capitulo 2 - sistemas de control automático
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Capítulo 2 de mi libro Sistemas de Control automático - Análisis y diseño con Matlab.TRANSCRIPT
2. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
2.1 INTRODUCCION
El método de la transformada de Laplace se utiliza ampliamente parafacilitar y sistematizar la solución de ecuaciones diferenciales ordinariasde coeficientes constantes. Las ventajas de este moderno método detransformación para el análisis de sistemas lineales invariantes en eltiempo son las siguientes:
1. Incluye la frontera o las condiciones iniciales.2. La labor para la solución es simple álgebra.3. El trabajo está sistematizado.4. El uso de una tabla de transformadas reduce el trabajo requerido.5. Pueden tratarse entradas discontinuas.6. Los componentes transitorio y de estado estacionario de la
solución se obtienen de forma simultánea.
La desventaja de los métodos de transformación es que si se utilizanmecánicamente, sin el conocimiento de la teoría real involucrada, aveces origina resultados erróneos. Además, una ecuación en particular aveces puede resolverse de manera más sencilla y con menos trabajo porel método clásico. Aunque una comprensión del método de latransformada de Laplace es esencial, debe hacerse hincapié en que lassoluciones de las ecuaciones diferenciales pueden obtenerse fácilmenteutilizando paquetes de software como MATLAB.
2.2 REPASO DE VARIABLES COMPLEJAS Y FUNCIONESCOMPLEJAS
Antes de presentar la transformada de Laplace, revisaremos la variablecompleja y la función compleja.
Variable compleja. Un número complejo tiene una parte real y unaparte imaginaria, ambas son constantes. Si la parte real y/o la parteimaginaria son variables, el número complejo se denomina variablecompleja. En la transformada de Laplace, usamos la notación s comouna variable compleja; esto es,
s j
donde ( es la parte real y es la parte imaginaria).
Función compleja. Una función compleja ( )G s , una función de s, tieneuna parte real y una parte imaginaria, o bien,
( ) x yG s G jG
donde xG y yG son cantidades reales. La magnitud de ( )G s es 2 2x yG G ,
y el ángulo de ( )G s es 1tan ( / )y xG G . El ángulo se mide en sentido
opuesto al movimiento de las manecillas del reloj, a partir del eje real
positivo. El complejo conjugado de ( )G s es ( ) .x yG s G jG
Polos y ceros. Los valores de s para los cuales la función G(s) es iguala cero se denominan ceros. Los valores s para los cuales la función G(s)tiende a infinito se denominan polos.
Ejemplo 2-1: Considere la función compleja
2
3 15( )
4 7 20
K s sG s
s s s s
G(s) tiene ceros en s=-3, s=15, polos simples en s=0, s=-4, s=7 y unpolo doble (polo múltiple de orden 2) en s=-20. Observe que G(s) sevuelve cero en s=∞, dado que para valores grandes de s,
3( )
KG s
s
G(s) posee un cero triple (un cero múltiple de orden 3) en s=∞. Si seincluyen puntos en infinito, G(s) tiene la misma cantidad de polos yceros. En resumen, G(s) tiene cinco ceros (s=-3, s=15, s=∞, s=∞,s=∞) y cinco polos (s=0, s=-4, s=7, s=-20, s=-20).
La relación de Euler. La fórmula o relación de Euler establece que
cosjxe x jsenx (0-1)
para todo número real x.
Con la relación de Euler podemos expresar el seno y el coseno entérminos de una función exponencial. Tomando en cuenta que jxe es elcomplejo conjugado de jxe , y que
cosjxe x jsenx
cosjxe x jsenx
encontramos, después de sumar y restar estas dos ecuaciones, que
cos2
jx jxe ex
(0-2)
2
jx jxe esenx
j
(0-3)
2.3 TRANSFORMADA DE LAPLACE
Definamos
( )f t = una función del tiempo t tal que ( ) 0f t para 0t
s = una variable compleja
L = un símbolo operativo que indica que la cantidad a la que antecede
se va a transformar mediante la integral de Laplace0
st
e dt
( )F s = transformada de Laplace de ( )f t
A continuación, la transformada de Laplace de ( )f t se obtiene mediante
L ( )f t = 0 0
( ) ( ) ( )st stF s e dt f t f t e dt
El proceso inverso de encontrar la función del tiempo ( )f t a partir de latransformada de Laplace ( )F s se denomina transformada inversa deLaplace. La notación para la transformada inversa de Laplace es L-1, yse encuentra a partir de ( )F s mediante la siguiente integral deinversión:
L-1 ( )F s = 1( ) ( ) , para 0
2
c jst
c j
f t F s e ds tj
(0-4)
en donde c, la abscisa de convergencia, es una constante real.
Parece complicado evaluar la integral de inversión. En la práctica, raravez se emplea esta integral para encontrar ( )f t . Hay métodos mássencillos para obtener ( )f t . Analizaremos estos métodos más simples enla sección 2.6.
