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Capítulo 3. Equilibrio tensional — 1

Capítulo 3

RELACIONES DE EQUILIBRIO TENSIONAL EN LOS MEDIOS DEFORMABLES. ECUACIONES

ESTÁTICAS

3.1. TENSOR DE TENSIONES EN UN PUNTO

Considérese un medio continuo que ocupa un recinto V de un espacio tridimensional con coordenadas cartesianas y sobre el que actúan unas fuerzas de volumen b y de superficie p cuyo valor puede ser variable en cada punto, y aceleraciones a en dirección genérica. La expresión de estas será

( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , ,x y zf x y z t f x y z t f x y z t = b (3.1.1a)

( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , ,x y zp x y z t p x y z t p x y z t = p (3.1.1b)

( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , ,x y za x y z t a x y z t a x y z t = a (3.1.1c)

Bajo la acción de estas cargas, cada uno de los puntos del medio cambiará de posición, y el trabajo realizado por las cargas exteriores será igual al de las fuerzas intermoleculares, que estará almacenado en forma de energía interna.

Si se divide el volumen V mediante un corte por un plano cualquiera π, definido por el vector n, se obtendrán dos recintos V1, V2, cada uno de los cuales estará también en equilibrio.

2 — Capítulo 3. Equilibrio tensional

ΔA

πn

V1V2

P1

P2

P3

P4

P5

ΔA

π

ΔF

V1

P1

P2

P3-ΔF

π

ΔA V2

P4

P5

a) Medio deformable y cargas actuantes b) Equilibrios parciales del medio deformable

Figura 3.1.1. Medio deformable en equilibrio

El equilibrio de V1 se consigue al compensarse las cargas existentes en ese volumen y la interacción de V2 sobre él. El equilibrio del volumen V2 se consigue de manera similar. En cada superficie elemental ∆A de la sección común la interacción se traduce en sendas fuerzas ∆F y −∆F. A partir de lo anterior puede definirse el concepto de tensión en un punto de la sección por el plano π como

0

limn A A∆ →

∆=

∆Ft (3.1.2)

Debido a que la superficie elemental ∆A y la fuerza ∆F dependen de la dirección elegida n, la tensión resultante tn será distinta para cada orientación de la sección transversal.

El vector tn puede descomponerse en un vector σn según la dirección normal, denominado tensión normal, y otro τn situado en el plano de la sección transversal, que recibe el nombre de tensión tangencial.

n n n= +t σ τ (3.1.3)

π

t

τ σ

n

n nV1

Figura 3.1.2. Componentes normal y tangencial del vector tensión

También puede descomponerse según los ejes coordenados en la forma

n nx ny nzt t t= ⋅ + ⋅ + ⋅t i j k (3.1.4)


donde tnx, tny, tnz son las proyecciones del vector tn en las direcciones correspondientes. La particularización de la ecuación (3.1.4) para dichas direcciones será

x xx xy xzt t t= ⋅ + ⋅ + ⋅t i j k (3.1.5a)

y yx yy yzt t t= ⋅ + ⋅ + ⋅t i j k (3.1.5b)

z zx zy zzt t t= ⋅ + ⋅ + ⋅t i j k (3.1.5c)

Los vectores de tensiones , ,x y zt t t se pueden escribir por tanto como

yxxx zx

x xy y yy z zy

xz yz zz

tt tt t t

t t t

= = =

t t t (3.1.6)

Definiendo una dirección genérica n por los cosenos directores l, m, n de los ángulos que forma con los ejes coordenados, pueden obtenerse las componentes de la tensión tn a partir de la matriz τ

xx yx zx

xy yy zy x y z

xz yz zz

t t t

t t t

t t t

= =

t t tτ (3.1.7)

y la relación matricial siguiente

xx yx zxnx

n ny xy yy yz

nz xz yz zz

t t tt lt t t t m

nt t t t

= ⋅ = = ⋅

t nτ (3.1.8)

En el caso del eje ox se tiene l = 1, m = n = 0 y aplicando (3.1.8) se llega a la expresión (3.1.5a). La misma comprobación puede realizarse para los restantes ejes coordenados.

