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Resistência dos Materiais IUniversidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
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Capítulo 7Cisalhamento
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Centro de EngenhariasResistência dos Materiais I
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7.1 – Cisalhamento em elementos retosO cisalhamento V é o resultado de uma distribução de tensões decisalhamento transversal que age na seção da viga. Devido à propriedadecomplementar de cisalhamento, as tensões de cisalhamento longitudinaisassociadas também agirão ao longo dos planos longitudinais da viga. Porexemplo, um elemento retirado de um ponto interno está sujeito a tensõesde cisalhamento transversal e longitudinal.
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Os esforços suportados por uma viga são de dois tipos:Tensões normais causadas pelo momento fletorTensões cisalhantes causadas pelo esforço cortante
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É possível explicar fisicamente por que a tensão de cisalhamento sedesenvolve nos planos longitudinais de uma viga considerando ela compostapor três tábuas. Se as superfícies forem lisas e as tábuas estiverem soltas,deslizaram. Do contrário, surgirão tensões que impedirão que deslizem e aviga agirá como uma unidade única.
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As tensões tenderão a distorcer a seção transversal de uma maneirabastante complexa. Quando o cisalhamento V é aplicado, essa distribuiçãonão uniforme na seção transversal fará com que ela se deforme, isto é, nãopermaneça plana. Lembre-se que no desenvolvimento da fórmula deflexão, consideramos que as seções permaneciam planas. Embora essaregra seja infringida, podemos considerar que a distorção da seção épequena o suficiente para se desprezada. Essa consideração éparticularmente verdadeira para ao caso mais comum como de uma vigaesbelta, cuja largura é pequena em relação ao seu comprimento.
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Neste caso, onde a distribuição não é uniforme nem linear, a distribuiçãode tensões não é facilmente em termos matemáticos, entãodesenvolviremos uma fórmula para tensão indiretamente, através darelação entre o momento e o cisalhamento dxdMV
7.2 – A fórmula do cisalhamento
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Considere o segmento na parte superior do elemento foi secionado em y’em relação ao eixo neutro (b). Como a diferença entre os momentosresultantes em cada lado do elemento é dM, podemos ver que na figura (d)o somatório de força em x só será zero se uma tensão de cisalhamentolongitudinal aja sobre a face inferior do segmento. Considerando que atensão de cisalhamento seja constante em toda a largura t da face inferior eage em t dx.
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, , ,x
' '
, ,
' '
,
'
,
'
F =0 ( ) 0
( ) 0
( )
1
A A
A A
A
A
dA dA tdx
M dM MydA ydA tdx
I I
dMydA tdx
I
dMydA
It dx
,
'A
VQ
It
Q ydA
Momento de primeira ordem da área A’ em tornodo eixo neutro.Pela definição de centroide da área A’ :
' 'Q y A
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A fórmula do cisalhamento é usada para encontrar a tensão decisalhamento na seção transversal.
onde ' 'Q y A
Q= momento estático da área A’ em relação à LN (linha neutra)τ = tensão de cisalhamento no elemento V = força de cisalhamento interna resultanteI = momento de inércia da área da seção transversal inteirat = largura da área da seção transversal do elemento
VQ
It
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SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR:
Para uma viga com seção transversal retangular, a tensão de cisalhamento varia parabolicamente com a altura. A tensão de cisalhamento máxima ocorre ao longo do eixo neutro.
7.3 – Tensões de cisalhamento em vigas
VQ
It
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Para uma viga com seção transversal retangular:
Aplicando a fórmula:
22
22
22
33
' '
' ( )2
1' ( )
2 2
1 1' ' ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 4
1( ) 62 4 ( )1 4
( )12
Q y A
hA y b
hy y y
h h hQ y A y y y b y b
hV y bVQ V h
yIt bh
bh b
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Este resultado indica que a distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal é parabólica:
Como y varia de +h/2 até –h/2 , até o
máximo valor y=0 que valerá:
válida somente para SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR
2
2
3
6( )
4
V hy
bh
2
3
6( )
4máx
V h
bh
1,5máx
V
A
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A viga é feita de madeira e está sujeita a uma força de cisalhamento verticalinterna resultante V = 3 kN. (a) Determine a tensão de cisalhamento naviga no ponto P e (b) calcule a tensão de cisalhamento máxima naviga.
