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CAPÍTULO 3

PROCESO ITERATIVO DE VALORACIÓN EN EL MÉTODO DE

LAS DOS BETAS

JOSÉ GARCÍA PÉREZ Departamento de Economía Aplicada. Universidad de Almería

SALVADOR CRUZ RAMBAUD Departamento de Dirección y Gestión de Empresas. Universidad de Almería

CATALINA GARCÍA GARCÍA Licenciada en Ciencias Financieras y Actuariales. Becaria de KPMG Auditores

RESUMEN

En la literatura sobre la metodología PERT han aparecido cuatro subfamilias de distribuciones beta: clásica, de varianza constante, mesocúrtica y Caballer. Hasta ahora, estas cuatro subfamilias han sido utilizadas independientemente en la resolución de problemas de valoración económica, discriminándose su uso sólo en función de las medias y las varianzas obtenidas en cada uno de ellas. En efecto, podemos utilizar un criterio de prudencia en cuyo caso consideraremos la varianza máxima, o una posición más arriesgado en cuyo caso preferiremos la varianza mínima. Con respecto a la media, nos interesa la más cercana al centro del intervalo, es decir, el modelo que proporciona un valor esperado más centrado y por tanto más moderado en sus estimaciones. Este trabajo se enmarca en el ámbito de la valoración, concretamente en el método de valoración de las dos funciones de distribución (aconsejable cuando se dispone de pocos datos). El objetivo de este trabajo es desarrollar un proceso iterativo que emplee simultáneamente las cuatro familias de betas con el propósito de utilizar toda la información proporcionada por cada una de ellas. En la aplicación del proceso, que puede concluir con una valoración por intervalo o una valoración puntual, aparecen de forma natural los conceptos de estabilidad y convergencia del proceso de valoración.

PALABRAS-CLAVE: Distribución beta, clásica, varianza constante, mesocúrtica, Caballer, método de las dos funciones de la distribución.

38 GARCÍA, J. - CRUZ, S. - GARCÍA, C.

1. INTRODUCCIÓN

En el ámbito de la valoración en general y en el ámbito de la valoración agraria en particular, es conocido el método de las dos funciones de distribución, idea original del Profesor Ballestero (1971, pp. 225-238 y 1973, pp. 75-78). Este método fue desarrollado posteriormente por Caballer (1975) y Romero (1977, pp. 47-62), que aportaron algunas aplicaciones prácticas, y está recogido en diferentes libros de texto: Ballestero (1991a y 1991b) y Caballer (1994). Además, su estudio ha sido objeto de varias tesis doctorales, como la de Lozano (1996) o la de Herrerías (2002), y en los últimos años se han publicado una serie de artículos donde se recoge el uso de nuevas distribuciones (García, Cruz y Andújar: 1999, pp. 3-8; García, Trinidad y Gómez: 1999, pp, 57-80; Herrerías, García y Cruz: 1999, pp. 159-175 y 2001, pp. 362-378), o donde se amplía el método al caso multi-índice o multivariante (García, Cruz y Rosado: 2000 y 2002, pp. 3-26).

En la actualidad existen en revisión trabajos que tratan de introducir tests estadísticos para la representatividad de los índices y la adecuación de los distribuciones que los modelizan (García, Herrerías y García: 2003). Todos estos trabajos y otros que están recogidos en la bibliografía de las referencias mencionadas tienen la intención de introducir en la disciplina de la valoración el empleo de modelos matemáticos. Si recogemos las palabras de Segura, García y Vidal (1998, pp. 227-240), hemos de señalar que: “La investigación en el ámbito de la valoración debe atender no sólo hacia una formulación rigurosa de los conceptos y métodos de la valoración inmobiliaria y una extensión de los mismos a otros campos, sino incorporar al cuerpo teórico de la disciplina el empleo de modelos matemáticos, introduciendo en la valoración una metodología que se ha mostrado fructífera en otros campos”.

En este momento debemos preguntarnos si el proceso de valoración de un inmueble o una finca (en general, un activo) debe finalizar con la obtención de un valor concreto o con la determinación de un intervalo donde se encuentre el valor que pretendemos obtener con una determinada probabilidad, es decir, ¿debemos valorar de forma puntual o debemos valorar por intervalo? Por ejemplo, en el ámbito de la valoración fiscal, cuyo objeto último, según Segura, García y Vidal (1998, op. cit.), es “la comprobación del valor declarado por el sujeto pasivo ya que este valor será la base imponible de determinados impuestos”, si la valoración fijada por la Administración Fiscal es una valoración puntual, la probabilidad de que el valor aportado por el contribuyente coincida con el aportado por la Administración es cero, si consideramos que el dominio de valores posibles es la recta real. Es cierto que la Administración Tributaria sólo emite una liquidación paralela cuando la desviación entre el

PROCESO ITERATIVO DE VALORACIÓN EN EL MÉTODO... 39

valor declarado y el comprobado supera un determinado porcentaje (el 20% en muchos casos), pero nos preguntamos ¿no sería más conveniente obtener un intervalo de confianza para el valor del bien y comprobar si el declarado por el contribuyente está contenido en dicho intervalo? Por su parte, el problema de la comprobación de valores de naturaleza agraria ha sido tratado por García (1992) y Olmeda (1977 y 1978).

