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CAPÍTULO

4 A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA

4.1 INTRODUÇÃO

A transformação de PARK tem uma importância muito grande no estudo das

máquinas elétricas. Consiste de uma transformação linear que simplifica as equações

das máquinas, introduzindo um conjunto de variáveis hipotéticas.

Fisicamente, transforma a máquina bifásica com enrolamentos estatóricos fixos

e enrolamentos rotóricos girantes, em enrolamentos estatóricos fixos e rotóricos

pseudo-estacionários.

4.2 OBTENÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO DE PARK

Foi demonstrado no capítulo 3, que sob a transformação 0αβ , os fluxos e as

correntes ficam relacionados pelas equações (4.1).

0 00

00 0

S SS

S SS SR SR

S SS SR SR

RR R

SR SR RR R

SR SR RR R

i0 0 0 0 0i0 0 0 m cos m seni0 0 0 m sen m cos

0 0 0 0 0 i0 m cos m sen 0 0 i0 m sen m cos 0 0 i

α α

β β

α α

β β

φ φ θ − θ φ θ θ = φ θ θ φ − θ θ φ

LL

LL

LL

(4.1)

Os fluxos estatóricos podem ser reescritos segundo a expressão (4.2).

0 0 00

S S RS

S S S SR SR R

S SR SRS S R

i i0 0 0 0 00 0 i 0 m cos m sen i0 0 0 m sen m cosi i

α α α

β β β

φ φ = + θ − θ θ θφ

LL

L (4.2)

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 65

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com

Vamos definir um novo conjunto de correntes rotóricas, segundo a expressão

(4.3):

φφφ

θθθ−θ=

φφφ

β

α

R

R

R

R

R

R 0

q

d

0

cossen0sencos0001

(4.3)

Assim:

00dq αβ

−= R1

R iBi (4.4)

onde:

θθθ−θ=−

cossen0sencos0001

1B (4.5)

A matriz B-1 define a transformação de PARK.

4.3 PROPRIEDADES DA TRANSFORMAÇÃO DE PARK

Vamos representar a expressão (4.1) na forma compacta, segundo as

expressões (4.6) e (4.7), ignorando as componentes homopolares, que não serão

alteradas pela transformação de PARK.

S SRmαβ αβ αβ

−= + 1S S Ri B iL Iφ (4.6)

R SRmαβ αβ αβ= +R R Si B iL Iφ (4.7)

onde:

θθ−θθ

=cossensencos

B (4.8)

e

66 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA


1 00 1

=

I (4.9)

Aplicando-se a transformação B-1 na equação (4.7), obtém-se:

dqSR Rm

αβ αβ

− − −= +1 1 1R S RB B B i B B iφ L (4.10)

Assim:

dq dqSR Rm

αβ= +R S Ri iI L Iφ (4.11)

A partir da expressão (4.6) obtém-se:

dqSR Sm

αβ αβ= +S R Si iI L Iφ (4.12)

Reunindo-se as equações (4.11) e (4.12) e representando-se na forma

matricial, encontra-se a expressão (4.13).

0 00

00 0

d d

q q

S SS

S SS SR

S SS SR

RR R

SR RR R

SR RR R

i0 0 0 0 0

i0 0 0 m 0i0 0 0 0 m

0 0 0 0 0 i0 m 0 0 0 i0 0 m 0 0 i

α α

β β

φ φ φ = φ φ φ

LL

LL

LL

(4.13)

A expressão (4.13) mostra que as submatrizes indutâncias são diagonalizadas

pela transformação de PARK.

Convém chamar atenção para o fato de que as variáveis estatóricas não foram

transformadas; somente as variáveis rotóricas sofreram a ação da transformação de

PARK.

Fazendo-se o produto BB 1− obtém-se:

=

θθ−θθ

θθθ−θ

1001

cossensencos

cossensencos

(4.14)



Portanto a transformação de PARK, como foi definida é ortogonal. Por isto, sob

esta transformação, a potência é invariante.

4.4 INTERPRETAÇÃO FÍSICA DA TRANSFORMAÇÃO DE PARK

Para interpretarmos fisicamente a transformação de PARK, vamos considerar

os sistemas de eixos representados na Fig. 4.1.

•

θ

R q

R d

Rβ

Rα

θ

Rβi Rq

i

Rαi

Rdi

Fig. 4.1 – Sistemas de eixo representando a transformada de Park.

