cap´ıtulo 3 la ecuaci´on de adveccion...

Capıtulo 3

La ecuacion de AdveccionDifusion.

3.1. Diferencias finitas en la Ecuacion de Ad-

veccion difusion

El problema de transporte de contaminantes han sido estudiados amplia-mente, sin embargo las soluciones analıtias del fenomeno quedan restringidasa condiciones iniciales y de frontera extremadamente simples. Obtener resul-tados para condiciones iniciales y de frontera mas complicadas (ej. condicioninicial variada en el tiempo) requiere el uso de de metodos numericos paralas soluciones de las ecuaciones. Tambien ante la escaces de informacion pa-ra usar en muchos casos modelos matematicos mas complejos, es necesarioaplicar modelos de dispersion unidimensional, que por lo general enfrentanproblemas de estabilidad en la solucion numerica. Tradicionalmente para lasolucion de la ecuacion de dispersion longitudinal se separan efectos (con-veccion -difusion) y es comun llegar a construir esquemas que conducen aerrores en la solucion. Presentaremos la ecuacion de Dispersion Longitudi-nal y su solucion aplicando esquemas explicitos y esquemas implicitos endiferencis finitas.

Ecuacion de Adveccion Difusion Longitudinal

∂u

∂t+ α

∂u

∂x= β

∂2u

∂x2x ∈ 〈0, b〉 t ∈ [0, T ] (3.1)

49

50 3.1. Diferencias finitas en la Ecuacion de Adveccion difusion

donde f ∈ C2([0, b]) u ∈ C([0, b]× 〈0,∞〉) ∩ C2(〈0, b〉 × 〈0,∞〉)con α ,β , constantes positivas, llamados coeficiente convectivo, difusivo

respectivamente.

3.1.1. Esquema Explicito

El analisis de la convergencia de esta ecuacion es compilicado, esto se salvausando el teorema de equivalencia de Lax, por ello necesitamos analizar laconsistencia y estabilidad. Teniendo en cuenta

∂U

∂t=Um+1

j − Umj

∆t

∂U

∂x=Um

j+1 − Umj−1

2∆x

∂2U

∂x2=Um

j+1 − 2Umj + Um

j−1

∆x2

Reemplazmos en la ecuacion 3,1 tenemos el esquema:

Um+1j − Um

j

∆t+ α

Umj+1 − Um

j−1

2∆x= β

Umj+1 − 2Um

j + Umj−1

∆x2

Um+1j = Um

j − α ∆t∆x

(Um

j+1 − Umj−1

)+ β ∆t

∆x2

(Um

j+1 − 2Umj + Um

j−1

)Donde.

Cr = α∆t

∆xnuemero de Courant

Pe = α∆x

βnumero de Peclet

λ =Cr

Pe= β

∆t

∆x2

Um+1j = Um

j − Cr

2

(Um

j+1 − Umj−1

)+ λ

(Um

j+1 − 2Umj + Um

j−1

)De aqui se tiene

Um+1j =

(λ+

Cr

2

)Um

j−1 + (1− 2λ)Umj +

(λ− Cr

2

)Um

j+1 (3.2)

3. La ecuacion de Adveccion Difusion. 51

Con error de truncacion 0 (∆t,∆x2)

A continuacion presentamos el analisis de ecuacion de conveccion difusion

Teorema 7 Analisis de la Ecuacion de Adveccion Difusion Transi-torioLa ecuacion de conveccion difusion

∂u

∂t+ α

∂u

∂x= β

∂2u

∂x2x ∈ 〈0, b〉 t ∈ [0, T ]

Con el esquema explicito:

Um+1j =

(λ+

Cr

2

)Um

j−1 + (1− 2λ)Umj +

(λ− Cr

2

)Um

j+1

Es Consistente de orden 1 para el tiempo y de orden 2 para el espacio.Es Estable para 0 < Cr ≤ Pe

2< 1 1

4≤ λ < 1

2donde Cr = α ∆t

∆xPe =

α∆xβ

λ = CrPe

yEs Convergente.

