 0 (8.2)

Las condiciones de equilibrio resultaron desacopladas en los esfuerzos membra-nales, aunque se acoplan cuando se las presenta en función de los desplazamientos

Formulacion Flexional de Láminas de Revolución 17

Figura 8.2: Coordenadas adoptadas para un cilindro.

dN11

dx1+ p1 = 0

−N22

r+ p3 = 0 (8.3)

8.2.2. Ecuaciones de �exión

Cuando se admite que las paredes del cilindro pueden desarrollar �exión, losnuevos esfuerzos cortantes y momentos �ectores se indican en la Figura 8.3. Nóteseque esto no altera la ecuación de equilibrio membranal en sentido del meridiano, quesigue siendo

dN11

dx1+ p1 = 0

La aparición de esfuerzos �ectores trae dos consecuencias para las condicionesde equilibrio: primero, hay una nueva contribución al equilibrio perpendicular a lacáscara, dada por el corte N13, y segundo, hay una nueva ecuación de equilibrio demomentos, que no aparecía en la formulación membranal.

Sumando los cortantes a ambos lados del segmento considerado, se tiene

− (N13ds2) + (N13 + dN13) ds2 =dN13

dx1dx1ds2

De modo que la contribución al equilibrio perpendicular a la cáscara es el gra-diente del corte. Resulta así la ecuación de equilibrio en la dirección de la normal

dN13

dx1− N22

r+ p3 = 0 (8.4)

La suma de momentos en sentido del meridiano con respecto al punto A es


u3

> 0

β > 0

Figura 8.3: Valores positivos asumidos para los esfuerzos �exionales en el cilindro.

N13ds2dx1 +M11ds2 − (M11 + dM11) ds2 = N13ds2dx1 −dM11

dx1dx1ds2

o bien

N13 −dM11

dx1= 0 (8.5)

Esta ecuación es similar a la de una viga en �exión.En resumen, se tienen tres ecuaciones de equilibrio con cuatro incógnitas. Las

ecuaciones se pueden ordenar de la siguiente forma: La ecuación membranal meri-dional resulta desacoplada de las otras dos

dN11

dx1+ p1 = 0

Además, hay dos ecuaciones que incluyen �exión, que están acopladas:

N13 −dM11

dx1= 0

dN13

dx1− N22

r+ p3 = 0

En lo que sigue sólo nos ocuparemos del problema de �exión. Ese sistema puedetambién escribirse despejando N13 en una ecuación y sustituyéndolo en la otra:

d2M11

dx21− N22

r+ p3 = 0

N13 =dM11

dx1

De manera que puede resolverse la primera ecuación de �exión en términos de M11

y N22 (que equilibran a p3), y después encontrarse el corte N13 a partir del momento


M11. Como es una ecuación con dos incógnitas debemos usar las deformaciones ylas condiciones constitutivas.

La ecuación de equilibrio de p3 muestra que la cáscara tiene dos mecanismos pararesitir fuerzas perpendiculares a su super�cie media: uno �exional y otro membranal.En cáscaras delgadas el mecanismo membranal es dominante, pudiendo ser del ordendel 90% del total si no hay perturbaciones como las que se verán más adelante. Amedida que el espesor de la cáscara aumenta, también aumenta la contribución de la�exión, pero nunca es demasiado signi�cativa si hay posibilidades de desarrollar N22.Los momentos son importantes solamente (a) cuando la cáscara no puede proveerN22, por ejemplo, debido a �suración meridional en cáscaras de hormigón; (b) en lazona cerca de un borde, donde los desplazamientos están impedidos; (c) en la zonacerca de cambios en las propiedades de la sección, como variaciones del espesor; (d)en la zona cerca de cambios en las cargas exteriores, como cargas concentradas omodi�caciones bruscas en los valores de cargas distribuidas.

Las relaciones entre momentos y curvaturas se toman en la forma elástica clásica

M11 = D (χ11 + νχ22) donde D =Eh3

12 (1− ν2)con

χ11 =dβ

dx1= −d

2u3dx21

χ22 = 0

Substituyendo en la condición de equilibrio se llega a

Dd2χ11

dx21− K

r(ε22 − νε11) + p3 = 0

o bien

−Dd4u3dx41− K

r

(u3r

+ νdu1dx1

)+ p3 = 0

Esta es una ecuación con dos incógnitas (u1, u3) y debería ser resuelta con laecuación del corte.