Os eixos βαRR giram no sentido anti-horário com velocidade •

θ . Os eixos

qdRR estão em repouso. Tem-se assim dois enrolamentos girando, com correntes αRi

e βRi e dois estacionários com correntes Rdi e

qRi . Todos os enrolamentos são

considerados idênticos.

Decompondo-se as forças magnetomotrizes dos enrolamentos girantes

segundo os eixos fixos e dividindo-se pelo número de espiras, encontra-se as relações

(4.15) e (4.16).

θ−θ=βαsenicosii RRR d

(4.15)

θ+θ=βα

cosisenii RRR q (4.16)

Na forma matricial obtém-se a expressão (4.17), que é a própria transformação

de PARK:

θθθ−θ

=

β

α

R

R

R

R

ii

cossensencos

ii

q

d (4.17)



Pode-se estabelecer assim que a transformação de PARK permite converter

um conjunto de enrolamentos girantes num conjunto de enrolamentos fixos, produzindo

os mesmos efeitos. As correntes dos enrolamentos fixos terão freqüência diferente das

correntes dos enrolamentos girantes.

A transformação de enrolamentos fixos em girantes coloca em evidência a

seguinte questão: os enrolamentos do rotor são fixos, mas o rotor encontra-se em

movimento. Isto só é possível numa máquina a comutador. Assim, a transformação de

PARK transforma enrolamentos comuns, alimentado através de anéis, em

enrolamentos alimentados através de escovas e comutador, que são também

conhecidos com o nome de enrolamentos pseudo-estacionários. Desse modo a

transformação de PARK pode ser realizada fisicamente. Na Fig. 4.2 está representada

a transformação física.

R

Rα

β

VRβ

VRα Rq

Rd

VR d

VR q

Fig. 4.2 – Representação física da transformada de Park.

Simbolicamente, a máquina antes e depois da transformação está

representada na Fig. 4.3 e Fig. 4.4.

Sβ

Sα

Rβ

Rα

θ

Fig. 4.3 – Máquina original.

q

d

R

R

S = S

q

d

q β

S = Sd α

Fig. 4.4 – Máquina transformada.



4.5 TENSÕES DA MÁQUINA SOB A FORMA DE VARIÁVEIS DE PARK

O modelo elétrico em variáveis αβ é representado pelas equações (4.18) e

(4.19).

ddtαβ αβ αβ

= +S S S Sv R i φ (4.18)

ddtαβ αβ αβ

= +R R R Rv R i φ (4.19)

Aplicando-se a matriz B-1 na expressão (4.19) obtém-se a expressão (4.20).

( )

dq

dq

d

dtαβ

− − −= +R

1 1 1R R R

BB v B R B i B

φ (4.20)

dq

dq dq dq

d ddt dt

− − ∂ θ= + +

∂θ

R1 1R R R R

Bv R i B B Bφ

φ (4.21)

cos sen sen cossen cos cos sen

− θ − θ − θ θ ∂= θ θ − θ − θ∂θ

1 BB (4.22)

Assim:

0 11 0θ

− − ∂= ∂

1 BB (4.23)

dq

dq dq dq

d 0 1d1 0dt dt

− θ= + +

R

R R R Rv R iφ

φ (4.24)

dq

dq dq

d

dt= +

S

S S Sv R iφ

(4.25)

As expressões (4.25) e (4.24) podem ser reescritas segundo as expressões

(4.26) e (4.27) respectivamente.



d d d d

q q q q

S S S RS S SR

S S SRS S S R

v i i iR 0 p 0 pm 00 R 0 p 0 pmv i i i

= + +

LL (4.26)

d d

d d q q

q q d d

q q

S S

R R S SSR R SR RR

SR R SR RRR R R R

R R

i i

v i i im 0 0 m 0 0R 0 0 1p

0 m 0 0 m 00 Rv i i 1 0 i

i i

•

− = + + θ

L LL L (4.27)

Resumindo-se as expressões (4.26) e (4.27), encontra-se as equações (4.28).

d d

q q

d d

q q

S S SRS S

S SS S SR

R RSR SR R R R

R RSR SR R R R

R p 0 pm 0v i

v i0 R p 0 pmv ipm m R pv i

m pm R p

• •

• •

+

+ = θ + θ − θ − θ +

L

L

L L

L L

(4.28)

As expressões (4.28) representam as equações elétricas da máquina simétrica

trifásica (ou polifásica), com o referencial colocado no estator. Está sendo considerada

uma máquina de dois pólos. A generalização para um número genérico de pares de

pólos será apresentada mais adiante. As componentes homopolares quando existirem,

poderão ser adicionadas nas equações (4.28).