3.2. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO

En la Figura 3.3.1 aparece un paralelepípedo elemental de dimensiones dx, dy, dz situado en el interior del medio que se está considerando cuya densidad es ρ. El equilibrio se logrará mediante las fuerzas que aparecen dibujadas y las fuerzas de volumen b y las aceleraciones a que se suponen constantes en el volumen elemental. Las tensiones en las caras dorsales y frontales se considerarán positivas cuando tengan,


respectivamente, los sentidos de los semiejes negativos y positivos del triedro de coordenadas. Las fuerzas de volumen se considerarán positivas cuando coincidan con los semiejes positivos.

Figura 3.2.1. Equilibrio de fuerzas en un medio elemental

Si se establece el equilibrio de las fuerzas en dirección ox se obtiene la ecuación

yxxxxx xx yx yx

zxzx zx x x

ttt dx t dy dz t dy t dx dzx y

tt dz t dx dy b dx dy dz a dx dy dz 0z

ρ

∂ ∂ + ⋅ − ⋅ ⋅ + + ⋅ − ⋅ ⋅ + ∂ ∂ ∂ + + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ∂

(3.2.1)

simplificando términos

yxxx zxx x

tt t b a 0x y z

ρ∂∂ ∂

+ + + − ⋅ =∂ ∂ ∂

(3.2.2a)

estableciendo los equilibrios respecto a los restantes ejes aparecen similarmente

xy yy zyy y

t t tb a 0

x y zρ

∂ ∂ ∂+ + + − ⋅ =

∂ ∂ ∂ (3.2.2b)

yzxz zzz z

tt t b a 0x y z

ρ∂∂ ∂

+ + + − ⋅ =∂ ∂ ∂

(3.2.2c)

y

xxx

xxtt dxx

∂+ ⋅

∂

zzzz

tt dzz

∂+ ⋅

∂

yyyy

tt dy

y∂

+ ⋅∂

xxt

zzt

yyt

xzxz

tt dxx

∂+ ⋅

∂

xyxy

tt dx

x∂

+ ⋅∂

xzt

xyt

zxtzyt

yxt

yzt

zyzy

tt dz

z∂

+ ⋅∂

zxzx

tt dzz

∂+ ⋅

∂

yzyz

tt dy

y∂

+ ⋅∂

yxyx

tt dy

y∂

+ ⋅∂


Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones de equilibrio interno. Si se

definen como tij (i, j = 1, 2, 3) los elementos del tensor de tensiones τ, se denominan xi (i = 1 , 2, 3) a los ejes coordenados y bi, ai (i = 1, 2, 3) a las componentes de las fuerzas de volumen y las aceleraciones, las ecuaciones anteriores pueden expresarse como

, , ,ijj j

i

tb a 0 i j 1 2 3

xρ

∂+ − ⋅ = =

∂ (3.2.3)

o utilizando el operador divergencia

ρ∇ + − ⋅ =b a 0τ (3.2.4)

El equilibrio de momentos en dirección ox en el centro de gravedad conduce a

yzyz yz zy

zyzy

tdy dy dzt dx dz t dy dx dz t dx dy2 y 2 2

t dzt dz dx dy 0z 2

∂ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ∂

∂ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ∂

(3.2.5)

si se prescinde de los infinitésimos de mayor orden resulta

yz zyt t= (3.2.6a)

de forma análoga se llegaría igualmente a

zx xzt t= (3.2.6b)

xy yxt t= (3.2.6c)