Demostracion

Veremos el analisis de la consistencia:

Estudio de la Consistencia

En la ecuacion∂u

∂t+ α

∂u

∂x= β

∂2u

∂x2

Reemplazamos las formulas respectivas

Um+1j

−Umj

∆t− ∆t

2∂2

∂t2U(x∗,ξ)

∣∣∣ξ+α

Umj+1−Um

j−12∆x

− ∆x2

3∂3

∂x3 U(ς,y∗)∣∣∣ς=β

Umj+1−2Um

j +Umj−1

∆x2 − ∆x2

12∂4

∂x4 U(z,y∗)∣∣∣z=0

ξ ∈ [n∆t, (n+ 1)∆t] z, ς ∈ [(n− 1)∆x, (n+ 1)∆x]

El error de truncacion es

τnj =

∆t

2

∂2

∂t2U(x∗, ξ)

∣∣∣∣ξ

+∆x2

3

∂3

∂x3U(ς, y∗)

∣∣∣∣ς

− ∆x2

12

∂4

∂x4U(z, y∗)

∣∣∣∣z


Como trabajamos en un conjunto R = {(x, t)/ 0 ≤ x ≤ L , 0 ≤ t ≤ T }existen constantes m1 y m2 para u suficientemente regular tal que

τnj ≤ m1∆t+m2∆x

2 denotamos τnj = 0(∆t,∆x2)

Por lo tanto el problema con este esquema es consistente.

Estudio de la Estabilidad

Sea la solucion discreta Umj = fne

ikj∆x i =√−1

reemplazmos en la ecuacion

∂u

∂t+ α

∂u

∂x= β

∂2u

∂x2

tenemos

fn+1eikj∆x = fne

ik(j−1)∆x(λ+ Cr

2

)+fne

ikj∆x (1− 2λ)+fneik(j+1)∆x

(λ− Cr

2

)fn+1e

ikj∆x = fneikj∆x

{(λ+ Cr

2

)e−ik∆x + (1− 2λ) +

(λ− Cr

2

)eik∆x

}fn+1 = fn

{λ(eik∆x + e−ik∆x

)− Cr

2

(eik∆x − e−ik∆x

)+ 1− 2λ

}fn+1 = fn

{2λ cos(k∆x)− Cr

2[2i sin(k∆x)] + 1− 2λ

}Agrupando la parte real y la parte imaginaria, tenemos

fn+1 = fn {1− 2λ+ 2λ cos(k∆x)− iCr sin(k∆x)}

fn+1 = fn−1 {1− 2λ+ 2λ cos(k∆x)− iCr sin(k∆x)}2

.

.

fn+1 = f0 {1− 2λ+ 2λ cos(k∆x)− iCr sin(k∆x)}n+1

El factor de amplificacion G, tiene una parte real y otra imaginaria porVonn Neumann para la estabilidad del esquema debemos tener:|G| ≤ 1 , G = 1− 2λ+ 2λ cos(k∆x)− iCr sin(k∆x)


|G|2 ≤ 1

|G|2 = [(1− 2λ) + 2λ cos(k∆x)]2 + [Cr sin(k∆x)]2 , θ = k∆x

|G|2 = (1− 2λ)2 + 4λ2 cos2 θ + 4λ(1− 2λ) cos θ + (Cr)2 sin2 θ

sin2 θ = 1− cos2 θ

|G|2 = (4λ2 − (Cr)2) cos2 θ + 4λ(1− 2λ) cos θ + (1− 2λ)2 + (Cr)2 (3.3)

Lo que consideraremos como una ecuacion cuadratica con respecto acos θ con un maxımo o mınimo veamos que:

∂

∂ cos|G|2 = 2 cos(4λ2 − (Cr)2) cos θ + 4λ(1− 2λ)

∂2

∂ (cos θ)2 |G|2 = 2(4λ2 − (Cr)2) (3.4)

caso 1∂2

∂(cos θ)2|G|2 = 2(4λ2 − (Cr)2) < 0

La funcion tiene maximo que se da si

∂∂(cos θ)2

|G|2 = 0

Es decir

2(4λ2 − (Cr)2) cos θ + 4λ(1− 2λ) = 0


(cosθ)del max = − 4λ(1− 2λ)

2(4λ2 − Cr)2)=

2λ(2λ− 1)

4λ2 − (Cr)2(3.5)

Reemplazamos en (3,3)

|G|2max=(4λ2−(Cr)2)[

2λ(2λ−1)

4λ2−(Cr)2

]2+4λ(1−2λ)

[2λ(2λ−1)

4λ2−(Cr)2

]+4λ(λ−1)+(Cr)2+1

|G|2max= 4λ2−2λ

4λ2−(Cr)2

{(4λ2−(Cr)2)

(4λ2−2λ)

4λ2−(Cr)2+4λ(1−2λ)

}+4λ2−4λ+(Cr)2+1

|G|2max = 4λ2−2λ4λ2−(Cr)2

{2λ− 4λ2}+ 4λ2 − 4λ+ (Cr)2 + 1

|G|2max = − (4λ2−2λ)2

4λ2−(Cr)2+ 4λ2 − 4λ+ (Cr)2 + 1

|G|2max = (4λ2−2λ)2−(4λ2−(Cr)2)(4λ2+(Cr)2)+(4λ2−(Cr)2)(4λ−1)−(4λ2−(Cr)2)

|G|2max = 16λ4+4λ2−16λ3−(−16λ4−(Cr)4+16λ−4λ2−4λ(Cr)2+(Cr)2)−(4λ2−(Cr)2)

|G|2max = (Cr)4−4λ(Cr)2+(Cr)2

−(4λ2−(Cr)2)=

(Cr)2[(Cr)2−4λ+1](Cr)2−4λ2 ≤ 1

Pero requerimos que

|G|2max ≤ 1 4λ2 − (Cr)2 < 0 (3.6)

tenemos que

(Cr)2[(Cr)2−4λ+1](Cr)2−4λ2 ≤ 1 y (Cr)2 − 4λ2 > 0

Resolviendo

(Cr)4 − 4λ(Cr)2 + (Cr)2 ≤ (Cr)2 − 4λ2


(Cr)4 − 4λ(Cr)2 + 4λ2 ≤ 0

[(Cr)2 − 2λ]2 ≤ 0

[(Cr)2 − 2λ]2

= 0 ∨ [(Cr)2 − 2λ]2< 0

De donde solo se cumple que

(Cr)2 = 2λ (3.7)

Reemplazando (3,7) en (3,6)

4λ2 − (Cr)2 < 0

Resolviendo 4λ2 − 2λ < 0

2λ(2λ− 1) < 0

0 < λ <1

2∧ λ =

Cr

Pe−→ 0 < Cr <

Pe

2(3.8)

Tambien

0 < 2λ < 1 ∧ (Cr)2 = 2λ

tenemos

0 < (Cr)2 < 1 es decir 0 < Cr < 1Ademas como 4λ2 − (Cr)2 < 0 y λ = Cr

Petenemos 2 < Pe

en conclucion tenemos de 3,8

0 < Cr <Pe

2∧ Cr < 1 ∧ 2 < Pe (3.9)


caso 2

La funcion tiene mınimo

∂2

∂ (cos θ)2 |G|2 = 2

(4λ2 − (Cr)2

)> 0

(2λ+ Cr) (2λ− Cr) > 0

2λ− Cr > 0

2Cr

Pe− Cr > 0

2

Pe− 1 > 0

2− Pe > 0

2 > Pe

Ademas0 ≤ |G|2 ≤ 1

De (3,3) tenemos

|G|2 = (4λ2 − (Cr)2) cos2 θ + 4λ(1− 2λ) cos θ + (1− 2λ)2 + (Cr)2

De aqui2 > Pe ∧ ∆cosΘ ≤ 0

2 > Pe ∧ [4λ(1− 2λ)]2 − 4(4λ2 − (Cr)2)[(1− 2λ)2 + (Cr)2

]≤ 0

2 > Pe ∧ Cr ≤√

4λ− 1

2 > Pe ∧ λ ≥ 1

4(3.10)

