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17. Proprieta dellazione

In questo capitolo si considera lazione, valutata sulla traiettoria fisica, come funzionedefinita sullo spazio delle configurazioni esteso. Lazione cos definita genera una trasfor-mazione canonica, che muta le coordinate allistante t nelle coordinate iniziali e sod-disfa identicamente una equazione alle derivate parziali. Lintegrale completo di questaequazione, detta di Hamilton-Jacobi, si interpreta come la generatrice di una trasfor-mazione canonica, che porta a nuove coordinate e momenti costanti. Quando lhamiltonia-

naHnon dipende dal tempo, si scrive lequazione di Hamilton-Jacobi per una generatrice,che elimina inHla dipendenza dalle coordinate. Lintegrale completo di questa equazionesi costruisce esplicitamente, in alcuni casi, con il metodo di separazione delle variabili e lecorrispondenti hamiltoniane si dicono separabili. Per i sistemi conservativi lazione ridotta,definita sulle traiettorie isoenergetiche ad estremi fissi, e stazionaria sulla traiettoria fisica,che risulta essere una una geodetica.

17.1. DERIVATE DELLAZIONE

Lazione, definita come funzionale sulle traiettorie ad estremi fissi, e stazionaria sulla traiet-toria fisica; valutata sulle traiettorie fisiche diventa una funzione degli estremi. Scriviamoquindi

A(qb, tb; qa, ta) =

tbta

L(q(t), q(t), t)dt (17.1.1)

doveq(t) e la traiettoria fisica nellintervallo [ta, tb] con estremi qa, qb. Le derivate parzialidi A, intesa come funzione definita nello spazio delle configurazioni esteso, sono espresse

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332 17. Proprieta dellazione c88-08- 9820

daA

qa=pa, A

ta= Ha

A

qb= pb,

A

tb= Hb

(17.1.2)

dove Ha, Hb indicano i valori che H assume agli estremi della traiettoria. Le relazioni(7.1.2) si provano notando che A dipende dai suoi argomenti tramite gli estremi di inte-grazione e la traiettoria q(t) (si vedano gli esempi a pie pagina).

A

qb i=

tbta

dk=1

pk

qkqb i

+pkqkqb i

dt=

dk=1

pkqkqb i

tb

ta

=pb i

A

tb =L(qb, qb, tb) +d

k=1

pkqktb

tb

ta=L(qb, qb, tb)

d

k=1

pk(tb)qk(tb) =Hb

(17.1.3)

In (17.1.3) sono state scambiate le derivate miste e si fatto uso delle seguenti relazioni

qkqb i

t=tb

=i,k, qk

qb i

t=ta

= 0, qk

tb

t=tb

=qk(tb), qktb

t=ta

= 0

(17.1.4)che si dimostrano tramite uno sviluppo di Taylor nel tempo della soluzione q(t) attornoa t = ta espresso da q(t) = qa + qk(ta)(tta) +. . . ed attorno a t = tb espresso daq(t) =q

b+q

k(t

b)(t

tb) + . . ., tenendo conto che q

a, q

b, t

a, t

bsono variabili indipendenti.

Esempi

Per la particella libera unidimensionale con lagrangianaL= (m/2)q2 si ha

q(t) =qa+qb qatb ta (t ta), A=

m

2

(qb qa)2tb ta (17.1.5)

Per un oscillatore armonico con lagrangianaL= (m/2)[q2 2q2] si trova

q(t) =qacos (t ta) + qb qacos (tb ta)sin (tb ta) sin (t ta)

A=m

2

1

sin (tb ta)[(q2a+ q

2b )cos (tb ta) 2qaqb]

(17.1.6)

Si noti che quando (tb ta) = 2k la soluzione estremale non e piu definita.

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c88-08- 9820 17.1. Derivate dellazione 333

Per il calcolo di A in (17.1.6) ponendo C=[qbqacos (tbta)]/ sin(tbta) scriviamo la lagrangiana

L=m2 2[(C2qa)2 cos2(tta)2Cqasin 2(tta)]

Lazione assume la seguente forma

A=tbta

L(q(t),q(t))dt=m2 [(C2q2a) sin (tbta) cos (tbta)2Cqasin2 (tbta)]

e sostituendo a Cla sua espressione si ricava la (17.1.6).

Dimostrazione alternativa

Per meglio illustrare il significato delle derivate dellazione se ne d a una dimostrazionebasata sul calcolo diretto dellazione lungo due traiettorie vicine con gli stessi estremiiniziali (qa, ta). Per valutare la derivata spaziale si considerano due traiettorie q(t) e

q(t) + h(t) con punto finale (qb, tb) e (qb+ hb, tb) rispettivamente, vedi figura 1.17.1

t

t

q

a bt

q

q +h

q

b

b

a

b

Figura 17.1.1. Traiettorie con posizione finale diversa.

La differenza dellazione calcolata lungo le due trattorie vale

A(qb+ hb, tb) A(q, t) = tb

ta

L(q(t) + h(t), q(t) + h(t), t)dt tb

ta

L(q(t), q(t), t)dt=

=

tbta

dk=1

Lqk

ddt

Lqk

hk(t)dt +

dk=1

pkhk

tb

ta

+ O(h2) =

=pb hb+ O(h2)(17.1.7)

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q

q

btt

a

q

t

q(t)

q(t)+h(t)

b

a

+ b

t

Figura 17.1.2. Traiettorie con tempo di percorrenza diverso.

dove si e effettuata una integrazione per parti e si tenuto conto che q(t) soddisfa le equazionidi Lagrange essendo una traiettoria fisica.Per calcolare la derivata di S rispetto a t si considera la seconda traiettoria con puntofinale (qb, tb+ ), vedi figura (1.17.2), imponendo che il secondo estremo qb sia lo stessoper entrambe le traiettorie

q(tb) =q(tb+ ) + h(tb+ ) =q(tb) + q(tb) + h(tb) + O(2) (17.1.8)

Se conveniamo cheh e siano infinitesimi dello stesso ordine la seguente condizionedeve essere soddisfatta

q(tb)+ h(tb) = 0 (17.1.9)

e la variazione dellazione risulta espressa da

A(qb, tb+ )A(qb, tb) = tb+

ta


ta

L(q(t), q(t), t)dt

=

tb

ta

d

k=1Lqk

ddt

Lqk

h(t)dt +d

k=1pkhk

tb

ta

+ L+ O(2) =

=Lb pb qb+ O(2) = Hb+ O(2)

(17.1.10)

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c88-08- 9820 17.2. Azione ridotta 335

17.2. AZIONE RIDOTTA

Per un sistema meccanico la cui lagrangiana non dipenda esplicitamente dal tempo si

introduce lazione ridotta W, definita da

W =

tb+ta

di=1

piqidt (17.2.1)

Se i vincoli non dipendono dal tempo e le forze sono conservative si ha

ipiqi=H+ L=2Te lazione ridotta diventa

W = 2

tb+ta

T(q, q)dt (17.2.2)

ConsideriamoWcome funzionale sullinsieme Cdelle traiettorie ad estremi fissi nello spaziodelle configurazioni, su cui Hassume un valore costante E

C : q(t) : [ta, tb+ ] Rd, q(ta) =qa, q(tb+ ) =qb, H(q, q) =E (17.2.3)Confrontando le traiettorie ora definite con quelle del principio variazionale di Hamilton sinota che queste sono isoenergeticheH=Econ tempo di percorrenza variabile,tb ta + ,mentre le precedenti erano isocrone (= 0) con Hvariabile. Per la particella libera si ha

T =1

2

ds

dt

2=

1

2

di,j=1

Tijqiqj (17.2.4)

dove ds e la lunghezza dellelemento darco sulla traiettoria

ds2 = 2T dt2 =d

i,j=1

Tij dqidqj (17.2.5)

Se M e la varieta definita dalle equazioni di vincolo, ds=||dr|| e la distanza tra due punti vicini sullavarieta e ds

E=||dq|| e la distanza tra i punti corrispondenti sulla carta locale, vedi figura 5.A.1. Espresse

in termini delle coordinateqi sulla carta dsE e una distanza euclidea poiche ds2

E=dq21+...+dq

2d mentre ds

2

e la forma quadratica in dqi con coefficienti Tij; si dice che ds e la distanza nella metrica Riemanniana.

Lazione ridotta e proporzionale al tempo di percorrenza e quindi alla lunghezza dellatraiettoria, poiche questa vien percorsa con velocita costante

2T. Indicando con sa e

sb+ le ascisse curvilinee dei punti estremi della traiettoria si ha

W =

tb+ta

2T dt= 2T( + tb ta) = sb+

sa

2T ds=

2T(+ sb sa) (17.2.6)

Gli estremi di integrazione sono scelti in modo che sulla traiettoria fisica risulti = = 0.Se la particella e soggetta ad un potenziale V, si puo attribuire a Wancora il significatodi lunghezza della curva a patto di cambiare la metrica. Definendo lelemento darco con

d=

2 T dt=

T ds=

E V ds (17.2.7)

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336 17 Proprieta dellazione c88-08- 9820

i nuovi coefficienti della metrica differiscono per il fattore di scala positivo T = (E V)

d2 =d

i,j=1

cij dqidqj , cij = (EV)Tij (17.2.8)

e lazione ridotta diventa la lunghezza della curva nella nuova metrica.

Principio di Maupertuis. Lazione ridotta W, definita come funzionale sullo spazioCdelle traiettorie isoenergetiche ad estremi fissi, e stazionaria sulla traiettoria fisica.

Sia q(t) la traiettoria fisica definita su t[ta, tb], e siano q(t) + h(t) le traiettorie variatedefinite per t[ta, tb+]; la condizione di estremi fissi impone che h(ta) = 0 e che valga(17.1.9). Tenendo conto che H e costante la variazione di W e data da

W(q+h) W(q) = tb+

ta


ta

L(q(t), q(t), t)dt + H

= (H+ Lb)+ tb

ta

dk=1

Lqk

ddt

Lqk

h(t)kdt +

dk=1

pkhk(t)tb

ta

+ O(2)

= [H+ Lb d

k=1

pk(tb)qk(tb)]+

tbta

dk=1

Lqk

ddt

Lqk

hk(t)dt + O(

2)

(17.2.9)dove il termine tra parentesi quadre nellultima riga di (17.2.9) si annulla e la condizionenecessaria e sufficiente di stazionarieta e che siano soddisfatte le equazioni di Eulero La-grange.

17.3. GEODETICHE

Il principio di Maupertuis implica che la traiettoria di una particella non soggetta a forze euna geodetica rispetto alla metrica naturale in quanto curva di lunghezza minima; il tempodi percorrenza e minimo a sua volta. Per un sistema conservativo qualsiasi la traiettoria eancora una geodetica ma rispetto alla metrica modificata dal potenziale secondo (17.2.7).Le equazioni di Eulero Lagrange per la geodetica si possono ottenere in due modi dis-

tinti: dal principio variazionale di Maupertuis parametrizzando localmente la traiettoriain funzione di una delle coordinate, oppure usando il principio variazionale di Hamilton.Se qi =qi(q1) per i= 2, . . . , d lazione ridotta si scrive

W =

q1 bq1 a

E V(q)

i,j

aij (q) qi qj dq1 (17.3.1)

lintervallo su cui q1 varia e fisso e si e posto

qj dqjdq1

, qj (q1 a) =qj a, qj (q1 b) =qj b , (17.3.2)

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c88-08- 9820 17.3. Geodetiche 337

La soluzione che rende stazionaria lazione ridotta soddisfa le equazioni di Eulero-Lagrangeper la funzione

F =

E V

i,jaij qi qj (17.3.3)

poiche gli estremi di integrazione sono costanti in (17.3.1). Se prendiamo ad esempio il

problema del campo centrale e parametrizziamo la curva nella forma r = r() allora dettor= dr/d si ha

F =

EV(r)

r2 + r2 (17.3.4)

Per calcolare la soluzione si noti che Fnon dipende da e quindi esiste un integrale primodato da

rF

r F =r2

E Vr2 + r2

=c (17.3.5)

da cui si ottiene lequazione per lorbita

c2 dd 1r

2

+

c2

r2 + V(r) =E (17.3.6)

che coincide con (3.2.4) se c2 =L2/(2m).

Riparametrizzazione temporale

Laltra strada per scrivere lequazione della geodetica, consiste nello scegliere un parametroesterno, che non sia il tempo per parametrizzare le traiettorie q = q(). L intervallo sucui varia [a, b] e fisso e tale che q(a) =qa e q(b) =qb; lazione ridotta si scrive

W = ds= bai,j aij (q) qi qj d qi dqid (17.3.7)

LintegrandoF e la velocita con cui viene percorsa la traiettoria se si da a il significatodi un tempo riparametrizzato

F = ds

d =

i,jaij (q) qi qj (17.3.8)

Si noti che F e una funzione omogenea di grado 1 nelle qi e quindi il corrispondenteintegrale primo H e identicamente nullo

H=

di=1

Fqi F = 0 (17.3.9)

La velocita con cui la curva viene percorsa e arbitraria; infattids/dte costante ma essendot=t() qualsiasi, ds/d = (ds/dt)(dt/d) puo assumere valori arbitrari. Le equazioni diEulero-Lagrange sono

1

F

dj=1

aijd2qjd2

+d

j,k=1

aijqk

12

akjqi

dqj

d

dqkd

1F2

dj=1

aijdqjd

dF

d = 0 (17.3.10)

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Si noti che lultimo termine e proporzionale allaccelerazione sulla curvadF/d=d2s/d2 esi annulla se la parametrizzazione e scelta in modo risulti proporzionale allascissa curvi-linea s= c sulla geodetica. Con questa scelta, le equazioni che si ottengono sostituendoa lascissa curvilinea s oppure il tempot = s(2E)1/2 sono identiche e coincidono con leequazioni di Lagrange, date da (6.3.13) conQi= 0, per un sistema vincolato non soggetto

a forze. La stessa equazione si ottiene per una curva tracciata su una superficie di R3 lecui normale coincide coincide con la normale principale, perche laccelerazione tangenzialeespressa da (5.A.7) si annulla.

Nel caso generale in cui vi sia un potenziale Vsi sceglie la lunghezza dellelemento darcosulla traiettoria uguale a d =

EV ds ed i coefficienti della metrica sono dati da

(17.2.8). Parametrizzando le traiettorie con q = q() ove varia su un intervallo fisso[a, b], lazione si scrive

W= d= b

a i,j cij (q) qi qj d (17.3.11)e le equazioni di Eulero-Lagrange per la geodetica sono date da (17.3.10) dove aijsono sosti-tuite dacij. Scegliendoproporzionale alla lunghezza d arcosulla geodetica lequazionedella geodetica diventa

dj=1

cijd2qjd2

+d

jk=1

cijqk

12

ckjqi

dqjd

dqkd

= 0 (17.3.12)

Queste non coincidono con le equazioni ottenute dal principio variazionale di Hamilton perla lagrangiana L = T

V perche la traiettoria non e piu percorsa con velocita costante

ma si had

dt =

E Vds

dt =

2 (E V) (17.3.13)Per mostrare come ci si riconduca alle equazioni di Lagrange consideriamo il caso in cuinon vi siano vincoli e le masse siano uguali a 1 per cui aij =ij e quindi

cij =ij (E V) (17.3.14)

Le equazioni (17.3.12) si semplificano assumendo la forma seguente

2 (EV) d2qid2

2d

k=1

dqid

dqkd

Vqk

+d

k=1

dqkd2 V

qi= 0 (17.3.15)

Per mostrare che la traiettoria definita da queste equazioni coincide con quella ottenutarisolvendo le equazioni del moto, ossia con le equazioni di Newton, occorre riesprimere lederivate rispetto aattraverso le derivate rispetto at. Facendo uso di (17.3.13) le derivateprime diventano

dqidt

=dqi

d

d

dt =

2 (E V)dqi

d, (17.3.16)

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c88-08- 9820 17.4. Equazione di Hamilton Jacobi 339

e le derivate seconde

d2qidt2

=d2qid2

d

dt

2

2

k

dqid

V

qk

dqkd

d

dt =

= 2(EV)2 d2

qid2

2(E V)k

dqid

dqkd

Vqk

(17.3.17)

Moltiplicando la (17.3.15) per E Vsi ritrovano le equazioni di Newton se si tiene contodi (17.3.15) e si nota che da d2 = (E V)kdq2k segue (EV)k(dqk/d)2 = 1.