El método de las dos funciones de distribución es un método adecuado para

trabajos de valoración masiva (Lozano, 1996), con información escasa, motivada en el comportamiento de determinados índices objetivos, que garantizan la defensa del contribuyente. Pero este método, tal y como se conoce hasta hoy, conduce a un valor puntual del bien o activo a evaluar: sólo en el caso de la aplicación econométrica del modelo multi-índice (García, Cruz y Rosado: 2002, op. cit.) se apunta un procedimiento que puede conducir a un intervalo de confianza, utilizando la predicción.

Podemos afirmar que la estimación por intervalo en el ámbito de la valoración no ha sido utilizada nunca en el método de las dos funciones de distribución, incluso cuando se utilizan otros métodos de valoración con diferentes modelos econométricos (Calatrava y Cañero: 2000, pp. 91-103; Segura, García y Vidal: 1998, op. cit.) que estiman los modelos por diferentes métodos, utilizando datos de distinto origen; sin embargo, no plantean la posibilidad de estimar el valor final utilizando un intervalo con una determinada confianza.

El objetivo de este trabajo es desarrollar, dentro del método de las dos

funciones de distribución, un modelo de valoración polietápica que conduzca a un intervalo de confianza del valor a determinar, al que llamaremos intervalo de negociación; por otra parte, la reiteración del proceso conducirá a un valor concreto que puede resultar interesante para cumplimentar determinados informes.

El proceso de valoración polietápica utiliza, como única familia de funciones

de distribución, la familia beta de la que se seleccionan diferentes subfamilias: clásica, mesocúrtica, de varianza constante y Caballer. Su aplicación está implementada en un programa informático. La organización de este trabajo es como sigue: en la Sección 2 se describen las diferentes subfamilias de betas que se van a utilizar, en la Sección 3 se presenta el algoritmo de valoración que elimina la necesidad de tablas; en la Sección 4 se presenta el método de valoración polietápica en el ámbito del método de las dos funciones de distribución y, finalmente, en la Sección 5 se resuelve un caso práctico.


2. DESCRIPCIÓN DE LAS FAMILIAS DE BETAS QUE SE DETERMINAN CON LOS VALORES CLÁSICOS A, M Y B

En esta Sección se describe una síntesis acerca del uso de las distintas

subfamilias de distribuciones beta, cuya justificación y desarrollo completos puede encontrarse en García, Cruz y García (2002, pp. 89-113). En efecto, una vez que el experto o los datos de campo han aportado los valores máximo (a), más probable (m) y mínimo (b), se procede al cálculo de la moda estandarizada M:

abamM

−−

= ,

a partir del cual podemos estimar µ y σ2 como sigue: 1. Modelo clásico:

361y

614 2 =

+= σµ M .

2. Modelo Caballer:

Si 21

>M , entonces 12

21−

+=M

h y

si 21

<M , entonces 12

21−

−=M

h .

Por lo tanto:

)12(22y

21)22(

2

22

+−

=+−

=hh

hh

MhCC σµ .

3. Modelo de varianza constante: Partiendo de la ecuación cúbica (véase Herrerías, García y Cruz: 1999, op. cit.),

[ ] 02420)(367 223 =−−−−+ kMMkk


obtenemos el único valor positivo de k y, por tanto:

2

22

)2()3()1()1(y

21

++++−

=+

+=

kkkMMk

kkM

CVCV σµ .

4. Modelo mesocúrtico (sólo para valores de M mayores que 0.723606 o

menores que 0.27639): Partiendo de la ecuación cúbica (véase Herrerías, García y Cruz: 1999, op. cit.):

045)21616()155( 2223 =−−+−++− kMMkMMk y, del único valor positivo de k, obtenemos:

2

22

)2()3()1()1(y

21

++++−

=+

+=

kkkMMk

kkM

MM σµ .

3. ALGORITMO DE VALORACIÓN MEDIANTE BETAS

El método de valoración conocido como de las dos betas o, en general, de las dos funciones de distribución fue introducido por Ballestero (1971, op. cit.). Este método supone una mejora del método sintético y fue formalizado posteriormente por su autor; Ballestero (1973, op. cit.) describe el método de las dos betas de la siguiente forma: “La variable valor de mercado de un bien obedecerá estadísticamente a la función de distribución F. Por su parte, el índice, parámetro o variable explicativa obedecerá estadísticamente a otra función de distribución G. Suponemos que las funciones F y G tienen forma de campana o similar, entonces el método de las dos betas establece una relación entre ambas variables.“

Para ello, es preciso adoptar la siguiente hipótesis: si el índice Li de un activo Fi es mayor que el índice Lj de otro activo Fj, el valor de mercado Vi correspondiente al primer activo será también mayor que el valor de mercado Vj correspondiente al segundo. A partir de ello, conocida la distribución F del valor de mercado y la G del índice, el valor de mercado Vk correspondiente a un índice Lk se establece mediante la transformación:

)()()( kkkk LGVFLV =⇔= φ .


Palacios, Callejón y Herrerías (2000) han presentado una formalización rigurosa del método. Dado un activo a valorar, se consideran dos variables aleatorias relacionadas con el mismo: la variable L, que representa un índice de calidad del activo, y la variable V, valor de mercado del activo. Se supone que el valor que alcanza el activo V es función de su calidad, esto es )(LV φ= , donde φ es una función estrictamente creciente en cierto intervalo [ ]21 , LL , soporte de la variable L. Si L tiene una distribución de probabilidad cuya función de distribución es G(l), entonces V es una variable aleatoria cuya función de distribución es:

[ ] [ ] [ ] ))(()()()( 11 vGvLPvLPvVPVF −− =≤=≤=≤= φφφ o equivalentemente,

[ ] [ ] [ ] ))(()()()()( lFlVPlLPlLPlG φφφφ =≤=≤=≤= , donde se ha tenido en cuenta que φ es estrictamente creciente. Es evidente que si F es estrictamente creciente en el intervalo [ ])(),( 21 LL φφ , entonces F es invertible en dicho intervalo, por lo que, a partir de la última expresión, se obtiene una biyección [ ] [ ])(),(, 2121 LLLL φφ→ que transforma calidades en

valores de mercado, definida por ))(()( 1 lGFl −=φ . A partir de aquí, si la

calidad de un bien es 0L , entonces su valor de mercado debe ser:

))(()( 01

00 LGFLV −== φ

En este trabajo vamos a realizar la valoración utilizando las diferentes betas conocidas hasta este momento. Podemos, por lo tanto, proceder a valorar un activo x en función de un índice x′, partiendo de los valores a, m y b, para el activo, y a′, m′, b′ y x′ para el índice (con ),( bax ′′∈′ ), mediante cualquiera de las betas que quedan determinadas con las estimaciones clásicas, a saber: mesocúrtica, Caballer, de varianza constante y clásica; en cualquier caso procederíamos del siguiente modo:

Tipificando los valores originales mediante el cambio abaxt

−−

= ó abaxt

−′−′

=′ ,

pasaríamos de los valores a, m y b a 0, M y 1, y de los valores a′, m′, b′ y x′ a 0,


M′, 1 y Z′, de modo que tendríamos que la función de distribución para el índice estandarizado sería:

∫ ′′′′−′

=−′−′ω

βω

0

11

),()1()( td

qpttG

qp.

Por lo tanto, sería posible determinar )(ZG ′ y, planteando el problema en su forma habitual:

0 M Z 1 0 M' Z' 1 ACTIVO ÍNDICE

Figura 1. Método de las dos betas.

el problema quedaría reducido a resolver la ecuación integral:

)(),()1()(

0

11ZGdt

qpttZF

Z qp′=

−= ∫

−−

β,

donde la única incógnita es el valor de Z.

Antes de continuar con el desarrollo del trabajo, vamos a llevar a cabo algunas consideraciones acerca de la obtención de G(Z′). Si quisiéramos disponer de unas tablas que relacionaran M y Z, para cada uno de los modelos,


procederíamos de la siguiente forma1: dados a′, m′, b′ y x′, tipificamos y obtenemos 0, M′, 1 y Z′. A partir de M′, determinamos p y q en función del modelo que queramos utilizar:

Moda Estandarizada

Modelos alternativos Valores de p′ y q′

Mesocúrtico (k′)

′−′+=′′′+=′

→′)1(1

1Mkq

Mkpk

Caballer (h′)

+′=′

−′=′→<′

−′=′

+′=′→>′

2

22/1

2

22/1

hq

hpM

hq

hpM

De varianza constante (k′)

′−′+=′′′+=′

→′)1(1

1Mkq

Mkpk

M′ ⇒

Clásico

′−−=′′+=′

)1(4141

MqMp

Función de distribución ∫ ′

′′′−′

=−′−′ω

βω

0

11

),()1(

)( tdqptt

Gqp

Tabla 1. Obtención de la función de distribución del índice.

de donde se obtendría G(Z′), a partir de M′ y Z′ como puede verse en la siguiente tabla:

1 Estas tablas, en las que M y Z tienen perfectamente determinado su rango en el intervalo [0,1], serían unas tablas que cubrirían todas las posibilidades: bastaría con fijar la precisión requerida, cosa que no ocurre con las tablas presentadas por Caballer (1993), que están desarrolladas en función de p′ y q′ sin que se conozcan sus rangos, por lo que siempre serían unas tablas incompletas.