Tambien recuerde0 ≤ |G|2 ≤ 1

0 ≤ (4λ2−(Cr)2) cos2 θ+4λ(1−2λ) cos θ+(1−2λ)2+(Cr)2 ≤ 1; ∀cosΘ ∈ [−1, 1]


Si cosΘ = 1 Se tiene 4λ2 − (Cr)2 + 4λ(1− 2λ) + (1− 2λ)2 + (Cr)2 ≤ 1

1 ≤ 1

lo cual es cierto siempre

Si cosΘ = −1 Se tiene[4λ2 − (Cr)2

](−1)2 + 4λ(1− 2λ)(−1) + (1− 2λ)2 + (Cr)2 ≤ 1

16λ2 − 8λ ≤ 0

λ(2λ− 1) ≤ 0

De aqui

0 ≤ λ ≤ 1

2

0 ≤ Cr

Pe≤ 1

2(3.11)

Por lo tanto de (3,11) y (3,10) tenemos

0 ≤ Cr ≤ Pe

2< 1

1

4≤ λ ≤ 1

2

Asi tendremos la region de estabilidad para este caso

Ası del caso 1 y del caso 2 tenemos la region de estabilidad vea la fig.3.1

Estudio de la Convergencia

Aqui vamos a utilizar un resultado fundamental de la teorıa de Aproxi-macion en diferencias finitas, EL TEOREMA DE LAX, para este problemabien planteado que satisface la condicion de Consistencia y la condicion deEstabilidad, lo cual implica la convergencia de nuestro algoritmo.


Figura 3.1: Grafico de la curva de estabilidad numero de Peclet vs. Courant

3.1.2. Esquema Implicito

El metodo de Crank-Nicolson Proporsiona un esquema implicito que esexacto de segundo orden tanto en espacio como en tiempo. Para proporcio-nar esta exactitud, se desarrollaron las aproximaciones por diferencias en elpunto medio del incremento en el tiempo . Tenemos:

un+1i − un

i

∆t=

∂

∂tu

n+ 12

i +1

24(∆t)2 ∂

3

∂t3u

n+ 12

i + · · ·

∂

∂tU =

un+1i − un

i

∆t0(k2)

La segunda derivada en el espacio puede ser determinada en el puntomedio al promediar las aproximaciones al inicio tn y al final tn+1 delincremento del tiempo.


un+1i+1 − 2un+1

i + un+1i−1

(∆x)2=

[∂2

∂x2u

n+ 12

i +(∆x)2

12

∂4

∂x4u

n+ 12

i +(∆x)4

360

∂6

∂x6u

n+ 12

i + · · ·]

+

+∆t

2

[∂3

∂t∂x2u

n+ 12

i +(∆x)2

12

∂5

∂t∂x4u

n+ 12

i + · · ·]

+ · · ·

Del mismo modo

uni+1 − 2un

i + uni−1

(∆x)2=

[∂2

∂x2u

n+ 12

i +(∆x)2

12

∂4

∂x4u

n+ 12

i +(∆x)4

360

∂6

∂x6u

n+ 12

i + · · ·]−

−∆t

2

[∂3

∂t∂x2u

n+ 12

i +(∆x)2

12

∂5

∂t∂x4u

n+ 12

i + · · ·]

+ · · ·

Tenemos

∂2

∂x2U =

1

2

[un

i+1 − 2uni + un

i−1

(∆x)2+un+1

i+1 − 2un+1i + un+1

i−1

(∆x)2

]0(k2)

