capitulo 3. distribuciones de los intervalos de tiempo
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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍAS E INGENIERÍAS
CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 208022-TELETRAFICO
CAPITULO 3: DISTRIBUCIONES DE LOS INTERVALOS DE TIEMPO La distribución exponencial es la distribución temporal más importante de la teoría del teletráfico.
Al combinar en serie intervalos temporales distribuidos exponencialmente, se obtiene una clase de
distribuciones denominadas distribuciones de Erlang. Al combinarlos en paralelo, se obtiene una
distribución hiperexponencial. Al combinar las distribuciones exponenciales en serie y en paralelo,
posiblemente con retroalimentación, se obtienen distribuciones de tipo fase, lo que constituye una
clase muy general de distribuciones. Las distribuciones de Cox son una sub categoría importante
de las distribuciones de tipo fase. Se observa que una distribución arbitraria se puede expresar
mediante una distribución Cox, lo que puede utilizarse en modelos analíticos en forma
relativamente sencilla. Por último, también se estudian otras distribuciones temporales que se
emplean en la teoría del teletráfico. Se ofrecen algunos ejemplos de observaciones de tiempos de
vida.
Lección 11: Distribución exponencial En la teoría de teletráfico esta distribución también se denomina distribución exponencial negativa.
En principio, se puede utilizar cualquier función de distribución con valores no negativos para
modelar un tiempo de vida. Sin embargo, la distribución exponencial tiene algunas características
propias que hacen que esta distribución se califique para utilización analítica y práctica. La
distribución exponencial desempeña un papel fundamental entre todas las distribuciones de tiempo
de vida.
Esta distribución se caracteriza por un parámetro único, la intensidad o régimen λ:
La función gamma viene defina por:
Si se reemplaza t por λt y se obtiene el ν-ésimo momento, se tiene:
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Figura 5.1 − En diagramas de fase todo intervalo de tiempo distribuido exponencialmente se
ilustra como una casilla con la intensidad. La casilla significa así que uncliente que llega a
la misma sufre el retardo de un intervalo de tiempo distribuido exponencialmente antes de
dejar la casilla La distribución exponencial es muy apropiada para describir intervalos de tiempo físicos (véase la
figura 6.2). La característica más importante de la distribución exponencial es su falta de memoria.
La distribución del tiempo residual de una conversación telefónica es independiente de la duración
real de la conversación, y es igual a la distribución del tiempo de vida total (3.11):
Si se quita la masa de probabilidad del intervalo (0, x) a partir de la función densidad y se
normaliza la masa residual en (x, ∞) a la unidad, la nueva función de densidad se hace congruente
con la función de densidad original. La única función de distribución continua que tiene esta
propiedad es la distribución exponencial, mientras que la distribución geométrica es la única
distribución discreta que tiene esta propiedad. En la figura 3.1 se muestra un ejemplo con la
distribución de Weibull en la que esta propiedad no es válida. Para k = 1 la distribución de Weibull
se hace idéntica a que la distribución exponencial. Por tanto, el valor medio del tiempo de vida
residual es m1,r = m y la probabilidad de observar un tiempo de vida en el intervalo (t,t + dt),
teniendo en cuenta que se produzca después de t, viene dado por:
es decir es independiente del tiempo real t.
11.1 Mínimo de k variables aleatorias distribuidas exponencialmente
Se supone que dos variables aleatorias X1 y X2 son mutuamente independientes y están
distribuidas exponencialmente con intensidades λ1 y λ2, respectivamente. Una nueva variable
aleatoria X se define como:
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La función de distribución de X es:
Esta función de distribución propiamente dicha es también una distribución exponencial con
intensidad (λ1 y λ2).
Con la hipótesis que el primer evento (más pequeño) sucede en el tiempo t, la probabilidad que
la variable aleatoria X1 se realice primero viene dada por:
es decir independiente de t. (No es necesario integrar todos los valores de t.)
Esos resultados pueden ser generalizados a k variables e integrar el principio básico de la
simulación técnica denominada método de la ruleta, una metodología de simulación de Monte
Carlo.
11.1.2 Combinación de distribuciones exponenciales
Si una distribución exponencial (es decir, un parámetro) no puede describir los intervalos de
tiempo con detalle suficiente, se ha de tener que utilizar entonces una combinación de dos o más
distribuciones exponenciales. Conny Palm introdujo dos clases de distribuciones: pronunciada y
plana. Una distribución pronunciada corresponde a un conjunto de distribuciones estocásticas con
exponencial independiente dispuestos en serie (véase la figura 5.2), y una distribución plana
corresponde a distribuciones exponenciales dispuestas en paralelo (véase la figura 5.4). Esta
estructura corresponde naturalmente a la configuración de procesos de tráfico en redes de
telecomunicación y datos.