Para simpli�car el procedimiento es común considerar que

N11 = 0

lo que implica

ε11 = −νε22de donde

du1dx1

= −ν u3r

De modo que la condición de equilibrio se reduce a

−Ehr2u3 −D

d4u3dx41

+ p3 = 0 (8.6)

Esta es una ecuación diferencial ordinaria lineal en términos de u3. Contiene dostérminos, uno membranal (proporcional a K) y otro �exional (proporcional a D).


8.3. Solución de las Ecuaciones de Flexión

8.3.1. Descomposición de la solución

Consideremos la solución de la ecuación diferencial de �exión de un cilindro comola suma de una solución de la ecuación homogénea más una solución particular dela ecuación no homogénea.

La ecuación homogénea es

Eh

r2uf +D

d4ufdx41

= 0 (8.7)

cuya solución es uf .Para la solución particular se toma la parte membranal de la ecuación no homo-

génea:

−Ehr2um + p3 = 0 de donde um = p3

r2

Eh(8.8)

De esta forma, se escribe la solución completa como

u3 = um + uf (8.9)

La evaluación de soluciones membranales se discutió en el capítulo anterior, demanera que solo corresponde aquí considerar la solución de la ecuación homogénea.

8.3.2. Solución de la ecuación homogénea

En el resto de este capítulo usaremos u para designar el desplazamiento uf debidoa �exión. En forma general la solución de la homogénea es exponencial, depende decuatro constantes de integración y toma la forma

u = e−x1/λ[A1 cos

(x1λ

)+ A2 sin

(x1λ

)]+ex1/λ

[A3 cos

(x1λ

)+ A4 sin

(x1λ

)](8.10)

El valor de λ está dado por:

λ =

√rh

4√

3 (1− ν2)(8.11)

Esta variable tiene unidades de longitud. Para apreciar su valor consideremos porejemplo que la lámina es de acero, con ν = 0,3; resulta así:

λ =

√rh

1,28

Ejemplos de valores de λ son:

r/h = 50 λ = 5,50h

r/h = 100 λ = 7,78h

de manera que para muchas láminas típicas en ingeniería civil, λ vale aproximada-mente entre 5 y 10 veces el espesor.


La ecuación homogénea no contiene fuerzas externas en el dominio de la cáscara,de manera que la única forma de obtener una solución no nula es si hay fuerzas queactúan sobre el contorno del cilindro en sus extremos. Las constantes A1, A2, A3,A4 se determinan en base a las condiciones de contorno de la lámina, a razón de dospor cada extremo.

8.3.3. Cilindro con bordes alejados entre sí

Veamos cómo inciden los términos exponenciales e−x1/λ en la solución de la ecua-ción homogénea, en diferentes lugares de la lámina:

x1 = 0 e−x1/λ = 1,000

x1 = λ e−x1/λ = 0,368

x1 = 2λ e−x1/λ = 0,135

x1 = 5λ e−x1/λ = 0,00674

x1 = 10λ e−x1/λ = 0,000454

Se observa que e−x1/λ tiene valores signi�cativos solamente en la vecindad delborde inferior, para valores de x1 < 2,5λ, o sea del orden de 20 veces el espesor enuna cáscara con r/h = 100. De modo que es posible desacoplar la evaluación de lasconstantes, considerando que el término e−x1/λ sólo será signi�cativo en la vecindaddel borde inferior, en cuyo caso

u ≈ e−x1/λ[A1 cos

(x1λ

)+ A2 sin

(x1λ

)](8.12)

El término ex1/λ sólo será signi�cativo en el borde superior.

En el extremo inferior debemos �jar los valores de dos constantes A1, A2, usandocondiciones de borde cinemáticas o mecánicas. Podemos usar

(u3 o N13) y (β o M11)

Quiere decir que no se pueden �jar simultaneamente sobre el borde las variables u3y N13. Si se especi�ca u3, entonces la otra variable que se �ja allí puede ser β o M11.Por ejemplo, se pueden especi�car las siguientes combinaciones:

Borde empotado: se especi�can u y β, y quedan sin especi�car N13 y M11.

Borde articulado: se especi�can u y M11, y quedan sin especi�car N13 y β.

Borde libre: se especi�can N13 y M11, y quedan sin especi�car u y β1.