Las expresiones (3.2.6) convierten en simétrica a la matriz (3.1.7). Los elementos de la diagonal principal son las componentes de tensiones en la dirección perpendicular a los planos correspondientes, es decir tensiones normales y los restantes elementos son tensiones tangenciales. Utilizando la terminología habitual en la ingeniería, la expresión (3.1.8) queda

x xy xznx

ny xy y yz

nz xz yz z

t lt m

nt

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

= ⋅

(3.2.7)

o en forma matricial


n = ⋅t nτ (3.2.8)

En la Figura 3.2.2 aparecen las tensiones sobre un volumen elemental con la nomenclatura que se acaba de adoptar.

z

y

x

Figura 3.2.2. Tensiones en las direcciones de los planos coordenados

Puede demostrarse que τ es un tensor de segundo orden y recibe el nombre de tensor de tensiones de Cauchy. A partir de (3.2.8), la componente normal de la tensión tn se obtiene de la forma

T Tnσ = ⋅ = ⋅ ⋅n t n nτ (3.2.9)

desarrollando (3.2.9) se llega a

2 2 2x y z xy xz yzl m n 2 l m 2 l n 2 m nσ σ σ σ τ τ τ= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ (3.2.10)

El módulo τ de la tensión tangencial es

2 2nτ σ= −t (3.2.11)

y vendrá definida por el vector

n n σ= − ⋅t nτ (3.2.12)

Supóngase que el actual triedro de coordenadas se sustituye por otro cuya matriz de transporte T sea

cos cos cos

cos cos cos

cos cos cos

Xx Xy Xz X X X

Yx Yy Yz Y Y Y

Z Z ZZx Zy Zz

l m nl m nl m n

α β γ

α β γ

α β γ

= =

T (3.2.13)

xσxzτ

xyτ

zxτzσ

zyτ

yσyxτ yzτ


siendo

αXx, αYx, αZx: ángulos del nuevo sistema coordenado con el eje ox

βXy, βYy, βZy: ángulos del nuevo sistema coordenado con el eje oy

γXz, γYz, γZz: ángulos del nuevo sistema coordenado con el eje oz

z

y

x

Figura 3.2.3. Cambio de triedro de coordenadas

El vector de dirección n y el vector tensión tn en los nuevos ejes serán

n n= ⋅ = ⋅n T n t T t (3.2.14)

entrando en (3.2.8)

1n

−= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅t T n T T nτ τ (3.2.15)

en la matriz T (ortogonal) se cumple que

1 T− =T T (3.2.16)

luego

Tn = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅t T T n nττ (3.2.17)

por tanto, el tensor de tensiones en el nuevo triedro de coordenadas será

T= ⋅ ⋅T Tτ τ (3.2.18)

xXαyXβ

zXγ


3.3. ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN EL CONTORNO

Para obtener estas ecuaciones de equilibrio se va a considerar en un punto del contorno un volumen elemental definido por un tetraedro cuyas caras sean el plano tangente al medio continuo en dicho punto y los tres planos coordenados. En ese volumen elemental deben equilibrarse las fuerzas exteriores p que actúan en la superficie, las fuerzas volumétricas b, las aceleraciones a y las fuerzas en los planos interiores del tetraedro.

z

y

x

σy

σz

σxτxyτxzτyz

τxy

τyz τxz

ba

p

n

Figura 3.3.1. Equilibrio de fuerzas en el contorno

El área elemental según el plano tangente será dA. Se supondrá que el contorno es suficientemente suave y que no existen discontinuidades en los dos primeros órdenes de derivación. Las ecuaciones de equilibrio en cada eje serán

( )x xy xz x x x1 1 1 dx dy dzdy dz dx dz dx dy p dA b a 02 2 2 6

σ τ τ ρ ⋅ ⋅⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − − ⋅ = (3.3.1a)

( )xy y yz y y y1 1 1 dx dy dzdy dz dx dz dx dy p dA b a 02 2 2 6

τ σ τ ρ ⋅ ⋅⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − − ⋅ = (3.3.1b)

