cap5 diagramas bode eiii 2003 -...

Octávio Páscoa Dias 81

Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III

4 – Resposta em Frequência4 – Resposta em Frequência

n As redes de interesse, para o estudo desenvolvido na disciplina, podemser modeladas como redes lineares de dois acessos (figura 4.1);

)(sT

)(sVi )(sVo

nA Função de Transfência, T(s), de uma rede é a razão entre a tensão de saída, Vo(s), e a tensão de entrada, Vi(s).

)()(

)(sVsV

sTi

O=

Figura 4.1 – Rede linear de dois acessos.

Funções de TransferênciaFunções de Transferência




n Uma vez obtida a função de transfência, T(s), a análise do comportamento da rede para as frequências físicas é feita com base nasubstituição de s por jω. A função de transferência, T(jω), que resultadaquela substituição, é em geral uma quantidade complexa, cuja amplitude, |T(ω)|, é a amplitude da resposta, ou transmissão, e o ângulo, α, é a faseΦ(ω), da resposta da rede. Em geral, para as redes de interesse para o presente estudo, a função de transferência pode ser expressa como a razãoentre dois polinómios,

01

1

01

1

.......................

)(bsbsasasa

sT nn

n

mm

mm

++++++

= −−

−−

isto é, )()(

)(sDsN

sT =



n O grau, m, do polinómio numerador, N(s) é menor do que o grau, n, do polinómio denominador, D(s);

n Os coeficientes de N(s) e D(s) são números reais;n O grau, n, do polinómio denominador, D(s), representa a ordem da rede.

n Numa rede estável, isto é, uma rede que não gera sinais por si própria, ospólos têm a parte real negativa.

n Por intermédio da factorização dos polinómios, N(s) e D(s), a função de transferência, T(s), pode ser expressa por,


)(......)()()(......)()(

)(21

21

n

mm pspsps

zszszsasT

−××−×−−××−×−

=



onde,n am é uma constante multiplicativa;n z1, z2,...,zm, são os zeros da função de transferência ou zeros de transmissão;n p1, p2,...,pn, são os pólos da função de transferência ou modos naturais;

n A função de transferência fica completamente especificada porintermédio do conhecimento do valor da constante multiplicativa, e dalocalização dos seus pólos e zeros;n um zero imaginário puro produz um zero de transmissão em ω=ωZn zeros reais não produzem transmissão nula;n para s→∞, a função de transferência pode ser aproximada por,

Funções de Transferência (cont.)Funções de Transferência (cont.)

mnm

sa

sT −≅)(e assim, T(s) tem (n-m) zeros no ∞.



Funções de Transferência (cont.)Funções de Transferência (cont.)

n A expressão geral da função de transferência das redes de 1ª ordem tem a forma,

e para o tipo HP, pode ser representada por,

que para o tipo LP, se expressa por,0

01)(ω+

+=

sasa

sT

0

0)(ω+

=s

asT

0

1)(ω+

=s

sasT



Diagramas de BodeDiagramas de Bode

n Tendo em conta que, no domínio s função de transferência de uma redepode ser representada pela expressão,

∏

∏

=

=

−

−== n

ii

m

ii

ps

zsK

sDsNsT

1

1

)(

)(

)()()(

a qual, para as frequências físicas, s=jω, toma a forma,

∏

∏

=

=

−

−= n

ii

m

ii

pj

zjKjT

1

1

)(

)()(

ω

ωω



)(Re)(Im

)(Re)(Im

)(1

1

1

1

i

in

ii

im

i pjpj

tgzjzj

tg−−

−−−

=Φ ∑∑=

−

=

−

ωω

ωω

ω

)(Re

)(Im)( 1

ω

ωω

jT

jTtg−=Φ

∑∑==

−−−+=n

iii

m

i

pjzjkG11

log20log20log20)( ωωω

)(log20)( ωω jTG =

e definindo ganho da rede, em dB, por intermédio da expressão,

obtém-se,

e da expressão da fase da rede,

Diagramas de BodeDiagramas de Bode

pode assim, concluir-se que,

com,

∏

∏

=

=

−

−= m

ii

n

ii

pj

zjKjT

1

1

)(

)()(

ω

ωω



• O cálculo exacto da amplitude e da fase por intermédio destas expressões, revela-se um processo muito trabalhoso, que para a maioria dos casos pode ser evitado através da utilização do seu cálculo aproximado com base nos Diagramas de Bode. Os Diagramas de Bode constituem uma técnica simples para esboçar o comportamento aproximado da amplitude e da fase de uma rede, cuja informação se encontra contida na sua função de transferência T(s). O método foi desenvolvido por H. Bode, sendo particularmente útil para os casos em que os zeros e os pólos são reais.

