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CAPTULO 3ANLISE DE CIRCUITOS DE CORRENTE CONTNUA

2013

Electrotecnia Geral para os Cursos de Engenharia Civil e Qumica: - Fevereiro-Junho 2013

Notas Do Regente- Pgina 1

3.0. Generalidades

Neste captulo vamos apresentar e discutir algumas Leis, Teoremas e procedimentos quegovernam a anlise dos circuitos elctricos de corrente contnua ou puramente resistivos.Juntamente com as leis de Ohm e Kirchoff para Correntes e Tenses estesprocedimentos continuaro vlidos para a anlise de circuitos de corrente alternada ondeas aces das indutncias e capacitncias se fazem sentir. Tambm so vlidas para aanlise de circuitos no domnio de frequncia.

3.1 Topologia dos circuitos elctricos

No concernete topologia ou configurao um circuito elctrico uma combinao de

elementos activos e passivos de modo a formarem um ou mais caminhos fechados.Quando constitudo por vrios caminhos, cada um deles chama-se malha ou lao. O

ramo uma combinao de um ou mais elementos que so atravessados pela mesma

corrente. Os pontos de convergncia ou juno de 2 ou mais ramos chamam-se ns.


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3.2 Leis de Kirchhoff

O funcionamento dos circuito elctricos governado pelas seguintes leis de Kirchoff em

homenagem ao seu primeiro investigador.

1. A soma das correntes que chegam a um n igual soma das correntes que

dele saiem. Se as correntes que se dirigem para um n so consideradas

positivas, e negativas as que dele se afastam, a lei estabelece que nula a

soma algbrica de todas as correntes que concorrem em um mesmo n. Esta

regra conhecida tambm como Lei de Ns.

1 A soma das elevaes de potencial ao longo de qualquer circuito fechado igual

soma das quedas de potencial nesse mesmo circuito. Em outras palavras, a somaalgbrica das diferenas de potencial, ao longo de um circuito fechado, nula. Se

existir mais de uma fonte e os sentidos no forem iguais, ser considerada positiva

a tenso da fonte cujo sentido coincidir com o admitido para a corrente. Esta regra

conhecida por Lei de Malhas.

Resumidamente,

i1

i2 i

3

i4

i5

==== saindocorrentes

entrandocorrentes

054321

54231

====++++

++++++++====++++

iiiii

Ou

iiiii

Figura- Lei de ns


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==== potencialdequedas

potencialdeelevaes

0====

++++====

dt

diLiRVV

Ou

dt

diLiRVV

BA

BA

Figura- Lei de malhas


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3.3 Anlise de circuitos de corrente contnua

3.3.1 Circuitos simples com elementos em srie eparalelo

3.3.1.1 Circuitos em srie

O objectivo da anlise de qualquer circuito elctrico o clculo das tenses em cada n eas correntes em cada ramo do circuito. Para circuitos em srie este objectivo atingidopara alm da aplicao das leis de Kirchoff de ns e malhas aplica-se tambmsucessivamente os conceitos de resistncia equivalente de circuitos em srie e a regrade divisor de tenso para determinar as quedas de tenso sobre cada elemento. A partir

das quedas de tenso pode-se determinar as correntes em cada ramo e as potnciasdissipadas em cada elemento. Para melhor ilustrao consideremos o circuito dado nafigura a seguir.

R1 R2

VF

V1

V2

+ +_ _

iT

I1

I2

R3

V3

+_

I3

Figura ( ) Circuito com elementos ligados em srie.

Para o circuito da figura pode-se escrever:

( ) eq321321321F RIRRRIRIRIRIVVVV ..... =++=++=++=

Donde:

=

++=

eq

F

321eq

RVI

RRRR

A queda de tenso sobre cada elemento ser, pela regra de divisor de tenso:


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++==

++==

++==

3321

F3

eq

F3

2321

F2

eq

F2

1321

F1

eq

F1

RRRR

VR

RV

V

RRRR

VRRVV

RRRR

VR

R

VV

..

..

..

A potncia dissipada em cada elemento ser:

==

==

==

3

23

3233

2

222222

1

21

1211

R

VRIP

RVRIP

R

VRIP

.

.

.

Exemplo 3.1

Dado o circuito da figura a seguir, determina:

a) Resistncia equivalente do circuito vista da fonte de alimentao,

b) A corrente sobre cada elemento,

c) A queda de tenso sobre cada elemento,

d) A potncia dissipada em cada elemento,

e) O balano de potncias.


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Resoluo:

a) =+=+= 503020RRR 21eq

b) A250

100II

R

VI 21

eq

F=====

c)

===

===

V603050

100R

RV

V

V402050

100R

R

VV

2eq

F2

1eq

F1

..

..

d)

======

======

W12030

60W120302

R

VRIP

W8020

40W80202RVRIP

22

2

22

2222

22

1

211211

..

..

e)

===

=+=+=

===

=

=

W200PW200P

W20012080PPP

W2002100IVP

2

1i RiF

2R1R2

1iRi

FF ..

3.3.1.2 Circuitos em paraleloo

Para circuitos em paraleo o objectivo da anlise atingido aplicando-se sucessivamenteas leis de Kirchoff de ns e malhas e ainda os conceitos de resistncia equivalente decircuitos em paralelo e a regra de divisor de corrente para determinar primeiro ascorrentes em cada ramo e depois as quedas de tenso sobre cada elemento e aspotncias dissipadas em cada elemento. Para melhor ilustrao consideremos o circuitodado na figura a seguir.


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Figura ( ) Circuito com elementos ligados em paralelo

Para o circuito da figura pode-se escrever:

eq

F

321F

3

F

2

F

1

F321F R

VR1

R1

R1

VRV

RV

RV

IIII =

++=++=++= .

Ou ainda:

( ) eqF321FF GVGGGVI .. =++=

Donde:

=++=++=

=

=

N

1ii321

321eq

iF

GGGGR1

R1

R1

G

VV

A corrente sobre cada ramo ser, pela regra de divisor de corrente:

==

==

==

eq

3T

Rexceptoeq

eq

F3

eq

2T

Rexceptoeq

eq

F2

eq

1T

Rexceptoeq

eq

F1

G

GIR

R

VI

GGIR

RVI

GG

IRRV

I

3

2

1

..

..

..


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A potncia dissipada em cada elemento ser:

===

===

===

22F

3

2F

3233

22F

2

2F

2222

12F1

2

F1211

GVR

VRIP

GVRV

RIP

GVR

VRIP

..

..

..

Exemplo 3.2

Dado o circuito da figura a seguir, determina:

20

40

80

R1

R2

R3

160 V

VF

IT

I1

I2

I3

a) A conductncia equivalente do circuito vista da fonte de alimentao,

b) A corrente total,

c) A corrente sobre cada elemento,

d) A potncia dissipada em cada elemento,

e) O balano de potncias.


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Resoluo:

a) S0875080

7

80

124

80

1

40

1

20

1

GGGR

1

R

1

R

1

G 321321eq ,==

++=++=++=++=

b) ( ) A1408750160GVGGGVII eqF321FTF ===++== ,...

c)

====

====

====

A208750801

14G

GIR

R

VI

A408750401

14GG

IRRV

I

A808750201

14G

GIR

R

VI

eq

3T

Rexceptoeq

eq

F3

eq

2T

Rexceptoeq

eq

F2

eq

1T

Rexceptoeq

eq

F1

3

2

1

,...

,...

,...

d)

===

===

===

22F

3

2F3

233

22F

2

2F

2222

12F

1

2F

1211

GVRVRIP

GVR

VRIP

GVR

VRIP

..

..

..