Estas equações são muito importantes e são capazes de representar a

máquina sob não importa qual condição de operação.

4.6 EXPRESSÃO DO TORQUE

Foi estabelecida a expressão do torque, com a seguinte forma:

( )

T tαβαβ

∂ θ=

∂θSR

S R

Li i (4.29)

mas,

( ) 1SR BθL −= SRm (4.30)



Portanto:

SRT = m t

αβαβ

−∂∂θ

1

S RBi i (4.31)

SRT = mdqdq

t

θ

−∂∂

1

S RBi Bi (4.32)

sen cos

cos sen

− − θ − θ ∂= θ − θ∂θ

1B (4.33)

sen cos cos sen

cos sen sen cos

− − θ − θ θ θ ∂= θ − θ − θ θ∂θ

1B B (4.34)

0 11 0

− − ∂= ∂θ

1B B (4.35)

Assim:

dqdq 01

10mT t

SR RS ii

−= (4.36)

d

d q

q

R

SR S SR

i0 1T m i i

1 0 i

− = (4.37)

( )q d d qSR S R S RT m i i i i= − (4.38)

4.7 EQUAÇÕES COMPLETAS DA MÁQUINA

O modelo completo para a máquina de indução, com n pares de pólos é

representado pelas equações (4.39) e (4.40). Será considerada uma máquina em que

d qR Rv v 0= = (rotor em curto-circuito).



d d

q q

d

q

S S SRS S

S SS S SR

RSR SR R R R

RSR SR R R R

R p 0 pm 0v i

v i0 R p 0 pm0 ipm n m R p n0 i

n m pm n R p

• •

• •

+

+ = θ + θ − θ − θ +

L

L

L L

L L

(4.39)

( )q d d qSR S R S RT = nm i i - i i (4.40)

S

nωω

= (4.41)

onde:

ω ⇒ Pulsação das tensões de alimentação.

Sω ⇒ Velocidade síncrona do motor.

4.8 GENERALIZAÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO DE PARK

Neste item será estabelecido o modelo de PARK da máquina simétrica, para

um sistema de eixos de referência girando com velocidade qualquer, representado na

Fig. 4.5.

Os enrolamentos do estator, αS e βS estão em repouso. Os enrolamentos do

rotor, αR e βR giram com velocidade •

θ . Os eixos qd giram com velocidade •

Ψ . Todos

os enrolamentos possuem o mesmo número de espiras.



S

S

R

R β

β

α

α

d

q

isβ

i sα

i Rα

i Rβ

i s

i R

d

d

i sq

i Rq

θΨ

ωm

Fig. 4.5 – Sistema de eixos de referência girando com velocidade qualquer.

Fazendo as projeções das forças magnetomotrizes do rotor e do estator sobre

os eixos de referência qd , obtém-se as expressões a seguir:

a)

dSi i cos i senS Sα β= Ψ + Ψ (4.42)

qS S Si i sen i cos

α β= − Ψ + Ψ (4.43)

Representando-se na forma matricial obtém-se as expressões (4.44).

S S

S S

i icos seni sen cos i

d

q

α

β

Ψ Ψ = − Ψ Ψ

(4.44)

b)

( ) ( )dR R Ri i cos i sen

α β= Ψ −θ + Ψ −θ (4.45)

( ) ( )qR R Ri = -i sen i cos

α βΨ −θ + Ψ −θ (4.46)

( ) ( )( ) ( )

R R

R R

i icos sensen cosi i

d

q

α

β

Ψ −θ Ψ −θ = − Ψ −θ Ψ −θ

(4.47)

Os casos particulares, mais comumente empregados são os seguintes:



I ) Referencial no estator ( )0Ψ =

=

β

α

S

S

S

S

ii

1001

ii

q

d (4.48)

θθθ−θ

=

β

α

R

R

R

R

ii

cossensencos

ii

q

d (4.49)

II ) Referencial no rotor ( )Ψ = θ

θθ−θθ

=

β

α

S

S

S

S

ii

cossensencos

ii

q

d (4.50)

=

β

α

R

R

R

R

ii

1001

ii

q

d (4.51)

III ) Referencial no campo girante

StΨ = ω (4.52)

tmω=θ (4.53)

ωω−ωω

=

β

α

S

S

SS

SS

S

S

ii

tcostsentsentcos

ii

q

d (4.54)

