capitulo iii ifu

8/17/2019 Capitulo III IFU

1/85

Caṕıtulo III

Movimiento en una DimensiónIntroducción a la F́ısica Universitaria (IFU)

Prof. Javier Gutiérrez González

Departamento de F́ısicae-mail:[email protected]

Prof. Javier Gutiérrez ([email protected]) Caṕıtulo III-IFU

http://goforward/http://find/http://goback/


2/85

Contenidos

1 Introducción

2 Posición, velocidad y rapidez

3

Velocidad instant´anea y rapidez

4 Aceleración

5 Diagramas de movimiento

6 Movimiento en una dimensión con aceleración constante

7 Objetos cayendo libremente

8 Ejercicios


http://find/


3/85

1. IntroducciónLa mecánica, como parte de la f́ısica, estudia la relación entre fuerza, materia ymovimiento. La parte de la mecánica que describe el movimiento de un objetoen términos del espacio y el tiempo, ignorando los agentes que lo causaron, sedenomina Cinemática.

En este caṕıtulo consideraremos sólo el movimiento en una dimensión: Movimientoa lo largo de una ĺınea recta, o movimiento-1D.


http://find/http://goback/


4/85

1. IntroducciónLa mecánica, como parte de la f́ısica, estudia la relación entre fuerza, materia ymovimiento. La parte de la mecánica que describe el movimiento de un objetoen términos del espacio y el tiempo, ignorando los agentes que lo causaron, sedenomina Cinemática.

En este caṕıtulo consideraremos sólo el movimiento en una dimensión: Movimientoa lo largo de una ĺınea recta, o movimiento-1D.

Comenzaremos definiendo la posición, la velocidad y la aceleración: Esos concep-

tos serán aplicados en el estudio de objetos que se mueven en una dimensión conaceleración constante.


http://find/


5/85

En f́ısica el movimiento puede ser de tres tipos:

Traslacional: Un automóvil moviéndose en una carretera.

Rotacional: La rotación de la tierra entorno de su eje.

Vibracional: El movimiento de un péndulo.

Éste y el próximo caṕıtulo serán dedicados al movimiento traslacional.




6/85

En f́ısica el movimiento puede ser de tres tipos:

Traslacional: Un automóvil moviéndose en una carretera.

Rotacional: La rotación de la tierra entorno de su eje.

Vibracional: El movimiento de un péndulo.

Éste y el próximo caṕıtulo serán dedicados al movimiento traslacional.

Usaremos el modelo de part́ıcula, en el cual el objeto en movimiento es descritocomo una part́ıcula independiente de su masa. En general, una part́ıcula es un

objeto puntual, esto es, un objeto con masa pero de tamaño infinitesimal-mente pequeño.




7/85

2. Posición, velocidad y rapidezEl movimiento de una part́ıcula se conoce completamente si su posición en elespacio es conocida en todos los tiempos.

La posición de una part́ıcula es la ubicación de la part́ıcula con respecto a unpunto de referencia que consideraremos el origen del sistema de coordenadas.


http://find/


8/85

2. Posición, velocidad y rapidezEl movimiento de una part́ıcula se conoce completamente si su posición en elespacio es conocida en todos los tiempos.

La posición de una part́ıcula es la ubicación de la part́ıcula con respecto a unpunto de referencia que consideraremos el origen del sistema de coordenadas.

Figura 1(a). Un carro moviéndose hacia adelante y atrás a lo largo de una ĺınea recta tomada como el eje x.

En la Fig.1(a), la dirección de movimiento del carro es el eje x.

Al iniciar la toma de datos de la posición del auto, éste se encuentra a 30 m a laderecha del letrero (origen de la coordenada x) en la carretera.


http://find/


9/85

El letrero en la carretera indica el punto de referencia x = 0. Usaremos el modelode part́ıcula identificando algún punto sobre el automóvil (digamos una de laspuertas delanteras).




10/85


Comenzamos a cronometrar y cada 10 segundos anotamos la posición del au-tomóvil relativa al letrero en x = 0.

Cuadro 1. Posición del automóvil en función del tiempo

Posición t (s) x (m)A 0 30

B 10 52

C 20 38

D 30 0

E 40 -37

F 50 -53


http://find/


11/85





B 10 52

C 20 38

D 30 0

E 40 -37

F 50 -53

Como mostrado en la tabla de valores, el automóvil se mueve hacia la derecha(definida como la dirección positiva) durante los 10 primeros segundos, desde laposición A a la posición B .




12/85





B 10 52

C 20 38

D 30 0

E 40 -37

F 50 -53

Como mostrado en la tabla de valores, el automóvil se mueve hacia la derecha(definida como la dirección positiva) durante los 10 primeros segundos, desde laposición A a la posición B .

Después de B , los valores de la posición disminuyen, sugiriendo que el automóvilse mueve hacia atrás desde la posición B a la F .




13/85

Una representación gráfica de los datos informados en el Cuadro 1 es presentadaen la Fig. 1(b). Gráfico posición-tiempo, o gráfico x v/s t, o gráfico x(t).

Figura 1(b). Gráfico posición-tiempo para el movimiento de la “part́ıcula”.


http://find/


14/85

Una representación gráfica de los datos informados en el Cuadro 1 es presentadaen la Fig. 1(b). Gráfico posición-tiempo, o gráfico x v/s t, o gráfico x(t).

Figura 1(b). Gráfico posición-tiempo para el movimiento de la “part́ıcula”.

El desplazamiento (∆x) de una part́ıcula se define como su cambio de posiciónen un dado intervalo de tiempo (∆t).

Para un movimiento desde la posición inicial xi hasta la posición final xf , eldesplazamiento de la part́ıcula es

∆x

≡xf

−xi, ∆ denota un cambio en una cantidad. (1)




15/85

De la Ec.(1) se puede ver que: ∆x > 0 (positivo), si xf > xi y ∆x


16/85

De la Ec.(1) se puede ver que: ∆x > 0 (positivo), si xf > xi y ∆x


17/85

De la Ec.(1) se puede ver que: ∆x > 0 (positivo), si xf > xi y ∆x 0.

Cualquier objeto moviéndose siempre hacia la izquierda sufre undesplazamiento negativo; ∆x


18/85

De la Ec.(1) se puede ver que: ∆x > 0 (positivo), si xf > xi y ∆x 0.

Cualquier objeto moviéndose siempre hacia la izquierda sufre undesplazamiento negativo; ∆x


19/85

Si la curva representa el movimiento real del automóvil, la gráfica contiene infor-mación acerca del intervalo total de 50 segundos del movimiento. Por ejemplo:

El carro cubrió una mayor distancia en la mitad del ı́ntervalo de 50

segundos que al final del éste: Entre C y D el carro viajó casi 40 m en 10s, mientras que entre E y F sólo viajó menos de la mitad del tramo entreC y D .


http://find/


20/85

Si la curva representa el movimiento real del automóvil, la gráfica contiene infor-mación acerca del intervalo total de 50 segundos del movimiento. Por ejemplo:

El carro cubrió una mayor distancia en la mitad del ı́ntervalo de 50

segundos que al final del éste: Entre C y D el carro viajó casi 40 m en 10s, mientras que entre E y F sólo viajó menos de la mitad del tramo entreC y D .

