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Capítulo 1 – Conceitos Preliminares - Página 1

Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Artuzi e Prof. Lamar

Capítulo 1

Conceitos Preliminares 1.1 Tipos de Sinais Elétricos

Toda grandeza elétrica variável no tempo pode ser considerada um sinal elétrico, sendo que este pode ser classificado conforme o tipo de variação no tempo.

Sinal finito: sinal não nulo durante um tempo T finito.

1 2( ) 0 ,g t t t t≠ < < Sinal periódico: sinal que se repete a cada intervalo de tempo T.

( ) ( ) ( ) ... ( )g t g t T g t T g t nT= + = − = = − n:= número inteiro Sinal aleatório: sinal de duração infinita que nunca se repete. Sinal pseudo-aleatório: sinal com intensa variação que se repete a cada longo intervalo de tempo T. Sinal ciclo-estacionário: sinal aleatório formado pela superposição de sinais finitos conhecidos e deslocados no tempo de múltiplos de um intervalo de tempo T fixo.

t1 t2



Sinal Causal: É aquele que possui valor zero para todos os tempos negativos.

( ) 0 , 0f t t= <

Sinal Não-Causal: É aquele que possui valor diferente de zero algum tempo negativo.

( ) 0 , 0f t t≠ ∀ <

Sinal Anti-Causal: É aquele que possui valor zero para todos os tempos positivos.

( ) 0 , 0f t t= >

-5 0 5

- 8

- 6

- 4

- 2

0

2

4

6

8

t

Função Causal

f(t)

-5 0 5

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

t

Função Não-Causal

f(t)

-5 0 5

- 8

- 6

- 4

- 2

0

2

4

6

8

t

Função Anti-Causal

f(t)



1.2 Operações Básicas com Sinais

Algumas operações básicas sobre as funções matemáticas que representam os sinais elétricos são bastante comuns nos processos de modulação e, portanto, estão apresentadas abaixo juntamente com as respectivas exemplificações gráficas, nas quais y(t) é um pulso retangular de amplitude e duração unitárias.

Multiplicação e Escalonamento

( )t

z t K yT

= ⋅

(1-1)

Modificam a amplitude e a duração do sinal original, respectivamente. Em termos de sinais elétricos:

Se K > 1 tem-se amplificação. Se 0<K < 1 tem-se atenuação. Se T>1 tem-se expansão no tempo. Se 0<T<1 tem-se compressão no tempo.

Superposição e Deslocamento

( ) ( )z t A y t T= + − ∆ (1-2) Realizam o translado do sinal original sobre os eixos da amplitude e do tempo, respectivamente.

Em termos de sinais elétricos: Se ∆T > 0 tem-se atraso no tempo Se ∆T < 0 tem-se adiantamento no tempo (o que é impossível fisicamente).



1.3 Funções de Interesse

1.3.1. Função Degrau Unitário A função degrau foi introduzida por Heaviside e é comumente referida na matemática como função Φ de Heaviside, conforme a definição abaixo.

0 , 0

( )1 , 0

tu t

t<

= > (1-3)

A função u(t) não é definida para t=0 Obs.: Em algumas aplicações, define-se 1

2(0)u =

1.3.2. Função Sinal

1 , 0sgn( )

1 , 0t

tt>

= − <

Relações com a função degrau:

sgn( ) ( ) ( )t u t u t= − − sgn( ) 2 ( ) 1t u t= ⋅ −

1 12 2( ) sgn( )u t t= +

1.3.3. Função Pulso

1 , 0( )

0 , 0

tp t

t ou t∆

< < ∆ ∆= < > ∆

Relação com a função degrau:

[ ]1( ) ( ) ( )p t u t u t∆ = − − ∆

∆

Área: ( ). 1 ,p t dt+∞

∆−∞= ∀ ∆∫

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

Função Sinal

sgn(

x)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.5

0

0.5

1

x

Função Pulso - delta=2

p2(x

)



Função Pulso Retangular Nos sistemas de comunicação digital é comum encontrar a representação do bit 1 por um pulso retangular com amplitude e duração definidas, portanto, faz-se necessário definir o pulso retangular ou Função Porta (Gate) de duração τ.

1 , 2( )0 , 2

tG t

tτ

τ

τ

<=

>

Relação com a função degrau:

2 2( ) ( ) ( )G t u t u tτ ττ = + − − (1-4)

1.3.4. Função Impulso A função impulso foi introduzida por Dirac, sendo que na matemática é conhecida como função δ de Dirac.