( ) ( )( ) ( )

d α

q β

R RS m S m

S m S mR R

i icos ω -ω t sen ω -ω t=

-sen ω -ω t cos ω -ω ti i

(4.55)



4.9 EQUAÇÕES DA MÁQUINA SIMÉTRICA NUM SISTEMA DE EIXOS GENÉRICOS

Sejam as transformações definidas pelas expressões (4.56) e (4.57).

cos sensen cos

− Ψ Ψ = − Ψ Ψ

1SB (4.56)

( ) ( )( ) ( )

cos sensen cos

− Ψ −θ Ψ −θ = − Ψ −θ Ψ −θ

1RB (4.57)

Sejam as equações elétricas da máquina, sob a forma de variáveis αβ ,

representadas pelas expressões (4.58) e (4.59).

d

dtαβ

αβ αβ= +

S

S S Sv R iφ

(4.58)

d

dtαβ

αβ αβ= +

R

R R Rv R iφ

(4.59)

Vamos aplicar a transformação BS-1 na equação (4.58).

d

dtαβ

αβ αβ

− − −= +S1 1 1

S S S S S SB v B R i Bφ

(4.60)

( )

dq

dq dq

d

dt− −= +

S S1 1S S S S S S

Bv B R B i B

φ (4.61)

SSS1

S RBRB =− (4.62)

dq dq

dq

d d

dt dt

•− − − ∂

= + Ψ∂Ψ

S S S1 1 1 SS S S S S

B BB B B Bφ φ

φ (4.63)

0 1d1 0d

− − = Ψ

1 SS

BB (4.64)



Levando-se (4.62), (4.63) e (4.64) em (4.61) obtém-se:

dq

dq dq dq

d 0 11 0dt

•− = + + Ψ

S

S S S Sv R iφ

φ (4.65)

Adotando-se procedimento análogo para a equação elétrica do rotor, obtém-se:

dq

dq dq dq

d 0 11 0dt

• •− = + + Ψ−θ

R

R R R Rv R iφ

φ (4.66)

Em seguida será deduzida a expressão do torque:

( )tTαβαβ

∂=

∂θSR

S R

Li i

θ (4.67)

dqSSS iBi =

αβ (4.68)

Assim:

ttt

dq SSS Bii =αβ

(4.69)

dqRRR iBi =

αβ (4.70)

Assim:

( )dqdq

t tT∂

=∂θSR

S S R R

Li B B i

θ (4.71)

mas,

( ) SRm −= 1SRL Bθ (4.72)

Assim:

dqdqSRT = m t t

−∂∂θ

1

S S R RBi B B i (4.73)

Assim:



( )d d q dSR R S R ST = m i i - i i (4.74)

Reunindo-se as equações (4.65), (4.66) e (4.74), desenvolvendo-se e

generalizando-se para n pares de pólos, obtém-se o modelo representado pelas

equações (4.75) e (4.76). Para o rotor em curto, basta fazer d qR Rv v 0= = .

d d

q q

d d

q q

S S S SR SR

S S

S S S SR SRS S

R RSR SR R R R

R R

SR SR R R R

R p n pm m nv i

n R p m n pmv i

v ipm m n R p n

v i

m n pm n R p

• •

• •

• • • •

• • • •

+ − Ψ − Ψ Ψ + Ψ = − Ψ−θ + − Ψ−θ Ψ−θ Ψ−θ +

L L

L L

L L

L L

(4.75)

( )qddq RSRSSR iiiimnT −= (4.76)

Quando a velocidade do motor varia com o tempo, as equações elétricas da

máquina são não-lineares. Para velocidade constante, o modelo torna-se linear.

Em qualquer das situações, a equação mecânica é não-linear, pois aparece o

produto de duas correntes.

O modelo obtido representa a máquina para qualquer situação e para qualquer

referencial.

4.10 MODELO DQ REFERIDO AO PRIMÁRIO

Ao se estabelecer as equações da máquina simétrica representadas pelas

equações (4.75) e (4.76), não se fez referências à relação de transformação entre os

enrolamentos estatóricos e rotóricos. Assim, ao se empregar as referidas equações,

deve-se empregar os parâmetros do estator medidos no estator e os do rotor medidos

no lado do rotor.



Porém, quando se trata de uma máquina com rotor em gaiola, não se tem

acesso ao rotor. Todos os parâmetros são referidos ao estator. Por isto as equações da

máquina devem ser desenvolvidas para permitir o emprego desses parâmetros

medidos em relação a um só lado.