La velocidad media vx (o velocidad promedio) de una part́ıcula se define comoel desplazamiento de la part́ıcula ∆x dividido por el intervalo de tiempo ∆t

durante el cual ocurre el desplazamiento:

vx ≡ ∆x

∆t =

xf − xitf − ti

, (2)

donde el sub́ındice x indica movimiento a lo largo del eje x. Las dimensiones dela velocidad media son longitud dividido por tiempo L1M0/T1 y las unidades SI

son metros por segundo (m/s).

En un movimiento en una dimensión vx puede ser positivo o negativo, dependiendodel signo del desplazamiento (El intervalo de tiempo ∆t es siempre positivo).

Si la coordenada de la part́ıcula aumenta (esto es xf > xi), entonces∆x > 0 y vx > 0 (movimiento hacia la derecha: a mayores valores de x).


http://find/


21/85

Si la coordenda de la part́ıcula disminuye (esto es, xf < xi), entonces∆x


22/85



23/85



24/85

La rapidez media de una part́ıcula, una cantidad escalar, se define como la dis-tancia total recorrida dividida por el intervalo total de tiempo requerido pararecorrerla:

rapidez media = distancia total

tiempo total = d

∆t . (3)

Al igual que la velocidad, las unidades SI de la rapidez media son metro porsegundo (m/s): como no tiene dirección no posee signo algebraico.


http://find/


25/85


rapidez media =

distancia total

tiempo total =

d

∆t . (3)


El conocimiento de la velocidad media o de la rapidez media de la part́ıcula noentrega información acerca de los detalles del movmiento.

Por ejemplo, suponga que le lleva 45 s viajar 100 m en ĺınea recta hacia el portónde embarque en un aeropuerto. En la marca de los 100m, tiene ganas de ir albaño, y retrocede 25 m a lo largo de la misma ĺınea recta, haciendo ese recorridoen 10 s. La magnitud de la velocidad media para ese viaje es:

v = +75m

−0m

55 s− 0 s = +

75 m

55 s = +1.4

m

s .


http://find/


26/85


rapidez media =

distancia total

tiempo total =

d

∆t . (3)


El conocimiento de la velocidad media o de la rapidez media de la part́ıcula noentrega información acerca de los detalles del movmiento.

Por ejemplo, suponga que le lleva 45 s viajar 100 m en ĺınea recta hacia el portónde embarque en un aeropuerto. En la marca de los 100m, tiene ganas de ir albaño, y retrocede 25 m a lo largo de la misma ĺınea recta, haciendo ese recorridoen 10 s. La magnitud de la velocidad media para ese viaje es:

v = +75m

−0m

55 s− 0 s = +

75 m

55 s = +1.4

m

s .

La rapidez media para ese viaje es:

rapidez media = 100 m + 25m

55 s− 0 s = 125m

55 s = 2.3

m

s .




27/85

Ejemplo 1. Cálculo de la velocidad y la rapidez media

Encuentre el desplazamiento, la velocidad media y la rapidez media del automóvilde la Fig. 1(b) entre las posiciones A y F .

Cuadro 1. Posición del automóvil enfunción del tiempo


B 10 52

C 20 38

D 30 0

E 40 -37

F 50 -53 Figura 1(b). Gráfico posicíon-tiempo para elmovimiento de la “part́ıcula”.


http://find/


28/85

Solución. Del gráfico de la Fig 1(b) y del Cuadro 1 se tiene que xA = 30m y

tA = 0 s; xF = −53 m y tF = 50 s. Usando la Ec.(1), encontramos:∆xA→F = xF − xA = −53 m− 30 m = −83 m, ∆xA→F = (−83m)̂i.

o sea, el automóvil se ancuentra a 83 m a la izquierda del la posición xA.


http://find/


29/85

Solución. Del gráfico de la Fig 1(b) y del Cuadro 1 se tiene que xA = 30m y

tA = 0 s; xF = −53 m y tF = 50 s. Usando la Ec.(1), encontramos:∆xA→F = xF − xA = −53 m− 30 m = −83 m, ∆xA→F = (−83m)̂i.

o sea, el automóvil se ancuentra a 83 m a la izquierda del la posición xA.

Ahora, con ∆tA→F = tF − tA = 50 s, usando la Ec.(2) se encuentra:

vxA→F = ∆xA→F

∆tA→F= −83 m

50 s = −1.7 m

s .

vxA→F = −1.7 m

s î


http://find/


30/85

Asumiendo que los detalles de la posición del automóvil están descritos por la curva

de la Fig. 2(b), encontramos que la distancia total recorrida por el automóvil es:la distancias desde la posición A a B más la distancia B a F .

La distancia total recorrida es realizada en el tiempo total: El tiempo para ir desdeA a B más el tiempo para ir desde B a F .

De lo anterior, usando la Ec.(3), encontramos:

rapidez media = distancia total

tiempo total =

22 m + 105 m

50 s

= 127m

50 s

= 2.5 m

s


http://find/


31/85

3. Velocidad instantánea y rapidez

Con frecuencia es necesario conocer la velocidad de una part́ıcula en un instante

espećıfico en el tiempo en lugar de la velocidad promedio durante un intervalo detiempo finito.


http://find/


32/85

3. Velocidad instantánea y rapidez

Con frecuencia es necesario conocer la velocidad de una part́ıcula en un instante

espećıfico en el tiempo en lugar de la velocidad promedio durante un intervalo detiempo finito.

Figura 2. (a) Gráfico posición-tiempo para el movimiento de la “part́ıcula” de la Fig. 1(b). (b) Aumento del ladoizquierdo mostrando como las ĺıneas azules entre A y B se aproximan de la ĺınea tangente verde amedida que laposición B se aproxima a A.

A medida que la posición B se mueve hacia la posición A , las ĺıneas azules seaproximan a la recta tangente a la curva de color verde.


http://find/


33/85

La pendiente de la ĺınea de color verde en la posición A representa la velocidaddel automóvil en ese punto.

La velocidad instantánea vx es igual al valor ĺımite de la razón ∆x/∆t a

medida que ∆t se aproxima a cero:

vx ≡ lim∆t→0

∆x

∆t . (4)

En la notación del cálculo, este ĺımite es llamado la derivada de x con respecto at, escrita como dx/dt;

vx ≡ lim∆t→0

∆x

∆t =

dx

dt . (5)


http://find/


34/85

La pendiente de la ĺınea de color verde en la posición A representa la velocidaddel automóvil en ese punto.

La velocidad instantánea vx es igual al valor ĺımite de la razón ∆x/∆t a

medida que ∆t se aproxima a cero:

vx ≡ lim∆t→0

∆x

∆t . (4)

En la notación del cálculo, este ĺımite es llamado la derivada de x con respecto at, escrita como dx/dt;

vx ≡ lim∆t→0

∆x

∆t =

dx

dt . (5)

La velocidad instantánea puede ser positiva, negativa o cero.

