1  

Clasa a VI-a

Capitolul 0

RECAPITULARE (4 ore) 1) Mulţimea numerelor naturale

Mulţimea numerelor naturale se notează cu N şi N ={0;1;2;3;...}

Obs. 1: N* ={1;2;3;...}

Ar fi minunat să începem cu o poveste de genul:

Am mers ieri pe malul apei, în pădure, şi cu mine erau 3 copiii, aşa ca şi voi. Deoarece eu m-am dus cu gândul să fac fotografii naturii, copiii se plictiseau. Cum nici eu nici ei nu aveau nicio jucărie, pentru că LEGO l-am uitat acasă (vouă vă place Lego?) am început să le dau o grămadă de pietricele. Ştiţi cum mai puteam spune în loc de grămadă? (Mulţime). Le-am cerut să se gândească la ce jocuri se pot juca cu ele. Ce jocuri credeţi că au găsit? Chiar dacă unii vor spune că au încercat să dea cu pietre unii în alţii, sau să le arunce în apă, suntem de acord, însă educăm spunând că dacă ei ar fi cei ÎN CARE SE DĂ cu pietre, cum s-ar simţi?

Cu siguranţă se va găsi (sau nu) unul care va spune că au început să le numere, sau că le-au împărţit la fiecare şi au vrut să vadă care are mai multe. Oricum, se va ajunge astfel la numărare, care e o chestie FIREASCĂ, NATURALĂ, de aceea vom spune că azi vom face MULŢIMEA NUMERELOR NATURALE, şi vom scrie titlul pe tablă.

Aproape sigur ei nu vor ajunge la 0, şi atunci îi întrebăm câte pietre am eu.

Ar fi bine de căutat o explicaţie pentru notaţia N*, şi atunci îi putem întreba unde au mai văzut pe cineva cu stea în frunte, adică era deosebit, cu mai multe calităţi. Şi atunci le putem spune că şi în viaţă contează oamenii care au calităţi, nu aceia cu zero calităţi şi ajungem la mulţimea oamenilor cu calităţi, care sunt în N*. Îi putem întreba....îşi doresc să facă parte din N* sau din N?

2) Adunarea numerelor naturale a + b = S , unde a şi b sunt termenii sumei, iar S este suma celor două numere

Obs. 1: adunarea are proprietăţile:

-Asociativitate: ( a + b ) + c = a + ( b +c) pentru orice numere naturale a , b , c

-Comutativitate: a + b = b +a pentru orice numere naturale a , b

-Element neutru: a + 0 = 0 + a = a pentru orice număr natural a . (adnunarea are element neutru pe zero)

ADUNARE = Opera�ie aritmetică prin care două sau mai multe numere se totalizează într-unul singur , punerea împreună a mai multor obiecte, pietricele, fiinţe aşa cum a fost exemplul anterior.

De exemplu, voi v-aţi adunat vreodată cu vreun scop anume? Dacă vor spune NU, le ăm exemplu prima zi de şcoală. Cine ar fi termenii acelei adunări? dacă vor răspunde că TOŢI ELEVII, voi adăuga: ŞI PĂRINŢII, ŞI PROFESORII etc. Vom veni şi cu alte exemple, treptat vom trece înspre adunări cu numere, vom întreba cine sunt termenii, cine e suma, şi VOM STRECURA O SCĂDERE CORECTĂ, iar ei vor spune tot termeni, şi tot sumă. TREBUIE să îi ţinem permanent atenţi.

Tot aici ar trebui neapărat găsiţi vreo 10 elevi care să iasă în faţă, şi îi împărţim în 3 grupe, de exemplu 4+1+5, şi îi adunăm asociind, vor vedea că dă acelaţi rezultat, deci avem asociativitatea. La fel făcut pt

2  

comutativitate, la fel pentru adunarea cu zero, unde poate mai simplu ar fi cu ceva obiecte din căciuli, sau adunaţi cei care încep cu R cu cei care încep cu Y, pentru a nu avea nimic.

3) Înmulţirea numerelor naturale a b = P , unde a şi b sunt factorii produsului, iar P este produsul celor două numere

Obs. 1: înmulţirea are proprietăţile:

a)Asociativitate: (a b ) c = a ( b c) pentru orice numere naturale a , b , c

b)Comutativitate: a b = b a pentru orice numere naturale a , b

c)Element neutru: a 1 = 1 a = a pentru orice număr natural a . (înmulţirea are element neutru pe unu)

d)Dacă a b = 0 , atunci a = 0 sau b = 0

e)a 0 = 0 şi 0 a = 0

Obs.: Adunarea şi înmulţirea sunt întotdeauna definite pe , adică

a , b a + b şi a b

Înmulţirea e o adunare repetată şi e foarte utilă atunci când avem de adunat acelaţi număr de obiecte de mai multe ori.