Se debe señalar que en este libro siempre se supone que la función detiempo ( )f t es cero para valores negativos; esto es,
( ) 0, para 0f t t
A continuación, derivaremos las transformadas de Laplace de algunasfunciones simples que se encuentran con frecuencia.
Función exponencial. Considere la función exponencial
( ) 0, para 0f t t
( ) , para 0atf t Ae t
en donde A y α son constantes. La transformada de Laplace de estafunción exponencial se obtiene del modo siguiente:
L atAe =( )
0 0
, siat st a s t AAe e dt A e dt a
s a
La ecuación anterior es válida si , la parte real de s es mayor que –α.Esto se requiere para hacer la integral absolutamente convergente. Unavez obtenida la transformada de Laplace ( )F s , esta última se consideraválida en todo el plano s, excepto en los polos de ( )F s .
Función escalón. Considere la función escalón
( ) 0, para 0f t t
( ) , para 0f t A t
en donde A es una constante. La transformada de Laplace de estafunción exponencial se obtiene del modo siguiente:
L A =0 0
, si 0st st AAe dt A e dt
s
La ecuación anterior es válida si , la parte real de s es mayor quecero. Esto se requiere para hacer la integral absolutamenteconvergente. Una vez obtenida la transformada de Laplace ( )F s , estaúltima se considera válida en todo el plano s, excepto en los polos de
( )F s .
La función escalón cuya altura es la unidad se denomina función escalónunitario. La transformada de Laplace de la función escalón unitario es
1/ s , o bien,
L 1( )t =1
s
Físicamente, una función escalón que ocurre en t = 0 corresponde a unaseñal constante aplicada repentinamente al sistema en el tiempo t iguala cero.
Función rampa. Considere la función rampa
( ) 0, para 0f t t
( ) , para 0f t At t
en donde A es una constante. La transformada de Laplace de estafunción rampa se obtiene como
L At =0
, para >0stAte dt
esta expresión se integra por partes utilizando
|b b
ba
a a
udv uv vdu
Sea u t y stdv e dt . Entonces du dt y /stv e s . Así
0
0 0
|st st
st te ete dt dt
s s
02 2
10 | , si 0
ste
s s
Por lo tanto,
L At =2
A, si >0
s
La ecuación anterior es válida si , la parte real de s es mayor quecero. Esto se requiere para hacer la integral absolutamenteconvergente. Una vez obtenida la transformada de Laplace ( )F s , estaúltima se considera válida en todo el plano s, excepto en los polos de
( )F s .
Función senoidal. Considere la función senoidal
( ) 0, para 0f t t
( ) ( ), para 0f t Asen t t
en donde A y son constantes. Utilizando la relación de Euler podemosexpresar el seno en términos de una función exponencial así:
1( )
2j t j tsen t e e
j
Por tanto
L ( )Asen t = 02
j t j t stAe e e dt
j
02j s t j s tA
e e dtj
0 0| |2 2
j s t j s tA e A e
j j s j j s
1 1, si 0
2 2
A A
j s j j s j
2 2
1 1 2
2 2
A A j
j s j s j j s
2 2, si 0
A
s
Asimismo, la transformada de Laplace de cos( )A t se deriva del modosiguiente:
L 2 2cos( ) , si 0
AsA t
s
Las dos ecuaciones anteriores son válidas si , la parte real de s esmayor que cero. Esto se requiere para hacer la integral absolutamenteconvergente. Una vez obtenida la transformada de Laplace ( )F s , estaúltima se considera válida en todo el plano s, excepto en los polos de
( )F s .
Función pulso. Considere la función pulso
00
( ) , para 0A
f t t tt
0( ) 0, para 0,f t t t t
en donde A y 0t son constantes. Esta función pulso puede considerarseuna función escalón de altura 0/A t que empieza en t=0 y que está
sobreimpuesta mediante una función escalón negativo de altura 0/A t
que empieza en 0t t ; esto es,
00 0
( ) 1( ) 1( )A A
f t t t tt t
En tal caso, la transformada de Laplace de ( )f t se obtiene como
L ( )f t L0
1( )A
tt
L 0
0
1( )A
t tt
0
0 0
stA Ae
t s t s
0
0
(1 )stAe
t s (0-5)
Función impulso. La función impulso es un caso limitado especial de lafunción pulso. Considere la función impulso
000
( ) lim , para 0ot
Ag t t t
t
0( ) 0, para 0,g t t t t
Dado que la altura de la función impulso es 0/A t y la duración es 0t , elárea bajo el impulso es igual a A. Conforme la duración 0t tiende a cero,
la altura 0/A t tiende a infinito, pero el área bajo el impulso sigue siendoigual a A. Observe que la magnitud del impulso se mide por su área.
Remitiéndonos a la ecuación (2-5), se aprecia que la transformada deLaplace de esta función impulso es
L 0
0 00
( ) lim (1 )st
t
Ag t e
t s
0
0
0
0
00
(1 )
lim( )
st
t
dA e
dt AsA
d st sdt
Por tanto, la transformada de Laplace de la función impulso es igual alárea bajo el impulso.