=====

=====

====

W320801160GV

RVRIP

W640401

160GVR

VRIP

W1280201

160R

VRIP

22

2F

3

2F3

233

22

2F

2

2F

2222

2

1

2F

1211

...

...

..

e)

===

=++=++=

===

=

=

W2240PW2240P

W22403206401280PPPP

W224014160IVP

2

1iRiF

3R2R1R3

1iRi

TFF ..


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3.4 Anlise de circuitos mais complexos

Para circuitos em que os no esto associados de uma forma simples, isto em srie ouparalelo usa-se, conforme a convenincia, cada um dos seguintes mtodos.

3.4.1 O Mtodo de Anlise de Malhas Independentes

J foi referido que uma malha um circuito fechado simples. A malha pode serindependentequando no contem outro circuito fechado no seu interior ou dependentequando contm outros caminhos fechados no seu interior. O mtodo de anlise demalhas independentes consiste na aplicao das equaes de tenso de Kirchhoff s

malhas independentes de qualquer rede linear.

A anlise do circuito pelo mtodode malhas independentes consiste dos seguintespassos:

1) Identificao e determinao do nmero de ns e ramos do circuito2) Determinao do nmero de correntes de malha. O nmero de

correntes de malha dado por : (((( ))))1==== nsramosequaes NNN

3) Identificao das malhas independentes dentro do circuito;4) Definio das correntes de malha e respectivos sentidos.

recomendvel definir como sentido positvo o sentido horrio;

5) Formulao das equaes do circuito aplicando a 2 Lei de Kirchoffpara as malhas independentes j identificadas no 3 passo;6) Resoluo do sistema de equaes formuladas no passo anterior em

ordem s correntes de malha;7) Determinao das correntes em cada elemento ou ramo do circuito

sobrepondo algebricamente todas as correntes de malha que passampelo elemento cuja corrente pretende-se determinar.


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Exemplo 3.3

Formula as equaes de malha do circuito representado na figura a seguir:

Figura- Cicuito para Anlise pelo mtodo de malhas independentes

Resoluo:

1) A aplicao dos passos 1 a 4 conduz seguinte configurao do circuito:


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2) O 5 passo conduz ao seguinte sistema de equaes de malha:

====++++

====++++++++

====++++

310233332

142433232520241416

20 1

MalhaF

F

VIRIRIR

MalhaIRIRIRIRIR MalhaVIRIRIR

Que rearranjado d:

(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

====++++++++

====++++++++++++

====++++

1033223

33254314

2024164

0

F

F

VIRRIR

IRIRRRIR

VIRIRR

Ou na forma matricial:

====

++++

++++++++

++++

10

20

3

2

1

323

35434

464

0

0

0

F

F

V

V

I

I

I

RRR

RRRRR

RRR

3) A seguir pode-se resolver o sistema de equaes formulado no passo anteriorusando qualquer dos mtodos de resoluo de sistemas de equaes linearesalgbricas.

Exemplo 3.4Determina a corrente no resistor de 2 da rede mostrada na figura a seguir.


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Resoluo:

Este circuito o mesmo do exemplo anterior. Assim, substituindo os valores das

tenses das fontes e das resistncias pelos respectivos valores numricos ospassos 1 a 3 conduzem ao seguinte sistema de equaes lineares.

====++++

====++++

====

1053

03124

20410

32

321

21

II

III

II

A resoluo deste sistema de equaes d:

A,I;A,I;A,I 982631652 321 ============

Sendo que o resistor R 22 ==== atravessado apenas pela corrente de malha 3I

vem que a corrente atravs dele A,IIR 98233 ========

3.4.2. O Mtodo de Anlise Nodal ou de Ns

Um outro mtodo muito usual na anlise de circuitos o chamado mtodo deanlise nodal ou de ns. A anlise nodal consiste em definir o potencial de cada nda rede e escrever as equaes de corrente de Kirchhoff em funo dos potenciaisdos ns definidos. Uma vez que apenas intessam diferenas de potencial outenses, um dos potenciais de n deve ser considerado zero para servir dereferncia. Isto , os potenciais dos outros ns sero em relao ao do n dereferncia. Os passos do mtodo so os seguintes:

1) Identificar todos os ns principais do circuito. Normalmente soconsiderados aqueles para onde convergem 3 ou mais ramos do circuito.