Mediante la combinación de distribuciones pronunciada y planas se obtiene una aproximación
arbitrariamente buena para cualquier función de distribución (véase la figura 5.7). Los diagramas
de las figuras 5.2 y 5.4 se denominan diagramas de fase.
Figura 5.2 - Mediante la combinación de k distribuciones exponenciales en serie se obtiene
una distribución pronunciada (ε ≤ 2). Si todas las distribuciones k son idénticas (λ1 = λ), se
obtiene entonces una distribución Erlang-k
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Figura 5.3 − Distribuciones Erlang-k con valor medio igual a uno. El caso k = 1 corresponde
a una distribución exponencial (funciones de densidad)
Lección 12: Distribuciones pronunciadas
Las distribuciones pronunciadas también se denominan distribuciones hiperexponenciales o
distribuciones Erlang generalizadas con un factor de forma en el intervalo 1 < ε ≤ 2. Esta función de
distribución generalizada se obtiene convolucionando distribuciones exponenciales k (véase la
figura 5.2). Aquí sólo se considera el caso en el que todas las distribuciones exponenciales k son
idénticas. Se obtiene entonces la siguiente función de densidad que se denomina distribución
Erlang-k.
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(4.10) Mediante las ecuaciones (3.31) y (3.32) se pueden obtener los momentos siguientes;
El i-ésimo momento no central es:
La función de densidad se calcula en el § 6.2.2. El tiempo de vida residual medio m1,r(x) para x ≥ 0 será menor que el valor medio:
Con esta distribución se tiene dos parámetros (λ , k) disponibles para ser estimados por
observación. El valor medio se mantiene a menudo fijo. Para estudiar la influencia del parámetro k
en la función de distribución, se normalizan todas las distribuciones Erlang-k al mismo valor medio
como la distribución Erlang-1, es decir la distribución exponencial con 1/λ medio, reemplazando t
por kt o λ por kλ:
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Se observa que el factor de forma es independiente de la escala de tiempos. La función de
densidad (4.15) se ilustra en la figura 5.3 para diferentes valores de k con λ = 1. El caso k = 1
corresponde a la distribución exponencial. Cuando k → ∞ se obtiene en un intervalo de tiempo
constante (ε = 1).
Resolviendo la ecuación f' (t) se halla el valor máximo con la siguiente expresión:
Las distribuciones pronunciadas se denominan así debido a que las funciones de distribución aumenta de 0 a 1 más rápidamente que la distribución exponencial. En teoría de teletráfico se utiliza a veces el nombre distribución de Erlang para la distribución de Poisson truncada.
Lección 13: Distribuciones planas La función de distribución general es en este caso una suma ponderada de distribuciones
exponenciales (distribución compuesta) con un factor de forma ε ≥ 2:
donde la función de ponderación puede ser discreta o continua (integral de Stieltjes). Esta clase de
distribución corresponde a una combinación en paralelo de las distribuciones exponenciales
(véase la figura 5.4). La función de densidad se denomina función monótona completa debido a los
signos alternados (Palm, 1957 [84]).
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Figura 5.4 − Mediante la combinación de distribuciones exponenciales k en paralelo y
seleccionando la derivación número i con la probabilidad pi, se obtendrá una distribución
hiperexponencial, que es una distribución plana (ε ≥ 2)
El tiempo de vida residual medio m1,r(x) para toda x ≥ 0 es mayor que el valor medio:
13.1 Distribución hiperexponencial
En este caso, W(λ) es un valor discreto. Supóngase que se tengan los siguientes valores dados:
λ1, λ2, ... , λk,
y que W(λ) tenga incrementos positivos:
p1, p2, ... , pk donde
Para cualquier otro valor, W(λ) es constante. En este caso (4.20) resulta:
Los valores medio y el factor de forma se pueden hallar con las ecuaciones (3.36) y (3.37) (σi =
m1,i = 1/λi):
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Si n = 1 o todas las λi son iguales, se tendrá una distribución exponencial.
Esta clase de distribución se denomina distribución hiperexponencial y se puede obtener
combinando n distribuciones exponenciales en paralelo, donde la probabilidad de elegir la i-ésima
distribución viene dada por pi. La distribución se denomina plana pues su función de distribución
de 0 a 1 aumenta más lentamente que la distribución exponencial.
En la práctica, es difícil estimar más que uno o dos parámetros.
El caso más importante es para n = 2 (p1 = p, p2 = 1 – p):
Los problemas estadísticos surgen aun cuando se tratan tres parámetros. Por consiguiente, para
aplicaciones prácticas se escoge usualmente λi= 2λpi y se reduce así la cantidad de parámetros a
sólo dos:
El valor medio y el factor de forma resultan:
Para esta elección de parámetros las dos derivaciones tiene la misma contribución para el valor
medio. En la figura 5.5 se ilustra un ejemplo.