( )xz yz z z z z1 1 1 dx dy dzdy dz dx dz dx dy p dA b a 02 2 2 6

τ τ σ ρ ⋅ ⋅⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − − ⋅ = (3.3.1c)

es conocido que se cumple

1 1 1dy dz l dA dx dz m dA dx dy n dA2 2 2

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ (3.3.2)

si se desprecian los infinitésimos de mayor orden y por tanto desaparece el sumando correspondiente a las fuerzas de volumen b y a las aceleraciones a resulta


x xy xzx

y xy y yz

z xz yz z

p lp m

np

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

= ⋅

(3.3.3)

y con notación matricial

= ⋅p nτ (3.3.4)

Comparando (3.3.4) y (3.2.8) se observa que en los puntos del contorno las fuerzas de superficie coinciden con la tensión en esos puntos. La ecuación (3.3.4) recibe el nombre de ecuación de equilibrio en el contorno.

3.4 TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES

Es siempre posible encontrar un triedro de ejes en el que solo exista componente normal de las tensiones según los tres planos coordenados, lo que convertiría en matriz diagonal a la matriz τ del tensor de tensiones. Para encontrar las direcciones que formarán esos nuevos ejes con el actual triedro de coordenadas basta considerar que al realizar una sección por cualquiera de ellos, la tensión resultante será paralela al vector normal n. Por tanto

n σ= ⋅ = ⋅t n nτ (3.4.1)

desarrollando (3.4.1)

x xy xzl l m nσ σ τ τ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ (3.4.2a)

xy y yzm l m nσ τ σ τ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ (3.4.2b)

xz yz zn l m nσ τ τ σ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ (3.4.2c)

El sistema lineal de ecuaciones (3.4.2) es homogéneo y para que exista solución debe cumplirse que

( )σ ⋅ ⋅ =I n 0τ− (3.4.3a)

o similarmente

x xy xz

xy y yz

xz yz z

0

σ σ τ τ

τ σ σ τ

τ τ σ σ

−

− =

−

(3.4.3b)


La anulación del determinante de (3.4.3) proporciona una ecuación de tercer grado que suele escribirse en la forma

3 21 2 3 0I I Iσ σ σ− ⋅ + ⋅ − = (3.4.4)

Los valores de los coeficientes , ,1 2 3I I I son independientes de los ejes de

coordenadas. Reciben el nombre de invariantes del tensor de tensiones y sus expresiones son

invariante lineal 1 x y zI σ σ σ= + + (3.4.5a)

invariante cuadrático 2 2 22 x y x z y z xy xz yzI σ σ σ σ σ σ τ τ τ= ⋅ + ⋅ + ⋅ − − − (3.4.5b)

invariante cúbico 3I = τ (3.4.5c)

Las tres raíces σ1, σ2, σ3 de (3.4.4) son necesariamente reales por ser la ecuación característica de una matriz simétrica y reciben el nombre de tensiones principales. Las direcciones asociadas a cada una de ellas se denominan direcciones principales y se obtienen sustituyendo cada valor σi (i = 1,…, 3) en el sistema (3.4.2) complementado con la ecuación

2 2 2l m n 1+ + = (3.4.6)

En estados tensionales bidimensionales se reduce la dimensión del tensor τ. Por ejemplo cuando solo existen tensiones σx, τxy, σy el tensor de tensiones es

x xy

xy y

σ τ

τ σ

=

τ (3.4.7)

a) Tensiones según los ejes coordenados b) Direcciones y tensiones principales

Figura 3.4.1. Estado de tensiones bidimensional

Si se calculan las tensiones principales de la forma que se ha indicado anteriormente puede comprobarse que resultan

σ1

σ1

σ 2

σ 2

ασ x

yσ

xyτ

xσ

yσ

xyτ


2 2

2 21 22 2 2 2

x y x y x y x yxy xy

σ σ σ σ σ σ σ σσ τ σ τ

+ − + − = + + = − +

(3.4.8)

la dirección que forma el vector σ1 con el eje ox viene definido por la ecuación

( )tan xy

x y

22

τα

σ σ⋅

⋅ =−

(3.4.9)