Positiva cuando la pendiente del gráfico posición-tiempo es positiva(cualquier instante dentro de los primeros 10 s de la Fig. 2.a), vx > 0: El

automóvil se mueve hacia valores de x mayores.

Negativa cuando la pendiente del gráfico posición-tiempo es negativa(después de la posición B ), el automóvil se mueve hacia valores menoresde x, vx


35/85

Cero cuando la pendiente de la curva y la velocidad instant́anea delautomóvil son cero (en la posición B ), lo que implica que el automóvilestá en reposo momentáneo.

Desde ahora en adelante usaremos la palabra velocidad para referirnos a la ve-locidad instantánea.


http://find/


36/85

Cero cuando la pendiente de la curva y la velocidad instant́anea delautomóvil son cero (en la posición B ), lo que implica que el automóvilestá en reposo momentáneo.

Desde ahora en adelante usaremos la palabra velocidad para referirnos a la ve-locidad instantánea.

Para aclarar, velocidades del movimiento de una part́ıcula en forma gráfica:

Figura 2.1. Uso de una gráfica x-t al ir de a), b) velocidad media a c) velocidad instant́anea vx

. En c) obtenemos lapendiente de la tangente a la curva x-t dividiendo cualquier intervalo vertical (con unidades de distancia) a lo largo

de la tangente entre el intervalo horizontal correspondiente (con unidades de tiempo).


http://find/


37/85

La rapidez instantánea de una part́ıcula se define como la magnitud de su ve-locidad instantánea. Por ejemplo, si una part́ıcula tiene una velocidad instantáneade +25m/s a lo largo de una dada ĺınea y otra part́ıcula tiene una velocidad in-stantánea de −25 m/s a lo largo de la misma ĺınea, ambas part́ıculas tienen unarapidez de 25 m/s.Aśı como para el caso de la velocidad, referiremos simplemente rapidez de unapart́ıcula a la rapidez instantánea.




38/85

Ejemplo 2. La velocidad de diferentes objetos

Considere los siguientes movimientos en una dimensión:

(A) Una bola lanzada directamente hacia arriba alcanza su máxima posición ycae hasta llegar a su mano.

(B) Un automóvil de carrera parte desde el reposo y aumenta su rapidez hasta100m/s.

(C) Una nave espacial se mueve en el espacio con velocidad constante.

¿Existe(n) cualquier punto(s) en el movimiento de esos objetos en la cual la ve-locidad instantánea tenga el mismo valor que la velocidad media a lo largo de todoel movimiento? Si la respuesta es śı, identifique el(los) punto(puntos)




39/85

Ejemplo 2. La velocidad de diferentes objetos

Considere los siguientes movimientos en una dimensión:

(A) Una bola lanzada directamente hacia arriba alcanza su máxima posición ycae hasta llegar a su mano.

(B) Un automóvil de carrera parte desde el reposo y aumenta su rapidez hasta100m/s.

(C) Una nave espacial se mueve en el espacio con velocidad constante.

¿Existe(n) cualquier punto(s) en el movimiento de esos objetos en la cual la ve-locidad instantánea tenga el mismo valor que la velocidad media a lo largo de todoel movimiento? Si la respuesta es śı, identifique el(los) punto(puntos) Solución.

Para responder esas preguntas recuerde que la velocidad media de una part́ıculaen un movimiento unidimensional se define como ∆x (desplazamiento) divididopor el intervalo de tiempo (∆t) en el que ocurre ese desplazamiento. Por su partela velocidad instantánea es el ĺımite de la velocidad media cuando el intervalo detiempo se hace infinitesimalmente pequeño ∆t → 0.




40/85

(A) Identifiquemos el movimiento hacia arriba con el eje y positiv, y hacia abajo

con el eje y negativo. En este caso ∆y = 0 (el desplazamiento es cero yaque la bola sale de la mano y luego vuelve a la mano) de modo que vy = 0.En el punto más alto del movimiento de la bola la velocidad instantánevy = 0 (la bola está momentáneamente en reposo y comienza a caer).




41/85



(B) La velocidad media del automóvil no puede ser determinada con precisión

desde la información dada, pero puede estar entre 0 y 100m/s. Dado que elautomóvil puede tener cualquier velocidad entre 0 y 100 m/s en algúnmomento durante el intervalo, debe haber algún instante en el cual lavelocidad instantánea sea igual a la velocidad media del automóvil.


http://find/


42/85



(B) La velocidad media del automóvil no puede ser determinada con precisión

desde la información dada, pero puede estar entre 0 y 100m/s. Dado que elautomóvil puede tener cualquier velocidad entre 0 y 100 m/s en algúnmomento durante el intervalo, debe haber algún instante en el cual lavelocidad instantánea sea igual a la velocidad media del automóvil.

(C) Dado que la velocidad instantánea de la nave espacial es constante, suvelocidad instantánea en cualquier instante y su velocidad media sobre

cualquier intervalo de tiempo son la misma.


http://find/


43/85

Ejemplo 3. Velocidad instantánea y velocidad media

Una part́ıcula se mueve a lo largo del ejex. Su posición vaŕıa con el tiempo deacuerdo a la expresión

x(t) = −

4 m

s

t +

2

m

s2

t2,

donde x es medido en metros y t, en se-gundos. El gráfico posición-tiempo paraese movimiento es mostrado en la Fig. 3.Note que la part́ıcula se mueve en la di-rección x negativa para el primer segundodel movimiento, está momentáneamente

en reposo en el instante t = 1 s y semueve en la dirección positiva del eje xpara tiempos mayores t > 1 s.

Figura 3. Gráfico posición-tiempo para elmovimiento de la part́ıcula del Ejemplo 3.


http://find/


44/85

(a) Determine el desplazamiento de la part́ıcula en los intervalos de tiempot = 0 a t = 1 s y t = 1 s a t = 3 s.

(b) Calcule la velocidad media durante esos dos intervalos de tiempo.

(c) Encuentre la velocidad instantánea de la part́ıcula en t = 2.5 s.

Solución(a) En el punto de partida A : ti = tA = 0 s y

xi = xA = −4 m

s

(0) +

2

m

s2

(0)

2

= 0 m.

En el punto B : tf = tB = 1 s y

xf = xB = −

4 m

s

(1 s) +

2

m

s2

(1s)2 = (−4 + 2) m = −2 m.

En ese intervalo el desplazamiento de la part́ıcula ∆xA→B es:

∆xA→B = xf − xi = xB − xA = −2 m− 0 m = −2 m.




45/85

En el punto D , tf = tD = 3 s y

xf = xD = −4 ms (3 s) + 2 ms2 (3s)2 = (−4 + 2) m = 6 m.En ese intervalo el desplazamiento de la part́ıcula ∆xB→D es:

∆xB→D = xf − xi = xD − xB = 6 m− (−2 m) = 8m.

(b) La velocidad media para el intervalo A a B , con ∆tA→B = 1 s es:

vA→B = ∆xA→B

∆tA→B= −2 m

1s = −2 m

s .

La velocidad media para el intervalo B a D es, con ∆tB→D = 2 s:

vB→D = ∆xB→D∆tB→D

= 8 m2s

= 4 ms

.