Eu luna trecută am fost răcit şi pentru că nu vroiam să nu faceţi mate(Voi vroiaţi să nu faceţi mate?) m-am dus la doctor şi mi-a spus să iau aspirină de 3 ori pe zi câte 10 zile. Când m-am dus la farmacie, domna farmacistă a început să scrie pe un bileţel 3+3+3+3..., voi cum aţi fi făcut?

Aşa-i că e mai bine să ştii matematică?

Să mergem acum pe asociativitate.

Zilele trecute m-a sunat un prieten care lucrează la Liedl şi care spunea că nu mai găseşte o factură pe care erau trecute numărul de pungi de napolitane JOE cu alune(vouă vă plac acele napoolitane?) Ştie doar că a primit 10 colete mari prinse în folie. În fiecare colet sunt 40 de cutii, iar în fiecare cutie sunt 20 de pungi de napolitane. Voi ştiţi câte pungi a primit magazinul? şi aici NEAPĂRAT să îi punem să gândească:

Met. I: Calculăm întâi numărul tota de cutii, 10*40=400, apoi numărul de pungi 400*20=8000

Met. II: Calculăm numărul de pungi dintr-un colet 40*20'800, apoi.....

4)Scăderea numerelor naturale a − descăzutul, b este scăzătorul iar D este numere

Obs. 1: scăderea nu este asociativă, nu est element neutru

5) Factor comun

a)a b + a c = a ( b +c), a este factor comun

b)a ( b + c ) = a b + a c , a este factor comun

c)a b − a c = a ( b −c), a este factor comun

d)a ( b − c ) = a b − a c , a este factor comun

Obs. Greutatea constă în observarea factor Exp. 1: 2341 + 2341 7 + 2341 2 = 2341 (1 + 7 + 2)

Când am fost la bunici la ţară, am văzut în curte 3 pisici, şi bunicul m-a întrebat câte degete au împreună aceste pisici. Ştiind că în faţă au 5 degete iar în spate au 4 degete, am 5+4=9, apoi 3x9=27. Ştiţi că şi la câini este la fel?

3  

6) Împărţirea numerelor naturale

R < C unde a este deîmpărţitul, b este câtul celor două numere iar R este restul

Obs. 1: împărţirea nu este asociativă, nu es element neutru

Obs. 2: dacă după efectuarea împărţirii obţ am greş it undeva

Obs. 3: dacă R = 0 atunci avem împărţire

7) Proba împărţirii cu rest

Din a : b = C , rest R cu R < C obţinem a Formula a = b C + R se numeşte proba împartirii cu rest.

8)Ridicarea la putere

-definiţia puterilor: dacă a este un număr natural nenul an = a a ... a de n ori

Obs. 1: a se numeşte bază, iar n se numeşt Exp. 1: 23 = 2 2 2 , unde 2 este bază şi 3 Exp. 2: 32 = 3 3 , unde 3 este bază şi 2 est

Obs. 2: a0 =1, pentru orice a număr nat

Obs. 3: 0 a = 0 , pentru orice a număr natural nenul

Obs. 4: a1 = a , pentru orice a număr natural

Obs. 5: 1a =1 , pentru orice a număr natural

9) Proprietăţi ale puterilor:

a) a m a n= am+nşi a m+n= a m an

b) a m: a n= am−nşi a m−n= a m: anunde m ≥ n

c) ( am )n = am n şi am n = ( am )n

d) ( a b )n = an bn şi an bn = ( a b)n

a n: b n=( a : b)nşi( a : b )n= a n: bn, cu condiţia ca a săse imparta exact la b

10) Compararea puterilor

a) Dacă puterile au aceeaşi bază, este mai mică puterea cu exponentul cel mai mic

Exp. 1: 5 47< 561 deoarece baza e aceeaşi iar exponenţii 47 < 61

b) Dacă puterile au acelaşi exponent, este mai mică puterea cubaza cea mai mică

Exp. 1: 47 5< 615 deoarece exponentul e aceeaşi iar bazele 47 < 61 Obs.: dacă puterile nu au aceeaşi bază şi nici acelaşi exponent, atunci se încearcă aducerea sau la aceeaşi bază, sau la acelaşi exponent

Exp. 2: comparaţi a = 275 şi b = 97

E1) a = ( 3 3 )5 = 315

E2) b = ( 3 2 )7 = 314

E3) baza e aceeaşi iar 14 < 15 b<a

4  

11) Puteri etajate: pentru a calculaabcalculează întâi bc , apoi se ridică a la puterea rezultata

Exp.: 521 = 52 = 25 şi 423 = 48 = 65536 Obs. 1: abc ≠ (ab )c

Exp.: 4 23 = 48 este diferit de (42 )3 = 46

12) Pătrat perfect, cub perfect

a) spunem ca un numar a este patrat perfect daca se poate scrie sub forma unei puteri cu exponent 2

b) spunem ca un numar a este cub perfect daca se poate scrie sub forma unei puteri cu exponent 3

Exp.1: 25 este pătrat perfect deoarece 25 Exp.2: 8 este cub perfect deoarece 8 = 23

Obs.1: numerele naturale 0 şi 1 sunt patrate perfecte si cuburi perfecte

Obs. 2: orice număr natural care se poate se pate scrie sub forma unei puteri cu exponentul 6 este şi cub perfect, Exp.: 64 = 8 2 64 este pătrat perfect

64 = 4 3 64 este cub perfect

13) Ordinea efectuării operaţiilor

Operaţiile sunt de 3 tipuri:

a)de ordin 1: adunarea şi scăderea

b)de ordin II: înmulţirea şi împărţire

c)de ordin III: ridicările la putere

E1) dacă nu există paranteze şi operaţiile s efectuează în ordinea în care apar

E2) dacă nu există paranteze şi operaţiile nu sunt de acelaşi ordin, se efectueaz ă întâi ridicările la putere, apoi înmulţirile şi împărţirile şi abia apoi adunările şi scăderile

E3) dacă există paranteze se efectuează întâi operaţiile din parantezele rotunde, apoi din paranteze drepte şi abia apoi la final din acolade, în fiecare paranteză respectându-se regulile de mai sus

Exp: N = 2 + {5 − 4 + 2 3 − ( 2 + 6:3 2) } = 2 + {5 − 4 + 2 3 − ( 2 + 2 2) }=

=2 + {5 − 4 + 2 3 − ( 2 + 4 ) } = 2 + 5 − ( 4 + 2 3 − 6 ) = 2 + 5 − ( 4 + 6 −6)

=2 + 5 − (10 − 6 ) = 2 + ( 5 − 4 )= 2 + 1 = 3

Obs. Era greşit ca în paranteza rotundă să o calculăm nerespectând ordinea operaţiilor chiar dacă sunt de acelaş i grad

Este GREŞIT: 2 + 6 :3 2 = 2 + 6 : 6 = 2 + 1 = 3

Este CORECT: 2 + 6 :3 2 = 2 + 2 2 = 2 + 4 = 6

De aici, de la Capitolul I ne interesează cum predăm

5  

Capitolul I

DIVIZIBILITATEA NUMERELOR

NATURALE

1) Pentru a arăta că a divizibil cu b sunt două metode: Metoda 1: Spunem că a divizibil cu b dacă există un număr natural c astfel încât a b c= ⋅ , se notează a b

Metoda 2: Spunem că a divizibil cu b dacă restul împărţirii lui a la b este zero, se notează a b .

Exp.1: 10 5 deoarece

Metoda 1: există numărul natural 2 cu 10 5 2= ⋅

Metoda 2: 10 :5 2 rest 0= , deci restul împărţirii lui 10 la 5 este 0.

Obs.1: b se numeşte DIVIZOR al numărului natural a , iar a se numeşte MULTIPLU al numărului natural b

Exp. 2: Dacă 16 4 , înseamnă că 4 este divizor al lui 16, iar numarul 16 este multiplu al lui 4

2) Pentru a arăta că b divide pe a sunt două metode: Metoda 1: Spunem că b divide pe a dacă există un număr natural c astfel încât a b c= ⋅ , se notează

/b a

Metoda 2: Spunem că b divide pe a dacă restul împărţirii lui a la b este zero, se notează /b a .

Exp.1: 2 / 6 deoarece

Metoda 1: există numărul natural 3 cu 6 2 3= ⋅

Metoda 2: 6 : 2 3 rest 0= , deci restul împărţirii lui 6 la 2 este 0.

3) Mulţimea divizorilor unui număr natural, mulţimea multiplilor unui număr natural

a) Mulţimea divizorilor unui număr natural n se notează nD b) Mulţimea multiplilor unui număr natural n se notează nM

Exp.: { }10 1, 2,5,10D = şi { }10 0,10,20,....M =

Obs.: mulţimea divizorilor unui număr natural este finită, iar mulţimea multiplilor unui număr natural este infinită

4) Divizorii proprii, divizorii improprii Orice număr natural are divizori proprii şi divizori improprii Divizori improprii – “nu divid, nu sparg numărul” sunt 1 şi numărul însuşi

6  

Divizori proprii – “divid, sparg numărul” sunt ceilalţi divizori

Exp.: 6n = ⇒ divizori improprii: 1 şi 6,

divizori proprii: 2 şi 3.

5) b divide pe a este acelaşi lucru cu a divizibil cu b 6) Criterii de divizibilitate – reguli care precizează când

a este divizibil cu b, fără a face împărţirea lui a la b:

a) n este divizibil cu 2 ⇔ n are ultima cifră pară b) n este divizibil cu 3 ⇔ n are suma cifrelor divizibilă cu 3 c) n este divizibil cu 4 ⇔ n are numărul format cu ultimele 2 cifre divizibil cu 4 d) n este divizibil cu 5 ⇔ n are ultima cifră 0 sau 5 e) n este divizibil cu 9 ⇔ n are suma cifrelor divizibilă cu 9 f) n este divizibil cu 10 ⇔ n are ultima cifră 0 g) n este divizibil cu 25 ⇔ n are numărul format cu ultimele 2 cifre divizibil cu 25 h) n este divizibil cu 100 ⇔ n are ultimele două cifre 0 7) Proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate în a) / ,a a a∀ ∈ (refelxivitate) b) / 0, şi 1/ ,a a a a∀ ∈ ∀ ∈

c) |

/ şi /|

a ba b c a b c

a c⎫⇒ + −⎬

⎭

d) Dacă /a b atunci / ,a nb n∀ ∈ (dacă a divide pe b , atunci divide orice multiplu a lui b ) e) Dacă / şi /a b b c atunci / , , ,a c a b c∀ ∈ (tranzitivitate) f) Dacă , din / şi /a b a b b a∈ atunci a b= (antisimetrie)

Exp: ?n = , n∈ astfel încât 3 7

1nn+

∈+

Soluţie: 1/ 3 7n n+ + .

Dar ( )1/ 1 1/ 3 1 1/ 3 3n n n n n n+ + ⇒ + + ⇒ + + . Avem aşadar

( ) ( )1/ 3 7

2 / 3 7 3 3 2 / 41/ 3 3

n nn n n n

n n+ + ⎫

⇒ + + − + ⇒ +⎬+ + ⎭{ } { }42 1;2,4 0;2n D n⇒ + ∈ = ⇒ ∈

8) Numere prime, numere compuse Numerele prime au exact doi divizori distincţi naturali

Numere compuse: au mai mult de doi divizori distincţi naturali

Exp. 1: 2 este număr prim, iar 4 este compus

Obs.1:: numerele naturale 0 şi 1 nu sunt prime, nici compuse

Obs.2: singurul număr prim şi par este 2

9) Descompunere în factori primi Etapa 1) dacă ultima cifră este 10n se scrie 2 n ⋅ 5 n

7  

Etapa 2) se încearcă, pe rând, celelalte numere prime

Etapa 3) se scrie apoi numărul ca produs de factori primi, factori primi eventual ridicaţi la putere

Exp.: descompuneţi în produs de factori primi numărul 7500n =

2 2

2

7500 2 575 325 51

⋅

Deci 2 42 3 5n = ⋅ ⋅

10) Algoritm de a vedea dacă un număr este prim sau compus

E1) dacă numărul este mic, îl descompunem în factori primi să vedem câţi divizori are acel număr

E2) dacă numărul este mai mare, îl împărţim pe rând la toate numerele prime începând cu 2

E3) dacă găsim un număr la care se împarte, atunci numărul nostru nu este număr prim

E4) dacă nu găsim niciun număr la care se împarte, continuăm până am obţinem un cât mai mic sau egal cu împărţitorul, iar în acest caz

numărul iniţial este prim

Obs. 1: numerele prime diferite de 3 sunt de forma 3 1k + sau *3 1,k k− ∈

Obs. 2: numerele prime diferite de 2 şi 3 sunt de forma 6 1k + sau *6 1,k k− ∈

11) Aflarea celui mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) şi cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c)

c.m.m.d.c. – se descompun numerele în factori primi şi c.m.m.d.c. este egal cu produsul factorilor comuni la puterea cea mai mică, îl notăm ( ),a b .

c.m.m.m.c. - se descompun numerele în factori primi şi c.m.m.m.c. este format din produsul factorilor comuni şi necomuni la puterea cea mai mare, îl notăm cu [ ],a b

Obs.: ( ) [ ], ,a b a b a b⋅ = ⋅

12) Numere prime între ele - au cel mai mare divizor comun pe 1, se notează ( ), 1a b =

Obs.: două numere pot fi prime între ele fără a fi neapărat numere prime.

Exp.: 9a = şi 100b = sunt numere prime între ele, însă ele nu sunt numere prime

8  

Capitolul II

OPERAŢII CU NUMERE

RAŢIONALE POZITIVE

1) Mulţimea numerelor raţionale se notează cu şi

{ }, , 0 fracţii zecimale cu număr finit de zecimalea a b bb

⎧ ⎫= ∈ ≠ ∪⎨ ⎬⎩ ⎭

Numerele raţionale conţin fracţii ordinare (apare linie de fracţie) şi fracţii zecimale (nu apare linie de fracţie, apare însă virgula)

Obs.: mulţimea numerelor raţionale pozitive se notează cu +

2) Fracţii ordinare - au forma , 0a bb

≠ , unde a se numeşte numărător, iar b numitor Obs. 1: numărătorul este separat de numitor prin linie de fracţie

3) Fracţii subunitare, fracţii supraunitare, fracţii echiunitare

a) fracţii subunitare – au numărătorul mai mic decât numitorul, adică fracţia ab

este subunitară

dacă a b< 2exp. 7

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

b) fracţii supraunitare – au numărătorul mai mare decât numitorul, adică fracţia ab

este

supraunitară dacă a b> 7exp. 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

c) fracţii echiunitare – au numărătorul egal cu numitorul, adică fracţia ab

este echiunitară dacă

a b= 7exp. 7

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

9  

4) Două fracţii ab

şi cd

sunt egale (sau echivalente) dacă

a d b c⋅ = ⋅

Exp: 2 4 şi 3 6

sunt echivalente deoarece 2 6 3 4⋅ = ⋅

5) Transformarea fracţiilor ordinare în zecimale – se realizează prin împărţire până obţinem restul 0.

Dacă la cât, zecimalele se repetă atunci avem fracţii periodice.

Exp.: 21 2,110

= : ( )19 2, 19= ; ( )190 2,1 1

90=

Obs. 1: Fracţia ordinară ab

este un număr natural dacă şi numai dacă /b a .

Exp.: 182

este un număr natural doearece 2 /18

6) Transformarea fracţiilor zecimale în ordinare

Exp 1: 212,110

=

Exp 2: 21 22, (1)

9−

=

Exp. 3: 213 212,1(3)

90−

=

Exp. 4: 3 0 3 10,0(3)

9 9 3−

= = =

7) Adunarea numerelor raţionale pozitive a) cu acelaşi numitor – se copiază numitorul şi se adună

numărătorii

Exp. : 4 9 4 9 135 5 5 5

++ = =

b) cu numitori diferiţi – se aduc fracţiile la acelaşi numitor E1) se calculează c.m.m.m.c. al numitorilor fracţiilor care se va numi NUMITORUL COMUN al fracţiilor

E2) se amplifică fiecare fracţie cu câtul dintre numitorul comun şi numitorul acesteia

10  

Exp. 1 : 5 4 ?

12 15+ =

Soluţie:

E1) observăm că nu le putem aduna direct pentru că nu avem acelaşi numitor; calculăm c.m.m.m.c. al numitorilor fracţiilor, şi anume al numerelor 12 şi 15;

Avem 212 2 3= ⋅ şi 15 3 5= ⋅ , iar 2[12,15] 2 3 5 60= ⋅ ⋅ = , deci numitorul comun este 60

E2) câtul dintre 60 şi 12 este 5, iar câtul dinte 60 şi 15 este 4, deci prima fracţie o amplificăm cu 5, iar

a doua fracţie o amplificăm cu 4 şi obţinem 5) 4)5 4 25 16 41

12 15 60 60 60+ = + = .

Obs. 1: pentru a aduna un număr natural n cu o fracţie, ţinem cont ca oricărui număr natural îi corespunde o fracţie cu numitorul 1

Exp. 2: 2)1 3 1 6 1 73

2 1 2 2 2 2+ = + = + =

8) Scăderea numerelor raţionale pozitive a) cu acelaşi numitor – se copiază numitorul şi se scad

numărătorii

Exp. 14 10 14 10 43 3 3 3

−− = =

b) cu numitori diferiţi cu numitori diferiţi – se aduc fracţiile la acelaşi numitor

E1) se calculează c.m.m.m.c. al numitorilor fracţiilor care se va numi NUMITORUL COMUN la fracţiilor

E2) se amplifică fiecare fracţie cu câtul dintre numitorul comun şi numitorul acesteia

Exp. 1 : 5 4 ?

12 15− =

Soluţie:

E1) observăm că nu le putem aduna direct pentru că nu avem acelaşi numitor; calculăm c.m.m.m.c. al numitorilor fracţiilor, şi anume la numerelor 12 şi 15;

Avem 212 2 3= ⋅ şi 15 3 5= ⋅ , iar 2[12,15] 2 3 5 60= ⋅ ⋅ = , deci numitorul comun este 60

E2) câtul dintre 60 şi 12 este 5, iar câtul dinte 60 şi 15 este 4, deci prima fracţie o amplificăm cu 5, iar

a doua fracţie o amplificăm cu 4 şi obţinem 5) 4)5 4 25 16 9

12 15 60 60 60− = − = .