17.4. EQUAZIONE DI HAMILTON-JACOBI

Lazione, valutata lungo la traiettoria fisica, e la generatrice di una trasformazione canonicadalle coordinate allistante t alle coordinate iniziali. Per verificarlo basta considerare leequazioni (17.1.2) ridefinendo i tempi ta = 0, tb = t le coordinate qa = Q, qb = q, imomenti pa = P, pb = p e Hb =He confrontarle con le equazioni (15.4.7) dove H= 0.Lazione A(q, Q, t) soddisfa la seguente identita

H

q,

A

q, t

+

A

t = 0 (17.4.1)

Consideriamo le soluzioni F di (17.4.1) intesa come una equazione alle derivate parziali,

detta di Hamilton-Jacobi. La famiglia di soluzioni F, cui appartiene anche lazione A,dipende da d costanti = (1, . . . , d) e da una ulteriore costante additiva irrilevantepoiche nella equazione entrano solo le derivate di F. La dipendenza funzionaleF(q,, t)dalle costanti puo essere scelta in modo arbitrario. Intepretiamo le costanti comenuovi momenti coniugati ed indichiamo con le nuove coordinate, anchesse costanti poichelhamiltoniana trasformata H e nulla. La funzione Fva interpretata come una generatrice,del secondo tipo, di una trasformazione canonica (q, p) (,), vedi (15.4.8) e (15.4.9).Si noti che e non coincidono con le coordinate e i momenti iniziali (Q, P). La equazionedi Hamilton Jacobi si ottiene anche imponendo che lhamiltoniana trasformata sia nullaH = H +F/t = 0, affinche le nuove coordinate e momenti risultino costanti. Le

equazioni di trasformazione sono

pi =F

qi(q,, t), i=

F

i(q,, t) (17.4.2)

Per riesprimere la funzione generatrice in funzione delle coordinate iniziali valutiamo laseconda equazione in (17.4.2) allistante t ed allistante iniziale tenendo conto che i sonocostanti

F

i(q,, t) =

F

i(Q,, 0) (17.4.3)

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Questa equazione definisce implicitamente = (q, Q, t) che, sostituita in F, consente dirisprimerla come funzione di q, Q, t. La funzione generatrice del primo tipo cos ottenutadifferisce in generale daA poiche neF neA sono uniche. Infatti aFsi puo aggiungere unafunzioneg() arbitraria, mentre ad A si puo aggiungere f(q) f(Q) dove f e arbitraria,poiche sommando ddtf(q) alla lagrangiana non si alterano le equazioni del moto.

Per determinare la legge del moto risolve la seconda equazione (17.4.2) rispetto a q, sos-tituendolo quindi nella prima; si ricavano cosq e p come funzioni di,, t. Per esprimerele , attraverso le condizioni iniziali si valutano le (17.4.2) per t= 0

P=F

q(Q,, 0), =

F

(Q,, 0) (17.4.4)

si inverte la prima equazione rispetto ad e lo si sostituisce nella seconda. Queste funzionisono, in genere, localmente definite; cio vale anche per la funzione = (q, p, t), cheotteniamo invertendo la prima delle equazioni (17.4.2). Per questo motivo(q, p, t) none, in genere, un integrale del moto come non lo sono le funzioni che si ottengono esplicitando

la soluzione del problema di Cauchy rispetto alle condizioni iniziali.

La trasformazione L=L+ ddt

f(q) cambia lazione A=A+f(q)f(Q) e lhamiltoniana H=H(p fq

,q). Dette

F e F le soluzioni della equazione di Hamilton-Jacobi per H e H si ha F=F+f(q). Tali soluzioni sono

definite a meno di una funzione g(), che e possibile scegliere in modo che si abbia F=A come mostra

lesempio della particella libera con massa unitaria, la cui azione e espressa da (17.1.5). La soluzione di

( Fq)2+ F

t=0 e F=q 12 2(tta)+g() dove g e arbitraria. Uguagliando il valore F/ calcolata per

t=ta, q=qa e t=tb, q=qb si determina che vale qbqatbta

. La funzione Friespressa come generatrice del primo

tipo e F=qbqbqatbta

12(qbqa)

2

tbta +gqbqatbta

e coincide con A solo se si sceglie g()=qa

Equazione indipendente dal tempo

Se Hnon dipende dal tempo la equazione (17.4.1) ammette una soluzione della forma

F(q,, t) =W(q,) Et (17.4.5)dove Wsoddisfa la equazione di Hamilton-Jacobi indipendente dal tempo.

H

q,

W

q

= E (17.4.6)

ed E e una funzione arbitraria di . Consideriamo W come funzione generatrice di una

trasformazione canonica che che fa passare a nuovi momenti costanti ed a coordinate chedipendono dal tempo linearmente

pi=W

qi, Qi =

W

Pi(17.4.7)

Identificando i nuovi momenti con le costanti di integrazione arbitrarie P= e la nuovahamiltoniana conEscrivendo H=E(P). Le equazioni del moto diventano

Qi = E

PiPi =

E

Qi= 0 (17.4.8)

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c88-08- 9820 17.4. Equazione di Hamilton Jacobi 341

e la loro soluzione e espressa da

Qi(t) = E

Pit + Qi(0), Pi(t) =Pi(0) (17.4.9)

Al medesimo risultato si giunge considerando la trasformazione generata da F =W Etpoiche i =Qi tE/i.Se esiste una soluzione di (17.4.6) globalmente definita P1, . . . , P d sono integrali primi e ilsistema si dice integrabile perche la soluzione delle equazioni di Hamilton e riconducibilea quadrature, come provato da Jacobi. Nei prossimi paragrafi analizzeremo una classe dihamiltoniane dette separabili, le cui soluzioni sono riconducibili a quadrature.

Esempi

Moto libero

Lhamiltoniana H= 12

ip2i descrive il moto di un sistema di punti materiali liberi in se

qi sono coordinate cartesiane, oppure rotazioni uniformi se qi sono angoli. Lequazione diHamilton Jacobi si scrive

1

2

di=1

W

qi

2=E (17.4.10)

e la sua soluzione e data da

W =d

i=1

Piqi + f(P), E=12

di=1

P2i (17.4.11)

dove f(P) e una funzione arbitraria. La trasformazione Pi = pi e Qi = qi Pi f(P) siriduce allidentita se f= 0.