Exemplo 1 -
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4 31' 12,5 50 50 100 18,75 10 mm
2Q yA
4633 mm 1028,1612510012
1
12
1 bhI
(a) O momento de inércia da área da seção transversal calculado em tornodo eixo neutro é
Aplicando a fórmula do cisalhamento, temos
3 4 3
6 4
3 10 18,75 10
16,28 10 100
0,346 MPa
P
P
N mmVQ
It mm mm
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(b)a tensão de cisalhamento máxima ocorre no eixo neutro, visto que t é constante em toda a seção:
Aplicando a fórmula do cisalhamento, temos
34 mm 1053,195,621002
5,62''
AyQ
máx 0,360 MPa
1001028,16
1053,191036
43
It
VQmáx
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1) A viga tem seção transversal retangular e é feita de madeira. Se forsubmetida a um cisalhamento V=20kN, e a=250mm, determine a tensãode cisalhamento máxima e trace uma curva da variação de tensão decisalhamento. Resposta: τmáx=0,32MPa
Exercício de fixação -
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2) A viga tem seção transversal retangular e é feita de madeira com tensãode cisalhamento admissível τadm=1,6ksi. Se for submetida a umcisalhamento V=4kip, determine a menor dimensão a de sua parte inferiore 1,5a de seus lados. Resposta: a=1,58in
Exercício de fixação -
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SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR MACIÇA:
Para uma viga com seção transversal circular:
2
2 3 4
3
4 2
' '
'2
4'
3
4 2' ' 2
3 2 3 4
24 43
3 32
4
máx
Q y A
rA
ry
r r r rQ y A t r I
rV
VQ V V
rIt r Ar
1,33máx
V
A
'A
válida somente para SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR MACIÇA
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3) O raio da haste de aço é 1,25in. Se ela for submetida a um cisalhamentoV=5kip, determine a tensão de cisalhamento máxima.Resposta: τmáx=1,36ksi.
Exercício de fixação -
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SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR VAZADA:
Para uma viga com seção transversal circular:
2 22 2 1 1
2 22 1
1,33máx
r r r rV
A r r
válida somente para SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR VAZADA E
MACIÇA
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4) Se o tubo estiver sujeito a um cisalhamento V=75kN, determine a tensãode cisalhamento máxima nele. Resposta: τmáx =43,2MPa
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VIGAS DE ABAS LARGAS:
Consistem em duas “abas” largas e uma “alma.”
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5) Uma viga de aço tem as dimensões mostradas na figura abaixo. Se forsubmetida a uma força cortante V=80kN (a) trace uma curva dadistribuição da tensão de cisalhamento que age na área da seçãotransversal da viga e (b) determine a força de cisalhamento à qual a almaresiste.
Exercício de fixação -
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Respostas: (a) τC=τmáx=25.2MPa
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6) Se a força P=800lb, determine a tensão máxima de cisalhamento destaviga. Resposta: 99,8psi
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7) A viga T mostrada na figura abaixo está sujeita ao carregamentoindicado. Determine a tensão de cisalhamento máxima desta viga. Resposta:14,7MPa
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8) Para a viga com o carregamento mostrado, determine o valor da tensãode cisalhamento nos pontos a e b, localizados na seção transversal n-n.Respostas: 1,961ksi e 2,94ksi
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9) A viga mostrada na figura abaixo é feita com duas tábuas. Determine atensão de cisalhamento máxima necessária na cola para que ela mantenhaas tábuas unidas ao longo da linha de junção. Os apoios B e C exercemapenas reações verticais na viga.
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Respostas: