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Capıtulo 1

Calculo Vetorial

1.1 Campos Vetoriais

Uma correspondencia que a cada ponto Q = (x, y, z) de uma certa regiao R associa um unicovetor F(x, y, z) chama-se campo vetorial em R. E interessante pensar que o vetor F(x, y, z)esta aplicado no ponto Q. Todo campo vetorial se escreve de maneira unica na forma

F(x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P (x, y, z)k

em que M,N,P sao funcoes escalares (M,N,P : R → R). Um campo vetorial F(x, y, z) e ditocontınuo (resp., diferenciaveis, etc) quando as funcoes M,N,P sao contınuas (resp., dife-renciaveis, etc). Exemplos importantes de campos vetoriais na Fısica sao o campo gravitacional,o campo eletrico e o campo magnetico.

Exemplo 1. Seja f : R → R uma funcao que tem derivadas parciais de primeira ordem emtodo ponto de R. Definimos em R o campo gradiente de f

∇f(x, y, z) = fx(x, y, z)i + fy(x, y, z)j + fz(x, y, z)k.

Exemplo 2. F(x, y) = −12(xi + yj), G(x, y) = −yi + xj, H(x, y) = 1

2(xi − yj)

As figuras abaixo mostram um esboco dos campos F, G e H

��

��

@@R

��

��13�

JJ

QQQk

BBBM

PPi

JJ]

��+�

�� )

BBBNPPPq

y

campo F

6

?

�

-

@@I

��

@@R

��

y

campo G

1

Exemplo 3. (Campo do quadrado inverso) E um campo vetorial da forma

F(x, y, z) =c

‖r‖2

r

‖r‖ =c

‖r‖3r,

em que r = xi + yj + zk. E claro que, em termos das coordenadas (x, y, z), o campo F seescreve na forma

F(x, y, z) =c x

(x2 + y2 + z2)3/2i +

c y

(x2 + y2 + z2)3/2j +

c z

(x2 + y2 + z2)3/2k.

Os campos gravitacional e eletrico sao do tipo quadrado inverso.

Para simplificar a introducao de alguns conceitos, vamos definir o operador ∇ por

∇ =∂

∂xi +

∂

∂yj +

∂

∂zk.

O operador ∇ atuando sobre uma funcao escalar f produz o gradiente de f .

Observacao 1. Os campos vetoriais podem ser interpretados como sistemas de equacoes di-ferenciais: cada campo vetorial define um sistema de equacoes diferenciais e reciprocamente.Dado um campo vetorial F(x, y) no plano, podemos pensar no problema de encontrar umacurva cujo vetor tangente em cada ponto seja F(x, y). Consideremos, por exemplo o sistemade equacoes diferenciais

{

x′ = −yy′ = x

(1.1)

Toda solucao desse sistema e da forma

[

x(t)y(t)

]

= a

[

cos tsen t

]

+ b

[

−sen tcos t

]

(1.2)

e seu grafico e uma circunferencia centrada na origem. Pensando no campo vetorial como umcampo de velocidades de um fluido, isso significa que cada partıcula do fluido descreve umacircunferencia em torno da origem. Em cada ponto P = (x, y)da trajetoria da partıcula, ovetor velocidade e F(x, y). Alias, esse e precisamente o significado da equacao diferencial.

Um campo vetorial F e dito conservativo quando existe uma funcao escalar f tal queF = ∇f . Neste caso, f e dita funcao potencial de F.

Exemplo 4. O campo F(x, y) =x

x2 + y2i +

y

x2 + y2j e conservativo. Uma funcao potencial e

f(x, y) = ln√

x2 + y2.

De fato, temos fx =1

2

2x

x2 + y2=

x

x2 + y2e fy =

1

2

2y

x2 + y2=

y

x2 + y2.

Exemplo 5. Todo campo quadrado inverso e conservativo.

2

De fato, se

F(x, y, z) =c x

(x2 + y2 + z2)3/2i +

c y

(x2 + y2 + z2)3/2j +

c z

(x2 + y2 + z2)3/2k,

entao uma funcao potencial para F e f(x, y, z) =−c

√

x2 + y2 + z2.

Suponhamos que as funcoes M,N,P tenham derivadas parciais de primeira ordem. Defini-mos o rotacional de F = M i + N j + P k por

rot(F) =(∂P

∂y− ∂N

∂z

)

i +(∂M

∂z− ∂P

∂x

)

j +(∂N

∂x− ∂M

∂y

)

k.

A expressao do rotacional fica mais facilmente memorizavel se identificarmos a expressao dosegundo membro como um conveniente produto vetorial e escrevermos

rot(F) = det

i j k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zM N P

em que os produtos∂

∂yP,

∂

∂zM , etc, devem ser entendidos como

∂P

∂y,

∂M

∂z, etc. Com esta

identificacao, fica natural denotar o rotacional por ∇× F.

Um campo vetorial cujo rotacional e identicamente nulo e dito irrotacional.

Exemplo 6. Calcular o rotacional do campo F = sen (xy2z)i + (2x + z)j + exz3

k.

Temos

∇× F = det

i j k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zsen (xy2z) 2x + z exz3

=

=[ ∂ exz3

∂y− ∂ (2x + z)

∂z

]

i +[ ∂ sen (xy2z)

∂z− ∂ exz3

∂x

]

j +[ ∂ (2x + z)

∂x− ∂ sen (xy2z)

∂y

]

k

= −i + (xy2 cos(xy2z) − z3exz3

)j + (2 − 2xyz cos(xy2z))k.

Veremos posteriormente que ∇ × F descreve propriedades rotacionais do campo F. Porenquanto notemos que o campo F = −yi + xj roda no sentido trigonometrico e seu rotacionalvale

∇× F = det

i j k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z−y x 0

=(∂0

∂y− ∂x

∂z

)

i +(∂y

∂z− ∂0

∂x

)

j +(∂x

∂x− ∂ − y

∂y

)

k = 2k.

Na verdade, a ideia de rodar nao significa que os vetores do campo vao mudando de direcao erodando. A palavra rodar e usada no seguinte sentido: se colocarmos uma placa flutuando em

3

um lıquido que escoa com um campo de velocidades F (com rotacional nao nulo) notaremosque ela sofrera uma rotacao. O campo vetorial

V =−y

x2 + y2i +

x

x2 + y2j

tem uma representacao semelhante ao campo anterior, mas ele e irrotacional. De fato,

∇× V = det

i j k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z−y

x2 + y2

x

x2 + y20

=

=

[

∂0

∂y− ∂

∂z

( x

x2 + y2

)

]

i +

[

∂

∂z

( x

x2 + y2

)

− ∂0

∂x

]

j +

[

∂x

∂x− ∂(−y)

∂y

]

k = 0.

Exemplo 7. Claramente, o campo F = xi + yj + zk nao roda e temos

∇× F = det

i j k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zx y z

=(∂z

∂y− ∂y

∂z

)

i +(∂x

∂z− ∂z

∂x

)

j +(∂y

∂x− ∂x

∂y

)

k = 0.

O divergente do campo vetorial F = M i + N j + Pk, denotado por div (F), ou ∇ · F, edefinido por

∇ · F =∂M

∂x+

∂N

∂y+

∂P

∂z.

Exemplo 8. Calcular o divergente do campo F = −yi + xj.

Temos

∇ · F =∂(−y)

∂x+

∂x

∂y= 0.

Veremos que, quando F e um campo de velocidades de um fluido, o divergente informa sobreo fluxo de massa do fluido. Quando F e o fluxo de calor, o divergente indica que ha uma fontede calor, quando F e o campo eletrico, o divergente indica a presenca de cargas eletricas numacerta regiao.

Propriedades:

1) ∇× (F + G) = ∇× F + ∇× G 2) ∇ · (F + G) = ∇ · F + ∇ · G3) ∇ · (f F) = f(∇× (F) + (∇f) × F.

Exercıcio 1. Mostre que, se F e um campo quadrado inverso, entao ∇× F = 0 e ∇ · F = 0.

Exercıcio 2. Mostre que, se F = M i + N j + Pk e um campo conservativo, e se M,N,P temderivadas parciais contınuas, entao ∇× F = 0.

Exercıcio 3. Mostre que rot( grad f )=0 (isto e, ∇ × (∇f) =0) e div( rot F) =0 (isto e,∇ · (∇× F) = 0.

4

1.2 Integral de Linha

1.2.1 Revisao sobre Curvas.

Uma curva γ e um conjunto de pontos {P (t) = (f(t), g(t), h(t)) : t ∈ I}, em que f , g , h saofuncoes contınuas em um intervalo I ⊂ R; as equacoes x = f(t), y = g(t), z = h(t), t ∈ I,sao chamadas equacoes parametricas da curva. Costuma-se indicar uma curva por meiodas suas equacoes parametricas γ : x = f(t), y = g(t), z = h(t), t ∈ I; ou pela funcaovetorial (vetor posicao) R(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k , t ∈ I. Uma curva γ pode ter maisde uma parametrizacao : por exemplo, a circunferencia x2 + y2 = 1 pode ser parametrizadacomo x = cos t , y = sen t , t ∈ R (tambem poderıamos ter tomado I = [0, 2π]), ou comox = cos 2t , y = sen 2t , t ∈ R (ou t ∈ [0, π]). Dizemos que duas parametrizacoes P1(t) , t ∈[a, b] e P2(s) , s ∈ [c, d] sao equivalentes quando existe uma funcao estritamente crescente esobrejetora s : [a, b] → [c, d], com s′(t) > 0 para todo t, tal que P1(t) = P2(s(t)) , t ∈ [a, b]; noexemplo acima s(t) = t/2. Para o estudo das integrais de linha, estaremos mais interessados nasparametrizacoes de uma curva do que no conjunto de pontos em si; assim, quando estiver escrito,por exemplo, a circunferencia x2 +y2 = a2, estaremos pensando numa de suas parametrizacoes,tais como, x = a cos t , y = a sen t , 0 ≤ t ≤ 2π.

Toda curva tem um sentido natural de percurso, que e aquele dado por t crescente (de a parab, quando I = [a, b]). Quando houver necessidade de explicitar que o sentido de percurso e doponto A para o ponto B, usaremos o sımbolo γAB.

Dizemos que γ : x = f(t), y = g(t), z = h(t), t ∈ [a, b] e uma curva fechada se P (a) = P (b),ou seja, f(a) = f(b), g(a) = g(b) , h(a) = h(b)). Se, alem disso, γ nao tiver auto-interseccoes,diremos que γ e uma curva fechada simples.

curva fechada simples curva fechada

Uma curva γ e dita suave (ou lisa) quando a funcao vetorial→R (t) tem derivada contınua em

(a, b) e ‖R′(t)‖ > 0 (ou seja, as funcoes f, g, h tem derivadas contınuas em (a, b) e [f ′(t)]2 +[g′(t)]2 + [h′(t)]2 > 0) para todo t ∈ (a, b). O vetor R′(t) e tangente a curva e chama-se vetorvelocidade de γ. Assim, uma curva e suave quando tem, em cada ponto, um vetor tangenteque nunca se anula. O comprimento de uma curva suave γ, descrita pela funcao vetorial

R(t) = f(t)i+g(t)j+h(t)k , t ∈ [a, b] e L =

∫ b

a

‖R′(t)‖ dt =

∫ b

a

√

[f ′(t)]2 + [g′(t)]2 + [h′(t)]2 dt.

A primeira vista, esta definicao pode dar a impressao que o comprimento de uma curva sealtera quando mudamos a parametrizacao . Mostremos que isto nao ocorre. Suponhamos γ

5

dada por R(t) , t ∈ [a, b] e seja S(u) uma parametrizacao equivalente (isto e, existe uma funcaosobrejetora u : [a, b] → [c, d] com u′(t) > 0 para todo t ∈ [a, b] tal que S[u(t)] = R(t). Pelaregra da cadeia, temos S′[u(t)] u′(t) = R′(t), para todo t ∈ [a, b]. Portanto,

∫ d

c

‖S′(u)‖ du =

∫ b

a

‖S′[u(t)]‖u′(t) dt =

∫ b

a

‖S′[u(t)]u′(t)‖ dt =

∫ b

a

‖R′(t)‖ dt.

Uma curva contınua γ composta de um numero finito de curvas suaves e chamada um caminho,isto e, γ e um caminho se γ1 ∪ · · · ∪ γn, em que γ1, . . . , γn sao curvas suaves. O comprimentode um caminho γ = γ1 ∪ · · · ∪ γn e a soma dos comprimentos das curvas suaves γ1 , . . . , γn.

1.2.2 Definicao de Integral de Linha no Plano.

Vamos definir dois tipos de integrais ao longo de curvas, tendo como modelos a massa de umfio e nocao de trabalho realizado por uma forca.

Suponhamos que a curva plana γ represente um fio cuja densidade linear (massa por unidadede comprimento) no ponto P = (x, y) de γ e δ(x, y); isso significa que a massa do segmentode comprimento ∆s a partir do ponto P = (x, y) e aproximadamente ∆m = δ(x, y)∆s. Paracalcular a massa do fio dividimos a curva γ em um numero finito de arcos por meio dos pontosP0 , P1 , . . . , Pn, em que Pk = (xk, yk), 1 ≤ k ≤ n. Entao

∑nk=1 δk(xk, yk)∆ks e um valor

aproximado da massa do fio, e essa aproximacao melhora a medida que tomamos divisoescom arcos de comprimentos cada vez menores. Portanto a massa do fio e o limite das somas∑n

k=1 δk(xk, yk)∆ks, ou seja,

M = lim‖∆‖→0

n∑

k=1

δk(xk, yk) ∆ks ,

que denotaremos por

∫

γ

δ(x, y) ds.

Lembremos que o trabalho realizado quando uma partıcula e deslocada ao longo da reta

ligando o ponto A ao ponto B sob a acao de uma forca constante F e W = F·−→AB. Consideremos

agora o caso em que uma partıcula que se desloca ao longo de uma curva plana γ sob a acaode uma forca F(x, y) = M(x, y)i + N(x, y)j. Vamos calcular o trabalho realizado. Sejamx = f(t), y = g(t), t ∈ [a, b] equacoes parametricas de γ, e seja R(t) = f(t)i + g(t)j o vetor

posicao: para cada ponto P = P (t) sobre a curva, temos R(t) =−→OP (t). Vamos dividir a curva

γ em um numero finito de arcos por meio dos pontos P0 , P1 , . . . , Pn , Pk = (xk, yk). O trabalho∆kW realizado ao longo do arco Pk−1Pk e ∆kW ≈ ( F (Pk) ·Tk )∆ks, em que Tk denota o vetor

6

unitario tangente a γ no ponto Pk−1 e

∆ks =

∫ tk

tk−1

√

[x′(u)]2 + [y′(u)]2 du

e o comprimento do arco Pk−1Pk. Portanto, o trabalho realizado ao longo de γ e

W = lim‖∆‖→0

n∑

k=1

( F (Pk) · Tk )∆ks =

∫ b

a

[

F(x(t),y(t)) · T(t)]√

[x′(t)]2 + [y′(t)]2 dt (1.3)

que denotamos por W =

∫

γ

(F · T) ds.