Campo uniforme

Lhamiltoniana H = 12p2 gqdescrive il moto unidimensionale di una particella in un

campo uniforme. Lequazione di Hamilton-Jacobi si scrive

1

2

W

q

2 gq= E (17.4.12)

Se p >0 la soluzione e data da

W =

qp(q, E)dq=

q2(E+ gq)dq =

1

3g[2(E+ gq)]3/2 (17.4.13)

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e se p cambia segno la soluzione si costruisce come la legge oraria t = t(q) seguendoil procedimento indicato per i problemi unidimensionali nel capitolo 2, paragrafi 3 e 7.Scegliendo P =Ele equazioni di trasformazione (17.4.7) una volta esplicitate sono

Q=

p

g , P =

p2

2 gq, q = g

2Q2

P

g, p= gQ (17.4.14)

Le soluzione delle equazioni del moto nelle nuove coordinate eQ(t) =Q(0)+t, P(t) =P(0)e tradotta nella coordinate iniziali diventa

q=1

2g(Q(0) + t)2 P

g =

1

2g

p(0)

g + t

2 E

g =

1

2gt2 +p(0)t+ q(0) (17.4.15)

Scegliendo Euguale a una funzione arbitraria di Pil risultato non cambia. Larbitrarietanella scelta di E(P) e dovuta al fatto che una funzione regolare di un integrale primo e

ancora un integrale primo.

Campo centrale

Lequazione di Hamilton Jacobi per lhamiltonianaH= 12m (p2r+p

2/r

2) + V(r) del campocentrale si scrive

1

2m

W

r

2+

1

2mr2

W

2+ V(r) =E (17.4.16)

ed ammette una soluzione della forma W =W1(r,E,P) + P dove W1 e dato da

W1(r,E,P) = r

pr(r, E , P )dr=

2m r

E P22mr2

V(r)1/2dr (17.4.17)Le equazioni di trasformazione p = W/ e pr = W/r, invertite rispetto a Pr e Pforniscono i due integrali primi del problema. Se E=E(Pr) le nuove coordinate sono

Qr = W

Pr=

W1E

E

Pr=

E

Pr

m

2

rE P

2

2mr2 V(r)

1/2dr

Q= WP

= + W1P

= P2m rE P2

2mr2 V(r)1/2 dr

r2

(17.4.18)

e la loro di legge di evoluzione e Qr = Qr(0) +t EPr

, Q = Q(0). Queste equazionidefiniscono implicitamente la legge oraria e lequazione dellorbita in accordo con (3.1.14)e (3.2.14). Nella seconda equazione il segno e opposto perchedr/d >0 mentre in (3.2.14)si e scelto du/d >0 dove u= r1.

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c88-08- 9820 17.5. Separabilita 343

17.5. SEPARABILITA

Lequazione di Hamilton-Jacobi (17.4.7) si integra se la soluzione e esprimibile come somma

di funzioni di una sola variabile.

W(q, P) =d

k=1

Wk(qk, P) (17.5.1)

Ciascuna funzione Wk soddisfa una equazione differenziale ordinaria, integrabile per sepa-razione di variabili. Consideriamo alcune strutture funzionali dellhamiltoniana che con-sentono di esprimere la soluzione nella forma (17.5.1); ogni hamiltoniana con questa pro-prieta si dice separabile.

Separabilita esplicita

Lhamiltoniana ha la forma

H(q, p) =K(H1(q1, p1), H2(q2, p2), . . . , H d(qd, pd)) (17.5.2)

e la equazione di Hamilton-Jacobi con la scelta (17.5.1) si scrive

K

H1

q1,

dW1dq1

, . . . , H d

qd,

dWddqd

= E (17.5.3)

Una soluzione si ottiene imponendo che ogni Wksoddisfi la equazione differenziale ordinaria

Hk

qk,

Wkqk

= Ek (17.5.4)

dove le costanti Ek, che sono funzioni arbitrarie delle P, soddisfano lequazione

E=K(E1, . . . , E d) (17.5.5)

Detto pk =pk(qk, Ek) il momento definito implicitamente da Hk(qk, pk) =Ek la funzione

Wk e espressa daWk =

qkpk(q

k, Ek)dq

k (17.5.6)

Dal punto di vista geometrico il sistema e una collezione di d sistemi indipendenti conhamiltoniane,H1, . . . , H d, come nel caso additivo H=H1+ . . . + Hd. La dipendenza nonlineare diHdaH1, . . . , H d, influisce solo sulla legge del moto dellorbita in ciascun piano difase, non sulla geometria delle orbite. Le Ek sono interpretabili come le energie di ciascunsottosistema; lenergia e additiva solo sa H e la somma delle hamiltoniane H1, . . . , H d.Lhamiltoniana Hi di ciascun sottosistema e un integrale primo poiche [Hi, H] = 0, vedi

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(18.2.4). Gli integrali primi Hi sono indipendenti ed i flussi corrispondenti commutano,poiche [Hi, Hk] = 0. Le equazioni di Hamilton sono

qi = K

Hi

Hipi

, pi= KHi

Hiqi

, (17.5.7)

ed i fattori costanti K/Hi introducono un fattore di scala nel tempo per il moto suciascun piano di fase. Questo fattore di scala, diverso per ciascun piano di fase, dipendedalle energie E1, . . . , E d di tutti i sottosistemi. Se le orbite sono chiuse, le frequenze delmoto dipendono dalle energie e percio dalle condizioni iniziali di tutti i sottosistemi.

Separabilita implicita

Se lequazioneH(q, p) =Esi puo riscrivere nella forma

(H1(q1, p1, E), . . . , H d(qd, pd, E)) = 0 ((17.5.8)

e ancora separabile e ogni funzione Wk soddisfa

Hk

qk,

Wkqk

, E

= Ek (17.5.9)

dove le costanti Ek, funzioni arbitrarie dei nuovi momenti, sono vincolate da

(E1, . . . , E d) = 0 (17.5.10)

Un caso tipico che sara discusso nel prossimo paragrafo usando coordinate paraboliche edellittiche e dato da

H=h1(q1, p1) + . . . + hd(qd, pd)

f1(q1) + . . . + fd(qd) (17.5.11)

La equazione H=Esi riscrive nella forma

=H1(q1, p1, E) + . . . + Hd(qd, pd, E) = 0, Hk(qk, pk, E) =hk(qk, pk) E fk(qk)(17.5.12)

Unaltra struttura funzionale che porta ancora alla separabilita e quella che si incontra perlhamiltoniana del campo centrale scritto in coordinate polari

H=K

q1, p1, H2

q2, p2, H3(q3, p3)

(17.5.13)

e lo schema che porta alla separazione e il seguente

H3(q3, p3) =E3, H2(q2, p2, E3) =E2, H(q1, p1, E2) =E (17.5.14)

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c88-08- 9820 17.6. Famiglie di hamiltoniane separabili 345

17.6. FAMIGLIE DI HAMILTONIANE SEPARABILI

Consideriamo alcuni sistemi di coordinate in cui lequazione di Hamilton-Jacobi e separa-

bile per potenziali di particolare interesse fisico. Oltre alle coordinate polari esaminiamo lecoordinate paraboliche ed ellittiche che permettono di separare le hamiltoniane delleffettoStark e di un pianeta attorno a una stella doppia o della molecola H+2 . Le coordinatesotto considerate sono curvilinee ortogonaliperche definiscono famiglie di superfici le cuinormali sono in ogni punto tra loro ortogonali

Coordinate cilindriche

Lhamiltoniana nelle coordinate (,,z) dove (, ) sono le coordinate polari nel piano(x, y) si separa se il potenziale e della forma V() + U(z) e lhamiltoniana si scrive

H= p2z2m

+p22m

+p2

2m2+ V() + U(z) (17.6.1)

ed e la somma di una hamiltoniana di campo centrale nelle variabili (, ), discusso nelparagrafo 17.4 e di una hamiltoniana dipendente da z e pz

Coordinate paraboliche

Consideriamo la trasformazione

=

x2 + y2 x x= 2

=

x2 + y2 + x y =

(17.6.2)

ove le linee coordinate =c1, =c2 sono parabole ortogonali tra loro. Una lagrangianaL= 12m (x2 + y2) V(x, y) diventa

L=m

8

2

+

+ 2

+

V (17.6.3)

Se il potenziale ha la forma seguente

V =a(

x2 + y2 x) + b(

x2 + y2 + x)

2

x2 + y2=

a() + b()

+ (17.6.4)

allora la equazione di Hamilton-Jacobi si separa poiche lhamiltoniana assume la forma

H= 2

m

p2 + p2

+ +

a() + b()

+ (17.6.5)

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Esempi di potenziali separabili sono x(x2 + y2)1/2 e anche (2x2 + y2)(x2 + y2)1/2.

Coordinate cilindrico-paraboliche

Si parte da un lagrangiano in coordinate cilindriche (,,z) e si introducono coordinateparaboliche per (, z). Qui =

x2 + y2 e con r =

2 + z2 indichiamo la distanza

dallorigine. La trasformazione e

=

2 + z2 z=r z z= 2

=

2 + z2 + z=r+ z =

(17.6.6)

Se il potenziale ha la forma

V =a(r z) + b(r+ z)

2r

=a() + b()

+

(17.6.7)

lhamiltoniana si separa poiche si scrive

H= 2

m

p2+ p2

+ +

p22m

1 + 1

+ +

a() + b()

+ (17.6.8)

Di interesse fisico e lhamiltoniana di un atomo di idrogeno in campo elettrico costante ilcui potenziale si scrive

V =r

+ z = 2+

+

2 =

1

2

2 2 4+

(17.6.9)

Coordinate ellittiche

Si considerino sullassex due punti equidistanti A1 = (, 0) e A2 = (, 0).

r1 =P A1 =

(x + )2 + y2, r2 =P A2 =

(x )2 + y2 (17.6.10)Si introducono le coordinate curvilinee ortogonali

= r1+ r2

2 x=

= r1 r2

2 y=

(2 1)(1 2)

(17.6.11)

dove >1 e

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c88-08- 9820 17.6. Famiglie di hamiltoniane separabili 347

Se il potenziale ha la forma

V =a() + b()

2 2 = 2

r1r2

a

r1+ r2

2

+ b

r1 r2

2

(17.6.13)

lhamiltoniana risulta separabile e si scrive

H= 1

2m2p2(

2 1) + p2(1 2)2 2 +

a() + b()

2 2 (17.6.14)

Un caso di rilievo e quello di una particella nel potenziale gravitazionale o coulombiano didue particelle poste in A1 ed A2. In tal caso

V = 1r1 2

r2= 1

2 2

1+ 2

+2 1

(17.6.15)

e quindi della forma (17.6.13).