Tambien

∂

∂xU =

1

2

[un+1

i+1 − un+1i−1

2∆x+un

i+1 − uni−1

2∆x

]0(h2) , 0(k2)

Reemplazando en la ecuacion (2,18)

∂u

∂t+ α

∂u

∂x= β

∂2u

∂x2

Tenemos el esquema

un+1i − un

i

∆t+α

2

[un+1

i+1 − un+1i−1

2∆x+un

i+1 − uni−1

2∆x

]=

=β

2

[un

i+1 − 2uni + un

i−1

(∆x)2+un+1

i+1 − 2un+1i + un+1

i−1

(∆x)2

]

un+1i − un

i +α∆t

4∆x

[un+1

i+1 − un+1i−1 + un

i+1 − uni−1

]=

=β∆t

2(∆x)2

[un

i+1 − 2uni + un

i−1 + un+1i+1 − 2un+1

i + un+1i−1

]


Cr = α ∆t∆x

Numero de Courant

Pe = α∆xβ

Numero de Peclet

λ = CrPe

= β∆tβ

un+1i − un

i +Cr

4

[un+1

i+1 − un+1i−1 + un

i+1 − uni−1

]=

=λ

2

[un

i+1 − 2uni + un

i−1 + un+1i+1 − 2un+1

i + un+1i−1

]

un+1i +

Cr

4un+1

i+1 −Cr

4un+1

i−1 −λ

2un+1

i+1 + λun+1i − λ

2un+1

i−1 =

= uni +

Cr

4un

i−1 −Cr

4un

i+1 +λ

2un

i+1 − λuni +

λ

2un

i−1

Se tiene

(−Cr4−λ

2)un+1

i−1 +(1+λ)un+1i +(

Cr

4−λ

2)un+1

i+1 = (Cr

4+λ

2)un

i−1+(1−λ)uni +(−Cr

4+λ

2)un

i+1

(3.12)Con error de truncacion 0(∆x2,∆t2)


Teorema 8 (Analisis de la Ecuacion de Conveccion Difusion Transitorio)La ecuacion de conveccion difusion

∂u

∂t+ α

∂u

∂x= β

∂2u

∂x2x ∈ 〈0, b〉 t ∈ [0, T ] (3.13)

Con el esquema implicito de Crank-Nicolson

(−Cr4−λ

2)un+1

i−1 +(1+λ)un+1i +(

Cr

4−λ

2)un+1

i+1 = (Cr

4+λ

2)un

i−1+(1−λ)uni +(−Cr

4+λ

2)un

i+1

Es Consistente de orden 2 para el tiempo y de orden 2 para el espacio.Es incondicionalmente estable para Cr = α ∆t

∆xPe = α∆x

βy

Es Convergente.

Demostracion

Veremos el :

Analisis de la Consistencia

Al inicio de la seccion, tenemos que el error de truncatura es

τnj = − 1

24(∆t)2 ∂

3

∂t3u(x∗, ξ)

∣∣∣∣ξ

− (∆x)2

12

∂4

∂x4u(β, y∗)

∣∣∣∣β

β ∈ [(i− 1)∆x, (i+ 1)∆x] ξ ∈ [(n− 1)∆t, (n+ 1)∆t]

Como trabajamos en un conjunto

R = {(x, t)/ 0 ≤ x ≤ L , 0 ≤ t ≤ T }

existen constantes m1 y m2 para u suficientemente regular tal que

τnj ≤ m1∆t

2 +m2∆x2 denotamos τn

j = 0(∆t2,∆x2)

Por lo tanto el problema con este esquema es consistente.