Vamos dar outra expressao do trabalho. Notemos que tambem podemos escrever o trabalho∆kW realizado ao longo do arco Pk−1Pk como

∆kW ≈ F (Pk) · ∆jR = M(xk, yk)∆kx + N(xk, yk)∆ky

em que ∆kx = xk − xk−1 e ∆ky = yk − yk−1. Pelo Teorema do Valor Medio, existem sk , wk ∈[tk−1 , tk] tais que ∆kx = x′(sk)∆kt e ∆ky = y′(wk)∆kt Portanto,

W = lim‖∆‖→0

n∑

k=1

M(xk, yk)x′(sk)∆kt + N(xk, yk) y′(wk)∆kt

que denotamos por W =

∫

γ

M(x, y) dx + N(x, y) dy.

Passemos a definicao de integral de linha. Seja γ uma curva plana suave ligando os pontosA e B. Sejam M(x, y), N(x, y) funcoes contınuas sobre γ. Vamos dividir a curva γ em narcos por meio dos pontos P0 = A , P1 , · · · , PN = B (onde Pj = (xj , yj), j = 0, 1, · · · , N).Definamos, como de costume, ∆jx = xj − xj−1, ∆jy = yj − yj−1, j = 1, · · · , N e ‖∆‖ =max{∆1x, · · · , ∆Nx, ∆1y, · · · , ∆Ny}.

x

y

Pk−1

Pk

P1

•P0 = A

Pn = B•

•yk−1

yk •

xkxk−1

•

6

-

7

Em cada arco Pj−1Pj escolhemos um ponto P ∗ = (zj , wj) e formamos a soma

N∑

j=1

M(zj , wj)∆jx + N(zj , wj)∆jy (1.4)

Pode-se mostrar que, quando ‖∆‖ → 0 tais somas tendem a um limite que chamamos integral

de linha e denotamos por

∫

γ

Mdx + Ndy. Assim,

∫

γ

Mdx + Ndy = lim‖∆‖→0

N∑

j=1

M(zj , wj)∆jx + N(zj , wj)∆jy. (1.5)

1.2.3 Calculo da integral de linha

Sejam x = f(t), y = g(t), a ≤ t ≤ b equacoes parametricas de γ, e seja a = t0 < t1 <· · · < tN = b uma particao do intervalo [a, b] tal que Pj = (f(tj), g(tj), j = 0, 1, · · · , N ;entao ∆jx = f(tj) − f(tj−1). Pelo Teorema do Valor Medio, existe rj entre tj−1 e tj tal quef(tj)−f(tj−1) = f ′(rj)(tj−tj−1). Chamando ∆jt = tj−tj−1, podemos escrever ∆jx = f ′(rj)∆jt.Escolhendo Pj = (f(rj), g(rj)), a a soma (1.4) fica

N∑

j=1

M(f(rj), g(rj))f′(rj)∆jt.

que e uma soma de Riemann da funcao contınua H(t) = M(f(t), g(t))f ′(t) e portanto essa

soma converge para a integral∫ b

aH(t) dt. Logo,

∫

γ

M(x, y) dx =

∫ b

a

M(f(t), g(t))f ′(t) dt.

Analogamente, temos

∫

γ

N(x, y) dy =

∫ b

a

N(f(t), g(t))g′(t) dt.

Logo,

∫

γ

M(x, y) dx + N(x, y) dy =

∫ b

a

[

M(f(t), g(t))f ′(t) + N(f(t), g(t))g′(t)]

dt.

Como foi feito acima para o comprimento de arco, mostra-se facilmente que o valor da integral delinha nao se altera quando substituimos uma dada parametrizacao por uma outra equivalente.

A definicao de integral de linha tem uma extensao natural para o caso em que γ e umcaminho: se γ = γ1 ∪ · · · ∪ γn e uma curva contınua, onde cada γi, 1 ≤ i ≤ n e uma curvasuave, e M e N sao funcoes contınuas sobre γ, definimos

∫

γ

(M dx + N dy) =

∫

γ1

(M dx + N dy) + · · · +∫

γn

(M dx + N dy)

8

Exemplo 9. Calcular

∫

γ

xy dx + x3y dy, em que γ e a metade superior da elıpsex2

a2+

y2

b2= 1.

Podemos parametrizar a elıpse por x = a cos t,y = bsen t, 0 ≤ t ≤ π. Entao

I =

∫ π

0

[

− a2b sen 2t cos t + a3 b2 cos4 t b sen t]

dt

= −a2b

∫ π

0

sen 2t cos t dt + a3b2

∫ π

0

cos4 t sen t dt

=[

− a2b

3sen 3 t − a3b2

5cos5 t

]π

0=

2

5a3b2 .

γ

6y

-x

Exemplo 10. Calcular

∫

γ

2xy dx + (x2 − y2) dy em que:

(a) γ e o segmento de reta ligando P1 = (3, 0) a P2 = (0, 2);

(b) γ e o caminho formado pelos segmentos de reta:

γ1 ligando P1 a O = (0, 0) e

γ2 ligando O a P2.

P2

P1

γ

γ2

γ1

y

x

6 �

k

O segmento ligando o ponto (3,0) a (0,2) pode ser parametrizado por: x = 3 − 3t, y =2t, 0 ≤ t ≤ 1, donde x′(t) = −3, y′(t) = 2 e, portanto

∫

γ

2xy dx + (x2 − y2) dy =

∫ 1

0

(46t2 − 72t + 18) dt

= −8/3

O segmento γ1 de (3,0) a (0,0) pode ser parametrizado por x = 3 − t, y = 0, 0 ≤ t ≤ 3,donde x′ = −1, y′ = 0, enquanto que o segmento γ2 ligando (0,0) a (0,2), pode ser dado porx = 0, y = 2t, 0 ≤ t ≤ 1, donde x′ = 0, y′ = 2, de modo que temos

I1 =

∫

γ1

2xy dx + (x2 − y2) dy = 0

e

I2 =

∫

γ2

2xy dx + (x2 − y2) dy =

∫ 1

0

(−4t2).2 dt = − 8

3.

Logo∫

γ

2xy dx + (x2 − y2) dy = I1 + I2 = − 8

3.

Exemplo 11. Calcular o trabalho realizado pela forca F =1

(x2 + y2)3/2

(

xi+ yj)

para deslocar

uma partıcula de P0 = (1, 0) a P1 = (3, 2):

9

(a) ao longo do segmento de reta P0P1;(b) ao longo do caminho formado pelos seg-

mentos de reta de P0 a P2 = (3, 0) e dosegmento de reta ligando P2 a P1.

• •

•

P0 P2

P1

��

y

x

Uma parametrizacao do segmento de reta P0P1 e x = t , y = t − 1 , 1 ≤ t ≤ 3. Portanto

W =

∫

γ

x dx + y dy

(x2 + y2)3/2=

∫ 3

1

t + (t − 1)

[t2 + (t − 1)2]3/2dt =

=1

2

∫ 3

1

2t + 2(t − 1)

[t2 + (t − 1)2]3/2dt =

−1√

t2 + (t − 1)2

∣

∣

∣

3

1= 1 − 1√

13.

O segmento de reta γ1 = P0P2 pode ser parametrizado como x = t, y = 0, 1 ≤ t ≤ 3.Entao x′(t) = 1 e y′(t) = 0, e temos

I1 =

∫

γ1

x dx + y dy

(x2 + y2)3/2=

∫ 3

1

t

t3dt =

∫ 3

1

dt

t2=

−1

t

∣

∣

∣

3

1= 1 − 1

3=

2

3.

O segmento de reta γ2 = P2P1 pode ser parametrizado como x = 3, y = t, 0 ≤ t ≤ 2. Entaox′(t) = 0 e y′(t) = 1, e temos

I2 =

∫

γ2

x dx + y dy

(x2 + y2)3/2=

∫ 2

0

t dt

(9 + t2)3/2dt =

1

2

∫ 2

0

2t dt

(9 + t2)3/2dt =

−1√9 + t2

∣

∣

∣

2

0=

1

3− 1√

13.

Logo, W2 = I1 + I2 = 23

+ 13− 1√

13= 1 − 1√

13.

1.2.4 Propriedades da integral de linha

1)

∫

γAB

M dx + N dy = −∫

γBA

M dx + N dy (em que γAB indica a curva γ percorrida

no sentido de A para B).

2)

∫

γAC

M dx + N dy =

∫

γAB

M dx + N dy +

∫

γBC

M dx + N dy.

3)

∫

γ

(M dx + N dy) +

∫

γ

(P dx + Qdy) =

∫

γ

[

(M + P ) dx + (N + Q) dy]

1.2.5 Integral de Linha em Relacao ao Comprimento de Arco.

Repetindo o procedimento acima para as somasn

∑

i=1

f(P ∗i )∆is, (em que ∆is e o comprimento do

arco de γ de Pi−1 a Pi), obteremos a integral de linha de f em relacao ao comprimento

10

de arco, a qual denotaremos por

∫

γ

f(x, y) ds. Como ∆is =

∫ ti

ti−1

√

[x′(t)]2 + [y′(t)]2 dt, temos

∫

γ

f(x, y) ds = lim‖∆‖→0

n∑

i=1

f(P ∗i )∆is =

n∑

i=1

f(P ∗i )

√

[x′(ri)]2 + [y′(ri)]2 ∆it

=

∫ b

a

f [x(t), y(t)]√

[x′(t)]2 + [y′(t)]2 dt

Como vimos acima, o calculo da massa de um fio de arame conduz a este tipo de integral. Aformula que define o comprimento de arco de uma curva pode ser vista como uma integral destetipo:

s =

∫ b

a

√

[x′(t)]2 + [y′(t)]2 dt =

∫

γ

ds.


∫

γ

(2x + 5y) ds, em que γ e a semicircunferencia y =√

4 − x2 ligando

(2, 0) a (−2, 0).

As equacoes x = 2 cos t, y = 2sen t, 0 ≤ t ≤ π parametrizam a semicircunferencia. Temos√

(x′)2 + (y′)2 = 2. Portanto,

I =

∫

γ

(2x + 5y) ds =

∫ π

0

(4 cos t + 10sen t)2 dt = 8sen t − 20 cos t∣

∣

∣

π

0= 40


∫

γ

(4x3 +√

y) ds, em que γ e o arco de parabola y = x2 ligando (0, 0)

a (2, 4).

Podemos parametrizar γ por x = t, y = t2, 0 ≤ t ≤ 2. Entao√

(x′)2 + (y′)2 =√

1 + 4t2, etemos

I =

∫

γ

(4x3 +√

y) ds =

∫ 2

0

(4t3t + t)√

1 + 4t2 dt

= 18

∫ 2

0

(1 + 4t2)3/28t dt =1

8

2

5(1 + 4t2)5/2

∣

∣

∣

2

0=

1

20

(

175/2 − 1)

.

Alem das propriedades citadas acima para a outra integral de linha, vale a seguinte estimativapara a integral em relacao ao comprimento de arco: Se |f(x, y)| ≤ K, ∀(x, y) ∈ γ, entao

|∫

γ

f(x, y) ds| ≤ K L, em que L e o comprimento de γ.

1.2.6 Notacao vetorial das integrais de linha.

Consideremos o campo vetorial F(x, y) = M(x, y)i + N(x, y)j, em que M(x, y), N(x, y) saofuncoes contınuas sobre a curva suave γ : x = f(t), y = g(t), a ≤ t ≤ b,; seja R(t) =f(t)i + g(t)j a correspondente funcao vetorial. Definindo ∆Rk = R(tk) − R(tk−1), podemos

11

reescrever em (1.5) a expressao M(zk , wk)∆kx+N(zk , wk)∆jy como F(zk , wk) ·∆Rk . Podemosentao denotar a integral de linha em (1.5) por

∫

γ

F · dR

tambem podemos escrever a integral

∫

γ

M dx+N dy como integral em relacao ao comprimento

de arco. Lembremos que

T(t) =R′(t)

‖R′(t)‖e um vetor unitario tangente a γ e que s′(t) = ‖R′(t)‖ =

√

[x′(t)]2 + [y′(t)]2 , podemos escrever∫

γ

F · T ds =

∫ b

a

F(P (t)) · T(t) ‖R′(t)‖ dt =

∫ b

a

F(x(t), y(t)) · R′(t) dt

=

∫

γ

[

M(x(t), y(t)) x′(t) + N(x(t), y(t)) y′(t)]

dt =

∫

γ

M dx + N dy

Notemos que o integrando de

∫

γ

F ·T ds e o comprimento da componente do vetor F na direcao

do vetor T tangente a curva γ. Assim, quando γ e um caminho fechado, essa integral de linha e

uma medida de o quanto o campo F circula ao redor de γ. Por essa razao, a integral

∫

γ

F ·T ds

e chamada circulacao de F ao longo de γ.

Exemplo 14. As integrais de linha sao importantes em Mecanica dos Fluidos. De acordo coma formula de Kutta-Joukowsky, a forca L de levantamento exercida sobre um aerofolio e

L = δ v C (1.6)

em que δ e a densidade de massa do ar, v e a velocidade do ar e C e a circulacao de w sobreum caminho ao redor do aerofolio, isto e

C =

∮

γ

w · T ds ,

em que w e o vetor velocidade (veja figura abaixo).

1.2.7 Trabalho e Energia Cinetica

Quando F e um campo de forcas, a integral de linha∫

γF ·dR e o trabalho realizado por F para

deslocar uma partıcula ao longo de γ. Usando a 2a¯ lei de Newton F = ma = mdv

dtpodemos

escrever

W =

∫

γ

F · dR =

∫ b

a

F(f(t), g(t)) · R′(t) dt =

=

∫ b

a

mdv(t)

dt· v(t) dt

∫ b

a

d

dt

[1

2mv(t) · v(t)

]

dt =1

2mv(b) · v(b) − 1

2mv(a) · v(a)

= 12m |v(b)|2 − 1

2m |v(a)|2

12

Logo, o trabalho realizado por F e igual a variacao da energia cinetica da partıcula.

1.2.8 Integrais de Linha em Caminhos Fechados.

Para definir integral de linha em um caminho fechado, precisamos, em primeiro lugar, escolherum sentido de percurso para a curva. No caso de uma circunferencia, uma elıpse ou um polıgonoconvexo, e natural usar a expressao sentido horario (ou sentido anti-horario) de percurso.O sentido anti-horario sera chamado sentido positivo de percurso. Para um caminho fechadosimples mais geral definiremos o sentido positivo de percurso do seguinte modo: diremos quea curva γ e percorrida no sentido positivo quando os pontos interiores a γ ficam a esquerda

de quem caminha sobre a curva. Usaremos o sımbolo

∮

γ

M dx + N dy para denotar a integral

de linha quando γ e uma curva fechada percorrida no sentido positivo. Se γ for percorrida no

sentido oposto, o valor da integral sera −∮

γ

M dx+N dy. A figura abaixo mostra alguns tipos

de caminhos fechados orientados positivamente

?6?6 66??

Exemplo 15. Calcular as integrais I1 =

∮

γ

x dx + y dy

x2 + y2e I2 =

∮

γ

−y dx + x dy

x2 + y2, em que γ e

a circunferencia x2 + y2 = a2.

Parametrizando a circunferencia como x = a cos t , y = a sen t , 0 ≤ t ≤ 2π, podemos escrever

I1 =

∮

γ

x dx + y dy

x2 + y2=

∫ 2π

0

a cos t (−a sen t) + asen t a cos t dt

a2= 0,

I2 =

∮

γ

−y dx + x dy

x2 + y2=

∫ 2π

0

−a sen t (−a sen t) + a cos t a cos t dt

a2=

∫ 2π

0

dt = 2π.

1.2.9 O TEOREMA DE GREEN

O Teorema de Green e um dos mais importantes resultados do Calculo Vetorial, e estabeleceuma relacao entre integrais de linha e integrais duplas.

Teorema 1. Teorema de Green. Suponhamos que as funcoes M e N tenham derivadasparciais de 1a. ordem contınuas em todos os pontos de um caminho fechado simples γ e na

13

regiao R formada pelos pontos interiores a γ. Entao

∮

γ

M dx + N dy =

∫ ∫

R

[∂N

∂x− ∂M

∂y

]

dxdy (1.7)

Demonstracao. 1o. caso: A regiao R pode serdescrita sob as duas formas:

R = {(x, y); f1(x) ≤ y ≤ f2(x), a ≤ x ≤ b}

R = {(x, y); g1(y) ≤ x ≤ g2(y), c ≤ y ≤ d}.

Neste caso, o caminho γ e a uniao dos arcos γ1 =ACB e γ2 = BDA, que podem ser parametrizadospor

R

•D

•C

•A

• B

d

c

a b

6y

x-

γ1 :

{

x = ty = ϕ1(t)

, a ≤ t ≤ b γ2 :

{

x = a + b − ty = ϕ1(x)

, a ≤ t ≤ b

Portanto,

∮

γ

M dx =

∫

γ1

M dx +

∫

γ2

M dx =

∫ b

a

M(x, ϕ1(x))dx −∫ b

a

M(x, ϕ2(x))dx

Por outro lado, a integral dupla

∫ ∫

R

∂M

∂ydxdy por meio de integrais iteradas

∫ ∫

R

∂M

∂ydx dy =

∫ b

adx

∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

∂M

∂ydy =

=

∫ b

a

[

M(x, ϕ2(x)) − M(x, ϕ1(x))]

dx = −∫ b

aM(x, ϕ1(x)) dx +

∫ b

aM(x, ϕ2(x)) dx

Comparando essas duas igualdades, temos

∮

γ

M dx = −∫ ∫

R

∂M

∂ydx dy (1.8)

Analogamente, temos

∫ ∫

R

∂N

∂xdx dy =

∫ d

cdy

∫ g2(y)

g1(y)

∂N

∂xdx =

∫ d

c

[

N(y, g2(y)) − N(y, g1(y))]

dy =

=

∮

γN dy

14

Combinando as duas igualdades acima, temos∮

γM dx + N dy =

∫ ∫

R

[∂N

∂x− ∂M

∂y

]

dx dy.

2o. caso: R nao e do tipo acima, mas, se introduzirmos um numero finito de segmentosL1, . . . , Ln, ela fica decomposta na forma R = R1 ∪ · · · ∪ Rn, em que cada Rj e do tipoconsiderado no 1o. caso, como na figura abaixo.

Chamemos γj a fronteira de Rj, a qual e o ca-minho constituıdo por parte de γ e alguns dosarcos Lj. Aplicando a parte anterior a cada Rj,temos∮

γj

M dx + N dy =

∫ ∫

Rj

[∂N

∂x− ∂M

∂y

]

dx dy .

9

:

•P

• Q

Somando todas essas integrais, obtemos∫ ∫

R

[∂N

∂x− ∂M

∂y

]

dx dy =n

∑

j=1

∫ ∫

Rj

[∂N

∂x− ∂M

∂y

]

dx dy =n

∑

j=1

∮

γj

M dx + N dy

=

∮

γ

M dx + N dy .

Em algumas situacoes, o Teorema de Green transforma o calculo de uma integral de linhacomplicada no de uma integral dupla mais simples.

Exemplo 16. Calcular a integral

∮

γ

(√

1 + tanh4 x − y2) dx + [3x + cos(ey4

+ 3)] dy, em que

γ e o retangulo com vertices nos pontos (−2, 0), (3, 0), (3, 1) e (−2, 1).

Pelo Teorema de Green, temos∮

γ

(√

1 + tanh4 x − y2)dx + [3x + cos(ey4

+ 3)] dy =

∫ ∫

D

(2x + 2y) dxdy

= 2

∫ 3

−2

dx

∫ 1

0

(x + y) dy = 2

∫ 3

−2

[

xy +y2

2

]1

0dx

= 2

∫ 3

−2

(x +1

2) dx = 10 .

1.2.10 Area da regiao envolvida por uma curva.

Tomando em (1.7) M(x, y) = −y, N(x, y) = x, obtemos∮

γ

− y dx + x dy = 2

∫ ∫

D

dxdy = 2A(D)

15

em que A(D) e a area da regiao D envolvida por γ. Temos entao uma formula para calcular aarea de uma regiao usando integral de linha:

A(D) =1

2

∮

γ

− y dx + x dy.

Exemplo 17. Calcular a area da regiao envolvida pela elıpsex2

a2+

y2

b2= 1.

A elıpse pode ser parametrizada por γ : x = a cos t, y = b sen t, 0 ≤ t ≤ 2π e, portanto, aarea e

A =

∫

γ

(−y dx + x dy) =

∫ 2π

0

[(−b sen t)(−a sen t) + (a cos t)(b cos t)] dt

=

∫ 2π

0

ab(cos2 t + sen2 t) dt = 2πab.

1.2.11 Formas Vetoriais do Teorema de Green

Vimos que a integral de linha

∫

γ

(M dx + N dy) pode ser escrita na forma vetorial

∫

γ

F · Tds,

onde F = M i + N j e o campo e T = [(f ′(t))2 + (g′(t))2]−1/2[

f ′(t)i + g′(t)j]

e o vetor unitario

tangente a γ. Como∂N

∂z=

∂N

∂z= 0, temos

∇× F =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zM N 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −∂N

∂zi +

∂M

∂zj +

[∂N

∂x− ∂M

∂y

]

k =[∂N

∂x− ∂M

∂y

]

k.

e portanto (∇× F) · k =∂N

∂x− ∂M

∂y.

Podemos entao escrever (1.7) na forma∮

γ

F · T ds =

∫ ∫

D

rot(F) · k dx dy (1.9)

Para uma outra forma vetorial do teorema de Green, consideremos o campo vetorial G =N i − M j. O vetor n = x′ i − y′ j e um vetor normal a curva γ. Podemos entao escrever

∫

γ

M dx + N dy =

∫

γ

G · n ds.

Por outro lado, temos div(G) =∂N

∂y− ∂N

∂y. Logo, o teorema de Green tambem pode ser escrito

na forma∫

γ

G · n ds =

∫ ∫

Rdiv (G) dA (1.10)

16

1.2.12 Interpretacao do Rotacional

A formula (1.9) permite dar uma interpretacao do rotacional. A integral

∮

γ

F · Tds chama-se

circulacao do campo F ao redor de γ. Notemos que F · T e o comprimento da componentede F na direcao tangencial a curva γ. Assim, quando F e um campo de velocidades, F · T e

comprimento da componente da velocidade ao longo de γ e

∮

γ

F ·Tds e uma medida do quanto

o campo F circula ao redor de γ.