La función impulso cuya área es igual a una unidad se denomina funciónimpulso unitario o función delta de Dirac. La función impulso unitarioque ocurre en 0t t por lo general se representa mediante 0 0( ). ( )t t t t satisface lo siguiente:
0 0( ) 0, parat t t t
0 0( ) , parat t t t
0( ) 1t t
Debe mencionarse que un impulso que tiene una magnitud infinita y unaduración de cero es una ficción matemática y no ocurre en los sistemasfísicos. Sin embargo, si la magnitud del pulso de entrada a un sistemaes muy grande y su duración es muy corta en comparación con lasconstantes de tiempo del sistema, podemos aproximar la entrada pulsomediante una función impulso. Por ejemplo, si se aplica una entrada defuerza o de par f(t) a un sistema durante un tiempo muy breve, endonde la magnitud de f(t) es suficientemente grande para que laintegral de f(t) no sea insignificante, esta entrada se considera unaentrada impulso. (Observe que, cuando describimos la entrada impulso,el área o magnitud del impulso es lo más importante, pero la formaexacta del impulso por lo general es insustancial.) La entrada impulsoproporciona energía suficiente al sistema en un tiempo infinitesimal.
Comentarios. Una vez que conocemos el método para obtener latransformada de Laplace, no es necesario obtener cada vez latransformada de Laplace de f(t). Es posible usar las tablas detransformadas de Laplace en forma conveniente para encontrar latransformada de una función f(t) determinada. La tabla 2-1 muestra lastransformadas de Laplace de las funciones de tiempo que apareceráncon frecuencia en los análisis de sistemas de control lineales.
Tabla 2-1 Pares de transformadas de Laplace( )f t ( )F s
1 Impulso unitario ( )t 1
2 Escalón unitario 1( )t1
s
3 t 2
1
s
41
( 1,2,3,...)( 1)!
ntn
n
1ns
5 ( 1,2,3,...)nt n 1
!n
n
s
6 ate1
s a
7 atte 21
s a
811
( 1,2,3,...)( 1)!
n att e nn
1n
s a
9 ( 1, 2,3,...)n att e n 1
!n
n
s a
10 ( )sen t2 2s
11 cos( )t2 2
s
s
12 ( )senh t2 2s
13 cosh( )t2 2
s
s
141
(1 )atea
1
( )s s a
151
( )at bte eb a
1
( )( )s a s b
161
( )bt atbe aeb a
( )( )
s
s a s b
171 1
1 ( )at btbe aeab a b
1
( )( )s s a s b
Tabla 2-1 (Continuación)
18 2
11 at ate ate
a 2
1
( )s s a
19 2
11 atat e
a 2
1
( )s s a
20 ( )ate sen t2 2( )s a
21 cos( )ate t2 2( )
s a
s a
22 2
21
1ntn
ne sen t
2
2 22n
n ns
23
2
2
21
11
1
1tan
ntne sen t
2 22 n n
s
s
24
2
2
21
11 1
1
1tan
ntne sen t
2
2 22n
n ns s
25 1 cos( )t2
2 2( )s s
26 t sen t 3
2 2 2( )s s
27 ( ) cos( )sen t t t 3
2 2 2
2
( )s
281
( )2
tsen t 2 2 2( )
s
s
29 cos( )t t2 2
2 2 2( )
s
s
30 2 21 2 1 22 2
2 1
1cos( ) cos( ) ( )t t
2 2 2 21 2( )( )
s
s s
31 1( ) cos( )
2sen t t t
2
2 2 2( )
s
s
2.4 TRANSFORMADA DE LAPLACE CON MATLAB
MATLAB tiene un comando para obtener la transformada de Laplace de( )f t .
Ejemplo 2-2: Considere la función exponencial ( ) atf t Ae con 2A y3a , es decir,
3( ) 2 tf t e
Para obtener la transformada de Laplace de ( )f t se procede de lasiguiente manera:
syms t
f = 2*exp(-3*t)
F = laplace(f)
con lo que Matlab retorna
F = 2/(s+3)
El comando syms t define la variable t de manera simbólica y elcomando laplace aplica la transformada de Laplace a la función f.
Ejemplo 2-3: Considere la función senoidal ( ) ( )f t Asen t con 3A y5 , es decir,
( ) 3 (5 )f t sen t
Para obtener la transformada de Laplace de ( )f t se procede de lasiguiente manera:
syms t
f = 3*sin(5*t)
F = laplace(f)
con lo que Matlab retornaF = 15/(s^2+25)
2.5 TEOREMAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Esta sección presenta varios teoremas que son útiles en la aplicaciónde la transformada de Laplace. En general, son útiles en la evaluaciónde las transformaciones.