Coordinate cilindrico-ellittiche

Si considerino sullasse z due punti equidistanti A1 = (0, 0,) e A2 = (0, 0, ). Se(,,z) sono le coordinate cilindriche di un punto P e se r =

2 + z2 e la sua distanza

dallorigine, le distanzer1, r2 da A1 e A2 sono

r1 =P A1 =

(z+ )2 + 2, r2 =P A2 =

(z )2 + 2 (17.6.16)

Si passa da (, z) a coordinate ellittiche (, ) come in (17.6.11) ponendo z = , =(2 1)(1 2) e lasciando langolo come terza coordinata. Lhamiltoniana, checontiene un termine aggiuntivo dato dal potenziale centrifugo, e ancora separabile se V hala forma (17.6.13) e si scrive

H= 1

2m2

p2 (2 1) + p

2

2 1 + p2(1 2) +

p21 2

2 2 + a() + b()

2 2 (17.6.17)

Nel caso dei due centri si ha ancora a() =(1+ 2)/ e b() = (2 1)/.

Coordinate polari

Le coordinate polari nello spazio sono date da

x= r sin cos , y = r sin sin , z = r cos (17.7.18)

dove [0, ], [0, 2]. La lagrangiana si scrive

L= m2

r2 +m

2r22 +

m

2r2 sin2 2 V(r,,) (17.6.19)

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Se il potenziale e del tipo

V =U(r) +a()

r2 +

b()

r2 sin2 (17.6.20)

lhamiltoniana risulta separabile secondo (17.5.13) e si scrive

H= 1

2mr2

r2p2r+ 2m U(r) + p

2+ 2ma() +

p2+ 2mb()

sin2

(17.6.21)

Hamiltoniane di Stackel

Una famiglia di hamiltoniane integrabili si ottiene a partire da una matrice invertibile A(q)la cui la colonna k dipende solo dalla coordinata omologa Aik(qk)

Hm(q, p) =

k

(A1)mk(q) fk(qk, pk) (17.6.22)Da Hm(q, p) =Em(P) segue una equazione di Hamilton-Jacobi separabile se si utilizza laseguente identita

Em=

E ,m=,k

E Ak(A1)mk (17.6.23)Infatti sostituendo ad Hm la sua espressione (17.6.22) si ottiene

k

(A1)mk fk(qk, pk)

E Ak(qk)= 0 (17.6.24)e la generatrice W =

kWk(qk, P) che trasforma Hm(q, p) in Em(P) si determina risol-

vendo le equazioni

fk

qk,

Wkqk

=

E Ak(qk) (17.6.25)

Le funzioniHmformano un insieme completo di integrali primi in involuzione [Hm, Hn] = 0perm=n, vedi paragrafo 18.2. Infatti la funzione W e la generatrice di una trasformazionecanonica e scegliendo Em(P) = Pm le parentesi di Poisson tra Hm diventano quelle tra

i nuovi momenti Pm, che sono nulle. Quando fk(qk, pk) = pk la generatrice e W =kP

qkAk(q

k) dq

k e la trasformazione si scrive

Qi =

k

qkAik(q

k) dq

k, Pi =

k

(A1)ik(q)pk (17.6.26)Se inoltre A e costante, si riottiene la trasformazione canonica corrispondente alla trasfor-mazione di coordinate Q= Ap, indicata alla fine del paragrafo 15.1

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c88-08- 9820 17.7. Variabili angolari 349

17.7. VARIABILI ANGOLARI

Per i sistemi separabili in modo esplicito la soluzione della equazione di Hamilton-Jacobi

e data da (17.5.1) dove Wk sono definiti da (17.5.6). Nel caso di separabilita implicitavalgono le stesse formule con pk(qk, E , E k) dove le Ek sono soggette al vincolo (17.5.10).

La scelta dei nuovi momenti coniugati resta arbitraria, perche arbitraria e la dipendenza diE1, . . . , E d daP. Una scelta che rimuove larbitrarieta e data dalle variabili definite dallaazione ridotta valutata lungo orbite chiuse indipendenti (cicli base). Queste azioni, definiteintrinsecamente, hanno come coordinate canonicamente coniugate, le variabili angolari .

Caso unidimensionale

Si considerano le traiettorie definite da H(q, p) =E, cui corrisponde un moto periodico. Se

q e una coordinata cartesiana ad ogni orbita chiusa corrisponde un moto periodico di tipooscillatorio dettolibrazione. Seqe un angolo, nello spazio delle fasi sono possibili sia orbitechiuse, che corrispondono ad oscillazioni, sia orbite periodiche p(q, E) =p(q+ 2, E), checorrispondono a rotazioni. Sul cilindro anche queste orbite sono chiuse, vedi paragrafo 18.2,ma inequivalenti alle prime. Le coordinate angolo e azione , introdotte nel paragrafo2.7, sono definite da

= 1

2

p(q, E) dq=

1

2

(E H) dq dp, = W

E

E

=t (17.7.1)

dove (x) e la funzione a gradino, nulla per x < 0 ed uguale ad 1 per x > 0. Lazione,moltiplicata per 2, e larea sottesa dallorbita ed e una funzione di E che puo essere

invertita in E = E(). La frequenza del moto e = E/ e si ha W/E = t. Comefunzione definita sul piano delle fasi W e multivoca, ma diventa univoca se definita suipercorsi, vedi paragrafo 2.7. Il significato geometrico diW(q, E) e quello dellarea spazzatadal vettore di estremi A= (q, 0), B= (q, p), vedi figura 17.7.1, mentre 2 e larea totale,corrispondente ad un giro completo. Per interpretare la relazione con langolo scriviamo/2 come il limite per E 0 del rapporto tra larea dellarco di corona, data daW = W(q, E+ E) W(q, E), e larea 2 = 2((E+ E) (E)) della coronacompleta, vedi figura 17.7.1.