Fixemos um ponto P0 = (x0 , y0), e tomemos D = Br(P0), o cırculo de centro P0 e raio r.Pelo Teorema da Media para integrais duplas, existe P ∗ ∈ D tal que

A(D) rotF(P ∗) · k =

∫ ∫

D

rotF(x, y) · k dxdy.

onde A(D) = π r2 e a area de D. Usando a relacao (1.9) temos

1

πr2

∮

γ

F · Tds = rotF(P ∗) · k.

Quando r → 0 temos P ∗ → P0. Logo,

rotF(P0) · k = limr→0

1

πr2

∮

γ

F · Tds.

Assim, a componente de rotF(P0) na direcao de k e o limite do quociente da circulacao pelaarea do cırculo. A grosso modo podemos dizer que o rotacional e uma medida da circulacaopor unidade de area.

1.2.13 Extensao do teorema de Green

O Teorema de Green vale para regioes mais gerais do que simplesmente conjuntos dos pontosinteriores a uma curva. Por exemplo, dados dois caminhos fechados γ1 e γ2, com γ2 inteiramentecontido no interior de γ1 (como na figura .A abaixo), seja R a regiao constituida por todos ospontos entre γ1 e γ2; vale a seguinte igualdade

∮

γ1

M dx + N dy −∮

γ2

M dx + N dy =

∫ ∫

R(Nx − My) dx dy (1.11)

17

-�

-�

R R2

R1

66

--

Figura A Figura B

γ1

γ2

�

-

�

-

Para verificar esta relacao , introduzimos dois segmentos de reta L1 e L2, que dividem R emduas subregioes R1 e R2, e γ1 em dois caminhos γ+

1 e γ−1 , e γ2 em γ+

2 e γ−2 , como na figura .B

acima e consideramos os caminhos σ+ = γ ∪L1 ∪ γ ∪L2 e σ− = γ ∪L1 ∪ γ ∪L2. O Teorema deGreen, tal com visto acima aplica-se a cada uma das regioes R1 e R2, fornecendo as relacoes:

∮

σ+

M dx + N dy =

∫ ∫

R1

(Nx − My) dx dy∮

γ−

M dx + N dy =

∫ ∫

R2

(Nx − My) dx dy

Somando membro a membro, e notando que as integrais sobre os segmentos de retas sao cal-culados uma vez em cada sentido (e portanto se anulam), obtemos a igualdade (1.11).

Observacao 2. Nas condicoes acima, se∂N

∂x(x, y) =

∂M

∂y(x, y), ∀(x, y) ∈ R, entao

∮

γ1

M dx + N dy =

∮

γ2

M dx + N dy (1.12)

De fato, temos∮

γ1

M dx + N dy −∮

γ2

M dx + N dy =

∫ ∫

R

(

∂N

∂x− ∂M

∂y

)

dx dy = 0


∮

γ

−y dx + x dy

x2 + y2, em que γ e o hexagono com vertices nos

pontos (2, 0), (1,√

3), (−1,√

3), (1,−√

3), (−2, 0),(−1,−

√3) e (1,−

√3).

Denotando

M(x, y) =−y

x2 + y2e N(x, y) =

x

x2 + y2,

temos

∂M

∂y=

y2 − x2

(x2 + y2)2=

∂N

∂x.

�

C

γ

JJJJJ

J

JJJJ

(1,√

3)

6

-

18

Seja C a circunferencia de centro na origem e raio 1. Usando (1.12) e o Exemplo 2, podemosescrever

∮

γ

−y dx + x dy

x2 + y2=

∮

C

−y dx + x dy

x2 + y2= 2π .


∮

γ

y3 dx

(x2 + y2)2− x y2 dy

(x2 + y2)2, em que γ e um caminho fechado

nao contendo o ponto (0, 0).

Denotando

M(x, y) =y3

(x2 + y2)2e N(x, y) =

x y2

(x2 + y2)2,

temos∂M

∂y=

3 x2y2 − y4

(x2 + y2)3=

∂N

∂x.

Se o caminho nao envolve a origem, entao, denotando por R a regiao interior a γ, temos, peloteorema de Green

∮

γ

y3 dx − x y2 dy

(x2 + y2)2=

∫ ∫

R

(

Ny − Mx

)

dA = 0

Se o caminho envolve a origem, tomemos uma circunferencia Ca de raio a centrada na origemcontida no interior de γ. Entao: usando a extensao do Teorema de Green (em (1)), o fato quex2 + y2 = a2 sobre C (em (2)) e o Teorema de Green (em (3)), temos

∮

γ

y3 dx − x y2 dy

(x2 + y2)2

(1)=

∮

C

y3 dx − x y2 dy

(x2 + y2)2

(2)=

∮

C

y3 dx − x y2 dy(3)=

(3)=

1

a4

∫ ∫

D

(−y2 − 3 y2) dx dy = − 4

a4

∫ 2 π

0

∫ a

0

r2 sen 2θ r dr dθ

= − 1

a4

[

r4]a

0

[ 1

2

(

θ − sen 2 θ

2

)

]2 π

0= −π .

Exercıcio 4. Calcular a integral

∮

γ

x2 y dy

(x2 + y2)2− x3 dy

(x2 + y2)2, em que γ e um caminho fechado

nao contendo o ponto (0, 0).

E claro que a extensao do Teorema de Green e valida no caso em que no interior de γ1

existem um numero finito de caminhos γ2 , . . . , γn, como na figura abaixo. Nesse caso, temos:

∮

γ1

M dx + N dy −n

∑

k=2

∮

γk

M dx + N dy =

∫ ∫

R

( ∂N

∂x− ∂M

∂y

)

dA

Em particular, se∂N

∂x=

∂M

∂yem R, temos

∮

γ1

M dx + N dy =n

∑

k=2

∮

γk

M dx + N dy

19

γ1

γ2 γ3

γ4

γ5

R

6

-

1.2.14 Integrais que independem do caminho

Dados dois pontos A e B, o valor da integral de linha

∫

γ

M dx + N dy, em geral, tem valores

distintos se tomarmos caminhos distintos ligando os pontos A e B. Consideremos, por exemplo,M(x, y) = x2y, N(x, y) = y2, A = (0, 0), B(1, 1), e tomemos os seguintes caminhos ligandoA a B: (a) o segmento de reta γ1 : {x(t) = t, y(t) = t, t ∈ [0, 1] e (b) o arco de parabolaγ2 : {x(t) = t, y(t) = t2, t ∈ [0, 1].

Temos∫

γ1

x2y dx + y2 dy =

∫ 1

0

(t3 + t2) dt =1

4+

1

3=

7

12

∫

γ2

x2y dx + y2 dy =

∫ 1

0

(t4 + 2t5) dt =1

5+

1

3=

8

15

γ1

γ2

•(1, 1)y

�

��

x

A integral

∫

γ

y dx + x dy independe do caminho em R2. De fato, se γ : x = x(t), y = y(t),

a ≤ t ≤ b e uma curva qualquer ligando dois pontos A = (x(a), y(a)) e B = (x(b), y(b)), temos

∫

γ

y dx + x dy =

∫ b

a

[

y(t) x′(t) + x(t) y′(t)]

dt =

∫ b

a

[

x(t) y(t)]′

dt =[

x(t) y(t)]b

a

O proximo teorema da uma condicao para que a integral independa do caminho em uma regiao.

Teorema 2. A integral de linha

∫

γ

M dx + N dy independe do caminho na regiao D se, e

somente se existe uma funcao f continuamente diferenciavel em D tal que fx = M e fy = N .Neste caso, temos

∫ B

A

M dx + N dy = f(B) − f(A) (1.13)

20

Observacao 3. Usando a notacao vetorial, com F = M i + N j, a condicao acima (fx = Me fy = N) significa ∇f = F. Portanto, f e uma funcao potencial para F. Assim, a integral∫

γ

F · dR (ou

∫

γ

F · T ds) independe do caminho se, e somente se, F e o gradiente de alguma

funcao, ou seja, se, e somente se, o campo vetorial F e conservativo, e neste caso, a igualdade(1.13) se escreve na forma

∫ B

A

∇f · dR = f(B) − f(A).