Lección 14: Distribuciones de Cox
Mediante la combinación de distribuciones planas y pronunciadas se obtiene una clase de
distribución general (distribuciones de tipo de fase) que se pueden describir con fase exponencial
tanto en serie como en paralelo (por ejemplo una matriz k × l). Para analizar un modelo con esta
clase de distribuciones, se puede aplicar la teoría de los procesos de Markov, de la que se tienen
herramientas eficaces como el método de fase. En el caso más general se puede permitir la
realimentación entre las fases.
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Sólo se considerarán distribuciones de Cox como las que se muestran en la figura 5.6 (Cox, 1955
[18]). Estas distribuciones también aparecen con el nombre de distribución de Erlang con
derivaciones.
Figura 5.5 − Función de la (frecuencia de) densidad para tiempos de ocupación
observándose líneas en una central local durante las horas cargadas. (Central 0163, 27/5-6/6 1975.)
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Figura 5.6 − Distribución de Cox en una distribución Erlang generaliza que tiene
distribuciones exponenciales tanto en serie como en paralelo. El diagrama de fase es equivalente a la figura 5.7
Figura 5.7 − Diagrama de fase de una distribución de Cox (véase la figura 5.6)
El valor medio y la varianza de esta distribución de Cox (véase la figura 5.7) se encuentran en las fórmulas:
donde:
El término qi(1 – ai) es la probabilidad de salir después de alcanzar la i-ésima fase. El valor medio
se puede calcular con la simple expresión siguiente:
donde m1,i = qi/λi, es el i-ésimo valor medio relacionado con la fase. La varianza es:
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que se puede expresar así:
La adición de dos variables aleatorias con distribución Cox produce otra variable con distribución
Cox, es decir esta clase es cerrada de acuerdo con la operación de adición.
La función de una distribución de Cox se puede expresar como la suma de funciones
exponenciales:
donde
y
14.1 Prueba polinomial Las siguientes propiedades tienen importancia para aplicaciones posteriores. Si se considera un
punto en el tiempo escogido al azar dentro de un intervalo de tiempo con distribución de Cox, la
probabilidad que este punto esté dentro de la fase i viene dada por:
Si este experimento se repite y veces (independientemente), la probabilidad que la fase i se
observa yi veces está dada por la distribución multinomial ( = distribución polinomial):
donde
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y
Estas expresiones (4.38) se denominan coeficientes multinomiales. Por la propiedad de "falta de
memoria" de las distribuciones (fases) exponenciales se tiene plena información acerca del tiempo
de vida residual, cuando se conoce el número de la fase real. 14.2 Principios de descomposición
Figura 5.8 − Una distribución exponencial con intensidad λ es equivalente a la distribución
de Cox mostrada (Teorema 4.1) Los diagramas de fase constituyen una herramienta útil para analizar las distribuciones de Cox. La
siguiente es una característica fundamental de la distribución exponencial (Iversen y Nielsen, 1985
[43]):
Teorema 4.1 Una distribución exponencial con intensidad λ se puede descomponer en una
distribución Cox de dos fases, donde la primera tiene una intensidad m > λ y la segunda una
intensidad λ (véase la figura 5.8).
El Teorema 4.1 muestra que una distribución exponencial es equivalente a una distribución de
Cox homogénea (homogénea significa que tiene iguales intensidades en todas las fases) con
intensidad m y un número infinito de fases (véase la figura 5.8). Se observa que las probabilidades
de derivaciones son constantes. La figura 5.9 corresponde a una suma ponderada de
distribuciones Erlang-k donde los factores de ponderación están geométricamente distribuidos.
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Figura 5.9 − Una distribución exponencial con régimen λ se transforma por descomposición
sucesiva en una distribución compuesta de distribuciones Erlang-k homogéneas con los
parámetros μ > λ, donde los factores de ponderación siguen una distribución geométrica
(cociente p = λ/m).
Figura 5.10 − Con una distribución hiperexponencial con dos fases λ1 > λ2 puede ser
transformada a una distribución de Cox-2. Conforme al Teorema 4.1 una distribución hiperexponencial con l fases es equivalente a una
distribución de Cox con el mismo número de fases. El caso l = 2 se muestra en la figura 5.10.
Se tiene otra propiedad de las distribuciones de Cox (Iversen y Nielsen, 1985 [43]):
Teorema 4.2 En cualquier distribución de Cox se pueden ordenar las fases, tal como λi ≥ λi+1.
Mediante el empleo de los diagramas de fase es sencillo ver que cualquier intervalo de tiempo
exponencial (λ) se puede descomponer en distribuciones de tipo de fase (λi), donde λi ≥ λ.
