capitol ul 06

Upload: juggernautxlr

Post on 07-Jul-2018

219 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    1/35

      Sorin VLASE 1

    Capitolul 6

    ECHILIBRUL RIGIDULUI

    6.1. Echilibrul rigidului liber

    Condiia necesară  şi suficientă  pentru ca un rigid, asupra căruiaacionează  un sistem de fore, să  fie în echilibru, este ca torsorulsistemului de fore să  fie egal cu zero (rezultanta şi momentul calculat într-un punct arbitrar să fie nule).

    0;0   == O M  Rr r 

      (6.1)Un rigid este liber dacă  poate ocupa orice poziie în spaiu f ără constrângeri de natură geometrică. Rezultă că poziia pe care o va ocuparigidul va depinde în mod exclusiv de sistemul de fore care acionează asupra sa. Întrucât avem relaiile:

    ∑∑ ∑   === OiiOi  M F  xr  M F  Rr r 

    r r r 

    ;   (6.2)

    rezultă că putem scrie condiiile de echilibru sub forma:

    0;0   ==   ∑∑ Oii  M F r r 

      (6.3)

    sau, dacă  considerăm proieciile pe axele unui sistem de coordonatecartezian:

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    ∑∑∑

    ∑∑∑

    0

    00

    ;

    0

    00

    Ozi

    Oyi

    Oxi

    i

    i

    i

     M 

     M  M 

     Z 

    Y  X 

      (6.4) 

    Condiiile de echilibru ale unui rigid care poate să ocupe orice poziie înspaiu este determinat de şase ecuaii scalare. Întrucât poziia unui rigid în spaiu este determinată  în general de şase parametrii, va rezulta că,

    dacă se cunoaşte sistemul de fore care acionează asupra rigidului, dinecuaiile de echilibru se poate determina poziia de echilibru a acestuia.

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

    http://www.docudesk.com/http://www.docudesk.com/

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    2/35

      2 MECANICĂ. STATICA

    Menionăm că  al doilea set de ecuaii, care exprimă  condiia camomentul calculat într-un punct să  fie nul, poate fi înlocuit de un setcare exprimă condiia ca momentul calculat faă de trei axe neparalele să fie nul. Sau se pot lua două ecuaii din set cu o condiie ca momentulfaă de o axă să fie nul. Sau se poate lua o ecuaie din setul de ecuaii demomente cu condiia ca momentul faă de două axe neparalele să fie nul.Există  şi posibilitatea înlocuirii unor ecuaii din primul set(rezultantanulă) cu ecuaii de momente faă de un alt punct.Cazuri particulare: Sistem de for   e coplanare. Se presupune că planul încare acionează forele este Oxy (ceea ce nu particularizează problema).În acest caz relaiile:

    ∑∑∑   === 0;0;0 OyiOxii  M  M  Z   

    sunt identic satisf ăcute şi rămân de îndeplinit condiiile:

    ∑∑∑   === 0;0;0 Oziii  M Y  X    (6.5) 

    Deci în cazul unui sistem de fore acionând într-un plan sunt disponibile

    trei ecuaii de echilibru care permit determinarea a trei parametrii caredefinesc poziia rigidului în acest caz.

    Sisteme de for   e paralele. Dacă  se alege axa Oz  ca fiind paralelă  cuforele (lucru care nu particularizează problema) , relaiile:

    ∑∑∑   === 0;0;0 Oziii  M Y  X   

    sunt identic satisf ăcute şi atunci rămân de îndeplinit trei condiii deechilibru:

    ∑∑∑   === 0;0;0 OyiOxii  M  M  Z    (6.6)

    Sisteme de for   e concurente. Dacă  se alege punctul în care calculămmomentul ca fiind punctul de concurenă relaiile:

    ∑∑∑   === 0;0;0 OziOyiOxi  M  M  M   

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    3/35

      Sorin VLASE 3

    sunt identic satisf ăcute în acest punct şi atunci rezultă  că, în acest caz,condiia de echilibru impune ca numai rezultanta sistemului de fore să fie nulă (dacă momentul este nul într-un punct atunci el este nul în oricepunct):

    ∑∑∑   === 0;0;0 iii  Z Y  X    (6.7)

    adică  condiiile de echilibru se reduc la trei. Dacă  este vorba de foreconcurente în plan ecuaiile de echilibru se reduc la două.

    Sisteme de cupluri. În acest caz rezultanta sistemului de fore caredefinesc sistemul de cupluri este nulă  deci relaiile:

    ∑∑∑   === 0;0;0 iii  Z Y  X   

    sunt identic satisf ăcute şi atunci rămâne de îndeplinit condiia camomentul rezultant să fie nul:

    ∑∑∑   === 0;0;0 OziOyiOxi  M  M  M    (6.8)

    6.2. Echilibrul rigidului supus la legături ideale (f ără frecare) 6.2.1. Legăturile rigidului

    La fel ca şi în cazul punctului material, în cazul rigidului supus lalegături se utilizează axioma legăturilor pentru a înlocui constrângerileprin fore cu efect mecanic echivalent. Sub aciunea forelor exterioareşi de legătură putem considera că  avem de-a face cu un rigid liber iarecuaiile de echilibru care se vor scrie vor fi (6.1) cu completarea că la

    forele exterioare în ecuaii se adaugă  şi forele de legătură. Dacă  încazul unui rigid liber erau nevoie de şase parametrii independeni pentrua-i descrie poziia de echilibru, în cazul unui rigid supus la legături,acestea suprimă  anumite posibilităi de mişcare ale rigidului şi, caurmare, numărul de parametrii independeni pentru descrierea poziiei deechilibru va scădea. În schimb vor apărea fore de legătură necunoscute.Dacă numărul de fore de legătură şi numărul de parametrii independeninecesari pentru descrierea poziiei în spaiu este de şase, problema

    determinării poziiei de echilibru şi a necunoscutelor fore de legătură este, în general, determinată  (există  totuşi cazuri în care este

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    4/35

      4 MECANICĂ. STATICA

    nedeterminată  sau imposibilă). Dacă  numărul necunoscutelor reaciuni împreună  cu numărul de parametrii independeni pentru descriereapoziiei de echilibru este mai mare de şase problema este nedeterminată iar dacă este mai mic problema este imposibilă (corpul nu poate rămâne în echilibru, trebuie considerate în acest caz ecuaiile de mişcare).