3.5. TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS

También resulta interesante conocer los planos en los que la tensión tangencial será máxima. Para identificarlos se utilizará en el estudio el sistema de coordenadas que coincide con las direcciones principales, con el objeto de simplificar las expresiones. En esos ejes, la tensión en un plano cualquiera n, y las componentes normal y tangencial de la tensión serán

n 1 2 3l m nσ σ σ= ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅t n i j kτ (3.5.1)

T 2 2 2n 1 2 3l m nσ σ σ σ= ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅n t (3.5.2)

( ) ( )222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3n l m n l m nτ σ σ σ σ σ σ σ= − = ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅t (3.5.3)

Los valores de l, m, n, que hacen máxima la expresión (3.5.3) se obtendrán definiendo una función lagrangiana en la forma

( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1L l m n l m n l m nσ σ σ σ σ σ λ= ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + − (3.5.4)

los valores máximos de (3.5.4) cumplirán las condiciones

0L L L Ll m n λ

∂ ∂ ∂ ∂= = = =

∂ ∂ ∂ ∂ (3.5.5)

Puede comprobarse que la solución que maximiza (3.5.4) corresponde a los valores

m 0= (3.5.6a)

.2 2l n 0 5= = (3.5.6b)

Los planos resultantes de las expresiones (3.5.6) forman ángulos de 45º con los de las direcciones principales σ1, σ3 y contienen al de la dirección σ2.


El valor de la tensión tangencial máxima será

1 3máx 2

σ στ

−= (3.5.7)

Un caso particular de interés se produce cuando los valores de las tensiones principales son

1 2 30σ σ σ σ σ= = = − (3.5.8)

Esta situación corresponde a un estado tensional de tracción en una dirección y compresión de igual valor en la otra dirección principal. El valor de la tensión tangencial máxima es

máxτ σ= (3.5.9)

luego el módulo de la tensión tangencial máxima en ese estado tensional coincide con el módulo de las dos tensiones principales no nulas y en esa dirección la tensión normal es nula.

45°

a) Tensiones principales b) Tensión tangencial máxima

Figura 3.5.1. Direcciones de las tensiones principales y de la tensión tangencial máxima

3.6. CUÁDRICAS ASOCIADAS AL TENSOR DE TENSIONES

Para el tensor de tensiones pueden establecerse el mismo conjunto de superficies que se describieron en el capítulo 2 para el tensor de deformaciones. Todas ellas tienen las mismas propiedades que las que allí se indicaron.

σ

σ σ

σ

σ σ


3.6.1 Elipsoide de tensiones

Es el lugar geométrico de los extremos de los vectores tensión total tn en un punto correspondiente a todas las direcciones n.

Se obtiene recordando que la ecuación (3.2.7) para el caso en que los ejes coordenados correspondan a las direcciones principales se tiene

1

2

3

0 00 00 0

nx

ny

nz

t lt m

nt

σσ

σ

= ⋅

(3.6.1.1)

2 2 2l m n 1+ + = (3.6.1.2)

eliminando l, m, n entre esas ecuaciones resulta

22 2nynx nz

2 2 21 2 3

tt t 1σ σ σ

+ + = (3.6.1.3)

que suele escribirse como

2 2 2

2 2 21 2 3

x y z 1σ σ σ

+ + = (3.6.1.4)

Figura 3.6.1.1. Elipsoide de tensiones

3.6.2 Cuádrica indicatriz de deformaciones

Es el lugar geométrico de los extremos de los segmentos que resultan llevando a cada dirección n la distancia ON, medida desde el origen de coordenadas.

x

y

z

1σ2σ

3σ


1ONσ

= (3.6.2.1)