Teorema 1: Homogeneidad. Si a es una constante y si ( )f t estransformable, entonces
L ( )af t a L ( ) ( )f t aF s
Teorema 2: Superposición. Si 1( )f t y 2 ( )f t son transformables, el
principio de superposición se aplica:
L 1 2( ) ( )f t f t L 1( )f t L 2 1 2( ) ( ) ( )f t F s F s
Teorema 3: Desplazamiento en el tiempo. Si la transformada deLaplace de la función ( )f t es ( )F s y a es un número real positivo, latransformada de Laplace de la función desplazada en el tiempo
( )1( )f t a t a es
L ( )1( ) ( )asf t a t a e F s
El desplazamiento en el tiempo de una función en la dirección positivade t, es equivalente a multiplicar la transformada F(s) por ase .
Teorema 4: Desplazamiento en el dominio s. Si la transformada deLaplace de ( )f t es ( )F s y a es real o complejo, entonces
L ( ) ( )ate f t F s a
La multiplicación de ate por ( )f t en el dominio real se convierte en unatranslación en el dominio s.
Teorema 5: Diferenciación compleja. Si la transformada de Laplacede ( )f t es ( )F s , entonces
L ( ) ( )d
tf t F sds
La multiplicación por el tiempo en el dominio real implica unadiferenciación con respecto de s en el dominio de s.
Asimismo,
L2
22
( ) ( )d
t f t F sds
En general,
L ( ) ( 1) ( ) 1,2,3,...n
n nn
dt f t F s n
ds
Ejemplo 2-2: Usando L 2 2cos( )
AsA t
s
L
2 2
22 2 2 2
( )cos( )
d As A stA t
ds s s
Ejemplo 2-3: Usando L at AAe
s a
L 2
)at d A AtAe
ds s a s a
Teorema 6: Diferenciación real. Si la transformada de Laplace de( )f t es ( )F s y si la primera derivada de ( )f t respecto al tiempo ( ) /df t dt
es transformable, entonces
L ( ) ( ) (0)d
f t sF s fdt
en donde (0)f es el valor de ( )f t evaluada en t=0. Del mismo modo
L2 .
22
( ) ( ) (0) (0)d
f t s F s sf fdt
en donde.
(0)f es el valor de ( ) /df t dt evaluada en t = 0. De la mismamanera, para la n-ésima derivada de ( )f t , tenemos
( 2) ( 1).1 2( ) ( ) (0) (0) ... (0) (0)
n n nn n n
n
df t s F s s f s f s f f
dt
en donde (0)f ,.
(0)f ,…,( 1)
(0)n
f
representa los valores de ( )f t , ( ) /df t dt ,…,1 1( ) /n nd f t dt , respectivamente, evaluadas en t=0.
Observe que si todas las condiciones iniciales son iguales a cero, latransformada de Laplace de la n-ésima derivada de ( )f t es simplemente
( )ns F s .
Ejemplo 2-4: Considere la función coseno
( ) 0, para 0g t t
( ) cos( ), para 0g t t t
La transformada de Laplace de esta función coseno se obtienedirectamente como en el caso de la función senoidal considerada antes.Sin embargo, el uso del teorema de diferenciación real se comprobaráaquí derivando la transformada de Laplace de la función coseno a partirde la transformada de Laplace de la función seno. Si definimos
( ) 0, para 0f t t
( ) ( ), para 0f t sen t t
entonces
L 2 2( ) ( )sen t F s
s
La transformada de Laplace de la función coseno se obtiene como
L cos( )t L 1 1( ) ( ) (0)
dsen t sF s f
dt
2 2 2 2
10
s s
s s
Teorema 7: Integración compleja. Si la transformada de Laplace de( )f t es ( )F s y si ( ) /f t t tiene un límite conforme 0t , entonces
L0
( )( )
f tF s ds
t
Este teorema afirma que la división de ( )f t por la variable en el dominioreal implica la integración de ( )F s con respecto a s en el dominio de s.
Teorema 8: Integración real. Si la transformada de Laplace de ( )f t
es ( )F s , su integral ( )f t dt es transformable y el valor de su
transformada es
L1( ) (0)
( )F s f
f t dts s
en donde 1(0) ( )f f t dt evaluada en t=0.
La integración en el dominio del tiempo se convierte en una división enel dominio s.
La transformada de Laplace de la integral definida0
( )t
f t dt se obtiene
mediante
L0
( )( )
t F sf t
s
Teorema 9: Valor final. Si ( )f t y ( ) /df t dt son transformables porLaplace, si la transformada de Laplace de ( )f t es ( )F s y si el límite de
( )f t conforme t existe, entonces
0lim ( ) lim ( )t s
f t sF s
Este teorema establece que el comportamiento de ( )f t en estadoestable (en la vecindad de t ) está relacionado al comportamiento desF(s) en la vecindad de s=0. Sin embargo este teorema se aplica sí ysolo sí el límite de ( )f t conforme t existe (lo que significa que ( )f t
se asienta en un valor definido para t ). Si todos los polos de sF(s)
se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s, el límite de ( )f t
conforme t existe. Pero si sF(s) tiene polos en el eje imaginario o enel semiplano derecho del plano s, f(t) contendrá funciones de tiempooscilantes o exponencialmente crecientes, respectivamente, y el límitede ( )f t conforme t no existirá. El teorema de valor final no se aplicaen tales casos. Por ejemplo, si f(t) es la función senoidal ( )sen t , sF(s)tiene polos en j y el límite de ( )f t conforme t no existe. Portanto, este teorema no es aplicable a tal función.