Nótese que cada una de las variables que se pueden especi�car en el borde dependende derivadas crecientes de u:

u = u3 β = −du3dx1

M11 = −Dd2u3dx21

N13 = −Dd3u3dx31


8.3.4. Fuerzas distribuidas en el borde

Los sentidos positivos de los momentos �ectores y de los esfuerzos cortantes estánindicados en la Figura 8.3. Supongamos que sobre el borde actúan fuerzas H y Mcontrarios a la convención positiva adoptada, como se indica en la Figura 8.4. Undesplazamiento que tenga la misma dirección de H será positivo, y una rotación quevaya en el mismo sentido del momentoM será positiva, de acuerdo a las convencionesde signos adoptadas anteriormente.

Figura 8.4: Direcciones de H y M supuestas para derivar la ecuaciones de �exibilidadde un cilindro.

Las variables del problema se expresan de la forma siguiente:

u = e−x1/λ[A1 cos

(x1λ

)+ A2 sin

(x1λ

)]β = − du

dx1

N22 = Ehu

r

M11 = −Dd2u

dx21

N13 = −Dd3u

dx31

Para �jar los valores de las constantes de integración usaremos las condicionesde borde libre. A partir de u se ejecutan las derivadas necesarias para obtener lasotras variables, y las dos últimas, evaluadas en x1 = 0, resultan:

M11 =2D

λ2A2

N13 = −2D

λ3(A1 + A2) (8.13)


8.3.5. Caso de fuerzas M = 0, H 6= 0

Supongamos primeramente la condición que haya fuerzas en el borde pero no mo-mentos. En el borde, las acciones exteriores (M , H) deben ser iguales a los esfuerzosinternos (M11, N13).

M11 = −M = 0

N13 = −H (8.14)

Substituyendo las ecuaciones (8.13) en las (8.14) se tiene

A2 = 0

−H = −2D

λ3(A1 + A2) ∴ A1 =

λ3

2DH

Substituyendo los valores de las constantes de integración en el desplazamiento(8.12) se obtiene

u = e−x1/λ[λ3

2DH cos

(x1λ

)]Con esto pueden ahora encontrarse las funciones de x1 de las otras variables

internas del problema (giro, esfuerzo anular, momento y corte).

8.3.6. Caso de fuerzas M 6= 0, H = 0

Si solo hay momentos distribuidos sobre el borde libre, entonces

M11 = −MN13 = −H = 0 (8.15)

Igualando las ecuaciones (8.13) y (8.15) se tiene

A2 = −A1

−M = −2D

λ2A2 ∴ A2 = −

λ2

2DM

Substituyendo los valores de las constantes de integración en el desplazamiento(8.12) se obtiene

u = e−x1/λλ2

2D

[cos(x1λ

)− sin

(x1λ

)]M

Para simpli�car esta expresión, podemos emplear la siguiente identidad trigono-métrica:

cos(x1λ

)− sin

(x1λ

)= −√2 sin

(x1λ− π

4

)Luego

u = −√2

2

λ2

De−x1/λ

[sin(x1λ− π

4

)]M

A partir de los desplazamientos se encuentran ahora las otras funciones de giro,esfuerzo anular, momento y corte.


8.3.7. Caso de fuerzas M 6= 0, H 6= 0

Si en el borde de la cáscara cilíndrica existen tanto fuerzas como momentos ,entonces es necesario sumar las soluciones obtenidas para cada caso por separado,aplicando el principio de superposición:

u =λ2

2De−x1/λ

[λ cos

(x1λ

)H −

√2 sin

(x1λ− π

4

)M]

β =λ

De−x1/λ

[√2

2λ sin

(x1λ

+π

4

)H + cos

(x1λ

)M

]

