cap14 siste. linel

Moisés Villena Muñoz Sistemas de Ecuaciones Lineales

337

14

14.1 DEFINICIÓN 14.2 CONJUNTO SOLUCIÓN 14.3 MÉTODO DE GAUSS 14.4 REPRESENTACIÓN MATRICIAL 14.5 PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Ya nos enfrentados a sistemas de ecuaciones con dos o tres incógnitas. El objetivo ahora es ser más generales, y definir métodos para hallar conjunto solución, incluso de sistemas con más ecuaciones que incógnitas. Y además hacer análisis de las soluciones.


338

OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: Defina sistema de ecuaciones lineales homogéneos y no homogéneos. Defina Conjunto Solución de sistemas de ecuaciones lineales, sistemas consistentes con solución única, sistemas

consistentes con infinitas soluciones, sistemas inconsistentes. Aplique el método de eliminación de Gauss para determinar conjunto solución de sistemas de ecuaciones lineales. Justifique la consistencia o inconsistencia de un sistema de ecuaciones lineales. Cree sistemas de ecuaciones que tengan solución única, infinitas soluciones o que sean inconsistentes.

Una ECUACIÓN LINEAL en las incógnitas nxxxx ,,,, 321 es de la forma:

1332211 bxaxaxaxa nn =++++

donde IRbaaaa n ∈1321 ,,,,, Ya se han resueltos sistemas lineales de dos o tres incógnitas.

Por ejemplo:

Un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

=+=−

24312

yxyx

Un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

−=−+−=++

=++

253132

0

zyxzyx

zyx

Definiremos ahora sistemas con más ecuaciones y con más incógnitas. Y no necesariamente la misma cantidad de ecuaciones que incógnitas. 14.1 DEFINICIÓN

Un SISTEMA LINEAL de "m " ecuaciones con " n" incógnitas es de la forma:

=++++

=++++=++++=++++

mnmnmmm

nn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa

332211

33333232131

22321222121

11313212111

donde njmiparaIRba jij ,...,3,2,1;,...3,2,1 ==∈∧

Si 0321 ===== mbbbb (todos iguales a cero) se llama "Sistema homogéneo". Caso contrario se llama "Sistema no homogéneo"


339

14.2 CONJUNTO SOLUCIÓN El conjunto solución de un sistema lineal está constituido por vectores de nIR , ( )nxxxxX ,...,, 321= . Donde los valores de nxxxx ,,,, 321 satisfacen a las ecuaciones simultáneamente. Este conjunto tendrá una de las siguientes tres características:

CASO I. Estar constituido por únicos valores para nxxxx ,,,, 321 . En tal caso se dirá que el sistema tiene solución única.

( ){ }nxxxxS ,...,,, 321=

CASO II. Estar constituído por infinitos valores para nxxxx ,,,, 321 . En tal caso se dirá que el sistema

tiene infinitas soluciones.

( ) ( ){ },...,...,,,,,...,,, 223

22

21

113

12

11 nn xxxxxxxxS =

CASO III. No tener elementos. No existen valores para nxxxx ,,,, 321 que satisfagan a las ecuaciones al

mismo tiempo. En tal caso se dirá que el sistema no tiene solución.

φ=s .

Cuando el sistema tiene solución, se dice que es un SISTEMA CONSISTENTE. Caso contrario, es decir, cuando no tiene solución, se dice que es un SISTEMA INCONSISTENTE.

En conclusión los sistemas lineales pueden ser:

SISTEMA CONSISTENTE • Con Solución única, o • Con Infinitas soluciones SISTEMA INCONSISTENTE

• No tienen solución.


340

Existen varios métodos para hallar el conjunto solución de

sistemas lineales, pero el que vamos a estudiar aquí, resulta ser el método general que le permitirá no sólo hallar el conjunto solución, sino también analizar consistencia e inconsistencia de sistemas.

14.3. MÉTODO DE GAUSS La esencia del método consiste en ir estableciendo sistemas

equivalentes que tendrán el mismo conjunto solución, hasta llegar a un sistema simple que nos permita deducir rápidamente su conjunto solución.

PASO 1. Plantear la matriz aumentada del sistema. Esta es, la matriz de coeficientes de las incógnitas aumentando los términos independientes. Es decir:

mmnmmm

n

n

n

b

bbb

aaaa

aaaaaaaaaaaa

3

2

1

321

3333231

2232221

1131211

PASO 2. Reducir por renglones a la matriz aumentada hasta obtener una matriz escalonada (tratar de formar un sistema triangular superior)

mmn

n

n

n

d

ddd

c

ccccccccc

3

2

1

333

22322

1131211

000

000

utilizando a necesidad una de las siguientes operaciones (operaciones que forman sistemas equivalentes que poseen el mismo conjunto solución):

Ejemplo 1

Para el sistema:

=+−=+−=−+

1032113244

zyxzyxzyx

Intercambiar filas. Multiplicar una fila por una constante diferente de cero


341

PASO I: Su matriz aumentada es:

−−

−

10312113214114

PASO II: El objetivo ahora será reducirla hasta una matriz escalonada empleando las operaciones permitidas. Note que se puede intercambiar la primera con la segunda fila para tener "1" en el primer elemento de la primera fila.