11  

Obs. 1: pentru a scădea un număr natural n cu o fracţie, ţinem cont ca oricărui număr natural îi corespunde o fracţie cu numitorul 1

Exp. 2: 2)1 3 1 6 1 53

2 1 2 2 2 2− = − = − =

9) Înmulţirea numerelor raţionale pozitive

Dacă avem fracţiile şi a cb d

, cu 0, 0b d≠ ≠ atunci a c a cb d b d

⋅⋅ =

⋅ Exp.:

4 2 4 2 85 7 5 7 35

⋅⋅ = =

⋅

Obs.: Produsul dintre un număr natural n şi o fracţie ab

este =1 1

a n a n a n anb b b b

⋅ ⋅⋅ ⋅ = =

⋅

Obs.: de obicei, produsele se simplifică până la obţinerea unor fracţii ireductibile

Exp.: (44 1 4 1 4 1

5 4 5 4 20 5⋅

⋅ = = =⋅

10) Ridicarea la putere a unui număr raţional pozitiv

Dacă *n∈ , iar ab

este un număr raţional pozitiv, atunci avem , 0n n

n

a a bb b

⎛ ⎞ = ∀ ≠⎜ ⎟⎝ ⎠

, unde ab

se

numeşte bază, iar n se numeşte exponent

Obs.1: prin convenţie 0

1ab

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, iar 00 nu se defineşte

Obs. 2: Dacă ab

este un număr raţional pozitiv, iar , ,m n m n∈ > , atunci

a) Pentru 1ab< are loc inegalitatea

m na ab b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞<⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) Pentru 1ab> are loc inegalitatea

m na ab b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞>⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Exp: 4 32 2

5 5⎛ ⎞ ⎛ ⎞<⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

şi 4 35 5

2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞>⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

13) Proprietăţi ale puterilor

a) m n m na a a

b b b

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

şi m n m na a a

b b b

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) :m n m na a a

b b b

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

şi :m n m na a a

b b b

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

unde m n≥

12  

c) nm m na a

b b

⋅⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

şi nm n ma a

b b

⋅ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

d) nm m na a

b b

⋅⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

şi nm n ma a

b b

⋅ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

e) n n na c a c

b d b d⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

şi n n na c a c

b d b d⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

11) Împărţirea numerelor raţionale pozitive Pentru a împărţii două fracţii, înmulţim prima fracţie cu cea de-a doua inversată.

Exp.: 4 2 4:5 7

=7

5 2⋅

2 1475 5

= ⋅ =

Obs.1: Există fracţii etajate, iar pentru transformarea lor în fracţii simple, folosim că ab

înseamnă :a b ,

deci vom împărţi numărătorul la numitor, adică înmulţim numărătorul cu inversul numitorului. Este foarte important în dreptul cărei linii de fracţii se

pune " "= ; folosim relaţia :

aa c a db

c b d b cd

= = ⋅

Exp. 1:

22 7 143

5 3 5 157

= ⋅ =

Exp. 2:2 7 1425 5 57

= ⋅ =

Exp. 3:

22 1 25

7 5 7 35= ⋅ =

13  

Capitolul I

DREAPTA

1) Punctul - nu are lungime, nu are lăţime, nu are înălţime (se reprezintă punând vârful unui creion) Obs.1: Punctele se notează cu litere mari ale alfabetului , ,...A B

Obs.2: Există puncte distincte (nu sunt situate în acelaşi loc) şi puncte confundate(coincid), sunt situate în acelaşi loc. Exp.:

2) Dreapta - este cel mai scurt drum între 2 puncte şi este prelungită în ambele capela la infinit. Are lungime, nu are lăţime, nu are înălţime. Obs.1: dreapta se notează cu litere mici ale alfabetului , , , ,...a b c d sau, în ipoteza în care ştim două puncte ale dreptei, o putem nota prin punctele respective, adică , , ...AB CD etc

Obs.2: Puncte coliniare – sunt situate pe aceeaşi dreaptă

Obs.3: Puncte necoliniare – nu sunt situate pe aceeaţi dreaptă

3) Semidrepta – este mulţimea punctelor dintr-o dreaptă mărginită doar la un capăt. Capătul în care este mărginită se numeşte originea semidreptei. Obs.: Există semidrepte deschise şi semidrepte închise. Pentru a nota o semidreaptă trebuie să cunoaştem originea şi încă un punct oarecare al semidreptei.

Exp.: (AB este semidreapta deschisă, porneşte din A , nu îl conţine pe A , şi merge în direcţia lui B

către infinit

[CD este semidreapta închisă, porneşte din C , îl conţine pe C , şi merge în direcţia lui D către infinit

A, B distincte 

A B C=D

C, D coincid

14  

4) Plan: este asemeni unei foi de hârtie prelungită în toate direcţille la infinit. Are lungime, are lăţime, nu are înălţime. Se notează cu litere greceşti α -alpha, β -beta, etc.