N22 =6

rh2λ2[λ cos

(x1λ

)H −

√2 sin

(x1λ− π

4

)M]e−x1/λ

=2r

λ

[cos(x1λ

)H −

√21

λsin(x1λ− π

4

)M

]e−x1/λ

M11 =[−λ sin

(x1λ

)H −

√2 sin

(x1λ

+π

4

)M]e−x1/λ

N13 = D

[−√2 cos

(x1λ

+π

4

)H +

2

λsin(x1λ

)M

]e−x1/λ

8.4. Método de las Fuerzas

Se desarrolla a continuación el planteo general de las ecuaciones de compatibi-lidad en el borde de la lámina. Se trata de un caso particular del método de lasfuerzas usado en el análisis de sistemas hiperestáticos. Como requiere este métodogeneral de análisis estructural, es necesario de�nir una estructura fundamental aso-ciada al sistema a resoler. Como se recordará, el método de las fuerzas consiste enplantear las ecuaciones de compatibilidad de deformaciones, pero asegurando quelas condiciones de equilibrio se cumplen como una identidad. En el presente caso deaplicación del método de las fuerzas para resolver las condiciones de compatibilidadde láminas de revolución, el sistema fundamental consiste en la solución membranalde las ecuaciones de equilibrio, la que es complementada con el conocimiento dela solución de las ecuaciones generales en la proximidad del borde debido a cargasexteriores aplicadas en el borde.

8.4.1. Matriz de �exibilidad en el borde de la cáscara

Si evaluamos las expresiones de desplazamiento y giro (vistas en la sección ante-rior) en el borde de la cáscara, x1 = 0, los valores resultan

u |x1=0 = λ3

2DH + λ2

2DM = δ1

β |x1=0 = λ2

2DH + λ

DM = β1

en donde se han usado la notación δ1 = u |x1=0 y β1 = β |x1=0.


Las ecuaciones anteriores se pueden escribir en forma matricial como[λ3

2Dλ2

2Dλ2

2DλD

]{HM

}=

{δ1β1

}(8.16)

La convención de signos para δ1 y β1 es consistente con los H y M indicados en laFigura 8.4, y con los signos adoptados como positivos para desplazamientos y girosmembranales y �exionales.

La matriz de coe�cientes que vinculan las fuerzas con los desplazamientos es lamatriz de �exibilidad del cílindro, que es de suma utilidad para evaluar la �exiónen cáscaras, y está dada por

[fc] =

[λ3

2Dλ2

2Dλ2

2DλD

](8.17)

Figura 8.5: Posibles elecciones de direcciones para H y M y signos de la contradia-gonal de la matriz de �exibilidad.

Estrictamente, ésta es la matriz de �exibilidad de la cáscara en el borde inferior.Esta matriz es simétrica y tiene diagonal positiva, mientras que los signos de loscoe�cientes fuera de la diagonal principal resultaron positivos para las direccionessupuestas para H yM en la Figura 8.4. Sin embargo, los signos de la contradiagonaldepende de las direcciones con las que se hayan supuesto H y M en el borde, y laFigura 8.5 muestra otras posibles elecciones y los signos de la contradiagonal.

La inversa de la matriz de �exibilidad es la matriz de rigidez [kc] en el bordeinferior del cilindro


[kc]

{δ1β1

}=

{HM

}(8.18)

8.4.2. Ecuaciones de compatibilidad en el borde

Si se trata de una cáscara simple y ya se han evaluado los desplazamientosmembranales

{δ0 β0

}, entonces se requiere corregirlos para acomodar la solución

a la de una cáscara con soportes. Para efectuar la corrección se incluyen las fuerzas{H M

}colocadas sobre el borde de la lámina, que hacen que la cáscara se

desplace{δ1 β1

}. A continuación, las condiciones de compatibilidad aseguran

que el desplazamiento relativo y el giro relativo entre la cáscara y la base es cero{δ0β0

}+

{δ1β1

}=

{00

}Como corresponde al método de las fuerzas, ese giro relativo y desplazamiento

relativo se formulan con la superposición de la acción membranal (isostática) porun lado y las fuerzas de borde M y H por otro lado. Los valores de M y H sondesconocidos, pero pueden averiguarse mediante la ecuación de compatibilidad[

λ3

2Dλ2

2Dλ2

2DλD

]{HM

}+

{δ0β0

}=

{00

}(8.19)

Los valores de M y H se reemplazan a continuación en las expresiones de desplaza-miento, giro, esfuerzo, momento y corte vistas anteriormente. Es común proveer lainformación anterior en forma de tabla, como sigue:

Variable Contribución debida a H Contribución debida a M

u[λ3

2Dcos(x1λ

)e−x1/λ

]H

[−√2 λ

2

2Dsin(x1λ− π

4

)e−x1/λ

]M

β[λ2

D

√22sin(x1λ+ π

4

)e−x1/λ

]H

[λDcos(x1λ

)e−x1/λ

]M

N22

[2rλcos(x1λ

)e−x1/λ

]H

[−√2 2rλ2

sin(x1λ− π

4

)e−x1/λ

]M

M11

[−λ sin

(x1λ

)e−x1/λ

]H

[−√2 sin

(x1λ+ π

4

)e−x1/λ

]M

N13

[−√2 cos

(x1λ+ π

4

)e−x1/λ

]H

[2λsin(x1λ

)e−x1/λ

]M

Los valores obtenidos de la tabla deben superponerse con los hallados en lasolución membranal.

