capítulo 2 - funções prof. daniel keglis matemática
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Capítulo 2 - Funções
• Prof. Daniel Keglis • Matemática
2.1) Noção de Função Observe a relação abaixo: Lado do quadrado x perímetro
* Observe que o perímetro do quadrado é dado em função da medida do seu lado, isto é, o perímetro depende da medida do lado.
p = 4l , onde : p é uma variável dependente de l e l é uma
variável independente.
2.1.1) Relação entre conjuntos Sejam os conjuntos A e B, onde x pertence a A e y pertence a B.
y = 3x• Note que: todos os elementos de A tem um correspondente em
B
Veja outras relações e observe quais representam um função f de A em B.
Não é função É função Não é função y = x 4
2.1.2) Definição de função
Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função de A em B é uma regra que diz como associar cada elemento de x ϵ A a um único elemento y ϵ B
2.1.3) Domínio, Contradomínio e Imagem da função Dada uma função f de A em B
y = f(x)
Para obtermos Domínio D(f), Contradomínio CD(f) e Imagem Im(f) de uma função, faremos a seguinte análise.
Sejam os conjuntos A e B, onde x ϵ A e y ϵ B e f(x) = 2x
D(f) = {0,1,2,3} CD(f) = {0,1,2,3,4,5,6} Im(f) = {0,2,4,6}
2.1.4) Valor NuméricoVeja o exemplo: Seja a função f(x) = x2 + 2 , o valor numérico
para:
f(-1) = (-1)2 + 2 = 3
f(0) = (0)2 + 2 = 2
f(3) = (3)2 + 2 = 11
2.2) Gráficos
Os gráficos e tabelas encontrados em revistas, jornais e livros, querem retratar uma determinada situação. Esses gráficos e tabelas representam funções e por meio deles podemos obter informações sobre a situação em estudo.
Exemplo
2.2.1) Coordenadas Cartesianas
Usamos a notação (x,y) para indicar o par ordenado de números reais que serão representados no sistema de eixos ortogonais. Os eixos ortogonais dividem o plano cartesiano em quatro regiões chamadas de quadrantes, conforme representação abaixo:
Dado um ponto P desse plano, dizemos que os números a e b são coordenadas cartesianas do ponto P. A coordenada a chamamos de abscissa e a coordenada b é a ordenada.
Vamos localizar no plano cartesiano os pontos: A(4,1); B(1,4); C(-2,-3); D(2,-2); E(-1,0); F(0,3) e O(0,0).
2.2.2) Construção de gráficos
Para construir o gráfico de uma função dada no plano cartesiano devemos:
• Construir uma tabela com valores.• A cada par ordenado associar um ponto do
plano cartesiano.• Esboçar o gráfico.
Exemplo
2.2.3) Análise de gráficos Reconhecendo se o gráfico representa uma
função.
É função Não é função
• Determinando domínio e imagem da função através do gráfico.
• Determinando onde a função cresce e onde ela decresce.
Crescente: ]-6,-3] U [2,6[ Crescente: ]-∞,3] Decrescente: [-3,2] Constante: [3,+∞[
2.3) Função definida por várias sentenças
4 x se x,- 6
4 x se 3,
4 x se ,2x
)x(f
Estudo do domínio de uma função
Veremos no caderno os exemplos para este estudo.
2.4) Função Inversa Definição: Dada uma função f: A B, bijetora,
denomina-se função inversa de f a função g: B A tal que f(x) = y e g(y) = x, com x que
pertence a A e y que pertence a B.
Observe:
D(f) = Im(g)D(g) = Im(f)
Processo para determinar a função inversa
• Escrevemos f(x) = y.• Trocamos y por x e x por y.• Determinamos y em função de x.• Escrevemos y = f -1(x).
2.5) Função Composta Definição: Dada uma função f: A B, e , g: B C denomina-se função composta de em f a função gof: A C, que é definida por
(gof)(x) = g(f(x)), x pertencente a A.
Exemplo: