capitol ul 06

8/18/2019 Capitol Ul 06

1/35

Sorin VLASE 1

Capitolul 6

ECHILIBRUL RIGIDULUI

6.1. Echilibrul rigidului liber

Condiia necesară şi suficientă pentru ca un rigid, asupra căruiaacionează un sistem de fore, să fie în echilibru, este ca torsorulsistemului de fore să fie egal cu zero (rezultanta şi momentul calculat într-un punct arbitrar să fie nule).

0;0 == O M Rr r

(6.1)Un rigid este liber dacă poate ocupa orice poziie în spaiu f ără constrângeri de natură geometrică. Rezultă că poziia pe care o va ocuparigidul va depinde în mod exclusiv de sistemul de fore care acionează asupra sa. Întrucât avem relaiile:

∑∑ ∑ === OiiOi M F xr M F Rr r

r

r r r

; (6.2)

rezultă că putem scrie condiiile de echilibru sub forma:

0;0 == ∑∑ Oii M F r r

(6.3)

sau, dacă considerăm proieciile pe axele unui sistem de coordonatecartezian:

=

=

=

=

=

=

∑∑∑

∑∑∑

0

00

;

0

00

Ozi

Oyi

Oxi

i

i

i

M

M M

Z

Y X

(6.4)

Condiiile de echilibru ale unui rigid care poate să ocupe orice poziie înspaiu este determinat de şase ecuaii scalare. Întrucât poziia unui rigid în spaiu este determinată în general de şase parametrii, va rezulta că,

dacă se cunoaşte sistemul de fore care acionează asupra rigidului, dinecuaiile de echilibru se poate determina poziia de echilibru a acestuia.

PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

http://www.docudesk.com/http://www.docudesk.com/

8/18/2019 Capitol Ul 06

2/35

2 MECANICĂ. STATICA

Menionăm că al doilea set de ecuaii, care exprimă condiia camomentul calculat într-un punct să fie nul, poate fi înlocuit de un setcare exprimă condiia ca momentul calculat faă de trei axe neparalele să fie nul. Sau se pot lua două ecuaii din set cu o condiie ca momentulfaă de o axă să fie nul. Sau se poate lua o ecuaie din setul de ecuaii demomente cu condiia ca momentul faă de două axe neparalele să fie nul.Există şi posibilitatea înlocuirii unor ecuaii din primul set(rezultantanulă) cu ecuaii de momente faă de un alt punct.Cazuri particulare: Sistem de for e coplanare. Se presupune că planul încare acionează forele este Oxy (ceea ce nu particularizează problema).În acest caz relaiile:

∑∑∑ === 0;0;0 OyiOxii M M Z

sunt identic satisf ăcute şi rămân de îndeplinit condiiile:

∑∑∑ === 0;0;0 Oziii M Y X (6.5)

Deci în cazul unui sistem de fore acionând într-un plan sunt disponibile

trei ecuaii de echilibru care permit determinarea a trei parametrii caredefinesc poziia rigidului în acest caz.

Sisteme de for e paralele. Dacă se alege axa Oz ca fiind paralelă cuforele (lucru care nu particularizează problema) , relaiile:

∑∑∑ === 0;0;0 Oziii M Y X

sunt identic satisf ăcute şi atunci rămân de îndeplinit trei condiii deechilibru:

∑∑∑ === 0;0;0 OyiOxii M M Z (6.6)

Sisteme de for e concurente. Dacă se alege punctul în care calculămmomentul ca fiind punctul de concurenă relaiile:

∑∑∑ === 0;0;0 OziOyiOxi M M M


8/18/2019 Capitol Ul 06

3/35

Sorin VLASE 3

sunt identic satisf ăcute în acest punct şi atunci rezultă că, în acest caz,condiia de echilibru impune ca numai rezultanta sistemului de fore să fie nulă (dacă momentul este nul într-un punct atunci el este nul în oricepunct):

∑∑∑ === 0;0;0 iii Z Y X (6.7)

adică condiiile de echilibru se reduc la trei. Dacă este vorba de foreconcurente în plan ecuaiile de echilibru se reduc la două.

Sisteme de cupluri. În acest caz rezultanta sistemului de fore caredefinesc sistemul de cupluri este nulă deci relaiile:

∑∑∑ === 0;0;0 iii Z Y X

sunt identic satisf ăcute şi atunci rămâne de îndeplinit condiia camomentul rezultant să fie nul:

∑∑∑ === 0;0;0 OziOyiOxi M M M (6.8)

6.2. Echilibrul rigidului supus la legături ideale (f ără frecare) 6.2.1. Legăturile rigidului

La fel ca şi în cazul punctului material, în cazul rigidului supus lalegături se utilizează axioma legăturilor pentru a înlocui constrângerileprin fore cu efect mecanic echivalent. Sub aciunea forelor exterioareşi de legătură putem considera că avem de-a face cu un rigid liber iarecuaiile de echilibru care se vor scrie vor fi (6.1) cu completarea că la

forele exterioare în ecuaii se adaugă şi forele de legătură. Dacă încazul unui rigid liber erau nevoie de şase parametrii independeni pentrua-i descrie poziia de echilibru, în cazul unui rigid supus la legături,acestea suprimă anumite posibilităi de mişcare ale rigidului şi, caurmare, numărul de parametrii independeni pentru descrierea poziiei deechilibru va scădea. În schimb vor apărea fore de legătură necunoscute.Dacă numărul de fore de legătură şi numărul de parametrii independeninecesari pentru descrierea poziiei în spaiu este de şase, problema

determinării poziiei de echilibru şi a necunoscutelor fore de legătură este, în general, determinată (există totuşi cazuri în care este


8/18/2019 Capitol Ul 06

4/35


nedeterminată sau imposibilă). Dacă numărul necunoscutelor reaciuni împreună cu numărul de parametrii independeni pentru descriereapoziiei de echilibru este mai mare de şase problema este nedeterminată iar dacă este mai mic problema este imposibilă (corpul nu poate rămâne în echilibru, trebuie considerate în acest caz ecuaiile de mişcare).

În aplicaiile tehnice se întâlnesc cu precădere câteva tipuri delegături care vor fi descrise în cele ce urmează.6.2.2. Reazemul simplu

În cele ce urmează considerăm un rigid care se sprijină pe osuprafaă rigidă, f ără frecări.Suprafaa corpului şi suprafaa pecare stă vor fi în contact într-un

punct prin care se poate duce unplan tangent la cele două suprafee.Tot în punctul de contact se poateduce normala comună la cele două suprafee. Rigidul considerat estedeci împiedecat, datorită suprafeeipe care se sprijină, să se deplasezedupă o direcie normală la

suprafeele în contact, în punctulconsiderat. În acest caz se poate înlocui reazemul cu o foră normală lacele două suprafee, care va împiedeca rigidul să trecă prin suprafaa desprijin. Mărimea acestei reaciuni trebuie să fie atât cât să împiedeceorice mişcare după direcie normală a rigidului (Efectul mecanic alconstrângerii şi al forei de reaciune să fie acelaşi). În fig. 6.1 esteprezentat un rigid rezemat într-un punct. Datorită faptului că deplasareadupă o direcie este împiedecată, pentru descrierea poziiei unui rigid vor

fi necesari numai 5 parametrii scalari dar va interveni în plus onecunoscută, fora de legătură normală. Un reazem deci va scădeanumărul de parametrii independeni necesari pentru descrierea poziieirigidului cu o unitate dar va introduce în plus o necunoscută, valoareaforei de reaciune. În general, probleme în care apar reazeme suntdeterminate dacă numărul acestora nu este prea mare.

În cazul în care sprijinul se face pe o suprafaă care are în punctulde contact punct singular (un vârf sau un col) sau în cazul în care

rigidul are un punct singular care este punctul de contact cu suprafaafixă, atunci direcia reaciunii este determinată de normala la cealaltă

Fig.6.1.Reazem simplu


8/18/2019 Capitol Ul 06

5/35

Sorin VLASE 5

suprafaă (a rigidului sau a planului de sprijin). În fig. 6.4 suntprezentate aceste două cazuri: în punctul A rigidul are un col care sesprijină pe suprafaa verticală care va determina direcia reaciuniinormale N A iar în punctul B suprafaa de sprijin are un col pe care sesprijină suprafaa barei. În acest caz normala la suprafaa barei vadetermina direcia reaciunii N B.

În fig.6.2 sunt f ăcute reprezentări tehnice ale reazemelor. În fig.6.2.a este reprezentat un reazem care împiedecă deplasarea după odirecie, dar numai într-un sens, încelălalt corpulputându-se deplasa

(legătură unilate-rală). În fig. 6.2.b.este reprezentată legătura bilaterală, în care este împiedecată depla-sarea în ambelesensuri ale corpu-

lui, după direciaconsiderată.

O aplicaie simplă este prezen-tată în fig. 6.3 când o bară orizontală este sprijinită pe două reazeme şi este încărcată cu foreacionând vertical. Ne punemproblema determinării reaciunilor

care apar în reazeme. După direciabarei nu acionează fore, deciecuaiile de echilibru după axa Ox sunt identic satisf ăcute.

Se scriu ecuaiile de echilibru după direcia forelor:

02;0 =−+−=∑ P N P N Y B A

şi ecuaia de momente în punctul A:

Fig.6.2. Legături unilaterale şi bilaterale

Fig.6.3


8/18/2019 Capitol Ul 06

6/35


0322;0 =⋅−⋅+⋅−=∑ aPa N aP M B A Ecuaia de momente ne dă imediat:

P N B

2

5=

de unde, introducând în suma proieciilor după axa Oy, se va obine:

P N A 2

1=

Aplica ii: 1. O bară omogenă de lungime 2L, de seciune constantă şi degreutate G se sprijină pe doi perei aflai la distana a ca în fig.6.4. Să sedetermine unghiul f ăcut de bară cu orizontală în momentul echilibrului

Soluie: Se înlo-cuiesc reazemeledin A şi B cuforele de legătură corespunzătoare(normale la supra-faă în punctul decontact). Scriemecuaiile de echili-bru:

0sin;0 =−=∑ α B A N N X 0cos;0 =−=∑ G N Y B α

0cos;0 =−⋅=∑ α GL AB N M B A unde:

α cosa AB =

Din ecuaia a doua rezultă:

α cos

G N

B =

şi înlocuind în ecuaia de momente (a treia) se obine:

Fig.6.4

Fi .6.5


8/18/2019 Capitol Ul 06

7/35

Sorin VLASE 7

0coscoscos

=−⋅ α α α

GLaG

sau:

3cos L

a=α

Deoarece trebuie să avem 1cos ≤α rezultă că pentru a avea echilibrutrebuie ca La ≤ adică centrul de greutate al barei să se găsească îndreapta punctului de sprijin B. În caz contrar (fig.6.5) bara va cădea întrecei doi perei indiferent sub ce unghi α va fi aşezată.

Echilibrul barei este un echilibru instabil întrucât, dacă o scoatemdin poziia de echilibru, ea va cădea, sau între cei doi perei, sau peplanul orizontal.

Solu ia grafică a problemeise obine în felul următor: cele treifore trebuie să fie concurente(momentul zero) şi sumavectorială a lor trebuie să fie zero(rezultanta zero) (fig.6.6). Dinfig.6.6 rezultă:

α α coscos L AC AP == α α 2coscos L AP AB ==

dar:α α coscos

a AD AB ==

Egalând cele două expresii obinute pentru AB se obine:

α α

2coscos

La

=

deci:

3cosl

a=α

2. O bară omogenă, cu seciune constantă, lungime 2L şi greutate G este

aşezată într-o cavitate semisferică de rază R (fig.6.7). Să se determinepoziia de echilibru a barei (unghiul α).

Fig.6.6


8/18/2019 Capitol Ul 06

8/35


Solu ie: Se înlocuiesc reazemele din A şi B cu reaciuni normale lasuprafaa semisferei, respectiv a barei. Triunghiul OAB este isoscel(OA=OB) deci unghiul f ăcut de N A cu bara este α iar unghiul f ăcut de N Acu orizontala este 2 α. N B este perpendiculară pe bară deci face cuverticala unghiul α (unghiuri cu laturile perpendiculare). Ecuaiile deechilibru vor fi:

0sin2cos;0 =−=∑ α α B A N N X 0cos2sin;0 =−+=∑ G N N Y B A α α

0cos;0 =−⋅=∑ α GL AB N M B

A

Din triunghiul ABD rezultă: α cos2 R AB = . Din prima ecuaie scoatem N A:

α

α

2cos

sin B A

N N =

şi înlocuim în a doua. Rezultă, succesiv:

G N N B B =+ α α

α

α cos2sin

2cos

sin

G N B =

+

α

α α α α

2cos

2coscos2sinsin

G N B =

−

α

α α

2cos

)2cos(

de unde:

α

α

cos

2cosG N B =

Fig.6.7


8/18/2019 Capitol Ul 06

9/35

Sorin VLASE 9

Înlocuind N B în ecuaia de momente, se obine ecuaia trigonometrică:

0cos2cos2 =− α α L R

(soluia 0cos =α nu convine). Relaia obinută se mai poate scrie:

0cos)1cos2(2 2 =−− α α L R

Cu notaia α cos=t se obine ecuaia de gradul doi:

024 2 =−− Rt Lt R

cu singura soluie convenabilă:

R

R L Lt

8

32cos

22++

== α

Condiia 1cos ≤α duce la: R R L L 832 22 ≤++ sau, după efectuarea calculelor: L R ≤2 adică bara trebuie să fie mai lungă decâtdiametrul semisferei pentru ca problema să fie posibilă.

Echilibrul realizat este stabil, adică dacă scoatem bara din poziiade echilibru adăugând la α o cantitate mică, ea va tinde să revină înpoziia de echilibru.

Solu ia grafică impune, la fel ca la problema precedentă, ca cele treifore să fie concurente şi sumavectorială a lor trebuie să fiezero. Dacă presupunem că I este

punctul de intersecie al forelor N A şi N B, întrucât OA=OB= R iartriunghiul IAB este dreptunghicrezultă şi OI= R (fig.6.8).Condiia ca şi G să treacă prin Iduce la condiia ca triunghiurileIBC şi IAB să fie asemenea, deunde se obine:

AB IB

IB BC =

Fig.6.8


8/18/2019 Capitol Ul 06

10/35


Întrucât:

α α sin2;cos2 R IB R AB == ;cos2 L R AC AB BC −=−= α

rezultă:

α

α

α

α

cos2

sin2

sin2

cos2

R

R

R

L R=

−

de unde:02coscos4 2 =−− R L R α α

adică aceeaşi ecuaie trigonometrică ca cea obinută prin scriereaecuaiilor de mişcare.

3. Să considerăm acum o bară obligată să rămână într-o poziie impusă (fig.6.9) şi să determinăm forelecare apar în acest caz în legături(reazeme). Rezolvarea unor problemecare impune determinarea unor foresunt mult mai simple întrucât implică numai ecuaii sau inecuaii lineare.

Să considerăm că bara are greutateaG, este omogenă şi are lungimea 2L.Cavitatea în care trebuie să stea baraare lărgimea a şi înălimea h.

Întrucât avem o problemă plană, ecuaiile de echilibru vor fi:

∑ =−= 0sin;0 α B A N X X 0cos;0 =+−=

∑ α

B A

N GY Y

0coscos

;0 =⋅−⋅=∑ α α

LGa

N M B A

de unde, după calcule simple, se obine:

22

2cosha

LaG

a

LG N

B+

== α

Fig.6.9


8/18/2019 Capitol Ul 06

11/35

Sorin VLASE 11

( )322sin

ha

LahG N X

B A

+

== α

( ) ( )

+−=

+−=−= 322

2

322

2

1cos ha

La

Gha

La

GG N GY B A α

Problema poate fi rezolvată şi grafic în felul următor: greutatea Gşi reaciunea în B au direcii şi punct de aplicaie cunoscute. Interseciadreptelor suport a celor două fore ne dă punctul I. Reaciunea în Atrebuie să treacă prin I, deci vaavea direcia indicată în fig.6.9.b.Mărimea ei va fi determinată

construind triunghiul format decele trei fore, în care G estecunoscută şi de asemenea direciileforelor NB şi R.Avem

;sin

;cosα

CB IC L

aCB =−=

,sin LCD = deci:

.sinsinsincos α α α α

L LaCD IC ID +−=+= Unghiul beta format de

reaciunea în A cuorizontala este:

α α α α α

α α α α β tg

L

a

L

L La

AD

IDtg +−=

+−

==cossin

1

sincoscos

sinsinsincos

2

6.2.3. Articulaia

O articulaie este olegătură dintre două corpuri care permiterotaiile unuia dincorpuri în raport cucelălalt. În cazulgeneral este posibil ca

Fig.6.10.a

Fig.6.9.b


8/18/2019 Capitol Ul 06

12/35


mişcarea unui corp în raport cu altul, dacă cele două au un punct fix, să fie definită prin intermediul a trei rotaii. În tehnică există două feluri dearticulaii, numite cilindrică şi sferică. Articulaia cilindrică permiterotaia în jurul unei axe, în timp ce rotaia sferică permite rotaia în jurula trei axe. O legătură simplă între două corpuri care să permită rotaii în jurul a trei axe nu este cunoscută. Constructiv, există mai multe moduride realizare a unor astfel de legături între două corpuri, legături care potsuprima şi alte posibilităi de mişcare a unui corp faă de celălalt. Înconti-nuare vom prezenta câteva modalităi tehnice de a realiza legăturiprin articulaii cilindrice şi sferice şi forele de legătură pe care leimplică aceste cuple cinematice.