0 , 0( )

, 0t

tt

δ≠

= ∞ =

A função impulso pode ser definida também a partir da função pulso como:

0( ) lim ( )t p tδ ∆∆→

= (1-6)

Deste modo temos:

0 0 0( ) . lim ( ) lim ( ) lim1 1t dt p t dt p t dtδ

+∞ +∞ +∞

∆ ∆−∞ −∞ −∞∆→ ∆ → ∆→= = = =∫ ∫ ∫ (1-5)

Também: 0

0( ) . ( ). 1t dt t dtδ δ

+

−

+∞

−∞= =∫ ∫

Logo: A função delta de Dirac possui amplitude ∞ em t=0 e área unitária Relações com a função degrau:

0 0

( ) ( )( ) lim ( ) lim

u t u tt p tδ ∆∆→ ∆→

− − ∆= =

∆

Logo: ( )

( )du t

tdt

δ = (1-7)

e ( ) ( ).t

u t dδ τ τ−∞

= ∫

-5 0 5

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

t

Função Impulso

del

ta(t

)

-τ/2 τ/2



Propriedade da Amostragem da Função Impulso Observações: - A função ( )ot tδ − é não nula apenas para ot t=

- A multiplicação de qualquer função f(t) por ( )ot tδ − será não nula apenas em

ot t=

Assim temos que:

0 0 0( ) ( ) ( ) ( )f t t t f t t tδ δ⋅ − = ⋅ − (1-8)

Integrando-se:

0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t t t dt f t t t dt f t t t dtδ δ δ+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞⋅ − = ⋅ − = −∫ ∫ ∫

Logo: 0 0( ) ( ) ( )f t t t dt f tδ+∞

−∞⋅ − =∫

Exemplo físico: Flash em uma máquina fotográfica=impulso de luz, filme integra a luz entrante pelo obturador que registra o instante t0. Escalonamento O escalonamento da função impulso não altera sua duração (que é sempre nula), mas tem efeito sobre sua área.

( )' 't

dt T t dt TT

δ δ+∞ +∞

−∞ −∞

⋅ = ⋅ ⋅ = ∫ ∫

Assim podemos escrever que: ( )t

T tT

δ δ = ⋅

(1-9)

-5 0 5

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

x

f(t) e delta(t-t0)

f(t)

to



1.3.5. Onda Cossenoidal A função cossenoidal é o sinal periódico utilizado para transportar a informação em diversos tipos de modulação, sendo que abaixo tem-se a onda cossenoidal de amplitude e período unitários, onde

• a amplitude corresponde ao valor máximo da onda cossenoidal, e • o período (T) corresponde à duração de um ciclo completo da onda, sendo que • a freqüência (f) da onda cossenoidal é o inverso do período (número de ciclos por segundo=Hz).

( ) cos(2 )g t tπ= (1-10) Neste exemplo:

2 1 1f Tω π= = = ω: Freqüência em [rad/s] f: Freqüência em [Hz] T: Período em [s]

Relações Importantes: 1

Tf

= 2 fω π= ⋅ 2

Tπ

ω=

1.3.6 Onda Senoidal A onda senoidal está atrasada em relação à onda cossenoidal sendo deslocada de um intervalo de

tempo 4TT∆ = , ou de uma fase 2

πφ = radianos.

( ) sin(2 )g t tπ= ⋅ (1-11)

ou

( )14( ) cos 2 ( )g t tπ= ⋅ −

( ) ( )14 2( ) cos 2 2 ) cos 2g t t t ππ π π= ⋅ − = ⋅ −

A fase em radianos pode ser calculada como: Tφ ω= ⋅ ∆

1/4



1.3.7 Onda Quadrada A onda quadrada é formada pela superposição de infinitos pulsos retangulares deslocados no tempo de valores múltiplos do período da onda. A onda quadrada é utilizada para representar a função de chaveamento em circuitos moduladores. Abaixo tem-se a onda quadrada de amplitude e período unitários

( )/ 2( )p Tn

s t G t nT∞

=−∞

= −∑ (1-12)

No exemplo da figura: T=1

1.3.8 Trem de Impulsos Assim como é feito na onda quadrada, é possível realizar uma onda periódica formada pela superposição de impulsos, denominada trem de impulsos. O trem de impulsos tem sua importância junto ao processo de amostragem e digitalização de sinais analógicos. Abaixo tem-se o trem de impulsos de período 2.

( )( )in

s t t nTδ∞

=−∞

= −∑ (1-13)

No exemplo da figura: T=2

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

Trem de Impulsos



1.4. Série de Fourier

“Dada qualquer função periódica ( ) ( )Tf t f t nT= + , pode-se representá-la como a soma de um número infinito de funções senoidais e cossenoidais harmonicamente relacionadas.”

Joseph Fourier, 1822.

1.4.1. Forma Trigonométrica da Série de Fourier

0 1 0 2 0 3 0

1 0 2 0 3 0

( ) cos( ) cos(2 ) cos(3 ) ...sin( ) sin(2 ) sin(3 ) ...