(c) Dado que las constante de la expresión para x(t) son las apropiadas manten

http://find/


46/85

(c) Dado que las constante de la expresion para x(t) son las apropiadas, manten-dremos sólo los valores numéricos de ellas en el análisis que se sigue. En cualquierinstante de tiempo t la posición de la part́ıcula es dada por:

x(t) = −4t + 2t2,Un instante de tiempo posterior t + ∆t, la posición de la part́ıcula es dada por:

x(t + ∆t) = −4(t + ∆t) + 2(t + ∆t)2

=

−4t

−4∆t + 2t2 + 4t∆t + 2(∆t)2

El desplazamiento entre esos dos puntos es

∆x = x(t + ∆t)− x(t) = −4t− 4∆t + 2t2 + 4t∆t + 2(∆t)2 − [−4t + 2t2]= (−4 + 4t)∆t + 2(∆t)2

La velocidad media para ese intervalo es, con ∆t = (t + ∆t)− t:

vx = (−4 + 4t)∆t + 2(∆t)2

∆t = (−4 + 4t) + 2∆t.


http://find/


47/85

Usando la definición de velocidad instantánea, es decir, haciendo ∆t → 0, encon-tramos la siguiente expresión para la velocidad de la part́ıcula en cualquier instantede tiempo t:

vx(t) = lim∆t→

vx = −4 + 4t.En particular, en t = 2.5 s, la velocidad instantánea es

vx(2.5 s) = −4 + 4(2.5 s) = 6.0 m

s .


4. Aceleración

http://find/


48/85

4. Aceleracion

En nuestro d́ıa a d́ıa lidiamos con movimientos en los cuales la velocidad de unapart́ıcula cambia a medida que se mueve.

Cuando la velocidad de una part́ıcula cambia con el tiempo, se dice que la part́ıculaestá acelerando. Por ejemplo, la velocidad de un automóvil aumenta cuando partey diminuye cuando se aplican los frenos.

Suponga que una part́ıcula se mueve a lo largo de una ĺınea recta (digamos eleje x) y tiene una velocidad inicial vxi en el instante ti en la posición A y una

velocidad final vxf en el instante tf en la posición B [ver Fig. 4]

Figura 4. (a) Movimiento de un automóvil con velocidad cambiante y gráfico velocidad-tiempo para el movimientodel automóvil.


http://find/


49/85

La aceleración media ax de la part́ıcula se define como el cambio de la ve-locidad ∆vx dividida por el intervalo de tiempo ∆t durante el cual ocurre esecambio:

ax ≡ ∆vx∆t = vxf − vxi

tf − ti. (6)

En un movimiento unidimensional, signos positivos y negativos indican el sentidode la aceleración.

Las dimensiones de la aceleración son [a] = L1

M0

T−2

.

Las unidades SI de la aceleración son metros por segundo cuadrado (m/s2).

Un carro que se mueve con una aceleración de +2 m/s2 significa que muda suvelocidad en 2 m/s en cada segundo.

Al igual que el desplazamiento y la velocidad, la aceleración es una cantidadvectorial: Tiene magnitud, dirección y sentido.


Con base en la Fig. 4(a). Suponga que la posición de la part́ıcula B se aproxima´ ´ l i í A t l i t l d ti h d ´

http://find/


50/85

más y más a la posicíon A , esto es, el intervalo de tiempo se hace cada vez máspequeño; ∆t → 0.Se define la aceleración instantánea ax como el ĺımite de la razón ∆vx/∆t

cuando ∆t → 0:ax = lim

∆t→0

∆vx∆t

= dvx

dt . (7)

La aceleración instantánea es igual a la derivada de la velocidad con respectoal tiempo la cual, por definición, es la pendiente del gráfico velocidad-tiempo.

La pendiente de la ĺınea verde en la Fig. 4 es igual a la aceleración instantáneaen el punto B .

Aśı como la velocidad de una part́ıcula en movimiento en un dado punto es lapendiente de la curva en ese punto en el gráfico x−t, la aceleración de la part́ıculaen un dado punto es igual a la pendiente del gráfico vx − t en ese punto.Si ax > 0, la aceleración es en la dirección positiva del eje x; si ax < 0, la

aceleración es en la dirección negativa del eje x.

En un movimiento unidimensional:

Cuando la velocidad y la aceleración de un objeto están en la misma dirección,el objeto está acelerando. Por otro lado, cuando la dirección de la velocidad yde la aceleración están en direcciones opuestas, el objeto está desacelerando.


Desde ahora en adelante usaremos simplemente aceleración para aceleración in



51/85

Desde ahora en adelante usaremos simplemente aceleracion para aceleraci on in-stantánea.

Dado que vx = dx/dt, la aceleración puede ser escrita como:

ax = dvx

dt =

d

dt

dx

dt

=

d2x

dt2 : (8)

En un movimiento unidimensional, la aceleración es igual a la segunda derivadade x con respecto al tiempo.

Figura 5. La aceleración instantánea se puede obtener de un gráfico de velocidad-tiempo (a). En cada instante, laaceleración a

x en un gráfico aceleración-tiempo (b) iguala a la pendiente de la ĺınea tangente a la curva v

x versus t

(a).


http://find/


52/85

Conforme la Fig. 5:

(a) En cualquier instante de tiempo la aceleración es la pendiente del gráficovelocidad-tiempo en ese instante.

(b) Valores positivos de aceleración (ax > 0) corresponden a esos puntos de laFig. 5(a) donde la velocidad está aumentando en la dirección positiva de x.

(c) La aceleración alcanza su máximo valor en el instante tA, donde la pendiente

del gráfico velocidad-tiempo es máxima.(d) Luego, la aceleración tiene un valor cero (ax = 0) en tB, donde la velocidad

es máximas, esto es, cuando la pendiente del gráfico velocidad-tiempo escero.

(e) La aceleración es negativa (ax


53/85

La posición de un objeto que se mueve a lo largo del eje x vaŕıa con el tiemposegún la Fig. 6(a). Grafique la velocidad versus tiempo y la aceleración versustiempo para el objeto.

Entre tO y tA, la pendiente del gráficox − t aumenta uniformemente: La ve-locidad aumenta linealmente.Entre tA y tB la pendiente del gráfico x−tes constante: La velocidad permanececonstante,

En tD la pendiente del gráfico x − t escero: La velocidad es cero en ese in-stante.Entre tD y tE la pendiente del gráficox − t es negativa: La velocidad es neg-ativa y disminuye uniformemente en eseintervalo.Entre tE y tF sigue siendo negativa y entF es cero. Finalmente, después de tF lapendiente del gráfico x − t es cero: Elcuerpo queda en reposo.

Figura 6. (a) Gráficos x− t, (b) vx− t y (c)

ax− t para el Ejemplo 4


http://find/


54/85

Entre t0 y tA la pendiente del gráfico vx−

t es positiva y constante: La aceleración

es positiva y constante en ese intervalo.