Articulaia cilindrică cu fixare axială permite numai rotaia unui

corp în jurul uneiaxe. Ea blochează cinci posibilităide mişcare alecorpului şi, caurmare, conformaxiomeilegăturilor, poate

fi înlocuită cu treicomponente ale unei reaciuni şi cu două componente ale unui momentperpendicular pe axa de rotaie. Realizarea tehnică a unei astfel dearticulaii este prezentată în fig.6.10.a.

În cazul în care mişcarea corpului se face într-un plan avemsituaia reprezentată în fig. 6.10.b, când apar numai două componenteale unei reaciuni, rotaia în jurul unei axe perpendiculară pe plan fiindliberă.

Fig.6.10.b


8/18/2019 Capitol Ul 06

13/35

Sorin VLASE 13

Dacă nu avem fixare axială avem o articulaie cilindrică carepermite rotaia în jurul axei articulaiei dar şi translaia după o direcie

determinată de articulaie. În acest caz sunt blocate patru posibilităi demişcare ale unui corpşi, conform axiomeilegăturilor, pot fiintroduse două componente ale uneifore perpendiculare peaxa de rotaie şi

translaie şi două componente ale unuimoment. În figura6.11.a este prezentată realizarea tehnică a unei astfel de situaii.Mecanic, situaia este similară în cazul utilizării unui rulment cu role(fig.6.11.b).

Un rulment cu bile împiedică translaiile după două direciipermiând trei rotaii şi o translaie. Conform axiomei legăturilor el

poate fi înlocuit cu două componente ale unei fore perpendiculare peaxa arborelui (corespunzător celor două translaii împiedicate) (fig.6.12).Întrucât sunt permise toate trei rotaiile avem de-a face cu o articulaiesferică, având în plus o posibilitate de translaie de-a lungul unei axe.

Fig.6.11

Fig.6.12


8/18/2019 Capitol Ul 06

14/35


În figura 6.13 este prezentată o articulaie sferică, care împiedică orice posibilitate de translaie a corpului. Aceată articulaie sferică poatefi înlocuită cu trei componente ale unei reaciuni. Din punct de vedere

mecanic (al posibilităilor de mişcare şi al reaciunilor, articulaia sferică din fig.6.13.a este echivalentă cu legătura cu frecare dintre o roată şi sol(fig.6.13.b), atâta timp cât neplasăm în domeniul de aderenă alroii şi există contact între roată şisol.

Exemple. E1. Să considerăm cazulfoarte simplu al unei barearticulată într-un punct A şirezemată în B, de lungime 3a şi încărcată cu forele P şi 2P , ca în fig. 6.14. Ne punem problemadeterminării reaciunilor în A şi B.În conformitate cu axiomalegăturilor, articulaia din A se înlocuieşte cu două fore A X şi AY iarreazemul cu o reaciune normală B N . Avem o problemă plană şi în acestcaz ecuaiile de echilibru pot fi scrise sub forma:

0;0 =+−=∑ P X X A 0;0 =−+−=∑ P N PY Y B A

032

;0

=⋅−⋅+⋅−

=∑

aPa N aP

M

B

A

Rezultă imediat: P X A = , P N

B2= , 0=

AY

Fig.6.14

Fig.6.13


8/18/2019 Capitol Ul 06

15/35

Sorin VLASE 15

E2. Să considerăm bara articulată din fig.6.15, meninută în poziie înclinată, prin intermediul unui fir, de greutatea P. Ne propunem să determinăm poziia de echilibru a barei (unghiul 2α ), dacă lungimea eieste 2L, greutatea G iar AB = AC.

După izolarea barei şi introducerea forelor de legătură ca înfig.6.15 (articulaia se înlocuieşte cu două componente ale uneireaciuni) se pot scrie ecuaiile de mişcare:

0cos;0 =−=∑ A X S X α 0sin;0 =+−=∑ AY GS Y α

02sincos2;0 =−⋅=∑ α α GL LS M A

Tensiunea din fireste egală cu P şi atuncirezultă ecuaia trigono-metrică care dă pe α:

0cossin2cos2 =− α α α GP

sau 0)sin(cos =− α α GP cu soluia:

2;0cos π

α α == .

Această poziie deechilibru reprezintă situa-ia când bara se găseşte în

poziia din figura 6.15.b , firul trage de bara aflată în poziie verticală.Bara nu se poate mişca, traciunea firului fiind blocată de articulaie.Această poziie particulară nu este inte-resantă pentru practică.Echilibrul este în acest caz instabil, o mică deplasare din poziia deechilibru permiând greutăii P să mişte bara până în a doua poziie deechilibru, dată de relaia:

G

P=α sin

Această poziie este de echilibru stabil, fora P căutând să aducă bara înapoi dacă o scoatem din poziia determinată cu o deplasare unghiulară

Fig.6.15


8/18/2019 Capitol Ul 06

16/35


mică. Pentru ca problema să fie posibilă trebuie ca 1sin ≤α ceea ce ducela GP ≤ . În caz contrar, fora P fiind prea mare, va trage de bară până ova bloca în punctul C, datorită particularităilor constructive (fig.6.15.c).

E3. Se consideră o placă dreptunghiulară omogenă, de greutate G, dedimensiuni a şi b, care este prinsă de un perete vertical prin două balamale A şi B situate la distana c de capetele plăcii şi este inută înpoziie orizontală prin intermediul unui fir care face un unghi de 45o cuplaca (fig.6.16). Ne propunem să determinăm efortul care apare în fir şireaciunile care apar în balamale. Se presupune că balamaua din A preiaşi fora axială.

Solu ie: Componentele după cele trei axe ale efortului din fir sunt:

α α π

sin2

2sin

4cos S S S

x == ;

α α π

cos2

2cos

4cos S S S

y == ;

2

2

4sin S S S

z == π

Se scriu ecuaiile de echilibru:

∑ =−+= 0;0 x B A S X X X 0;0 =−=∑ y A S Y Y

0;0 =−++=∑ GS Z Z Z z B A0

2;0' =⋅−=∑ bS

bG M

zOB

02

)(;0' =−+−=∑a

Gc Z ca Z M B A D B

0)(;0' =−+−=∑ bY c X ca X M A B A DD Se obine un sistem de şase ecuaii cu şase necunoscute care oferă tensiunea din fir şi reaciunile în articulaii.

Fi .6.16


8/18/2019 Capitol Ul 06

17/35

Sorin VLASE 17

6.2.4. Legătura cu firSe consideră un corp suspendat prin intermediul unor fire

(fig.6.17). În cazul problemelor de mecanică se consideră că firele suntperfect flexibile şi inextensibile.Firele nu pot fi comprimate şi nici îndoite, întrucât nu au suficientă rigiditate pentru a suporta acestesolicitări. Ele pot prelua numaieforturi de întindere fiind o legătură unilaterală. Conform axiomeilegăturilor, firele pot fi înlocuiteprintr-o foră de întindere care are

direcia firului numită tensiune înfir. Această tensiune are direciafirului şi sensul în care întinde firul. Această legătură suprimă un grad delibertate rigidului (deplasarea după direcia firului) şi introduce o

necunoscută, tensiunea în fir. Pentru a studia echilibrul unui rigid care

este legat şi cu fire, se suprimă acestea şi se introduc tensiunile din fir,care acionează asupra rigidului. După această operaie, rigidul setratează ca un rigid liber, supus la fore exterioare, fore de legătură introduse de alte legături şi tensiunile din fire. Dacă un rigid este legatnumai cu fire, pentru a determina tensiunile din acestea, numărul lortrebuie să fie şase. Dacă este mai mare de şase, sistemul este staticnedeterminat.

Aplica ie: Se consideră o placă triunghiulară, suspendată de capete, prinintermediul a trei fire, astfel încât să rămână în poziie orizontală

Fig.6.18

Fig.6.17. Corp suspendat cu fire


8/18/2019 Capitol Ul 06

18/35


(fig.6.18). Ne propunem să determinăm tensiunile care solicită cele treifire.

Cel mai convenabil este să se scrie ecuaiile de momente faă decele trei laturi ale triunghiului. Astfel, ecuaia de momente faă de laturaBC este:

0'';0 =⋅−⋅=∑ − GGP AAS M AC B de unde:

33

'

' P

h

h

P AA

GGPS

A

A

A ===

În mod analog, scriindu-se ecuaiile de momente faă de celelalte două laturi, se va obine:

33

'

' P

h

h

P BB

GGPS

A

A

B ===

3

3

'

' P

h

h

PCC

GG

PS A

A

C ===

6.2.5. Încastrarea

O încastrare fixează corpul, anulând orice posibilitate de mişcare aacestuia. În cazul unui sistem de fore plane, o încastrare se va înlocui cuo reaciune de direcie şi mărime necunoscute, situată în planul forelor(sau cu cele două componente X şi Y ale unei reaciuni) şi cu un

moment de încovoiere perpendicular pe planul forelor.Dacă avem fixarea unui corp tridimensional, în încastrare apar o

reaciune de direcie şi mărime necunoscută şi un moment de direcie şimărime necunoscută (sau trei componete ale unei reaciuni şi treicomponente ale unui moment) (fig.6.19).


8/18/2019 Capitol Ul 06

19/35

Sorin VLASE 19

Exemplu: Se dă bara cotită încastrată şi încărcată cu fore concentrate ca în fig. 6.20. Să se determine reaciunea şi momentul care solicită încastrarea.Solu ie: Se scriu ecuaiile de echilibru:

0;0 =−=∑ P X X A

02;0 =−−=

∑ PPY Y A

022;0 =⋅−⋅−⋅−=∑ aPaPaP M M A A Rezultă:

P X A = , PY

A3= , Pa M

A5= .

6.3. Legăturile reale ale unui rigid (cu frecare)

6.3.1. Frecările solidului rezemat

Să considerăm un rigid rezemat pe o suprafaă oarecare într-unpunct O numit punct teoretic de contact. Până la acest capitol amconsiderat că rigidul se sprijină într-un punct şi nu avem frecări. Înrealitate, din cauza deformărilor, contactul se realizează pe o suprafaă.În afară de aceasta apar frecări, caracterizate prin coeficientul de frecare µ. Ca urmare a deformabilităii şi a frecărilor, la tendina de mişcare a

corpului vor apărea fore şi momente de rezistenă care se vor opunemişcării. Dacă sistemul de fore se reduce în punctul de contact la o

Fig.6.19

Fig.6.20


8/18/2019 Capitol Ul 06

20/35


rezultantă şi un moment rezultant, să studiem modul în care acestea potfi echilibrate de forele care apar în reazemul cu frecare. Componentanormală apasă rigidul pe suprafaa de contact fiind echilibrată dereaciunea normală N . Componenta Rt a rezultantei tinde să deplasezecorpul în planul tangent, imprimându-i o mişcare de translaie. Acesteifore i se opune legătura prin o reaciune, datorată frecărilor, numită for ă de frecare de alunecare. Această foră respectă legile frecăriiprezentate în cazul punctului material. Echilibrul se realizează atâta timpcât componenta Rt este inferioară unei fore limită de frecare.Experimental (vezi legile frecării în cazul punctului material) se constată că acestă foră limită este proporională cu fora de apăsare normală.Echilibrul se realizează atâta timp cât:

N Rt µ ≤ (6.9)

Momentul rezultant aredouă componente: M n orientată de-a lungul normalei şi caretinde să rotească corpul în jurulnormalei şi una în planultangent la suprafaă M t . caretinde să rostogolească corpul peplanul orizontal.

Mişcarea care estedeterminată de componentanormală se numeşte mişcare depivotare. Acestei mişcări,datorită deformabilităii

corpurilor şi frecărilor care apar în punctul de contact, i seopune un moment, numitmoment de frecare de pivotare (sau moment de pivotare). Se constată,experimental, că există echilibru când momentul după direcie normală este inferior unei valori limită, proporională cu fora de apăsarenormală:

rN M M Pn ≤= (6.10)

Fig.6.21. Legăturile cu frecareale rigidului rezemat


8/18/2019 Capitol Ul 06

21/35

Sorin VLASE 21

Mărimea r se numeşte rază de pivotare şi, în anumite cazuri, careprezintă o regularitate suficientă, poate fi calculată.

Mişcarea de rotaie determinată de componenta momentului dinplanul tangent se numeşte rostogolire. Datorită deformabilităii corpului,la această mişcare apare o opoziie, manifestată printr-un moment,numit moment de frecare de rostogolire (moment de rostogolire). La felca la pivotare, experimental, se constată că avem echilibru atâta timp câtcomponenta tangenială a momentului este inferioară unei valori limită proporională cu apăsarea normală:

sN M M r t ≤= (6.11)

Mărimea s poartă numele, impropriu, de coeficient de frecare larostogolire şi semnificaia geometrică a acestuia va fi relevată în acestcapitol.

În cele ce urmează se vor analiza mai pe larg motivele apariieiacestor fore şi a momente datorate frecărilor.

Fig.6.22. Transportul unui colos egiptean. Relief pe un mormânt din Deir-el-

Bercheh

În fig. 6.22 se prezintă o modalitate de scădere a coeficientului defrecare utilizată pentru transportul greutăilor foarte mari. Greutatea estetransportată pe un strat subire de argilă constituit în mod special, în faagreutăii. Pentru scăderea frecării acesta este udat în permanenă cu apă aşa după cum se poate vedea în figură.


8/18/2019 Capitol Ul 06

22/35


Aplica ie: O bară omogenă de lungime L şi greutate G este împinsă, laun capăt cu o foră P. Să se determine P astfel încât bara să fie scoasă din echilibru (fig.6.23). Să se rezolve aceeaşi problemă în cazul în carefora nu mai acionează la capăt ci la distana f L de capăt.

Soluie: Dacă bara apasă cu greutatea G pe sol, la contactul dintre bară şisol va apare o presiune pe unitatea de lungime:

L

G p =

Împinsă cu fora laterală P bara se va roti în jurul unui punct situat ladistana a de celălalt capăt. Vor apare frecări, opuse tendinei demişcare:

dx L

G pdxdF

f µ µ ==

Ecuaia de echilibru a forelor după direcia de aciune a forei P dă:

00

=+−

∫∫

a L

a

pdx pdxP µ µ

)2()2()( a L L

Ga L p paa L pP −=−=−−= µ µ µ µ

dacă [ ] La ;0∈ şi GP µ = , dacă a se află în afara acestui interval.Ecuaia de momente faă de punctul în jurul capătului barei dă:

∫ ∫ =+− L

a

a

xpdx xpdxPL0

0 µ µ

022

222

=+−− a pa L pPL µ µ .

Fig.6.23


8/18/2019 Capitol Ul 06

23/35

Sorin VLASE 23

Înlocuind pe P cu valoarea obinută anterior, considerând că a se găseşte între cele două capete ale barei, se obine:

024 22 =+− aaL L ,de unde:

±=±=

−±=

2

21

2

2

2

242 222,1 L L L

L L La

semnificaie fizică având soluia cu minus întrucât am presupus că a segăseşte între capetele barei. Dacă introducem această valoare în expresialui P se obine:

GG L L L

Ga L

L

GP µ µ µ µ 41,0)12()]

2

21(2)2( ≅−=

−−=−=

adică mai puin de jumătate decât fora necesară pentru târâre directă.Rezultatul obinut este utilizat în practică la transportarea greutăilor (înfig. 6.24 este prezentată o reconstituire a modalităii de transport astatuilor(moai) în insula Paştelui, după [1]).

Dacă fora P acionează la distana fL faă de capătul barei seobine pentru ecuaia de echilibru după direcia de aciune a forei P:

00

=+− ∫∫a L

a pdx pdxP µ µ

)2()2()( a L L

Ga L p paa L pP −=−=−−= µ µ µ µ

dacă [ ] La ,0∈ şi GP µ = , dacă a se află în afara acestui interval.Ecuaia de momente faă de punctul în jurul capătului barei dă:

∫ ∫ =+−− L

a

a xpdx xpdx f PL

00)1( µ µ

022

)1(222

=+−

−−a

pa L

p f PL µ µ .


8/18/2019 Capitol Ul 06

24/35


Fig.6.24. Transportul statuilor în Insula Pa ştelui (reconstituire J.P.Adam)

Înlocuind pe P cu valoarea obinută anterior se obine:02442 222 =++−− aafLaL f L L

de unde:

=+−−±−

=2

42)1(4)1(2 22222,1

f L L f L f La

2

)21(1)1(

f L f L −+

±−=

semnificaie fizică având soluia cu minus. Dacă f = 0,5 , punctul derotire se obine la capătul barei. De fapt, în acest caz, când P acionează la mijlocul barei, se poate verifica că orice punct aflat pe axa barei şisituat în afara ei poate fi punct de rotaie, verificând ecuaiile deechilibru, deci în acest caz problema este nedeterminată.

Variatia punctului de rotire functie de

punctul de aplicatie al fortei

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Pozitia punctului de aplicatie a fortei in %L

P o z i t i a p u n c t u l u i d e

r o t a t i e % L

Fig.6.25.


8/18/2019 Capitol Ul 06

25/35

Sorin VLASE 25

6.3.2. Patrulaterul frecărilor

Să considerămurmătoareaproblemă: o bară omogenă, deseciuneconstantă, delungime 2L şigreutate G sesprijină pe doiperei, ca în fig.