Tf t a a t a t a tb t b t b t

ω ω ωω ω ω

= + + + ++ + + +

ou

[ ]0 0 01

( ) cos( ) sin( )T n nn

f t a a n t b n tω ω+∞

=

= + +∑

onde 02Tπ

ω = : frequência angular fundamental

e 0 , n na a eb são constantes que dependem de n e f(t), e devem ser determinadas por:

0

00

1( ).

t T

Tta f t dt

T

+= ∫

0

00

2( ).cos( ).

t T

n Tta f t n t dt

Tω

+= ∫

0

00

2( ).sin( ).

t T

n Ttb f t n t dt

Tω

+= ∫

onde as integrais podem ser calculadas em qualquer período de tempo T. • Espectro Unilateral de Linhas É a representação gráfica dos coeficientes n na e b . Representa-se a amplitude de cada harmônica por uma linha vertical localizada na frequência correspondente. Exemplo: São gráficos discretos, indicando que o sinal periódico possui energia (proporcional ao quadrado da amplitude) somente nas freqüências múltiplas (harmônicas) da fundamental.

0 1 2 3 4 5 6 7 8-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3Espectro Unilateral de Linhas

w[rad/s]

an



1.4.2. Propriedades da Série Trigonométrica de Fourier a) Função Periódica Par: ( ) ( )T Tf t f t= −

/ 2

00

4( ).cos( ).

0

T

n

n

a f t n t dtT

b

ω=

=

∫

b) Função Periódica Ímpar: ( ) ( )T Tf t f t= − −

/ 2

00

0

4( ).sin( ).

n

T

n

a

b f t n t dtT

ω

=

= ∫

c) Valor Médio Nulo: 0 0a = d) Simetria de Meia Onda: 2( ) ( )T

T Tf t f t= − − 0 /n na b p n par= =

T

T

T



1.4.3. Forma Exponencial Complexa da Série de Fourier

0( ) . jn tT n

n

f t F e ω+∞

=−∞

= ∑

isto é: 0 0 0

0 0 0

2 30 1 2 3

2 31 2 3

( ) . . . ...

. . . ...

j t j t j tT

j t j t j t

f t F F e F e F e

F e F e F e

ω ω ω

ω ω ω− − −− − −

= + + + +

+ + + +

onde Fn são constantes complexas definidas por:

0 0

0

1( ) . .

t T jn tn t

F f t e dtT

ω+ −= ∫

• Relações entre a Série Trigonométrica e a Série Exponencial:

2 2n n

na b

F j= −

*

*

0 0

2.Re

2.Im

n n n n

n n n n

a F F F

b j F F F

a F

= + =

= − = − =

• Espectro Bilateral de Linhas Representação gráfica dos coeficientes Fn para as frquências harmônicas 0.n ω positivas e negativas. Sendo nF ∈£ necessitamos de 2 gráficos (Módulo e Fase ou Pare Real e Parte Imaginária). Exemplo:

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.5

0

0.5

1

1.5

2Espectro Bilateral de Linhas

w[rad/s]

Fn



1.5. Transformada de Fourier

•Sinais Periódicos: Possuem energia nas frequências múltiplas da fundamental ⇒ Espectro Discreto 9 Análise pela Série de Fourier •Sinais Não-Periódicos: Possuem energia em Todas as frequências ⇒ Espectro Contínuo 9 Análise pela Transformada de Fourier A Transformada de Fourier pode ser obtida levando-se a expressão da Série Exponencial de Fourier ao limite T→∞ Ex.:

limT→∞→

Série de Fourier Transformada de Fourier

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.5

0

0.5

1

1.5

2Espectro Bilateral de Linhas

w[rad/s]

Fn

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

w



1.5.1. Definição

Transformada Direta: ( ) ( ) j tF f t e dtωω+∞ −

−∞= ∫

Transformada Inversa: 1( ) ( )

2j tf t F e dωω ω

π+∞

−∞= ∫

Notação: ( ) ( )f t F ω←→F

( ) ( )F f tω = F e ( ) ( )f t F ω= -1F Observações Importantes:

• A Transformada de Fourier decompõe um sinal em suas componentes exponenciais complexas.

• ( )F ω é a representação de ( )f t no domínio frequência. • Normalmente ( )F ω é uma função complexa, necessitando de 2 gráficos para sua

representação: ( )( ) ( ) . jF F e θ ωω ω= ou ( ) Re ( ) Im ( )F F j Fω ω ω= + • Condição Suficiente (mas não necessária) para a existência da Transformada de Fourier:

( ) ( ) . j tF f t e dtωω+∞ −

−∞= < ∞∫ deve ser finita,

como 1 ,j te e tω ω− = ∀ ∀

Logo: ( )f t dt+∞

−∞< ∞∫

• Para ( )f t ∈¡ , função real, pode-se demonstrar:

Como: ( )( ) ( ) . jF F e θ ωω ω=

* ( )( ) ( ). ( ) ( ) .j t jF f t e dt F F eω θ ωω ω ω+∞ + −

−∞− = = =∫

Logo: ( ) ( )F Fω ω= − Módulo será uma função par ( ) ( )θ ω θ ω= − − Fase será uma função ímpar

• Se ( )f t é uma Função Par ⇒ ( )F ω é uma Função Real Se ( )f t é uma Função Ímpar ⇒ ( )F ω é uma Função Imaginária pura



1.5.2. Transformada de Fourier de algumas funções de interesse

a) Exponencial Causal:

( ) ( )atf t e u t−= ←→F 1

( )Fa j

ωω

=+

←→F

b) Função Pulso Retangular

1, / 2( ) ( )

0 , / 2

tf t G t

tτ

τ

τ

<= = >

←→F ( ) .2

F Saωτ

ω τ =

←→F

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

e(-2t) u(t)

-10 -5 0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

w

|F(w)|=1/sqrt(4+w2)

-10 -5 0 5 10-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

w

Fase(w)=-atan(w/2)

-3 -2 -1 0 1 2 3-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

f(t)=G2(t)

-10 -5 0 5 10-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

w

F(w)=2 Sa(w)



c) Função Impulso:

( ) ( ) ( ) 1f t t Fδ ω= ←→ =F

←→F

d) Função Impulso Deslocado

00( ) ( ) ( ) j tf t t t F e ωδ ω −= − ←→ =F

←→F

-10 -5 0 5 10-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t

f(t)=impulso(t)

1

-10 -5 0 5 10-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

w

F(w)= 1

-10 -5 0 5 10-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t

f(t)=impulso(t-5)

1

-10 -5 0 5 10

-60

-40

-20

0

20

40

60

w

Fase(w)=-5 w

-10 -5 0 5 10-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

w

F(w)=1



e) Função Sinal

1 , 0( ) sgn( )

1 , 0t

f t tt>

= = − < ←→F ( )arctan 02 2

( ) .j

F ej

ωω

ω ω−

= =

←→F

f) Função Constante

( ) 1 ( ) 2 ( )f t F ω π δ ω= ←→ = ⋅F

←→F

-10 -5 0 5 10

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

f(t)=sgn(t)

-10 -5 0 5 10

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

ω

θ(ω)=-atan(ω/0)

-10 -5 0 5 10

0.5

1

1.5

2

2.5

ω

|F(ω)|=|2/ω |

-10 -5 0 5 10-0.5

0

0.5

1

1.5

t

f(t)=1

-10 -5 0 5 10-0.5

0

0.5

1

1.5

ω

F(ω)=2πδ(ω)

2π



g) Função Degrau

1 , 0( ) ( )

0 , 0t

f t u tt

>= = <

←→F 1arctan( )2 2

2

1 1( ) ( ) ( ) .

j

F ej

ωπδ ωω πδ ω π δ ωω ω

− = + = +

←→F

h) Exponencial Complexa

0( ) j tf t e ω= ←→F 0( ) 2 ( )F ω πδ ω ω= −

( ) ( )0 0( ) cos sinf t t j tω ω= +

←→F

-10 -5 0 5 10-0.5

0

0.5

1

1.5

t

f(t)=u(t )

-10 -5 0 5 10-0.5

0

0.5

1

1.5

ω

√((π δ(ω))2+1/ω

2)

π

-10 -5 0 5 10-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

ω

θ(ω )=atan(-1/(π ω δ(ω)))

-10 -5 0 5 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

t

Ref(t)= cos(2 t)

-10 -5 0 5 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

t

Imf(t)=sin(2 t)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

ω

F(ω )=2 π δ(ω -2)

2π



i) Função Cosseno

( )0( ) cosf t tω= ←→F ( ) ( )0 0( )F ω πδ ω ω πδ ω ω= + + −

←→F

j) Função Seno

( )0( ) sinf t tω= ←→F ( ) ( )0 0( )F j jω πδ ω ω πδ ω ω= + − −

←→F

-10 -5 0 5 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

t

f(t)=cos(2 t)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

ω

F(ω)=π δ(ω-2)+π δ(ω+2)

π π

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

ω

ImF(ω )=π δ(ω+2)-π δ(ω-2)

π

π

-10 -5 0 5 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

t

f(t)=sin(2 t)



1.5.3. Propriedades da Transformada de Fourier

Dada a definição:

Transformada Direta: ( ) ( ) j tF f t e dtωω+∞ −

−∞= ∫

Transformada Inversa: 1( ) ( )

2j tf t F e dωω ω

π+∞

−∞= ∫

a) Linearidade:

Se:

1 1

2 2

( ) ( )

( ) ( )

f t F

f t F

ω

ω

←→

←→

F

F

Então:

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )af t bf t aF bFω ω+ ←→ +F

b) Simetria ou Dualidade Se:

( ) ( )f t F ω←→F Então:

