CAPiTULO 2: VECTORES92

2.1 Los vectores a, b, e y d se hallan en un plano horizontal. Sus módulos son 1, 2, 3 Y 2unidades, cuyas direcciones y sentido son: hacia el este, hacia el noreste, hacia el norte ynoroeste, respectivamente. Construya o dibuje estos vectores.

2.2 Si a, b y e, son los vectores definidos en el problema 2.1. Construir gráficamente losvectores (a + b) + e; (b + a) + e; e + (a + b) y por medida de sus módulos, verificar

que todos estos son iguales.

2.3 La suma de dos vectores A y B tiene de módulo 25, si A y B son vectores perpendicularesy de igual módulo; ¿cuales serán los módulos de A y B?; ¿cuales los ángulos que forma elvector suma con A y B?

25RESP: a = b = .J2; aA-S = aB-S = 45

0

2.4 Calcule el módulo de la suma de dos vectores perpendiculares A y B, cuyos módulos son 6y 8 unidades respectivamente.

RESP: 10 unidades

2.5 Sean A y B los vectores mostrados en la figura 2.61, cuyos módulosson 10 y 15 unidades respectivamente, calcule el módulo de laresultante de estos vectores. R

Figura 2.61RESP: 24,6 unidades

A2.6 Sean A y B los vectores mostrados en la figura 2.62, cuyos ~ 160

0

módulos son 10 y 15 unidades respectivamente, calcule el ~módulo de la resultante de estos vectores. B

RESP: 6,56 unidades Figura 2.62

8/-'Figura 2.63

2.7 Dados los vectores A y B, de módulos 25 y 20respectivamente, siendo el ángulo entre eJlos de 220°.Calcule el módulo de la resultante de estos vectores.

RESP: 16, l unidades

A

2.8 Dados los vectores A y B de módulos 10 y 10 respectivamente, siendo 120° el ánguloentre ellos, determínese el módulo del vector resultante.

RESP: 10 unidades

2.9 Los cuatro vectores que se muestran en la figura 2.64,tienen el mismo módulo m. Calcular el módulo delvector suma y el ángulo de éste con el vector B. . D>rI.C

••

A BFigura 2.64

RESP: Módulo de la suma: 2(m)(sen a)

.10Angulo entre el vector suma y B: a + - a = 90

2

2

2.11

2.17

CAPiTULO 2 : VECTORES 932.10 Los módulos de los vectores A y B que se muestran en la

figura 2.65 son 2 y 6 unidades respectivamente. ¿Cuál deberáser el módulo del tercer vector e, para que el módulo delvector suma de A, B Ye sea la unidades?

A

eB

RESP: C=6Figura 2.65

2.11 La resultante de los vectores A y B es 11, si el módulo del vector A es 5 y el ángulo entreA y B es 45°, ¿cuál el módulo del vector B?

RESP: B = 6,88

2.12 La resultante de los vectores A y B es 20, si el módulo del vector A es 10 y el ánguloentre el vector suma y el vector A es 30°, ¿cuál el módulo del vector B?

RESP: 12,4

2.13 Dos vectores de 12 y 18 unidades de longitud, forman entre ellos un ángulo de 60°.Encuentre la magnitud de su resultante, su dirección y sentido con respecto al vector másgrande.

RESP: 17,44 unidades; 23,41°

2.14 Los módulos de dos vectores así como de su suma son 5; 6 Y 10 respectivamente. ¿Cuálserá el ángulo entre estos dos vectores?

RESP: 49,4~

2.15 En la figura 2.66 se muestran los vectores A, B Yel vectorsuma, S = A + B. Si los módulos de A y S son 8 y 20unidades respectivamente y a = 30°. Calcule el módulodel vector B y el ángulo entre los vectores A y B.

RESP: 13,67 unidades; 133°

Figura 2.66

2.16 La suma y la diferencia de dos vectores forman un ángulo de 60° con módulos 12 y 6unidades respectivamente. ¿Cuál el módulo de estos vectores? ¿Cuál el ángulo entreellos?

RESP: 7,94 Y5,2 unidades; y ángulo 49,1°

2.17 Los módulos de dos vectores suma, SI y S2 son 9 y 12 respectivamente, dondeSI = a + b Y S 2 = 2a + b. Además se sabe que a y b son vectores perpendiculares.Calcule los módulos de los vectores a y b.

RESP: a = 4,58; b = 7,75

CAPÍTULO 2 : VECTORES94

2.18 El módulo del vector suma, SI, que resulta de la operación, S, = a + b es 9. El módulo

de otro vector suma S2, es 17, donde S 2 = 2a + b . El ángulo entre SI y S2 es 19,19° Y elmódulo de a es 9. Sabiendo que a y b no son perpendiculares, calcule el módulo delvector b.

RESP: b = 5,92

2.19 Dos vectores A y B tienen direcciones horizontales, el sentido de A es de izquierda aderecha y el de B, de derecha a izquierda; con módulos A = 13 Y B = 5. ¿Cuál debe ser ladirección, sentido y módulo de un tercer vector C, tal que A + B + e = O?

RESP: Dirección = horizontal; Sentido = de derecha a izquierda; Módulo = 8.

2.20 Dos vectores paralelos A y C de módulos 8 y 8 unidades respectivamente, tienen sentidosopuestos y son perpendiculares a un tercer vector B, de módulo 4 unidades. ¿Cuál deberáser el módulo de un cuarto vector D, tal que A + B + e + D = O?

RESP: Módulo = 4 unidades.

2.21 Dados los vectores A y B de módulos 10 Y II respectivamente, siendo 45° el ángulo entreellos; calcule los módulos de la resultante de A y B así como de la diferencia A-B.

RESP: Suma = 19,4; Diferencia = 8,1

B

x

2.22 El módulo del vector A de la figura 2.67, es de 10 unidades.a) ¿Cuál deberá ser el módulo del vector B de tal manera que elmódulo del vector suma S sea el doble del vector A?, b) ¿Cuáldeberá ser el módulo del vector B de tal manera que el módulodel vector diferencia D = A - B sea el doble del vector B?

RESP: a) 17,32 ; b) 5,77Figura 2.67

2.23 Dos vectores A y B, de módulos 8 y 4 unidades respectivamente, forman un ángulo

a = 30°. ¿Cuál deberá ser el módulo de un tercer vector e, tal que A + B + e = O?RESP: Módulo = 11,64 unidades

2.24 Dados tres vectores A, B Y e de módulos 8; 4 Y 4 unidades respectivamente, siendo

a = 30° el ángulo entre A y B, ~ = 90° el ángulo entre B y e, y y = 120° entre A y e,¿Cuál deberá ser el módulo de un vector D, tal que, A + B + e + D = O?

RESP: D = 10,93 unidades

2.25 El vector A, que se halla en el plano x-y, cuyo origen coincide con el origen de las

coordenadas, posee un módulo igual a 10 unidades y hace un ángulo a = 30° con el ejex. Calcular las componentes de A sobre los ejes x-y.

RESP: A = 8,66i + 5j

2.26 Dado un vector A, en el plano x-y, cuyo origen se halla en el punto P: (x l' y,) con

P:(2, 0), de módulo 10 unidades y hace un ángulo a = 30° con el eje x. Calcular sus

componentes y dibujar el vector.RESP: A = 8,66i + 5j

2.31

2.32 El

p=de (v so

CAPiTULO 2 : VECTORES 95

2.27 Dado un vector A, en el plano x-y, cuyo origen se halla en el punto P: (x l' Y1) con

P: (O, 3), de módulo 10 unidades y hace un ángulo a = 30° con el eje x. Calcular suscomponentes y dibujar el vector.

RESP: A = 8,66i + Sj

2.28 Analice las soluciones de los problemas 2.25, 2.26 Y 2.27, luego demuestre que lascomponentes del vector A, dado el punto inicial P: (2, 3) es igual a A = 8,66i + Sj .

2.29 En cada caso, hallar las componentes y la longitud del vector A, con el punto inicial dadoP:(X1'YI,ZI) Ypunto terminal Q:(X2'Y2,Z2) y trazarA.a) P:(O, O, O); Q:(I, 1, 1); b) P:(O, O, 1); Q:(lO, 10, 10)c) P:(O, 1, O); Q:(10, 10, 10) d) P:(l, O, O); Q:(lO, 10, 10)e) P:(l, 1, 1); Q:(lO, 10, 10) f) P:(-2, -3, 1); Q:(-10, -10, -10)g) P: (-4, - 4, O); Q: (8, S, - 2)

RESP: a)i + j + k, A =.J3; b) 10i + lOj + 9k, A = 16,76e) 10i + 9j + lOk, A = 16,76; d) 9i + lOj + IOk, A = 16,76

e) 9i+9j+9k, A=9.J3;t) -8i-7j-11k, A=lS,30

g) 12i + 9j - 2k, A = lS,l3

2.30 En cada caso, se dan las componentes v x > V y' V z de un vector v y un punto inicial P.

Hallar el punto terminal Q correspondiente y el módulo de v. Hacer un esquema de v.a) 1,-1,0; P:(2, 1, O); b) 6, 2, 1; P:(-6,-2,-1)

1 3 (1 1)e) 1,2, 3; P:(O, O, O); d) --, 1, -; P: --, 1, _2 2 2 2

e) O, O, 1; P:(-3, 2, O); t) 2,-4, 6); P:(4,-2,-6)

RESP: a) Q:(3, O, O); b) Q:(O, O, O); e) Q:(l, 2, 3)d) Q:(-I,2,2); e) Q:(-3, 2,1); t) Q:(6,-6, O)

2.31 Dado el vector A, calcular su módulo.a) A=20i; b) A=20j; e) A=20k;d) A=4i+6je) A=4i+6k; t) A=4j+6k; g) A=lOi+Sj+k; h) A=-6i+4j-3k

RESP: a) A = 20; b) A = 20; c) A = 20; d) A = 2me) A=2m; t) A=2m; g) A=3.Jl4; h) A=7,81

2.32 El módulo de un vector v es 10 unidades, siendo y =·60° el ángulo entre v y el eje z, y

f3 = 60° el ángulo de v y el eje y. El origen del vector v se halla en el origen del sistemade coordenadas x-y-z. Calcule las componentes de v. SUGERENCIA: La componente dev sobre el eje y, se calcula mediante, v y = v cos f3 , del mismo modo v z = V cos y .

RESP: 5.J2 i+ ~j + 5k

CAPiTULO 2 : VECTORES96

2.33 Si u = 10i - Sj + 10k; v = 20k y w = 6i -12j . Calcular:

a) u + v + w; b) 2u + 2v + 2w; e) u - v - wd) u-2(v+w); e) 2(u+v)-w; f) 4u+v-Sw

RESP:a) 16i-17j+30k; b) 32i-34j+60k; e) 4i+7j-10kd) -2i + 19j - 30k; e) 14i + 2j + 60k; f) lOi + 40j + 60k

2.34 Sean u, v, w los vectores del problema 2.33. Calcular los valores de los escalares m, n, ptal que: mu + nv + pw = i .

2.35 Sean u y v, los vectores del problema 2.33. Determinar un vector a, tal queu+v+a=O.

RESP: a = -lOi + Sj - 30k

2.36 Si A = -2i + 2j - 3k ; B = i - j + 3k ; e = -9i + 9j - 2k. Demuestre que no existen

escalares m., m¿ m, tales que: m.A + m2B + m3e = -5i + 5j + Ok.

2.37 Encuentre un vector e, tal que: A + B + e = O, donde A = i + j y B = 2i - 2j + 2k .RESP: e = - 3i + j - 2k

2.38 Si A = -2i + 7j + 8k ; B = i - j + 3k ; e = 3i + 6j + llk . Encuentre todos los escalares

mi, m2, m, tales que: mlA + m2B + ID3e = O.RESP: Todos los escalares, tales que mi = m2 = -m3 con -00 < mi < 00

2.39 Determinar tres vectores fuerza p, q, u en la dirección de los ejes coordenados, tales quep, q, u, v = 3i - 2j + k Y w = -2k estén en equilibrio.

RESP: p=-3i; q=2j.; u=k

2.40 Sean a, b, e los vectores arista de un paralelepípedo. ¿Cuáles son a + b, a + b + e,a - b Y a - b - e en relación al paralelepípedo?

RESP: Las diagonales y las diagonales de los lados

2.41 Demuestre que la suma y diferencia de dos vectores perpendiculares de igual longitud sontambién perpendiculares y de la misma longitud.

2.42 Dados los vectores A = i - 3j y B = 2i - 2j, encuentre todos los vectores reales

e = C, i + Cyj, de manera que el vector suma S = A + B + e tenga de módulo 7.

RESP: e=mi+~±~72 -(3+m)2 p ,con -IO~m~4

CAPiTULO Z : VECTORES 97y2.43 Calcule el módulo y el ángulo con el eje x del vector A + B - C

(vea figura 2.68), si A, B Y C tienen de módulo 6, 7 Y 5respectivamente, con a = 30° Y f3 = 45° . B-~+-::::--+--X

RESP: Módulo = 10,85, ángulo 37,06°

Figura 2.68

2.44 Los vectores A y B de la figura 2.69, tienen de módulo 3 y 5respectivamente. ¿Cuál deberá ser el ángulo a, para que elmódulo del vector diferencia entre A y B sea el doble del vectorsuma?

xRESP: 23,58°

Figura 2.69

2.45 Determínese el valor del ángulo e y el módulo del vector Cr.demodo que A + B + C = O (vea figura 2.70). Los módulos delos vectores A y B son 10 Y 5 respectivamente con a = 45° Yf3 = 20°.

RESP: e = 24,49°, C = 12,93Figura 2.70

sy2.46 Dados los vectores fuerza A, B, C y D con módulos 4 N, 6 N,

7 N Y 8 N respectivamente, que muestra la figura 2.71.Determine el módulo de la resultante y el ángulo con el eje x.

RESP: módulo = 5,55 N, ángulo = 23,52°.e ------~~~~--x

Figura 2.71

2.47 a) Hallar el resultado de la suma de un vector de 2cm de longitud hacia el este con otro de3cm de longitud hacia el noroeste.

b) Halle el res~ltado de la suma de un vector de 8cm de longitud hacia el este con otro de12cm de longitud hacia el noroeste.

e) Comparar los resultados de los apartados a) y b), Y establecer un teorema acerca de lasuma de dos vectores que son múltiplos de otros dos. ¿Se puede demostrar este teoremaen general?

n

sRESP: a) Módulo de la suma: 2,12 cmDirección y sentido: Oeste 86,7° Sur.

b) Módulo de la suma: 8,48 cmDirección y sentido: Oeste 86,8° Norte.

e) El teorema indica, sea s = a + bLuego es válido ns = n(a + b) = na + nb

98 CAPÍTULO 2 : VECTORES

2.48 Un hombre sigue la ruta siguiente: Desde su casa camina cuatro manzanas hacia el este,tres manzanas norte, tres manzanas este, seis manzanas sur, tres manzanas oeste, tresmanzanas sur, dos manzanas este, dos manzanas sur, ocho manzanas oeste, seis manzanasnorte y dos manzanas este. ¿A que distancia y en que dirección estará de su casa?

RESP: A dos manzanas hacia el sur de su casa

2.49 Un vapor navega directamente hacia el sur a 25 km/h en una zona donde el viento sopladel sudoeste a 18 km/h. ¿Cuál es el ángulo que forma el humo que sale de la chimeneacon la dirección norte?

2.50 El gráfico que se muestra es una pirámide de lado "a" y basecuadrada de lado también "a". Hallar el módulo de la resultantede los 4 vectores que se muestran.

RESP: 212 a

2.51 Hallar el módulo del vector R = a + b + c, si el tetraedromostrado es regular y de lado "k".

RESP: .J6 k

2.52 En el cubo de la figura 2.74, cuya arista es "k", se han dibujadolos vectores a, b, c. Calcule el módulo de: R = a + b + c.

RESP: .J3 k

2.53 Para el cubo de la figura 2.74. Calcule el módulo de:a) P = 2a + b - C

b) Q = 2a - b - C

e) R = a + 2b + 3c

RESP: 18,6°

Figura 2.72

Figura 2.73

Figura 2.74

RESP: a) .fi k b).J6 k; e) 2.J3 k

CAPiTULO 2: VECTORES 99

2.5.rCalcule a e b para:a) a = i + 2j; b = 6i - 8jb) a=i-3j+7k; b=8i-2j-2ke) a = -7i - 3j; b = jd) a = -3i + j + 2k; b = 4i + 2j - 5k

RESP: a) -ro. b) O; e) -3; d) -20

2.55 Sean: a = 4i + 2j + 6k; b = 4i - k Y c = 2i - j + 3k . Hallar:

a) a e b ; b) (a t bj e c ; e) 3ae2c ;d) (a= bj e c : e) (a=-cj e b : •f) (a-b-c)e(a+b)

RESP: a) la; b) 29; e) 144; d) 19: e) 5

2.56 Si se da a y a e b = a e C . ¿Puede concluirse que b = e ?

2.57 Hallar todos los veetores v tales que a e V = O ,donde a = i+ 2 j .RESP: v = -2mi + mj con - 00 < m < Q.

2.58 Encuentre todos los veetores B = Bxi + Byj + Bzk de módulo 2, de manera que:

A e B == e e B = O,con A = i+ j + k Ye = i+ j - 2k .

RESP: B, = J2 i - J2 j ,y B2 = -.[2 i+.fi j

RESP: a) no: b) si: e) si

2.59 Determine el ángulo entre u y v si:a) u=7i+3j+5k; v=-8i+4j+2kb) u=6i+j+3k; v=-3i+2ke) u = i+ j + k; v = i

2.60 ¿Son u y v ortogonales?a) u = i - j + 2k; v = 4j + 3kb) u=i-j+2k; v=-10i-2j+4ke) u=3j-k; v=2i+2j+6k

2.61 ¿Para qué valores de m, a = i - j + 2k Y b = 2i + rnj + k son veetores ortogonales".

RESP: m == 4

2.62 Usando veetores, demostrar que si las diagonalcs de un rectángu lo son ortogonalcs, elrectángulo debe ser un cuadrado.

2.63 Hallar todos los vectores v == v xi + v yj + v z k tales que a e V = 2 , donde a = 2i 1- j .

RESP: v = mi + (2 - 2m)j donde - 00 < m < 00

..

100 cAPiTULO 2 : VECTORES---------------------------------------------------------2.64 Determine dos vectores de módulo 1 que sean ortogonales al vector a = 3i - 2 j .

RESP: v = ±([f;i + fuj)

2.65 ¿Cuáles de las siguientes operaciones no tienen sentido?, ¿Por qué?

a) (u x vj s w , b) (u s vj x w , e) (u-v)xw, d) (uxv)-(u-w)RESP: b) Yd)

2.66 Explique por qué cada una de las siguientes expresiones no tienen sentido.

a) u-(v-w); b) (u e vj-i-w ; e) k-(u+v)

2.67 Hallar el trabajo realizado por un vector fuerza F que actúa sobre una partícula, si lapartícula se despliega desde un punto A hasta un punto B a lo largo de un segmentorectilíneo AB, donde.a) F=2i+j(enNewtons); A:(O, 0, O), B:(O, 1, O), (en metros)b) F = i + j + k (en Newtons); A:(l,-l, 2), B:(2, 1, 3), (en metros)El trabajo efectuado por una fuerza se define como el producto punto entre el vectorfuerza, F, y el vector desplazamiento d (W = F - d).

RESP: a) 1 J (J = N.m); b) 4 J (J = N.m)

2.68 Cuál deberá ser el módulo del vector B, de manera que (A + B)-(A - B) = 1 si el módulode A es 2.

RESP: B=J3

2.69 En cada caso, halle los ángulos entre el vector a y los ejes x-y-z.a) a=i+j-k; b) a=10i-lOj-10k

e) a=5i+4j+3k; d) a=2i+2jRESP: a) 54,7° con el eje x; 54,7° con el eje y; l25,:j° con el eje z

b) 54,7° con el eje x; 125,3° con el eje y; 125,3° con el eje ze) 45° con el eje x; 55,6° con el eje y; 64,9° con el eje z

d) 45° con el eje x; 45° con el eje y; 90° con el eje z

2.70 Sean a y b dos vectores de módulos a y b, si el ángulo entre ellos es a, determine paracada caso el módulo de a x b , Y b x a . Represente además los vectores producto.a) a = 7; b = 7; a: = 0°; b) a = 7; b = 7; o; = 90°; e) a = 10; b = 5; o: = 45°;d) a = 10; b = 5; o: = 135°

RESP: a) a x b = O; b x a = O; b) a x b = 49; b x a =-49e) axb=35,4; bxa=-35,4; d) axb=35,4; bxa=-35,4

2.71 Los vectores A y B, tienen de módulos 6 y 3 respectivamente y el ángulo entre ellos es de60°. Calcule el módulo de A x B.

RESP: 15,59

CAPiTULO 2: VECTORES 101-------------------------------------------------------2.72 Respecto de un sistema de coordenadas cartesiano derecho, sean u = 2i - 3j + 3k ,

v = j + 7k Y w = i + 4 j + 5k . Hallar:

a)vxw; b)uxw; c)(u+v)xw; d)(u-v)xw; e)(u-v)x(u-w);f) (u xv) - 2w; g) (u x v) x w; h) (u xv) e W .

RESP:a) -23i+7j-k; b) -27i-7j-t-llk; e) -50i+10k

ll) -4i-14j+12k; e) -20í-IOk; f) -26i-22j-8k

g) -78i + 122j - 82k; h) -70

2.73 Sean u = -i + 3j + 2k Y w = i + j - k. Encuentre un vector v que satisfaceuxv=w

RESP: v = mi + (1- 3m)j + (1- 2m)k

2.74 En la mecánica, el vector momento de una fuerza (torque) 't

respecto del punto Q de una fuerza F que actúa en el punto A(vea figura 2.75) se define como: 't = r x F. Si F = 2i + 4j + k,A: (4,2, -1) YQ: (O, 1,2); encuentre el vector momento 1: y sumódulo. Todas las magnitudes se dan en el S.l.

F

Q~

A

Figura 2.75

. ~~?: 't - dl- 10j + 14k Y T= 21,6 N.m

2.75 Demuestre las siguientes igualdades.a) (u + kv) x v = u x vb) (uxv)ew=ue(vxw)

2.76 ¿ a x b = O junto con a e b = O implica que a = O ó b = O?

2.77 Si e = a x b y b = a x e , demuestre que b = O y e = O.

2.78 Para cada inciso, determine un vector w que sea ortogonal a u y v.a) u=-7i+3j+k; v=2i+4kb) u = -i - j - k; v = 2i + 2k

RESP:a) 12i+30j-6k; b) -2i+2k

2.79 En cada caso, halle dos vectores perpendiculares y unitarios a u y v.a) u = i; v = jb)u=2j-3k; v e Zi

e) u = 3k; v = 2j + k

[C-3j-2")]RESP' a) +k : - k· b) + -. e) +i .. , , - fG ' , -i

102 CAPiTULO 2 : VECTORES-------------------------------------------------------2.80 Si A = i - j + k , Y B = i + j + k , Encuentre todos los vectores perpendiculares y

unitarios a los vectores A y B.

S1.1. 1.1.

RE P: u¡ = - .J2 1 + .J2 J ; u2 = .J2 1 - .J2 J

2.81 En cada caso, hallar el área del paralelogramo para el cual los vectores u y v son ladosadyacentes. Las unidades se dan en el sistema c.G.S.a) u = i; v = i+ jb) u=j-k; v=i-ke) u = i + j - k; v = i - j + k

2.82 Determinar todos los vectores V tales que ix v = k .

RESP: v = mi + j donde - 00 < m < 00

2.83 Dados los vectores A = i + j - k , y B = 2i - j + pk , determine los valores de p, demanera que el módulo de Á x B sea 4.

RESP: p¡ = 0,62 Y P2 = -1,62

2.84 Una fuerza F actúa sobre una recta que pasa por un punto A. Hallar el vector momento 't

y el módulo del momento t de F alrededor del punto Q, donde:a) F = k (Newtons); A:(O, 0, O); Q:(O, 0, 5)(metros)b) F = 2i + 4j + k (Newtons); A:(4, 2,-1); Q:(O, 1, 2)(metros)SUGERENCIA: En la mecánica, el momento 't de una fuerza F alrededor de un punto Qse define como el producto 't = r x F , donde r es el vector posición desde Q hasta A.

RESP: a) 0, O; b) 't = 13i -10j + 14k; 't = .J465 N.m