6.26. Să sedetermine cât de înclinată poate fi aşezată bara astfel încât să rămână în echilibru.Solu ie. Dacă avem frecări, reaciunile în A şi B trebuie să se găsească îninteriorul conului de frecare, care în acest caz plan se reduce la un unghi2φ unde φ este unghiul de frecare. Având trei fore, bara rămâne înechilibru dacă cele trei fore sunt concurente. Intersecia laturilor celordouă unghiuri determină un patrulater care se numeşte patrulaterul

frecărilor.Dacă suportul greutăii trece prin interiorul acestui patrulater,

luând un punct oarecare de pe acest suport, care se găseşte în interiorulpatrulaterului frecărilor, unind acest punct cu punctele de sprijin A şi Bse obin două direcii.Cum o foră poate fi descompusă întotdeauna după două direcii, sepoate descompune greutatea G după

cele două direcii determinateanterior. Cele două componente vorreprezenta reaciunile în A şi B.Întrucât construcia se poate facepentru orice punct care se găseşte înpatrulaterul frecărilor rezultă condiiade echilibru: verticala punctului încare acionează greutatea G trebuie să

intersecteze patrulaterul frecărilor.Bara se va mişca atunci când suportul

Fig.6.26

Fig.6.27


8/18/2019 Capitol Ul 06

26/35


greutăii va ieşi din patrulaterul frecărilor. La limită acest lucru se întâmplă atunci când în vârful cel mai din stânga al patrulateruluiintersectează suportul greutăii. Triunghiul BMA este dreptunghic. Înacest caz, întrucât mediana împarte triunghiul dreptunghic în triunghiuriisoscele, rezultă: ( ) ( )CMACAM =

8/18/2019 Capitol Ul 06

27/35

Sorin VLASE 27

corpului şi a altor cauze, punctul de contact teoretic al cilindrului devineo zonă de contact unde apare o presiune variabilă a cărei torsor se reducela o normală care, pentru a asigura echilibrul momentelor, va trebui să acioneze la o distană s în faa punctului teoretic de contact.

În acest caz ecuaiile de echilibru vor fi:

=−=

=−=

=−=

∑∑∑

0;0

0cos;0

0sin;0

r C M RT M

G N Y

T G X

α

α

la care se adugă relaiile empirice:sN M N T

r ≤≤ ; µ (6.12)

În cazul în care echilibrul se rupe datorită nerespectării uneia dinrelaiile empirice menionate, putem avea următoarele cazuri:

a) corpul se rostogoleşte, f ără să alunece: α cossGsN M r

== ; N T µ ≤

=−

=−

0cos0sin

α α sG RT

T G

Condiia ca fora de aderenă să fie inferioară forei limită de frecareduce la:

α ϕ µ α µ µ α tantan;cossin ≥==≤= G N T G

adică unghiul de frecare trebuie să fie inferior unghiului de înclinare alplanului înclinat. Adunând cele două ecuaii rezultă:

0cossin =− α α R

s

de unde se deduce unghiul pentru care începe să aibă loc rostogolireaf ără alunecare:

Rs=α tan (6.13)


8/18/2019 Capitol Ul 06

28/35


Deci dacă avem condiia: R

s>> α µ tan avem rostogolire f ără alunecare.

b) în cazul rostogolirii cu alunecare:

α µ µ α cos;cos G N T sGsN M r

====

Condiiile de echilibru devin:

0cossin =− α µ α GG 0coscos =− α α µ sG RG

Rezultă condiiile ca cilindrul să se rostogolească şi în acelaşi timp să alunece:

µ α α >> tan;tan R

s (6.14)

c) în cazul când corpul alunecă f ără să se rostogolească, avem:

;cosα sGsN M r

=≤ α µ µ cosG N T == .

=−

=−

0

0cossin

r M RT

GG α µ α

Rezultă condiiile de alunecare f ără rostogolire:

µ α >> tan R

s (6.15)

condiii care pentru materialele uzuale sunt greu de îndeplinit înpractică, pentru majoritatea situaiilor frecarea de rostogolire fiind maimică decât frecarea de alunecare.

6.3.4. Frecarea de pivotare

Frecarea de pivotare. Pivotul nou. Să considerăm o macaraschematizată ca în fig. 6.29.a. În punctul A există un lagăr radial-axial

iar în B un lagăr radial. În fig. 6.29.b este prezentat lagărul axial-radial.Toată greutatea macaralei şi a sarcinii ridicate apasă asupra lagărului


8/18/2019 Capitol Ul 06

29/35

Sorin VLASE 29

determinând o presiune p pe care, în primă aproximaie, o considerămconstantă. Deoarece, în ciuda ungerii care se face unui lagăr, există

frecare, coeficientul de frecare fiind µ , la rotirea macarelei în jurulaxei va apare o rezistenă datorată momentului frecărilor care apar între

axul macaralei şi lagăr. Acest moment reprezintă momentul de pivotare,iar la rotaia macaralei el va avea valoarea limită precizată anterior. Dacă se cunosc dimensiunile lagărului (raza R), greutatea macaralei şi asarcinii Q, coeficientul de frecare µ , acest moment de pivotare poate ficalculat.

Astfel, dacă se consideră osuprafaă infinitezimală dS cusimetrie circulară, fora de apăsare

dN care se exercită asupra acesteisuprafee va fi:

rdr R

Q

R

rdr Q pdS dN

22

22===

π

π (6.16)

Datorită acestei apăsări, la rotaiapivotului în jurul axei, vor apărea

fore de frecare distribuite în sens

a. b.