Las coordenadas del punto N serán

l m nx y zσ σ σ

= = = (3.6.2.2)

si los ejes de coordenadas son las direcciones principales se cumple que

2 2 21 2 3l m nσ σ σ σ= ⋅ + ⋅ + ⋅ (3.6.2.3)

eliminando l, m, n entre estas ecuaciones queda

2 2 21 2 3 1x y z cσσ σ σ

σ⋅ + ⋅ + ⋅ = = = ± (3.6.2.4)

La superficie que representa esa ecuación recibe el nombre de cuádrica indicatriz y sobre ella puede hacerse la misma discusión que se realizó en el apartado 2.5 del capítulo 2.

a) Si σi > 0 (i = 1, 2, 3) para c = −1 la ecuación (3.6.2.4) es un elipsoide imaginario que no tiene sentido físico. Para c = 1 se obtiene un elipsoide real que es el lugar geométrico de los puntos ON. Todas las tensiones normales serán de tracción y el vector tensión tn forma un ángulo agudo con la dirección n.

b) Si σi < 0 (i = 1, 2, 3) el elipsoide real aparece para c = −1. Todas las tensiones normales son de compresión y el vector tensión tn forma un ángulo obtuso con la dirección n.

Figura 3.6.2.1. Elipsoide indicatriz de tensiones

c) Si dos tensiones principales son positivas σ1 ≥ σ 2 > 0 y σ 3 < 0, para c = 1 resulta un hiperboloide de una hoja y para c = −1 se obtiene un hiperboloide de dos hojas como aparece en la figura 3.6.2.2.

x

yz

1

1σ

2

1σ

3

1σ


Cono asintótico

Figura 3.6.2.2. Hiperboloide indicatriz de tensiones

Si la dirección n corta al hiperboloide de una hoja, la tensión normal es de tracción y cuando corta al de dos hojas es de compresión. Ambos hiperboloides están separados por el cono asintótico que tiene por ecuación

2 2 21 2 3 0x y zσ σ σ⋅ + ⋅ + ⋅ = (3.6.2.5)

Si la dirección n coincide con una de las generatrices de ese cono, la tensión normal será nula.

d) Si una tensión principal es positiva σ1 > 0 y las otras dos negativas σ 3 ≤ σ 2 < 0, para c = −1 se obtiene un hiperboloide de una hoja y para c = 1 otro de dos hojas y las conclusiones son análogas a las del caso anterior.

Como ya se sabe, la cuádrica indicatriz permite determinar la tensión total que corresponde a una dirección n. En las figuras 3.6.2.3. y 3.6.2.4. se indica cómo se obtiene tn a partir de n en el elipsoide y el hiperboloide de tensiones.


Elipsoide detensiones

ntn

Plano π

Indicatriz

Plano tangente

Otg

N

Figura 3.6.2.3. Dirección n y tensión tn en el elipsoide indicatriz de tensión

Hiperboloideindicatriz

Plano π

n

tn

N

Elipsoide detensiones

tg

tg

Plano tangente

Cono

O

Figura 3.6.2.4. Dirección n y tensión tn en el hiperboloide indicatriz de tensión

3.6.3 Cuádrica directriz de tensiones

Es el lugar geométrico del extremo N de los vectores que se obtienen modificando el vector tensión tn en la forma

n

σt

(3.6.3.1)


Si los ejes coordenados son las direcciones principales, las componentes del vector tensión correspondiente a un plano definido por la dirección n son

nx 1 ny 2 nz 3t l t m t nσ σ σ= ⋅ = ⋅ = ⋅ (3.6.3.2)

las coordenadas del punto N serán

31 2 nl mx y z σσ σσ σ σ

⋅⋅ ⋅= = = (3.6.3.3)

y teniendo en cuenta la expresión (3.5.2) queda

2 2 2

1 2 3

x y z 1σ σ σ

+ + = ± (3.6.3.4)