−−

−

103124114

11321

Luego de esto, será posible obtener los "0" en los primeros elementos de la segunda y tercera fila, bastaría con adicionar a la segunda fila respectivamente -4 veces la primera fila (o lo que es lo mismo, multiplicar por -4 a la primera fila y se la sumarla algebraicamente a la segunda). En el mismo paso se puede adicionar a la tercera fila -2 veces la primera fila

−−−−

−≈

−−

−−−

12330401390

11321

103124114

11321)4()2(

Podemos ahora multiplicar por 31 a la tercera fila

( )

−−−−

−≈

−−−−

−

4110401390

11321

12330401390

11321

31

Luego intercambiamos la segunda con la tercera fila

−−−−

−

4013904110

11321

Al adicionarle a la tercera fila -9 veces la segunda fila, conseguimos el sistema triangular superior:

−−−−

−≈

−−−−

−−

44004110

11321

4013904110

11321)9(

Podemos multiplicar por 41− a la tercera fila

( )

−−

−≈

−−−

−

− 11004110

11321

44004110

11321

41

El sistema equivalente, finalmente sería

⇒

−−

−

11004110

11321zyx

=−=−

=+−

14

1132

zzyzyx

La última ecuación nos dice que 1=z . Reemplazando este valor en la segunda ecuación tenemos: 341 −=⇒−=− yy . Y finalmente, reemplazando estos dos valores en la primera ecuación, tenemos:

2113611)1(3)3(2=⇒=++

=+−−xx

x

Por lo tanto el Conjunto solución sería

=−==

= 1;3;2/ zyx

zyx

S . O simplemente


342

−=

132

S .

Lo cual nos permite pensar que estamos en el CASO I, es decir es un sistema consistente con solución única.

El procedimiento anterior no es rígido, es decir se pueden hacer otros pasos diferentes si fuese conveniente, pero el objetivo debe ser el mismo, llegar a un sistema triangular superior. Y por ende se debe llegar al mismo conjunto solución.

Ejemplo 2

Sea el sistema:

=+−=+−

=−+

30599423

4

zyxzyx

zyx

La matriz aumentada para este sistema es:

−−

−

3051994234111

Realizando reducción de filas, tenemos:

−−

−≈

−−−−

−−≈

−−

−−−

00003750

4111

6141003750

4111)2(

3051994234111)3()9(

Siguiendo la técnica anterior, el sistema equivalente sería:

=−=+−

=−+

00375

4

zzy

zyx

La última ecuación se satisface para cualquier valor de " z ", es decir IRz∈ . Por esto, " z " recibe el nombre de variable libre o independiente o arbitraria.

Despejando " y "en la segunda resulta 5

37 +=

zy . Ahora, en la primera ecuación al despejar

" x " tenemos zyx +−= 4

Reemplazando y por su expresión respectiva y simplificando resulta: 5

217 zx −= . Por lo tanto

el conjunto solución sería:

∈∧+

=∧−

=

= IRzzyzx

zyx

S5

375

217/

Esto nos permite pensar que estamos en el CASO II, es decir un Sistema Consistente con infinitas soluciones. Existirían infinitos valores para las incógnitas que satisfacen a las ecuaciones. Para obtener algunos de estos valores, se le daría valores a " z ", por ejemplo: si 1=z . Entonces,

35

155

)1(217==

−=x y 2

510

53)1(7

==+

=y


343

Se puede comprobar que esta es una solución del sistema para lo cual sólo habría que reemplazar

en

=+−=+−

=−+

30599423

4

zyxzyx

zyx

=+−=+−

=−+⇒

30)1(5)2()3(99)1(4)2(2)3(3

4123.

Si se desea otra solución, le damos otro valor a " z ". Ahora puede ser 4−=z . Entonces,

5525

5)4(217

==−−

=x y 5525

53)4(7

−=−

=+−

=y . Note que también estos valores

satisfacen al sistema:

=−+−−=−+−−

=−−−+

30)4(5)5()5(99)4(4)5(2)5(3

4)4()5()5(

El conjunto solución puede ser expresado también de la siguiente forma:

−−

= ,...

