85

CAPITOLUL II CURBE PLANE ŞI ÎN SPAŢIU. SUPRAFEŢE

Curbe plane (R2)

O curbă plană poate fi dată sub patru forme în sistemul de referinţă cartezian:

- forma implicită: 0),( =yxF ;

- forma explicită: )(xfy = cu [ ]bax ,∈ ;

- forma parametrică:

( )( ) [ ]

∈==

βα ,tcutyytxx ;

-forma vectorială: ( ) ( ) ( ) ( ) ktzytyitxtr ⋅+⋅+⋅= cu [ ]βα ,∈t .

O curbă plană poate fi dată sub două forme în sistemul de referinţă polar:

- forma implicită: ( ) 0, =θρF ;

- forma explicită: ( ) [ ]

( ) [ ]

∈=

∈=

δγρρθθ

βαθθρρ

,

,

cusau

cu.

Curbe în spaţiu (R3)

O curbă în spaţiu poate fi dată sub trei forme în sistemul de referinţă cartezian:

- forma implicită:

==

;0),,(0),,(

zyxGzyxF

- forma parametrică: ( )( )( ) [ ]

∈===

;,batcutzztyytxx

- forma vectorială:

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]batcuktzytyitxtr ,∈⋅+⋅+⋅= .

Suprafeţe

O suprafaţă în spaţiu poate fi dată sub patru forme în sistemul de referinţă

cartezian:

- forma implicită: 0),,( =zyxF ;

86

- forma parametrică: ( )( )( ) ( )

⊂∈=

==

;,,

,,

2RDvucuvuzz

vuyyvuxx

- forma vectorială:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2,,,,, R⊂∈⋅+⋅+⋅= Dvucukvuzyvuyivuxvur ;

- forma explicită: ( ) ( ) 2,, R⊂∈= Dyxcuyxzz .

1. Cicloida are ecuaţiile parametrice:

−=−=

)cos1()sin(tRyttRx

, ]2,0[ π∈t .

2. Astroida are ecuaţia implicită:

3/23/23/2 ayx =+ şi ecuaţiile parametrice:

=

=

tay

tax3

3

sin

cos, )2,0[ π∈t .

y a -a O a x -a 3. Parabola are ecuaţia implicită:

x

y

O 2πR

87

02 =− pxy şi ecuaţiile parametrice:

=

=

pty

tx2 , R∈t .

Ecuaţia explicită a curbei este:

pyx

2= .

4. Elipsa are ecuaţia implicită:

122=

+

by

ax

.

Parametrizarea elipsei este:

==

tbytax

sincos

, )2,0[ π∈t .

O

y

x

p>0 p<0

a

b

x

y

-a

-b

88

5. Cardioida are ecuaţia explicită în coordonate polare:

( )ϕ+= cos12ar şi parametrizarea:

( )( )

−=−=

ttayttax

2sinsin22coscos2

, )2,0[ π∈t .

y O x 6. Lemniscata lui Bernoulli are ecuaţia scrisă sub formă implicită în coordonate carteziene:

( ) ( )222222 yxayx −=+ . În coordonate polare, are forma implicită:

02cos22 =ϕ−ρ a , iar forma parametrică:

⋅=

⋅=

ttay

ttax

sin2cos

cos2cos, )4/,0[ π∈t .

y x 7. Spirala lui Arhimede are ecuaţia scrisă în coordonate polare sub forma explicită ϕ= ar , R∈ϕ , şi parametrizarea:

⋅⋅=⋅⋅=

ttayttax

sincos

, ),0[ ∞∈t .

89

x

8. Curba Agnessi are ecuaţia scrisă sub formă explicită în coordonate carteziene:

22

3

axay+

=

şi forma parametrică:

+=

=

22

3

taay

tx, R∈t .

9. Hiperbola are ecuaţia implicită:

122=

−

by

ax

şi are parametrizarea:

−⋅==

+⋅==

−

−

2sh

2ch

tt

tt

eeatby

eeatax, R∈t .

x

y

O

90

10. Cisoida are ecuaţia scrisă sub formă implicită în coordonate carteziene:

xaay−

=2

32

şi scrisă parametric:

+=

+=

2

3

2

2

1

1

taty

tatx

, R∈t .

y x 11. Strofoida are ecuaţia scrisă sub formă implicită în coordonate carteziene:

( )xa

axxy−−

=2

22 .

xaby =

x

y

xaby −=

-a a

91

y x O 12. Tracoida are ecuaţiile parametrice:

−=−=

tbaytbatx

cossin

, R∈t .

13. Foliul lui Descartes are ecuaţia scrisă sub formă implicită în coordonate carteziene:

0axy3yx 33 =−+ şi parametrizarea:

+=

+=

3

2

3

1313

taty

tatx

, R∈t .

x

y

92

y x O 14. Elicea (şurubul) are ecuaţiile parametrice:

===

btztaytax

sincos

, ]2,0[ π∈t .

z O y x 15. Curba lui Viviani are ecuaţiile scrise în coordonate carteziene:

=+

−

=++

42

22

2

2222

ayax

azyx.

93

Z

• y x

SUPRAFEŢE REGULATE 1. Elipsoidul are ecuaţia scrisă în coordonate carteziene:

1222=

+

+

cz

by

ax

.

Parametrizarea suprafeţei elipsoidale:

ϕ=θϕ=θϕ=

cossinsincossin

czbyax

, )2,0[],,0[ π∈θπ∈ϕ .

Parametrizarea interiorului elipsoidului:

ϕρ=θϕρ=θϕρ=

cossinsincossin

czbyax

, )2,0[],,0[,0 π∈θπ∈ϕ≥ρ .

y

z

x

a

b

c

94

2. Sfera are ecuaţia scrisă în coordonate carteziene: 2222 R=++ zyx .

Se obţine ca o particularizare a elipsoidului în care R=== cba . 3. Hiperboloidul cu o pânză are ecuaţia implicită:

1222=

−

+

cz

by

ax

.

Parametrizarea suprafeţei hiperboloidului cu o pânză:

===

uczvubyvuax

shsinchcosch

, )2,0[, π∈∈ vu R .

4. Hiperboloidul cu două pânze are ecuaţia implicită:

1222=

−

−

cz

by

ax

şi are parametrizarea:

===

vuczvuby

uax

sinshcossh

ch

, )2,0[, π∈∈ vu R .

z

x

a y b

95

5. Paraboloidul eliptic are ecuaţia sub formă implicită în coordonate carteziene:

zby

ax 2

22=

+

.

Forma parametrică este:

=

⋅⋅=⋅⋅=

2

sincos

2uz

vubyvuax

, )2,0[, πθ ∈∈Ru .

6. Paraboloidul hiperbolic are ecuaţia scrisă sub formă implicită în coordonate carteziene:

zby

ax 2

22=

−

.

Forma parametrică este:

z

x

O y

z

x

O a y

-a

96

=

⋅⋅=⋅⋅=

2

shch

2uz

vubyvuax

, R∈vu, .

7. Conul are ecuaţia implicită în coordonate carteziene:

222 yxz += . Forma parametrică:

===

uzvuyvux

sincos

, )2,0[, πθ ∈∈Ru .

8. Cilindrul cu generatoarea paralelă cu Oz are ecuaţia:

( ) 0, =φ yx , R∈yx, .

z

x

O y

z

x

O y

97

z

x

O y