Ejemplo 2-5: Dado
L 1( ) ( )
( 2)f t F s
s s
¿Cuál es el lim ( )t
f t
?
Debido a que el polo de sF(s) se encuentra en el semiplano izquierdo delplano s, el límite de ( )f t conforme t existe. Por tanto en este casoes aplicable el teorema del valor final.
0 0lim ( ) ( ) lim ( ) lim 0.5
( 2)t s s
sf t f sF s
s s
De hecho, este resultado se verifica con facilidad, dado que
2( ) 0.5 0.5 , para 0tf t e t
Por tanto
( ) 0.5f
Teorema 10: Valor inicial. Si ( )f t y ( ) /df t dt se pueden transformarpor el método de Laplace y el límite de ( )sF s conforme s existe,entonces,
0lim ( ) lim ( )t s
f t sF s
El teorema del valor inicial es la contraparte del teorema del valor final.El teorema no proporciona el valor de f(t) en exactamente t = 0, sino enun tiempo ligeramente mayor que cero. Este teorema establece que elcomportamiento de f(t) en la vecindad de t=0 está relacionado a elcomportamiento de sF(s) en la vecindad de s=∞. Al aplicar el teorema
del valor inicial, no estamos limitados a las posiciones de los polos desF(s). Por tanto, el teorema de valor inicial es válido para la funciónsenoidal.
Comentario. La tabla 2-2 resume las propiedades y teoremas de latransformada de Laplace. Casi todas ellas se han derivado ocomprobado en esta sección.
Tabla 2-2 Propiedades de la transformada de Laplace
1 L ( ) ( )Af t AF s
2 L 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f t f t F s F s
3 L ( ) ( ) (0)d
f t sF s fdt
4 L2 .
22
( ) ( ) (0) (0)d
f t s F s sf fdt
5
L( 2) ( 1).
1 2( ) ( ) (0) (0) ... (0) (0)n n n
n n nn
df t s F s s f s f s f f
dt
1( 1)
1en donde ( ) ( )
kk
k
df t f t
dt
6 L0
( ) 1( ) ( )
t
F sf t dt f t dt
s s
7 L 101
( ) 1... ( ) ... ( )
nn k
n n ktk
F sf t dt f t dt
s s
8 L0
( )( )
t F sf t
s
90
0 0
( ) lim ( ) si ( ) existes
f t dt F s f t dt
10 L ( ) ( )ate f t F s a
11 L ( )1( ) ( ) 0asf t a t a e F s a
12 L ( ) ( )d
tf t F sds
13 L2
22
( ) ( )d
t f t F sds
14 L ( ) ( 1) ( ) 1,2,3,...n
n nn
dt f t F s n
ds
Tabla 2-2 (Continuación)
15 L0
0
1 1( ) ( ) si lim ( ) existe
sf t F s ds f t
t t
16 L ( )t
f aF asa
17 L 1 2 1 2
0
( ) ( ) ( ) ( )t
f t f d F s F s
18 L 1( ) ( ) ( ) ( )
2
c j
c j
f t g t F p G s p dpj
2.6 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Como se señaló antes, la transformada inversa de Laplace se obtienemediante la integral de inversión ofrecida en la ecuación (2-4). Sinembargo, la integral de inversión de inversión es complicada y, portanto, para encontrar transformadas de Laplace de funciones que seencuentran con regularidad en la ingeniería de control, se recomiendautilizar un método más simple.
Un método conveniente de obtener las transformadas de Laplace es usaruna tabla de transformadas de Laplace. En este caso, la transformadade Laplace debe tener una forma que se reconozca de inmediato en taltabla. Con mucha frecuencia, es posible que la función en cuestión noaparezca en la tabla de transformadas de Laplace que posee elingeniero. Si una transformada específica F(s) no se encuentra en latabla, puede expandirse como la suma de fracciones simples de s(fracciones parciales) para las cuales ya se conocen las transformadasinversas de Laplace. La transformada inversa completa es la suma de latransformada inversa de cada fracción.
Método de expansión en fracciones parciales para encontrar lastransformadas inversas de Laplace. Para problemas de análisis desistemas de control, F(s), la transformada de Laplace de f(t) ocurre confrecuencia en la forma:
( )( )
( )
B sF s
A s
en donde A(s) y B(s) son polinomios en s. En la expansión deF(s)= B(s)/A(s) en fracciones parciales, es importante que la potenciamás alta de s en A(s) sea mayor que la potencia más alta de s en B(s).Si tal no es el caso, el numerador B(s) debe dividirse entre eldenominador A(s) para producir un polinomio en s además de unresiduo (un cociente de polinomios en s, cuyo numerador sea de ungrado menor que el denominador).