    În aplicaiile tehnice se întâlnesc cu precădere câteva tipuri delegături care vor fi descrise în cele ce urmează.6.2.2. Reazemul simplu

    În cele ce urmează  considerăm un rigid care se sprijină  pe osuprafaă  rigidă, f ără  frecări.Suprafaa corpului şi suprafaa pecare stă  vor fi în contact într-un

    punct prin care se poate duce unplan tangent la cele două suprafee.Tot în punctul de contact se poateduce normala comună  la cele două suprafee. Rigidul considerat estedeci împiedecat, datorită  suprafeeipe care se sprijină, să  se deplasezedupă  o direcie normală  la

    suprafeele în contact, în punctulconsiderat. În acest caz se poate înlocui reazemul cu o foră normală lacele două suprafee, care va împiedeca rigidul să trecă prin suprafaa desprijin. Mărimea acestei reaciuni trebuie să  fie atât cât să  împiedeceorice mişcare după  direcie normală  a rigidului (Efectul mecanic alconstrângerii şi al forei de reaciune să  fie acelaşi). În fig. 6.1 esteprezentat un rigid rezemat într-un punct. Datorită faptului că deplasareadupă o direcie este împiedecată, pentru descrierea poziiei unui rigid vor

    fi necesari numai 5 parametrii scalari dar va interveni în plus onecunoscută, fora de legătură  normală. Un reazem deci va scădeanumărul de parametrii independeni necesari pentru descrierea poziieirigidului cu o unitate dar va introduce în plus o necunoscută, valoareaforei de reaciune. În general, probleme în care apar reazeme suntdeterminate dacă numărul acestora nu este prea mare.

    În cazul în care sprijinul se face pe o suprafaă care are în punctulde contact punct singular (un vârf sau un col) sau în cazul în care

    rigidul are un punct singular care este punctul de contact cu suprafaafixă, atunci direcia reaciunii este determinată  de normala la cealaltă 

    Fig.6.1.Reazem simplu 

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    5/35

      Sorin VLASE 5

    suprafaă  (a rigidului sau a planului de sprijin). În fig. 6.4 suntprezentate aceste două  cazuri: în punctul A rigidul are un col  care sesprijină  pe suprafaa verticală  care va determina direcia reaciuniinormale  N  A  iar în punctul B suprafaa de sprijin are un col pe care sesprijină  suprafaa barei. În acest caz normala la suprafaa barei vadetermina direcia reaciunii N  B.

    În fig.6.2 sunt f ăcute reprezentări tehnice ale reazemelor. În fig.6.2.a este reprezentat un reazem care împiedecă  deplasarea după  odirecie, dar numai într-un sens, încelălalt corpulputându-se deplasa

    (legătură  unilate-rală). În fig. 6.2.b.este reprezentată legătura bilaterală, în care este împiedecată  depla-sarea în ambelesensuri ale corpu-

    lui, după  direciaconsiderată.

    O aplicaie simplă este prezen-tată  în fig. 6.3 când o bară orizontală  este sprijinită  pe două reazeme şi este încărcată  cu foreacionând vertical. Ne punemproblema determinării reaciunilor

    care apar în reazeme. După direciabarei nu acionează  fore, deciecuaiile de echilibru după  axa Ox sunt identic satisf ăcute.

    Se scriu ecuaiile de echilibru după direcia forelor:

    02;0   =−+−=∑ P N P N Y   B A  

    şi ecuaia de momente în punctul A:

    Fig.6.2. Legături unilaterale  şi bilaterale

    Fig.6.3

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    6/35

      6 MECANICĂ. STATICA

    0322;0   =⋅−⋅+⋅−=∑ aPa N aP M   B A  Ecuaia de momente ne dă imediat:

    P N  B

    2

    5=  

    de unde, introducând în suma proieciilor după axa Oy, se va obine:

    P N  A 2

    1=  

     Aplica  ii: 1. O bară omogenă de lungime 2L, de seciune constantă şi degreutate G se sprijină pe doi perei aflai la distana a ca în fig.6.4. Să sedetermine unghiul f ăcut de bară cu orizontală în momentul echilibrului

    Soluie: Se înlo-cuiesc reazemeledin A şi B cuforele de legătură corespunzătoare(normale la supra-faă  în punctul decontact). Scriemecuaiile de echili-bru:

    0sin;0   =−=∑   α  B A  N  N  X   0cos;0   =−=∑ G N Y   B   α   

    0cos;0   =−⋅=∑   α GL AB N  M   B A  unde:

    α cosa AB  =  

    Din ecuaia a doua rezultă:

    α cos

    G N 

     B   =  

    şi înlocuind în ecuaia de momente (a treia) se obine:

    Fig.6.4

    Fi .6.5

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    7/35

      Sorin VLASE 7

    0coscoscos

      =−⋅   α α α 

    GLaG

     

    sau:

    3cos  L

    a=α   

    Deoarece trebuie să  avem 1cos   ≤α    rezultă  că  pentru a avea echilibrutrebuie ca  La  ≤   adică  centrul de greutate al barei să  se găsească  îndreapta punctului de sprijin B. În caz contrar (fig.6.5) bara va cădea întrecei doi perei indiferent sub ce unghi α  va fi aşezată.

    Echilibrul barei este un echilibru instabil întrucât, dacă o scoatemdin poziia de echilibru, ea va cădea, sau între cei doi perei, sau peplanul orizontal.

    Solu  ia grafică  a problemeise obine în felul următor: cele treifore trebuie să  fie concurente(momentul zero) şi sumavectorială  a lor trebuie să  fie zero(rezultanta zero) (fig.6.6). Dinfig.6.6 rezultă:

    α α  coscos  L AC  AP   ==  α α  2coscos  L AP AB   ==  

    dar:α α  coscos

    a AD AB   ==  

    Egalând cele două expresii obinute pentru AB se obine:

    α α 

    2coscos

     La

    =  

    deci:

    3cosl

    a=α   

    2. O bară omogenă, cu seciune constantă, lungime 2L şi greutate G este

    aşezată  într-o cavitate semisferică  de rază  R (fig.6.7). Să  se determinepoziia de echilibru a barei (unghiul α).

    Fig.6.6

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    8/35

      8 MECANICĂ. STATICA

    Solu  ie: Se înlocuiesc reazemele din A şi B cu reaciuni normale lasuprafaa semisferei, respectiv a barei. Triunghiul OAB este isoscel(OA=OB) deci unghiul f ăcut de N  A cu bara este α iar unghiul f ăcut de N  Acu orizontala este 2 α.  N  B  este perpendiculară  pe bară  deci face cuverticala unghiul α  (unghiuri cu laturile perpendiculare). Ecuaiile deechilibru vor fi:

    0sin2cos;0   =−=∑   α α   B A  N  N  X   0cos2sin;0   =−+=∑ G N  N Y   B A   α α   

    0cos;0   =−⋅=∑   α GL AB N  M  B

     A 

    Din triunghiul ABD rezultă: α cos2 R AB  = . Din prima ecuaie scoatem N  A:

    α 

    α 

    2cos

    sin B A

     N  N    =  

    şi înlocuim în a doua. Rezultă, succesiv:

    G N  N  B B   =+   α α 

    α 

    α cos2sin

    2cos

    sin 

    G N  B   =

    +

    α 

    α α α α 

    2cos

    2coscos2sinsin 

    G N  B   =

    α 

    α α 

    2cos

    )2cos( 

    de unde:

    α 

    α 

    cos

    2cosG N  B   =  

    Fig.6.7

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    9/35

      Sorin VLASE 9

    Înlocuind N  B în ecuaia de momente, se obine ecuaia trigonometrică:

    0cos2cos2   =−   α α   L R  

    (soluia 0cos   =α    nu convine). Relaia obinută se mai poate scrie:

    0cos)1cos2(2 2 =−−   α α   L R  

    Cu notaia α cos=t   se obine ecuaia de gradul doi:

    024 2 =−−  Rt  Lt  R  

    cu singura soluie convenabilă:

     R

     R L Lt 

    8

    32cos

    22++

    ==   α   

    Condiia 1cos   ≤α    duce la:  R R L L 832 22 ≤++   sau, după efectuarea calculelor:  L R  ≤2   adică bara trebuie să  fie mai lungă decâtdiametrul semisferei pentru ca problema să fie posibilă.

    Echilibrul realizat este stabil, adică dacă scoatem bara din poziiade echilibru adăugând la α   o cantitate mică, ea va tinde să  revină  înpoziia de echilibru.

    Solu  ia grafică  impune, la fel ca la problema precedentă, ca cele treifore să  fie concurente şi sumavectorială  a lor trebuie să  fiezero. Dacă presupunem că  I este

    punctul de intersecie al forelor N  A şi  N  B, întrucât OA=OB= R  iartriunghiul IAB este dreptunghicrezultă  şi OI= R  (fig.6.8).Condiia ca şi G să treacă prin Iduce la condiia ca triunghiurileIBC şi IAB să  fie asemenea, deunde se obine:

     AB IB

     IB BC =  

    Fig.6.8

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    10/35

      10 MECANICĂ. STATICA

    Întrucât:

    α α  sin2;cos2  R IB R AB   ==  ;cos2  L R AC  AB BC    −=−=   α   

    rezultă:

    α 

    α 

    α 

    α 

    cos2

    sin2

    sin2

    cos2

     R

     R

     R

     L R=

    − 

    de unde:02coscos4 2 =−−  R L R   α α   

    adică  aceeaşi ecuaie trigonometrică  ca cea obinută  prin scriereaecuaiilor de mişcare.

    3. Să considerăm acum o bară obligată să rămână într-o poziie impusă (fig.6.9) şi să  determinăm forelecare apar în acest caz în legături(reazeme). Rezolvarea unor problemecare impune determinarea unor foresunt mult mai simple întrucât implică numai ecuaii sau inecuaii lineare.

    Să  considerăm că  bara are greutateaG, este omogenă şi are lungimea 2L.Cavitatea în care trebuie să stea baraare lărgimea a şi înălimea h.

    Întrucât avem o problemă plană, ecuaiile de echilibru vor fi:

    ∑   =−= 0sin;0   α  B A  N  X  X   0cos;0   =+−=

    ∑  α 

     B A

     N GY Y   

    0coscos

    ;0   =⋅−⋅=∑   α α 

     LGa

     N  M   B A  

    de unde, după calcule simple, se obine:

    22

    2cosha

     LaG

    a

     LG N 

     B+

    ==   α   

    Fig.6.9

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    11/35

      Sorin VLASE 11

    ( )322sin

    ha

     LahG N  X 

     B A

    +

    ==   α   

    ( ) ( )  

     

     

     

     

    +−=

    +−=−= 322

    2

    322

    2

    1cos ha

     La

    Gha

     La

    GG N GY   B A   α   

    Problema poate fi rezolvată şi grafic în felul următor: greutatea Gşi reaciunea în B au direcii şi punct de aplicaie cunoscute. Interseciadreptelor suport a celor două  fore ne dă  punctul I. Reaciunea în Atrebuie să  treacă  prin I, deci vaavea direcia indicată  în fig.6.9.b.Mărimea ei va fi determinată 

    construind triunghiul format decele trei fore, în care G estecunoscută şi de asemenea direciileforelor NB şi R.Avem

    ;sin

    ;cosα 

    CB IC  L

    aCB   =−=  

    ,sin LCD  =   deci:

    .sinsinsincos  α α α α 

     L LaCD IC  ID   +−=+=   Unghiul beta format de

    reaciunea în A cuorizontala este:

    α α α α α 

    α α α α  β  tg

     L

    a

     L

     L La

     AD

     IDtg   +−=

    +−

    ==cossin

    1

    sincoscos

    sinsinsincos

    2

     

    6.2.3. Articulaia

    O articulaie este olegătură  dintre două corpuri care permiterotaiile unuia dincorpuri în raport cucelălalt. În cazulgeneral este posibil ca

    Fig.6.10.a

    Fig.6.9.b

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    12/35

      12 MECANICĂ. STATICA

    mişcarea unui corp în raport cu altul, dacă cele două au un punct fix, să fie definită prin intermediul a trei rotaii. În tehnică există două feluri dearticulaii, numite cilindrică  şi sferică. Articulaia cilindrică  permiterotaia în jurul unei axe, în timp ce rotaia sferică permite rotaia în jurula trei axe. O legătură simplă între două corpuri care să permită rotaii în jurul a trei axe nu este cunoscută. Constructiv, există mai multe moduride realizare a unor astfel de legături între două corpuri, legături care potsuprima şi alte posibilităi de mişcare a unui corp faă  de celălalt. Înconti-nuare vom prezenta câteva modalităi tehnice de a realiza legăturiprin articulaii cilindrice şi sferice şi forele de legătură  pe care leimplică aceste cuple cinematice.

    Articulaia cilindrică  cu fixare axială  permite numai rotaia unui

    corp în jurul uneiaxe. Ea blochează cinci posibilităide mişcare alecorpului şi, caurmare, conformaxiomeilegăturilor, poate

    fi înlocuită cu treicomponente ale unei reaciuni şi cu două componente ale unui momentperpendicular pe axa de rotaie. Realizarea tehnică  a unei astfel dearticulaii este prezentată în fig.6.10.a.

    În cazul în care mişcarea corpului se face într-un plan avemsituaia reprezentată  în fig. 6.10.b, când apar numai două  componenteale unei reaciuni, rotaia în jurul unei axe perpendiculară pe plan fiindliberă.

    Fig.6.10.b

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    13/35

      Sorin VLASE 13

    Dacă  nu avem fixare axială  avem o articulaie cilindrică  carepermite rotaia în jurul axei articulaiei dar şi translaia după o direcie

    determinată de articulaie. În acest caz sunt blocate patru posibilităi demişcare ale unui corpşi, conform axiomeilegăturilor, pot fiintroduse două componente ale uneifore perpendiculare peaxa de rotaie şi

    translaie şi două componente ale unuimoment. În figura6.11.a este prezentată  realizarea tehnică  a unei astfel de situaii.Mecanic, situaia este similară  în cazul utilizării unui rulment cu role(fig.6.11.b).

    Un rulment cu bile împiedică  translaiile după  două  direciipermiând trei rotaii şi o translaie. Conform axiomei legăturilor el

    poate fi înlocuit cu două  componente ale unei fore perpendiculare peaxa arborelui (corespunzător celor două translaii împiedicate) (fig.6.12).Întrucât sunt permise toate trei rotaiile avem de-a face cu o articulaiesferică, având în plus o posibilitate de translaie de-a lungul unei axe.

    Fig.6.11

    Fig.6.12

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    14/35

      14 MECANICĂ. STATICA

    În figura 6.13 este prezentată o articulaie sferică, care împiedică orice posibilitate de translaie a corpului. Aceată articulaie sferică poatefi înlocuită cu trei componente ale unei reaciuni. Din punct de vedere

    mecanic (al posibilităilor de mişcare şi al reaciunilor, articulaia sferică din fig.6.13.a este echivalentă cu legătura cu frecare dintre o roată şi sol(fig.6.13.b), atâta timp cât neplasăm în domeniul de aderenă alroii şi există contact între roată şisol.

     Exemple. E1. Să considerăm cazulfoarte simplu al unei barearticulată  într-un punct A şirezemată  în B, de lungime 3a şi încărcată  cu forele P şi 2P , ca în fig. 6.14. Ne punem problemadeterminării reaciunilor în A şi B.În conformitate cu axiomalegăturilor, articulaia din A se înlocuieşte cu două fore  A X   şi  AY    iarreazemul cu o reaciune normală   B N  . Avem o problemă plană şi în acestcaz ecuaiile de echilibru pot fi scrise sub forma:

    0;0   =+−=∑ P X  X   A  0;0   =−+−=∑ P N PY Y   B A  

    032

    ;0

    =⋅−⋅+⋅−

    =∑

    aPa N aP

     M 

     B

     A  

    Rezultă imediat: P X  A  = , P N 

     B2=   , 0=

     AY   

    Fig.6.14

    Fig.6.13

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    15/35

      Sorin VLASE 15

    E2. Să  considerăm bara articulată  din fig.6.15, meninută  în poziie înclinată, prin intermediul unui fir, de greutatea P. Ne propunem să determinăm poziia de echilibru a barei (unghiul 2α ), dacă lungimea eieste 2L, greutatea G iar AB = AC.

    După  izolarea barei şi introducerea forelor de legătură  ca înfig.6.15 (articulaia se înlocuieşte cu două  componente ale uneireaciuni) se pot scrie ecuaiile de mişcare:

    0cos;0   =−=∑  A X S  X    α   0sin;0   =+−=∑  AY GS Y    α   

    02sincos2;0   =−⋅=∑   α α  GL LS  M  A  

    Tensiunea din fireste egală  cu P şi atuncirezultă  ecuaia trigono-metrică care dă pe α:

    0cossin2cos2   =−   α α α  GP 

    sau 0)sin(cos   =−   α α  GP  cu soluia:

    2;0cos  π 

    α α    == .

    Această  poziie deechilibru reprezintă  situa-ia când bara se găseşte în

    poziia din figura 6.15.b , firul trage de bara aflată  în poziie verticală.Bara nu se poate mişca, traciunea firului fiind blocată  de articulaie.Această  poziie particulară  nu este inte-resantă  pentru practică.Echilibrul este în acest caz instabil, o mică  deplasare din poziia deechilibru permiând greutăii P să mişte bara până  în a doua poziie deechilibru, dată de relaia:

    G

    P=α sin  

    Această  poziie este de echilibru stabil, fora P căutând să  aducă  bara înapoi dacă o scoatem din poziia determinată cu o deplasare unghiulară 

    Fig.6.15

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    16/35

      16 MECANICĂ. STATICA

    mică. Pentru ca problema să fie posibilă trebuie ca 1sin   ≤α   ceea ce ducela GP  ≤ . În caz contrar, fora P fiind prea mare, va trage de bară până ova bloca în punctul C, datorită particularităilor constructive (fig.6.15.c).

    E3. Se consideră  o placă dreptunghiulară  omogenă, de greutate G, dedimensiuni a şi b, care este prinsă  de un perete vertical prin două balamale A şi B situate la distana c de capetele plăcii şi este inută  înpoziie orizontală prin intermediul unui fir care face un unghi de 45o cuplaca (fig.6.16). Ne propunem să determinăm efortul care apare în fir şireaciunile care apar în balamale. Se presupune că balamaua din A preiaşi fora axială.

    Solu  ie: Componentele după cele trei axe ale efortului din fir sunt:

    α α π 

    sin2

    2sin

    4cos S S S 

     x   == ;

    α α π 

    cos2

    2cos

    4cos S S S 

     y   == ;

    2

    2

    4sin S S S 

     z   ==  π 

     

    Se scriu ecuaiile de echilibru:

    ∑   =−+= 0;0  x B A S  X  X  X 0;0   =−=∑  y A S Y Y   

    0;0   =−++=∑ GS  Z  Z  Z   z B A0

    2;0'   =⋅−=∑ bS 

    bG M 

     zOB 

    02

    )(;0'   =−+−=∑a

    Gc Z ca Z  M  B A D B

    0)(;0'   =−+−=∑ bY c X ca X  M   A B A DD  Se obine un sistem de şase ecuaii cu şase necunoscute care oferă tensiunea din fir şi reaciunile în articulaii.

    Fi .6.16

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    17/35

      Sorin VLASE 17

    6.2.4. Legătura cu firSe consideră  un corp suspendat prin intermediul unor fire

    (fig.6.17). În cazul problemelor de mecanică se consideră că firele suntperfect flexibile şi inextensibile.Firele nu pot fi comprimate şi nici îndoite, întrucât nu au suficientă rigiditate pentru a suporta acestesolicitări. Ele pot prelua numaieforturi de întindere fiind o legătură unilaterală. Conform axiomeilegăturilor, firele pot fi înlocuiteprintr-o foră  de întindere care are

    direcia firului numită  tensiune înfir. Această  tensiune are direciafirului şi sensul în care întinde firul. Această legătură suprimă un grad delibertate rigidului (deplasarea după  direcia firului) şi introduce o

    necunoscută, tensiunea în fir. Pentru a studia echilibrul unui rigid care

    este legat şi cu fire, se suprimă acestea şi se introduc tensiunile din fir,care acionează  asupra rigidului. După  această  operaie, rigidul setratează  ca un rigid liber, supus la fore exterioare, fore de legătură introduse de alte legături şi tensiunile din fire. Dacă un rigid este legatnumai cu fire, pentru a determina tensiunile din acestea, numărul lortrebuie să  fie şase. Dacă  este mai mare de şase, sistemul este staticnedeterminat.

     Aplica  ie: Se consideră o placă triunghiulară, suspendată de capete, prinintermediul a trei fire, astfel încât să  rămână  în poziie orizontală 

    Fig.6.18

    Fig.6.17. Corp suspendat cu fire

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    18/35

      18 MECANICĂ. STATICA

    (fig.6.18). Ne propunem să determinăm tensiunile care solicită cele treifire.

    Cel mai convenabil este să  se scrie ecuaiile de momente faă  decele trei laturi ale triunghiului. Astfel, ecuaia de momente faă de laturaBC este:

    0'';0   =⋅−⋅=∑   − GGP AAS  M   AC  B  de unde:

    33

    '

    ' P

    h

    h

    P AA

    GGPS 

     A

     A

     A  ===  

    În mod analog, scriindu-se ecuaiile de momente faă de celelalte două laturi, se va obine:

    33

    '

    ' P

    h

    h

    P BB

    GGPS 

     A

     A

     B  ===  

    3

    3

    '

    ' P

    h

    h

    PCC 

    GG

    PS   A

     A

    C   ===

     

    6.2.5. Încastrarea

    O încastrare fixează corpul, anulând orice posibilitate de mişcare aacestuia. În cazul unui sistem de fore plane, o încastrare se va înlocui cuo reaciune de direcie şi mărime necunoscute, situată în planul forelor(sau cu cele două  componente X şi Y ale unei reaciuni) şi cu un

    moment de încovoiere perpendicular pe planul forelor.Dacă  avem fixarea unui corp tridimensional, în încastrare apar o

    reaciune de direcie şi mărime necunoscută şi un moment de direcie şimărime necunoscută  (sau trei componete ale unei reaciuni şi treicomponente ale unui moment) (fig.6.19).

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    19/35

      Sorin VLASE 19

     Exemplu: Se dă bara cotită încastrată şi încărcată cu fore concentrate ca în fig. 6.20. Să  se determine reaciunea şi momentul care solicită  încastrarea.Solu  ie: Se scriu ecuaiile de echilibru:

    0;0   =−=∑ P X  X   A  

    02;0  =−−=

    ∑ PPY Y  A  

    022;0   =⋅−⋅−⋅−=∑ aPaPaP M  M   A A Rezultă:

    P X  A  = , PY 

     A3= , Pa M 

     A5= .

    6.3. Legăturile reale ale unui rigid (cu frecare)

    6.3.1. Frecările solidului rezemat

    Să  considerăm un rigid rezemat pe o suprafaă  oarecare într-unpunct O numit punct teoretic de contact. Până  la acest capitol amconsiderat că  rigidul se sprijină  într-un punct şi nu avem frecări. Înrealitate, din cauza deformărilor, contactul se realizează pe o suprafaă.În afară de aceasta apar frecări, caracterizate prin coeficientul de frecare µ. Ca urmare a deformabilităii şi a frecărilor, la tendina de mişcare a

    corpului vor apărea fore şi momente de rezistenă  care se vor opunemişcării. Dacă  sistemul de fore se reduce în punctul de contact la o

    Fig.6.19

    Fig.6.20

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    20/35

      20 MECANICĂ. STATICA

    rezultantă  şi un moment rezultant, să studiem modul în care acestea potfi echilibrate de forele care apar în reazemul cu frecare. Componentanormală  apasă  rigidul pe suprafaa de contact fiind echilibrată  dereaciunea normală  N . Componenta  Rt   a rezultantei tinde să  deplasezecorpul în planul tangent, imprimându-i o mişcare de translaie. Acesteifore i se opune legătura prin o reaciune, datorată  frecărilor, numită  for  ă  de frecare de alunecare. Această  foră  respectă  legile frecăriiprezentate în cazul punctului material. Echilibrul se realizează atâta timpcât componenta  Rt   este inferioară  unei fore limită  de frecare.Experimental (vezi legile frecării în cazul punctului material) se constată că  acestă  foră  limită  este proporională  cu fora de apăsare normală.Echilibrul se realizează atâta timp cât:

     N  Rt   µ ≤   (6.9)

    Momentul rezultant aredouă componente:  M n orientată de-a lungul normalei şi caretinde să rotească corpul în jurulnormalei şi una în planultangent la suprafaă   M t . caretinde să rostogolească corpul peplanul orizontal.

    Mişcarea care estedeterminată  de componentanormală se numeşte mişcare depivotare. Acestei mişcări,datorită  deformabilităii

    corpurilor şi frecărilor care apar în punctul de contact, i seopune un moment, numitmoment de frecare de pivotare  (sau moment de pivotare). Se constată,experimental, că există echilibru când momentul după direcie normală este inferior unei valori limită, proporională  cu fora de apăsarenormală:

    rN  M  M  Pn   ≤=   (6.10)

    Fig.6.21. Legăturile cu frecareale rigidului rezemat

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    21/35

      Sorin VLASE 21

    Mărimea r   se numeşte rază  de pivotare şi, în anumite cazuri, careprezintă o regularitate suficientă, poate fi calculată.

    Mişcarea de rotaie determinată  de componenta momentului dinplanul tangent se numeşte rostogolire. Datorită deformabilităii corpului,la această  mişcare apare o opoziie, manifestată  printr-un moment,numit moment de frecare de rostogolire (moment de rostogolire). La felca la pivotare, experimental, se constată că avem echilibru atâta timp câtcomponenta tangenială a momentului este inferioară unei valori limită proporională  cu apăsarea normală:

    sN  M  M  r t    ≤=   (6.11)

    Mărimea s  poartă  numele, impropriu, de coeficient de frecare larostogolire şi semnificaia geometrică  a acestuia va fi relevată  în acestcapitol. 

    În cele ce urmează  se vor analiza mai pe larg motivele apariieiacestor fore şi a momente datorate frecărilor.

    Fig.6.22. Transportul unui colos egiptean. Relief pe un mormânt din Deir-el-

     Bercheh

    În fig. 6.22 se prezintă  o modalitate de scădere a coeficientului defrecare utilizată pentru transportul greutăilor foarte mari. Greutatea estetransportată pe un strat subire de argilă constituit în mod special, în faagreutăii. Pentru scăderea frecării acesta este udat în permanenă cu apă aşa după cum se poate vedea în figură.

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    22/35

      22 MECANICĂ. STATICA

     Aplica  ie: O bară omogenă de lungime L şi greutate G este împinsă, laun capăt cu o foră P. Să se determine P astfel încât bara să fie scoasă din echilibru (fig.6.23). Să se rezolve aceeaşi problemă în cazul în carefora nu mai acionează la capăt ci la distana f L de capăt.

    Soluie: Dacă bara apasă cu greutatea G pe sol, la contactul dintre bară şisol va apare o presiune pe unitatea de lungime:

     L

    G p  =  

    Împinsă cu fora laterală P bara se va roti în jurul unui punct situat ladistana a  de celălalt capăt. Vor apare frecări, opuse tendinei demişcare:

    dx L

    G pdxdF 

     f    µ  µ    ==  

    Ecuaia de echilibru a forelor după direcia de aciune a forei P dă:

    00

      =+−

    ∫∫

    a L

    a

     pdx pdxP   µ  µ   

    )2()2()( a L L

    Ga L p paa L pP   −=−=−−=   µ  µ  µ  µ   

    dacă  [ ] La ;0∈   şi GP   µ = , dacă  a se află  în afara acestui interval.Ecuaia de momente faă de punctul în jurul capătului barei dă:

    ∫ ∫   =+− L

    a

    a

     xpdx xpdxPL0

    0 µ  µ   

    022

    222

    =+−− a pa L pPL   µ  µ  .

    Fig.6.23

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    23/35

      Sorin VLASE 23

    Înlocuind pe P cu valoarea obinută anterior, considerând că a se găseşte între cele două capete ale barei, se obine:

    024 22 =+− aaL L ,de unde:

     

     

     ±=±=

    −±=

    2

    21

    2

    2

    2

    242 222,1  L L L

     L L La  

    semnificaie fizică având soluia cu minus întrucât am presupus că a segăseşte între capetele barei. Dacă introducem această valoare în expresialui P se obine:

    GG L L L

    Ga L

     L

    GP   µ  µ  µ  µ  41,0)12()]

    2

    21(2)2(   ≅−=

    −−=−=  

    adică mai puin de jumătate decât fora necesară  pentru târâre directă.Rezultatul obinut este utilizat în practică la transportarea greutăilor (înfig. 6.24 este prezentată  o reconstituire a modalităii de transport astatuilor(moai) în insula Paştelui, după [1]).

    Dacă  fora P acionează  la distana  fL  faă  de capătul barei seobine pentru ecuaia de echilibru după direcia de aciune a forei P:

    00

      =+− ∫∫a L

    a pdx pdxP   µ  µ   

    )2()2()( a L L

    Ga L p paa L pP   −=−=−−=   µ  µ  µ  µ   

    dacă  [ ] La ,0∈   şi GP   µ = , dacă  a se află  în afara acestui interval.Ecuaia de momente faă de punctul în jurul capătului barei dă:

    ∫ ∫   =+−− L

    a

    a xpdx xpdx f PL

    00)1(   µ  µ   

    022

    )1(222

    =+−

    −−a

     pa L

     p f PL   µ  µ  .

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    24/35

      24 MECANICĂ. STATICA

    Fig.6.24. Transportul statuilor în Insula Pa ştelui (reconstituire J.P.Adam)

    Înlocuind pe P cu valoarea obinută anterior se obine:02442 222 =++−− aafLaL f  L L  

    de unde:

    =+−−±−

    =2

    42)1(4)1(2 22222,1

     f  L L f  L f  La  

    2

    )21(1)1(

     f  L f  L  −+

    ±−=  

    semnificaie fizică  având soluia cu minus. Dacă   f = 0,5 , punctul derotire se obine la capătul barei. De fapt, în acest caz, când P acionează la mijlocul barei, se poate verifica că  orice punct aflat pe axa barei şisituat în afara ei poate fi punct de rotaie, verificând ecuaiile deechilibru, deci în acest caz problema este nedeterminată.

    Variatia punctului de rotire functie de

    punctul de aplicatie al fortei

    0

    0,05

    0,1

    0,15

    0,2

    0,25

    0,3

    0,35

    0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

    Pozitia punctului de aplicatie a fortei in %L

       P  o  z   i   t   i  a  p  u  n  c   t  u   l  u   i   d  e

      r  o   t  a   t   i  e   %   L

     Fig.6.25.

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    25/35

      Sorin VLASE 25

    6.3.2. Patrulaterul frecărilor

    Să  considerămurmătoareaproblemă: o bară omogenă, deseciuneconstantă, delungime 2L şigreutate G sesprijină  pe doiperei, ca în fig.

    6.26. Să  sedetermine cât de înclinată poate fi aşezată bara astfel încât să rămână în echilibru.Solu  ie. Dacă avem frecări, reaciunile în A şi B trebuie să se găsească îninteriorul conului de frecare, care în acest caz plan se reduce la un unghi2φ  unde φ  este unghiul de frecare. Având trei fore, bara rămâne înechilibru dacă cele trei fore sunt concurente. Intersecia laturilor celordouă  unghiuri determină  un patrulater care se numeşte patrulaterul

    frecărilor.Dacă  suportul greutăii trece prin interiorul acestui patrulater,

    luând un punct oarecare de pe acest suport, care se găseşte în interiorulpatrulaterului frecărilor, unind acest punct cu punctele de sprijin A şi Bse obin două direcii.Cum o foră  poate fi descompusă  întotdeauna după  două  direcii, sepoate descompune greutatea G după 

    cele două  direcii determinateanterior. Cele două  componente vorreprezenta reaciunile în A şi B.Întrucât construcia se poate facepentru orice punct care se găseşte înpatrulaterul frecărilor rezultă condiiade echilibru: verticala punctului încare acionează greutatea G trebuie să 

    intersecteze patrulaterul frecărilor.Bara se va mişca atunci când suportul

    Fig.6.26

    Fig.6.27

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    26/35

      26 MECANICĂ. STATICA

    greutăii va ieşi din patrulaterul frecărilor. La limită  acest lucru se întâmplă  atunci când în vârful cel mai din stânga al patrulateruluiintersectează  suportul greutăii. Triunghiul BMA este dreptunghic. Înacest caz, întrucât mediana împarte triunghiul dreptunghic în triunghiuriisoscele, rezultă: ( ) ( )CMACAM   =

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    27/35

      Sorin VLASE 27

    corpului şi a altor cauze, punctul de contact teoretic al cilindrului devineo zonă de contact unde apare o presiune variabilă a cărei torsor se reducela o normală care, pentru a asigura echilibrul momentelor, va trebui să acioneze la o distană s în faa punctului teoretic de contact.

    În acest caz ecuaiile de echilibru vor fi:

    =−=

    =−=

    =−=

    ∑∑∑

    0;0

    0cos;0

    0sin;0

    r C  M  RT  M 

    G N Y 

    T G X 

    α 

    α 

     

    la care se adugă relaiile empirice:sN  M  N T 

    r   ≤≤ ; µ    (6.12)

     În cazul în care echilibrul se rupe datorită  nerespectării uneia dinrelaiile empirice menionate, putem avea următoarele cazuri:

    a) corpul se rostogoleşte, f ără  să alunece: α cossGsN  M r 

      ==   ; N T    µ ≤  

    =−

    =−

    0cos0sin

    α α sG RT 

    T G  

    Condiia ca fora de aderenă  să  fie inferioară  forei limită  de frecareduce la:

    α ϕ  µ α  µ  µ α  tantan;cossin   ≥==≤= G N T G  

    adică unghiul de frecare trebuie să fie inferior unghiului de înclinare alplanului înclinat. Adunând cele două ecuaii rezultă:

    0cossin   =−   α α  R

    de unde se deduce unghiul pentru care începe să  aibă  loc rostogolireaf ără alunecare:

     Rs=α tan   (6.13)

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    28/35

      28 MECANICĂ. STATICA

    Deci dacă avem condiia: R

    s>>   α  µ  tan  avem rostogolire f ără alunecare.

    b) în cazul rostogolirii cu alunecare:

    α  µ  µ α  cos;cos G N T sGsN  M r 

      ====  

    Condiiile de echilibru devin:

    0cossin   =−   α  µ α  GG  0coscos   =−   α α  µ  sG RG  

    Rezultă  condiiile ca cilindrul să  se rostogolească  şi în acelaşi timp să alunece:

     µ α α    >> tan;tan R

    s  (6.14)

    c) în cazul când corpul alunecă f ără să se rostogolească, avem:

    ;cosα sGsN  M r 

      =≤   α  µ  µ  cosG N T    == .

    =−

    =−

    0

    0cossin

    r  M  RT 

    GG   α  µ α  

    Rezultă condiiile de alunecare f ără rostogolire:

     µ α   >> tan R

    s  (6.15)

    condiii care pentru materialele uzuale sunt greu de îndeplinit înpractică, pentru majoritatea situaiilor frecarea de rostogolire fiind maimică decât frecarea de alunecare.

    6.3.4. Frecarea de pivotare

    Frecarea de pivotare. Pivotul nou. Să  considerăm o macaraschematizată ca în fig. 6.29.a. În punctul A există un lagăr radial-axial

    iar în B un lagăr radial. În fig. 6.29.b este prezentat lagărul axial-radial.Toată  greutatea macaralei şi a sarcinii ridicate apasă  asupra lagărului

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    29/35

      Sorin VLASE 29

    determinând o presiune  p pe care, în primă  aproximaie, o considerămconstantă. Deoarece, în ciuda ungerii care se face unui lagăr, există 

    frecare, coeficientul de frecare fiind µ  , la rotirea macarelei în jurulaxei va apare o rezistenă datorată momentului frecărilor care apar între

    axul macaralei şi lagăr. Acest moment reprezintă momentul de pivotare,iar la rotaia macaralei el va avea valoarea limită precizată anterior. Dacă se cunosc dimensiunile lagărului (raza  R), greutatea macaralei şi asarcinii Q, coeficientul de frecare µ , acest moment de pivotare poate ficalculat.

    Astfel, dacă  se consideră  osuprafaă  infinitezimală  dS cusimetrie circulară, fora de apăsare

    dN   care se exercită  asupra acesteisuprafee va fi:

    rdr  R

    Q

     R

    rdr Q pdS dN 

    22

    22===

    π 

    π   (6.16)

    Datorită  acestei apăsări, la rotaiapivotului în jurul axei, vor apărea

    fore de frecare distribuite în sens

    a. b.

    Fig.6.29

    Fig.6.30

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    30/35

      30 MECANICĂ. STATICA

    contrar direciei de mişcare, deci tangente unui cerc concentric cuseciunea prin pivot. Mărimea acestor fore infinitezimale va fi:

    rdr  R

    Q

    dN dF  f  22

     µ  µ    ==   (6.17)

    Aceste frecări vor determina apariia unui moment infinitezimal dM  f ,care se va opune mişcării:

    dr r  R

    QrdF dM 

     f  f 

    2

    2

    2 µ ==   (6.18)

    Momentul de pivotare se obine prin însumarea tuturor acestormomente:

    Q R R

     R

    Qdr r 

     R

    QrdF dM  M 

     R R

     f  f P   ⋅===== ∫∫∫   µ  µ  µ  32

    3

    22 3

    20

    2

    20  (6.19)

    Dacă se consideră că momentul de pivotare este proporional cu fora deapăsare normală, se poate obine raza de pivotare r P care este dată de:

    Q RQr  N r  M  PPP   ⋅===   µ 3

    2  (6.20)

    deci:  Rr P   µ 3

    2= . (6.21)

    În realitate, din cauza jocurilor care există în lagăr, are loc o uzură 

    a acestuia care face ca distribuia presiunilor să  nu mai fie uniformă (fig.6.31). Deoarece suprafaele aflate în contact se reduc şi,concomitent, apăsarea nu mai este uniformă, va rezulta că presiunea vacreşte mult în acest caz putând duce la distrugerea pivotului (prinstrivirea lui). În acest caz, prin înlăturarea centrului pivotului prinprelucrare mecanică  (fig.6.31), se uniformizează  presiunile dintresuprafeele în contact şi se evită fenomenul distrugerii. În acest caz vorcreşte presiunile şi momentul de pivotare. Calculul se face în mod

    analog ca la cazul precedent, cu diferena că limitele de integrare vor fi între R1 şi R2 iar presiunea de apăsare:

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    31/35

      Sorin VLASE 31

    )( 2122  R R

    Q

    Q p

    −==π 

    . (6.22)

    Momentul de pivotare va fi atunci:

    ∫∫∫   =−

    ===2

    1

    2

    21

    22

    0

    2  R R

     R

     f  f P dr r  R R

    QrdF dM  M    µ   

    Q R R R R R R

     R RQ ⋅

    =

    −= 2

    122

    3

    1

    3

    2

    3

    1

    3

    221

    22 3

    232  µ  µ    (6.23)

    iar raza de pivotare:

    12

    2

    121

    2

    2

    21

    22

    31

    32

    32

    3

    2

     R R R R R R

     R R

     R Rr P

    +

    ++=

    =−

    −=

     µ 

     µ 

     (6.24)

    Pivotul uzat . În cazul în carepivotul se uzează, distribuiapresiunilor nu mai este uniformă (fig.6.32). Să  încercăm în acestcaz să determinăm momentul de

    pivotare, dacă  se presupune că distribuia presiunilor urmează o lege de forma:

    Fig.6.31

    Fig.6.32

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    32/35

      32 MECANICĂ. STATICA

    r  p

      α =   (6.25)

    Constanta α se determină din condiia ca suma presiunilor să fie egală cufora de apăsare normală Q:

    )(22 122

    1

     R Rdr  pdS Q R

     R−=== ∫∫   πα πα   

    de unde:

    )(2 12  R R

    Q

    −=

    π α  .

    În acest caz avem:

    dr r 

    dr r  pdS dN    α π 

    π α 22 ===   (6.26)

    Frecarea care acionează asupra suprafeei dS este:

    dr dN dF  f    µα π  µ  2==   (6.27)

    iar momentul forelor de frecare dM  f :rdr F r dM   f  f    µα π 2=⋅= . (6.28)

    Momentul de pivotare se obine prin însumare:=== ∫∫

    2

    1

    2 R

     R f P rdr dM  M    µα π   

    )(

    )(

    )(2

    )(2

    22

    12

    21

    22

    12

    21

    22

    21

    22

     R R

     R RQ

     R R

     R RQ R R

    −=

    −=

    −=   µ 

    π πµ  µα π    (6.29)

    iar raza de pivotare va fi:

    ( )12  R Rr P   += µ    (6.30)

     Aplica  ie. Să se determine momentul de pivotare pentru un pivot conic(fig. 6.33).Echilibrul pivotului după axa verticală duce la relaia:

    ∑   =∆ Q N    α sin  Presiunea care se exercită asupra suprafetei de contact a pivotului este:

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    33/35

      Sorin VLASE 33

    ;)()(

    sin

    sin 2122

    21

    22  R R

    Q

     R R

    Q

     N  p

    −=

    −=

    ∆= ∑

    π π 

    α 

    α  

    Suprafaa unui inel infinitezimal de

    formă tronconică este:π 

    sin2

    dr r dS  =  

    iar fora de apăsare normală  dN   peacest inel este:

    α π 

    sin2

    dr r  p pdS dN    == . 

    Fora de frecare dF  f  care apare pe

    acest inel infinitezimal la rotireapivotului este:

    α πµ  µ 

    sin2

    dr r  pdN dF 

     f   ==  

    iar momentul la răsucire produs de această foră:

    πµ  µ sin

    2 2dr 

    r  prdN rdF dM  f  f   ===  

    Momentul de pivotare se obine prin însumarea tuturor momenteleorinfiunitezimale, deci:

    Q R R

     R R R R R R

     pdr r 

     pdM  M 

     R

     R

     f  p )(sin3

    )(2)(

    sin3

    2

    sin

    2

    21

    2121

    223

    132

    2

    1

    2

    +

    ++=−=== ∫∫   α 

     µ 

    α 

    πµ 

    α 

    πµ  

    cu raza de pivotare:)(sin3

    )(2

    21

    2121

    22

     R R

     R R R Rr  p

    +

    ++=

    α 

     µ .

    6.3.5. Frecarea firelor

    Frecarea firelor reprezintă  un caz important în practică  prinaplicaiile sale. Acest tip de frecare apare atunci când firul alunecă pesteo roată fixă, sau roata se roteşte iar firul rămâne fix. Frecarea care apareeste foarte mare iar dacă  unghiul la centru a poriunii peste care se înf ăşoară  firul este mare, poate duce chiar la frânarea elementului înmişcare (fir sau roată).

    Fig.6.33. Pivot conic

    PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    34/35

  • 8/18/2019 Capitol Ul 06

    35/35

      Sorin VLASE 35

    Unghiul ϕ d    fiind foarte mic se poate face aproximaia

    02

    sin;12

    cos   ≅≅  ϕ ϕ  d d 

      iar infiniii mici de ordinul doi pot fi neglijai

    022sin  ≅=   ϕ ϕ  d dT d dT  . Ecuaiile de echilibru limită devin:

    ;0

    ;0

    =−

    =−

    ϕ Td  N 

     N dT  

    de unde rezultă:;0=−   ϕ  µ Td dT   

    sau:

    ;ϕ  µ d T 

    dT 

    =  Integrând ecuaia se obine:

    ;ln0

    α ϕ  µ =

    P

    QT   

    sau:

    ;ln   µα =Q

    rezultând legătura dintre P şi Q:

    . µα QeP  =  Formula poartă  numele de formula lui Euler pentru frecarea firelor.Relaia obinută  arată  o creşterea foarte puternică  a forei P funcie deunghiul de înf ăşurare. Acest lucru justifică existena unei aplicaii foarteimportante şi anume frâna cu bandă.