• Na forma factorizada os polinómios do númerador, N(s), e do denominador, D(s), da função de transferência, T(s), da rede, podem ser construídos com base nos termos,• a) um termo constante k;• b) o factor s;• c) o factor (s+a).

Diagramas de Bode (cont.)Diagramas de Bode (cont.)



o problema de traçar o gráfico aproximado para a amplitude de, T(jω), isto é, os Diagramas de Bode para a amplitude e fase, reduz-se ao estudo da contribuição, para aqueles somatórios, dos termos elementares que formam a função de transferência.

∑∑==

−−−+=n

iii

m

i

pjzjkG11

log20log20log20)( ωωω

• Tendo em conta que,

e que,

)(Re

)(Im

)(Re

)(Im)(

1

1

1

1

i

in

ii

im

i pj

pjtg

zj

zjtg

−

−−

−

−=Φ ∑∑

=

−

=

−

ω

ω

ω

ωω




a) o termo constante, k

A análise da contribuição deste factor é feita da mesma forma, quer ele faça parte do númerador ou do denominador da função transferência T(jω), uma vez que, se o termo constante figurar no denominador, pode facilmente ser transferido para o númerador.

• a amplitude de 20 log |k| é positiva se |k|>1 (figura 4.2);• a amplitude de 20 log |k| é negativa se |k|<1 (figura 4.3);• a fase de k é 0º se k>0 (figura 4.4);• a fase de k é 180º se k<0 (figura 4.5).





Figura 4.2 – Contribuição de |k|>1 para a amplitude de T(jω). Figura 4.3 – Contribuição de |k|<1 para a amplitude de T(jω).

klog20

1<k

]/[ sradω

)(ωG][dB

klog20

1>k

)(ωG

]/[ sradω

][dB




Figura 4.4 – Contribuição de k ≥ 0 para a fase de T(jω). Figura 4.5 – Contribuição de k < 0 para a fase de T(jω).

0>k

0 ]/[ sradω

)(ωΦ][º

0<k

)(ωΦ][º

]/[ sradω

180−



b1) o factor, s, como pólo

comportamento do módulo(figura 4.6)

)(Re)(Im

)( 1

ωω

ωjTjT

tg −=Φ

0

1)( 1 ωω

jtg

−=Φ −

º90)()()( 1 −=Φ⇒−∞=Φ − ωω tgω

ωω log20

1log20)( −=−= jjT

dB

ωω

ωω

1)(;

1)(;

1)( jjT

jjT

ssT −===

comportamento da fase(figura 4.7)




=×−=−

=−×−=−

0)0(201log20

20)1(201,0log20 oitavadBdécadadBms

sTjs

/6/201

)( −=−=⇒== ω


Figura 4.6 – Contribuição de s , como pólo, para a amplitude de T(jω). Figura 4.7 – Contribuição de s , como pólo, para a fase de T(jω).

décadadBm /20−=

01,0 ω 0ω ]/[ sradω

)(ωG][dB

]/[ sradω

)(ωΦ][º

0

90−



)(Re)(Im

)( 1

ωω

ωjTjT

tg −=Φ

º90)()()( 1 +=Φ⇒+∞=Φ − ωω tg

ωω jjTssT == )(;)(

ωωω log20log20)( == jjTdB

0)( 1 ω

ωj

tg −=Φ

comportamento do módulo(figura 4.8)

comportamento da fase(figura 4.9)


b2) o factor, s, como zero



=×=

−=−×=

0)0(201log20

20)1(201,0log20oitavadBdécadadBmssT

js/6/20)( ==⇒=

= ω


décadadBm /20=

)(ωG][dB

]/[ sradω01,0 ω0ω

)(ωΦ][º

]/[ sradω0

90

Figura 4.8 – Contribuição de s , como zero, para a amplitude de T(jω). Figura 4.9 – Contribuição de s , como zero, para a fase de T(jω).



• Se o factor, (s+a), é um pólo então,

aa

jTdB

dBlog20

1)( −==ω

ajjT

assT

+=

+=

ωω 1)(;1)(

ajT

1)( ≈ω

ωω

ω log201

)( −==dB

dB jjT

ωω

jjT

1)( ≈

comportamento do módulo (figura 4.10)

c1) o factor, (s+a), como pólo

ω << a ω >> a




décadadBm /20−=

alog20−

a ]/[ sradω

)(ωG][dB

a1,00

Figura 4.10 – Contribuição de (s+a), como pólo, para a amplitude de T(jω).