2) Escolher um dos ns para servir de referencial de tenses do sistema.Normalmente usa-se um dos ns a que se encontra ligado o potencialnegativo de uma fonte de tenso ou os ligados terra, havendo;

3) Escrever as equaes de todos os ns do circuito excepto o adoptado parareferncia. Assim, se tivermos n ns na rede sero necessrias (n-1)

equaes de n;4) Resolver os sitema de equaes de n com relao aos potenciais dos ns,5) Determinar outras grandezas do circuito em funo das tenses de n

determinadas no passo anterior.


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Exemplo 3.5

Formular as equaes de n para a rede do exemplo anterior.

Algortmo de soluo:

1) Na figura identificmos primeiro os ns primrios que neste caso so 3 edesignmo-los por 0, 1 e 2, sendo o n 0, o adoptado como de referncia;

2) A seguir definmos os potenciais dos ns 1 e 2 com relao ao n dereferncia, isto , 110 VV ==== e 220 VV ==== ;

3) Aplicmos as equaes de Kirchoff de ns para os ns 1 e 2 obtendo-se:

====

++++

++++

====

++++

++++

20

1020

2

102

5

12

3

02

4

01

5

21

6

1

NR

)V(VR

VVR

VV

NR

VVR

VVR

FVV

F


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Que rearranjada d:

====

++++++++++++

====

++++++++

2

10

5322

5

1

6

20

5

2

4561

111

111

RV

RRRV

RV

RV

RV

RRRV

F

F

4) Resoluo do sistema de equaes em funo a V1 e V2 usando qualquer mtodo deresoluo de sistemas de equaes lineares algbricas.

Exemplo 3.6

Determina a corrente no resistor de R2=2 da rede anterior usando o mtodo de anlisede ns.

Resoluo

Substituindo os valores numricos nas equaes do exemplo anterios vem:

++++====

++++++++++++

====++++

++++++++

251

31

21

5

65415161

102

1

2021

F

F

VV

V

VVV

A soluo deste sistema de equaes d:

VVVV 047,4093,421

========

Portanto, a corrente no resistor de 2 ser dada por:(((( ))))

A,,VVV

I F 9822

1004742

10

22102

3 ====++++

====++++

====

==== .

O sentido desta corrente do n 2 para o n . Este resultado o mesmo que oobtido no exemplo anterior, usando o mtodo de anlise de malhas.


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3.4.3. Circuitos em , Estrela eTransformao Estrela-Tringulo e Vice- Versa

A associao de resistncias para obter elementos equivalentes de substituio permitesimplificar consideravelmete os clculos de parmetros de circuitos. Contudo, existemconfiguraes de resitncias que no podem ser simplificadas usando as leis dasassociaes srie/paralelo. So os casos de circuitos com elementos ligados em delta outringulo () e os circuitos com elementos ligados em estrela. Estes arranjos podem sersimplificados usando as regras de transformao estrela-tringulo. As figuras a) e b) aseguir mostram resistncias ligadas em estrela e tringulo respectivamente. Os doiscircuitos so equivalentes se a resistncia entre quaisquer dois terminais de umaconfigurao for igual resistncia entre os mesmos terminais da outra configurao.

