Suma de Riemann

0.1. Particion

En un intervalo continuo [a, b], definimos como particion a una secuencia finita de numerosreales de la forma:

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b

o agrupados como conjunto de la forma:

P = {x0, x1, x2, ..., xn}

Por ejemplo: sea [1, 5] un intervalo continuo y el tamano de la particion ∆xi = 1 obtenemosel siguiente conjunto:

P = {1, 2, 3, 4, 5}

1

0.2. Suma de Riemann

Sabiendo que una sumatoria es una suma de terminos, de la forma:

n∑i=1

ai = a1 + a2 + a3 + ... + an

Podemos indicar algunas propiedades de las sumatorias:

1.n∑

i=1

i = 1 + 2 + 3 + ... + n =n(n + 1)

2

2.n∑

i=1

i2 = 12 + 22 + 32 + ... + n2 =n(n + 1)(2n + 1)

6

3.n∑

i=1

i3 = 13 + 23 + 33 + ... + n3 =n2(n + 1)2

4

4.n∑

i=1

C = C ∗ n (C es Constante)

Tomando una constante c, podemos definir otras:

5.n∑

i=1

cai = cn∑

i=1

ai

6.n∑

i=1

(ai + bi) =n∑

i=1

ai +n∑

i=1

bi

7.n∑

i=1

(ai+1 − ai) = an+1 − a1

La suma de Riemann geometricamente corresponde, a la suma de areas de rectangulos ubi-cados bajo funcion. Este metodo es empleado para el calculo aproximado del area total bajola grafica de una curva.Sea [a, b] un intervalo continuo y P un conjunto de puntos de la forma P = {x0, x1, x2, ..., xn}tal que P ∈ [a, b], entonces la suma de Riemann de la funcion f acotada en el intervalo sedefine como:

S =n∑

i=1

f(yi)(xi − xi−1)

podemos encontrar dos variantes a la definicion:

Suma superior: yi es el supremo en el intervalo {xi − xi−1}

Suma inferior: yi es el ınfimo en el intervalo {xi − xi−1}

2

Ejemplo:calculemos la suma de Riemmann de f(x) = x + 2 acotada en el intervalo [1, 3] para unaparticion P = {1, 11

2, 2, 21

2, 3}.

Calculamos el tamano de cada particion, para obtener la base de cada rectangulo:

∆xi = pi+1 − pi

∆x1 = 112− 1 = 1

2∆x2 = 2− 11

2= 1

2

∆x3 = 212− 2 = 1

2∆x4 = 3− 21

2= 1

2

Calculemos la altura de cada rectangulo evaluando las particiones en f(x):f(1) = 3

f(1) = 3 f(112) = 7

2

f(2) = 4 f(212) = 9

2

Expresemos ahora la suma:

A =4∑

i=1

f(y1)∆x1 = [1

2· 3] + [

1

2· 7

2] + [

1

2· 4] + [

1

2· 9

2] =

15

2u2

Area exacta: 8u2

Universidad de La Frontera Agosto - Diciembre 2010Autores: Nicolas Carrasco - Francisco Lopez - Francisco Llanquipichun

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