Assim, o Teorema 2 pode ser visto como uma extensao do Teorema Fundamental do Calculopara integrais de linha.

Demonstracao : Suponhamos que ∇f = F. Tomemos dois pontos A , B ∈ D, e seja γ ⊂ Dum caminho ligando A a B, parametrizado por x = x(t) , y = y(t) , a ≤ t ≤ b. Temos

∫

γ

M(x, y) dx + N(x, y) dy =

∫

γ

fx(x, y) dx + fy(x, y) dy

=

∫ b

a

{fx[x(t), y(t)] x′(t) + fy[x(t), y(t)] y′(t)} dt =

∫ b

a

d

dtf [x(t), y(t)] dt

= f [x(t), y(t)]∣

∣

∣

b

a= f(B) − f(A).

Deste modo, a integral de linha

∫

γ

M(x, y) dx+N(x, y) dy depende apenas dos valores de f em

A e B, e nao do caminho ligando esses pontos.

Reciprocamente, suponhamos que a integral de linha

∫

γ

F · dR independa do caminho em

D. Fixemos P0 ∈ D. Para cada P ∈ D, o valor da integral

∫ P

Po

F · dR e o mesmo, qualquer

que seja o caminho (contido em D) ligando P0 a P . Isto define uma funcao

f : D → R

f(P ) =

∫ P

Po

F · dR .

Tomemos P1 = (x1, y1) ∈ D. Vamos mostrar que ∇f(P1) = F, isto e, que fx = M e fy = N .Seja ∆x > 0 tal que Q1 = (x1 + ∆x, y1) pertence a D. Temos

f(x1 + ∆x, y1) − f(x1, y1) =

∫ (x1+∆x,y1)

Po

F · dR =

∫ P1

Po

F · dR =

∫ (x1+∆x,y1)

P1

F · dR .

21

Como a integral de linha independe do caminhoem D, vamos calcular esta ultima integral sobre osegmento de reta P1Q1, o qual pode ser parametri-zado por: γ : x = t , y = y1 , x1 ≤ t ≤ x1 + ∆x.Entao:

fx(P1) = lim∆x→0

f(x1 + ∆x, y1) − f(x1, y1)

∆x

= lim∆x→0

1

∆x

∫ x1+∆x

x1

M(t, y1) dt = M(x1, y1) .

Analogamente obtemos fy(P1) = N(P1).

P1 Q1

P0

Corolario 1. Suponhamos que as derivadas parciais das funcoes M e N sejam contınuas

na regiao R e que a integral de linha

∫

γ

M dx + N dy independa do caminho em R. Entao

My (x, y) = Nx (x, y), ∀ (x, y) ∈ R

Demonstracao: Pelo Teorema 2, existe uma funcao f(x, y) tal que fx = M e fy = N .Como fx y (x, y) = fy x (x, y), temos

My = fx y = fy x = Nx .

Observacao 4. Alem de sua importancia na teoria das integrais de linha o Teorema 2 forneceum metodo para calcular integrais de linha.


∫ (3,π/2)

(−π/2,−1)

y cos(x y) dx + x cos(x y) dy.

Notemos que a funcao f(x, y) = sen (x y) satisfaz:

fx(x, y) = y cos(x y) e fy(x, y) = x cos(x y)

Portanto∫ (3,π/2)

(−π/2,−1)

x dx + y dy

x2 + y2= f(3,

π

2) − f(−π

2,−1) = sen

3π

2− sen

π

2= −2.


∫ (3,3)

(1,0)

x dx + y dy

x2 + y2, ao longo de um caminho qualquer γ contido na

regiao R = {(x, y) : x > 0}.

Notemos que a funcao f(x, y) = ln√

x2 + y2 satisfaz:

fx(x, y) =1

2

2x

x2 + y2=

x

x2 + y2e fy(x, y) =

1

2

2y

x2 + y2=

y

x2 + y2

Portanto∫ (3,3)

(1,0)

x dx + y dy

x2 + y2= f(3, 3) − f(1, 0) = ln

√18.

22

Exemplo 22. Calcule

∫ (3,3)

(1,0)

y dx − x dy

x2 + y2, ao longo de qualquer caminho γ contido na regiao

R = {(x, y) : x > 0}.

Notemos que a funcao f(x, y) = arctan(y/x) (f(x, y) e o angulo θ do sistema de coordenadaspolares) satisfaz:

fx(x, y) =y

x2 + y2e fy(x, y) =

−x

x2 + y2

Portanto∫ (3,3)

(1,0)

y dx − x dy

x2 + y2= arctan 1 − arctan 0 =

π

4.

Exercıcio: Calcule:

(1)

∫ (3,π/2)

(−π/2,−1)

y cos(x + y) dx + x cos(x + y) dy.

(2)

∫ (3,π/2)

(−π/2,−1)

2xy cos(x2y) dx + x2 cos(x2y) dy.

Exercıcio: Mostre que as integrais abaixo independem do caminho:

(1)

∫

γ

(2xy2 dx + 2x2y dy. (funcao potencial: f(x, y) = x2y2);

(2)

∫

γ

(3x2y2 + 2xy3) dx + (2x3y + 3x2y2) dy. (funcao potencial: f(x, y) = x3y2 + x2y3)

(3)

∫

γ

(15x2y2 − 8xy3) dx + (10x3y − 12x2y2) dy. (funcao potencial: f(x, y) = 5x3y2 − 4x2y3)

(4)

∫

γ

2xy2 cos(x2y2) dx + 2x2y cos(x2y2) dy. (funcao potencial: f(x, y) = sen (x2y2))

O Teorema 2 tem um inconveniente do ponto de vista do calculo de integrais: geralmente emuito difıcil encontrar uma funcao potencial. Vamos ver em seguida alguns fatos alternativospara determinar o valor da integral.

Em primeiro lugar, notemos o seguinte resultado:

Teorema 3. A integral de linha

∫

γ

M dx + N dy e independente do caminho na regiao R se, e

somente se,

∮

C

M dx + N dy = 0, para todo caminho fechado C ⊂ R.

Demonstracao: Suponhamos que a integral de linha

∫

C

M dx + N dy seja independente do

caminho em R, e seja γ um caminho fechado contido em R. Tomemos dois pontos A 6= Bsobre a curva γ e designemos por γ1, γ2 os dois arcos de γ ligando A a B.

23

�

*γ1

γ2

A

B

Como a integral independe do caminho, temos

∫

γ1AB

M dx+N dy =

∫

γ2AB

M dx+N dy, donde

obtemos∮

γ

M dx + N dy =

∫

γ2AB

M dx + N dy +

∫

γ1BA

M dx + N dy =

=

∫

γ2AB

M dx + N dy −∫

γ1AB

M dx + N dy = 0

Segue-se que a integral sobre qualquer caminho fechado γ ⊂ R e nula.

Reciprocamente, suponhamos que para qualquer caminho fechado C ⊂ R, tenhamos

∮

C

M dx+

N dy = 0, e sejam A e B dois pontos quaisquer em R. Tomemos dois caminhos quaisquerγ1, γ2 ⊂ R ligando A a B. Entao γ1

AB ∪ γ2BA e um caminho fechado contido em R. Por

hipotese, temos

∫

γ1AB

∪γ2BA

M dx + N dy = 0. Mas

∫

γ1AB

∪γ2BA

M dx+N dy =

∫

γ1AB

M dx+N dy+

∫

γ2BA

M dx+N dy =

∫

γ1AB

M dx+N dy−∫

γ2AB

M dx+N dy.