M′ \ Z′ 0,01 0,02 … … 0,99

0,01

0,02

M

G(Z′)

M

1,00

Tabla 2. Obtención de G(Z′) a partir de M′ y Z′.

Por otro lado, a partir de los valores del activo a, b y m, obtenemos 0, M y 1,

y, haciendo F(Z) = G(Z′), podríamos obtener en las tablas el valor de Z, a partir de M y F(Z), y posteriormente x, a partir del valor de Z.

No obstante, pretendemos resolver la anterior ecuación integral mediante un proceso iterativo, al tiempo que automatizamos la elección de los modelos a utilizar, siguiendo el criterio de máxima varianza (CMV) o el criterio de mínima varianza (CmV). En efecto, veamos a continuación cómo podrían obtenerse p′ y q′ de una forma automática, si previamente hubiéramos decidido trabajar con el CMV o con el CmV:

( )

( )

−′=′+′=′

+′+=′>′

+∈′

′−+=′′+=′

+∈′

′−+=′′+=′

−∈′

+′=′−′=′

−′−=′

<′

−∈′

22

1221),

21(Caballer1,

422.4

14141

Clásica4

22,21.3

14141

Clásica21,

422.2

22

1221,

21Caballer

422,0.1

hqhp

MhMM

MqMp

M

MqMp

M

hqhp

MhMM

Tabla 3. Criterio de varianza máxima (CMV). Obtención de p′ y q′.


′−′+=′′′+=′

→′

=−′−+′−′′++′−′′→

∈′

−′=′+′=′

−′+=′

>′

∈′

+′=′−′=′

−′−=′

<′

∈′

′−′+=′′′+=′

→′

=−′−+′−′′++′−′′→

∈′

)1(11

de positiva solución única la Tomamos

045)21616()155(:resolveraMesocúrtic

)1;7236067,0(.8

22

1221

21Caballer

7236067,0;21.7

22

1221

21Caballer

21;2763933,0.6

)1(11

de positiva solución única la Tomamos

045)21616()155(:resolveraMesocúrtic

)2763933,0;0(.5

2223

2223

MkqMkp

k

kMMkMMkM

hqhp

Mh

MM

hqhp

Mh

MM

MkqMkp

k

kMMkMMkM

Tabla 4. Criterio de varianza mínima (CmV). Obtención de p′ y q′.

Presentamos, de forma esquemática, el diseño de un programa que nos permitirá, en función de los valores a, m y b y a′, m′, b′ y x′, obtener el valor x del activo, con sólo tomar la decisión del criterio a utilizar, es decir CMV o CmV, para el activo y para el índice.

ACTIVO ÍNDICE a, m y b a′, m′, b′ y x′

abaxt

−−

= abaxt

′−′′−′

=′

0, M y 1 0, M′, 1 y Z′ M′


Criterio CMV CmV

0 4

22 − 21

422 + 1 0 0.2763

21

0.7236 1

Casos: 1 2 3 4 5 6 7 8 Se obtienen los valores de p′ y q′

Figura 2. Diseño de un programa para obtener p′ y q′. Calculamos:

dtqpttZG

Z qp

∫′ −′−′

′′−

=′0

11

),()1()(

β, siendo ∫ −′−′ −=′′

1

0

11 )1(),( dtttqp qpβ .


Partiendo de M, repetimos todo el proceso de la figura 2 y obtenemos los valores de p y q correspondientes. Ahora necesitamos resolver la ecuación integral:

)(),()1()(

0

11ZGdt

qpttZF

Z qp′=

−= ∫

−−

β,

siendo G(Z′) un valor ya conocido.