Referente a la figura 5.11 se observa que el régimen fuera de los estados macro (rectángulo en
línea de trazos) es independiente de λ del estado micro. Cuando el número de fase k es finito y no
hay realimentación la fase final debe tener régimen λ.
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Figura 5.11 − Esta distribución de tipo de fase es equivalente a un exponente único cuando
pi . λi = λ. Así λi ≥ λ como 0 < pi ≤ 1
14.3 Importancia de la distribución de Cox
Las distribuciones de Cox han atraído la atención durante los últimos años pues son de gran
importancia debido a las siguientes propiedades:
a. La distribución de Cox se puede analizar utilizando el método de fases.
b. Se puede tener una distribución arbitraria aproximadamente bien con una distribución de Cox.
Si una propiedad es válida para una distribución de Cox será también válida para cualquier
distribución de interés práctico.
Con las distribuciones de Cox se pueden obtener resultados con métodos elementales que
previamente requerían matemáticas muy avanzadas.
En la conexión con aplicaciones prácticas de la teoría, se han utilizado los métodos para estimar
los parámetros de la distribución de Cox. En general, hay 2k parámetros en un problema
estadístico sin resolver. Normalmente, se puede elegir una distribución de Cox especial (por
ejemplo, distribución Erlang-k o hiperexponencial) y aproximarse al primer momento.
Por simulación numérica en computadoras utilizando el método de la ruleta, se obtienen
automáticamente las observaciones de los intervalos de tiempo como distribución de Cox con las
mismas intensidades en todas las fases.
Lección 15: Otras distribuciones temporales En principio, cada distribución que tiene valores no negativos, se puede utilizar como distribución
temporal para describir los intervalos de tiempo. Pero en la práctica, se trabaja principalmente con
las distribuciones mencionadas anteriormente.
Se supone que el parámetro k en la distribución de Erlang-k (Ec. 4.8) toma valores reales no
negativos y obtiene la distribución gamma:
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El valor medio y la varianza vienen dados por las ecuaciones (4.11) y (4.12). Otro ejemplo de una distribución también conocida en la teoría de teletráfico es la distribución de Weibull:
Con esta distribución se puede, por ejemplo, obtener la intensidad de fin de vida dependiente del tiempo (3.14):
Esta distribución tiene su origen en la teoría de la fiabilidad. Para k = 1 se tiene la distribución
exponencial.
Más adelante, se tratará un conjunto de distribuciones discretas que también describe el tiempo de
vida, tal como la distribución geométrica, distribución de Pascal, distribución binomial, distribución
de Westerberg, etc. En la práctica, los parámetros de distribuciones no son siempre constantes.
Los tiempos (de ocupación) del servicio se pueden relacionar físicamente con el estado del
sistema. En sistemas hombre-máquina el tiempo del servicio cambia en razón de la actividad
(disminuye) o inactividad (aumenta). De la misma manera, los sistemas electromecánicos
funcionan más lentamente durante periodos de carga elevada en razón que la tensión diminuye.
Para algunas distribuciones que se aplican ampliamente en la teoría de puesta en fila, se utilizan
las siguientes notaciones abreviadas:
M ~ Distribución exponencial (Markov),
Ek ~ Distribución de Erlang-k,
Hn ~ Distribución hiperexponencial de orden n, D ~ Constante (Determinística),
Cox ~ Distribución de Cox,
G ~ General = atribución arbitraria.
15.1 Observaciones de la distribución de tiempo de vida
En la figura 5.5 se muestra un ejemplo de los tiempos de ocupación observados desde una central
telefónica local. El tiempo de ocupación comprende el tiempo de señalización y, si la llamada se
responde, el tiempo de conversación. En la figura 6.2 se muestra la observación y los periodos
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entre llegadas de llamadas a una central telefónica de tránsito durante una hora.
Desde sus comienzos, la teoría de teletráfico ha sido caracterizada por una fuerte interacción entre
teoría y práctica, y han habido excelentes posibilidades para efectuar mediciones.
Erlang [12] presentó en 1920 un informe sobre los resultados de una medición en las que se
registraron 2 461 tiempos de conversación en una central telefónica de Copenhague (1916). Palm
(1943 [81]) analizó el campo de mediciones de tráfico, de manera teórica y práctica, y efectuó
amplias mediciones en Suecia.
Se han llevado a cabo numerosas mediciones en sistemas de computación. Mientras que en
sistemas telefónicos rara vez se tiene un factor de forma mayor que 6, en tráfico de datos se
observan factores de forma mayores que 100. Este es el caso, por ejemplo para transmisión de
datos, donde se envían algunos caracteres o bien una gran cantidad de datos. Las mediciones
extensas más recientes han sido efectuadas y modeladas utilizando modelos de tráfico similares
(Jerkins y otros, 1999 [51]).