Figura 3.6.3.1. Elipsoide directriz de tensiones

Esta cuádrica tiene la propiedad de que conocida la dirección de un vector tensión tn, que da lugar al punto N de la figura 3.6.3.2 en la cuádrica directriz, la dirección n a la que corresponde es la normal al plano tangente en el punto de corte de tn con la cuádrica directriz como se observa en esa figura.

tn

n

O

N

Plano πDirectriz

Elipsoide detensiones Plano tangente

paralelo a π

Figura 3.6.3.2. Sección plana del elipsoide directriz de tensiones

x

y

z

1σ2σ

3σ


3.7 CÍRCULOS DE MOHR DE TENSIONES

Si los ejes coordenados son los de las direcciones principales, recordando (3.5.1) y (3.5.3) resulta

( ) ( ) ( )22 2 2 2 21 2 3n l m nσ σ σ σ τ= ⋅ + ⋅ + ⋅ = +t (3.7.1)

además según (3.5.2)

2 2 21 2 3l m nσ σ σ σ= ⋅ + ⋅ + ⋅ (3.7.2)

si se eliminan m y n entre estas ecuaciones, se divide por (σ2 − σ3) y recordando que σ1 ≥ σ 2 ≥ σ3 resulta finalmente

( ) ( )2 2

2 22 3 2 31 2 1 3 0

2 2lσ σ σ στ σ σ σ σ σ+ − + − − = ⋅ − ⋅ − ≥

(3.7.3a)

si se eliminan l y n y se procede análogamente se obtiene

( ) ( )2 2

2 21 3 1 32 3 1 2 0

2 2mσ σ σ στ σ σ σ σ σ+ − + − − = − ⋅ − ⋅ − ≤

(3.7.3b)

si se eliminan l y m de forma similar se alcanza la expresión

( ) ( )2 2

2 21 2 1 23 1 3 2 0

2 2nσ σ σ στ σ σ σ σ σ+ − + − − = ⋅ − ⋅ − ≥

(3.7.3c)

Estas ecuaciones representan unos círculos y el recinto que aparece en la figura 3.7.1 es el lugar geométrico de los extremos de los vectores tensión, definidos por sus componentes (σ, τ).

τ

σ

C1

3C

C2M

στ

σ3σ2

σ1

Figura 3.7.1. Círculos de Mohr de tensiones


Los círculos de Mohr permiten identificar el punto que define al vector tensión según un plano cualquiera definido por una dirección cualquiera n definida respecto a las direcciones principales de tensión como n = l·i + m·j + n·k. Para ello se procederá como se hizo en el capítulo 2. Si se define

cos cosl nα θ= = (3.7.4)

y se llevan los ángulos α y θ a partir del eje σ tal y como se indica en la figura 3.7.2, se obtendrán los puntos P y Q. Trazando desde el eje σ los círculos de radio AP y BQ respectivamente se puede obtener el punto M que representa el vector tensión para esa dirección, siendo A y B los centros de los círculos interiores.

21

α θ

P QM

A B

τ

σ

σ3σ

σ

Figura 3.7.2. Obtención del vector tensión

Esta construcción gráfica permite comprobar también que las tensiones tangenciales máximas corresponden a los puntos M1 y M2 que se obtienen con α = θ = 45º como se observa en la figura 3.7.3. Ello quiere decir que

cos cos2 2l n2 2

α θ= = ± = = ± (3.7.5)

y por tanto m = 0 que es lo que se había obtenido analíticamente anteriormente. Asimismo se comprueba que el valor máximo era el obtenido allí, que era

1 3máx 2

σ στ −= (3.7.6)


σ3 σ2 σ1

45° 45°

τmáx

M1

M2

τ

σ

τmín

Figura 3.7.3. Valores de las tensiones tangenciales máximas

3.8 TENSORES ESFÉRICO Y DESVIADOR

Supóngase un estado tensional definido por el tensor τ cuyas tensiones principales sean σi (i = 1, 2, 3). Considérese asimismo los planos cuyas direcciones sean noct = (±1 3 ,±1 3 ,±1 3 ), que constituyen 8 planos cuyas direcciones forman