Entre tA y tB la pendiente del gráfico vx − t es cero: La acelaración es cero.Entre tB y tE la pendiente del gráfico vx−t es negativa y constante: La aceleraciónes negativa y constante en ese intervalo.

Entre tE y tF la pendiente del gráfico vx−t es positiva y constante: La aceleraciónes positiva y constante en ese intervalo.

Depués de tF la pendiente del gráfico vx − t es cero: La aceleración es cero.Note los quiebres abruptos de la curva en el gráfico aceleración-tiempo: Esosquiebres no son reales. Esos cambios instantáneos no ocurren en la realidad.


Ejemplo 5. Aceleracíon media en instantánea

L l id d d ´ l l l d l di i´ ´

http://find/


55/85

La velocidad de una part́ıcula que se mueve a lo largo de la dirección x vaŕıa enel tiempo de acuerdo a la expresión

vx(t) = 40 m

s −

5 m

s3

t2

,

donde t es en segundos.

(a) Encuentre la aceleración media en el intervalo de tiempo t = 0 a t = 2.0 s.

(b) Determine la aceleración en t = 2.0 s.

Solución

(a) Hagamos:

ti = tA = 0; vxi = vxA = 40 m

s −

5

m

s3

(0)2 = 40

m

s

tf = tB = 2.0 s; vxf = vxB = 40

m

s − 5 ms3 (2.0 s)2 = 20 msDe las cuales se tiene

∆tA→B = 2.0 s, ∆vxA→B = vxB − vxA = (20− 40) m

s = −20 m

s .


La aceleración media en ese intervalo es:

http://find/


56/85

La aceleracion media en ese intervalo es:

ax = ∆vxA→B

∆tA→B= −20 m/s

2.0 s = −10 m

s2.

(b) La velocidad en cualquier instante de tiempo t es:

vxi(t) = 40 m

s −

5

m

s3

t

La velocidad en cualquier instante de tiempo posterior t + ∆t es:

vxf (t + ∆t) = 40 m

s −

5

m

s3

(t + ∆t)2 =

= 40 m

s −

5

m

s3

t2 −

10

m

s3

t ∆t−

5

m

s3

∆t2

De modo tal que:

∆vx = vxf − vxi = −

10 m

s3

t ∆t−

5

m

s3

∆t2


Dividiendo por ∆t la última expresión y ha-ciendo ∆t → 0 se obtiene una expresión

http://find/


57/85

ppara la aceleración en cualquier instante detiempo, esto es:

ax = −

10 ms3

t

En el caso particular en t = 2.0 s

ax = −10

m

s3(2.0 s) = −20 m

s2.

Como en t = 2.0 s, vx > 0 y ax < 0, lapart́ıcula está desacelerando.

Note que la aceleración media es la pendientede la ĺınea azul que conecta los puntos A yB .

La aceleración instantánea es la pendiente dela ĺınea verde tangente a la curva vx − t enel punto B .

La aceleración no es constante en este ejem-plo.

Figura 7. Gráficos vx− t para el Ejemplo 5.


5. Diagramas de movimiento

http://find/


58/85

Los conceptos de velocidad y aceleración son comúnmente confundidos.

A modo de instrucción se usan diagramas de movimiento para describir la velocidad

y la aceleración de un objeto en movimiento.

Figura 8. Diagrama de movimiento para: (a) Un automóvil moviéndose con velocidad constante (aceleración cero);(b) Un automóvil con aceleración constante en la dirección de su velocidad, (c) Un automóvil moviéndose con

aceleración constante en el sentido opuesto al de su velocidad.


La Fig.8 muestra fotograf́ıas estrobosc´ opicas de un auto em movimiento (la luzdel estroboscopio emite flashes a una tasa constante). En cada caso el auto se

http://find/


59/85

del estroboscopio emite flashes a una tasa constante). En cada caso el auto semueve en ĺınea recta de izquierda a derecha. El vector rojo describe la velocidady el vector violeta, la aceleración.

Figura 8(a): Las imágenes están igualmente espaciadas: El auto tiene elmismo desplazamiento para intervalos de tiempo iguales.Consistente con un automóvil moviéndose a velocidadconstante y positiva y aceleración cero.

Figura 8(b): A medida que el tiempo avanza las imágenes se separan cada

vez más. Los vectores velocidad aumentan debido a que losdesplazamientos del auto aumentan entre puntos adyacentes amedida que el tiempo avanza. El auto se mueve con velocidadpositiva y aceleración positiva. La velocidad y la aceleraciónestán en el mismo sentido.

Figura 8(c): A medida que el tiempo avanza las imágenes se acercan más y

más. Los vectores velocidad disminuyen debido a que losdesplazamientos del auto disminuyen entre puntos adyacentes amedida que el tiempo avanza, pudiendo hacerse cero. El auto semueve hacia la derecha con una aceleración constante negativa.La velocidad y la aceleración están en sentidos opuestos.


6. Movimiento en una dimensión con´

http://find/


60/85

aceleración constante

Movimientos con aceleración variable en el tiempo, pueden ser complejos y dif́ıcilesde analizar.

Un tipo de movimiento común y simple en una dimensión es aquel en el cual laaceleración es constante. En ese caso ax es numéricamente igual a ax en cualquierinstante del intervalo de tiempo: La velocidad muda a la misma tasa a través delmovimiento.

Figura 9. Part́ıcula moviéndose a lo largo del eje x con aceleración constante. (a) Gráfico posicíon-tiempo; (b)Gráfico velocidad-tiempo; (c) Gráfico aceleración-tiempo.


Reemplacemos ax por ax en la Ec.(6) y tomemos ti = 0 y tf siendo cualquierti t t i t



61/85

tiempo t posterior, se encuentra que

ax = vxf − vxi

t− 0o, simplemente,

vxf = vxi + axt, (para ax constante) : (9)

Si se conoce la velocidad inicial vxi y la aceleración constante ax, entonces, se

puede determinar la velocidad vxf en cualquier instante de tiempo posterior t.

El gráfico velocidad-tiempo para este movimiento es una ĺınea recta [ver Fig. 9(b)],cuya pendiente (constante) es la aceleración. La pendiente positiva indica que laaceleración es positiva.

Una pendiente negativa indicaŕıa que la aceleración es negativa.

El gráfico aceleración-tiempo para este movimiento es una ĺınea recta de pendientecero [ver Fig. 9(c)].


Para movimiento con aceleración constante, la veocidad vaŕıa linealmente con eltiempo según la Ec.(9): En cualquier intervalo de tiempo la velocidad media puede

http://find/


62/85

ser expresada como el promedio aritmético entre vxi y vxf :

vx =

vxi + vxf

2 , (solo cuando ax constante) (10)

Recordando la Ec.(2)

vx = ∆x

∆t =

xf − xitf − ti

y usando la Ec.(10), se tiene

vxi + vxf 2

= xf − xi

tf − tiNotando que tf = t y ti = 0, entonces, tf − ti = t, de modo tal que

vxi + vxf 2 =

xf −

xit

permite determinar la posición de la part́ıcula en cualquier instante de tiempo t

xf = xi + 1

2 vxi + vxf

t, (para ax constante) (11)


Substituyendo la Ec (9) en la Ec (11) encontramos:

http://find/


63/85

Substituyendo la Ec.(9) en la Ec.(11), encontramos:

xf = xi + 1

2

[(vxi + (vxi + axt)] t = xi + 1

22vxit + axt2

la cual, después de cierta álgebra, no permite escribir

xf = xi + vxit + 1

2axt

2, (para ax constante) (12)

El gráfico posición-tiempo para movimiento con aceleración constante (positiva)mostrado en la Fig. 9(a) se obtiene con la Ec.(12): Note que es una parábola!