8.4.3. Cálculo de tensiones en las paredes de la cáscara

A continuación es posible evaluar las tensiones en el espesor de la lámina. Larepartición de los esfuerzos N11, N22, N13 y M11 en las paredes de la lámina resultande las hipótesis de mantenimiento de las secciones planas y del teorema de Jouravski:

σ11 =N11

h+ 12

x3h3M11

σ22 =N22

h+ 12

x3h3M22 (8.20)

σ13 =6

h3

(h2

4− x23

)N13


El tensor de tensiones para puntos fuera de la super�cie media de la láminaresulta así

σij (x3) =

σ11 0 σ130 σ22 0σ13 0 0

8.5. Tanques Cilíndricos

8.5.1. Cilindro empotrado en la base

En la Figura 8.6 se muestra esquemáticamente un cilindro empotrado en su basey libre en su partes superior, bajo la presión de un �uido de densidad γ.

Figura 8.6: Cilindro empotrado-libre.

La solución membranal, estudiada en el capítulo anterior, resulta:

Nm11 = 0 Nm

22 = γr (d− x1)

um =r2

h

γ

E(d− x1) βm =

r2

h

γ

EMm

11 = 0 Nm13 = 0

Para que se cumpla esa solución es necesario que el borde inferior se desplace loque requiere la solución membranal, con un desplazamiento hacia afuera y un giro enla base de sentido antihorario. Pero como el borde está �jo, aparecen reacciones H yM en la base de valor desconocido. ¾Qué valores deben tener H y M? Deben valer


lo necesario para producir un desplazamiento en la base (x1 = 0) igual y contrarioal membranal.

El desplazamiento y el giro membranal en la base son

u |x1=0 = r2

hγEd = δ0

β |x1=0 = r2

hγE= β0

Para incluir la parte �exional se colocan las reacciones de borde en el bordeinferior de la cáscara. La condición de �exibilidad se escribe como[

λ3

2Dλ2

2Dλ2

2DλD

]{HM

}=

{δ1β1

}Para que en el apoyo no haya desplazamiento ni giro se debe cumplir que{

δ0β0

}+

{δ1β1

}=

{00

}de donde [

λ3

2Dλ2

2Dλ2

2DλD

]{HM

}+

{δ0β0

}=

{00

}(8.21)

Los coe�cientes de la matriz de �exibilidad se pueden evaluar, y también losdesplazamientos de la base, de modo que se pueden calcular H y M , las reaccionesen la base. Nótese que los desplazamientos membranales dependen de 1/E, mientrasque los coe�cientes de la matriz de �exibilidad dependen de 1/D, o sea también de1/E, de manera que los valores de H y M no dependen del módulo de elasticidaddel material.

A continuación se pueden usar las ecuaciones de la solución homogénea y evaluaru(x1), N22(x1), M11(x1) y N13(x1). La solución completa del problema es la sumade la solución membranal más la homogénea.

8.5.2. Tanque de almacenamiento

La Figura 8.7 muestra un tanque cilíndrico de acero utilizado para almacenarpetróleo. Para ilustrar el comportamiento de una cáscara típica, consideremos lasdimensiones de espesor 0,01m, radio 20m, y altura del líquido 3m. Para E = 2 ×106Kg/cm2, ν = 0,3 resultan D = 183150Kgcm, K = 2197802Kg/cm, λ = 11h.

Figura 8.7: Tanque de almacenamiento.


Los desplazamientos membranales en la base resultan{δ0β0

}=

{6× 10−3cm2× 10−5rad

}Consideremos fuerzas sobre la parte inferior coincidentes con las supuestas en la

tabla. La matriz de �exibilidad es

[fc] =

[36,3 3,33,3 0,6

]× 10−4

Resolviendo la ecuación de compatibilidad se llega a{HM

}=

{−3,2Kg/cm17,5Kgcm/cm

}La solución completa es la solución membranal más la �exional. Las Figuras 8.5.2

y 8.9 muestran los resultados obtenidos y se observa que la solución membranal esválida en casi toda la cáscara, excepto por la parte inferior que ocupa una zona hastaaproximadamente x1 = 5λ.

Este problema se ha resuelto también usando el método de elementos �nitosy se encontró un valor de momento en la base de 17,27Kgcm/cm, prácticamentecoincidente con el obtenido en nuestros cálculos sencillos.

Figura 8.8: Desplazamientos del tanque

8.6. Láminas de Revolución, Aproximación de Gec-

keler

Para cáscaras de forma diferente al cilindro es necesario derivar las ecuacionesde �exión y encontrar la solución de las ecuaciones diferenciales resultantes. Deesa manera se puede derivar una tabla semejante a la encontrada para un cilindro.Sin embargo, Geckeler propuso una forma aproximada de solucionar el problema�exional en cáscaras diferentes de un cilindro. Esta es una manera aproximada queaprovecha que la solución �exional solamente se extiende en los bordes abarcandouna zona pequeña de la lámina, y que en esa zona de borde de una cáscara de


Figura 8.9: Esfuerzos resultantes del tanque, (a) Esfuerzo anular N22, (b) Esfuerzo�exional M11.

revolución el meridiano no se diferencia demasiado del meridiano de un cilindro quesea tangente a ella.

Figura 8.10: Esquema de equivalencia adoptado en la aproximacion de Geckeler.

Con referencia a la Figura 8.10, Geckeler propuso hacer pasar un cilindro tangentea la cáscara considerada en el borde. Para el caso de un sector de esfera de radioR, el radio del cilindro tangente también es R. Designaremos como H a la fuerzaque actúa en dirección horizontal, mientras que la fuerza normal a la cáscara (quese corresponde con la que actúa en un cilindro equivalente) es H ′. Para el valor delmomento M es indistinta la dirección considerada. Por lo tanto

H ′ = H cosϕ0

Denominaremos ur al desplazamiento en sentido horizontal en el borde de lacáscara. La relación con la proyección u3 en sentido normal a la cáscara resulta


ur = u cosϕ0

La ecuación de desplazamientos del cilindro se puede escribir en esta notacióncomo

u = e−x1/λ[λ3

2Dcos(x1λ

)H ′ −

√2λ2

2Dsin(x1λ− π

4

)M

]o bien

u = e−x1/λ[λ3

2Dcos(x1λ

)H cosϕ0 −

√2λ2

2Dsin(x1λ− π

4

)M

]Proyectando sobre la dirección horizontal se llega a

ur = e−x1/λ[λ3

2Dcos(x1λ

)H (cosϕ0)

2 −√2λ2

2Dsin(x1λ− π

4

)cosϕ0M

](8.22)

Por otra parte, el giro de la normal en el cilindro resulta

β = e−x1/λ

[√2

2

λ2

Dsin(x1λ

+π

4

)H ′ +

λ

Dcos(x1λ

)M

]Reemplazando

β = e−x1/λ

[√2

2

λ2

Dsin(x1λ

+π

4

)H cosϕ0 +

λ

Dcos(x1λ

)M

](8.23)

Evaluando estas expresiones en el borde de la cáscara, x1 = 0,

ur | x1=0 =λ3

2D(cosϕ0)

2H +λ2

2Dcosϕ0M = δ1

β | x1=0 =λ2

2Dcosϕ0H +

λ

DM = β1 (8.24)

Se puede ahora construir la matriz de �exibilidad de una esfera de la manerasiguiente [

λ3

2D(cosϕ0)

2 λ2

2Dcosϕ0

λ2

2Dcosϕ0

λD

]{HM

}=

{δ1β1

}(8.25)

Los desplazamientos ya están en la dirección horizontal, y se corresponden con lasfuerzas que están también en dirección horizontal. Una ventaja de escribir la matrizde �exibilidad de esta forma es que ahora puede compatibilizarse desplazamientoscon los de un cilindro, un anillo o una placa.