)(Re)(Im

)( 1

ωω

ωjTjT

tg −=Φ

comportamento da fase (figura 4.11)

ajT

1)( ≈ω ω

ωj

jT1

)( ≈

0

1)( 1 ωω

jtg

−=Φ −

º90)()()( 1 −=Φ⇒−∞=Φ − ωω tg

atg

10

)( 1−=Φ ω

º0)()0()( 1 =Φ⇒=Φ − ωω tg


ω << a ω >> a



Figura 4.11 – Contribuição de (s+a), como pólo, para a fase de T(jω).

)(ωΦ][º

aa1,0 a100

45−

90−

]/[ sradω




• Se o factor (s+a) for um zero então,

ajTdBdB

log20)( == αω

ajjTassT +=+= ωω)(;)(

ajT ≈)( ω

ωωω log20)( ==dBdB

jjT

ωω jjT ≈)(

• comportamento do módulo (figura 4.12)


c2) o factor, (s+a), como zero

ω << a ω >> a




décadadBm /20=

alog20

aa1,00

)(ωG][dB

]/[ sradω

Figura 4.12 – Contribuição de (s+a), como zero, para a amplitude de T(jω).



ωω jjT ≈)(

0)( 1 ωω j

tg−=Φ

º90)()()( 1 =Φ⇒+∞=Φ − ωω tg

ajT ≈)( ω

atg

0)( 1−=Φ ω

º0)()0()( 1 =Φ⇒=Φ − ωω tg


)(Re)(Im

)( 1

ωω

ωjTjT

tg −=Φ

comportamento da fase (figura 4.13)

ω << a ω >> a



décadam /º45=

aa1,0 a10 ]/[ sradω

)(ωΦ][º

90

45

0

Figura 4.13 – Contribuição de (s+a), como zero, para a fase de T(jω).




• 1 pólo introduz uma redução do ganho com um declive de -20 dB/década;• 1 zero introduz um aumento do ganho com um declive de + 20 dB/década;• pólos duplos introduzem um declive no ganho de - 40 dB/década;• zeros duplos introduzem um declive no ganho de + 40 dB/década.

• 1 pólo introduz um desvio na fase com um declive de - 45º/década até aomáximo de -90º (com início em 0,1ω0 e fim em 10ω0);

• 1 zero introduz um desvio na fase com um declive de + 45º/década até aomáximo de +90º (com início em 0,1ω0 e fim em 10ω0);

• pólos duplos introduzem um declive no desvio da fase de - 90º/década atéao máximo de -180º (com início em 0,1ω0 e fim em 10ω0);

• zeros duplos introduzem um declive no desvio da fase de + 90º/década atéao máximo de +180º (com início em 0,1ω0 e fim em 10ω0.).


influência no módulo (resumo)

influência na fase (resumo)



n Exemplo 4.1Esboce o diagrama de Bode para a amplitude e para a fase de uma rede com a seguinte função de transferência,

5

5

2

28

528

101

101

101

101

10)(101

101

10)(ss

ssTss

ssT+

×+

××=⇒+

×+

××=

Resolução)10)(10(

10)( 52

8

++=

sss

sT

)10

1)(10

1(10)(

101

1

101

1101010)(

5252

528

sss

sTss

ssT++

=⇒+

×+

××××= −−


Para esboçar o comportamento da resposta da rede quanto à amplitude, éusual colocar-se, por conveniência, o factor (s+a) na forma (1+(s/a)).



comportamento do módulo

2101

1s

+

210

5101

1s

+

510

10

s

)10

1)(10

1(

10

52

sss

++

)(ωG][dB

]/[ sradω

60

20

20−

0




comportamento da fase


110− 010 110 210 310 410 510 610 710

)(ωΦ][º

]/[ sradω

2101

1s

+ 5101

1s

+

)10

1)(10

1(

10

52

sss

++

s90

45

90−

45−

0



n Exercício 4.1Mostre que a função de transferência T(s) da rede de 1ª ordem representada na figura 4.14, pode ser dada pela expressão,


)//(1

1

)(

21

1

RRCs

CRsT+

=

Figura 4.14 – Figura para p exercício 4.1.



n Exercício 4.2Um circuito de 1ª ordem, tem o ganho de 10 em dc, o ganho de 1 para s=∞ e o pólo em 10 kHz. Determine a sua função de transferência, T(s).

Solução:


4

5

102102

)(×+×+

=ππ

ss

sT

n Exercício 4.3Um amplificador de acoplamento directo tem o ganho 1000 em dc e a frequência de queda de 3 dB localizada em 100 kHz. Determine,

a) a função de transferência T(s);b) o produto ganho-largura de banda (GB).

Soluções:

a) ; b) 108 Hz

51021

1000)(

×+

=

πs

sT

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