La pendiente de la ĺınea tangente a esa curva en t = 0 es igual a la velocidadinincial vxi y, la pendiente de la ĺınea tangente a esa curva en cualquier instantede tiempo t, es igual a la velocidad vxf en ese instante.

Finalmente, de la Ec.(9) podemos obtener el tiempo t

t = vxf − vxi

ax


Usando la expresión anterior para t en la Ec.(11), se encuentra

http://find/


64/85

Usa do a e p es o a te o pa a t e a c ( ), se e cue t a

xf = xi + 1

2vxi + vxf

vxf − vxi

ax

= xi + 1

2

vxivxf − v2xi + v2xf − vxivxf

ax

= xi +

v2xf − v2xi2ax

la cual reordenada, nos lleva a:

v2

xf = v2

xi + 2ax

xf − xi , (para ax constante) (13)Para un movimiento con aceleración cero, las Ecs.(9) a (11) se tornan:

vxf = vxi = vx

xf = xi + vxt

, cuando ax = 0.

Es decir, cuando la aceleración de una part́ıcula es cero, su velocidad es constantey su posición cambia linealmente con el tiempo.


Ecuaciones cinemáticas para el movimiento en una dimensión de una

http://find/


65/85

Ecuaciones cinematicas para el movimiento en una dimension de unapart́ıcula bajo aceleración constante

Ecuación Información dada por la ecuación

vxf = vxi + axt Velocidad en función del tiempo

xf = xi + 1

2 vxi + vxf t Posición en función de la velocidad y el tiempoxf = xi + vxit +

1

2axt

2 Posición en función del tiempo

v2xf = v2

xi + 2ax

xf − xi

Velocidad en función de la posición

Nota: Se ha escogido el movimiento a lo largo del eje x. Para movimiento en y oz sólo cambie la etiqueta x por la eltiqueta del eje correspondiente.


Ejemplo 6. Un aterrizaje

Un jet aterriza sobre una pista de un portaviones a 140mi/h ≈ 63 m/s.

http://find/


66/85

j p p / /

(a) ¿Cuál es la aceleración (asumida constante) si el avión se detiene en 2.0 sdebido a la acción de un cable que frena al jet y lo hace detenerse?

(b) Si el jet toca el piso en la posición xi = 0, ¿cuál es la posición final del jet?

(c) Si la pista tiene una longitud de 75 m, ¿Cuál es la máxima velocidad inicialcon la que debe llegar el jet sobre la pista para que se detenga sobre ella conla aceleración del ı́tem (a)?

Solución.

(a) Asumamos el movimiento a lo largo del eje x. Se tiene vxi = 63 m/s, vxf = 0y t = 2.0 s. Se nos pide calcular ax. Usando la Ec.(9), se tiene

ax = vxf − vxi

t =

0− 63 m/s2.0 s

=−

31 m

s2.

(b) Nos piden xf . Usando la Ec.(11) se encuentra

xf = xi + 1

2

vxi + vxf

t = 0 +

1

2

63

m

s − 0

(2.0 s) = 63 m


http://find/


67/85

(c) En este caso se tiene: xi = 0, xf = 75m, vxf = 0 y ax = −31 m/s2

. Senos piden calcular vxi. La expresíon que relaciona esas cantidades es la Ec.(13),la que podemos resolver para vxi:

vxi =

v2xf − 2ax(xf − xi) =

0− 2−31 m

s2

(75m− 0)

=

4650 ms

vxi = 68 m

s .


Ejemplo 7. Excediendo el ĺımite de velocidad

http://find/


68/85

Un automóvil viajando a velocidad constante de 45.0 m/s pasa en frente de unapatrulla de carabineros escondida detrás de un anuncio publicitario. Un segundo

después de que el automóvil pasa el anuncio publicitario, la patrulla inicia supersecusión, acelerando a una tasa de 3.00 m/s2. ¿Cuánto tiempo le toma a lapatrulla alcanzar al automóvil?

Solución

Note que se tienen dos tipos de movimiento: Uno con velocidad constante (acel-eración cero) y otro con aceleración constante.

Consideremos los movimientos a lo largo del eje x y en el sentido positivo, con laposición de la patrulla el origen del eje coordenado.

Consideremos el instante en que el automóvil pasa la patrulla el origen del tiempo.

Existen tres posiciones claves en el problema. A ; tA = 0.00 s cuando el automóvilpasa por el anuncio. B ; tB = 1.00 s cuando la patrulla inicia la persecusión. C ;tC (lo que se quiere determinar) cuando la patrulla alcanza al automóvil.


En el instante en que se inicia la persecusión, tB = 1.00 s, la posición del automóviles, con xA,Auto = 0 y vxAuto = 45.0 m/s:

http://find/


69/85

xB,Auto = xA,Auto + vxAutotB = 0 +

45.0

m

s (1.00 s) = 45.0 m.

En el instante en que la patrulla alcanza al automóvil, tC , la posición éste es:

xC,Auto = xB,Auto + vxAutotC = 45.0 m +

45.0 m

s

tC.

En ese mismo instante, la patrulla alcanzó al automóvil y su posición es

xC, Patr = xA, Patr + vxA,PatrtC + 12axPatrt2C

= 0 + 0 + 1

2

3.00

m

s2

t2C

Dado que en tC se tiene xC, Patr = xC,Auto, se obtiene la siguiente ecuacíoncuadrática en t

C:

1

2

3.00

m

s2

t2C = 45.0 m +

45.0

m

s

tC

1.50 t2C −

45.0 m

s

tC − 45.0 m = 0




70/85

Dado que las unidades son consistentes, vamos a resolver la ecuación cuadrática1.50 t2C − 45.0tC − 45.0 = 0, esto es:

tC = 1

2(1.50)

−(−45.0)±

(−45.0)2 − 4(1.50)(−45.0)

= 1

3.00 45.0±√

2295 = 1

3.00 (45.0± 47.9)

de la cual se obtienetC1 = 31.0 s, tC2 = −0.969s

Dado que el tiempo es siempre positivo, se concluye que el tiempo que demora lapatrullaa en alcanzar al automóvil es tC = 31.0 s.


7. Objetos cayendo libremente

Ejemplo más conocido de movimiento rectiĺıneo

http://find/


71/85

Ejemplo mas conocido de movimiento rectilıneocon aceleración (casi) constante.

Si se omiten los efectos del aire, todos loscuerpos- independiente de su masa y tamaño-caen con la misma aceleración.

Para distancias de caida pequeñas ( radio dela Tierra) y sin considerar efectos de la rotaciónde la Tierra: la aceleración es constante.

