Valores y vectores propios

Capítulo 5

5. Valores y vectores propios

5.1 Definición y cálculo de valores propios

5.2 Diagonalización

5.1 Definición y cálculo de valores y vectores

característicos

Definición:

Sea A una matriz de n × n. Se dice que un esca-lar λ es un valor propio de A si existe un vector v en Rn, distinto de cero, tal que

Av = λv

El vector v es el vector propio correspondiente

a λ.

Valores y vectores propios de una matriz de 2 × 2

Sea 10 18

6 11

− =

− A 2 10 18 2 2

1 6 11 1 1

− = =

− A

3 10 18 3 6 32

2 6 11 2 4 2

− − = = =−

− − A

Entonces λ1 = 1 y λ2 = -2 son los valores propios y v1 = (2, 1) y v2 = ( 3, 2) son los vectores propios

asociados.

Teorema

Sea A una matriz de n × n. Entonces λ es un valor propio de A si y solo si

p (λ) = | A – λ I | = 0

Esta ecuación recibe el nombre de ecuación ca-

racterística y p(λ) es el polinomio característico

Espacio característico

Sea λ un valor característico de A. El espacio Eλ

recibe el nombre de espacio característico de A

correspondiente al valor característico λ.

Eλ = {v: Av = λv}

Cálculo de valores y vectores propios

1. Encontrar p(λ) = | A - λI |

2. Encontrar las raíces 1, 2, ... , n de p(λ) = 0

3. Resolver el sistema homogéneo (A – λI) v = 0,

correspondiente a cada valor propio de λi.

Ejemplos

1 2

1

2

1

6

1, 6;

( 2,3)

(1,1

4 2;

3 3

2 2-

,3 3

1 1

1 1

1 1

)

,

E r r

E s s

λ λ

=

− = ∈ =

= ∈ =

= =

= −

=

v

v

A

Gen

Gen

R

R

Matriz de 3×3 con valores característicos distintos

1 2 3

3 2

3 2

1

1

1 1 4

3 2 1

2 1 1

1. 2 5 6

1, 2, 3

2. ( ) ( 2 5 6) 0

( 1)( 2)( 3) 0

1 1

3. 4 , Gen 4

1 1

( 1, 4,1)

p

E r r

λ λ λ λ

λ λ λ

λ

λ λ λ

λ λ

λ

=

−

= − −

− = − + + −

= − − − + =

− + − =

− −

= ∈ =

−

= =

= −

A

A I

v

R

2

3

2

3

( 1,1,1

1 1

1 , Gen 1

1 1

1

)

(1,2,1

1

)

2 , Gen 2

1 1

E s s

E t t

−

− −

= ∈ =

= ∈ =

= −

=

v

v

R

R

Matriz con un solo valor propio repetido y un vector propio

4 1

0 4

=

A

24 1

1. (4 )0 4

λλ λ

λ

− − = = −

− A I

1

2

2

2. ( ) (4 ) 0

4

p λ

λ λ

λ =

=

=

=

− 1

1

4

1

0 1 03. ( 4 )

0 0 0

1 1, Gen

0

)

0

(1,0

x

y

E r r

− = =

= ∈ =

=

v

A I v

R

Matriz de 3×3 con un solo valor propio repetido y dos

vectores propios

3

1 3 9

0 5 18

0 2 7

1. ( 1)λ λ

− − −

= − −

− = − +

A

A Ι

3

1 2 3

2. ( ) ( 1 0

1

)p

λ

λ

λ λ

λ= − + =

= = = −

1

1

1

2

1

1

1

0 3 9 0

3. ( ) 0 6 18 0

0 2 6 0

1

(1,0,0); (

0 1 0

0 3 ; , Gen 0 , 3

0 1

0, 3,1)

0 1

x

y

z

E r s r s

λ

−

− −

− = = − −

= + − ∈ = −

= =

−

v

A

v

I v

R

5.2 Diagonalización

Sean A y D matrices n×n. Se dice que D es simi-

lar a A si existe una matriz invertible P tal que

D = P-1AP

1

7 10 2 5,

3 4 1 3

2 0

0 1

−

− = =

−

= =

A P

D P AP

Definición

Una matriz A de n×n es diagonalizable si existe

una matriz diagonal D tal que A sea similar a D.

Si la matriz A de n×n tiene n valores propios dis-

tintos, entonces A es diagonalizable.

Ejemplo

1 2

1 2

4 2; 1, 6 ;

3 3

( 2 , 3 ) , (1,1)

λ λ

= = =

= − =

A

v v

[ ]1 2

1

2 1

3 1

1 0

0 6

−

− = =

= =

P v v

D P AP