455

,123

S

Un sistema con otro tipo de infinitas soluciones, es el siguiente:

Ejemplo 3

Sea el sistema:

=−+=−+

=−+

123338222

4

zyxzyx

zyx

La matriz aumentada del sistema es:

−−−

1233382224111

Reduciendo renglones, resulta:

−≈

−−−−−

000000004111

1233382224111)3()2(

Lo cual da lugar al siguiente sistema:

===−+

000004

zzyzyx

IRzIRy

zyx

∈∈

+−=→ 4

Aquí a

zy

son llamadas Variables libres o Independientes o arbitrarias

Por tanto, el conjunto solución sería:

=

∈∧∈∧+−=

= ,

013

,114

4/ IRzIRyzyxzyx

S

Se le da valores arbitrarios tanto a " z " como a " y " para obtener valores para " x ".

Ahora analicemos un sistema inconsistente.


344

Ejemplo 4

Sea el sistema

=−+=−+=−+

24430232

42

zyxzyx

zyx

La matriz aumentada es:

−−−

244302324211

Reduciendo renglones, resulta:

−−

−≈

−−

−−≈

−−−−−

20008210

4211

102108210

4211)1(

244302324211)3()2(

Lo cual da lugar al siguiente sistema:

−=−=+

=−+

FALSOzyzyx

2082

4

La última ecuación es una proposición falsa, esto indica una inconsistencia. Por tanto, éste es un sistema que no tiene solución. Por lo tanto su conjunto solución es:

φ=S No existe algún valor para x , y y z que satisfaga al sistema.

PREGUNTA: ¿Qué se puede decir de un sistema si al reducirlo se obtiene

−

−

00004000

11321

No olvide de justificar su respuesta.

Analicemos ahora sistemas rectangulares.

Ejemplo 5

Sea el sistema

−=+−=+

=−

245123

32

yxyxyx

.Hallar su conjunto solución.

SOLUCIÓN: Planteando la matriz aumentada, y haciendo las reducciones de filas convenientes:


345

−

−≈

−−

−−≈

−−

−≈

−−

−−−≈

−−

−

10001170312

1339101170312

)13(

191301170312

)7(4810246

312)5)(3(

245123

312

)2()2(

El último renglón nos da una inconsistencia. Por tanto φ=S

Ejemplo 6

Hallar el conjunto solución para el sistema:

=+++−=++−

=−+−

422322

5

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxx

SOLUCIÓN: Planteando la matriz aumentada y reduciendo por renglones, tenemos:

( )

( )

−−−

−−

≈

−−−

−−≈

−−

−−

−−

−−≈

−−

−−−

1100085100

51111

5500085100

51111

3010085100

51111

9030085100

51111

412112312251111)2(

51

31

El sistema equivalente resultante es:

−=−=+−

=−+−

185

5

4

43

4321

xxxxxxx

De la última ecuación tenemos que: 14 −=x , reemplazándolo en la segunda tenemos:

3588)1(5

33

3

=⇒−=−=−+−

xxx

. En la primera ecuación reemplazamos los valores

encontrados1

513

21

21+=

=++−xxxx

, entonces podemos decir que IRx ∈2 . Aunque lo

mismo podríamos decir de 1x y despejar 2x . Estamos ante un sistema consistente con infinitas soluciones, cuyo conjunto solución puede ser expresado de la siguiente forma:

−

−

=

−=∧=∧∈∧+=

= ,

1323

,

1301

131/ 43221

4

3

2

1

xxIRxxx

xxxx

S

Ahora veamos un sistema homogéneo.

Ejemplo 7

Hallar el conjunto solución para el sistema homogéneo:

=++=++=+−

073605230432

zyxzyxzyx


346

SOLUCIÓN: Planteando la matriz aumentada y reduciendo renglones, tenemos:

−−

−≈

−−

−−

≈

−−

−≈

−−

−

≈

−−≈

−

04100021300432

0651560021300432

)12(

0651560021300432

05120021300432

)13(

0736010460432)3(

073605230432

)2(

El sistema equivalente sería:

=→=→=→

=−

=−

=+−

000

041

0213

0432

zyx

z

zy

zyx

Este tipo de solución es llamada Solución Trivial. Este es un sistema consistente con solución única.

Los sistemas homogéneos tienen una característica especial, son sistemas consistentes, por simple inspección se puede comprobar que por lo menos la solución trivial los satisface.

Ejercicios Propuestos 14.1 1. Encuentre el conjunto solución de los siguientes sistemas lineales:

a)

−=++−=++−=++

93248325113

zyxzyxzyx

b)

=++=+−

=++

2737220723

92

zyxzyx

zyx

c)

=++−=+−−

=++

84331

3

zyxzyx

zyx d)

=++=++−=+−

=−+

232732

1234

zyxzyxzyx

zyx

e)

=+−=+−

=−+

3059923

4

zyxzyx

zyx f)

=−+−=++=++

030

032

zyxzyx

zyx

2. Sea el sistema de ecuaciones:

=++

=−+

=++

4111

1132

4214

zyx

zyx

zyx

entonces el valor de " y " que lo

satisface es: a)1 b) -1 c) ½ d) -1/2 e) 1/3

3. Con respecto al sistema

=++=++=+−

073605230432

zyxzyxzyx

, una de las siguientes afirmaciones es VERDADERA,

identifíquela: a) El sistema tiene como solución 0,1,2 =−== zyx .


347

b) El sistema sólo tiene solución trivial: 0,0,0 === zyx . c) El sistema es inconsistente. d) Además de la solución trivial, el sistema tiene como solución 4,1,2 =−== zyx . e) Todas las proposiciones anteriores son falsas.

4. Dado el sistema de ecuaciones lineales:

=++=−−−=−+−

002032

32

321

321

xxxxxxxx

entonces es VERDAD que:

a) Una de las soluciones del sistema es: x 1=-3; x 2=3; x 3=-3 b) El sistema no tiene solución y es inconsistente, aunque homogéneo. c) El sistema tan sólo tiene una única solución, que es la trivial. d) El sistema, además de la solución trivial, tiene infinitas soluciones. e) Todas las proposiciones anteriores son falsas.

Existen otros tipos de problemas en donde no se trata de hallar el

conjunto solución sino de diseñar el sistema

Ejercicio resuelto 1 Con respecto al siguiente sistema de ecuaciones:

=−++

=++=−+

cxcxx

xxxxxx

32

21

321

321

)5(

622

El valor de "c" para que sea INCONSISTENTE, es: a) -2 b) 2 c) 0 d) 1 e) 4

SOLUCIÓN: Planteando la matriz aumentada del sistema y reduciendo renglones de la misma forma que en los ejercicios anteriores:

( )

( )

( )( )

−+−

−

≈

−−

−≈

≈

−

−−

22(20042102111

240042102111

51161212111)1(

2

2

ccc

cc

cc

Analizando el último renglón Si ⇒= 2c ( )0000 Infinitas soluciones. Si ⇒−= 2c ( )4000 − Inconsistente. Si ⇒−≠∧≠ 22 cc ( )0000 21 ≠≠ kk solución única. RESPUESTA: Opción "a". Ejercicio resuelto 2

Sea el siguiente sistema ( )( ) ( )

=−+−+−

+−=+−+−=−+−

azayax

azyaxazyx

310242

13212

2

, donde IRa∈ , indique

¿cuál de las afirmaciones siguientes es VERDADERA?


348

a) 2=a el sistema tiene infinitas soluciones b) 2−=a el sistema tiene solución única c) 2=a el sistema tiene solución única d) 22 −=∨= aa el sistema tiene solución única e) 2=a el sistema es inconsistente

SOLUCIÓN: Planteando la matriz aumentada del sistema y reduciendo renglones

( )

( )

( )

( )( )

+−+−−−−−

≈

+−−−−−−

≈

+−+−−−−−−

≈

−−−+−−

−−−−

2220030

121

240030

121

231022030

121)2(

310)24(213)2(1

121)2(

2

2

2

aaaaaa

a

aaaaa

a

aaaaaa

a

aaaaa

a

Analizando el último renglón - Si ⇒= 2a ( )4000 Inconsistente.

- Si ⇒−= 2a ( )0000 Infinitas soluciones.

- Si ⇒−≠∧≠ 22 aa Solución única. RESPUESTA: Opción "e". Ejercicio resuelto 3

Sea el sistema de ecuaciones ( )( )

+=−−++

−=−+−−=−+

233362432

322

2 kzkkyxkzkyx

zyx El valor de "k"

para que el sistema tenga INFINITAS SOLUCIONES es:

a) 32− b) 1− c)0 d)1 e)2

S0LUCIÓN:

Planteando la matriz aumentada del sistema y reduciendo renglones

( )

( )

( )≈

−−−−

≈

−−−−−

−

≈

+−−−−−−

−−

11002103221

131102103221

)1(

2333162)4(32

3221)2()1(

2

2

2

kkkk

kkkkk

kkkkk


349

( )( )

−+−−−

≈11100

2103221

kkkkk

Analizando el último renglón - Si ⇒= 1k ( )0000 Infinitas soluciones. - Si ⇒−= 1k ( )2000 − Inconsistente. - Si ⇒−≠∧≠ 11 kk Solución única.

RESPUESTA: Opción "d".

Ejercicios Propuestos 14.2

1. Considere el sistema de ecuaciones lineales:

=+−−=−+=+−

cxxxbxxxaxxx

321

321

321

21555332

entonces es CIERTO que:

a) La matriz de coeficientes del sistema es invertible. b) Para cualquier valor de a, b y c, el sistema es consistente. c) Si a=b=c=0 el sistema tiene solución única d) El sistema es inconsistente sólo si c ≠ 2a-3b e) Todas las proposiciones anteriores son falsas.

2. Dado el sistema de ecuaciones lineales:

=−++−=+−=−

0)13(37233

321

321

21

xaxxaxxx

xx, entonces una de las siguientes

proposiciones es FALSA, identifíquela: a) Si a=1, el sistema tiene infinitas soluciones. b) Si ¬(a=1), el sistema tiene solución única. c) Si a=1, el sistema no tiene solución única. d) No existe un número real a ≠ 1 tal que el sistema sea inconsistente. e) Una de las proposiciones anteriores es falsa.

3. El sistema de ecuaciones lineales

=++−=−+=−−

czyxbzyx

azyx

22

32, es CONSISTENTE si:

a) cab += b) cab +≠ c) cba +≠ d) bac +≠ e) cba +=

4. Los valores de la constante "a" para los cuales el sistema

=+−=+−−=

024

32

zayzxya

yzx

tiene un número infinito de soluciones, es: a) -4 y 1 b) -4 y -1 c) 4 y 1 d) 4 y -1 e) 4

5. Considere el sistema de ecuaciones:

=++=+

=++

1222

232

zyxzky

zyx

entonces es VERDAD que:

a) El sistema tiene infinitas soluciones si IRk ∈ .

b) El sistema es consistente si 21

=k

c) Si 2=k entonces 25

=z

d) Si 21

−=k el sistema es inconsistente.

e) Todas las proposiciones anteriores son falsas.


350

6. Los VALORES de k para que el siguiente sistema lineal

=−+=−−=+−

022022

04

zyxkzyxzykx

tenga INFINITAS SOLUCIONES, son:

a) -1 y -5 b)1 y -5 c)1 y 5 d)2 y -5 e)-1 y 5

14.4 REPRESENTACIÓN MATRICIAL.

El sistema lineal de ecuaciones:

=++++

=++++=++++=++++

mnmnmmm

nn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa

332211

33333232131

221321222121

11313212111

puede ser representado mediante una multiplicación de matrices de la siguiente forma

=

mnmnmmm

n

n

n

b

bbb

x

xxx

aaaa

aaaaaaaaaaaa

3

2

1

3

2

1

321

3333231

2232221

1131211

Lo que esquemáticamente sería:

Ejemplo 1

Para el sistema

−=−+=+−−=+−

33223212

zyxzyx

zyx la representación matricial sería:

−

−=

−−−

321

321321112

zyx

Ejemplo 2

La representación matricial del sistema

=−−=+=−

32213

12

yxyxyx

es:


351

−=

−

−

31

1

223112

yx

Ejercicio Propuesto 14.3

1. Con respecto al siguiente sistema

=

−−−

−−

31155

221331320

3

2

1

xxx

, es verdad que:

a) Tiene infinitas soluciones d) No tiene solución b) Tiene solución única e) Tiene una variable libre c) Tiene dos variables libres

14.5 PROBLEMAS DE APLICACIÓN Problemas con más de una incógnita amerita plantear más de una ecuación, que deben ser consideradas simultáneamente. Los arreglos matriciales van a ser de mucha utilidad para hacer un planteamiento rápido de los problemas de aplicación.

Ejercicio resuelto 1

La producción de dos tipos de artículos, A y B , requiere del uso de dos máquinas I, II,. Para los artículos del tipo A se requiere utilizar tres horas de la máquina I y cuatro horas de la máquina II. Para los artículos del tipo B se requiere utilizar una hora de la máquina I y dos horas de la máquina II. Si el tiempo total disponible de la máquina I es de cinco horas al día y de la máquina II es de ocho horas diarias, el total de artículos A y B que se pueden fabricar respectivamente son: a) 1 y 2 b) 2 y 4 c) 3 y 6 d) 4 y 2 e) 3 y 2

SOLUCIÓN: Es muy conveniente interpretar la información ubicándolo en una tabla, de la siguiente manera: Los renglones permiten proponer la ecuación respectiva. Para el primer renglón: ( ) ( ) MIhorasBdeunidadesy

BdeunidaddeMaqIhoraAdeunidadesx

AdeunidadMaqIdehoras 5""

11""

13

=+

Esto quiere decir que: 53 =+ yx

824

513

II

I

totalTiempoBAArt

Maq

)(x )( y


352

Para el segundo renglón:

( ) ( ) MIhorasBdeunidadesyBdeunidad

deMaqIIhoraAdeunidadesxAdeunidad

MaqIIdehoras 8""1

2""1

4=+ Esto

quiere decir que: 824 =+ yx Note que se forma un sistema lineal de 2 ecuaciones con dos incógnitas:

=+=+

82453

yxyx

Sus soluciones pueden ser encontradas por el método que usted escoja, sin embargo podemos hacer lo siguiente: Despejar " x " en ambas ecuaciones y luego igualar

428284

824

yx

yxyx

−=

−==+

3553

53

yx

yxyx

−=

−==+

220242

420624)5(4)28(3

35

428

=−=

−=−−=−

−=

−

yy

yyyy

yy

Entonces: 1

325

=

−=

x

x

Respuesta:Bdeunidadesy

Adeunidadx21

==

Ejercicio resuelto 2 Un fabricante produce tres artículos A, B y C. La utilidad por cada unidad vendida de A, B y C es $1, $2 y $3 , respectivamente. Los costos fijos son de $17000 por año y los costos de producción por cada unidad son de $4, $5 y $7, respectivamente. El año siguiente serán producidas y vendidas un total de 11000 unidades entre los tres productos y se obtendrá una utilidad total de $25000. Si el costo total será de $80000, entonces el número de unidades del producto B es: a) 1000 b) 2000 c) 3000 d) 4000 e) 5000

SOLUCIÓN: Tabulando la información:

000,11Pr

754..

000,80$000,17..

000,25$321

zyxoduc

VarCost

FijCost

Utilidad

TotalesCBAArt


353

Entonces el sistema para este problema es:

=++=+++

=++

000,11000,80000,17754

000,2532

zyxzyx

zyx

Que al resolverlo, tenemos:

≈

−

≈

−−

≈

000,5100000,14210000,11111

000,19310000,14210000,11111

)1(

000,63754000,25321000,11111

)4()1(

000,11111000,63754000,25321

Por lo tanto:

AunidxxBunidyzy

Cunidz

.000,2000,11000,5000,4.000,4000,142

.000,5

=⇒=++=⇒=+

=

RESPUESTA: Opción "d" SEGUNDO MÉTODO:

Aplicando la regla de Cramer: 4000

754321111

7000,6343000,2511000,111

==y

Ejercicio resuelto 3 Una persona invirtió un total de $20000 en 3 inversiones al 6%, 8% y 10%. El ingreso anual total fue de $1624 y el ingreso de la inversión del 10% fue dos veces el ingreso de la inversión al 6%. ¿De cuánto fue cada inversión?

Solución: Planteando el sistema en forma directa tenemos:

=

=++

=++

xz

zyx

zyx

10062

10010

162410010

1008

1006

000,20

entonces

==

=++=++

xxz

zyxzyx

56

1012

1624001086000,20

Reemplazando " z " en la segunda ecuación:

818162400

16240010121086

xy

xyx

−=

=

++

Reemplazando " z " y " y "


354

%66000$120002

800000489081200040

2000056

818162400

alxx

xxx

xxx

==

=+−+

=+−

+

Entonces %86800$

8)6000(18162400

aly

y

=

−=

y %107200$

600056

alz

z

=

=

Ejercicio resuelto 4 Una compañía paga a trabajadores calificados $15 por hora en su departamento de ensamblado. Trabajadores semicalificados en ese mismo departamento ganan $9 por hora. A los empleados de envíos se les paga $10 por hora. A causa de un incremento en los pedidos, la compañía necesita contratar un total de 70 trabajadores en los departamentos de ensamblado y envíos. Pagará un total de $760 por hora a estos empleados. A causa de un contrato con el sindicato, debe emplearse el doble de trabajadores semicalificados que de trabajadores calificados. Entonces EL NÚMERO DE TRABAJADORES CALIFICADOS que contratará la compañía es: a)10 b)20 c)30 d)40 e)50 SOLUCIÓN: Tabulando la información: Y considerando la condición:

caSemicalifiCalifica

yx↓↓

=2

Resulta el sistema:

==++=++

xyzyx

zyx

270

76010915

Reemplazando " y " en la segunda ecuación:

xz

zxzxx

370703

702

−==+

=++

Reemplazando " y " y " z " en la primera ecuación:

..207007603

760307001815760)370(10)2(915

calftrabxx

xxxxxx

=−=

=−++=−++

RESPUESTA: Opción "b"

70

76010915

.

zyx

hPago

TotalEnvíoSemicfCalifTrab

×


355

Ejercicios Propuesto 14.4 1. Una empresa utiliza 3 tipos de materias primas M1, M2, M3 en la elaboración de 2 productos P1 y P2. El

número de unidades de M1, M2 y M3 usados por cada unidad de P1 son 3, 2 y 4 respectivamente, y por cada unidad de P2 son 4, 1 y 3 respectivamente. Si la empresa produce 20 unidades de P1 y 30 unidades de P2 a la semana, y los costos por unidad de M1 ,M2 y M3 son $1, $3 y $2 respectivamente, entonces la cantidad gastada en materia prima a la semana en la producción de P1 y P2, es: a) $730 b) $420 c) $550 d) $880 e) 990