Con tales supuestos se usa un modelo idealizadodenominado caida libre (incluye el lanzamientovertical y el de proyectiles).

La aceleración constante es llamada aceleracióndebida a la gravedad, su magnitud es denotada

g. Cerca de la superficie de la Tierra

g = 9.80 m

s2 = 980

cm

s2 = 32.0

ft

s2.

En la Luna: gL = 1.60 m

s2: en el Sol gS = 270

m

s2

Fotografı́a de múltiples destellos de lacaida de una bola de billar.


Ejemplo 8. Moneda en caida libre

http://find/


72/85

Se deja caer una moneda de un euro desde laparte superior de la Torre de Pisa; la moneda

parte del reposo y cae libremente. Calcule laposición y la velocidad de la momenda despuésde 1.0, 2.0 y 3.0 s de soltarla.

Moneda en caida libre.Solución

Consideremos el eje y como el eje del movimiento y el punto desde donde sesuelta la moneda como el origen de coordenada. La posición de la moneda paraun instante t cualquiera, usando ay = −g y v0y = 0, es dada por

y(t) = y0 + v0yt + 1

2(ay)t

2 = 1

2 −9.8 m

s2t2 =

−4.9 m

s2 t2.

y su velocidad en esa posición es dada por

vy(t) = v0y + ayt =−9.8 m

s2

t.


Para t = 1.0 s

http://find/


73/85

y1(t) = −4.9 m

s2 (1.0 s)2 = −4.9 m

v1y(t) =−9.8 m

s2

(1.0 s) = −9.8 m

s

Para t = 2.0 s

y2(t) = −4.9 m

s2(2.0 s)2 = −19.6 m.

v2y(t) =−9.8 m

s2

(2.0 s) = −19.6 ms

Para t = 3.0 s

y3(t) =

−4.9 m

s2(3.0 s)2 = −44.1 m.

v3y(t) =−9.8 ms2 (3.0 s) = −29.4 ms


Ejemplo 9. Movimiento ascendentes y de-scendente en caida libre



74/85

scendente en caida libre

Imagine que Ud. lanza una pelota vertical-

mente hacia arriba desde la azotea de un edifi-cio. La pelota sale de la mano, en un punto ala altura de la baranda de la azotea, con rapi-dez ascendente de 15.0 m/s, quedando luegoen caida libre. Al bajar, la pelota libra apenasel barandal. Usando g = 9.80 m/s2, obtenga:

a) la posición y velocidad de la pelota en t =1.00 s y t = 4.00 s después de lanzarla;

b) la velocidad de la pelota cuando está a5.00 m sobre el barandal;

c) la altura máxima alcanzada por la pelota y

el tiempo en que se alcanza;

d) la aceleracíon de la pelota en su alturamáxima.

Posición y velocidad de una pelota lanzadaverticalmente hacia arriba.


Solución

Tome el eje y como eje del movimiento con el cero en la azotea del edificio En

http://find/


75/85

Tome el eje y como eje del movimiento con el cero en la azotea del edificio. Eneste caso y0 = 0, v0y = 15.0 m/s y ay = −9.8 m/s2. Dada la consistencia de las

unidades, colocaremos éstas sólo al final de los cálculos.a) En cualquier instante después de lanzada la posición y(t) y la velocidad vy(t)de la pelota son dadas por

y = y0 + v0yt + 1

2ayt

2 = [(15.0)t + (−4.90)t2] m

vy = v0y + ayt = [15.0 + (−9.80)t] m

s .

Para t = 1.0 s esas expresiones dan

y1(t) = 10.1 m, v1y(t) = +5.2 m

s .

Para t = 4.0 s esas expresiones dan

y4(t) = −18.4 m, v4y(t) = −24.2 m

s .


b) En este caso se tiene y = 5.00 m, y0, v0y y ay = −g y se pide vy. Usando laexpresión (13) (con x sustituido por y) la velocidad vy es dada por

http://find/


76/85

( ) ( ) y

v

2

y = v

2

0y + 2ay(y − y0) = [(15)2

+ 2(−9.80)(5.00)] m2

s2

v2y = 127 m2

s2 vy → vy =

127

m2

s2 = ±11.3 m

s

La velocidad vy = +11.3 m/s es la que lleva la pelota cuando pasa por esa posiciónen su viaje de subida y, vy =

−11.3 m/s, cuando pasa por la misma posición en

su viaje de caida.

c) Cuando la pelota alcanza la máxima altura, ymax, su velocidad es vy = 0.Podemos usar la expresión (13) con vy = 0, de la cual se obtiene

0 = v20y + 2(−g)ymax → ymax = v20y

2g

ymax = (15.0)2

2(9.80) = +11.5 m


La segunda es usar la expresión (9) para determinar el instante t en el cual vy = 0y luego substituir ese valor en la expresión (12) para determinar ymax. Esto es

0 = v0y + (−g)t → t = v0y

=

15.0

s = 1.53 s

http://find/


77/85

0 v0y + ( g)t → t g

9.80

s 1.53 s

ymax = v0yt + 1

2 (−g)t2

=

(15.0)(1.53) + 1

2 (−9.80)(1.53)2

m = +11.5 m.

d) En el punto más alto, aśı como en cualquier otro punto, la aceleración siguesiendo ay = −g = −9.8 m/s2.

Gráficos de la (izquierda) posición y (derecha) la velocidad de la pelota en función del tiempo.


http://find/


78/85

Ejercicio

Determine el instante o tiempo t para el cual la pelota del Ejemplo 9 est á5.00 m por debajo del barandal. Existen varias alternativas para determinar

ese tiempo!


8 E



79/85

8. Ejercicios

1. La posición de un carro de carrera de madera de pino fue observada en variosinstantes de tiempo; los resultados de las mediciones son mostrados en el siguienteCuadro.

Posición e instante de tiempo del carro de carrera de madera de pino.

t (s) 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

x (m) 0 2.3 9.2 20.7 36.8 57.5

Encuentre la velocidad media para el carro de carrera de madera de pino para: (a)El primer segundo de movimiento. (b) Los últimos tres segundos de movimiento.

(c) El tiempo completo de observación.


http://find/


80/85

2. La posición en función del tiempo para una cierta part́ıcula moviéndose a lolargo del eje x es mostrada en la figura adjunta.

Posición en función del tiempo para la part́ıcula del Ejercicio 2

(1) Encuentre la velocidad media para los siguientes intervalos de tiempo: (a) 0a 2 s. (b) 0 a 4 s. (c) 2 s a 4 s. (d) 4 s a 7 s. (e) 0 a 8 s

(2) Encuentre la velocidad instantánea de la part́ıcula en los siguientes instantesde tiempo: (a) t = 1.0 s. (b) t = 3.0 s. (c) t = 4.5 s. (d) t = 7.5 s


3. Una part́ıcula se mueve de acuerdo a la ecuacíon x = 10t2, donde x está en

http://find/


81/85

pmetros y t, en segundos. (a) Encuentre la velocidad media para la part́ıcula para

el intervalo 2.00 s a 3.00 s. (b) Encuentre la velocidad media para el intervalot = 2.00 s a t = 2.10 s.