Obs.: semiplan – este porţiunea din plan delimitată de o dreaptă, adică “foaia de hârtie nu se prelungeşte decât în 3 direcţii”

Obs.1: drepte coplanare - sunt drepte situate în acelaşi plan

drepte necoplanare – drepte care nu sunt situate în acelaşi plan

drepte concurente – intersecţia lor este formată dintr-un singur punct

drepte confundate(coincid) – sunt drepte care se suprapun

drepte paralele – sunt drepte coplanare care nu sunt concurente

Exp.:

drepte necoplanare

drepte concurente

drepte paralele

5) Segmente - este mulţimea punctelor dintr-o dreaptă mărginită la ambele capete Există segmente închise, deschise, semideschise.

Exp: ( )AB este segment deschis, nu conţine pe A , nu conţine pe B , conţine toată porţiunea dintre A

şi B

[ ]AB este segment închis, conţine pe A, conţine pe B, conţine toată porţiunea dintre A şi B

[ )AB este segment semideschis, conţine pe A, nu conţine pe B, conţine toată porţiunea dintre A şi B

( ]AB este segment semideschis, nu conţine pe A, conţine pe B, conţine toată porţiunea dintre A şi B

15  

Exp.:.reprezentaţi: a) segmentul semideschis[ )AB

b) segmentul deschis ( )CD

c) segmentul închis [ ]EF

d) segmentul semideschis ( ]GH

6) Lungimea unui segment - distanţa dintre două puncte este lungimea segmentului

cu extermităţile în cele două puncte

- distanţa dintre două puncte este cel mai scurt drum - fiecărui segment îi corespunde un număr care se numeşte

lungimea segmentului

- lungimea unui segment se determină folosind rigla gradată - notăm ( , )d A B şi citim distanţa de la A la B 7) Segmente congruente – două segemnte care au lungimile

egale

Obs. 1: două segmente congruente se notează [ ] [ ]AB CD≡ şi se citeşte: segmentul [ ]AB este congruent

cu [ ]CD

Obs. 2: în probleme, segmentele congruente se marchează la fel pentru a fi recunoscute mai uşor

8) Mijlocul unui segemnt Punctul O este mijlocul segmentului [ ]AB dacă [ ]O AB∈ şi [ ] [ ]OA OB≡

OA B

16  

Capitolul II

UNGHIURI

1) Unghiul – este figura geometrică formată din două

semidrepte cu aceeaşi origine.

Cele două semidrepte se numesc laturile unghiului, iar originea lor comună se numeşte vârful unghiului. Unghiul se notează

AOB sau, dacă nu există mai multe unghiuri cu vârful în O, O

2) Măsura unui unghi – este deschizătura dintre laturile unghiului (de fapt măsurăm arcul cercului cu centru în vârful unghiului), spus pe înţelesul tuturor este deschizătura unei foarfeci.

Obs.1: dacă avem desenat un unghi şi ni se cere măsurarea lui, nu contează cât de lungi sunt laturile unghiului ci doar cât de mare e deschizătura dintre ele.

Obs.2: un unghi se măsoară cu RAPORTORUL, pe raportor sunt trecute grade. 1 grad se notează 1 .

Obs. 3: 1 60 min= , 1min 60s=

3) Unghiuri congruente – sunt unghiuri care au aceeaşi măsură. Nu contează lungimea laturilor, nici poziţia unghiului. Unghiurile din exemplele următoare sunt congruente. Exp.1:

Exp.2:

4) Clasificarea unghiurilor în funcţie de măsura lor: Unghi ascuţit – are măsura 90<

( ) 90m AOB <

17  

Unghi obtuz – are măsura 90>

( ) 90m AOB >

Unghi drept – are măsura 90

( ) 90m AOB =

5) Unghiuri adiacente – au o latură comună, au un vârf comun iar celelalte doua laturi sunt de-o parte şi de cealaltă a laturii cumune

Unghiurile AOB şi BOC sunt adiacente

6) a) Unghi alungit – are măsura 180 ,

laturile lui sunt semidrepte opuse ( ) 180m AOB =

b) Unghi nul – are măsura 0 , laturile lui se confundă

( ) 0m AOB =

7) Unghiuri complementare – au suma măsurilor egală cu 90 ,

,două unghiuri

complementare nu trebuie neapărat să fie adiacente, trebuie doar să aibă au suma 90

8) Unghiuri suplementare - au suma 180

( ) ( ) 180m AOB m BOC+ =

Obs.: două unghiuri suplementare nu trebuie

( ) ( ) 90m AOB m BOC+ =

18  

neapărat să fie adiacente, singura condiţie este să aibă au suma 180

9) Unghiuri opuse la vârf – laturile primului unghi sunt în prelungirea laturilor celui de-al doilea unghi

AOC şi BOD sunt unghiuri opuse la vârf, AOD şi BOC sunt unghiuri opuse la vârf

Obs. Unghiurile opuse la vârf sunt congruente AOC BOD≡ şi AOD BOC≡

10) Unghiuri în jurul unui punct – au aceeaşi origine, nu au interior comun şi au suma egală cu 360

11) Unghiuri cu laturile respectiv paralele – laturile primului unghi sunt paralele cu laturile celui de-al doilea unghi,

,AO EC BO FC rezultă că AOB şi ECF sunt unghiuri cu

laturile respectiv paralele, dar şi AOB şi ECD sunt unghiuri cu

laturile respectiv paralele

Obs.: unghiurile cu laturile respectiv paralele sunt congreunte sau suplementare.