2. Una industria fabrica 3 clases de artículos: x 1, x 2, x 3, en sus 3 fábricas A, B y C. Cada fábrica debe producir igual cantidad de cada artículo diariamente. Los costos de producción por unidad (en dólares) vienen dados por la matriz:

30,030,060,040,020,040,020,010,050,0

321

CFábricaBFábricaAFábrica

xxx

Si los costos de producción total diaria son $75 para la fábrica A, $90 para la fábrica B y $120 para la fábrica C, entonces el número de unidades del artículo x 2 que se producen en cada fábrica es igual a: a) 25 b) 50 c) 100 d) 125 e) 150

3. Una empresa produce 3 productos A, B y C, los que procesa en 3 máquinas. El tiempo en horas requeridas para procesar una unidad de cada producto por las 3 maquinarias está dado por:

112421213

IIIMAQIIMAQIMAQ

CBA

Se dispone de la maquinaria I por 850 horas, de la máquina II por 1200 horas y la máquina III por 550 horas. ¿Cuántas unidades de cada producto deberían producirse con objeto de emplear todo el tiempo disponible de las máquinas?

4. Una compañía produce tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sillones reclinables. Cada uno requiere de

madera, plástico y aluminio, como se indica en la siguiente tabla:

unidadesunidadesunidadunidadesunidadunidadunidadesunidadunidad

AluminioPlásticoMadera

SillonesMecedoraSilla

532211111

La compañía tiene en existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y 1500 unidades de aluminio. Entonces el NÚMERO DE MECEDORAS que debe fabricar la compañía con objeto de emplear todo el material existente, es: a) 100 b) 120 c)150 d)200 e)250

5. Un contratista dispone de 5000 horas-hombre de mano de obra para 3 proyectos, BA, y C . Los costos por hora-hombre para cada proyecto son de $8, $10 y $12 respectivamente y el costo total es de $53.000. Si el número de horas-hombre para el proyecto C es igual a la suma de las horas-hombre requeridas por los proyectos A y B . Entonces es FALSO afirmar que el número de horas-hombre requeridas para: a) El proyecto C es 2500 d) El proyecto B es 1500 b) Los proyectos A y B es 2500 e) Los proyectos A y C es 3500 c) Los proyectos B y C es 4500

Misceláneos


=+=−=+

542

3

ayxyx

yx. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA,

identifíquela. a) Si 2=a entonces el sistema tiene solución única. b) Si Ra∈ , el sistema tiene infinitas soluciones. c) Si Ra∈ , el sistema es inconsistente. d) Si 4≠a es inconsistente.


356

e) Si 5=a entonces el sistema tiene solución única. 2. Una institución de pesca del estado proporciona tres tipos de comida a un lago que alberga tres especies

de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de 1 unidad del alimento A, 1 unidad del alimento B y 2 unidades del alimento C. Cada pez de la especie 2 consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento A, 4 del B y 5 del C. Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo es de 2 unidades del alimento A, 1 del B y 5 del C. Cada semana se vierte al lago 25000 unidades del alimento A, 20000 del alimento B y 55000 del C. Suponga que los peces se comen todo el alimento. Si hubiesen 6000 peces de la especie 3 entonces habrían: a) 10000 peces de la especie1 y 1000 de la especie 2. b) 1000 peces de la especie1 y 10000 de la especie 2. c) 6000 peces de la especie1 y 5000 de la especie 2. d) 8000 peces de la especie1 y 6000 de la especie 2. e) 6000 peces de la especie1 y 8000 de la especie 2.


=+=+

−=+

152

132

yxyxyx

Es VERDAD que : a) El sistema tiene infinitas soluciones. b) El sistema es inconsistente. c) El sistema tiene como única solución a 3−=x y 4=y .

d) El sistema tiene como única solución a 4=x y 3−=y .

e) El sistema tiene como única solución a 4−=x y 3=y .

4. El valor de “ k ” para que el sistema

( )

−=−++−−=++−

=−−

kzkyxzyxzyx

2528

052 sea INCONSISTENTE, es:

a)3 b)0 c)–4 d)–3 e)–1

5. El gerente de un restaurante desea alquilar 200 juegos de platos. Una cierta clase de platos cuesta $25 el juego y otra clase cuesta $45 el juego. Si el gerente sólo desea gastar $7400, ENTONCES EL NÚMERO DE JUEGOS DE CADA CLASE DE PLATOS QUE DEBE ALQUILAR es: a) 120 platos de $25 el juego y 80 platos de $45 el juego. b) 100 platos de $25 el juego y 60 platos de $45 el juego. c) 60 platos de $25 el juego y 100 platos de $45 el juego. d) 90 platos de $25 el juego y 120 platos de $45 el juego. e) 80 platos de $25 el juego y 120 platos de $45 el juego.