1R 2R

3R1V 2V

1I 2I

a) Elementos ligados em Estrela


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bR1V

2V

2I

1IcR

aR

x

yz

Ra

Rb

Rc

b) Elementos ligados em Tringulo

Figura- Transformao Estrela-Tringulo

As equaes de transformao de uma configurao noutra so apresentadas a seguir. Asua deduo ser feita no captulo dos quadrpolos.

cba

cb

RRR

RRR

++++++++====1

cba

ca

RRR

RRR

++++++++====2

cba

ba

RRR

RRR

++++++++====3

Ou, reciprocamente,

1

313221

R

RRRRRRRa

++++++++====

2

313221

R

RRRRRRRb

++++++++====

3

313221

R

RRRRRRRc

++++++++====


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3.4. Problemas

Problema 3.4.1Determina, para o circuito dado na figura a seguir, usando o mtodo de resistnciaequivalente:

a) A queda de tenso em cada elemento do circuito,b) A potncia dissipada em cada resistor,c) O balano de potncias.

Problema 3.4.2

Determina a tenso V no circuito da figura a seguir usando o mtodo da resistnciaequivalente e divisor de tenso.


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Problema 3.4.3Usa o mtodo de resistncia equivalente e divisor de corrente sucessivamente para

determinar I no circuito da figura a seguir.

100 k

25 k

10 k

3 k

60 k

30 k

I

225 V

Problema 3.4.4Determina I no circuito da figura a seguir.

12

48 8

60

40

240 V

I

Problema 3.4.5No circuito da figura a seguir existe uma lmpada de 120 V/ 60 W. Determina a tenso dafonte VF para que a lmpada opere nessas condies. Usa sucessivamente os mtodosde resistncia equivalente, divisor de corrente e de tenso.


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Problema 3.4.6

No circuito da figura a seguir determina I e a potncia absorvida pela fonte dependente.

Problema 3.4.7

Determina a corrente I da rede da figura a seguir usando o mtodo de anlise de malhasindependentes.

Problema 3.4.8

Determina a corrente I da rede da figura do exerccio anterior usando o mtodo daanlise nodal


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Problema 3.4.9

Dado o circuito apresentado na figura a seguir, calcula o valor e o sentido da correnteatravs das resistncias de 5 , 10 e 20 usando o mtodo de anlise de malhasindependentes.

Problema 3.4.10

Dado o circuito apresentado na figura a seguir, calcula o valor, o sentido da corrente e apotncia atravs da resistncia de 6 usando o mtodo de anlise nodal (de ns).


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Problema 3.4.11

Determina a resistncia equivalente vista dos terminais AB do circuito resistivo mostradona figura a seguir.

..Problema 3.4.12

No circuito do exemplo anterior o resistor de 4,5 substitudo por um resistor deresistncia varivel Rad e uma fonte de tenso contnua de 110 V ligada entre osterminais A e B sendo que o terminal A o positivo. Qual dever ser o valor daresistncia para que esta drene da rede a potncia mxima.

Problema 3.4.13

Calcula a potncia total entregue rede do exerccio anterior nas condies de potnciamxima drenada da fonte.


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Problema 3.4.14

Determina I1 e I2 do circuito resistivo mostrado na figura a seguir usando o mtodo deanlise de malhas independentes.

Problema 3.4.15

Determina I1 e I2 do circuito resistivo do exerccio anterior usando o mtodo de anlisenodal.

Problema 3.4.16

Determina para o mesmo circuito dos exemplos anteriores a potncia fornecida pela fonte

de corrente e pela fonte de tenso.

Problema 3.4.17

Determina para o mesmo circuito a corrente atravs do resitor de 20 usando oTeorema de Norton.


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Problema 3.4.18

Determina os valores medidos pelo ampermetro e voltmetro nos dois circuitosapresentados na figura a seguir e comenta os resultados. Nota que nos dois circuitos asposies da fonte de tenso e do ampermetro esto trocados.

a) b)Figura---Problema 2.4.12

Problema 3.4.19

Determina a potncia forneccida rede da figura a seguir.


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Problema 3.4.20

Determina as correntes em todos os resistores do circuito mostrado na figura aseguir usando qualquer dos mtodos discutidos nas aulas.

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