( ) 2 ( )F t fπ ω←→ −F

c) Escalonamento Se:


1( )f at F

a aω ←→

F

d) Deslocamento em Frequência

Se:


00( ) ( )j tf t e Fω ω ω⋅ ←→ −F

e) Deslocamento no Tempo

Se:


00( ) ( ). j tf t t F e ωω −− ←→F



f) Diferenciação e Integração no Tempo • Diferenciação: Se:


( )

( )df t

j Fdt

ω ω←→ ⋅F

Generalizando: ( )( )( )

nn

n

d f tj F

dtω ω←→ ⋅F

• Integração Se:


1

( ). ( ) ( ) ( )t

f d F Fj

τ τ ω π ω δ ωω−∞

←→ +∫ F

g) Diferenciação e Integração na Frequência • Diferenciação: Se:


( )

( ) ( )dF

jt f td

ωω

− ←→F

Generalizando: ( ) ( )( )

nn

n

d Fjt f t

dω

ω− ←→F

• Integração Se:


1

( ) ( ) ( ) ( ).f t f t t F djt

ωπ δ τ τ

−∞

−+ ←→ ∫F



h) Teorema de Parseval Dado:

Potência: 2 2( )( ) 1. ( ) ( )

1v t

p t i t f t= = =

Energia: 2( ). ( ).E p t dt f t dt+∞ +∞

−∞ −∞= =∫ ∫

Teorema de Parseval:

2 21( ) ( )

2f t dt F dω ω

π+∞ +∞

−∞ −∞=∫ ∫

A energia de um sinal f(t) pode ser obtida tanto por uma integração no domínio do tempo

quanto por uma integração no domínio frequência.

1.5.4. Transformada de Fourier de Sinais Periódicos Dada uma função periódica ( )( )Tf t f t mT= + , pode-se expandi- la em Série Exponencial Complexa de Fourier:

0( ) . jn tT n

n

f t F e ω+∞

=−∞

= ∑ onde 02Tπ

ω =

e 0 0

0

1( ). .

t T jn tn Tt

F f t e dtT

ω+ −= ∫

Transformada de Fourier:

0( ) ( ) . jn tT n

n

F f t F e ωω+∞

=−∞

= =

∑F F

0( ) . jn tn

n

F F e ωω+∞

=−∞

= ∑ F Lembrando que: ( )002jn te nω πδ ω ω= −F

Logo:

( )0( ) 2 .nn

F F nω π δ ω ω+∞

=−∞

= −∑

A Transformada de Fourier de um sinal periódico é composta por impulsos localizados nas frequências harmônicas do sinal e a área de cada impulso é igual a 2π vezes o valor do coeficiente correspondente na Série Exponencial Complexa de Fourier.

+

-

v(t)

i(t)

R=1Ω



1.6. Sistemas Lineares e Convolução

Objetivo da análise: Conhecendo o sinal de entrada e alguma grandeza que represente o sistema, determinar o sinal de saída.

Notação: ( ) ( )x t y t→

1.6.1. Sistemas Lineares Se: 1 1( ) ( )x t y t→ 2 2( ) ( )x t y t→ Então se o Sistema for Linear: 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )ax t bx t ay t by t+ → + A propriedade de linearidade é composta por:

1 2 1 2

: ( ) ( ): ( ) ( ) ( ) ( )

Homogeneidade ax t ay tLinearidade

Superposição x t x t y t y t→

+ → +

1.6.2. Sistemas Invariantes no Tempo Se: ( ) ( )x t y t→ Então se o Sistema for Invariante no Tempo: 0 0( ) ( )x t t y t t− → − São sistemas cuja resposta não se altera no tempo, isto é, aplicando-se x(t) atrasada no tempo (t0) a resposta é a mesma y(t) só que também atrasada no tempo (t0). Sistemas Lineares Invariantes no Tempo: Sistemas LTI (Linear Time-Invariant) Sistemas que atendem as duas propriedades.

Sistema x(t) Entrada

y(t) Saída



1.6.3. Resposta de um Sistema Linear Invariante no Tempo (LTI) Se x(t) é o impulso, a reposta y(t) é chamada h(t) Resposta ao Impulso do Sistema. Demonstração: Se o sistema é invariante no tempo temos: Se o sistema é linear podemos multiplicar a entrada por uma constante: Se o sistema é Linear podemos integrar o sinal de entrada: Logo: Usando a propriedade de amostragem da função impulso temos: Integral de Convolução:

Notação: ( ) ( ) ( )y t x t h t= ∗

Conhecendo-se a resposta ao impulso h(t) de um Sistema Linear Invariante no Tempo, pode-se calcular a saída deste sistema para qualquer sinal de entrada, a partir da integral de convolução.

Sistema LTI

x(t)=δ(t) y(t)=h(t)

Sistema LTI

δ(t-τ) h(t-τ)

Sistema LTI

x(τ)δ(t-τ) x(τ)h(t-τ)

Sistema LTI

( ) ( ) ( )y t x h t dτ τ τ+∞

−∞= −∫( ) ( )x t dτ δ τ τ

+∞

−∞−∫

Sistema LTI

( ) ( ) ( )y t x h t dτ τ τ+∞

−∞= −∫( )x t

( ) ( ) ( )y t x h t dτ τ τ+∞

−∞= −∫

h(t) ( ) ( ) ( )y t x t h t= ∗( )x t



1.6.4. Propriedades da Convolução a) Comutatividade : ( ) ( ) ( ) ( )x t h t h t x t∗ = ∗

( ) ( ) ( ) ( )x h t d h x t dτ τ τ τ τ τ+∞ +∞

−∞ −∞− = −∫ ∫

b) Distributividade: [ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h t x t x t h t x t h t x t∗ + = ∗ + ∗ c) Associatividade: [ ] [ ] [ ]1 2 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t h t h t x t h t h t x t h t h t∗ ∗ = ∗ ∗ = ∗

d) Convolução com a Função Impulso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t t f t d f tδ τ δ τ τ+∞

−∞∗ = − =∫

Generalizando: 0 0( ) ( ) ( )f t t t f t tδ∗ − = −

e) Teorema da Convolução: e.1.) Convolução no Domínio do Tempo: Se

1 1( ) ( )f t F ω←→F

2 2( ) ( )f t F ω←→F Então:

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f t f t F Fω ω∗ ←→ ⋅F Convoluindo dois sinais no tempo, ocorre a multiplicação de seus espectros no domínio frequência. e.2.) Convolução no Domínio Frequência: Se

1 1( ) ( )f t F ω←→F

2 2( ) ( )f t F ω←→F Então:

[ ]1 2 1 21

( ) ( ) ( ) ( )2

f t f t F Fω ωπ

⋅ ←→ ∗F

Multiplicando dois sinais no tempo, ocorre a convolução de seus espectros no domínio frequência (÷2π).



e.3) Interpretação Física do Teorema da Convolução

( ) ( )H h tω = F : Função de Transferência ou Resposta em Frequência do Sistema Logo: ( ) ( ) ( )Y X Hω ω ω= ⋅

( ) ( ) ( )( ) . ( ) . ( ) .Y X Hj j jY e X e H eθ ω θ ω θ ωω ω ω= ⋅ Assim: ( ) ( ) ( )Y X Hω ω ω=

e ( ) ( ) ( )Y X Hθ ω θ ω θ ω= +

Podemos definir: ( )( )( )

YHX

ωωω

=

Circuitos Elétricos Lineares no Domínio Frequência:

( )

( ) . ( ) ( ) . ( ) ( )( )

Vv t R i t V R I Z R

Iω

ω ω ωω

= ←→ = → = =F

( ) ( )

( ) . ( ) .( ) ( ) ( )( )

di t Vv t L V L j I Z j L

dt Iω

ω ω ω ω ωω

= ←→ = → = =F

( ) ( ) 1

( ) . ( ) .( ) ( ) ( )( )

dv t Vi t C I C j V Z

dt I j Cω

ω ω ω ωω ω

= ←→ = → = =F

( )( )

x tX ω

( )( )

h tH ω

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

y t x t h tY X Hω ω ω

= ∗= ⋅

v(t)

+

-

i(t)

R

v(t)

+

-

i(t)

C

v(t)

+

-

i(t)

L



1.7. Transmissão de Sinais

1.7.1. Transmissão sem distorção A saída é o sinal de entrada atenuado/amplificado e deslocado no tempo. Logo: Não há perda de Informação!

0

0( ) ( ) ( )

( ) ( ) j t

Y y t k x t t

Y k X e ω

ω

ω ω −

= = ⋅ −

= ⋅ ⋅

F F

Como: ( ) ( ) ( )Y H Xω ω ω= ⋅ Temos que a resposta em frequência de um sistema que transmite um sinal sem distorção é:

0( ) j tH k e ωω −= ⋅

Módulo Constante e Fase Linear Distorção Linear : Quando um Sistema Linear impõe alterações no módulo e fase do espectro do sinal. Ex.: Filtros, atenuadores, amplificadores, equalizadores, etc.

( )x t ( )h t 0( ) ( )y t k x t t= ⋅ −

-6 -4 -2 0 2 4 6-0.5

0

0.5

1

1.5

ω

|H(ω)|

-6 -4 -2 0 2 4 6

-10

-5

0

5

10

ω

θ(ω)



1.7.2. Densidades Espectrais Definimos: Potência Instantânea que um sinal f(t) (tensão ou corrente) pode entregar a um resistor unitário como: 2( ) ( )p t f t=

Potência Média do sinal f(t)como: / 2 2

/ 2

1lim ( ).