Una vez que tenemos la función de densidad para el activo y para el valor del índice, podemos determinar el valor de )(ZG ′ , resolviendo la integral y utilizando, para ello, el programa Matemática 4.0 (ver, por ejemplo, García, Cruz y García: 2002, pp. 89-113). Los fundamentos teóricos de este programa son los siguientes: Si p y q son los parámetros para la función del activo, se trata de resolver la integral:

0)(),()1(

0

11>′=

−∫

−−

ZGdtqpttZ qp

β,

en la que la incógnita es Z. Podemos calcular ∫ −− −=1

0

11 )1(),( dtttqp qpβ y

plantear la ecuación integral del siguiente modo:

)(),()()1(0

11 ZHqpZGdtttZ qp ′=⋅′=−∫ −− β .

El proceso iterativo se articula del siguiente modo. Partimos de 00 =ω y definimos:

∫ −− −=S

sdtttA qpω

ω0

11 )1(

y la ecuación de recurrencia:

kkk ZHAk 2

1))(Signo(11 ⋅′−−=

−− ωωω .

Por tanto, 0

0=ωA y para k = 1:


21

21))((Signo 101 11

=⋅′−−=−

ZHAωωω

y de aquí:

∫ −− −=2/1

0

11 )1(1

dtttA qpω .

Para k = 2:

2212 21

21

21))((Signo

1±=⋅′−−= ZHAωωω .

De este modo, para cada valor de k (k = 0, 1 , 2, ...) el correspondiente valor de

kω se obtiene sumando o restando el anterior k2

1 :

kkk 21

21

21

21,,

21

21

21

12323 ±

±±±=±

±=

−KK ωω .

En consecuencia,

kkk 21

1 =− −ωω

y, como

021lim =

∞→ kk,

}{ kω es una sucesión de Cauchy y, por lo tanto, convergente, por lo que se

garantiza el proceso de convergencia en la iteración. El esquema del proceso iterativo dependería del grado de ajuste que pretendamos alcanzar; si fuese una millonésima (0,000001), mientras sea 000001,0)( >′− ZHA

kω , se pasa al

siguiente valor de k. Si fuese 000001.0)( >′− ZHAkω , se detiene el programa

y se da, como solución para Z, el valor del último kω , y para x sería Zabax )( −+= .


4. PROCESO ITERATIVO POLIETÁPICO EN EL MÉTODO DE LAS DOS BETAS. INTERVALOS DE CONFIANZA.

Supongamos que se desea valorar una finca agrícola (en general, un activo)

tomando como referencia el nivel de producción por hectárea (índice elegido). En principio, se dispondrá de los valores a, m y b para el activo y a′, m′ y b′ para el índice; además, en este caso concreto, el índice toma el valor x′ y queremos determinar, utilizando el método de las dos funciones de distribución, el valor x que debemos asignar al activo en cuestión. Sabemos que si modelizamos la función de distribución G(x′) para el índice y F(x) para el activo, el valor x vendrá determinado por la expresión:

x = φ(x′), deducida de la siguiente igualdad:

F(x) = G(x′).

Por otra parte, y salvo que M (la moda estandarizada) se encuentre en el intervalo (0,27639; 0,723666), se podrá elegir, como modelo para la función de distribución del activo, entre los modelos clásico, Caballer, de varianza constante y mesocúrtico; análogamente ocurre con la función de distribución del índice. Por lo tanto, como debemos elegir una función de distribución para el activo y otra para el índice, el número de elecciones posibles será de variaciones con repetición de cuatro elementos tomados de dos en dos:

164224 ==VR ,

recogidas en la siguiente tabla:

Activo \ Índice Clásica (1)

Caballer (2)

Mesocúrtica (3)

Varianza constante (4)

Clásica (1) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) Caballer (2) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)

Mesocúrtica (3) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) Varianza constante

(4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)

Tabla 5. Posibles funciones de distribución para el activo y para el índice.


En definitiva, el número de valores posibles para x, según se pueda utilizar el modelo mesocúrtico en el activo y en el índice, será: en el activo y en el índice: 16. en el activo y no en el índice: 12. no en el activo y si en el índice: 12. ni en el activo ni en el índice: 9.

En consecuencia, en un primer paso de la valoración podríamos obtener, a partir de los valores a, m y b para el activo y a′, m′ y b′ para el índice, los valores 4,3,2,1,,1 =jiPij , utilizando para ello cada uno de los procedimientos

descritos en la tabla 1. A partir de estos valores (que podrían ser 9, 12 ó 16), volvemos a calcular para el activo un valor mínimo a1, un valor modal m1 y un valor máximo b1. Si tomamos estos valores como punto de partida, podemos aplicar cada una de las alternativas de la tabla 1 al caso (a1, m1, b1) y (a′, m′, b′, x′) con lo que obtendremos, en una segunda etapa de valoración, los valores

4,3,2,1,,2 =jiPij , que, de nuevo, pueden ser 9, 12 ó 16.