Analisis de la Estabilidad

Sea la solucion discreta

Unj = fne

ikj∆x i =√−1

reemplazando en (3,13) tenemos:

(−Cr

4− λ

2

)fn+1e

ik(j−1)∆x + (1 + λ)fn+1eikj∆x +

(Cr

4− λ

2

)fn+1e

ik(j+1)∆x =

=

(Cr

4+λ

2

)fne

ik(j−1)∆x + (1− λ)fneikj∆x +

(−Cr

4+λ

2

)fne

ik(j+1)∆x

fn+1

{(−Cr

4− λ

2

)eik(j−1)∆x + (1 + λ)eikj∆x +

(Cr

4− λ

2

)eik(j+1)∆x

}=

= fn

{(Cr

4+λ

2

)eik(j−1)∆x + (1− λ)eikj∆x +

(−Cr

4+λ

2

)eik(j+1)∆x

}

fn+1

{(−Cr

4− λ

2

)e−ik∆x + (1 + λ) +

(Cr

4− λ

2

)eik∆x

}=

= fn

{(Cr

4+λ

2

)e−ik∆x + (1− λ) +

(−Cr

4+λ

2

)eik∆x

}

fn+1

{Cr

4

(eikj∆x − e−ikj∆x

)− λ

2

(eikj∆x + e−ikj∆x

)+ (1− λ)

}=

= fn

{−Cr

4

(eikj∆x − e−ikj∆x

)+λ

2

(eikj∆x + e−ikj∆x

)+ (1− λ)

}

fn+1

{Cr

42i sin(k∆x)− λ

22 cos(k∆x) + (1 + λ)

}=

= fn

{−Cr

42i sin(k∆x) +

λ

22 cos(k∆x) + (1− λ)

}

fn+1

{1 + λ− λ cos(k∆x) + i

Cr

2sin(k∆x)

}= fn

{1− λ+ λ cos(k∆x)− i

Cr

2sin(k∆x)

}


fn+1 = fn

{1− λ+ λ cos(k∆x)− iCr

2sin(k∆x)

1 + λ− λ cos(k∆x) + iCr2sin(k∆x)

}

Ası tenemos que

fn+1 = f0

{1− λ+ λ cos(k∆x)− iCr

2sin(k∆x)

1 + λ− λ cos(k∆x) + iCr2sin(k∆x)

}n

Afirmamos que

∣∣∣∣∣1− λ[1− cos(k∆x)]− iCr2sin(k∆x)

1 + λ[1− cos(k∆x)] + iCr2sin(k∆x)

∣∣∣∣∣ < 1

En efecto, pues se quiere demostrar que

{1− λ[1− cos(k∆x)]}2 +{

Cr2sin(k∆x)

}2

{1 + λ[1− cos(k∆x)]}2 +{

Cr2sin(k∆x)

}2 < 1

Como 1− cos(k∆x) > 0 Se tiene que

0 < 2 {2λ[1− cos(k∆x)]}

es decir tenemos que

0<{(1+λ[1−cos(k∆x)])+(1−λ[1−cos(k∆x)])}{(1+λ[1−cos(k∆x)])−(1−λ[1−cos(k∆x)])}

0 < (1 + λ [1− cos(k∆x)])2 − (1− λ [1− cos(k∆x)])2

Sumando miembro a miembro[

Cr2sin(k∆x)

]20<{1−λ[1−cos(k∆x)]}2+{Cr

2sin(k∆x)}2

<{1+λ[1−cos(k∆x)]}2+{Cr2

sin(k∆x)}2

se tiene entonces que

{1− λ[1− cos(k∆x)]}2 +{

Cr2sin(k∆x)

}2

{1 + λ[1− cos(k∆x)]}2 +{

Cr2sin(k∆x)

}2 < 1

Por lo tanto se tiene que lo que queremos probar


∣∣∣∣∣1− λ[1− cos(k∆x)]− iCr2sin(k∆x)

1 + λ[1− cos(k∆x)] + iCr2sin(k∆x)

∣∣∣∣∣ < 1

por lo que el esquema de Crank-Nicolson es incondicionalmente estable

Analisis de la Convergencia

Aqui usamos el teorema de LAX, Para este problema que cumple la condi-cion de Consistencia y Estabilidad, lo cual implica la Convergencia de nuestroalgoritmo.

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