Si F(s) se separa en componentes,
1 2( ) ( ) ( ) ... ( )nF s F s F s F s
entonces,
( )f t L-1 ( )F s L-1 1( )F s L-1 2 ( ) ...F s L-1 ( )nF s
1 2( ) ( ) ( ) ... ( )nf t f t f t f t
en donde 1 2( ), ( ),..., ( )nf t f t f t son las transformadas inversas de Laplace de
1 2( ), ( ),..., ( )nF s F t F t , respectivamente. La transformada inversa de Laplacede F(s) obtenida de tal modo es única, excepto, tal vez, en los puntosen los que es discontinua la función de tiempo. Cuando la función deltiempo es continua, la función del tiempo f(t) y su transformada deLaplace F(s) tienen una correspondencia uno a uno.
Al aplicar la técnica de expansión en fracciones parciales en la búsquedade la transformada inversa de Laplace de F(s)=B(s)/A(s), debenobtenerse con anticipación las raíces del polinomio del denominadorA(s). Es decir, este método no se aplica hasta que se ha factorizado elpolinomio del denominador.
Expansión en fracciones parciales cuando F(s) sólo involucrapolos distintos. Considere F(s) escrita en la forma factorizada
1 2
1 2
( )( )...( )( )( ) , para
( ) ( )( )...( )m
n
K s z s z s zB sF s m n
A s s p s p s p
Si F(s) solo involucra polos distintos, puede expandirse en una suma defracciones parciales simples del modo siguiente:
1 2
1 2
( )( ) ...
( )n
n
aa aB sF s
A s s p s p s p
(0-6)
en donde ka donde (k=1,2,…,n) son constantes. El coeficiente ka se
denomina residuo del polo en ks p . El valor de ka se encuentra
multiplicando ambos miembros de la ecuación (2-5) por ks p y
suponiendo que ks p . Esto nos lleva a
1 2
1 2
( )( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
( )k k
k nk k k k k
k ns p s p
a aa aB ss p s p s p s p s p
A s s p s p s p s p
ka
Observamos que todos los términos expandidos se cancelan conexcepción de ka . Por tanto, el residuo ka se encuentra a partir de
( )( )
( )k
k k
s p
B sa s p
A s
(0-7)
Observe que, debido a que ( )f t es una función real del tiempo, si 1p y
2p son complejos conjugados, en tal caso los residuos 1a y 2a también
son complejos conjugados. Sólo necesita evaluarse uno de losconjugados, 1a o 2a , porque el otro se conoce automáticamente.
Debido a que,
L-1 kp tkk
k
aa e
s p
( )f t se obtiene como
( )f t L-1 1 21 2( ) ... para 0np tp t p t
nF s a e a e a e t
Ejemplo 2-6: Obtenga la transformada inversa de Laplace de
60 81
( )2 3
sG s
s s
La expansión en fracciones parciales de G(s) es
1 260 81
( )2 3 2 3
a asG s
s s s s
en donde 1a y 2a se encuentran mediante la ecuación (2-6):
1
2 2
60 81 60 81( 2) 39
( 2)( 3) ( 3)s s
s sa s
s s s
2
3 3
60 81 60 81( 3)
( 2)( 3) ( 2)s s
s sa s
s s s
99
Por tanto,
( )g t L-1 ( )G s
L-1 39
2s
L-1 99
3s
2 339 99 , para 0t te e t
Ejemplo 2-7: Obtenga la transformada inversa de Laplace de
3 22 4 2 3
( )2 3
s s sF s
s s
Aquí, dado que el grado del polinomio del numerador es mayor que eldel denominador, debemos dividir el numerador entre el denominador
60 81
( ) 2 142 3
sF s s
s s
El primer término del segundo miembro de esta última ecuación es G(s)en el ejemplo 2-6. La transformada de Laplace de la función impulsounitario ( )t es 1, y la transformada de Laplace de ( ) /d t dt es s. Portanto, la transformada inversa de Laplace de F(s) se obtiene como
2 3( ) 39 99 2 ( ) / 14 ( ), para 0t tf t e e d t dt t t
Ejemplo 2-8: Encuentre la transformada inversa de Laplace de
2
3 18( )
4 8
sF s
s s
El polinomio del denominador se factoriza como
2 4 8 ( 2 2 )( 2 2 )s s s j s j
Si la función F(s) contiene polos complejos conjugados, es convenienteno expandir F(s) en las fracciones parciales acostumbradas, sinoexpandirlas en la suma de una función seno amortiguada y una funcióncoseno amortiguada.
Si observamos que 22 24 8 ( 2 2 )( 2 2 ) 2 2s s s j s j s y nos
remitimos a las transformadas de Laplace de ( )ate sen t y cos( )ate t ,rescritas por tanto,
L2 2
( )( )
ate sen ts a
L2 2
cos( )( )
at s ae t
s a
La F(s) dada se escribe como una suma de una función senoamortiguada y una función coseno amortiguada
22 2
3 18 3( 2) 12( )
4 8 2 2
s sF s
s s s
2 22 2
2 23 6
2 2 2 2
s
s s
De aquí se tiene que
( )f t L-1 ( )F s
= 3L-1
2 2
2
2 2
s
s
6L-1
2 2
2
2 2s
2 23 cos(2 ) 6 (2 ), para 0t te t e sen t t
Ejemplo 2-9: Encuentre la transformada inversa de Laplace de
2
5 4( )
4 8 2
sF s
s s s
La expansión en fracciones parciales de G(s) es
31 25 4
( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2)
aa asG s
s j s j s s j s j s
en donde 1a , 2a y 3a se encuentran mediante la ecuación (2-6):
1
2 2 2 2
5 4 5 4( 2 2 ) 0.75 1.25
( 2 2 )( 2 2 )( 2) ( 2 2 )( 2)s j s j
s sa s j j
s j s j s s j s
2
2 2 2 2
5 4 5 4( 2 2 ) 0.75 1.25
( 2 2 )( 2 2 )( 2) ( 2 2 )( 2)s j s j
s sa s j j
s j s j s s j s
3
2 2
5 4 5 4( 2) 1.5
( 2 2 )( 2 2 )( 2) ( 2 2 )( 2 2 )s s
s sa s
s j s j s s j s j
Por tanto,
( )g t L-1 ( )G s
L-1 0.75 1.25
2 2
j
s j
L-1 0.75 1.25
2 2
j
s j
L-1 1.5
2s
(2 2 ) (2 2 ) 2(0.75 1.25 ) (0.75 1.25 ) 1.5 , para 0j t j t tj e j e e t
Simplificando y utilizando la relación de Euler se obtiene,
2 2 2( ) 1.5 cos(2 ) 2.5 (2 ) 1.5 , para 0t t tg t e t e sen t e t
Expansión en fracciones parciales cuando F(s) involucra polosmúltiples. En lugar de analizar el caso general, usaremos un ejemplopara mostrar cómo obtener la expansión en fracciones parciales de F(s).
Ejemplo 2-10: Encuentre la transformada inversa de Laplace de
2
3
2 4( )
2
s sF s
s
La expansión en fracciones parciales de esta F(s) involucra tres términosdebido a que el polo es s=-2 tiene multiplicidad 3,
231 2
3 2 3
2 4( )
2 ( 2)2 2
bb bs sF s
s ss s
En donde 1b , 2b y 3b se determinan del modo siguiente. Si multiplicamos
ambos miembros de esta última ecuación por 32s , tenemos que
3 21 2 3
( )( 2) ( 2) ( 2)
( )
B ss b s b s b
A s (0-8)
Por tanto, suponiendo que s=-2, la ecuación (2-7) produce
33
2
( )( 2)
( )s
B ss b
A s
Asimismo, la diferenciación de ambos miembros de la ecuación (2-7)con respecto a s produce
32 1
( )( 2) 2 ( 2)
( )
d B ss b b s
ds A s
(0-9)
Si suponemos que s=-2 en la ecuación (2-8), entonces,
32
2
( )( 2)
( )s
d B ss b
ds A s
Diferenciando ambos miembros de la ecuación (2-8) con respecto a s, elresultado es
23
12
( )( 2) 2
( )
d B ss b
ds A s
A partir del análisis anterior, se observa que los valores de 1b , 2b y 3b se
encuentran sistemáticamente del modo siguiente
3 23 2
2
( )( 2) ( 2 4)
( ) s
s
B sb s s s
A s
4
32
2
( )( 2)
( )s
d B sb s
ds A s
2
2
2 4s
ds s
ds
2(2 2)ss
2
23
1 2
2
1 ( )( 2)
2! ( )s
d B sb s
ds A s
22
2
2
1( 2 4)
2!s
ds s
ds
1(2) 1
2
Por tanto, obtenemos
( )f t L-1 ( )F s
=L-1 1
2s
L-1
22
2s
L-1
34
2s
2 2 2 22 2 , para 0t t te t e te t
Comentarios. Para funciones complicadas con denominadores queinvolucran polinomios de orden superior, una expansión en fraccionesparciales puede tomarnos mucho tiempo. En tal caso, se recomienda eluso de MATLAB. (Véase sección 2.7).
La transformada inversa de Laplace también puede obtenerse con ayudade Matlab mediante el comando ilaplace (Véase sección 2.8).
2.7 EXPANSION EN FRACCIONES PARCIALES CON MATLAB
MATLAB tiene un comando para obtener la expansión en fraccionesparciales de ( ) / ( )B s A s .