Fig.6.29

Fig.6.30


8/18/2019 Capitol Ul 06

30/35


contrar direciei de mişcare, deci tangente unui cerc concentric cuseciunea prin pivot. Mărimea acestor fore infinitezimale va fi:

rdr R

Q

dN dF f 22

µ µ == (6.17)

Aceste frecări vor determina apariia unui moment infinitezimal dM f ,care se va opune mişcării:

dr r R

QrdF dM

f f

2

2

2 µ == (6.18)

Momentul de pivotare se obine prin însumarea tuturor acestormomente:

Q R R

R

Qdr r

R

QrdF dM M

R R

f f P ⋅===== ∫∫∫ µ µ µ 32

3

22 3

20

2

20 (6.19)

Dacă se consideră că momentul de pivotare este proporional cu fora deapăsare normală, se poate obine raza de pivotare r P care este dată de:

Q RQr N r M PPP ⋅=== µ 3

2 (6.20)

deci: Rr P µ 3

2= . (6.21)

În realitate, din cauza jocurilor care există în lagăr, are loc o uzură

a acestuia care face ca distribuia presiunilor să nu mai fie uniformă (fig.6.31). Deoarece suprafaele aflate în contact se reduc şi,concomitent, apăsarea nu mai este uniformă, va rezulta că presiunea vacreşte mult în acest caz putând duce la distrugerea pivotului (prinstrivirea lui). În acest caz, prin înlăturarea centrului pivotului prinprelucrare mecanică (fig.6.31), se uniformizează presiunile dintresuprafeele în contact şi se evită fenomenul distrugerii. În acest caz vorcreşte presiunile şi momentul de pivotare. Calculul se face în mod

analog ca la cazul precedent, cu diferena că limitele de integrare vor fi între R1 şi R2 iar presiunea de apăsare:


8/18/2019 Capitol Ul 06

31/35

Sorin VLASE 31

)( 2122 R R

Q

S

Q p

−==π

. (6.22)

Momentul de pivotare va fi atunci:

∫∫∫ =−

===2

1

2

21

22

0

2 R R

R

f f P dr r R R

QrdF dM M µ

Q R R R R R R

R RQ ⋅

−

−

=

−

−= 2

122

3

1

3

2

3

1

3

221

22 3

232 µ µ (6.23)

iar raza de pivotare:

12

2

121

2

2

21

22

31

32

32

3

2

R R R R R R

R R

R Rr P

+

++=

=−

−=

µ

µ

(6.24)

Pivotul uzat . În cazul în carepivotul se uzează, distribuiapresiunilor nu mai este uniformă (fig.6.32). Să încercăm în acestcaz să determinăm momentul de

pivotare, dacă se presupune că distribuia presiunilor urmează o lege de forma:

Fig.6.31

Fig.6.32


8/18/2019 Capitol Ul 06

32/35


r p

α = (6.25)

Constanta α se determină din condiia ca suma presiunilor să fie egală cufora de apăsare normală Q:

)(22 122

1

R Rdr pdS Q R

R−=== ∫∫ πα πα

de unde:

)(2 12 R R

Q

−=

π α .

În acest caz avem:

dr r

dr r pdS dN α π

π α 22 === (6.26)

Frecarea care acionează asupra suprafeei dS este:

dr dN dF f µα π µ 2== (6.27)

iar momentul forelor de frecare dM f :rdr F r dM f f µα π 2=⋅= . (6.28)

Momentul de pivotare se obine prin însumare:=== ∫∫

2

1

2 R

R f P rdr dM M µα π

)(

)(

)(2

)(2

22

12

21

22

12

21

22

21

22

R R

R RQ

R R

R RQ R R

−

−=

−

−=

−= µ

π πµ µα π (6.29)

iar raza de pivotare va fi:

( )12 R Rr P += µ (6.30)

Aplica ie. Să se determine momentul de pivotare pentru un pivot conic(fig. 6.33).Echilibrul pivotului după axa verticală duce la relaia:

∑ =∆ Q N α sin Presiunea care se exercită asupra suprafetei de contact a pivotului este:


8/18/2019 Capitol Ul 06

33/35

Sorin VLASE 33

;)()(

sin

sin 2122

21

22 R R

Q

R R

Q

S

N p

−=

−=

∆= ∑

π π

α

α

Suprafaa unui inel infinitezimal de

formă tronconică este:π

sin2

dr r dS =

iar fora de apăsare normală dN peacest inel este:

α π

sin2

dr r p pdS dN == .

Fora de frecare dF f care apare pe

acest inel infinitezimal la rotireapivotului este:

α πµ µ

sin2

dr r pdN dF

f ==

iar momentul la răsucire produs de această foră:

πµ µ sin

2 2dr

r prdN rdF dM f f ===

Momentul de pivotare se obine prin însumarea tuturor momenteleorinfiunitezimale, deci:

Q R R

R R R R R R

pdr r

pdM M

R

R

f p )(sin3

)(2)(

sin3

2

sin

2

21

2121

223

132

2

1

2

+

++=−=== ∫∫ α

µ

α

πµ

α

πµ

cu raza de pivotare:)(sin3

)(2

21

2121

22

R R

R R R Rr p

+

++=

α

µ .

6.3.5. Frecarea firelor

Frecarea firelor reprezintă un caz important în practică prinaplicaiile sale. Acest tip de frecare apare atunci când firul alunecă pesteo roată fixă, sau roata se roteşte iar firul rămâne fix. Frecarea care apareeste foarte mare iar dacă unghiul la centru a poriunii peste care se înf ăşoară firul este mare, poate duce chiar la frânarea elementului înmişcare (fir sau roată).

Fig.6.33. Pivot conic


8/18/2019 Capitol Ul 06

34/35

8/18/2019 Capitol Ul 06

35/35

Sorin VLASE 35

Unghiul ϕ d fiind foarte mic se poate face aproximaia

02

sin;12

cos ≅≅ ϕ ϕ d d

iar infiniii mici de ordinul doi pot fi neglijai

022sin ≅= ϕ ϕ d dT d dT . Ecuaiile de echilibru limită devin:

;0

;0

=−

=−

ϕ Td N

N dT

de unde rezultă:;0=− ϕ µ Td dT

sau:

;ϕ µ d T

dT

= Integrând ecuaia se obine:

;ln0

α ϕ µ =

P

QT

sau:

;ln µα =Q

P

rezultând legătura dintre P şi Q:

. µα QeP = Formula poartă numele de formula lui Euler pentru frecarea firelor.Relaia obinută arată o creşterea foarte puternică a forei P funcie deunghiul de înf ăşurare. Acest lucru justifică existena unei aplicaii foarteimportante şi anume frâna cu bandă.

capitol ul 06

Documents