Loscillatore armonico

Per loscillatore armonico la cui hamiltoniana e

H=p2

2 + 2

q2

2 (17.7.2)

e lorbita H = E e una ellisse di semiassi a =

2E/, b =

2E. Lazione e lareadellellisse divisa per 2 cioe

= 1

2ab =

E

(17.7.3)

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A

B

A

B

p p

qq

Figura 17.7.1. Significato geometrico diW(q,E)come area (tratteggio scuro), lato sinistro, e dellangolo

normalizzato /2, lato destro.

Parametrizzando lellisse tramite un angolo ()

q=a cos =

2

cos , p=b sin =

2 sin (17.7.4)

lazione ridotta Wsi valuta in modo esplicito e vale

W = 2

0

sin2 d =( sin cos ) (17.7.5)

Da (17.7.5) e evidente che W e una funzione ad un solo valore di definita sulla retta reale.Se scriviamo = 2n + dove= mod2lazione ridottaW =W0() + 2n diventa

una funzione a piu valori di (coordinata sul toro T, i cui punti sono in corrispondenzabiunivoca con lorbita). La funzione W0(

) e la sua determinazione principale e n ilnumero di cicli corrispondenti al percorso considerato, vedi paragrafo (2.7). In coordinatecartesiane si ha

W(q, ) =

arc cos

q

2 q

2

2 2q2 + 2n p 0

(17.7.6)

Langolo coniugato allazione si ottiene derivando W(q, E) rispetto a

=W

=

arcos

q2

+ 2n p 0

(17.7.7)

() Questa scelta corrisponde a prendere come positivo il verso orario di rotazione sul cerchio, che equello lungo cui il punto si muove. La scelta piu comune del verso antiorario porta alla parametrizzazione

q=2E1 sin , p=

2Ecos .

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c88-08- 9820 17.7. Variabili angolari 351

e si vede che = . Notiamo che W dato da (17.7.6) e una funzione generatrice F2; lageneratrice di tipo 1 e data da

F1=F2 = sin cos = q2

2 tan (17.7.8)

se a si sostituisce q2/2cos2 in accordo con (17.7.4). Allo stesso risultato si pervieneintegrando la forma differenziale esatta dF1=pdqd.

Caso multidimensionale

Se lequazione di Hamilton-Jacobi e separabile in modo esplicito le azioni e gli angoli sonodefinite da

k = 1

2

pk(qk, Ek)dqk, k =

Wkk

=WkEk

Ekk

(17.7.9)

e la nuova hamiltoniana e

H(1, . . . , d)K(E1(1), . . . , E d(d)) =E (17.7.10)

In questo case le frequenze del moto H/k per il sistema accoppiato sono diverse dallecorrispondenti frequenzeEk/k del sistema disaccoppiato. Se il sistema e separabile manon esplicitamente, si possono ancora definire le variabili azione ed angolo i, i passandoattraverso un sistema di coordinate normali Qi, Pi, nelle quali la proiezione dellorbitasu ciascun piano di fase diventa un cerchio. Si definisce ciclo base i il percorso, chelascia inalterate le coordinate su tutti i piani di fase tranne Qi, Pi, dove vien descrittauna circonferenza completa parametrizzata da Qi =

2 Jicos i e Pi =

2 Jisin i. (il

ciclo base non e unorbita descritta dal sistema durante il suo moto, a meno che tutte lefrequenze tranne i si annullino). Lazione puo essere definita nel sistema di coordinateiniziali, perche la trasformazione alle coordinate normali e canonica e quindi per il teoremadi Poincare Cartan si ha

Ji 12

PidQi =

1

2

i

d=1

pdq i (17.7.11)

ed e quindi la somma delle aree dei domini che, sui vari piani coordinati, hanno comebordo la proiezione del ciclo base. RiesprimendoWcome funzione delle azioni 1, . . . , d,

si calcolano gli angoli k = W/k e si verifica che questi variano di 2 solo quando sidescrive il ciclo base base corrispondente

(k)i =d

=1

i

pk

dq=

k

i

d=1

pdq= 2ik

= 2ik (17.7.12)

Lazione ridotta W=

pidqi e una funzione multivoca esprimibile come somma di unadeterminazione principale W0 e di un contributo n11+ . . . + ndd, dove nk e il numero divolte che vien percorso il ciclo base k.

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Oscillatori accoppiati

Come esempio consideriamo un sistema di oscillatori accoppiati la cui hamiltoniana siaH= 12p

2i +

12

i,kVikqiqk, dove V e una matrice definita positiva. In coordinate normali il

moto e periodico in ciascun piano di fase mentre e quasi periodico nelle coordinate iniziali.

Se2i sono gli autovalori di Ve R e la matrice ortogonale che la diagonalizza, le coordinatenormali ed i corrispondenti momenti sono definiti da q = RQ e p = RP. Nelle nuovecoordinate lhamiltoniana diventa H= 1

2

i(P

2i +

2i Q

2i ) e la trasformazione alle variabili

angolo e azione e definita da Qi = (2Ji/i)1/2 cos i e da Pi =(2Jii)1/2 sin i. Le

coordinate ed i momenti iniziali come funzione delle coordinate angolari sono date da

qi =

k

Rik (2Jk/k)1/2 cos k, pi =

k

Rik (2Jkk)1/2 sin k, (17.7.13)

Se si tengono fissi tutti gli angoli tranne uno i, al variare di questo tra 0 e 2, lorbita

descrive un ciclo base sul toro. Possiamo verificare che lazione idefinita da (17.7.11) nellecoordinate iniziali come integrale sul ciclo base i parametrizzato dallangolo i, coincidecon lazione Ji = (2)

1 PidQi, definita come area nel piano delle coordinate normali(Qi, Pi)

i= 1

2

20

pqi

di =

k,k

RkRk2k

kJkJk

1/2 ik2

20

sin ksin i di=

=

k,k

RkRkk

kJkJk

1/2ikik =

RiRiJi =Ji

(17.7.14)

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