Considere la función de transferencia
10 1
10 1
...( )
( ) ...
m mm
n nn
b s b s bB s num
A s den a s a s a
en donde algunos de los ia y jb pueden ser cero. En Matlab, los vectores
renglón num y den especifican los coeficientes del numerador y deldenominador en la función de transferencia. Es decir,
0 1[ ... ]mnum b b b
0 1[ ... ]nden a a a
El comando
[ , , ] ( , )r p k residue num den
Encuentra los residuos, los polos y los términos directamente de unaexpansión en fracciones parciales del cociente de dos polinomios B(s) yA(s).
La expansión en fracciones parciales se obtiene mediante
( ) (1) (2) ( )... ( )
( ) (1) (2) ( )
B s r r r nk s
A s s p s p s p n
(0-10)
Ejemplo 2-11: Obtenga la expansión en fracciones parciales de
3 22 4 2 3
( )2 3
s s sF s
s s
Para esta función,
[2 4 2 3]num
[1 5 6]den
El comando
[ , , ] ( , )r p k residue num den
proporciona el siguiente resultado
99
39
r
3
2
p
2 14
k
Por tanto, la expansión en fracciones parciales es
3 22 4 2 3 99 39
( ) 2 142 3 3 2
s s sF s s
s s s s
El comando
[ , ] ( , , )num den residue r p k
convierte la expansión en fracciones parciales de regreso a la razón depolinomio B(s)/A(s).Por ejemplo, al ingresar
[99 39]r
[ 3 2]p
[2 14]k
El comando
[ , ] ( , , )num den residue r p k
retorna
2 4 2 3
num
1 5 6
den
2.8 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE CON MATLAB
MATLAB tiene un comando para obtener la transformada inversa deLaplace de ( )F s .
Ejemplo 2-12: Considere la función
3 2
2
2 4 2 3( )
5 6
s s sF s
s s
Para obtener la transformada inversa de Laplace de ( )F s se procede dela siguiente manera:
syms s
F=(2*s^3-4*s^2+2*s-3)/(s^2+5*s+6)
f = ilaplace(F)
con lo que Matlab retorna
f = 2*dirac(1,t)-14*dirac(t)+99*exp(-3*t)-39*exp(-2*t)
donde dirac(1,t) representa la derivada temporal de la función delta deDirac. El comando syms s define la variable s de manera simbólica y elcomando ilaplace aplica la transformada inversa de Laplace a la funciónF.
2.9 SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES EINVARIANTES CON EL TIEMPO
En esta sección se hará uso de la transformada de Laplace parasolucionar ecuaciones diferenciales lineales e invariantes con el tiempo.
Ejemplo 2-13: Encuentre la solución x(t) de la ecuación diferencial
.. . .
2 6 3 0, (0) 1, (0) 4x x x x x
Escribiendo la transformada de Laplace de x(t) como X(s), o bien,
L ( ) ( )x t X s
obtenemos
L.
( ) (0)x sX s x
L.. .
2 ( ) (0) (0)x s X s sx x Y, por tanto, la ecuación diferencial determinada se convierte en
.
22 ( ) (0) (0) 6 ( ) (0) 3 ( ) 0s X s sx x sX s x X s
Sustituyendo las condiciones iniciales dadas en esta última ecuación,obtenemos
22 ( ) 4 6 ( ) 1 3 ( ) 0s X s s sX s X s
22 ( ) 2 8 6 ( ) 6 3 ( ) 0s X s s sX s X s
Factorizando X(s) al lado izquierdo tenemos que,
22 6 3 ( ) 2 14s s X s s
Despejando para X(s), tenemos que,
2
2 14( )
2 6 3
sX s
s s
Expandiendo en fracciones parciales se tiene,
2
2 14 2.67 3.67( )
2 6 3 2.37 0.63
sX s
s s s s
La transformada inversa de Laplace de X(s) nos da
2.37 0.63( ) 2.67 3.67 , para 0t tx t e e t
la cual es la solución de la ecuación diferencial determinada.
PROBLEMAS
2-1. Encuentre las transformadas de Laplace de las siguientesfunciones:
a)
( ) 0, para 0f t t 2 cos(5 ), para 0te t t
b)
( ) 0, para 0f t t
4 3 30 , para 0sen t t
c)( ) 0, para 0f t t
5cos 2 45 , para 0t t
2-2. Aplicando el teorema del valor final, encuentre el valor final de f(t)cuya transformada de Laplace es
5( )
( 2)F s
s s
Verifique el resultado tomando la transformada inversa de Laplace deF(s) y suponiendo que t .
2-3. Dado
2
2( )
( 3)F s
s
Determine los valores de (0)f y.
(0)f . (Use el teorema del valor inicial).
2-4. Encuentre la transformada inversa de Laplace de las siguientesfunciones:
a)
2
2( )
( 1)( 3)F s
s s
b)
2
3( )
1
sF s
s s
c)3 2
2
2 3 7( )
( 3)
s s sF s
s
2-5. Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial:
.. . .
3 5 4 0, (0) 2, (0) 1x x x x x