Este procedimiento puede ser reiterado el número de veces que se considere

oportuno de tal modo que, en el k-ésimo paso del proceso polietápico de valoración, se obtendrían los valores 4,3,2,1,, =jiPk

ij , que nuevamente podrían

ser 9, 12 ó 16, dependiendo de las circunstancias. Debemos señalar que, en los pasos 2, 3, … del proceso polietápico, puede

suceder que la determinación de la moda (aunque recurramos a establecer intervalos) no sea posible, en cuyo caso sustituiremos la moda por la mediana (véase Troutt: 1989, pp. 410-412), o bien utilizaremos la relación empírica entre la mediana, la media y la moda (Murray y Spiegel: 1991, p. 64), para distribuciones unimodales que sean poco asimétricas, en las que se cumple la siguiente relación:

Media – moda = 3(media – mediana), de donde se deduce que:

Moda = media – 3(media – mediana).

En definitiva, después de aplicar las k etapas del proceso de valoración, obtendremos:


Etapas Valores Etapa 1 1

11P 112P 1

13P … 144P

Etapa 2 211P 2

12P 213P … 2

44P M M M M O M

Etapa k kP11 kP12 kP13 … kP44

Tabla 6. Las k etapas del proceso de valoración.

Sobre cada una de estas colecciones de valores podemos plantearnos las siguientes cuestiones: 1. ¿Es posible suponer que 4,3,2,1,, =jiP k

ij sigue una distribución normal?

2. ¿Es posible suponer que la muestra de valores 4,3,2,1,, =jiPkij procede de la

misma población normal que la muestra 4,3,2,1,, =jiPhij , con k, h ∈ Z+?

Para responder a la primera de las cuestiones planteadas, diremos que, por tratarse de muestras pequeñas (n < 30), el test de normalidad que se recomienda (véase Peña Sánchez de Rivera: 1993, pp. 368-369) es el test de Shapiro-Wilks. El estadístico a emplear es:

( )2

22

1)()1(,2

1nsAxxa

nsw

h

jjjnnj =

−= ∑

=+− ,

donde:

• ∑ −= 22 )( xxns i ,

• h es 2n , si n es par, y

21−n , si n es impar,

• los coeficientes nja , están tabulados, y

• )( jx es el valor que ocupa en la muestra ordenada la posición j.

La distribución de w está tabulada.

Para responder a la segunda de las cuestiones planteadas, consideremos los pasos 1 y 2 del proceso de valoración para los cuales hemos obtenido las muestras:


1,,, 21 nxxx K

y:

2,,, 21 nxxx K ,

respectivamente. Si llamamos:

∑ −=n

in xxn

S1

22 )(1

y

∑ −−

=−

n

in xxn

S1

221 )(

11 ,

se verifica que, en caso de que

1,,, 21 nxxx K proceda de una población normal, la

variable aleatoria:

nn Snx

Snxt 1)()(

1

−−=

−=

−

µµ

sigue una distribución t de Student con n−1 grados de libertad, lo que nos permite obtener sendos intervalos de confianza:

11

2/1

111: Sn

txI n

ε−±

e

22

2/1

222: Sn

txI n

ε−± .

Por otra parte, podemos comprobar si ambas muestras proceden de la misma población, es decir, contrastar si proceden de una misma normal con media µ:

210 : µµ =H

utilizando el estadístico

21

11nn

yxt+

−=

σ,


donde:

221

222

211

−++

=nn

SnSnσ

que sigue una distribución t de Student con 221 −+ nn grados de libertad.

Finalmente, una vez que hemos determinado ambos intervalos I1 e I2 con un 95% de confianza, sabemos que 95,0)Pr( 1 =∈ Iv y 95,0)Pr( 2 =∈ Iv , por lo que podremos establecer que:

90,0195,095,0)Pr()Pr()Pr()Pr( 212121 =−+≥∪−+=∩ IIIIII .

Como puede observarse, este proceso bietápico conduce a un intervalo de confianza. Por su parte, el proceso polietápico es la generalización de éste y debe conducir a un valor, siempre que la sucesión de las medias obtenidas en las etapas 1, 2, …, k, …:

KK ,,,, 21 kxxx converja a un número real. Para ello, se trataría de demostrar que las varianzas o la amplitud de los intervalos tienden a cero. Para concluir esta Sección vamos a introducir las siguientes definiciones que serán de utilidad para el desarrollo del siguiente epígrafe: Definición 1 (Estabilidad). Diremos que el proceso iterativo se ha estabilizado cuando, en dos pasos consecutivos del proceso polietápico, podemos aceptar que las dos muestras (compuestas por los resultados de cada etapa) proceden de una población normal con la misma media. Definición 2 (Convergencia). Diremos que el proceso iterativo es convergente cuando la sucesión de intervalos encajados [ ] niba ii ,,2,1,, K= es una sucesión de Cauchy. Definición 3 (Validez). Diremos que el proceso iterativo de valoración es válido, para unos determinados datos iniciales, cuando sea convergente y estable.


