Centro de masa y teorema de Pappus

0.1. Centro de masa

Definimos las cordenadas del centro de masa como (x, y) de tal forma que:

x =My

m

y =Mx

m

Donde Mx y My son momentos de la forma:

Mx =∫

rpydA

My =∫

rpxdA

Centroide

El centroide de una region es el punto que define su centro geometrico Como la masa esel producto de la dencidad por el area( m = dA), tenemos:

x = My

A=

∫R

xdA

A

y = Mx

A=

∫R

ydA

A

Ahora bien, si x se calcula en terminos de y, el x esta dado por el punto medio de la region

es decirf(y) + g(y)

2y el area tambien en terminos de y:

x =

∫ d

c

(f(y) + g(y)

2

)[f(y)− g(y)]dy

A

Ahora bien, si y se calcula en terminos de x, el y esta dado por el punto medio de la

region es decirf(x) + g(x)

2y el area tambien en terminos de x:

y =

∫ b

a

(f(x) + g(x)

2

)[f(x)− g(x)]dx

A

1

Ejemplo:Calcular el centroide de la region acotada por:x = 0x = 2y = 0y = 2

A simple vista sabemos que el centroide esta en el punto (1, 1) ahora demostremolo porintegrales:

x en terminos de x

x =My

A=

∫RxdA

4=

∫ 2

0x(2)dx

4=x2|204

=4

4= 1

En terminos de y

x =My

A=

∫RxdA

4=

∫ 2

0

(2 + 0

0

)2dy

4=

2y|204

=4

4= 1

y en terminos de y

y =Mx

A=

∫RydA

4=

∫ 2

0y(2)dy

4=y2|204

=4

4= 1

En terminos de x

y =Mx

A=

∫RydA

4=

∫ 2

0

(2 + 0

0

)2dx

4=

2x|204

=4

4= 1

comprobamos que el centroide es (1, 1)

2

0.2. teorema de Papus

El volumen V , de un solido de revolucion generado mediante la rotacion de un area planaalrededor de un eje externo, es igual al producto del area, A, por la distancia, d recorridapor su centroide en una rotacion completa alrededor del eje.

VR = 2πdA

Donde:d: Distancia ade la recta de giro al centro de masa o centroide de la region.A: Area de la region a rotar.

Ejemplo:Hallar el volumen del solido de revolucion generado al rotar la region limitada por (x−5)2 +y2 = 16 al rededor de:a) eje yb) la recta x = −2

alrededor del eje y:

En primer lugar calculamos el area de la figura, en este caso un a circuferencia de radio4. y luego obtenemos las cordenadas del centride:

A = 16πx = 5y = 0

Ademas observamos que la distancia a la recta de giro es 5.Aplicamos la Pappus:

Vy = (2π)(5)(16π) = 160π2u2

3

Al rededor de la recta x = −2

calculamos la distancia del centroide a la recta de giro y luego aplicamos Pappus:

Vy = (2π)7(16π) = 224π2u2

Universidad de La Frontera Agosto - Diciembre 2010Autores: Nicolas Carrasco - Francisco Lopez - Francisco Llanquipichun

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