ángulos iguales con respecto a los tres ejes de coordenadas, cuando estos son las direcciones principales, y que por ello forman un octaedro. Si se calculan las componentes normal y tangencial del tensor tensión en cada uno de esos planos el resultado es

1 2 3oct m3

σ σ σσ σ+ += = (3.8.1)

( ) ( ) ( )2 2 2oct 1 2 1 3 2 3

13

τ σ σ σ σ σ σ= ⋅ − + − + − (3.8.2)

como puede observarse, la tensión normal octaédrica es también el valor medio de las tensiones principales y por ello se denomina también σm. A partir de ella, el tensor de tensiones puede descomponerse de la manera siguiente

0 0

0 00 0

x xy xz x m xy xzm

xy y yz m xy y m yz

mxz yz z xz yz z m

σ τ τ σ σ τ τστ σ τ σ τ σ σ τ

στ τ σ τ τ σ σ

− = = + − −

τ (3.8.3a)

o en direcciones principales de tensión


1 1

2 2

3 3

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

m m

m m

m m

σ σ σ σσ σ σ σ

σ σ σ σ

− = = + − −

τ (3.8.3b)

o simplificadamente

m d= +τ τ τ (3.8.3c)

Al estado tensional definido por τm se le suele llamar estado tensional esférico porque tiene el mismo valor de la tensión en cualquier dirección. Ello es lo que le sucede a un sólido inmerso en agua por lo que también se le designa como estado tensional hidrostático. Al tensor τd se le conoce como estado tensional desviador porque es la diferencia entre el estado tensional τ y el esférico τm.

Asimismo, para la tensión tn correspondiente a una dirección n cualquiera se cumplirá

n m d m oct dσ= + = ⋅ +t t n tσ (3.8.4)

siendo noct la dirección que forma ángulos iguales con los ejes de coordenadas y está situada en el mismo cuadrante de n. Esta propiedad aparece representada en la figura 3.8.1.

tn

σ3

σ1

σ2

td

σm

Plano noct

Figura 3.8.1. Vectores tensión, esférico y desviador

Si un estado tensional como el representado en la figura 3.7.1 se descompone en los dos de (3.8.3), los círculos de Mohr del tensor esférico quedan reducidos a un punto, definido por las coordenadas (σm, 0) y los del tensor desviador son los del estado tensional total trasladados una magnitud σm en el eje horizontal de coordenadas.

22 — Capítulo 3. Equilibrio tensional τ

σ

C1

3C

C2M

στ

σ3σ2

σ1

τ

σ

σm

τ

σ

C'13C'

C'2M

σ

τ

σ σ -1 mσ σ -2 m

σ σ -3 m

σm

d

Figura 3.8.2. Círculos de Mohr de los vectores tensión esférico y desviador

En el tensor esférico, los invariantes presentan las siguientes propiedades

1m m 1 2 3 1I 3 Iσ σ σ σ= ⋅ = + + = (3.8.4a)

( )2 21 2 32 1

2m mII 3

3 3σ σ σ

σ+ +

= ⋅ = = (3.8.4b)

( )3 31 2 33 1

3m mII

27 27σ σ σ

σ+ +

= = = (3.8.4c)

En el tensor desviador, las direcciones principales son las mismas que las del estado tensional total, las tensiones principales están modificadas por el valor σm y los invariantes tienen los valores siguientes

( ) ( ) ( )1d 1 m 2 m 3 mI 0σ σ σ σ σ σ= − + − + − = (3.8.5a)

( )( ) ( )( ) ( )( )21

2d 1 m 2 m 1 m 3 m 2 m 3 m 2II I3

σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ= − − + − − + − − = − (3.8.5b)

31 1 2

3d d 32 I I II I27 3⋅ ⋅

= = − +τ (3.8.5c)

= +

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