Logo,

∫

γ1AB

M dx + N dy =

∫

γ2AB

M dx + N dy, isto e, a integral independe do caminho em R.

Exemplo 23. Mostrar que a integral de linha

∫

γ

y dx − x dy

x2 + y2e independente do caminho em

cada uma das regioes: R = {(x, y); y > 0}, D = {(x, y); y < x2 − 1}.

De fato, vimos anteriormente que, se γ e um caminho fechado que nao envolve a origem,

entao

∮

γ

y dx − x dy

x2 + y2= 0. Como nenhum caminho fechado em R (ou em D) pode envolver

a origem, a integral sobre qualquer caminho fechado contido em R (ou em D) se anula. Pelo

Teorema 3, a integral de linha

∫

γ

y dx − x dy

x2 + y2e independente do caminho em R (e em D).

24

Exemplo 24. Mostrar que a integral de linha

∫

γ

y dx − x dy

x2 + y2depende do caminho em R

2.

De fato, vimos anteriormente que o valor da integral sobre qualquer caminho fechado simples(percorrido no sentido positivo) que envolve a origem e −2π. Tambem podemos ver que aintegral acima depende do caminho calculando diretamente as integrais sobre os dois caminhosligando (−1, 0) a (1, 0): γ1 : x = cos(π − t), y = sen (π − t), π ≤ t ≤ π e γ2 : x = cos t, y =sen t, π ≤ t ≤ 2π

∫

γ1

y dx − x dy

x2 + y2=

∫ π

0

[sen (π − t)(−sen (π − t) − cos (π − t) cos (π − t)] dt = π∫

γ2

y dx − x dy

x2 + y2=

∫ 2π

π

[sen t (−sen t) − cos t cos t] dt = −π

Este exemplo ilustra, na verdade, um fato mais geral sobre independencia do caminho. Paraenunciar este resultado, vamos introduzir a seguinte terminologia: uma regiao D e dita sim-plesmente conexa se toda curva fechada contida em D envolver apenas pontos de D (ditode modo informal, dizer que D e simplesmente conexa significa que D nao tem buracos). Oconjunto de todos os pontos interiores a um caminho fechado simples constitui uma regiaosimplesmente conexa. A regiao anular entre duas circunferencias como, por exemplo, A ={(x, y); 1 < x2 + y2 < 16} nao e uma regiao simplesmente conexa (por exemplo, a circun-ferencia C : x2 + y2 = 4 esta contida em A, o ponto (0, 0) e interior a C, mas nao pertence aA.

Teorema 4. Suponhamos que as funcoes M(x, y) e N(x, y) tenham derivadas parciais contınuasna regiao simplesmente conexa R e que Nx(x, y) = My(x, y), ∀(x, y) ∈ R. Entao a integral de

linha

∫

γ

M dx + N dy independe do caminho em R.

Demonstracao: Para todo caminho fechado C contido em R temos, pelo Teorema de Green∫

γ

M dx + N dy =

∫ ∫

R

(

∂N

∂x− ∂M

∂x

)

dA = 0

Pelo Teorema 3, a integral de linha

∫

γ

M dx + N dy independe do caminho em R.

Exemplo 25. A integral de linha

∮

γ

y dx − x dy

x2 + y2independe do caminho em qualquer regiao

simplesmente conexa D ⊂ R2 que nao contenha a origem.


∫

γ

cos x cosh y dx + sen x sen h y dy, sendo γ o caminho formado pelos

segmentos de reta L1 ligando (0, 0) a (π/2, 5), L2 ligando (π/2, 5) a (3 π/4, 3), L3 ligando(3 π/4, 3) a (π, 6) e L4 ligando (π, 6) a (3 π/2, 0).

Observemos que as funcoes

M(x, y) = cos x cosh y dx e N(x, y) = sen x sen h y

25

tem derivadas parciais contınuas e My = Nx = cos x sen h y. Pelo Teorema 4, a integral de

linha

∫

γ

M dx + N dy independe do caminho em R2. Vamos substituir γ pelo segmento de reta

ligando (0, 0) a 3π/2, 0), que pode ser parametrizado por Γ : x = t, y = 0, 0 ≤ t ≤ 3 π/2;entao x = 1 e y = 0. Temos, portanto

∫

γ

cos x cosh y dx + sen x sen h y dy =

∫ 3 π/2

0

(cos t cosh 0 + sen t sen h 0 0) dt =

=

∫ 3 π/2

0

cos t dt = −1

1.2.15 Integrais de linha no espaco

As definicoes de integral de linha podem ser estendidas de modo natural para curvas no espaco.Se γ : x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [a, b] e um caminho e f(x, y, z), L(x, y, z), M(x, y, z)e N(x, y, z) sao funcoes contınuas em uma regiao contendo γ, entao as integrais de linha∫

γ

f(x, y, z) ds e

∫

γ

Ldx + M dy + N dz sao definidas como limites de somas e podem ser

calculadas pelas relacoes:∫

γ

f(x, y, z) ds = lim‖∆‖→0

n∑

k=1

f(P ∗k )∆ks =

=

∫ b

a

f(P (t))√

[x′(t)]2 + [y′(t)]2 + [z′(t)]2 dt

∫

γ

Ldx + M dy + N dz = lim‖∆‖→0

n∑

k=1

L(P ∗k )∆kx + M(P ∗

k ∆ky + M(P ∗k ) ∆kz =

=

∫ b

a

[

L(P (t)) x′(t) + M(P (t)) y′(t) + N(P (t)) z′(t)]

dt

em que P (t) = (x(t), y(t), z(t)). Definindo F = L i + M j + N k e R(t) = x(t) i + y(t) j + z(t)ke T(t) = R′(t)/‖R′(t)‖, podemos escrever

∫

γ

Ldx + M dy + N dz =

∫

γ

F · dR =

∫

γ

F · T ds


∫

γ

10 x2 y dx−x dy−2 x z dz, em que γ e a curva dada parametricamente

por x = t, y = t2, z = t3, 0 ≤ t ≤ 3.

Temos∫

γ

10 x2 y dx − y dy − 2 x dz =

∫ 3

0

(10 t4 − 8 t3) dt = 2 t5 − 2 t6∣

∣

∣

3

0= 324

Vale para integrais de linha no espaco o seguinte resultado, cuja demonstracao e analoga aocaso do plano.

26

Teorema 5. Suponhamos que as funcoes L, M e N sejam contınuas na regiao R. A integral

de linha

∫

γ

Ldx + M dy + N dz independe do caminho em R se, e somente se, existe uma

funcao V : R → R tal que Vx = L, Vy = M, Vz = N .

Como consequencia direta, temos:

Corolario 2. Suponhamos que as funcoes L, M e N sejam tenham derivadas parcias de pri-

meira ordem contınuas na regiao R e que a integral de linha

∫

γ

Ldx + M dy + N dz independe

do caminho em R. EntaoLy = Mx, Lz = Nx , Mz = Ny .

Observacao 5. Definindo F = L i + M j + N k, temos

∇× F =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zL M N

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (Ny − Mx) i + (Lz − Nx) j + (Mx − Ly)k .

Assim, o Corolario afirma que, se a integral de linha

∫

γ

F · dR independe do caminho, entao

∇× F = 0.

Exercıcio 5. Mostre que a integral de

∫

γ

10 x2 y dx−x dy− 2 x z dz linha depende do caminho.

27

cap´ıtulo 1 c´alculo vetorial -...

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