6. Sea el sistema

=++=−+=+−

azyxzyx

zyx

23432

52 . Entonces el VALOR de “ a ” para que el sistema sea CONSISTENTE

es: a)1 b)7 c)9 d)4 e)0

7. Sea el sistema

−=−+−=−−+=−+−

=+++

342335239432

10

uzyxuzyxuzyx

uzyx

, entonces es VERDAD que:

a) El sistema es inconsistente. b) El sistema tiene infinitas soluciones. c) El sistema tiene solución trivial. d) El sistema tiene solución única. e) Marque esta casilla si todas las proposiciones anteriores son falsas.

8. Un turista que viaje al Mundial de Fútbol de Japón y Corea gastará $30 al día por hospedaje en la ciudad de Tokio, $20 al día en la ciudad de Seúl y $20 al día en la ciudad de Kobe. En cuanto a alimentos, el turista gastará $20 diarios en Tokio, $30 diarios en Seúl y $20 diarios en Kobe. Además por conceptos varios el turista gastará $10 en cada una de las ciudades mencionadas. Si sólo puede gastar un total de $340 por hospedaje, $320 por alimentos y $140 por gastos varios. Entonces el NÚMERO DE DÍAS que el turista podrá estar en Tokio, Seúl y Kobe, respectivamente es: a) 6, 4 y 4 días b) 3, 2 y 2 días c) 1 días en las tres ciudades d) 8, 4 y 4 días


357

e) 10, 4 y 4 días

9. Con respecto al sistema de ecuaciones

=−+−−=−+−

=+−

65323

12

zyxzyxzyx

Es VERDAD que: a) 5−=+ yx b) El sistema es inconsistente. c) El determinante de la matriz de coeficiente es 1. d) El sistema tiene solución única e) El sistema tiene infinitas soluciones

10. Con respecto al sistema lineal:

=−++=+−−

020223

wzyxwzyx

Es VERDAD que: a) Tiene única solución b) Una de sus soluciones es 0=x , 0=y , 1=w , 1=z c) Su conjunto solución tiene 1 variable libre. d) Su conjunto solución tiene 2 variables libres. e) El sistema es inconsistente

11. El valor de a para que el sistema

=+−=+−+

=++

3296)1(3

232

zyxzyax

zyx tenga infinitas soluciones es:

a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) 2−


=+=−=+

542

3

kyxyx

yx Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA,

identifíquela: a) Si 2=k entonces el sistema tiene única solución. b) Si IRk ∈ el sistema tiene infinitas soluciones. c) Si IRk ∈ el sistema es inconsistente. d) Si 4=k entonces el sistema tiene única solución. e) Si 5=k entonces el sistema es consistente.

13. Una fábrica de automóviles produce dos modelos A y B. El modelo A requiere 1 hora de mano de obra

para pintarse y 21 hora de mano de obra en pulido; el modelo B requiere de 1 hora de mano de obra para

cada uno de los procesos. Durante cada hora que la línea de ensamblado está funcionando, existen 100 horas de mano de obra disponibles para pintura y 80 horas de mano de obra para pulido. Entonces el NÚMERO DE AUTOMÓVILES de cada modelo que pueden ser producidos cada hora si se utilizan todas las horas de mano de obra, es: a) 60 automóviles del modelo A y 40 del modelo B. b) 40 automóviles del modelo A y 60 del modelo B. c) 45 automóviles del modelo A y 50 del modelo B. d) 20 automóviles del modelo A y 80 del modelo B. e) 80 automóviles del modelo A y 20 del modelo B.

14. Un microempresario desea repartir los $8600 de ganancia con sus otros dos socios considerando que su parte sea igual a las 3

2 de la parte que le corresponde a su primer socio y que la parte de su primer

socio sea igual a los 65 de la parte que le corresponde a su segundo socio. Entonces al

microempresario, a su primer socio y a su segundo socio, le corresponden respectivamente: a) $1500, $3500, $3600 b) $2000, $4000, $2600 c) $2000, $3000, $3600 d) $3000, $3000, $2600 e) $1000, $4000, $3600


358

15. Sea el sistema:

−=+

−=−

−

−=−

+−

yxyz

zyx

yxz

334

282010

51964

Entonces es VERDAD que: a) El sistema es homogéneo y tiene solución trivial. b) El sistema es inconsistente. c) La única solución del sistema es 2;5;4 −=== zyx . d) No es un sistema lineal e) El sistema tiene infinitas soluciones.

cap14 siste. linel

Education