T

f TTTP f t dt

T −→∞= ∫

Pelo Teorema de Parseval: 2

/ 2 2

/ 2

( )1 1lim ( ) . lim .

2

T Tf TTT T

FP f t dt d

T T

ωω

π

+∞

− −∞→∞ →∞= =∫ ∫

Onde fT(t) é o sinal obtido pelo truncamento do sinal de duração infinita f(t) entre os tempos –T/2 e T/2

Energia do sinal f(t) como: 2 ( ) .fE f t dt+∞

−∞= ∫

Pelo Teorema de Parseval: 2 21( ) . ( ) .

2fE f t dt F dω ωπ

+∞ +∞

−∞ −∞= =∫ ∫

Sinais de Potência: energia infinita e potência média finita

- Sinais de duração infinita (periódicos, aleatórios,etc) Sinais de Energia: energia finita e potência Média nula

- Sinais de duração finita (transientes) Assim podemos definir:

• Densidade Espectral de Energia: [Joule/rad/s] 2( ) ( )f Fω ωΨ =

Assim podemos calcular a energia como: 1

( ).2f fE dω ω

π

+∞

−∞= Ψ∫ [Joules]

• Densidade Espectral de Potência: [Watt/rad/s]

21( ) lim ( )f TTS F

Tω ω

→∞=

Assim podemos calcular a potência média: 1

( ).2f fP S dω ωπ

+∞

−∞= ∫ [Watts]

Para sinais periódicos tem-se: 20( ) 2 ( )f n

n

S F nω π δ ω ω+∞

=−∞

= ⋅ −∑

onde Fn são os coeficientes da Série Exponencial de Fourier

As densidades não definem univocamente um sinal, falta informação da fase.



1.7.3. Transmissão de Energia em Sistemas Lineares

- Energia do sinal de Entrada: 22 1( ). ( ) .

2xE x t dt X dω ωπ

+∞ +∞

−∞ −∞= =∫ ∫

- Energia do sinal de Saída: 22 1( ) . ( ) .

2yE y t dt Y dω ωπ

+∞ +∞

−∞ −∞= =∫ ∫

Porém: ( ) ( ). ( )Y H Xω ω ω=

2 2 2

( ) ( ) ( )Y H Xω ω ω=

Logo: 2 22 1( ) . ( ) ( ) .

2yE y t dt H X dω ω ωπ

+∞ +∞

−∞ −∞= =∫ ∫

Densidade Espectral de Energia do sinal de Entrada: 2

( ) ( )x Xω ωΨ =

Densidade Espectral de Energia do sinal de Saída: 2( ) ( ) ( )y xHω ω ωΨ = Ψ

1.7.4. Largura de Banda (Faixa) A largura de banda de um sinal é definida como a máxima frequência do sinal no qual 98% da energia está contida: Ex.:

( )x t ( )h t ( )y t

-500 0 500

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

Ψx(ω )=|X(ω)|2

W W

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

Ψx(ω )=|X(ω)|2

W



A largura de banda de um sistema é definida como a frequência onde a amplitude do sinal de entrada cai -3dB ou 1/ 2 do seu valor no meio da faixa. Ex.: Quanto maior a largura de banda W de um sistema, maior é sua capacidade de transmissão de dados.

1.7.5. Introdução ao Ruído Tipos mais comuns de Ruído em sistemas eletrônicos:

- Ruído Térmico (Thermal Noise): Resistores - Ruído Balístico (Shot Noise) : Semi-condutores - Ruído Flicker ou 1/f (Flicker Noise) : MOSFET

Ruído Branco Ideal: Processo aleatório cujo espectro possui densidade de energia média constante em toda faixa de frequências. Ruído Colorido : Ruído branco limitado em frequência. Relação Sinal Ruído (Signal Noise Ratio): Quantiza a quantidade de ruído existente em um sinal.

.10log

.Pot Sinal

SNRPot Ruído

= [dB]

Figura de Ruído : Parâmetro que quantifica o ruído gerado internamente em um sistema elétrico linear. É a relação entre o ruído adicionado pelo circuito e o ruído de um elemento resistivo puro, ambos na mesma temperatura.

-15 -10 -5 0 5 10 15

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

|H(ω)|

W

1/ 2

-30 -20 -10 0 10 20 30

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ω

|H(ω)|

W

1/ 2

-1000 -500 0 500 1000- 1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

ω

Ψwn

(ω)



1.7.6. Filtros a) Filtro Passa-Baixas

Passa-Baixas Ideal:

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 1 0 1 5 20 25-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ω

|H(ω )|

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 1 0 1 5 20 25

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

ω

Θ (ω)

( ) 0

2( ) j tWH A G e ωω ω −= ⋅ ⋅

Resposta ao impulso:

( )0( ) ( )AW

h t H Sa W t tωπ

= = − -1F

Como a resposta ao impulso não é nula para t<0 o sistema é antecipativo, Não-Causal, portanto irrealizável fisicamente.