5. CASO PRÁCTICO.

Para realizar la aplicación práctica, tomaremos los datos del trabajo de Alonso y Lozano (1985, pp. 295-325) sobre valoración de fincas en el campo de Valladolid. Por tanto, los datos iniciales son:

• Activo a valorar: Finca (valor de mercado en ptas./hectárea). • Índice: Ingresos por hectárea: 44.010 ptas.

Los valores de referencia para ambos son:

Valores Activo Índice Mínimo a = 250.000 a′ = 20.000 Modal m = 325.000 m′ = 32.500

Máximo b = 500.000 b′ = 50.000

Tabla 7. Valores máximo, mínimo y modal para el activo y para el índice. En ambos casos, calcularemos las modas estandarizadas:

abamM

−−

= y abamM′−′′−′

=′ ,

de donde deducimos que no es posible aplicar, ni para el activo ni para el índice, el modelo mesocúrtico. Si procedemos a valorar, obtenemos:

111P 1

12P 114P 1

21P 122P 1

24P 433.264 445.833 446.472 475.274 481.014 481.294

141P 1

42P 144P

423.031 435.379.9 436.016

Tabla 8. Valores obtenidos en la primera etapa.

Si aplicamos el test de Shapiro-Wilks a estos datos, obtenemos el estadístico w = 0,859992 que nos permite aceptar que se trata de una distribución normal, cuya media, mediana y moda quedan determinadas.

En el siguiente paso, vamos a considerar, como valores para el activo, los extraídos de la tabla anterior:


a2 = 433.031, b2 = 481.294, m2 = 435.814,

de donde 219418,022

222 =

−−

=abamM , por lo que se puede utilizar para valorar

el activo el modelo mesocúrtico, obteniéndose, por tanto, en este segundo paso 12 valores, a saber:

211P 2

12P 214P 2

21P 222P 2

24P 462.674 465.903 466.074 478.122 479.103 479.150

2

31P 232P 2

34P 241P 2

42P 244P

454.268 456.942 457.169 461.181 464.367 464.538

Tabla 9. Valores obtenidos en la segunda etapa. Si aplicamos el test de Shapiro-Wilks, w = 0,8831, por lo que se acepta la hipótesis de normalidad al nivel del 5%. Apliquemos ahora a ambas poblaciones un test para saber si tienen la misma media:

≠−=−

.0:,0:

1

0

yxHyxH

Para ello, sabemos que el estadístico:

mnmnSmSn

yxtyx 11

2)1()1( 22

+++

−+−

−=

sigue una distribución t de Student con n + m – 2 grados de libertad. El resultado es:

Tamaño muestral 1 Tamaño muestral 2 Media 1 Media 2 Diferencia Estadístico

912

449.730,82465.790,9167−16.060,0967A = −2,1919

Se rechaza H0 al nivel del 5%

Tabla 10. Primer contraste de diferencia de medias.


Puesto que ambas poblaciones normales no tienen la misma media, consideraremos que el proceso de valoración no se ha estabilizado aún y procedemos a dar otro paso a partir de la tabla 9, obteniendo:

• a3 = 454.268, • b3 = 479.150, • m3 = 461.775,67,

de donde 30,033

333 =

−−

=abam

M , por lo que no se puede utilizar para valorar el

activo el modelo mesocúrtico y, por lo tanto, este proceso generará 9 valores, a saber:

311P 3

12P 314P 3

21P 322P 3

24P 472.535 473.788 473.846 476.658 477.233 477.261

3

41P 342P 3

44P

471.511 472.738 472.801

Tabla 11. Valores obtenidos en la tercera etapa.

El test de Shapiro-Wilks da un valor w = 0,8621 para el estadístico, lo que nos permite aceptar la hipótesis de normalidad al 5%. Realizaremos de nuevo un contraste entre las poblaciones 2

ijP y 3ijP para ver si podemos aceptar que ambas

muestras proceden de la misma población. El resultado es:


129

465.790,9167474.263,3389−8.472,4222A = −2,8447

Se rechaza H0 al nivel del 5%

Tabla 12. Segundo contraste de diferencia de medias.


El proceso sigue sin estabilizarse, por lo que debemos realizar otro paso más. El punto de partida, a partir de la tabla 10, sería:

• a4 = 471.511 • b4 = 477.261 • m4 = 472.838,26

de donde 230806,044

444 =

−−

=abam

M , por lo que no se puede utilizar para

valorar el activo la beta mesocúrtica y, por lo tanto, este proceso generará 12 valores, a saber:

411P 4

12P 414P 4

21P 422P 4

24P 475.468 475.783 475.799 476.919 477.021 477.026

4

31P 432P 4

34P 431P 4

32P 434P

474.460 474.706 474.719 475.304 475.614 475.630

Tabla 13 Valores obtenidos en la cuarta etapa.

El test de Shapiro-Wilks da como resultado w = 0,90022, lo que nos permite aceptar la hipótesis de normalidad al 5%. Si ahora realizamos el contraste sobre diferencia de medias entre las poblaciones 3

ijP y 4ijP , el resultado es:


912

474.263,3389475.703,9983−1.440,6594A = −2,0623

Se acepta H0 al nivel del 5%

Tabla 14. Tercer contraste de diferencia de medias.


Podemos decir que ahora el proceso de valoración se ha estabilizado, por lo que procederemos a obtener un intervalo de confianza para dicho valor. En primer lugar,

∑=

−−

=kn

ii

kk xx

nS

1

)(1

1 ,

por lo que S3 = 2.206,94 y S4 = 890,28. Por otra parte,

kk

nkk S

n

txI k

2/1:

ε−± ,

por lo que, teniendo en cuenta que 31,2975,0

8 =t y 20,2975,011 =t , resulta ser:

I3 = (472.564; 475.962,70) e I4 = (475.138,59; 476.269,40).

La probabilidad de que el valor que buscamos se encuentre en I3 es del 95%:

95,0)Pr( 3 =∈ Iv igual que ocurre con I4:

95,0)Pr( 4 =∈ Iv . En consecuencia:

90,0195,095,0)Pr()Pr()Pr()Pr( 434343 =−+≥∪−+=∩ IIIIII . Por lo tanto el valor que buscamos se encuentra en el intervalo

(475.138,59; 475.962,70) con una probabilidad superior al 90%.

Finalmente, observemos el proceso de convergencia de los valores máximos, mínimos y modales2: 2 El estudio analítico de la convergencia no está tratado en este trabajo.


0

100.000

200.000

300.000

400.000

500.000

600.000

1 2 3 4

Valores mínimosValores modalesValores máximos

Figura 3. Proceso de convergencia de los valores máximos, mínimos y modales. 6. CONCLUSIONES.

El método de valoración conocido como método de las dos betas y, en general, como método de las dos funciones de distribución, es una teoría emergente en el ámbito de la valoración que, más concretamente, ha surgido en el ámbito de la valoración agraria. Diferentes trabajos citados en la bibliografía han utilizado, para aplicar este método, las distribuciones propias para el tratamiento del riesgo como son la distribución triangular, trapezoidal, beta, etc.

En este trabajo se ha dado un nuevo paso en este método de valoración elaborando un proceso iterativo que permite utilizar simultáneamente todas las betas conocidas hasta el momento presente, que pueden ser determinadas a partir de los tres valores clásicos, a saber: máximo, mínimo y más probable. De este modo, se ha superado la cuestión de determinar cuál de estas betas era la que mejor podía simular el comportamiento del activo o del índice, cuestión que, en aquellos casos en que sólo se disponía de los tres valores clásicos, era prácticamente irresoluble, ya que ahora no es necesario contestar a esta cuestión para llevar adelante el proceso de valoración, siendo el propio proceso el que apunta una respuesta.

Dos cuestiones han quedado planteadas en este trabajo: el problema de la estabilidad, es decir, a partir de qué momento las colecciones de valores


obtenidos en dos procesos consecutivos se puede considerar que pertenecen a una población normal con la misma media. En ese momento, diremos que el proceso se ha estabilizado, pero queda sin responder la cuestión de un modo general, es decir, bajo qué condiciones podemos asegurar que el proceso se ha estabilizado.

Otra cuestión es la convergencia. A lo largo del caso práctico y como queda realzado en la figura 3, se observa una rápida convergencia de los valores máximos y mínimos de cada etapa que sugieren una sucesión de Cauchy pero esta cuestión y las condiciones que garantizan formalmente la convergencia de esta sucesión de intervalos encajados no está formalmente resuelta. Ambas cuestiones se tratarán en un próximo trabajo.

Finalmente, otro planteamiento novedoso de este trabajo es que se puede concluir bien con un valor para el activo en cuestión, como venía siendo lo habitual (para ello bastará con tomar la media del último intervalo) o dando un intervalo de confianza que, desde un punto de vista formal, en nuestra opinión, es mucho más adecuado para realizar valoraciones en ambiente de incertidumbre como es el caso que nos ocupa. BIBLIOGRAFÍA ALONSO, R. y LOZANO, J. (1985). “El método de las dos funciones de distribución: Una

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