Dacă ambele unghiuri sunt ascuţite sau ambele unghiuri sunt obtuze, atunci acele unghiuri sunt congruente, iar dacă unul e obtuz iar celălalt ascuţit atunci acele unghiuri sunt suplementare.

Deci, AOB ECF≡ şi 180AOB ECD+ = ° , adică AOB şi ECD sunt suplementare

( ) ( )( ) ( ) 360

m AOB m BOC

m COD m DOA

+ +

+ + =

19  

12) Unghiuri cu laturile respectiv perpendiculare – laturile primului unghi sunt perpendiculare pe laturile celui de-al doilea unghi

,AO EC BO FC⊥ ⊥ rezultă că AOB şi ECF sunt unghiuri cu

laturile respectiv perpendiculare, dar şi AOB şi

ECD sunt unghiuri cu laturile respectiv perpendiculare paralele

Obs.: unghiurile cu laturile respectiv perpendiculare sunt congreunte sau suplementare. Dacă ambele unghiuri sunt ascuţite sau ambele unghiuri sunt obtuze, atunci acele unghiuri sunt congruente, iar dacă unul e obtuz iar celălalt ascuţit atunci acele unghiuri sunt suplementare, deci AOB ECF≡ şi

180AOB ECD+ = ° , adică AOB şi ECD sunt suplementare

20  

Capitolul III

CONGRUENŢA TRIUNGHIURILOR

1) Triunghiul – este format din unirea a trei puncte

necoliniare.

Se notează ABCΔ .

Obs.1: laturile triunghiului sunt ,

unghiurile sunt ,ABC B=

Obs.2: perimetrul unui triunghi este format din suma laturilor sale, deci ABCP a b cΔ = + + , iar

semiperimetrul este

Obs.3: Pentru ca 3 numere reale , ,a b c să fie laturile unui triunghi, trebuie ca ele să verifice inegalităţile: , ,a b c b c a c a b< + < + < + (numite inegalităţile triunghiului)

Obs.4:suma unghiurilor unui triunghi este 180°

Obs.5: în orice triunghi, inegalitatea dintre unghiuri este echivalentă cu inegalitatea dintre laturi, adică ( ) ( ) ( )a b c m A m B m C< < ⇔ < <

2) Clasificarea triunghiului după măsura unghiurilor sale a) ABCΔ este ascuţitunghi dacă ABCΔ are toate unghiurile

sale sunt ascuţite, adică au măsura mai mică decât 90°

b) ABCΔ este dreptunghic dacă ABCΔ are un unghi cu măsura de 90°

c) ABCΔ este obtuzunghic dacă ABCΔ are un unghi cu măsura mai mare decât 90° 3) Clasificarea triunghiului după măsura laturilor sale: a) ABCΔ este oarecare(scalen)dacă ABCΔ dacă laturile au

lungime oarecare

b) ABCΔ este isoscel dacă ABCΔ are 2 laturi congruente c) ABCΔ este echilateral dacă ABCΔ toate laturile

congruente între ele.

Obs.: orice triunghi echilateral este triunghi isoscel

[ ] [ ] [ ], ,AB c BC a CA b= = =

,BCA C CAB A= =

2ABCa b cpΔ

+ +=

21  

4) Congruenţa triunghiurilor – două triunghiuri sunt congruente dacă au toate laturile şi toate unghiurile respectiv congruente, adică

, , ,ABC MNP AB MN BC NP CA PMΔ ≡ Δ ⇔ ≡ ≡ ≡ .

Pentru a nu arăta întotdeauna 6 congruenţe, sunt criteriile (cazurile) de congruenţă:

5) Cazuri de congruenţă a) ( L U L ) dacă două triunghiuri au două laturi respectiv congruente şi unghiurile dintre ele congruente, atunci cele două triunghiuri sunt congruente

b) ( U L U ) dacă două triunghiuri au două unghiuri respectiv congruente şi laturile dintre ele congruente, atunci cele două triunghiuri sunt congruente

c) ( L L L ) dacă două triunghiuri au toate trei laturile respectiv congruente, atunci cele două triunghiuri sunt congruente

Obs: Dacă , ,AB MN B N C P≡ ≡ ≡ avem situaţia (U U L) , acesta nu e caz, dar folosind suma unghiurilor se aduce la cazul

(U L U).

, ,A M B N C P≡ ≡ ≡