4. La posición de una part́ıcula movíendose a lo largo del eje x vaŕıa con eltiempo de acuerdo a la expresión x = 3t2, donde x es en metro y t, en segundos.(a) Evalúe la posición de la part́ıcula en t = 3.00 s. (b) Evalue la posición dea part́ıcula en t = 3.00 s + ∆t. (c) Evalue el ĺımite de ∆x/∆t cuando ∆t se

aproxima a cero, para encontrar la velocidad de la part́ıcula en t = 3.00 s.

5. Una part́ıcula parte desde el reposo y acelera como mostrado en la figura anexa.Determine (a) La rapidez de la part́ıcula en t = 10.0 s y en t = 20.0 s. (b) Ladistancia viajada en los primeros 20.0 s.

Posición en función del tiempo para la part́ıcula del Ejercicio 5


6. Una super-bola viajando a 25.0m/s rebota en una pared a 22.0m/s. Una´ d lt l id d i t t Si l b l t´ t t l

http://find/


82/85

camara de alta velocidad registra ese evento. Si la bola esta en contacto con lapared por 35.0 ms, ¿cuál es la magnitud de la aceleración media de la bola durante

ese intervalo de tiempo?(Nota: 1 ms = 1× 10−3 s).7. Una gráfico de velocidad en función del tiempo para un objeto movíendosea lo largo del eje x es mostrado en la figura anexa. (a) Haga un gráfico de laaceleración del objeto en función del tiempo. (b) Determine la aceleración mediadel objeto en los intervalos de tiempo t = 5.00 s a t = 15.0 s y t = 0 a t = 20.0 s.

Velocidad en función del tiempo para la part́ıcula del Ejercicio 7

8. Una part́ıcula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo a la ecuación x(t) =2.00 + 3.00t

−1.00t2, donde x está en metros y t, en segundos. En t = 3.00 s

encuentre: (a) La posición de la part́ıcula. (b) La velocidad de la part́ıcula. (c)La aceleración de la part́ıcula.


9. En 1865 Julio Verne sugirió el envio de una persona a la Luna disparandouna cápsula espacial desde un cañon de 220m de longitud con una rapidez delanzamiento de 19.97 km/s. ¿Cuál debeŕıa haber sido la enorme aceleración (noreaĺıstica) experimentada por el viajero espacial durante el lanzamiento? Compara

http://find/


83/85

realıstica) experimentada por el viajero espacial durante el lanzamiento? Comparala respuesta encontrada con el valor de la magnitud de la aceleraci ón de gravedad

10.0 m/s2.10. Una lancha moviéndose a 30.0 m/s se aproxima a una marca de boya a 100 mal frente. El piloto frena la lancha con una aceleración constante de −3.50m/s2.(a) ¿Cuánto tiempo le toma a la lancha llegar hata la boya? (b) ¿Cuál es lavelocidad de la lancha cuando llega a la boya?

11. Una part́ıcula se mueve a lo largo del eje x. Su posición es dada por laecuación x(t) = 2 + 3t− 4t2, con x en metros y t, en segundos. Determine: (a)La posición de la part́ıcula cuando cambia de sentido. (b) Su velocidad cuandoésta retorna a la posición que teńıa en el instante t = 0.

12. En la carrera de automóviles Daytona 500, un Ford Thunderbird y un Mer-cedes Benz se mueven lado a lado en ĺınea recta a 71.5m/s. El conductor del

Thunderbird se da cuenta que debe realizar una parada, y se desacelera hasta de-tenerse en una distancia de 250 m. El pasa 5.00 s detenido y acelera, alcanzandosu velocidad previa luego de una distancia de 350m. En este punto, ¿cuán lejosestá el Thunderbird detrá del Mercedes Benz, el cual ha mantenido su rapidezconstante?


13. Un electrón en un tubo de rayos catódicos (CRT) acelera desde 2.00×104 m/sa 6.00 × 106 m/s sobre 1.50 m. (a) ¿Cuánto tiempo le toma al electrón viajaresos 1 50 m (b) ¿Cuál es su aceleración?

http://find/


84/85

esos 1.50 m. (b) ¿Cual es su aceleracion?

14. Una bola parte desde el reposo y acelera a 0.500 m/s

2

mientras se mueve haciaabajo en un plano inclinado de 9.00 m de largo. Cuando llega al piso, la bola subeotro plano, donde después de moverse 15.0m, se detiene. (a) ¿Cuál es la rapidezde la bola en el final del primer plano? (b) ¿Cuánto tiempo roda hacia abajo enel primer plano? (c) ¿Cuál es la aceleración de la bola en el segundo plano? (d)¿Cuál es la rapidez de la bola cuando ha recorrido 8.00 m en el segundo plano?

15. Una bola de golf se deja desde el reposo desde lo más álto de un edificio.Despreciando la resistencia del aire y usando g = 10.0 m/s2 Calcule (a) la posicióny (b) la velocidad de la bola después de 1.00, 2.00 y 3.00 s desde que comenzó acaer.

16. Emily desaf́ıa a su amigo David a agarrar un billete de mil pesos cuando cae.

Ella sostiene el billete verticalmente, con el centro del billete entre los dedos ı́ndicey pulgar de David. David debe agarrar el billete después de que Emily lo suelte sinmover su mano hacia abajo. Si el tiempo de reacción es de 0.2 s, ¿tendŕa éxitoDavid? Explique su razonamiento.

Prof Javier Gutiérrez (javgutie@udec cl) Caṕıtulo III-IFU

17. Una bola es dejada caer desde el reposo desde una altura h sobre el piso. Otrabola es lanzada verticalmente desde el suelo hacia arriba en el instante en que la

i b l d j D t i l id d l i t d l d

http://find/


85/85

primera bola se deja caer. Determine la rapidez de lanzamiento de la segundabola si las dos bolas se juntan en la posición h/2 sobre el piso.

18. La altura de un helicóptero desde el suelo es dada por la ecuación h = 3.00t3,donde h se mide en metros y t, en segundos. Después de t = 2.00 s, el helicópterosuelta un pequeño paquete. ¿Cuánto tiempo le lleva al paquete, desde que fuelanzado, llegar al suelo?

19. Un objeto en caida libre requiere 1.50 s para viajar los últimos 30.0m antesde llegar al suelo. ¿Desde qué altura sobre el suelo fue lanzado el objeto?

20. Se reportó en las noticias que una mujer cayó libremente una distancia de144 ft desde el 17avo piso de un edificio, aterrizando sobre una caja metálica deventilador, la cual aplastó hasta una profundidad de 18.0 in. La mujer sufrió sólodaños menores. Despreciando la resistencia del aire, calcule (a) la rapidez de la

mujer al momento de chocar con la caja del ventilador, (b) la aceleración mediamientras estaba en contacto con la caja y (c) el tiempo que le llevo aplastar lacaja.

Prof Javier Gutiérrez (javgutie@udec cl) Caṕıtulo III-IFU
http://find/

capitulo iii ifu

Documents