Para realizar tal modificação, será aplicada a transformação primária-

secundária, que será apresentada com detalhes no capítulo 7, e que aqui está

representada pela expressão (4.77):

dd

qq

dd

qq

SS

SS

'RR

'RR

vv 1 0 0 0vv 0 1 0 0

0 0 a 0 vv0 0 0 a vv

=

(4.77)

Assim:

[ ]'SR SRv v− =

1PS (4.78)

Onde a é a relação entre o número de espiras do estator e o número de espiras

do rotor.

A matriz PS-1 refere todas as tensões ao estator.

Para as correntes, a transformação é dada pela expressão (4.79).

=

q

d

q

d

q

d

q

d

R

R

S

S

'R

'R

S

S

iiii

a10000a10000100001

iiií

(4.79)

SR'

SR iSPi = (4.80)

Em seguida a transformação será aplicada nas equações da máquina.

='SR SRv Z i (4.81)

1−=' 'SR SRPS v Z PS i (4.82)



1 1− −=' 'SR SRv PS Z PS i (4.83)

onde Z é dada pela expressão (4.84).

S S S SR SR

S S S SR SR

SR SR R R R

SR SR R R R

R p n pm m n

n R p m n pm

pm m n R p n

m n pm n R p

• •

• •

• • • •

• • • •

+ − Ψ − Ψ Ψ + Ψ = − Ψ−θ + − Ψ−θ Ψ−θ Ψ−θ +

Z

L L

L L

L L

L L

(4.84)

Realizando o produto matricial determinado pela expressão (4.83),

encontramos as equações representadas pela expressão (4.85).

Quando os parâmetros são obtidos por ensaio, a relação de transformação é

desconhecida. Isto não apresenta dificuldade na análise, uma vez que eles serão

determinados em relação ao estator. Desse modo todas as grandezas rotóricas, como

tensão e corrente, ficam determinadas também referidas ao estator.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

d d

q

d

q

S S S SR SR

S S

S S S SR SRS

'2 2R

SR SR R R R'

R

2 2SR SR R R R

R p n p a m a m nv i

n R p a m n p amv

v p am am n a R p n av

a m n p am n a a R p

• •

• •

• • • •

• • • •

+ − Ψ − Ψ Ψ + Ψ = − Ψ−θ + − Ψ−θ Ψ−θ Ψ−θ +

L L

L L

L L

L L

q

d

q

S

'R

'R

i

i

i

(4.85)

Através de ensaios clássicos, a vazio e em curto-circuito, pode-se determinar

os parâmetros elétricos.

1) 1SR mma = ⇒ indutância magnetizante medida em relação

ao estator.

2) S 1 1m= +L ⇒ sendo 1 a indutância de dispersão do

estator.



3) '2R 2 1 Ra m= + =L L ⇒ sendo 1 a indutância de dispersão do rotor

referida ao estator.

4) SR ⇒ resistência do estator.

5) 'RR

2 RRa = ⇒ resistência do rotor referida ao estator.

Desse modo as equações elétricas passam a ser representadas pela

expressão (4.86):

d d

q q

d d

q q

S S S 1 1

S S

S S S 1 1S S

' '' ' 'R R

1 1 R R R' '

R R' ' '

1 1 R R R

R p n pm m nv i

n R p m n pmv i

v ipm m n R p nv i

m n pm n R p

• •

• •

• • • •

• • • •

+ − Ψ − Ψ Ψ + Ψ = − Ψ−θ + − Ψ−θ Ψ−θ Ψ−θ +

L L

L L

L L

L L

(4.86)

( )q d d d

' '1 S R S RT = nm i i - i i (4.87)

O torque fica representado pela expressão (4.87).



4.11 EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Seja:

( )1S Sv 2 Vsen t= ω + θ

( )2S Sv 2 Vsen t 120= ω − ° + θ

( )3S Sv 2 Vsen t 120= ω + ° + θ

Determinar 0Sv ,

dSv e qSv para o referencial colocado no estator e colocado no

campo girante.

2) Um motor de indução é alimentado por um inversor do tipo °180 . As formas de onda

impostas em cada fase estão representadas abaixo. Obter e representar graficamente

as tensões 0Sv ,

dSv e qSv .

vS1

vS2

vS3

(2E/3)

(E/3)

(2E/3)

(E/3)

(2E/3)

(E/3)

O O O O0 60 120 180

Fig. 4.6 – Formas de onda impostas as fases de um motor trifásico.



3) Obter o modelo de estado do motor de indução, para um referencial genérico, em

termos de variáveis dq.

4) Considere o modelo do motor de indução com referencial no campo girante. Seja:

1S Sv 2Vsen t= ω

( )2S Sv 2Vsen t 120= ω + °

( )3S Sv 2Vsen t 120= ω − °

Consideremos o motor em regime permanente.

(a) As tensões dSv e

qSv são funções do tempo? Por que?

(b) As correntes dSi ,

qSi , dRi e

qRi são funções do tempo? Por que?

5) Seja o enrolamento trifásico rotórico de uma máquina de indução, girando no sentido

anti- horário em relação ao estator. Seja:

( )1R R Rv 2V sen t= ω + ∆

( )2R R Rv 2V sen t 120= ω − °+ ∆

( )3R R Rv 2V sen t 120= ω + °+ ∆

Seja SmR ω=ω+ω onde:

mω ⇒ velocidade do rotor

Sω ⇒ pulsação das correntes do estator

Rω ⇒ pulsação das correntes do rotor

a) Determinar as tensões 0Rv , Rv

α e Rv

β. Qual a freqüência dessas tensões?



b) Determinar as tensões 0Rv ,

dRv e qRv para um referencial colocado no estator. Qual a

freqüência dessas tensões?

Supor em seguida que:

( )1R R Rv 2V sen t= ω + ∆

( )2R R Rv 2V sen t 120= ω + °+ ∆

( )3R R Rv 2V sen t 120= ω − °+ ∆

Repetir as questões a) e b). A freqüência das tensões mudou? Por que?

6) Seja uma máquina de indução trifásica onde:

m 0tθ = ω + θ

S m Rω = ω +ω

( )1S S Si I sen t= ω + φ

( )2S S Si I sen t 120= ω − °+ φ

( )3S S Si I sen t 120= ω + °+ φ

( )1R R Ri I sen t= ω + ∆

( )2R R Ri I sen t 120= ω − °+ ∆

( )3R R Ri I sen t 120= ω + °+ ∆

Determinar a expressão do torque desenvolvido pela máquina, partindo da

expressão:



( )SR Sq Rd Sd RqT m i i i i= −

7) Um motor de indução pode ser empregado como freio, impondo-se a seguinte

alimentação:

(a) a fase α do estator é alimentada por uma corrente contínua ICC.

(b) a fase β do estator é mantida aberta.

Nessas condições, empregando o modelo de PARK com referencial no estator,

determinar:

(a) a expressão do torque desenvolvido pelo motor em função da velocidade.

(b) a velocidade, em função dos parâmetros da máquina, para a qual o torque é

máximo.

(c) a expressão do torque máximo.

8) Considere o modelo de PARK motor de indução com o referencial no campo girante.

Seja uma fonte que imponha as correntes estatóricas do motor. Assim:

dS S Si I sen t= ω

qS S Si I cos t= ω

Determinar as expressões das correntes dRi e

qRi e do torque desenvolvido

pelo motor.

9) Considere um motor de indução de rotor bobinado em repouso. No instante t 0= as

três fases do estator são subitamente alimentadas com tensões senoidais

balanceadas. Determinar a evolução das tensões rotóricas em função do tempo.

Considerar os enrolamentos rotóricos abertos.



10) Considere uma máquina de indução bifásica com rotor em gaiola. A fase d é

alimentada por uma tensão do tipo:

dS Sv 2Vsen t= ω

A fase q é mantida aberta. A máquina é acionada por um motor auxiliar.

q

d

vSd

ωm

Fig. 8.7 – Máquina de indução bifásica com rotor em gaiola.

Demonstrar que a tensão qSv é função da

velocidade do rotor. Que condições devem

ser satisfeitas para que a relação entre

qSv e mω seja linear ?

Empregar as equações de PARK para o

referencial colocado no estator. Este

sistema é conhecido como tacogerador de

indução. A sua característica principal é o

fato da tensão gerada qSv apresentar

freqüência constante, igual à freqüência

da tensão dSv de excitação.

11) Refazer o exercício número 10, supondo que o enrolamento d do estator é

alimentado por uma fonte que lhe impõe uma corrente senoidal.

12) Refazer o exercício número 10, supondo que o enrolamento d é alimentado por

uma corrente contínua.

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