Passa-Baixas Realizável: Ex.:

1

1( )

1 1j C

Hj RCR j C

ωω

ωω

= =++

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

t

h(t)

C

R

-15 -10 -5 0 5 10 15

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

|H(ω)|

1/RC

1/ 2

-1/RC -15 -10 -5 0 5 10 15-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

ω

Θ(ω)

W -W

A



b) Filtro Passa-Altas Passa-Altas Ideal:

( ) 02( ) 1 .

c

j tH A G e ωωω ω − = −

Resposta ao Impulso:

0 02( ) ( ) ( )

c

j t j th t H Ae AG eω ωωω ω− −= = −-1 -1F F

( )0 0( ) ( ) ( )cch t A t t A Sa t t

ωδ ω

π= − − −

-Sistema Não-Causal. Filtro Passa-Altas Realizável: Ex.:

( )1 1R j RC

Hj RCR j C

ωω

ωω

= =++

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-6

-4

-2

0

2

4

t

h(t)

C

R

-15 -10 -5 0 5 10 15-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

ω

Θ(ω)

-15 -10 -5 0 5 10 15-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

ω

|H(ω )|

1/RC -1/RC

12

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ω

|H(ω)| Θ(ω )

ωc -ωc

A



c) Filtro Passa-Faixas Filtro Passa-Faixas Ideal:

[ ] 00 0( ) ( ) ( ) . j t

W WH A G G e ωω ω ω ω ω −= − + + Exercício: Calcular h(t) Filtro Passa-Faixas Realizável: Ex.:

2( )1 ( ) 1

R j RCH

j LC j RCR j Lj C

ωω

ω ωωω= =

+ ++ +

d) Filtro Rejeita-Faixas Filtro Rejeita-Faixas Ideal:

00 0( ) 1 ( ) ( ) .

c c

j tH A G G e ωω ωω ω ω ω ω = − − − +

Exercício: Calcular h(t) Filtro Rejeita-Faixas Realizável: Ex.:

2

2

11

( )1 ( ) 1

j L LCj CH

j LC j RCR j L j C

ω ωωω

ω ωω ω

+ −= =

+ ++ +

L

R

C

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

|H(ω )|

W W

12

1LC

1LC

−

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ω

|H(ω)| Θ(ω)

W W

-ω0 ω0

-50 0 50-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

|H( ω)| Θ(ω)

-ω0 ω0

ωc ωc

C

R

L

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

|H( ω)|

1LC

1LC

−



1.7.7. Resposta de Sistemas Lineares a Entradas Sinusoidais

Dado: ( )( ) ( ) . HjH H e θ ωω ω=

Podemos demonstrar que: ( )0 0 0( ) . ( ).cos ( )Hy t k H tω ω φ θ ω= + + O sinal de saída possui a mesma frequência do sinal de entrada, com amplitude modificada por

0( )H ω e fase somada com 0( )Hθ ω .

1.7.7. Sistemas Lineares × Sistemas Não-Lineares Sistemas Lineares: Podem modificar apenas a amplitude e/ou a fase dos sinais de entrada (distorção linear), sem criar novos harmônicos. Sistemas Não-Lineares: Podem apresentar na saída, sinais com frequências diferentes do sinal de entrada (Intermodulação). • Distorção Harmônica Seja um sistema genérico com sinal de entrada sinusoidal puro. Com espectros: Entrada Saída

0( ) .cos( )x t k tω φ= + ( )( )

h tH ω

( ) ?y t =

0( ) .cos( )x t k tω= ( )y tSistema

0 1 2 3 4 5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

nω0

an

k

0 1 2 3 4 5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

nω0

an

A 1

A2

A3

A4 A5



Define-se a Distorção de i-ésima harmônica como:

1

ii

AD

A=

Ex.: Distorção de Terceira harmônica apresentada por transformadores devido a não linearidade da permeabilidade magnética de alguns materiais com a intensidade de campo magnético. • Distorção Harmônica Total (THD) Define-se:

2 2 2 22 3 4 5

21

...A A A ATHD

A+ + + +

=

A THD é uma medida da Não-Linearidade de um sistema. Quanto maior a THD mais não- linear, quanto menor a THD mais linear é o sistema. Ex.:

0 0 0 0( ) 20cos( ) 5cos(2 ) 2cos(3 ) cos(4 )y t t t t tω ω ω ω= + + +

2 2 2

2

5 2 10,27 27%

20THD

+ += = →

Aparelhos de som de alta fidelidade: THD<0,1%

0( ) cos( )x t tω= ( )y tAmplificador

0 1 2 3 4 5-10

-5

0

5

10

15

20

ω

an

20

5

2 1

0 1 2 3 4 5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

ω

an

1

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