Podemos escribir una tabla de variables en función de x1 para la esfera así:


Contribución debida a H′

Contribución debida a M

ur

[λ3

2Dcos(x1λ

)e−x1/λ

]H ′ cosϕ0

[−√2 λ

2

2Dsin(x1λ− π

4

)e−x1/λ

]M cosϕ0

β[λ2

D

√22sin(x1λ+ π

4

)e−x1/λ

]H ′

[λDcos(x1λ

)e−x1/λ

]M

N22

[2rλcos(x1λ

)e−x1/λ

]H ′

[−√2 2rλ2

sin(x1λ− π

4

)e−x1/λ

]M

M11

[−λ sin

(x1λ

)e−x1/λ

]H ′

[−√2 sin

(x1λ+ π

4

)e−x1/λ

]M

N13

[−√2 cos

(x1λ+ π

4

)e−x1/λ

]H ′

[2λsin(x1λ

)e−x1/λ

]M

donde

H ′ = H cosϕ0

x1 = r (ϕ− ϕ0)

Figura 8.11: Esfuerzos meridionales en el borde.

La solución membranal de una esfera tiene en el borde un esfuerzo N11, comoindica la Figura ??. Ese esfuerzo tiene componente horizontal NH

11 y vertical NV11

dadas por

NH11 = N11 sinϕ0 NV

11 = N11 cosϕ0

La componente NH11 está en la misma dirección que la fuerza H calculada en el

análisis �exional, de manera que para obtener el valor real de la fuerza horizontalhay que sumar ambas contribuciones con su signo

HTOTAL = NH11 +H (8.26)

La aproximación de Geckeler vale siempre que (ϕ− ϕ0) sea pequeño. Por lo tanto,si la perturbación �exional no está en la zona cercana al apoyo sino más retirada ocerca del polo de la cáscara, los resultados serán inadecuados.

8.7. Domos Esféricos

Consideremos un domo esférico bajo la acción de una fuerza distribuida normala la super�cie (presión externa).


La solución membranal (del capítulo anterior) resulta

u =1

2

(1− υ2

) pr2hE

β = 0

Los desplazamientos membranales en el borde son

ur |x1=0 = pr2

2h

(1−υ2)E

cosϕ0 = δ0

β |x1=0 = 0 = β0

Ahora podemos escribir la ecuación de compatibilidad de desplazamientos hori-zontales y giros[

λ3

2D(cosϕ0)

2 λ2

2Dcosϕ0

λ2

2Dcosϕ0

λD

]{HM

}+

{δ00

}=

{00

}(8.27)

Resolviendo este sistema se obtienen los valores de H y M . A continuación sepueden usar las ecuaciones de la solución homogénea y evaluar u3(x1), N22(x1),M11(x1) y N13(x1). La solución completa del problema es la suma de la soluciónmembranal más la solución de la ecuación homogénea.

8.8. Problemas

Problema 8.1: Un tanque de acero para almacenar petróleo tiene radio 19m,espesor 10mm, altura de llenado de 7,6m. Considere E = 206GPa, ν = 0,3 y elcriterio de �uencia de von Mises con tensión de �uencia de 450MPa. Consideresolamente la presión del �uido con γ = 0,010MN/m3.

(a) Gra�que u3, N22 y M11. (b) Calcule el coe�ciente de seguridad con respectoa la primera aparición de plasticidad en la cáscara.

Problema 8.2: Un domo esférico de hormigón tiene: h = 0,10m, E = 35GPa,ν = 0,2, ϕ0 = 75◦. Se ha calculado la solución membranal en el borde debido a lascargas externas, resultando δ0 = 3mm, β0 = 0,0002rad.

(a) Calcule los momentos y esfuerzos cortantes en el apoyo y en un punto adistancia x1 = λ. (b) Explique porqué el valor de N13 no coincide con el de H en elapoyo.

Problema 8.3: Un domo esférico de hormigón tiene espesor h = 0,22m, radio decurvatura de la esfera 30,8m y ángulo ϕ0 = 1,1rad. Se modela el domo empotradoen la base bajo el peso propio de la lámina.

(a) Dibuje los diagramas de esfuerzos y desplazamientos. (b) Calcule el coe�cientede seguridad para fractura del hormigón considerando el criterio de falla de Rankine,con tensión de fractura de 2,1MPa.

Problema 8.4: Resuelva el Problema 8.3 para una presión unitaria normal a lasuper�cie, p3 = 1, actuando hacia arriba sobre la cara inferior de la lámina.

capítulo 7 para lÁminas de revoluciÓnel polo de una super cie de revolución es el punto en el...

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